現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む48

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1 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/14(木) 06:50:59.72 ID:oVKNFyGV.net]: “現代数学の系譜物理工学雑談古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾）

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 13:05:47.78 ID:khUHlWTG.net]: >>414
おっちゃんです。
>ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾
>時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ
ジハードを聖戦や正義のための戦争と解釈しているようだけど、
ジハードって、本来はイスラム教の神(アッラー)を信じる
イスラム教信者(ムスリム)全員がする行いの中の1つで、「努力」って意味だよ。
日本では、いつの間にか、国中に間違った意味の「聖戦」が広く知れ渡っているけど。
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 13:10:55.34 ID:khUHlWTG.net]: >>414
つまりね、ジハードを「聖戦」と解釈するのは大きな間違いで、正しくは「努力」と解釈することになる。
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 13:19:03.46 ID:aTz7JvgY.net]: ＞”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・
＞おれは、ほんとに勉強不足だな～（＾＾
かっこつけんな、お前は解析概論の1章からだｗ
491 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:23:13.58 ID:lrnu6EUA.net]: ￥さんのダチの山上　滋先生より下記

sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
ルベーグ積分速講山上　滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日
(抜粋)
とうとうやって来ました「ルベーグ積分」。避けていたわけではないのですが、できればあまりしたくない
というのが本音でした。こういった類の授業を積極的に担当したいと思う人は、きっと良心的な先生なので
�
492 名前：ｵょう。不良教師の一人としては、「教えて身につくものでなし」という繰言をつぶやくだけです。ただささ やかな救いは、以前から、そういった状況に立ち至った場合に試してみたいと思っていたアイデアがあったこ とでしょうか。 いわゆるルベーグ積分の構成をPeano-Jordan-Borel 路線の流れのなかでLebesgue が達成したように、 「測度」の概念自体はとても素朴な感じがします。できるだけ沢山の図形に面積を付与したいということなの で。技術的なレベルの違いはあっても、Archimedes の昔からあった発想の自然な延長線上にあるわけで、あ る意味正統な方法でもあったと言えるでしょう。 一方で、積分なるものは、Gallilei, Pascal, Torricelli, Fermat 等の錚々たる達人の手を経てNewton・ Leibniz によって最初の集大成がなされました。その後も、微積分の発展に伴って概念の精密化への要求が高 まり、Cauchy によって、今ある微積分の内容がほぼ確立しました。もちろん、その中には、和の極限として の積分の定義も含まれています。 さて、測度（面積・体積）と積分ですが、「にわとりと卵」の例えにも似て、お互いが他を規定するといっ た表裏一体の関係にあります。面積を計算しようと思ったら積分に訴えるのが常道ですし、一方、積分は、対 象となる関数のグラフの与える図形の面積とみなせるわけで、どちらがより本質的であるとは一概に言えま せん。 つづく []: [ここ壊れてます]
493 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:23:46.44 ID:lrnu6EUA.net]: >>450 つづき

現在広く行われているルベーグ積分の導入方法は、測度論から入り積分の諸性質に至るという、測度優先論
が多数派を占めているようです。これは、ひとつには、現代確率論が、測度論を基礎に据えることで長足の進
歩を遂げた、という事情が反映していることに理由があるのでしょう。実際、世にある積分論の教科書は、確
率論の専門家の手になるものが多いように思われます。
翻って、もうひとつの方向性である「積分から測度」ですが、これも実は、ルベーグ積分論の比較的初期の
段階でDaniell 等によって確立されています。この方法の特色は、積分の諸定理に至る道程をかなり短縮でき
る点にあります。「積分の計算・評価が効率的かつ安全にできれば、測度論はあってもなくても良い」といっ
た利用者には、福音となり得るものでしょう。そこまで功利的にならなくても、関数主体の方法は、測度を導
入する上でも教育的に優れた点があるように思っておりました。この「積分から測度へ」というスローガンの
下、用意したのが以下の講義ノートです。学生の皆さんには、モルモットになって貰うようで、申し訳ない気
もしますが、しばらくお付き合いください。
参考書をいくつか挙げておきます。

つづく
494 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:24:49.44 ID:lrnu6EUA.net]: >>451 つづき

11 Postscript
もともと、このノートは「数学が不得意な数学科の学生」をイメージして用意したものであるが、いみじく
も過去の授業アンケートで指摘されたように、工夫が空回りしているのかも知れぬ。一般の位相空間ではな
く、敢えて距離
495 名前：空間に限定したのもそういったことの反映である。かつてDieudonne で学んだ際、その構成 に泥縄式の印象を持ったものであるが、今は、深い意図があったのやも知れぬと思っている。 上で数学が不得意云々と書いたのは、皮肉でも何でもなく、本心から同情あるいは共感を覚えるからであ る。数学が得意というか好きで好きでたまらないような人は、私が相手をするまでもない、勝手にするだけで ある。 しかし、ここで少し欲を吐き出すと、待てよ得意な学生がこれを読んだって悪くはないのではないか、そう いう連中は位相空間なんかも好きでたまらないはずであるから、距離空間という限定詞を位相空間に置き換え て、ついでに証明なんかも好みの形に書き直して読めば、多少は楽しんで貰えるのではないか。測度論の証明 を自ら考え出すこと（そういうとんでもないことを実行してしまう人が必ずいるのです）を思えば、楽勝では ないかと。ついでにRadon-Nikodym なんかも積分論的に格調高く書き直して貰えると、数学が不得意な数 学教員としては、教師冥利に尽きるというものである。 (引用終り) 以上 （参考） http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/teaching.html 講義ノート山上　滋 授業のために用意したノートです。 学生の自習用に公開するもので、詳しい目の本と併用するとよいでしょう。 ・ルべーグ積分 http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/ Shigeru's Scratchy Shelf This is a webpage on mathematics and related topics maintained by YAMAGAMI Shigeru under the support of Department of Mathematical Sciences, Ibaraki University. Last modified: 2009/10/05 []: [ここ壊れてます]
496 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:26:03.77 ID:lrnu6EUA.net]: >>447-448

おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾
497 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 13:28:47.48 ID:lrnu6EUA.net]: >>450
>sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
>ルベーグ積分速講山上　滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日

ここには、デイニ微分が出てこないようだ（＾＾
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 14:21:03.95 ID:aTz7JvgY.net]: スレ主はデイニ微分の前にεδ論法を理解すべし
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 16:41:48.59 ID:ANqzVc/X.net]: >>430
＞後出し後出し
＞おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾
＞「じゃ、そう書いておけ」ってことよ

絶対に書かない。「リプシッツ」という余計な言葉を持ち出して散々トンチンカンな間違いに陥っていたゴミクズに、
そこで新しく「ディニ微分」という余計な言葉を俺の方から差し出すことに何のメリットがあるんだ？

「 limsup を計算するのに余計な言葉は必要ない。定義に沿って機械的に計算するだけ」

と何度も書いただろ？そういうスタイルで議論してきた俺が、
俺の方から新しく「ディニ微分」という言葉を持ち出すわけがないだろ。

まあ、俺が差し出したリンク先にはウッカリ書いてあったようだがなｗ

そして案の定、お前はディニ微分というキーワードから

＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾

とか

＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞これに較べれば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾

などという、例の定理とは全然違う主張を引っ張ってきて、「この主張は例の定理と(ほとんど)同じことを言っている」
などと大きな勘違いを起こしているのである。となると、結局は >>404-407 の話に帰着する。
そして、スレ主はまだ >>404-407 に返答していない。
500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 16:45:16.41 ID:ANqzVc/X.net]: >>432
＞おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾
＞「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい

R上のディニ微分には４つの種類がある。それは

D^{-}f(x)：＝ limsup[y↑x] (f(y)－f(x))/(y－x)
D^{+}f(x)：＝ limsup[y↓x] (f(y)－f(x))/(y－x)
D_{-}f(x)：＝ liminf[y↑x] (f(y)－f(x))/(y－x)
D_{+}f(x)：＝ liminf[y↓x] (f(y)－f(x))/(y－x)

の４種類である。R上のディニ微分と言えば、あくまでもこの４種類の量のことを指す。この
501 名前：量は明らかに Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜　(>>404より) とは完全一致しない。俺が言っている「ディニ微分そのものではない」とはそういう意味 (４つのディニ微分のいずれとも完全一致しない、という意味)である。もはや数学ではなく、国語の問題である。 一方で、「ディニ微分の類似品ではあるが」とも書いた。これは、４つのディニ微分でやろうとしている操作を、 Af(x) においては絶対値つきで統括していっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して 「類似品」と書いた。実は Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。 []: [ここ壊れてます]
502 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/23(土) 16:48:38.29 ID:ANqzVc/X.net]: >>439
＞下記、斎藤新悟先生のテキストの
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾
＞これに較べれば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾

ぜんぜん強くない。というか、無関係である。既に書いたことだが、
「集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」とき、
A のことを第一類集合と呼ぶ。よって、スレ主が言っていることは

「系 1.5 よりも、"R－Bf は第一類集合である" という条件の方が強く見えるぞ」

ということである。一方で、第一類集合とルベーグ測度の間には、
特別な関係性は無いことが知られている。より具体的に言うと、

・第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する

ことが知られている。よって、{x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} がゼロ集合であろうとなかろうと、
"R－Bf は第一類集合である" という条件とは無関係である。

結局、お前のようなゴミクズに新しいキーワードを与えると、このように次から次へと無関係な主張を持ち出して、
「同じ主張だろう」とトンチンカンな発言を連発し出すのである。だから俺は、余計な言葉は使わないのである。
お前にとっては、ディニ微分が「後出しのウソ」に見えるのだろうが、俺は実際に既に知っていたし、
手元にある文献の名前と記載ページも >>424 で明記したし、「スレ主の数々のトンチンカンな行為を踏まえて、
余計な言葉は使わなかった」とも言っているのである。
これだけ明確な理由が揃っていてウソつき呼ばわりされる筋合いは全く無い。
503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 16:53:18.05 ID:ANqzVc/X.net]: ここで、おバカのスレ主にも分かりやすいように、例の定理から即座に従う、
以下の定理を紹介しておく。(ここでは「定理２」と書くことにする)

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R－B_f＝φ となり、よって R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。一方で、スレ主が引用した
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
もしくは

＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”

という主張からは、定理２は全く出て来ない。もし出てくるというのなら、実際にやってみよ。
スレ主の引用した主張をそのまま適用しても出てこないし、対偶を取っても出てこない。

ついでに言うと、スレ主の引用した主張とは無関係に定理２を直接的に示そうと思っても、
スレ主の力量ではそれさえも不可能のはず。なぜなら、定理２は「例の定理」と同じく、
ベールのカテゴリ定理を経由するくらいしか証明手段が無い(はず)だからだ。
504 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 17:33:45.39 ID:lrnu6EUA.net]: >>456-459

おっさん、必死で考えた言い訳がそれか？

まあ予想の範囲だよ（＾＾

「Af(x) においては絶対値つきで統括していっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して
「類似品」と書いた。実は
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。」

それが、実は定義だろ？
おっさんの
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜&l
505 名前：t; k }” これの定義と、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”とが（＾＾ []: [ここ壊れてます]
506 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 17:35:37.40 ID:lrnu6EUA.net]: おれ的には、最初から
定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！
ってことさ（＾＾
507 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 17:39:45.15 ID:lrnu6EUA.net]: >>461

いやいや、ちょっと間違えた（＾＾
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< k }だから
limsup は、不要だろ？

Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ }　で、良いはずだろ？（＾＾
508 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 17:40:33.11 ID:lrnu6EUA.net]: >>462 訂正

limsup は、不要だろ？
　↓
liminf は、不要だろ？
（＾＾
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 17:47:31.44 ID:ANqzVc/X.net]: >>460
＞それが、実は定義だろ？

息を吐くように間違えるゴミクズ。

Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }

という等式は定義ではなく、定理である。limsup と liminf の基本的な性質から出る。

＞Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< k }”

Bf(k) などという集合を定義した覚えはない。ただし、その集合を使えば
Bf＝∪[k＝1～∞] Bf(k) と書けるので、Bf(k) を使っても問題はない。

>>461
＞おれ的には、最初から
＞定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！
＞ってことさ（＾＾

息を吐くように間違えるゴミクズ。
Af(x) の定義はあくまでも Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)－ f(x)) / (y － x)｜である。
ただし、定理として Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等式は成り立つので、こちらを定義として採用しても理論上は問題は起きない。
ただし、こちらを採用した場合、例の pdf の「補題1.5 」の証明が面倒くさくなるので、
Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)－ f(x)) / (y － x)｜という最初の定義の方がすっきりする。

>>462
＞Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ }　で、良いはずだろ？（＾＾

息を吐くように間違えるゴミクズ。その２種類だけじゃダメだよ。４種類すべてを使って初めて

Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }

という等号が成り立つ。liminf も必要なんだよ。
510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 17:59:42.03 ID:JRmFnvAf.net]: 馬鹿過ぎて哀れ
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 18:08:58.57 ID:ANqzVc/X.net]: 以下で、スレ主の２種類だけではイコールにならない具体例を挙げる。

f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), －2x (x＞0, x は無理数)

として f：R→R を定義すると、

f(y) / y ＝ 0 (y＜0), 1 (y＞0, y は有理数), －2 (y＞0, y は無理数)

であるから、

Af(0)＝limsup[y→0]｜(f(y)－f(0))/(y－0)｜＝ 2

となる。また、

D^{-}f(0)＝ limsup[y↑0] (f(y)－f(0))/(y－0) ＝ 0
D^{+}f(0)＝ limsup[y↓0] (f(y)－f(0))/(y－0) ＝ 1

D_{-}f(0)＝ liminf[y↑0] (f(y)－f(0))/(y－0) ＝ 0
D_{+}f(0)＝ liminf[y↓0] (f(y)－f(0))/(y－0) ＝－2

となる。特に、

max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜ } ＝ 1

max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜} ＝ 2

となるので、この例では

Af(0) ＝ max { ｜D^{-}f(0｜, ｜D^{+}f(0)｜ }　

という等号が成り立たない。しかし、

Af(0) ＝ max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜}

という等号は成り立つ。
limsup, liminf の計算すらマトモに出来ないおバカのスレ主には、
この程度ですら難しすぎて全くの想定外だったのだろう。
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 18:55:09.95 ID:aTz7JvgY.net]: だから言っただろ？
一年生向け教科書の勉強が終わるまでROMってろと
513 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:31:06.38 ID:lrnu6EUA.net]: >>464

ああ、了解！

それ、やっぱり、リプシッツ連続類似だね（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 K ? 0 が存在して、

d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))／d_{X}(x_{1},x_{2})}}＜＝ K (∀ x_{1},x_{2}∈ X)

を満たすこととすることもできる。
(引用終り)
514 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:31:53.87 ID:lrnu6EUA.net]: >>466

ご苦労さん（＾＾

”f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), －2x (x＞0, x は無理数)”か
妙に病的な函数を作ったんだね。えらいね。（＾＾

で、その話は了解したが、
良い機会だから聞くが、

その不連続函数は
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”

当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？　理由を述べよ！

自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾
515 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:33:32.00 ID:lrnu6EUA.net]: >>458
>＞これに較べれば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
>
>ぜんぜん強くない。

バカなおれでも、”ディニ微分”というキーワードでいろいろ調べて文献を読むと・・、

ちょっと智�
516 名前：bがついてきたな～（＾＾ えーと f(x)=1/x という函数は、ｘ＝０で不連続なんだが、これちょっと面白いよ D^{-}f(x) at x=0 ＝-∞ D^{+}f(x) at x=0 ＝-∞ （これ、f'＝-1/(x^2)より従う） これは良いだろ？ ところで、 f(x)=1/xは、ｘ＝０でこのままでは定義されない （∵そもそも1/0は数学としては許されないし、極限でもx→+0とx→-0とで異なる値を取る） 従って、 f : R → R￣として、（R￣は、拡張実数） Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ } と置くと、R－Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！ 正確には、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で被覆されるべき！ 同様のことは、函数 f(x)=1/x^n (n>1で成り立つ) だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな～？（＾＾ そういう気がしてきたよ（＾＾ 以上 []: [ここ壊れてます]
517 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:37:15.14 ID:lrnu6EUA.net]: >>469 追加

””f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), －2x (x＞0, x は無理数)”か”
のx＞0の部分な

「その不連続函数は・・」と聞いているから、子供じみた逃げなしないとおもうが
念のためな（＾＾
518 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 19:52:21.97 ID:lrnu6EUA.net]: >>471 追加の追加

子供じみた逃げをされないように縛っておくわな（＾＾

”f(x)＝ x (x は有理数), －2x (x は無理数)”

この病的な不連続函数が
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”

に、当てはまるのか、当てはまらないのか？

もし、当てはまらないとすれば、なぜか？　理由を述べよ！

自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 19:56:41.23 ID:ANqzVc/X.net]: >>469
＞その不連続函数は

俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に

(0, ＋∞) ⊂ R－B_f

が成り立つ。よって、R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できない。

>>470
＞従って、
＞f : R → R￣として、（R￣は、拡張実数）
＞Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
＞と置くと、R－Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！

息を吐くように間違えるゴミクス。f(x)＝1/x という関数は、このままでは x＝0 で値が定義されない。
そして、f(0) の値を定義しないままで居るつもりなら、その関数は f：R → R￣ではなく

f：R－{0} → R￣

なのであって、例の定理の適用範囲外である。一方で、f(0) の値は何でもいい人工的に設定して f：R → R￣
という写像にした場合には、この f に対して R－B_f は例の被覆が可能である。なぜなら、

・ x＞0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
・ x＜0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2

が成り立つので、特に R－{0} ⊂ B_f が成り立つ。よって、R－B_f ⊂ {0} が成り立つ。
{0} は内点を持たない閉集合であるから、以上より、「被覆できる」。
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:01:03.36 ID:ANqzVc/X.net]: >>470
＞だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな～？（＾＾

全くレアではない。>>459 を読み直せ。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R－B_f＝φ となり、よって R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。

・・・という議論の途中の部分を読めば分かるように、f が各点で微分可能なら

B_f＝R

となるので、特に R－B_f＝φ となり、よって R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる。
(丁寧に書くと、内点を持たない閉集合 K を何でもいいから1つ取れば、φ⊂K という自明な包含により
　R－B_f ⊂ K が成り立つので、被覆できている)。

さらに、既に述べたように、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x という関数も、原点での値を
何でもいいから人工的に設定して f：R → R￣とするならば、R－B_f は例の被覆が「できる」。
521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:09:15.18 ID:ANqzVc/X.net]: 被覆できる例を量産するために、スレ主が大好きな「可算無限集合」に絡めて
１つ書いてみるか。

・ f：R→R は、微分不可能な点が高々可算無限個しかないとする。
　このとき、R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる。

これを使うと、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x は一瞬で解決する
(f(0)の値を人工的に設定して f：R → R￣にする、という前提のもとで)。

なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。
522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:17:03.55 ID:aTz7JvgY.net]: 何から何まで人に聞くなよｗ　自分で勉強しろｗ　厚かましい
523 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 20:22:50.16 ID:lrnu6EUA.net]: >>473

>俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
>(0, ＋∞) ⊂ R－B_f
>が成り立つ。

なるほど。あんた力あるね。（まあ、ディリクレ函数に類似の範囲だが・・）

では、追加質問で悪いが、

変形トマエ函数

f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？

各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定
524 名前：はどうやるのか？ []: [ここ壊れてます]
525 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 20:31:09.98 ID:lrnu6EUA.net]: >>473

なるほど、あんた力あるね

しかし、f : R → R￣なら
f(x)＝1/x は

lim x→-0 f(X) ＝-∞
lim x→+0 f(X) ＝+∞

と解するべきと思うがね

ならば、その微分f’(x)=-1/x^2で

lim x→-0 f’(x) ＝+∞
lim x→+0 f’(x) ＝+∞

これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
（ここらが、曖昧になるから、イプシロンデルタを使う話になるのだが）

>>475
>なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。

微分可能（滑らか）ということと、微分係数が∞に発散することとは違うだろ
f(x)＝1/x は、双曲線だから、曲線を原点を中心に回転させれば、微分係数は、発散しない
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:53:24.09 ID:ANqzVc/X.net]: >>477
＞f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？
＞各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？

知らない。
俺は「どんな f に対しても簡単に判定可能なアルゴリズムを見つけた」と主張しているわけではないからな。

>>478
＞lim x→-0 f’(x) ＝+∞
＞lim x→+0 f’(x) ＝+∞

その2つの式は正しい。だが、B_f とは無関係。お前は未だに何かを勘違いしている。

＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・

原点を含む十分小さな開区間 (－ε, ε) の中の任意の点 x で

f'(x)＝＋∞

が成り立つというのであれば、(－ε, ε) ⊂ R－Bf が成り立つので、
R－Bf は例の被覆が「できない」ことになる。しかし、実際には、x≠0 なら常に

f'(x) ＝－1/x^2

であり、ゆえに

Af(x) ＝ 1/x^2

であり、ゆえに R－{0} ⊂ Bf であり、ゆえに R－Bf ⊂ {0} であり、
ゆえに、R－Bf は例の被覆が「できる」のである。
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 20:59:51.99 ID:ANqzVc/X.net]: >>478
＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・

既にレスは書いたが、ここについては、次のような言い方をしてもよい。
まず、お前の主張が正しいとすると、

(－ε, ε) ⊂ R－Bf

が成り立つことになる。R－Bf ＝ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } に注意して、

(－ε, ε) ⊂ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } … (1)

が成り立つことになる。では、x＝ε/2 としてみよう。
このとき、x∈(－ε, ε) だから、(1) により

Af(x)＝＋∞

が成り立つことになる。一方で、f'(x)＝－1/x^2 だから、Af(x)＝｜f'(x)｜＝1/x^2 であり、
Af(x)＝＋∞ に矛盾する。よって、お前の主張は自動的に間違いである。
528 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 21:36:28.73 ID:lrnu6EUA.net]: >>479-480

了解

話は飛ぶが
昔から、数学素人が、「定理を証明しました」というとき

１．従来の数学の範囲の定理の再証明（新しい証明の場合もある）
２．（あるいは）素人の勘違い

このどちらかと、99％相場が決まっている（1％新定理があるかもしれないが）
で、いままでのやり取りから、あんた素人の数学おたくで、相談すべきレベルの高い友達（あるいは指導者）がいないね

だから、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、検証しようという意識が薄いね
一方、プロは自分の証明した定理が、新規かどうか？そこが命だし、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、きちんと検証するものだ

上記の１かどうかの見極めが、まず先だ。例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、うんぬんとか
そういうことが無ければ、99％は、２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）

そんなものに、うっかり乗せられたら、えらいことだよ～！！（＾＾

まあ、年末で忙しいので、ゆっくりやるよ
が、あんた、ピエロやHigh level peopleと違って、レスポンスのレベルが高いので、遊び相手としては面白いわ（＾＾

まず、”ディニ微分”というキーワードが見つかったので、「１．従来の数学の範囲の定理の再証明」の線を調べつつ
それ（１項関連）が見つからなければ、その過程で「２．（あるいは）素人の勘違い」ってことがはっきりするだろう
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 21:43:11.49 ID:JRmFnvAf.net]: >>481
新規の定理って言ってないじゃん
530 名前：
まったく話が成り立たねー []: [ここ壊れてます]
531 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/23(土) 21:50:11.45 ID:lrnu6EUA.net]: Ulisse Dini (14 November 1845 ～ 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini

いまさら、ディニ微分使った新定理を
素人が？

その見極めが先だろ
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 21:57:09.22 ID:aTz7JvgY.net]: スレ主　国語　国語
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 22:30:30.64 ID:ANqzVc/X.net]: >>481
＞例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、

ぜんぜん導かれない。息を吐くように間違えるゴミクズ。その定理は

「ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して〇〇が成り立つ」

という書き方の定理である。一方で、>>458 で既に述べたように、

・第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する

ことが知られている。よって、「ほとんどすべての x で〇〇が成り立つ」という性質が
言えようが言えまいが、例の定理とは関係が無い。

>>483
ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。「新発見ではない」と何度も言っている。
我々が文献を見つけてないだけ。

strradle lemma ＋ベールのカテゴリ定理

で終わるような演習問題レベルの定理に、新発見もクソもない。
息を吐くように間違えまくるゴミクズがいつまでも騒ぎ立ててるだけ。
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 23:16:46.74 ID:ANqzVc/X.net]: 「こんな定理を証明しました。これが実際の証明です」

普通の数学徒の反応：

へえ、正しいですね(ま、演習問題レベルのようだし、こんなもんでしょう)。

スレ主の反応：

ワタクシの直観ではこの定理は成り立たない (←でも反例は提示できない)

これが反例になるのではないか (←ぜんぜん反例になってない)

この定理からすぐに従うのではないか (←ぜんぜん関係のない定理)

こんな定理が新発見の定理なわけがない (←誰も新発見だとは言ってない)

この経過を見ると、最初は「反例」ばかりを考えていたスレ主が、いつの間にか
「この定理からすぐに従うのではないか」という真逆の方向に舵を切りつつあることが分かる。
こんな定理が新発見のわけがないので、探せばいつかはピッタリの定理が見つかるだろうが、
「間違っている」とイチャモンをつけていたスレ主にとっては、ピッタリの定理が見つかった時点で
スレ主の負けである。つまり、スレ主は自分から負ける道を歩きつつあるという皮肉ｗ
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/23(土) 23:22:22.72 ID:JRmFnvAf.net]: こんなにも丁寧で理路整然とした説明を長々と受けておきながら、
実質2ページの短い証明すらまともに読めず（limsupすら知らないという笑）、
くだらないイチャモンをつけまくってるスレ主は数学板史上最悪のクズ野郎である
536 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:26:46.65 ID:Q5UHveEY.net]: >>481
> 99％は、２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）

いままでのところを整理しておこう

・証明を読むだけが数学ではない
・数学は理論体系である
・ある定理が、数学の理論体系の中に、どう位置付けられ、他の定理との関係も理解・把握しておくことが非常に大事だ

つづく
537 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:27:26.09 ID:Q5UHveEY.net]: >>488 つづき

(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”

・ディニ微分関連で
　lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜が、４つのディニ微分を使って
　Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } と表わされることがはっきりした（>>464）
・と、同時に、リプシッツ連続との関係も明らかになった（>>468）

つづく
538 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:27:59.44 ID:Q5UHveEY.net]: >>489 つづき

補集合 R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとは何だろうか？

・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
（参考：
　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9 孤立点
　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88 単集合（一元集合））
・被覆とは、証明のPDFから、「S ⊆ iFi」である（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ）
・いま、補集合 R－Bfを場合分けすると
　１）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明
　２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明
　３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。
　　　言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、
　　　もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。
　４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は
　　「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない）

つづく
539 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:28:55.12 ID:Q5UHveEY.net]: >>490 つづき

さて、定理1.7 (422 に書いた定理)のそもそもの目的は、変形トマエ函数（Ruler Function）関連で、
「系1.8 有理数の点で不連続、無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」を導くことであった

変形トマエ函数（Ruler Function）関連については、過去スレで取り上げているが、いま一度整理すると
（長いが、あとのために抜粋する）
mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
（注：下記で、f^rなどとして、ｒの指数による類別をしている）
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.

It is well-known that f is continuous at each irrational
point and discontinuous at each rational point.

** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that
has c many points in every interval.

The results above can be further refined.

** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise
Lipschitz condition. Heuer [15]

** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and
satisfies a pointwise Lipschitz condition on
a set that is dense in the reals. Heuer [15]

** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose
intersection with every open interval has Hausdorff
dimension 1 - 2/r. Frantz [20]

つづく
540 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:29:35.07 ID:Q5UHveEY.net]: >>491 つづき

Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g
541 名前：fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set. (Each co-meager set has c points in every interval.) つづく []: [ここ壊れてます]
542 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:30:23.82 ID:Q5UHveEY.net]: >>492 つづき

---------------------------------------------------------------
[4] Bohus Jurek, "Sur la derivabilite des fonctions a
variation bornee", Casopis Pro Pestovani Matematiky
a Fysiky 65 (1935), 8-27. [Zbl 13.00704; JFM 61.1115.01]

It appears that Jurek proves some general results
concerning the zero Hausdorff h-measure of
sets of non-differentiability for bounded
variation functions such that the sum of the
h-values of the countably many jump discontinuities
is finite (special case: h(t) = t^r for a fixed
0 < r < 1). General "h-versions" of the ruler
function seem to appear as examples, and V. Jarnik's
more precise results about the Hausdorff dimension
of Liouville-like Diophantine approximation results
are used.

This paper is on the internet at

dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D98714.html
dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D98723

つづく
543 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:30:54.63 ID:Q5UHveEY.net]: >>493 つづき

---------------------------------------------------------------
[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the
irrationals and discontinuous at the rationals",
American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373.
[MR 31 #3550; Zbl 131.29201]

Let f(x) = 0 if x is irrational, f(p/q) = |1/q| if
p and q are relatively prime integers, and f(0) = 1.

We say that a function g is Lipschitzian at x if there
exists a neighborhood U of x and a number M > 0 such
that |g(x) - g(y)| <= M*|x - y| for all y in U.

THEOREM 2: The function f^r is: (A) discontinuous at the
rationals for every r > 0; (B) continuous but
not Lipschitzian at the Liouville numbers, for
every r > 0; (C) differentiable at every irrational
algebraic number of degree <= r-1, if r > 3.

THEOREM 3: The function f^r is differentiable at every
algebraic irrational number if r > 2 (and, by
Theorem 1, at none if r <= 2).

THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]

THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.

つづく
544 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:31:38.62 ID:Q5UHveEY.net]: sage
545 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:31:48.31 ID:Q5UHveEY.net]: >>494 つづき

(p. 373) "We omit the proof, because it is rather lengthy,
and one would hope to generalize the theorem by replacing
the rationals by an arbitrary dense set, and possibly to
show that the set of points at which g fails to be
Lipschitzian is a residual set."

NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result
in 1957 (the points of discontinuity have
546 名前：to form an F_sigma set, however). See my remark in [13] above. This result is also proved in Gerald Arthur Heuer, "A property of functions discontinuous on a dense set", American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966), 378-379 [MR 34 #2791]. Heuer proves that for each 0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that {x: f is continuous at x} is dense in R and {x: f is not continuous at x} is dense in R, the set of points where f does not satisfy a pointwise Holder condition of order s is the complement of a first category set (i.e. a co-meager set). By choosing s < 1, we obtain a stronger version of Sengupta/Lahiri's result. By intersecting the co-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get a co-meager set G such that, for each x in G, f does not satisfy a pointwise Holder condition at x for any positive Holder exponent. (Heuer does not explicitly state this last result.) A metric space version of Heuer's result for an arbitrary given pointwise modulus of continuity condition is essentially given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse, and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points", American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972), 603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004]. See also the last theorem in Norton [17] below. つづく []: [ここ壊れてます]
547 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:33:54.26 ID:Q5UHveEY.net]: >>496 つづき

で、今回の「(a, b) 上でリプシッツ連続である」に関連する部分のみを、さらに抽出すると

[15] Gerald Arthur Heuer先生

THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]

THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.

かな？

特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと

だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている

では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？

[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！

これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う

まあ、年末は忙しい

ゆっくりやりましょう（＾＾

以上
548 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 10:42:49.93 ID:Q5UHveEY.net]: >>497 補足

1)THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the rationals and continuous at the irrationals, then there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.

2)「系1.8 有理数の点で不連続、無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」

この二つの比較で、2)の”無理数の点で微分可能”なら、1)THEOREM 5の”continuous at the irrationals”は、満たされる
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”から、有理点以外で必ず”at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition”なる（無理）点が存在する
その（無理）点は、微分不能

だから、1)THEOREM 5より、2) 系1.8は、導くことができる

以上
549 名前：BLACKX mailto:sage [2017/12/24(日) 12:34:40.90 ID:PT3W3mG7.net]: 不正の件、洗い出し終わった

　[正]Air値→ヤング図
　[正]Air値→タワー(平面的フェラーズ盤)
　[正]ヤング図→母関数導出
　[正]タワー→母関数導出
　[正]ヤング図母関数→ P(n,m)互換
[不正]タワー母関数→ P(n,m)互換

考えてみれば分かるけど3次元なのに2次元でやろうとしてる所がヤヴァかったです。
pp(n)ｑ^nでやらなきゃ…ねぇ…
なんかもう疲れたからPP(n)q^nやらずに、
ヤング図ポセットでの成長を考えます。
フォースと共にあらんことを。
550 名前：BLACKX mailto:sage [2017/12/24(日) 12:36:04.60 ID:PT3W3mG7.net]: 書くスレ間違えた
551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 15:20:25.56 ID:7MvmOIII.net]: おっちゃんです。
>>490
>・いま、補集合 R－Bfを場合分けすると
>　１）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明
> 　２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明
> 　３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。
> 　　　言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、
> 　　　もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。
> 　４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は
>　　「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない）

>>489の
>(>>303より)
>”定理1.7 (422 に書いた定理)
>f : R → R とする．
の部分から、fは実数直線Rを定義域、かつRの部分集合を値域とする実関数であることが分かる。
実関数 f：R→R が或る開区間 (a,b) でリプシッツ連続になるのは
或る
552 名前：正の実数Kが存在して、任意の (a,b) の2点 x,y について |f(x)－f(y)|≦K|x－y| となるとき だから、リプシッツ連続の反例になっていない。 []: [ここ壊れてます]
553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 15:24:36.25 ID:7MvmOIII.net]: >>490
>>501の下から2行目の訂正：
或る正の実数Kが存在して、 → 或る非負実数Kが存在して、
554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 17:27:53.36 ID:ThBjkOXn.net]: >>490
＞補集合 R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとは何だろうか？

何度も同じことを書くが、集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとき、
A のことを「第一類集合」と呼ぶのである。つまり、

質問「補集合 R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとは何だろうか？」
回答「 R―Bf は第一類集合である、ということだ」

ということである。ま、これでは単なる言葉の置き換えに過ぎないのだが、
権威主義のスレ主には、この書き方の方がヘンなイチャモンをつけにくいだろうｗ

>>490
＞・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない

今回のスレ主の話の中では本質的ではないが、この発言そのものは間違っているので指摘しておく。

孤立点だけで構成された集合(すなわち離散集合)は高々可算無限集合にしかならないが、
内点を持たない閉集合であって非可算無限集合であるものが存在する。
たとえば、カントール集合は内点を持たない閉集合だが、カントール集合は非可算無限集合である。

また、一点集合 {p} は常に「内点を持たない閉集合」であるが、カントール集合は非可算無限集合なので、
カントール集合を「一点集合の可算無限和で被覆する」という芸当も不可能でる。

よって、「ほかならない」というスレ主の言い方は間違っている。
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 17:38:05.69 ID:ThBjkOXn.net]: >>497
＞だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
＞では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
＞これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う

・なぜ (B) では実現不可能かというと、例の定理に抵触するからだよｗ

・なぜ例の定理が成り立つかというと、ベールのカテゴリ定理を使ってるからだよ。

・ベールのカテゴリ定理に帰着させるために、技術的には１つの補題が必要になり、それが「補題1.5」だよ。

・例の定理の証明とは無関係に、(B) で実現不可能な理由をスレ主が独自に探っていっても、
　結局はベールのカテゴリ定理に帰着させるハメになり、例の定理の証明と同じことをするハメになるだろうｗ

この４項目の見極めで十分だろ。
そろそろ例の証明を読んでみたらどうだね。
556 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/24(日) 20:49:26.73 ID:ndfap2+C.net]: >>490
>・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
違うよ
境界点だけということ
境界点が孤立してなくてはいけないわけではない
557 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 20:59:06.39 ID:Q5UHveEY.net]: >>497 関連

無理数で微分可能で、有理数のみ微分不可能という
函数の構成があったので、貼っておく（＾＾

www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/
ANALYSIS A CONTINUOUS FUNCTION NOT DIFFERENTIABLE AT THE RATIONALS BUT DIFFERENTIABLE ELSEWHERE NOVEMBER 30, 2014 JEAN-PIERRE MERX Math Counterexamples
(抜粋)
We build here a continuous function of one real variable whose derivative exists on R?Q and doesn’t have a left or right derivative on each point of Q.

As Q is (infinitely) countable, we can find a bijection n→rn from N to Q. We now reuse the function f defined here.
www.mathcounterexamples.net/a-differentiable-function-except-at-point-with-bounded-derivative
Recall f main properties:
略
This proves that hh is differentiable at aa with h′(a)=limn→+∞h′n(a). For a∈Q, we can find p∈N with a=rp.
Following a similar proof than above, the function lp:x→h(x)－up(x) is differentiable at a.
As f does not have left and right derivatives at 00, upup does not have left and right derivatives at a.
finally, the equality h=lp+up implies that hh also does not have left and right derivatives at a.

Conclusion:
the function h is differentiable at all irrational points but does not have left or right derivative at all rational points.
(引用終り)
558 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/24(日) 20:59: ]: [ここ壊れてます]
559 名前：42.02 ID:ndfap2+C.net mailto: >>504
>そろそろ例の証明を読んでみたらどうだね。
同感です []: [ここ壊れてます]
560 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 21:03:53.86 ID:Q5UHveEY.net]: >>505
ID:ndfap2+Cさん、どうも。スレ主です。

レスありがとう（＾＾
あなたは
(>>401)
"どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外"
と書いてくれた人かな？

>>・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
>違うよ
>境界点だけということ
>境界点が孤立してなくてはいけないわけではない

ああ、あなたは、レベル高そうだな（＾＾
ちょっと考えてみるよ
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 21:12:24.67 ID:KzYVQeN8.net]: ＞ああ、あなたは、レベル高そうだな（＾＾
と、一年生の授業に着いていけない落ちこぼれが申しております
562 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 21:16:17.46 ID:Q5UHveEY.net]: >>507
ID:ndfap2+Cさん、あなたはレベル高そうだから、聞くが

（>>497より）
「特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと
だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！」
の私の疑問点について、あなたの解釈は？

別に分り易く書いてくれとは言わないが

書いてくれたことに、一定の納得がいって、定理1.7（>>489）が、成り立ちそうということが見えれば、証明を読むことはやぶさかではない

だが、反例がありそうな証明を読むことは、特に必要がある場合は別として、私はしない（教科書に載っている、あるいは投稿論文の定理は別として）
563 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 21:21:58.69 ID:Q5UHveEY.net]: >>499-500
BLACKX ◆jPpg5.obl6さん、どうも。スレ主です。
考察進んでいるようで、なによりです（＾＾
564 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/24(日) 21:42:31.44 ID:ndfap2+C.net]: >>508
違うよ
565 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 21:53:33.96 ID:Q5UHveEY.net]: >>501-502
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう

あの・・、補集合 R－Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)－f(y)|≦K|x－y| ”とできない場合だよね
で、これは、R上で稠密であってはならない

なぜならば、下記系1.8の証明で、有理数Qが、 1 点集合{p}の可算和であること、及び、稠密性から連続した区間(a, b) 内に必ず有理点{p}を含むという性質を使う
だから、もし、補集合 R－Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R－Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ

（参考）
（>>490）
証明のPDFから、（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ）
系1.8の証明で
「定理1.7 のBf について,
R － Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R － Bf ⊆ Q = ∪ p∈Q {p}　　 (1)
である. ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2)
さて, Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.
(2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」
566 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 22:01:49.91 ID:Q5UHveEY.net]: >>512
違うのか！　それは残念だな（＾＾

ところで、>>513 に引用したけど、
” ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合である”は、良いんだろ？

で、1 点集合以外で、R上において「内点を持たない閉集合」としては、どんな例があるのかな？（ >>505より）
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 22:05:20.17 ID:KzYVQeN8.net]: 上から目線でものを尋ねるアホ主
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 22:11:48.09 ID:ThBjkOXn.net]: >>513
＞あの・・、補集合 R－Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)－f(y)|≦K|x－y| ”とできない場合だよね

補集合 R－Bf というのは、Af(x)＝＋∞ が成り立つ x の集合のこと。

” |f(x)－f(y)|≦K|x－y| ”

という曖昧な書き方では色々な誤解が入り込むので、そんな書き方をしてはいけない。
特にスレ主は、そんな書き方をしてはいけない。
繰り返すが、補集合 R－Bf というのは、Af(x)＝＋∞ が成り立つ x の集合のこと。

＞で、これは、R上で稠密であってはならない
＞(中略)
＞補集合 R－Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R－Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ

息をするように間違えるゴミクズ。

R－Bf が R 上で稠密であり、なおかつ「 R－Bf が第一類集合」が成り立つならば、
例の定理が適用できて、スレ主の指摘と合わせて矛盾が起きるので、その場合は
スレ主の言うとおりのストーリーになる。
しかし、R－Bf が R 上で稠密であっても、「 R－Bf が第一類集合」であるとは限らないので、
その場合は、例の定理がそもそも適用できず、スレ主のストーリーは破綻する。

つまり、今回のスレ主の勘違いは、「稠密なら自動的に第一類集合である」と勘違いしているところ。
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 22:17:44.21 ID:ThBjkOXn.net]: これは俺からレスを書くと横レスになってしまうが、一応書いておく。

>>514
＞で、1 点集合以外で、R上において「内点を持たない閉集合」としては、どんな例があるのかな？（ >>505より）

ご老人よ、「カントール集合が該当する」と既に２,３回も書いているぞ(たとえば>>503)。

・カントール集合は内点を持たない閉集合である。

・もしカントール集合が一点集合の可算無限和で表現できるなら、
　第一類集合の観点からは一点集合を考えているのと同じことになってしまうが、
　実際にはカントール集合は非可算無限集合なので、そのようには表せない。

・すなわち、カントール集合はスレ主の質問に対する明確な回答である。
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/24(日) 22:22:52.87 ID:1P/yD8J8.net]: スレ主は本当にボケてるんじゃないか？
571 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/24(日) 23:30:26.62 ID:ndfap2+C.net]: >>514
[0,1]-∪[0<i<n](i/n-1/n^3,i/n+1/n^3)
はどうかな
572 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/24(日) 23:58:13.08 ID:Q5UHveEY.net]: >>517 & >>519

定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？

（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF より）
「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
各Fiは内点を持たない,
S ⊆ ∪iFi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」

だったよね？

Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？

そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？

”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 00:05:24.76 ID:BjcfoCpO.net]: >>520
> >>517 & >>519
>
> 定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？
>
> （ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF より）
> 「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
> 各Fiは内点を持たない,
> S ⊆ ∪iFi
> が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」
>
> だったよね？
>
> Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？
>
> そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？
>
> ”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？

会話が成り立たないにもホドがあるだろｗ
574 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 00:37:44.12 ID:P3YrdrZj.net]: >>520
>Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？
当然ですよ
>そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？
どうして？
カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
当然ですよ
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 07:22:11.45 ID:U1NU7yFp.net]: 朝からちょっとだけ。
576 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 07:23:50.32 ID:U1NU7yFp.net]: >>520
既にレスしてくれている人が居るが、俺からもレスしておく。

＞定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？

拡張ではなく、最初からそういう適用が可能であるような定義になっている。
定義をキチンと読み直せ。もはや数学ではなく国語の問題である。
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 07:29:02.91 ID:U1NU7yFp.net]: >>520
あるいは、権威主義のスレ主のために、次のような言い方をしてもよい。
まず、>>503 で書いたことをもう一度書くが、集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で
被覆できるとき、A のことを「第一類集合」と呼ぶのである。従って、例の pdf の

＞「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
＞各Fiは内点を持たない,
＞ S ⊆ ∪iFi
＞が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」

この記述は、「 S は第一類集合」の定義を書いているだけである。
これとスレ主のトンチンカンな主張を組み合わせると、

「定義1.2 の集合 S は、各 F_i が高々可算無限集合でなければ第一類集合とは呼ばない( F_i に連続濃度を許すと、個数が曖昧になる)」

というアホな主張をしていることになる。しかし、第一類集合 S であって、
F_i を可算無限に限定することが出来ないものがごく普通に存在するので、
この時点でスレ主は間違っていることになる。

ま、いずれにしても本質的には「国語の問題」なので、
スレ主はキチンと定義を読み直すことだ。
578 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 07:58:39.31 ID:R/y0B5bE.net]: >>521-522
>>カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
>当然ですよ

なんだよ（＾＾
早く言ってくれればよかったのに（＾＾

でな、下記

リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？

で、いま問題のRuler Functionでは、リウヴィル数が鬼門で
”not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0”なんだよ

つまり、r→∞にしても、リウヴィル数以外の無理数は、Lipschitzianになるが、at the Liouville numbersではだめだと
で、そうすると、定理1.7 (422 に書いた定理)の反例になってないか？

(>>151)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
(抜粋)
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。

mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(>>494)
(抜粋)
THEOREM 2: The function f^r is: (B) continuous but not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0;

(>>492）
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

つづく
579 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 07:59:20.31 ID:R/y0B5bE.net]: >>526 つづき

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.

(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り)
以上
580 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 08:20:37.64 ID:nNJMc22f.net]: スレ主　国語　国語
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 12:23:27.82 ID:Fp12EBAn.net]: 双方ともWikipediaに書いてあることを力説してるだけかｗ
582 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 15:34:17.97 ID:I8rwcj5/.net]: >>529
Yes！
レスありがとう（＾＾

おれの方は特にそうだよ
ここは、学会じゃない

庶民の雑談の場だよ（＾＾

おれは、あほバカで
定理のおっさんは、基地外だ（＾＾
583 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 17:03:43.01 ID:P3YrdrZj.net]: >>529
ぷ
584 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 17:11:47.85 ID:P3YrdrZj.net]: >>526
最初からそういう定義なんです
ところで
その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？
そしてその補集合の濃度が非可算であると？
実際にどういう集合か分かりませんが
可算集合→可算個の疎な閉集合で覆える
は当たり前ですが同値ではありませんので
``反例''になっている``根拠''としては薄いと思います
585 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 17:46:20.86 ID:I8rwcj5/.net]: >>531
「ぷふ」さん、お元気そうでなによりです！＼（＾＾／

「ぷふ」さんには、感謝していますｍ（＿＿）ｍ

例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾
586 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 18:05:46.46 ID:I8rwcj5/.net]: >>532
「ぷふ」さん、どうも（＾＾

>最初からそういう定義なんです

ああ、そうなんですか？　定理を書いた人の話は、最初それに否定的だったように聞いた気がしたが・・。気のせいかな（＾＾

>その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？

Yes！
(>>526より)
mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
(引用終わり)

一つは、この上記ｆ（トマエ関数）をｒ乗した関数を考えているわけです。なのでYes！（それで、ｒはいくらでも大きく取れる）
もう一つは、 f(x) = 1/q^rではなくいかなるq^rよりも早く増大する（つまり、いかなる1/q^rよりも早く減少する）関数
w(q) を取って、f(x) = 1/w(q) としましょうということ。でも、無理数点で”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition”が残ると

ここらは、上記のURLを読んでもらう方が話は早いでしょう
（なお、>>527の”co-meager (residual)”は、ベールの範疇定理の用語と解しています。
　”c points”がいまいち分らんですが・・（＾＾）

以上
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 18:38:17.34 ID:U1NU7yFp.net]: >>526
＞リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
＞リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？

息をするように間違えるゴミクズ。

リウヴィル数の全体を L と置く。お前の持ち出した例では、L ⊂ R－B_f が言えているに過ぎないので、
このままでは例の定理に帰着できず、全く反例になってない。

では、R－B_f ⊂ L が成り立つと仮定した場合はどうか。ここでは一般的に、
R－B_f ⊂ L が成り立つような任意の写像 f：R→R について考えることにする。

L は内点を持たない集合で、L は非可算無限集合である。
よって、もし L 自体が閉集合なら、L は内点を持たない閉集合「１つ」となるので、

「内点を持たない閉集合 F_i の高々可算無限和」… (1)

として F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) を採用すれば、R－B_f ⊂ L という包含は

R－B_f ⊂ F_1

を意味することになる。特に、R－B_f は(1)の被覆ができていることになり、例の定理が適用できる。
しかし、L は R 上で稠密なので、既に議論されたことと同じことをすれば矛盾し、例の定理は間違いとなる。
しかし、実際には、L 自体は全く閉集合ではないので、L そのままでは、R－B_f について(1)の被覆が
出来ていることにならず、スレ主の目論見は失敗に終わる。

[続く]
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 18:43:50.14 ID:U1NU7yFp.net]: [続き]

ここで、L の各点 p に対して、一元集合 {p} は閉集合であることに注意する。
そこで、各 p∈L を適当に番号づけて F_i＝{p} と置き直して、

L＝∪_i F_i

と表すことを考える。もしこのような芸当が可能ならば、R－B_f ⊂ ∪_i F_i となるので、
やはり例の定理が適用できることになり、そして矛盾するので、例の定理は間違いとなる。
しかし、実際には、L が非可算無限集合であるがゆえ、{p} も非可算無限個となるので、
F_i＝{p} と置く場合の F_i は可算無限個に収まらず、よって、このような F_i の置き方では
L＝∪_i F_i という表現はできない。スレ主の目論見はやはり失敗に終わる。

このように、仮に R－B_f ⊂ L が言えているとしても全く反例にならないのである。
しかも、実際にスレ主が持ち出した例は L ⊂ R－B_f が言えているに過ぎず、余計に反例になってない。
結局、今回のスレ主の間違いは、次の3つである。

・ L ⊂ R－B_f が言えているに過ぎないシロモノを持ち出してきても、ぜんぜん反例になってない。

・仮に R－B_f ⊂ L が言えているとしても、R－B_f について(1)の被覆が出来ないので、やはり反例になってない。

・どうもスレ主は、F_i の置き方をキチンと意識してないがゆえに、いつの間にか可算無限個の F_i で
　 L＝∪_i F_i と表現できているように勘違いしている節がある。
589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 19:34:09.08 ID:U1NU7yFp.net]: 補足：

リウヴィル数の全体を L と置いたのだったが、この L は第「二類」集合であることが知られている。よって、

L ⊂ R－B_f

が成り立つような任意の f：R→R に対して、R－B_f は例の被覆が絶対に不可能であることが自動的に従い、
よって例の定理の適用範囲外となる。

一方で、スレ主の持ち出した f^r (r＞0, f はトマエ関数) に対して

L ⊂ R－B_{f^r}

が成り立つのだから、結局、これらの f^r は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。
590 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 19:43:55.64 ID:R/y0B5bE.net]: >>535
>実際には、L 自体は全く閉集合ではない

出典は？
591 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 19:49:34.68 ID:U1NU7yFp.net]: >>538
＞出典は？

バカなの？ L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて

L＝R

になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 20:03:05.73 ID:U1NU7yFp.net]: さて、スレ主が >>527 などでたびたび引用している

＞THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
＞of points that are each dense in the reals.
＞Then g fails to have a derivative on a
＞co-meager (residual) set of points. In fact,
＞g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
＞condition, a pointwise Holder condition,
＞or even any specified pointwise modulus of
＞continuity condition on a co-meager set.

についてもコメントしておく。この定理で扱われている g は、

「ある co-meager set の上で、g は全く pointwise Lipschitz condition を満たさない」

と主張されている。そこで、そのような co-meager set を1つ取って A とでも置いておく。
よって、g は A 上で全く pointwise Lipschitz condition を満たさないことになる。すなわち、

A ⊂ R－B_g

が成り立つことになる。A は co-meager set だったから、R－B_g は例の被覆が絶対に不可能であることが
自動的に従う。よって、このような g は自動的に、例の定理の適用範囲外となる。

特に、スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。
これにて、スレ主が反例として疑っていた例は悉く壊滅したｗ

そして、上記の理由は「例の定理を経由しない理由」であるため、スレ主が >>497 で求めていた
「見極め」として十分であろう。これにて、いよいよスレ主は、例の「たった2ページの証明」を
読まなければならなくなった。
593 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 20:18:59.66 ID:R/y0B5bE.net]: >>539
>L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて
>L＝R
>になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。

それなら、Qも閉集合ではないだろ
ならば、「系1.8 有理数の点で不連続、無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）
に適用して良いのか？
594 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 20:23:08.79 ID:P3YrdrZj.net]: >>541
595 名前：Qも閉集合じゃありません しかし可算集合なので 可算個の疎な閉集合で覆えるのですよ []: [ここ壊れてます]
596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 20:29:05.20 ID:nNJMc22f.net]: >>530
＞おれは、あほバカで
お前はあほバカではない
救い様の無いあほバカだ
何故なら自分がどんだけあほバカかの自覚が無いし、人の助言に聞く耳持たない頑固者だからだ
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 20:29:29.60 ID:U1NU7yFp.net]: >>541
＞それなら、Qも閉集合ではないだろ

お前はどこまでバカなんだ？今まで一体なにを読んでいたのだ？

もし Q 自体が閉集合なら、F_1＝Q, F_i＝φ (i≧2) と置けば終わる話。
しかし、実際には、Q 自体は閉集合ではない。そこはその通り。

ではどうするか？

F_i の作り方を工夫すればいいのである。具体的には、Q の元を適当に番号づけて、
各 q∈Q に対して F_i＝{q} と置けばいいのである。Q は可算無限集合なので、
このように設定した F_i の個数も可算無限個に収まり、しかも

Q＝∪_i F_i,　各 F_i は内点を持たない閉集合

と表せるのだから、例の定理が適用できる形になっているだろうが。
L の場合にこの芸当が不可能なのは、

・ L 自体は閉集合ではないので、F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) という置き方は不可能。
・ F_i の作り方を工夫して、F_i＝{q} (q∈L) と置くことにすると、今度は L が
　非可算無限集合であるがゆえに、F_i が可算無限個に収まらず、この置き方でも失敗する。

という理由があるからだよ。

結局お前は、F_i を「どのように上手く取ればいいのか」を全然意識してないから、
そういうトンチンカンな間違いに陥るんだよ。
598 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 20:30:12.13 ID:nNJMc22f.net]: ＞例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾
見え透いた自演はやめろ
見てるこっちが恥ずかしくなる
599 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 21:00:53.16 ID:R/y0B5bE.net]: >>542 >>544

どちらのレスでも良いけど・・

話を、区間[0,1]に取って
Q' = ｛q | 0<q<1 q∈Q} なる集合Q'を考える

Q' は閉集合ではないですか？
もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]－Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから

どうでしょうか
600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 21:11:29.72 ID:U1NU7yFp.net]: >>546
そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。

R の通常の位相をθと書く。A⊂R に対して、θから定まるA上の相対位相を θ|_A と書く。
・・・という記法のもとで回答すると、

・その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。

・その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。

・例の定理は、位相空間を (R, θ) に固定して記述している定理なので、
　 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) を持ち出したところで意味が無い。

・そもそも、そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。

・スレ主はわざと無視しているのだろうが、そもそもの話として、>>540 で書いたことにより、
　スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが既に確定している。
601 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 21:25:19.24 ID:R/y0B5bE.net]: >>547

Q全体では、開集合だと言われましたね？

部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？

距離の取り方は、同じでしょ？
602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 21:34:18.06 ID:U1NU7yFp.net]: >>548
＞Q全体では、開集合だと言われましたね？

意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。

ついでなので、先に回答しておく。

＞部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？

・その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。

・その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。

・その Q' は、位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。

なぜ「ならない」のかを、( (0,1), θ|_{(0,1)} ) の場合に説明する。

[続く]
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/25(月) 21:36:25.58 ID:U1NU7yFp.net]: [続き]

Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合だとすると、(R,θ)の開集合 V が存在して、

Q'＝(0,1)∩V

が成り立つことになる(相対位相の定義)。(0,1)∩V は (R,θ) における開集合なので、
Q'＝(0,1)∩V の左辺である Q' も、(R,θ) における開集合ということになるが、これは明らかに矛盾する。

次に、Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において閉集合だとすると、(R,θ)の閉集合 K が存在して、

Q'＝(0,1)∩K

が成り立つことになる(相対位相の定義)。ここで、x＝1/√2 と置き、x_n → x を満たす
(0,1) 内の有理数列 x_n を何でもいいから1つ取る。このとき、x_n∈Q' であるから、
x_n∈(0,1)∩K すなわち x_n∈K となる。x_n→x だったから、K が(R,θ)の閉集合だったことから
x∈K となる。また、明らかに x∈(0,1) である。
604 名前：よって、x∈(0,1)∩K となるので、 x∈Q' となる。しかし、x は無理数なので矛盾する。 以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 []: [ここ壊れてます]
605 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/25(月) 21:43:23.58 ID:nNJMc22f.net]: ＞意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
＞どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。
スレ主はリアル呆け老人
606 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 23:45:06.17 ID:R/y0B5bE.net]: >>549-550
>以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。

了解。下記（yahoo）だね
R中に稠密に分散されている場合は、「開集合にも閉集合にもならない」ってことだね
あなたは力があるね～（＾＾

連続濃度まで許すということだったが（>>522）、
結局は、稠密にR中に分散されている場合は、
「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾

ところで・・・・
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13160534703
(抜粋)
delyunoaloveさん2016/6/1600:35:49
有理数空間Ｑは開かつ閉集合ですか？

ベストアンサーに選ばれた回答
kousaku2038さん 2016/6/1612:21:16
全体が実数Rなら、有理数Qは開でも閉でもない。
普通に考えて開集合でないことは、qを有理数とし、それを含む開区間(q-ε,q+ε)を考えると、この区間には無理数が存在するので、Qに含まれることはない。
閉集合でないことは、√2に収束する有理数列が取れることから、すぐにわかる。
(引用終り)

つづく
607 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 23:47:20.19 ID:R/y0B5bE.net]: >>552 つづき

(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
・・・「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」・・・”

で、「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」とは、なんだろうかと考えていた・・、連続濃度まで許すということにもからんで

１）「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密で無ければ・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は自明
２）「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密であれば・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は取れない（このケースは不存在）

だから、定理1.7 (422 に書いた定理)の証明では、１）の場合の証明は、全く不要で
２）の場合を厚く書いて、何か矛盾が起きることをしっかり証明すべきだったのでは？
（例えば、そういう函数が存在しないか、あるいは、「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとか）

重ねて言えば、２）の場合について、「定理1.7に抵触するので、不成立」では、循環論法ではないだろうか？
（例えば、証明中で、無造作に区間（y,x）を取ったり、いろんな計算をしているが、R－Bf が”Rで稠密”という条件下では、許されない計算をしていないかどうか・・？）

つづく
608 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/25(月) 23:48:58.79 ID:R/y0B5bE.net]: >>553 つづき

さて、従来の定理との比較で

１）不連続点が、dense（稠密）の場合、mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>526）にあるように、
　”g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition,”とある
２）無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり（>>506）
　　www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/
３）で、定理1.7 は、上記をリプシッツ連続（あるいはディニ微分）に、拡張した定理と見ることが出来る。
　　つまり、Bfが、リプシッツ連続（あるいはディニ微分可）で、
　　補集合たるR－Bfが稠密の場合、そういう函数が存在しないか、あるいは、（１）のように）「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとなるのだろうか？

なお、以前から言っているが、なぜ３）についての研究が、いままで無かったのか？
そのナゾもまだ解けない
（不成立？）

まあ、年末なので、ゆっくりやりましょう
１）の証明と対比して読まないといけないと思うので
（そうしないと、証明にギャップがあっても気付かないだろうね、おれの頭じゃ（＾＾）

以上
609 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 00:17:11.07 ID:5+kOkN0j.net]: >>546
> Q' は閉集合ではないですか？
> もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]－Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから
もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが
閉でなくても開とは限りませんし開でな�
610 名前：ｭても閉とは言えませんよ (0,1]のような単純な例Qのような稠密な例いろいろです []: [ここ壊れてます]
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 00:26:12.28 ID:BhzQ/YUm.net]: >>552
＞結局は、稠密にR中に分散されている場合は、
＞「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾

ぜんぜん戻らない。

例えば、全ての有理数に適当に番号をつけて q_1, q_2, q_3, … と表しておく。また、カントール集合を C としておく。
F_i：＝ C ＋ q_i (i≧1)　と置く。ただし、C ＋ q_i は、C を q_i だけ平行移動した集合を表すものとする。
このとき、各 F_i は非可算無限集合である。また、各 F_i は内点を持たない閉集合である。ここで、
A＝∪_i F_i　と置くと、この A は R の中に稠密に分布することが分かる。さらに、

「 A ⊂ ∪_i F_i ,　各 F_i は内点を持たない閉集合」

という状況が(明らかに)成り立っている。従って、

(1)「 A は R の中に稠密に分布し、なおかつ、A は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」

という状況が成り立っている。すると、スレ主の主張によれば、この A は「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で
被覆できることになるが、実際にはそれは不可能である。なぜなら、もしそれが可能だったとすると、
別の可算無限個の F ' _i が存在して、

・各 F ' _i は一元集合である
・ A ⊂ ∪_i F ' _i が成り立つ

という状況が成り立つことになるが、∪_i F ' _i は高々可算無限集合であり、一方で A は非可算無限集合であるから、
A ⊂ ∪_i F ' _i という包含は矛盾している。よって、この A の場合は、(1)が成り立っているにも関わらず、
A を「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で被覆することは不可能である。
612 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 00:31:34.36 ID:5+kOkN0j.net]: >>553
そもそも濃度とは関係ない定義なのですよ
ただし可算なら条件の成立は自明というだけのことです
あと
楽に証明できればそれに越したことはないので
自明の場合をことさらに分別する必要はありません
613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 02:02:59.93 ID:yKt8KVjU.net]: ＞もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが
それがわかってないってもう壊滅的レベルだな
614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 10:34:54.09 ID:033xN+6V.net]: おいスレ主、きちんとレスをしろよ
他人の発言をでっちあげたのかオマエ？

549 １３２人目の素数さん sage 2017/12/25(月) 21:34:18.06 ID:U1NU7yFp
>>548
＞Q全体では、開集合だと言われましたね？

意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。
615 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 11:48:11.80 ID:oeOow6Ma.net]: >>555
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
レスありがとう

開でなければ閉と誤解してましたね（＾＾
これ>>552ですね
616 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 11:51:57.60 ID:oeOow6Ma.net]: >>557
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
レスありがとう

ちょっと質問して良いですか？

（>>303より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”

１．ここで場合分けをする
　１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である
　２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
　３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない

つづく
617 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 11:58:51.44 ID:oeOow6Ma.net]: >>561 つづき

２．で、「系1.8 有理数の点で不連続、無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）
　（その証明（>>513）より）
「定理1.7 のBf について,
　略
　(1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である.
　略
　f は(a, b) の上で連続である (2)
　略
　(2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」

　この証明中で、そもそも、有理数の点 x ∈ Qは、Rで稠密であるから、”f は(a, b) の上で連続である”の不成立は、当然（リプシッツ連続も含め）（∵稠密な有理点で不連続ゆえ）
　なので、定理1.7による必要もなく、もともとこれ（”連続である(a, b)が取れない”）は自明。

　そして、この背理法による論法もおかしい。
　例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
　この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れる�
618 名前：ﾆすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい） ３．で、要は、定理1.7と系1.8とにおいて、”dense（稠密）”という意識が、あまりに希薄になってしまっているように思うのですが・・？ 如何ですかね？ 以上 []: [ここ壊れてます]
619 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 12:28:32.91 ID:bh2BICch.net]: >>562
もともと
620 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 12:39:46.63 ID:bh2BICch.net]: もともと取れないからこそ背理法が効くわけです
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続→矛盾→可算集合の補集合で微分可能ではない
という流れですよ
ある開区間で連続以降の論証に持ち込むのに

可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続

の論証が最も重要です
621 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 12:55:35.93 ID:bh2BICch.net]: >>562
> 　例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
> 　この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい）
その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されるということしか言えませんよ
622 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 12:57:59.52 ID:bh2BICch.net]: 許されるは変でした
許されないとは言えない
ですか
623 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 13:49:33.95 ID:oeOow6Ma.net]: >>564
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
早速のレスありがとう（＾＾

>可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続

ここを詳しく書くと
A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾

というわけですね

だが、命題「B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続だが）かつ稠密であっても））ある開区間で連続」で、

キモは、”例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続）かつ稠密であっても”ってところが、証明できちんと言えているかどうかですよね

そういう目で、証明を見て行かないと、すら～と流してしまうと、ギャップがあっても見えない

「ぷふ」さんの目で見て、そこはどうなんですかね？
624 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 13:51:56.73 ID:oeOow6Ma.net]: >>565-566
>その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されないとは言えないということしか言えませんよ

いや、もちろん連続関数です。

”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能”
　↓
では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？

例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？

（なんで、だれもいままで気づかなかった？本当に”構成不能”が成り立っている？新定理？どう思いますか？）
625 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 17:53:13.99 ID:O+kvrrVD.net]: >>568
（なんで、だれもいままで気づかなかった？本当に”構成不能”が成り立っている？新定理？どう思いますか？）

おーい！！
スレ主が迷走してるぞ。誰か黄色い救急車を呼んでやってくれ！！
626 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 17:53:30.15 ID:EtXFZwYa.net]: 英語で数学ど突き漫才
627 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 19:13:34.92 ID:84+rbTu3.net]: >>567
>>可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
>
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
Qで不連続は不要です
（ある条件）とは？
628 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 19:20:36.30 ID:84+rbTu3.net]: >>568
>”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能”
>　↓
>では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？
>
>例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？
無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ところでリプシッツ不連続とは？
629 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 19:43:29.01 ID:yKt8KVjU.net]: スレ主は知恵遅れ
但し悪知恵だけは人並み以上に発達している
630 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 19:47:04.40 ID:IBTJ7HPw.net]: >>571
黄金の救急車ですか？（＾＾
ご苦労さまです（＾＾

>Qで不連続は不要です

同意です
なお、”不連続”は、もともとは、>>562の「系1.8 有理数の点で不連続、無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）に由来しますよ

>（ある条件）とは？

系1.8の証明のキーになる定理で
>>561の定理1.7 (422 に書いた定理)より
”f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”
が条件です。

なお、定理1.7の結論命題は、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」（>>561）です。

（なお、この定理1.7 については、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです）
631 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 19:49:19.10 ID:IBTJ7HPw.net]: >>572

>
632 名前：無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます ええ、その通りです。なお>>526 の http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より） Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007 に、そのような記述があることは、過去なんども紹介しています >ところでリプシッツ不連続とは？ 上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ } に対する補集合 R－Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }が、”リプシッツ連続”であること（これの補集合）に対する呼称です []: [ここ壊れてます]
633 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 19:55:00.31 ID:84+rbTu3.net]: >>574
ならば
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
ではなくて
A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
ですよ
その条件はAによって満たされています
634 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 20:02:52.40 ID:84+rbTu3.net]: >>575
>上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
>
>に対する補集合 R－Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
つまり
xにおいて``リプシッツ不連続''とは
limsup[y→x] |(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞
ということですか
ならば
無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
635 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 20:14:55.29 ID:IBTJ7HPw.net]: >>576
>A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続

えーと、可算集合を本来の目的である有理数Qに取ります。有理数Qの稠密性から、ある開区間（a,b）中に必ず、有理数が存在します。
いま、仮定として、有理数で不連続な関数を考えます。ですので、ある開区間（a,b）で連続は言えません

が、無理数のいたるところで、微分可能な関数は可能です
（しかし、無理数の全てで微分可能な関数は、できない。これらは、>>575のURLの通りです。）
636 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 20:15:47.76 ID:IBTJ7HPw.net]: >>577
>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ

なるほど
それは興味深いですね

出典がありますか？　あれば読んでみたい
おっと、このスレには書かないで下さい。

このスレでアスキー文字制限で書かれた数学の証明は、
読みにくくてしかたないのでね（＾＾
637 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 20:17:19.39 ID:IBTJ7HPw.net]: >>579 訂正

おっと、このスレには書かないで下さい。
　↓
おっと、このスレに直に証明は書かないで下さい。
638 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 20:23:06.49 ID:IBTJ7HPw.net]: >>579-580 補足

いまの定理の証明も、無理を言って、PDFにしてもらって、ダウンロードで読めるようにしてもらいました（下記URL）
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>513）
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 20:25:26.12 ID:BhzQ/YUm.net]: これは俺の方から書くと横レスになってしまうが、一応レスしておく。

>>561
＞１．ここで場合分けをする
＞１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である

よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは

「 f は(a,b)上の　全　体　で　リプシッツ連続である」

ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない。
ただし、「 Bfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件からは、

「 f は(a,b)内の　あ　る　小　さ　な　部　分　区　間　の　上　で　リプシッツ連続である」

ということが、例の定理の「開区間版」を考えることにより成り立つので、結局は例の定理の結論が導けることにはなる。
ただし、この論法では「例の定理の開区間版」を経由しなければならないので、実質的には例の定理を丸ごと最初から
証明し直すのと同じことになってしまう。すなわち、(1)の手順では、何も証明が始まってないことになる。つまり、

「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」

というスレ主の発言は大間違いである。

[続く]
640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 20:34:25.02 ID:BhzQ/YUm.net]: [続き]

＞２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
＞３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない

ここは全てが間違っていて、理屈が滅茶苦茶である。
スレ主の(2),(3)の理屈を成り立たせるためには、例の定理の結論が

「どこにもBfを満たす区間(a, b)は取れない」

という結論になっていなければならない。もしこうなっていたら、(2)の場合は、
スレ主の言うように自明であり、証明の必要が無い。しかし、実際には、例の定理の結論は

「 f はある(a, b)の上でリプシッツ連続である」

という結論なのだから、「(2)の場合は証明の必要が無い」などというスレ主の理屈は全く成り立っておらず、
何かを致命的に勘違いしている。もしかしたら、スレ主は次のような勘違いをしているのかもしれない。

「 (2)の場合、例の定理と組み合わせると、"そのような f は存在しない" ことになるので、
　存在しない f を考えるのは無意味なことであり、ゆえに、この(2)は証明の必要がない。」

これの何が勘違いなのかは
641 名前：明白である。(2)の議論はそもそも、例の定理を「証明する」という前提での議論であるのに、 そこで「例の定理と組み合わせると」などと言って例の定理を適用してしまうなら、 「例の定理を証明するという前提の議論で、例の定理を適用する」 という循環論法に陥っていることになり、これでは何がしたいのか意味不明なのだ。 []: [ここ壊れてます]
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 20:37:45.80 ID:BhzQ/YUm.net]: 結局、ここでのスレ主の勘違いを簡潔に述べると、次のようになる。

(1)での勘違い：
「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは、例の定理の結論は導けず、
結局は例の定理を最初から丸ごと証明しなければならないような事態に陥るのに、
「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」などと勘違いした。

(2)での勘違い：
スレ主は例の定理の結論が何なのかを全く把握せずに、勝手にスレ主自身の手で
場合分けした挙句に、その場合分けによって導かれる結論を

「もともとの例の定理の結論である」

と勝手に勘違いしてしまい、

「ゆえに、この場合は証明の必要がない」

などとトンチンカンな間違いに陥った。もしくは、無意識のうちに
例の定理そのものを適用してしまうという循環論法に陥ったがゆえに、

「この場合は証明の必要がない」

などとトンチンカンな間違いに陥った。
643 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 20:37:56.49 ID:84+rbTu3.net]: >>578
有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
どちらも正しいということです
ところで
「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから
644 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 20:39:54.53 ID:84+rbTu3.net]: >>579
ここで話題の定理の証明を読んでみてください
645 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 21:09:07.92 ID:IBTJ7HPw.net]: >>585
>>585
>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
>どちらも正しいということです

へー、どういうこと？

>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから

同意です
上記のURLにあります
646 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 21:09:27.29 ID:IBTJ7HPw.net]: >>586
>ここで話題の定理の証明を読んでみてください

それは、お断りしています（＾＾
でも、斜め読みはしました（＾＾
647 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 21:39:44.08 ID:IBTJ7HPw.net]: >>582
>よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは
>「 f は(a,b)上の　全　体　で　リプシッツ連続である」
>ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない

ああ、そうなのかい
それは、失礼した（＾＾

だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった
だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？
648 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 21:40:16.00 ID:IBTJ7HPw.net]: >>583

系1.8の証明で、
「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？

補集合R－Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R－Bfの元が取れないのか？
649 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 21:48:04.92 ID:O+kvrrVD.net]: ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
650 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 21:51:02.94 ID:84+rbTu3.net]: >>588
こう書くべきでしたか？

件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
651 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 21:54:27.76 ID:84+rbTu3.net]: >>587
>>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
>>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
>>どちらも正しいということです
>
>へー、どういうこと？
どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです

>>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
>>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
>>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから
>
>同意です
>上記のURLにあります
つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 22:00:10.63 ID:BhzQ/YUm.net]: >>589
＞だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった
＞だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？

論理が滅茶苦茶。スレ主が>>561で主張していることは、あくまでも

「例の定理は証明の必要がない自明な定理だ」

というものである。俺はその主張に対して反論しているのである。
もし系1.8と絡めて「証明の必要がない自明な定理だ」という主張をしたいのであれば、
――――――――――――――――――――――――――
弱い定理：
f：R→R は、R－B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上で連続である。
――――――――――――――――――――――――――
という弱い定理を考えて、

「この "弱い定理" に関してなら、これは証明の必要がない自明な定理だ」

と主張するのが正しい手順である。

そして、スレ主の>>561の発言を "弱い定理" に差し替えて検証し直してみると、
スレ主の(1),(2),(3)のうち
653 名前：、(1)はスレ主の目論見通り、正しいことを言っていることになる。 しかし、(2),(3)が依然として滅茶苦茶であるから、結局、"弱い定理" に差し替えても もスレ主の>>561の主張は間違っていることになる。 []: [ここ壊れてます]
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 22:10:18.09 ID:BhzQ/YUm.net]: >>590
＞系1.8の証明で、
＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
＞
＞補集合R－Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R－Bfの元が取れないのか？

取れるよ。R－Bf がR中で稠密である場合は、(a, b)の中に、R－Bf の元が取れるよ。
で？その論法を使うことによって、一体どうやって

「 f はある(a, b)の上でリプシッツ連続である」

という結論を導くのだね？>>561におけるスレ主の最終的な目標は、

「 (2)の場合は自明なので証明の必要がない」

という主張に持っていくことだろ？より丁寧に書けば、ここでのスレ主の最終的な目標は、

「 (2)の場合は、例の定理の結論が自明に従うので、このケースは証明の必要がない」

という主張に持っていくことだろ？そのためには、(2)を使うことで

「 f はある(a, b)の上でリプシッツ連続である」

という結論が自明に導けなくてはならないだろ？
それで、一体どうやって、(2)からこの結論を自明に導くのだね？

スレ主は(2)から一体何を「結論」しようとしているのだね？
スレ主は何かを盛大に勘違いしまくっているぞ？
655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 22:47:45.59 ID:BhzQ/YUm.net]: >>590
＞系1.8の証明で、
＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
＞
＞補集合R－Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R－Bfの元が取れないのか？

もしかして、スレ主はこういうことが言いたいのか？
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)：稠密の場合は、どんな開区間(a,b)の中にも R－B_f の元が紛れ込んでしまうが、一方で例の定理によれば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続なので矛盾する。よって、このケースはそもそも起こらないので考えなくてよい。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

もし、このような趣旨の発言をしているつもりならば、
それは>>583の後半で指摘したことと全く同じことであり、これでは何も言えてないぞ？

スレ主は、例の定理が自明であることを実証しようとしているのに、
その最中に例の定理そのものを適用してしまったら循環論法だぞ？
別の言い方をすると、上記の２行で言っていることは

「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」

というアホな発言なんだぞ？
スレ主はそれで何を言ったつもりになってるんだ？
656 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 23:24:09.60 ID:IBTJ7HPw.net]: >>592
>こう書くべきでしたか？

いいえ

>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ

それは証明を読まずとも分る
問題は、定理1.7 (422 に書いた定理)の数学的な意味を見極めて、それが数学的に意味があると分った場合にのみ証明を読むと。いま、途中です。そう焦らないで（＾＾
なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです

ところで、貴方は博識みたいだから、聞くが
定理1.7 (422 に書いた定理)か、あるいは類似の定理でも良いが、どこか教科書か論文にありませんかね？
あれば、それを見てみたいのだが・・
657 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 23:25:21.75 ID:IBTJ7HPw.net]: >>593
>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです

どこかに出典がありそうですね。
よければ、出典を教えて下さい
（ε近傍の話かな？）

>つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね

そうでしょうね
658 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/26(火) 23:26:09.73 ID:IBTJ7HPw.net]: >>596
>スレ主はそれで何を言ったつもりになってるんだ？

単純に場合分けをしただけだよ（>>561を微修正）
　１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
　２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ
659 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 23:27:26.00 ID:RoioNB9e.net]: >>598
>>>593
>>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
>どこかに出典がありそうですね。
？
660 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 23:28:11.53 ID:yKt8KVjU.net]: ＞というアホな発言なんだぞ？
アホなスレ主の発言は当然アホです
661 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 23:33:13.35 ID:yKt8KVjU.net]: ＞「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
それにしても、如何にもスレ主らしい発言で微笑ましいな
662 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/26(火) 23:37:52.17 ID:RoioNB9e.net]: >>597
>>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
>
>それは証明を読まずとも分る
読まずに分かる理由がありません
あなたは
>>579
>>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
>
>なるほど
>それは興味深いですね
>
>出典がありますか？　あれば読んでみたい
と書いたではありませんか
663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/26(火) 23:44:06.43 ID:BhzQ/YUm.net]: >>597
＞なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです

繰り返すが、その>>561は何の批判にもなってないと既に指摘している。
お前がそこで言っていることは循環論法である。特に(2)が壊滅的である。
お前が>>561で言っていることは

「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」

というアホな発言である。これでは何の批判にもなってない。

>>599
＞単純に場合分けをしただけだよ（>>561を微修正）
＞１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
＞２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
＞それだけ

で？そのあとの最終的な結論は？

「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」

ということが言いたいんだろ？それがお前の、このレスにおける最終的な結論だろ？

だが、(2)の場合はどうやって「自明だ」という状況まで持っていくつもりなんだ？
持っていけないだろ？何度も指摘したが、お前の勘違いだろ？
勘違いした部分は「勘違いでした」と公言しろよ。

「 >>561 は何の批判にもなってません�
664 名前：ﾅした」 と公言しろよ。 []: [ここ壊れてます]
665 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 00:20:21.68 ID:iglE7lrj.net]: つまりスレ主は「自明」という言葉の用例を説明したかったと、そういう訳ですな？
666 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:13:01.58 ID:JqNELMW3.net]: >>603
>>>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
>>それは証明を読まずとも分る
>読まずに分かる理由がありません

定理が正しいとは言っていない。
どういう結論を導いているのかは、命題の部分を読めば分るよ
667 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:13:19.94 ID:JqNELMW3.net]: >>604
>で？そのあとの最終的な結論は？

単純に場合分けをしただけだよ（>>561を微修正）
　１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
　２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ
668 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:20:51.76 ID:JqNELMW3.net]: >>607
（補足）
１）の場合
　lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
　区間(a, b)での、｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
　｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける
　区間(a, b)で、リプシッツ連続である

以上
669 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 07:22:52.70 ID:ipSdYKfI.net]: >>606
興味深い結果であると思っているのに証明は読まないのですね
670 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:33:28.07 ID:JqNELMW3.net]: >>608 訂正

　区間(a, b)での、｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
　｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける
　　　↓
　区間(a, b)での、lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
　lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける

かな（＾＾
671 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 07:35:45.45 ID:JqNELMW3.net]: >>609
興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ
672 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 08:18:09.34 ID:iglE7lrj.net]: とことん権威主義のスレ主
673 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 19:17:28.64 ID:1BgoCI8d.net]: >>612
残念ながらその通りのようです
ね
674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/27(水) 20:28:08.95 ID:hLkm2n+q.net]: >>607
「場合分けしただけ」というのが最終的な結論なのであれば、

「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」

という当初の主張は撤回するということだな？
だったらそれでいい。場合分けすること自体には別に間違いもクソもないからな。
675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/27(水) 20:30:45.64 ID:hLkm2n+q.net]: >>608,>>610
＞１）の場合
＞lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
＞区間(a, b)での、｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
＞｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける
＞区間(a, b)で、リプシッツ連続である

息をするように間違えるゴミクズ。もしそのような M が取れるなら、
確かに f は(a,b)上でリプシッツ連続となるが、既に述べたように、

「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a,b)が存在する」

という条件からは、

「 f は(a,b)上の　全　体　で　リプシッツ連続である」

という条件は導けないので、お前のレスは自動的に間違っており、
そのような M は実際には必ずしも取れないことになる。以下で具体例を挙げる。

f(x)＝ 0 (x＝0),　x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0)

と置くと、この f：R → R は各点で微分可能なので、特に B_f＝R が成り立つ。特に

(－1, 1) ⊂ B_f

が成り立つ。しかし、Af(x) ≦ M (x∈(－1, 1)) が成り立つような定数 M は
取れないことがすぐに分かる。さらに、

「 f は(－1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」

という条件も成り立たないことが確認できる。本当にゴミクズだなお前は。
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/27(水) 20:34:57.60 ID:hLkm2n+q.net]: >>611
＞興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ

あほくさ。未だにこのような詭弁を繰り返している。

例の定理の真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身が

「この定理には反例がある」
「この定理は別の定理からすぐに従う」
「この定理は自明なことしか言ってない」

などと真偽について口出しし続けているのはダブルスタンダードだろ。

真偽はプロに委ねるんじゃなかったのか？

真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身はもう　黙　れ　よ　ゴミクズ。
677 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 20:48:54.37 ID:iglE7lrj.net]: スレ主をゴミ屑扱いしたら
ゴミ屑に失礼だと思います
678 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 21:03:28.57 ID:yXAHgbHQ.net]: 定理の真偽は神託を行い神に委ねるべき
679 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 21:45:00.18 ID:JqNELMW3.net]: 新スレ立てた
このスレはもうすぐ512KBオーバーになるので、そのt後に行きましょう（＾＾

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/
680 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 22:09:20.11 ID:iglE7lrj.net]: まだバカ自慢したいの？
681 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 23:17:07.10 ID:JqNELMW3.net]: >>614
場合分けは、普通は、証明のためだよ

自得するのを、待ったんだが・・（＾＾

貴方の証明を斜め読み�
682 名前：ｵたが、稠密で無い場合、つまり、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提でしか、 証明していないように見えるが、どう？ []: [ここ壊れてます]
683 名前：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/12/27(水) 23:20:04.92 ID:JqNELMW3.net]: >>615
ふーん、貴方は力があるね（＾＾
だが、それ自分で”反例”を見つけたことになっていないか？

あなたは、「f(x)＝ 0 (x＝0),　x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0)」（これを”反例関数”と名付ける）が、(－1, 1) ⊂ B_fだが、”「 f は(－1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」という条件も成り立たない”という
おそらく、x＝0の近傍でだね

だが、定理の前提の関数fは自由度が高いので（不連続も可だし）、あなたの定理でいう区間(a, b)に、”反例関数”のx＝0の近傍を切り取って来て、貼り付ければ、区間(a, b)はリプシッツ連続でなくなるよ。（この貼付操作は、全ての区間に適用できるよ）
684 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/27(水) 23:33:13.64 ID:hLkm2n+q.net]: >>621-622
返答は次のスレッドで行う。
685 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/28(木) 07:07:12.04 ID:SyQ5vVJB.net]: ♨
686 名前：１３２人目の素数さん [2017/12/29(金) 22:24:58.51 ID:NkuzGyy/.net]: 感動する数学って本持ってる人このスレでID付きでうpしてくれ
今日中なら大丈夫

【年末年始暇な奴来い】安価で指定されたものを全力で探してうｐするスレ
hebi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1514548120/
687 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]]: ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef