- 231 名前：208 [2005/12/07(水) 14:53:31 ]
- 補題
A を環、M を A-加群とする。
f_1, ..., f_n を A の元とし、
Spec(A) = ∪D(f_i) とする。
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限生成なら M も A-加群として
有限生成である。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。m は 各 i で共通としてよい。
{x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で生成される M の
部分加群を N とする。
x ∈ M に対して、x/1 ∈ M_(f_i) より、
((f_i)^t)x ∈ N となる整数 t > 0 がある。
t は 各 i で共通としてよい。
D(f_i) = D((f_i)^t) だから
Spec(A) = ∪D((f_i)^t) = D((f_1)^t, ..., (f_n)^t) となる。
よって、(f_1)^t, ..., (f_n)^t が生成するイデアルは A となる。
よって、1 = Σg_i(f_i)^t となる元 g_1, ..., g_n がある。
よって、x = Σg_i((f_i)^t)x ∈ N となる。
x は任意だから、M = N である。
証明終
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