- 1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ]
- さぁ、好きなだけ語れ。
シロート厳禁、質問歓迎！
前スレ
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
- 231 名前：208 [2005/12/07(水) 14:53:31 ]
- 補題
A を環、M を A-加群とする。
f_1, ..., f_n を A の元とし、
Spec(A) = ∪D(f_i) とする。
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限生成なら M も A-加群として
有限生成である。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。m は 各 i で共通としてよい。
{x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で生成される M の
部分加群を N とする。
x ∈ M に対して、x/1 ∈ M_(f_i) より、
((f_i)^t)x ∈ N となる整数 t > 0 がある。
t は 各 i で共通としてよい。
D(f_i) = D((f_i)^t) だから
Spec(A) = ∪D((f_i)^t) = D((f_1)^t, ..., (f_n)^t) となる。
よって、(f_1)^t, ..., (f_n)^t が生成するイデアルは A となる。
よって、1 = Σg_i(f_i)^t となる元 g_1, ..., g_n がある。
よって、x = Σg_i((f_i)^t)x ∈ N となる。
x は任意だから、M = N である。
証明終
- 232 名前：208 [2005/12/07(水) 15:03:14 ]
- フフン
- 233 名前：208 [2005/12/07(水) 15:04:04 ]
- はっきり書くよ。
ノーベル賞をとった科学者で、「故人」になった人で、
天国にも地獄にも行けず、「人間に転生」するしかなくなった人は、
全員「日本人の科学者」に「輪廻転生」しています。
だから、日本ならば、ノーベル賞を１００個くらい、とれなければ「おかしい」。
- 234 名前：208 [2005/12/07(水) 15:27:19 ]
- 補題
A を環、M を A-加群とする。
f_1, ..., f_n を A の元とし、
Spec(A) = ∪D(f_i) とする。
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限表示を持てば M も A-加群として
有限表示を持つ。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。
>>231の証明より M は {x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で
生成される。
L を {e_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} を基底とする
A-自由加群とする。射 φ: L → M を、φ(e_ij) = x_ij で定義する。
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → L → M → 0
より、各 i に対して完全列
0 → K_(f_i) → L_(f_i) → M_(f_i) → 0
が得られる。
L_(f_i) は A_(f_i)-加群として自由であるから、>>179 より K_(f_i) は
A_(f_i)-加群として有限生成である。
よって、>>231 より K は A-加群として有限生成である。
証明終
- 235 名前：208 [2005/12/07(水) 15:47:32 ]
- 命題
A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。
A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m-加群として自由なら
M は射影的である。
証明
P → Q → 0 を A-加群の完全列とする。
Hom(M, P) → Hom(M, Q) の余核を T とする。
よって、
Hom(M, P) → Hom(M, Q) → T → 0
は完全である。
m を A の任意の極大イデアルとすると、
Hom(M, P)_m → Hom(M, Q)_m → T_m → 0
も完全である。
>>223 より
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) → T_m → 0
は完全である。
一方、M_m は自由であるからもちろん射影的なので、
完全列 P_m → Q_m → 0 より、
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) は全射である。
よって、T_m = 0 である。
m は任意の極大イデアルだから、>>224 より T = 0 となる。
証明終
- 236 名前：208 [2005/12/07(水) 16:07:11 ]
- 命題
A を環、M を A-加群とする。
A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し
M_f は A_f-加群として自由であるとする。
このとき、M は有限生成射影加群である。
証明
>>230 より Spec(A) は準コンパクトだから、
A の元 f_1, ..., f_n があり、Spec(A) = ∪D(f_i) となり、
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として自由となる。
よって、>>234 より M は有限表示を持つ。
A の各極大イデアル m に対して、m ∈ D(f_i) とすれば、
mA_(f_i) は A_(f_i) の極大イデアルであり、
M_m は M_(f_i) の mA_(f_i) による局所化とみなせる。
よって、M_m は A_m-加群として自由である。
よって >>235 より M は射影的である。
証明終
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/07(水) 16:15:44 ]
- nikuudaaa!!!! sanyushiii!!!!!
okumimooooo!!!! sanyushiiii!!!!!!
omaira suugaku bakari yattorande
yasukuni sampai shirooooooo!!!!!!!!!
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/07(水) 16:20:58 ]
- >>237
靖国神社にはあえなく戦死した数学崩れの御霊も祀られているが。
- 239 名前：208 [2005/12/07(水) 16:28:36 ]
- >>236 の証明はBourbakiとは違う。
Bourbakiの証明が思い出せないんで自分で考えた。
もっとも、昔、何かで読んだ証明が潜在意識にあったのかもしれん。
だけど、それが何か思い出せない。
- 240 名前：208 [2005/12/07(水) 17:15:57 ]
- 定義
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
F~ を O_X-加群の層とする。X の各点 p に対してその近傍 U が
存在して F~|U が (O_X|U)-係数の階数有限の自由加群の層
になるとき、F~ を階数有限の局所自由層という。
(F~)_p の (O_X)_p 上の自由加群としての階数を rank(F~)_p と書く。
関数 p → rank(F~)_p は X 上の局所定数関数である。
よって、X の各連結成分上では定数になる。
rank(F~)_p が X のすべての点で一定値 n のとき F~ を階数 n の
局所自由層という。
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/07(水) 18:03:00 ]
- ヴェイユ全集もってないの？
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/07(水) 22:26:02 ]
- 持ってるわけないじゃん！
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/08(木) 06:20:47 ]
- このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
- 244 名前：208 [2005/12/08(木) 09:40:21 ]
- >>243
勝手に俺に成り代わらないでくれ。
- 245 名前：208 [2005/12/08(木) 10:01:28 ]
- X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
X 上の階数 n の局所自由層 F~ は (U_i) を X の開被覆としたとき
(O_X|U_i)^n を張り合わせたものとみなせる。
よって、このような層の同型類は(集合論における通常の意味の)
集合となる。これに反して、O_X-加群の任意の層の同型類は集合には
ならない。これを見るには、例えば、T を任意の集合として、
O_X の直和 (O_X)^T を考えればよい。 S を別の集合で
その濃度が T の濃度と異なるものとする。すると、(O_X)^T と
(O_X)^S は同型ではないし(何故か？)、濃度の全体は集合ではない。
- 246 名前：208 [2005/12/08(木) 10:35:12 ]
- 定義
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
X 上の階数１の局所自由層を可逆層という。
- 247 名前：208 [2005/12/08(木) 10:35:41 ]
- 命題
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
(L_1)~, (L_2)~ を X 上の可逆層とすると、そのテンソル積
(L_1)~(x)(L_2)~ も可逆層である。
証明
問題は局所的なので L_1 = O_X, L_2 = O_X と仮定してよい。
この場合は、(L_1)~(x)(L_2)~ = O_X となって明らか。
証明終
- 248 名前：208 [2005/12/08(木) 10:44:08 ]
- 命題
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
L~ を X 上の可逆層とすると、その双対 Hom~(L~, O_X)
も可逆層である。ここで、Hom~ は花文字のHomを表す。
つまり、Γ(Hom~(L~, O_X), U) = Hom(L~|U, O_X|U) である。
証明
問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。
この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。
証明終
- 249 名前：208 [2005/12/08(木) 10:59:53 ]
- 命題
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
L~ を O_X-加群の層とすると、
標準射 φ: Hom~(L~, O_X)(x)L~ → O_X が
u ∈ Γ(Hom~(L~, O_X), U), t ∈ Γ(L~, U) に
u(U)(t) ∈ Γ(O_X, U) を対応させることにより得られる。
L~ が可逆層なら、この標準射は同型である。
証明
問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。
この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。
証明終
- 250 名前：208 [2005/12/08(木) 11:07:58 ]
- 定義
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
>>245 より X 上の可逆層の同型類は集合となる。
>>247, >>248, >>249 より、この集合は群となる。
この群を X の Picard 群と呼び Pic(X) と書く。
- 251 名前：208 [2005/12/08(木) 11:38:20 ]
- 命題
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。
M~ を M から得られるO_X-準連接層とすれば、
M~ は階数有限の局所自由層である。
証明
>>240 の定義と>>212 より明らか。
- 252 名前：208 [2005/12/08(木) 11:59:06 ]
- 命題
A を環、X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。
F~ を X 上の階数有限の局所自由層とする。
Γ(F~, X) = M は A 上の有限生成射影加群であり、
F~ は M~ と標準的に同型になる。
証明
f ∈ A に対して Γ(F~, D(f)) は A_f-加群である。
M → Γ(F~, D(f)) を F~ の制限射とすれば、
これは、M_f → Γ(F~, D(f)) を誘導する(M_f = M(x)(A_f) に注意)。
よって、標準射 M~ → F~ が得られる。
F~ は明らかに準連接だから、この標準射は同型である
(これはスキーム論の基本定理の１つ)。
よって、>>236 より M は有限生成射影加群である。
証明終
- 253 名前：208 [2005/12/08(木) 12:15:51 ]
- >>240 を可換代数の言葉で述べると、次の定義になる。
定義
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
>>208 より、A の各素イデアル p に対して、
M_p は A_p-加群として自由である。
M_p の A_p 上の自由加群としての階数を rank(M)_p と書く。
>>212 より、関数 p → rank(M)_p は Spec(A) 上の局所定数関数である。
よって、Spec(A) の各連結成分上では定数になる。
rank(M)_p が Spec(A) のすべての点で一定値 n のとき M を階数 n の
射影加群という。
- 254 名前：208 [2005/12/08(木) 13:49:48 ]
- 定義
A を環とする。Spec(A) の Picard群(>>250) を Pic(A) と書く。
- 255 名前：208 [2005/12/08(木) 13:59:13 ]
- 命題
A を環とする。A 上の階数１の射影加群の同型類と
Spec(A) 上の可逆層の同型類は１対１に対応する。
証明
>>212 と >>252 より明らか。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/08(木) 14:33:24 ]
- ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/08(木) 16:04:02 ]
- >>256
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
940 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:18:48
で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
69 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/02(金) 19:45:18
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> 荒らしども！
> ありがたく読ませてもらえ！
> まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/08(木) 16:21:06 ]
- ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
図星だったくせに
- 259 名前：208 mailto:sage [2005/12/08(木) 16:29:08 ]
-
5 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/22(火) 16:36:48
ひとまず礼を言っておこう。有難う。
ただ、せっかく上げてもらって何だけど、このシリーズは類体論まで
いく予定なんで一桁じゃ済まないだろうから、次からはローマ数字
じゃなく普通の数字で「代数的整数論３」などの様にお願いします。
ここは、俺様208が降臨した伝説のスレとして語り継がれる場所だ。
貴様のようなクズが書き込んでいいと思っているのか？
悔しかったら、俺様よりもいいネタを提供しろ、蛆虫が！
- 260 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 16:38:39 ]
- ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
図星だったくせに
ヴェイユ全集もってないくせに
- 261 名前：208 [2005/12/08(木) 16:40:36 ]
- 環 A 上の階数１の射影加群の同型類は、テンソル積
により可換群になることは、>>250 と >>255 より明らかだが
スキーム論を知らない人のために直接の証明を行う。
命題
環 A 上の有限生成射影加群 P, Q のテンソル積
P(x)Q は有限生成射影加群である。
証明
p を A の素イデアルとする。
>>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として自由である。
同様に、g ∈ A - p が存在し Q_g は A_g-加群として自由である。
g/1 を A_f の元と考えて局所化 (A_f)_(g/1) をとる。
(A_f)_(g/1) は A_(fg) に標準的に同型である。
同様に、(P_f)_(g/1) は P_(fg) に標準的に同型である。
同様に、(Q_g)_(f/1) は Q_(fg) に標準的に同型である。
P_(fg), Q_(fg) は、ともに自由加群の局所化だから
A_(fg)-加群として自由である。
よって、初めから f = g と仮定してよい。
(P(x)Q)_f = (P_f)(x)(Q_f) であり、(P_f)(x)(Q_f) は
A_f-加群として自由である。
よって、>>236 より P(x)Q は有限生成射影加群である。
証明終
- 262 名前：208 [2005/12/08(木) 16:54:47 ]
- 命題
環 A 上の階数１の射影加群 P, Q のテンソル積
P(x)Q は階数１の射影加群加群である。
証明
>>261 とその証明より明らか。
- 263 名前：208 [2005/12/08(木) 17:05:58 ]
- 命題
環 A 上の階数１の射影加群 P に対して
Hom(P, A) も階数１の射影加群である。
証明
p を A の素イデアルとする。
>>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として A_f と
同型である。P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。
よって、>>223 より Hom(P, A)_f = Hom(P_f, A_f) となる。
Hom(P_f, A_f) は Hom(A_f, A_f) = A_f に同型だから、
>>236 より Hom(P, A) は階数１の射影加群である。
証明終
- 264 名前：208 [2005/12/08(木) 17:41:06 ]
- 補題
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が単射なら、φも単射である。
証明
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → M → N
より、完全列
0 → K_m → M_m → N_m
が得られる。
M_m → N_m は単射だから K_m = 0 となる。
よって、>>224 より K = 0 である。
証明終
- 265 名前：208 [2005/12/08(木) 17:42:19 ]
- 補題
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が全射なら、φも全射である。
証明
>>264 と同様。
- 266 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 17:46:05 ]
- ヴェイユ全集もってないくせに
- 267 名前：208 [2005/12/08(木) 17:47:56 ]
- 補題
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が同型なら、φも同型である。
証明
>>264 と >>265 より。
- 268 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 17:51:56 ]
- ねえねえねえどうしてヴェイユ全集もってないの？
- 269 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 18:00:27 ]
- お金はあったでしょ
- 270 名前：208 [2005/12/08(木) 18:04:25 ]
- 命題
環 A 上の階数１の射影加群 P に対して
Hom(P, A)(x)P は A-加群として A に標準的に同型である。
証明
u ∈ Hom(P, A), x ∈ P に対して u(x) ∈ A を対応させる
ことにより、標準射 φ: Hom(P, A)(x)P → A が得られる。
よって、A_m をテンソル積することにより
φ_m: Hom(P, A)_m(x)P_m → A_m が得られる。
P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。
よって、>>223 より Hom(P, A)_m = Hom(P_m, A_m) となる。
P_m = A_m だから、φ_m は同型である。
よって、>>267 より Hom(P, A)(x)P → A は同型である。
証明終
- 271 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 18:13:34 ]
- 志村先生すき？
- 272 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 18:34:05 ]
- 五郎ちゃんって呼んで
- 273 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 21:39:14 ]
- 208の性格が悪いから、ここまで粘着されるんだろうな。
70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
72 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 11:07:12
>>70
やだ
- 274 名前：208 [2005/12/09(金) 11:35:17 ]
- 環付空間の射 f:X → Y があるとする。
Y 上の可逆層 L~ に f による引き戻し f^*(L~) を対応させる
ことにより、アーベル群の射 Pic(Y) → Pic(X) が得られる。
これにより、X → Pic(X) は環付空間の圏からアーベル群の圏への
反変関手になる。
このことを、可換環の圏において翻訳しよう。
- 275 名前：208 [2005/12/09(金) 11:52:17 ]
- 命題
A を環、 B を A-代数とする。
P を A 上の階数１の射影加群とすると、P(x)B は
B 上の階数１の射影加群である。
証明
φ: A → B を構造射とする。
>>207 より P(x)B は B-加群として射影的である。
q を B の素イデアルとし、p ∈ Spec(A) を q の逆像 φ^(-1)(q)
とする。
(P(x)B)_q = (P(x)B)(x)B_q = P(x)B_q = (P(x)A_p)(x)B_q
= (P_p)(x)B_q = A_p(x)B_q = B_q
よって、P(x)B は射影加群として階数１である。
証明終
- 276 名前：208 [2005/12/09(金) 11:56:22 ]
- >>275 よりアーベル群の射 Pic(A) → Pic(B) が得られ、
A → Pic(A) が可換環の圏からアーベル群の圏への共変関手になる
ことは明らかだろう。
- 277 名前：208 [2005/12/09(金) 15:25:51 ]
- 可換環のPicard群は、ある程度その環の複雑性を反映している。
例えば、局所環のPicard群は、>>191 より自明である。
同様に以下に示すように半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)の
Picard群も自明である。
まず、環が体の有限個の直和となる場合に、これを示す。
- 278 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 15:44:33 ]
- 示さなくともよろしい
- 279 名前：208 [2005/12/09(金) 16:10:54 ]
- 定義
A を環とする。A が極小イデアルの有限個の直和となるとき A を
(可換な)半単純環と呼ぶ。明らかにこれは、A が環として体の有限個の
直和になることと同値である。
- 280 名前：208 [2005/12/09(金) 16:30:02 ]
- 命題
A を半単純環とし、M を単純 A-加群とする(前スレの253)。
M は A の極小イデアルのひとつに同型である。
証明
A = I_1 + ... I_n を A の極小イデアルの直和とする。
x を M の 0 でない元とする。M の単純性より、M = Ax である。
よって、 M = (I_1)x + ... + (I_n)x となる。
よって、(I_k)x ≠ 0 となる k がある。
M の単純性より、M = (I_k)x である。
A-加群としての射 φ: I_k → M を φ(a) = ax により定義する。
Ker(φ) = I_k では有り得ないから、I_k の極小性より
Ker(φ) = 0 である。よって、M は I_k と同型である。
証明終
- 281 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 16:32:37 ]
- 最近めっぽう寒くなってきたね。
そんな代数幾何。
- 282 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:40:06 ]
- だからウォームアップをしてるんだろう
- 283 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:43:35 ]
- ああヴェイユ先生がみたら嘆くなあ
- 284 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:44:31 ]
- >>281
ニューカレドニアからは何時帰ってきたんだ
- 285 名前：208 [2005/12/09(金) 17:01:50 ]
- 補題
A を環とし、M を A-加群とする。
M が有限個の単純部分加群の和となるとする。
このとき、M はこれらの単純部分加群の一部または全ての直和となる。
証明
M = M_1 + ... + M_n (単なる和)で、各 M_i は単純とする。
各 M_i は相異なると仮定してよい。
M = M_1 ならこの場合は証明が終わるから、M ≠ M_1 と仮定してよい。
M_1 ∩ M_2 ≠ 0 なら M_1 = M_2 だから
M_1 ∩ M_2 = 0 である。よって M_1 + M_2 は直和である。
M = M_1 + M_2 ならこの場合は証明が終わる。
よって、M ≠ M_1 + M_2 と仮定する。
(M_1 + M_2) ∩ M_k ≠ 0 が全ての k > 2 で成立つなら、
M_k ⊂ M_1 + M_2 となり、M = M_1 + M_2 となって仮定に反する。
よって、(M_1 + M_2) ∩ M_k = 0 となる k がある。
k = 3 と仮定してよい。よって M_1 + M_2 + M_3 は直和である。
以下、これを繰り返せばよい。
証明終
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:28:26 ]
- 優拳固にする必要はなかろう
- 287 名前：208 [2005/12/09(金) 17:32:28 ]
- おまえらクズどもが荒らすのをやめるまで、しばらく書き込むのをやめるぞ。
蛆虫どもめ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:33:40 ]
- 政界も財界も官界も数学界も建築界も
どこもかしこも腐りきっている
先祖を大事にしろ？！
やす国の英霊をたてまつれ？！
馬鹿いうんじゃねえ
こんな腐った日本をつくって
それを俺たちに押しつけている連中に
なんの感謝の必要がある？
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:35:50 ]
- >しばらく書き込むのをやめるぞ。
ネタがなくなったのなら正直にいえばいいのに
しばらくどころか金輪際書かなくても
どうせ誰も惜しまない内容だよね
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:37:14 ]
- 優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:53:35 ]
- 695 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/09(金) 09:58:35
崩れだとかボスだとか公募だとか関係ないスレまで進出してきてウザイ
ここで引き取って貰えませんか？
- 292 名前：208 [2005/12/09(金) 18:00:47 ]
- 補題
A を環とし、M を A-加群とする。
M が有限個の単純部分加群の直和となるとする。
N を M の任意の部分加群とすると、N は M の直和因子となる。
証明
M = M_1 + ... + M_n (直和)で、各 M_i は単純とする。
M ≠ N と仮定してよい。
各 k で N ∩ M_k ≠ 0 なら N ∩ M_k = M_k 即ち M_k ⊂ N となって
M = N となるから、N ∩ M_k = 0 となる k がある。k_1 はこのような k
の最小値とする。N + M_(k_1) は直和である。M ≠ N + M_(k_1) なら
同様にして、(N + M_(k_1) ∩ M_(k_2) = 0 となる k_2 がある。
よって、N + M_(k_1) + M_(k_2) は直和である。
以下、これを繰り返せばよい。
証明終
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:06:30 ]
- 208復活おめ。
少なくとも俺は、このスレを楽しみにしているよ！
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:06:45 ]
- 優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:07:24 ]
- >>1
> 前スレ
> science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
前スレが見られないのですが、誰か保存していないでしょうか？
- 296 名前：208 [2005/12/09(金) 18:10:04 ]
- >>292 において N は M/(M_(k_1) + M_(k_2) + ...) に同型だから
N も、M_iの１つと同型な単純加群の直和となることが分かる。
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:12:18 ]
- ブルバキの劣化コピーか
- 298 名前：208 [2005/12/09(金) 18:12:57 ]
- >>293
復活もなにも、そもそも >>287 は俺じゃない。
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:13:55 ]
- ブルバキの劣化コピー！
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:14:53 ]
- 前スレのログきぼん
- 301 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 18:15:13 ]
- そうだおれはおれじゃない
じゃあおれはだれだ
- 302 名前：208 [2005/12/09(金) 18:17:28 ]
- 性格が悪いだけじゃないぞ。
- 303 名前：208 [2005/12/09(金) 18:19:00 ]
- 復活して脳内大学で講義する雄姿を見よ。
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:24:47 ]
- サボり龍の入れ墨した森毅が啖呵を決める「どっちでもええんちゃう」
- 305 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 18:31:36 ]
- >>304
それ、どんな龍や、ちゅうねん。ほな、さいなら〜〜。
- 306 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 18:44:09 ]
- >>298
見苦しいぞ。
そうまでして勝ちたいか！
- 307 名前：208 [2005/12/09(金) 18:47:44 ]
- パプアニューギニアにいるから暑くてかなわん。
- 308 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:00:18 ]
- 劣化コピー烈火の如く怒るブルバキ
- 309 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:03:58 ]
- 月曜までにこのスレがなくなったら驚くな。
- 310 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:05:30 ]
- なぜベストを尽くさないのか！
- 311 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 20:09:19 ]
- 俺は king だ。
king 氏ね。
- 312 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/09(金) 20:15:23 ]
- talk:>>311 お前に何が分かるというのか？
- 313 名前：208 mailto:sage [2005/12/10(土) 02:54:49 ]
- そんな事より、ちょいと聞いてくれよ。問題とあんま関係ないけどさ。
このあいだ、近所の吉野家行ったんです。吉野家。
そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで座れないんです。
で、よく見たらなんか垂れ幕下がってて、１５０円引き、とか書いてあるんです。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、１５０円引き如きで普段来てない吉野家に来てんじゃねーよ、ボケが。
１５０円だよ、１５０円。
なんか親子連れとかもいるし。一家４人で吉野家か。おめでてーな。
よーしパパ特盛頼んじゃうぞー、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、１５０円やるからその席空けろと。
吉野家ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
Ｕの字テーブルの向かいに座った奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。女子供は、すっこんでろ。
で、やっと座れたかと思ったら、隣の奴が、大盛つゆだくで、とか言ってるんです。
そこでまたぶち切れですよ。
あのな、つゆだくなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、つゆだくで、だ。
お前は本当につゆだくを食いたいのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、つゆだくって言いたいだけちゃうんかと。king 氏ね。
吉野家通の俺から言わせてもらえば今、吉野家通の間での最新流行はやっぱり、
ねぎだく、これだね。
大盛りねぎだくギョク。これが通の頼み方。
ねぎだくってのはねぎが多めに入ってる。そん代わり肉が少なめ。これ。
で、それに大盛りギョク（玉子）。これ最強。
しかしこれを頼むと次から店員にマークされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前らド素人は、牛鮭定食でも食ってなさいってこった。
- 314 名前：208 [2005/12/10(土) 03:30:28 ]
- >>313
208は下げないぞ！
偽者め！
いい加減に荒らすのをやめろ！
- 315 名前：208 [2005/12/10(土) 03:59:13 ]
- >>313
そうだ！荒らすんじゃない！この偽物め！
- 316 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 10:06:53 ]
- >>295
保存してるけど、どうやって見せたらいい？
メールは悪いけど勘弁して。
- 317 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 15:20:55 ]
- 今日はまだ現われませんか
本物も偽物も
- 318 名前：208 [2005/12/12(月) 16:09:57 ]
- >>313
なつかしいな。特盛り食いたくなったｗ
- 319 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:11:47 ]
- >>316
連投規制にひっかからないように、
この刷れに貼付ければ？
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 16:14:15 ]
- >>316
期待しています。
- 321 名前：208 [2005/12/12(月) 16:20:17 ]
- このスレに貼付けるのやめてよ。別スレ立てるとかにして
- 322 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:26:28 ]
- 今日の授業はどう？
- 323 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:28:01 ]
- バカ田大学をなめるなよ。
- 324 名前：208 [2005/12/12(月) 17:02:38 ]
- 命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
m_i は極大イデアルであり、A の極大イデアルは
これら m_1, ..., m_n のみである。
証明
A/m_i は I_i に同型だから、m_i は極大である。
J を A の極大イデアルとする。
I_i が J に含まれないとする。I_i ∩ J ≠ 0 なら
I_i の極小性から I_i ∩ J = I_i となって矛盾。
よって I_i ∩ J = 0 であり、I_i + J は直和である。
J は極大イデアルだから、 A = I_i + J となる。
j ≠ i で I_j が J に含まれないとすると、
同様に A = I_j + J となる。
A = I_j + J の両辺に I_i を掛けると I_i = (I_i)(I_j) + (I_i)J
= 0 + 0 = 0 となって矛盾。
よって、J = m_i となる。
証明終
- 325 名前：208 [2005/12/12(月) 17:10:34 ]
- 命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
>>324 より m_i は極大イデアルであるが、
A_(m_i) は I_i と環として、従って体として同型である。
証明
読者に任す。
- 326 名前：208 [2005/12/12(月) 17:16:37 ]
- A_(m_i) ってなんだっけ？
- 327 名前：208 [2005/12/12(月) 17:18:55 ]
- 命題
A を半単純環(>>279)とする。
任意の有限生成 A-加群 M は射影的である。
証明
M は有限生成だから、A 上の有限生成自由加群 L と全射 φ: L → M
が存在する。Ker(φ) = N とおけば、
0 → N → L → M → 0 は完全である。
>>292 よりこの完全列は分解する。
よって M は自由加群の直和因子となって射影的である(>>186)。
証明終
- 328 名前：208 [2005/12/12(月) 17:20:42 ]
- A_(m_i) の意味を教えてくれ
- 329 名前：208 [2005/12/12(月) 17:21:37 ]
- >>326
A の極大イデアル m_i による局所化。
俺の ID を使うなよ。
- 330 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 17:24:07 ]
- だんだん劣化してきてるなあ
- 331 名前：208 [2005/12/12(月) 17:26:45 ]
- talk:>>329 お前誰だよ？
|
 |
