- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/30 00:40:17]
- >>542
円に内接しかつ対角線が直交するときかな？
まず平面に軸xyと正の実数0＜r＜1をy軸方向にr倍してABCDが円に内接するようにとる。
それが可能なのはまずABCの外接円をとってDがその外側にあるときACをx軸にとって
rを1から0へ増大させながらy軸方向へr倍するアフィン変換を作用させていくと
Dはどこかでちょうど円上にのる。そのときのrをとればよい。
Dが外側にあればrを1から∞まで変化させて同様にするとr＞1でDが円上にのるようにできるか
x軸とy軸をいれかえてrを1/rにすればもとめる条件をみたす。
いまy軸方向にr倍する変換でのABCDの移り先をA'B'C'D'、四角形A'B'C'D'の面積をS'と
すればS'=rS、A'B'≧rAB、B'C'≧rBC、C'D'≧rCD、D'A'≧rDA、ですべて等号になるのはr=1のとき。
よって2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'であり等号成立はr=1のときのみ。
このときトレミーの定理からA'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'であるから
2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'=2S/sinθ (θはA'B'C'D'の対角線のなす角)
∴sinθ=1かつ2S'=A'B'・C'D'+B'C'・D'A'。
よってr=1かつA'B'C'D'の対角線が直交する。
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