- 230 名前：208 [2005/12/07(水) 14:26:27 ]
- A を環とする。
E を A の部分集合としたとき
V(E) = {p ∈ Spec(A); E ⊂ p} と書く。
さらに、D(E) = Spec(A) - V(E) と書く。
補題
A を環とする。
Spec(A) は準コンパクト(前スレの215)である。
証明
Spec(A) = ∪D(E_λ) とする。ここで、λ はある添字集合 L を動き、
E_λ は A の部分集合である。E = ∪E_λ とすれば、
∪D(E_λ) = D(E) である。よって、V(E) は空集合となる。
よって E で生成されるイデアルを J とすれば、J = A となる。
何故なら、J ≠ A とすれば J ⊂ m となる極大イデアルが存在
するから。よって、1 = Σ(g_i)(f_i) となる有限個の元
g_i ∈ A, f_i ∈ E がある。これから Spec(A) = ∪D(f_i) となり、
f_i ∈ E_λ(i) とすれば、Spec(A) = ∪D(E_λ(i)) となる。
証明終
