代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 331 名前：208 [2005/12/12(月) 17:26:45 ] talk:>>329 お前誰だよ？ 332 名前：208 [2005/12/12(月) 17:30:44 ] >>327 >>>292 よりこの完全列は分解する。 M が有限個の単純部分加群の直和となることは >>285 より 明らかだろう。 333 名前：208 [2005/12/12(月) 17:36:29 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。 M を有限生成 A-加群とする。 M = e_1M + ... + e_nM (直和)となる。 各 e_iM は e_iM ≠ 0 なら I_i と同型な単純部分加群の直和となる。 証明 読者に任す。 334 名前：208 [2005/12/12(月) 17:41:10 ] いいかここに書き込むのは208だけだ。 335 名前：208 [2005/12/12(月) 17:42:01 ] どんどん劣化してきてるなあ 336 名前：208 [2005/12/12(月) 17:43:08 ] talk:>>335 お前に何が分かるというのか？ 337 名前：208 [2005/12/12(月) 17:49:23 ] ずんずん劣化してきてるなあ 338 名前：208 [2005/12/12(月) 17:50:27 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。 M を有限生成 A-加群とする。 m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。 >>324 より m_i は極大イデアルであり、>>325 より A_(m_i) は I_i と同型な体である。 M_(m_i) の 体 A_(m_i) 上のベクトル空間としての次元を n_i とする。 このとき、e_iM は I_i と同型な単純部分加群の n_i 個の直和と になる。 証明 >>333 を使う。詳細は読者に任す。 339 名前：208 [2005/12/12(月) 17:53:12 ] 無意味な繰り返しだなあ 340 名前：208 [2005/12/12(月) 17:57:25 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。 M は階数 n の自由加群である。 証明 >>338 より明らか。 341 名前：208 [2005/12/12(月) 18:00:24 ] えー可換なのか 342 名前：208 [2005/12/12(月) 18:01:16 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 Pic(A) = 0 である。 証明 >>340 より。 343 名前：208 [2005/12/12(月) 18:04:57 ] 可換かい。 だるいことやっとるのお。 344 名前：208 [2005/12/12(月) 18:10:30 ] もっとちゃんとしたこと可換かい。 345 名前：208 mailto:sage2008 [2005/12/12(月) 18:15:56 ] ほんまやね。 346 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 18:21:09 ] お前ら、俺にかまってほしいんだろ。 ひょっとして俺に惚れてるとかｗ 気持ち悪いな。 シッシッ、あっちいけよ、寄ってくるな。 347 名前：208 [2005/12/12(月) 18:23:35 ] こら偽者。 348 名前：208 [2005/12/12(月) 18:25:37 ] 大文字犬文字太文字 349 名前：208 [2005/12/12(月) 18:26:11 ] どれだ？ 350 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 18:29:53 ] 文字犬 351 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 19:16:03 ] >>341 >>343 予備知識として可換代数をやるって前スレでもこのスレでも 何度も言ってるだろ。それに、特に断らなければ環は可換と 仮定するとも。お前らこそ、だるいんだよ。 352 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 20:58:31 ] 　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ　l　! 　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ 　　　 　 {　r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ 　　　 　 ヽl i),ﾞ 　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ! 　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ 　　　　　　　| ヽ　 　 - 　/ 　　　 　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､ 　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿ ハッハッハ！　見ろ！ Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 22:47:37 ] >>316 横レスだがうｐローダ使うとか 354 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 00:49:52 ] >>352 あらすな、ボケェ！！！！！ 355 名前：208 [2005/12/13(火) 09:58:48 ] 命題 A を環とする。 M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。 B を A-代数としたとき、M(x)B も階数 n の射影加群である。 証明 >>207 より M(x)B は B-加群として射影的である。 φ: A → B を構造射とする。 q を B の素イデアルとし、p = φ^(-1)(q) を q の逆像とする。 (M(x)B)(x)B_q = M(x)B_q = (M(x)A_p)(x)B_q = (A_p)^n(x)B_q = (B_q)^n よって、rank(M(x)B)_q = n 証明終 356 名前：208 [2005/12/13(火) 10:01:09 ] M(x)って何？ 357 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 10:05:25 ] 答えてほしけりゃ俺のＩＤを使うな 358 名前：208 [2005/12/13(火) 10:14:15 ] 命題 A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)とする。 M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とすると、 M は自由である。 証明 A の Jacobson 根基(前スレの238)、つまり A のすべての極大イデアルの 共通集合を I とする。 B = A/I は半単純環(>>279)である。 M(x)B は >>355 より B 上の階数 n の射影加群である。 よって >>340 より M(x)B = M/IM は B 上の階数 n の自由加群である。 M は射影加群だから A-加群として平坦である。 よって、>>182 の証明と同様にすればよい。 証明終 359 名前：208 [2005/12/13(火) 10:15:19 ] 俺は自由だ 360 名前：208 [2005/12/13(火) 11:25:12 ] 環 A のPicard群 の層を使わない定義をまだしていなかった。 定義 A を環とする。A 上の階数１の射影加群の同型類はテンソル積 によりアーベル群となる(>>262, >>263, >>270)。 これを A の Picard群と呼び Pic(A) と書く。 361 名前：208 [2005/12/13(火) 11:26:01 ] 命題 半局所環の Picard群は 0 である。 証明 >>358 より明らか。 362 名前：208 [2005/12/13(火) 11:29:15 ] 定義 A を環とし、A の非零因子全体の集合を S とする。 A の S による局所化 A_S を A の全商環と呼ぶ。 363 名前：208 [2005/12/13(火) 11:39:13 ] 命題 ネーター環の全商環は半局所環である。 証明 A をネーター環とする。 Ass(A) (前スレの89) に属す素イデアルの 合併は A の非零因子全体の集合と一致する(前スレの201)。 これから明らか。 証明終 364 名前：208 [2005/12/13(火) 11:48:26 ] 環 A の全商環 B が半局所環となるとする(例えば、A がネーター環なら >>363よりそうなる)。 M を A 上の階数１の射影加群とする。 >>361 より M(x)B は B-加群として B と同型である。 一方、M は平坦だから A-加群の完全列 0 → A → B を完全列 0 → M → M(x)B に写す。 よって、M は B の A-部分加群と同型になる。 これから、Pic(A) の構造を調べるには B の A-部分加群で階数１の 射影加群となるものを調べればよいことが分かる。 365 名前：208 [2005/12/13(火) 12:18:30 ] >>364 だから M(x) って何だよ？ 366 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 14:22:47 ] 川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！ 川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！ 川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！ 367 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 14:44:09 ] >>351 かわゆいね。そしてだるいね。 >>365 それはもっともな疑問だ208が勝手に工夫した記号だから こんなきごうつかうところをみると208はたんなる素人だが そのくせえらそうなんだよな 368 名前：208 [2005/12/13(火) 14:46:07 ] 今日からみんなで208ごっこしよう。 うすらが。 369 名前：208 [2005/12/13(火) 14:47:26 ] Ass(208)は単鈍環。 370 名前：208 [2005/12/13(火) 14:48:18 ] Ass(単鈍感)=208 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 16:52:13 ] あらすな、ボケェ！！！！！ 372 名前：208 [2005/12/13(火) 16:53:35 ] 今日の授業はどうだった？ 373 名前：208 [2005/12/13(火) 16:54:53 ] どうしてヴェイユ全集もってないの？ 374 名前：208 [2005/12/13(火) 16:59:30 ] 大文字犬文字太文字 どれ？ 375 名前：208 mailto:sage [2005/12/13(火) 17:10:29 ] ゆきやこんこ あられやこんこ 376 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:11:46 ] お前、例のｷﾁxxだろ。 ﾏｼﾞで病院行け 377 名前：208 [2005/12/13(火) 17:13:58 ] お前、例のｷﾁxxだろ。 ﾏｼﾞで病院行け 378 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:18:41 ] おまえが行け 阿弥陀が池 379 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:19:53 ] >>376 病室のパソコンから書き込んでいるのだが何か？ 380 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 19:13:39 ] I藤さんやY田さんだけじゃなくて、Y永さんもInventに論文あるよ。 来年はイタリアに行くみたい。 マジでInventも就職厳しいみたいだね。 381 名前：208 [2005/12/13(火) 20:52:20 ] >>308 king 氏ね 382 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 21:38:39 ] ・若手の上位層・中堅層の業績レベルは（見かけ上）向上しており、 　それに伴って下位層との格差が（見かけ上）拡大している。 ・一方で、本来線を引かれるべき上位層・中堅層内の業績の実質的 　格差は見えにくくなっている。 ・そのため下位層と上位層・中堅層との（見かけの）格差の拡大に 　関係者の視線がそらされる分、かえってごまかしが効きやすい。 ・また、実際問題として採用の業績ラインはさほど上昇していない 　ので、研究実績以外の要素の占める割合が相対的に増大している。 383 名前：208 [2005/12/13(火) 21:50:25 ] そろそろ引き際かな。 384 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 22:01:49 ] まるで業績ある奴が優先して就職できないといけないような言い方だが？ 数学者の研究成果に期待する国民はほぼ皆無。しかし、コネがある人間が ポストに就いて先生達の忠実な後継者になることを、先生は期待している。 期待にこたえるのは良いことだ で、その業績はあるがコネが無い奴がポストについたら、何か良いことが あるのか？本当に業績あるといっても、実際のところ何の役にも立たない んだろう？ 有名どころの雑誌に論文を数本載せたからといってポストに就けるなどと 甘い期待は持たないことだ 385 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 09:23:37 ] 俺を叩くのに俺のＩＤを使うってアフォや基地外の考えることは わからん(当たり前とも言えるが)。俺が識別出来にくくなったら 叩きにくいだろうが。俺自身が痛いことを言っても、言い訳がきくし。 ひょっとして俺と一体化したいとかｗ 気持ち悪い〜。 386 名前： ◆r5LpnmM55A [2005/12/14(水) 10:43:12 ] トリップというものを使ってみるか 387 名前： ◆SQ2Wyjdi7M [2005/12/14(水) 10:46:35 ] 数字じゃ駄目なのか？ 388 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 10:50:47 ] トリップってどうやるの？ #名前じゃ駄目なの？ 389 名前： ◆r5LpnmM55A [2005/12/14(水) 10:56:06 ] いいんじゃないか？ 390 名前：208 [2005/12/14(水) 10:57:08 ] 「208 #(適当な文字列)」で良いと思うぞ。 391 名前：208 ◆0nkPxMcORM [2005/12/14(水) 10:58:16 ] ここで今まで述べたことの整理をしよう。 A を可換環、M を A-加群とする。 ΛM は余代数であり余結合的(>>870)で余単位を持つ(>>871) ので、Homgr(ΛM, A) は結合的で単位元をもつ代数となる (>>867 と >>869)。 しかも、歪可換(>>885)で交代的なので、 A-代数としての標準射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op が存在する(>>888)。 θは具体的には次の公式で与えられる(>>891, >>892)。 θ(f_1Λ...Λf_n)(x_1Λ...Λx_n) = (-1)^(n(n-1))/2 det(f_i(x_j)) M が A 上の有限生成の自由加群のとき(これが応用では多い) θは同型となる(>>892)。 よって、(-1)^(n(n-1))/2 θ(f)(x) を (x, f) で表すと、 (x, f) は (Λ^p)M と Λ^p(Hom(M, A)) の非退化の双一次形式 (Λ^p)M×Λ^p(Hom(M, A)) → A となる。 392 名前：208 # [2005/12/14(水) 10:59:43 ] どうだ？ 393 名前： ◆3wAwF5kjXk [2005/12/14(水) 11:00:30 ] こうか？ 394 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 11:01:32 ] どうやるの？ 誰か教えて。 395 名前：208 ◆0nkPxMcORM [2005/12/14(水) 11:03:21 ] >>394 だから、名前の後に # と適当な文字列を入力だって。 「208 #aho」みたいにさ。 396 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/14(水) 11:05:19 ] どうだ？ 397 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/14(水) 11:06:11 ] やっと出来た。thanks 398 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/14(水) 11:16:18 ] 分かってると思うが >>391 は俺じゃない。 399 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 12:37:42 ] やればできるじゃん。一つ賢くなったね。 400 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 13:32:57 ] あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ 401 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/14(水) 16:02:01 ] トリップを付けたら急に荒らしが止まったな。 もしかして、俺にトリップを付けさせるために俺のＩＤを 騙っていたのか？ そういう奴ばかりじゃないだろうが、>>391 なんか臭いな。 402 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 16:16:05 ] せっかくトリップを付けるのなら、ついでに「208」も 何か適当なものに変更すればよかったのかも。 403 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 16:21:23 ] 楡岩＝ニレイワ＝208 なんかどうでしょう？ 404 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 16:24:42 ] ・若手の上位層・中堅層の業績レベルは（見かけ上）向上しており、 　それに伴って下位層との格差が（見かけ上）拡大している。 ・一方で、本来線を引かれるべき上位層・中堅層内の業績の実質的 　格差は見えにくくなっている。 ・そのため下位層と上位層・中堅層との（見かけの）格差の拡大に 　関係者の視線がそらされる分、かえってごまかしが効きやすい。 ・また、実際問題として採用の業績ラインはさほど上昇していない 　ので、研究実績以外の要素の占める割合が相対的に増大している。 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 16:26:15 ] きみには「我を崇めよ」とかそっち系の名前がいいよ 406 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 16:28:35 ] 建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り 建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り 建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り わっしょいっ、わっしょいっ！ 407 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 17:01:36 ] ねえねえどうしてヴェイユ全集もってないの？ 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 17:02:55 ] 買ってないからだろ 手に入らなかったのか知らないが いい加減消えたら？>>407 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 17:22:04 ] >>408 おまえだれ？ 410 名前：208 ◇lJJjsLsZzw mailto:sage [2005/12/14(水) 17:26:13 ] 誰？ 411 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 17:27:57 ] >買ってないからだろ >手に入らなかったのか知らないが まぬけな答えだね。 412 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 17:54:47 ] 674 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/14(水) 00:06:34 >>669 建部崩れは、ポス助手の駒場ゴミだけでも二人いる 675 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/14(水) 00:07:22 >>669 Invent崩れの1人は建部も取っている。 413 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 18:03:50 ] japanese.chosun.com/site/data/html_dir/2001/08/10/20010810000001.html 韓国ネティズンは、光復節の今月15日、 日本首相の靖国神社参拝と歴史教科書のわい曲に抗議するサイバーデモを、 日本の極右団体のインターネットサイトで行うことにした。 10日、｢日本の歴史教科書改悪阻止運動本部｣など、 歴史わい曲教科書反対運動団体のインターネットホームページの掲示板には、 サイバーデモの同参を呼びかける文章が次々と載せられ、照会も1件当たり数百件を超えている。 これらネティズンは、文部科学省と産経新聞、自民党、新しい歴史教科書をつくる会など 6団体のホームページアドレスを掲載し、同日同時に接続し、サイトをストップさせる計画だ。 また、効果的な同時接続を図るため、接続の時間を決め、 今月15日午前9時と12時、午後3時と6時、9時の5回に渡り、 これら団体のサイトを無差別訪問し「仮想の座り込みデモ」を行うことにした。 ------------------------------------------------------------------------------- 朝鮮人は4年前から「サイトをストップさせる」と恥かしげもなく公言し その行為を「サイバーデモ」と呼んでいます。 同じことをVIPPERがやったら「ハッカー攻撃されたﾆﾀﾞ」と主張しました。 414 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 18:36:14 ] 数学的な雰囲気の中で糞煮込みうどんを食べたい人、お待ちしております。 Cafe David 415 名前：208 ◆0RbUzIT0To [2005/12/14(水) 18:47:05 ] 数学的な雰囲気の中で糞煮込みうどんを食べたい人、お待ちしております。 Cafe David 416 名前：208 ◆4etoz7nPdA [2005/12/14(水) 18:47:45 ] 数学的な雰囲気の中で糞煮込みうどんを食べたい人、お待ちしております。 Cafe David 417 名前：208 ◆0RbUzIT0To [2005/12/14(水) 18:48:58 ] まねすんな。 418 名前：208 ◆4etoz7nPdA [2005/12/14(水) 18:49:47 ] おまえこそまねすんな。 419 名前：208 ◆r5LpnmM55A [2005/12/14(水) 18:50:38 ] だるいぞ 420 名前：208 ◆6lu8FNGFaw [2005/12/14(水) 18:52:20 ] じゃんじゃん劣化するね。 421 名前：208 ◆15lIZBDwz6 [2005/12/14(水) 19:01:54 ] じゃかじゃか劣化するね。 422 名前：208 ◆ulG3oSFeig [2005/12/14(水) 19:03:23 ] なにが？ 423 名前：208 ◆9wIaFW05XY [2005/12/14(水) 19:09:29 ] ずんずん劣化するね。 424 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 20:15:57 ] 精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ 精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ 精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ 425 名前：208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:00:23 ] ３桁の数字はレス番号と紛らわしいので、 今後、俺のＩＤは 9208 とする。 426 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:02:38 ] 補題 A を環とし、M を A-加群で射影的とする。 このとき、Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、 M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、 M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となる。 ここで、f_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。 証明 M の生成元を (x_i), i ∈ I とする。 L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、 (e_i), i ∈ I をその標準基底とする。 各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、 A-加群としての射 p: L → M を定義する。 p は全射で、M は射影的だから、射 s: M → L で、 ps = 1 となるものが存在する。 一方、各 i ∈ I に対して f_i ∈ Hom(M, A) を f_i(e_i) = 1, i ≠ j のとき f_i(e_j) = 0 で定義する。 s(x) = Σa_ie_i, a_i ∈ A とする。 各 i ∈ I に対して f_i(s(x)) = a_i となる。 よって、 x = ps(x) = Σa_i p(e_i) = Σf_i(s(x)) x_i となる。 よって、g_i = (f_i)s とおけばよい。 証明終 427 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:04:09 ] >>426 >ここで、f_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。 ここで、g_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。 428 名前：9208 ◆0nkPxMcORM [2005/12/15(木) 10:06:37 ] h.pic.to/4phxm 429 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:19:11 ] >>426 の逆も成立つ。 補題 A を環とし、M を A-加群とする。 Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、 M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、 M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となるとする。 ここで、g_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。 このとき、M は射影的である。 証明 明らかに (x_i), i ∈ I は M の生成元である。 L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、 (e_i), i ∈ I をその標準基底とする。 各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、 A-加群としての射 p: L → M を定義する。 M の元 x に対して、s(x) = Σg_i(x)e_i により、 A-加群としての射 s: M → L を定義する。 x = Σg_i(x)x_i であるから、ps = 1 である。 よって、Ker(p) = N とおけば、 完全列 0 → N → L → M → 0 は分裂(split)する。 よって、M は L の直和因子と同型になり、射影的である(>>186)。 証明終 430 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:40:25 ] 定義 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M に対して B の A-加群としての 部分加群 N があり、MN = A となるとき、M を可逆加群という。 ここで、MN は集合 {xy; x ∈ M, y ∈ N} で生成される B の A-部分加群である。 431 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 10:47:27 ] 定義 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が、MB = B を満たすとき、 M を非退化加群と呼ぶ。 ここで、MB は集合 {xy; x ∈ M, y ∈ B} で生成される B の A-部分加群である(よって B-部分加群つまり B のイデアルとなる)。

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