現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2

1 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2012/03/16(金) 22:04:35.83 ] uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/　前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む >>1より ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？ detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18 「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。 アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。 両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。 ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。 彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。 皆さまの見解を伺いたいと思います。 ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21 ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。 ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。 ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。 281 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/31(土) 20:13:35.42 ] >>279 理屈が通じない国だもんな、日本は。 きわめて精神が病んでるし。 282 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 20:31:37.24 ] >>281 政治は腐ってる。外交は皆無。財政は破綻。学問は壊滅って話ですわナ。 猫 283 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 21:13:04.11 ] >>279 >いやいや、フランス文化圏が私には楽なんですよ。とにかく合理的であり、 >尚且つ論理的ですからん。 この話を思い出した ameblo.jp/ozawajimusho/entry-11057315370.html なぜ肉料理が食べたいのか？｜税理士・社労士の○○な話。　2011-10-24 （抜粋） この本の著者・吉越さんの奥様はフランスの方だそうですが、「夕食に何が食べたいか」と奥様に聞かれたときに、「肉料理」と答えた。 日本の多くの家庭なら、「ハイハイ、お肉ね」となるんでしょうが、吉越家では、「なぜ肉料理が食べたいのか」を説明しないと却下されるそう。 「昨日は魚料理だったし、最近手に入れた、お肉にあうあのワインを飲んでみたいから、肉料理がいい」という明白な理屈が必要。 我が家のように「なんとなく中華」とか、「お腹がラーメンな気分」とか、「なんでもいい」とか、曖昧な返答では許してもらえないのですね(笑) この曖昧さ・感情論も日本人ならではで、よい文化だとは思いますが、これだけでは、問題解決できないことも。 トラブルが起こった時に、日本文化だと「申し訳ございませんでした！」と、謝ることで一件落着となることもあるけど、そのトラブルが起こった原因がうやむやになることも多々。 かといって、理屈だけで突き詰められるのも日本人には馴染まない。 論理的ロジックで骨組みを固め、隙間部分を「義理・人情・浪花節」で埋める。 日本人には一番適しているのでは、と著者は書いています。 私も仕事の中では、「なぜ」に重点を置いて、考え、聞くように心がけています。 （引用おわり） 284 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 21:17:55.37 ] >>279　つづき >でもまあポストなんかもう取れませんからね。 >加えて私はもうジジイだしね。せめて乞食として受け入れてくれないかと。 ”せめて乞食”は、逆に無いんでしょうね。ポストは無理でも、むしろなにかのスペシャリストで日本語ができるとか あるいは、フランスでなにか会社を作るとかできれば そうそう、フランス人に日本のノンロジカル思考の謎解きをしてやるビジネスとかどう？ あ、猫さんには無理だね。失礼しました 285 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/31(土) 21:20:40.77 ] 猫 286 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 21:29:38.60 ] >>281-282 >理屈が通じない国だもんな、日本は。 >政治は腐ってる。外交は皆無。財政は破綻。学問は壊滅って話ですわナ。 「なんとなく肉料理が食べたい」が通じる島国ムラ社会の日本ですからね 夏目漱石 「草枕」ですね blog.livedoor.jp/heartwords/archives/50096191.html 2005年07月30日 智（ち）に働けば角が立つ　情に棹（さお）せば流される　意地を通せば窮屈だ　（夏目漱石） 「 “正当“に生きることの難しさとその葛藤」というのをテーマにしているというのが夏目漱石に対する私の解釈です。 “正当性”は行き場を失い、ひどく自分を生きづらくしてしまうこともあるようです。 どんな“正しい”生き方をしたとしても100％ではない、必ず半分は自分と敵対する関係となります。 （引用おわり） ああ、こんなのが・・ blog.livedoor.jp/kengobooks/archives/51414120.html 2010年03月09日14:19 知に働けば蔵が建つ 内田樹の本にはいつも驚かされるが、今回もまた同様だった。この本では現代社会のさまざまなテーマを、現代思想、哲学、社会学、文化人類学、精神分析などを駆使して読み解いている。 （引用おわり） これもちょっと面白いね takedanet.com/2012/02/post_19ff.html 知の侮辱（９）・・・知に働けば角が立つ？ （平成24年2月12日(日)） 「知に働けば角がたつ。情に棹させば流される」とは夏目漱石の小説に有名なものですが、確かに理屈を言うと角がたち、そうかといって情に訴えると流されると言われるとさすが漱石！という感じです。 でも、私のこれまでの人生のいろいろな場面を振り返ってみると、知に働いたから角がたつのではなく、知に働いているのに情が絡むと角がたつという感じです。 287 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 22:21:50.05 ] >>222 en.wikipedia.org/wiki/Mikio_Sato www.ams.org/notices/200702/comm-schapira.pdf Mikio Sato, a Visionary of Mathematics Pierre Schapira NOTICES OF THE AMS FEBRUARY 2007 France was a strategic place to receive Sato’s ideas since they are based on those of both Jean Leray and Alexandre Grothendieck. Like Leray, Sato understood that singularities have to be sought in the complex domain, even for the understanding of real phenomena. Sato’s algebraic analysis is based on sheaf theory, a theory invented by Leray in 1944 when he was a prisoner of war, clarified by Cartan, and made extraordinarily efficient by Grothendieck and his formalism of derived categories and the six operations. Sato, motivated by physics as usual, then tackled the analysis of the S-matrix in light of microlocal analysis. With his two new students, M. Jimbo and T. Miwa, he explicitly constructed the solution of the n-points function of the Ising model in dimension 2 using Schlesinger’s classical theory of isomonodromic deformations of ordinary differential equations. This naturally led him to the study of KdV-type nonlinear equations. In 1981, with his wife Yasuko Sato, he interpreted the solutions of the KP-hierarchies as points of an infinite Grasmannian manifold and introduced his famous τ-function. These results would be applied to other classes of equations and would have a great impact in mathematical physics in the study of integrable systems and field theory in dimension 2. In parallel with his work in analysis and in mathematical physics, Sato obtained remarkable results in group theory and in number theory. （つづく） 288 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 22:25:04.15 ] >>287 www.ams.org/notices/200702/comm-schapira.pdf Mikio Sato, a Visionary of Mathematics Pierre Schapira NOTICES OF THE AMS FEBRUARY 2007 （つづき） Looking back, forty years later, we realize that Sato’s approach to mathematics is not so different from that of Grothendieck, that Sato did have the incredible temerity to treat analysis as algebraic geometry, and that he was also able to build the algebraic and geometric tools adapted to his problems. His influence on mathematics is, and will remain, considerable. (引用おわり) 289 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 22:29:27.88 ] >>288 Pierre Schapiraさんは、Mikio Satoを ”Looking back, forty years later, we realize that Sato’s approach to mathematics is not so different from that of Grothendieck,”と評価しているんだ・・ 290 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 22:58:17.97 ] >>266 斎藤毅さんの、これも面白いね www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/gr.pdf グロタンディーク　[さいとう たけし] グロタンディークほど、多くの伝説が語られた20 世紀の数学者はいないだろう。しかしここで書きたいのは、私にとってのグロタンディークである。 それは、今では遠い学生のころ、来る日も来る日も読みふけった、Tohoku、EGA、SGA の著者である。 全13 章の計画が、第4 章までで中断されたままである、というのも有名な話だが、そこまででも計1,800 ページという膨大なものである。IHES（パリ郊外の高等科学研究所）の青表紙の雑誌で1960年から1967 年まで毎年1 冊ずつ出版されたものだが、 1 章だけは、大幅に改訂されたものがシュプリンガーから本となってでている。 そのはじめのところをみると、数学の対象とは構造のついた集合であるという、ブルバキの数学観が、時代遅れになっていることがわかる。 グロタンディークにとっては、数学の対象とは、表現可能な関手を表現する圏の対象である。 たとえば、ブルバキ流にいえば、実数体とは、実数全体の集合に、加法と乗法という代数的な演算を与え、さらに位相をいれたものである。 EGA では、スキームX とY のS 上のファイバー積とは、S上のスキームの圏の対象で、X が表現する関手とYが表現する関手の積関手を表現するもの、というのが定義である。 数学の対象は、それが何からなりたっているかではなく、どういう役割を果たしているかが重要だ、という視点の転換がそこにある。 アファイン・スキームも、局所環つき空間として構成されるのだが、その存在理由は、大域切断という関手の随伴関手であるところにある。対象それ自体よりも、対象から対象への射のほうが重要だ、といいかえてもよい。 この視点にたつグロタンディークにとって、スキームの点とは、位相空間としての点ではない。 それは、ほかのスキームからの射である。これは、シュヴァルツの超関数が、試験関数の空間の双対として定義されることを思い起こさせる。 （つづく） 291 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/31(土) 23:06:53.43 ] >>290 www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/gr.pdf グロタンディーク　[さいとう たけし] （つづき） グロタンディークの数学 グロタンディークの業績を振り返ってきたが、それが、その後の代数幾何、数論幾何にもたらしたものは、あまりに巨大である。 簡単に紹介した、ドリーニュ、マンフォード、クィレン、ファルティングス、ラフォルグの業績は、どれもフィールズ賞の栄誉をうけた。 こうしてみると、リーマン・ロッホの定理や、エタール・コホモロジーのレフシェッツ跡公式といった大定理が、輝きを放っている。 しかし、それよりも強く感じられることは、これらの定理の証明を追い求めたというよりは、理論を構築するうちに、こうした定理が自然に得られるような枠組みを作り上げたという印象である。 これは、ドリーニュによるヴェイユ予想の証明や、ワイルズによるフェルマー予想の解決からうける印象とは、異質である。 これが、グロタンディークの強烈な個性だけによるものか、それとも、分野の性格にもよるものなのかは、よくわからない。 最近、数学を専門として勉強し始めた学生向けの授業をうけもつ機会が多い。今の数学のカリキュラムでは、まず抽象的な数学の思考法に慣れることが重要になる。 そこで、抽象数学では、記号はただの記号であることがだいじだが、ただの記号と思ってはいけないなどという話をする。 矛盾しているようだが、いいたいのはこんなことである。 ただの記号であるとは、どんなものでもあてはめてよいということである。 そう思ってはいけないというのは、記号にあてはめられるものには、実に多様なものがあり、それらについての実体感抜きでは、本当の理解にはならないというつもりである。 しかし、グロタンディークは、スキームX といえば、ただX だと思っていたのではないかという気もしてくる。 とすると、そんな話をしても、未来のグロタンディークにとっては、余計なお世話かもしれない。 でもグロタンディークだからこそ、それでよかったのだとも、一数学者としては思うのである。 （おわり） 292 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/01(日) 03:02:54.34 ] >>289 佐藤はグロタンディークより遥かに優れている、とは評価されてないのか。 それはおかしいなあ 293 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 07:27:57.77 ] >>291 うん、そうそう。私もソレは全く同じ印象ですね。だからグロタンがや った事は『数学が正しく行われる場所を与えた』という事で、正に新約 聖書の役割を果たしていると思いますね。（まあそのアトにフィールズ 賞が何人出たのかは「単なる目安でしかない」と思いますけどね。） まあユークリッドの全１３巻という旧約聖書から始まった数学が一応の 完成をみたのがグロタンの（予定された）１３巻ですからね。だからき っとガウス辺りは中約聖書みたいな感じなんですかね、或いはオイラー がその役割か。 神々からのメッセージですよね、特にグロタンは。 猫 294 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 08:22:08.99 ] >>292 >佐藤はグロタンディークより遥かに優れている、とは評価されてないのか。 >それはおかしいなあ なるほど 見方によってはそうかも・・ >>293 >うん、そうそう。私もソレは全く同じ印象ですね。だからグロタンがや >った事は『数学が正しく行われる場所を与えた』という事で、正に新約 >聖書の役割を果たしていると思いますね。 猫さん、乙です グロタンディークの頭の中には、ランドスケープがすでにあって、それを文字にしていった そういう風に考えます そうでなければ、あの仕事量は理解できない 佐藤幹夫も同様で、ランドスケープが先にあった 佐藤の場合は、自分で書かずに弟子が書いたんだけれど 佐藤幹夫は偉大です グロタンディークと同様に、彼の前と後とでは世界が変わった 295 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 08:30:43.63 ] >>294 そのランドスケープの話は『収穫と蒔いた種』に書いてありますよね。きっと まあ『数学の実在』という、人間には一切無関係な神の領域に、まああぜ道み たいな「ガイドが通る場所」を準備したんじゃないですかね。だから数学とい う価値観を創造したユークリッドの偉大さに次ぐでしょうね。 グロタンの偉大さは決して「仕事量」じゃないです。『正しい場所を準備した こと』です。神にしか正しい正しくないを判断する事は出来ません。 猫 296 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 08:58:43.21 ] >>291 クィレンは、カタカナでは分かりにくいかもしれないので下記ご参照 en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Quillen Quillen was born in Orange, New Jersey, and attended Newark Academy. He entered Harvard University, where he earned both his BA (1961) and his PhD (1964), the latter of which was completed under the supervision of Raoul Bott with a thesis in partial differential equations. He visited France twice: first as a Sloan Fellow in Paris, during the academic year 1968?69, where he was greatly influenced by Grothendieck, and then, during 1973-74, as a Guggenheim Fellow. In 1969-70, he was a visiting member of the Institute for Advanced Study in Princeton, where he came under the influence of Michael Atiyah. In 1978, Quillen received a Fields Medal Mathematical contributions Quillen's most celebrated contribution (mentioned specifically in his Fields medal citation) was his formulation of higher algebraic K-theory in 1972. This new tool, formulated in terms of homotopy theory, proved to be successful in formulating and solving major problems in algebra, particularly in ring theory and module theory. More generally, Quillen developed tools (especially his theory of model categories) which allowed algebro-topological tools to be applied in other contexts. Before his ground-breaking work in defining higher algebraic K-theory, Quillen worked on the Adams conjecture, formulated by Frank Adams in homotopy theory. His proof of the conjecture used techniques from the modular representation theory of groups, which he later applied to work on cohomology of groups and algebraic K-theory. He also worked on complex cobordism, showing that its formal group law is essentially the universal one. In related work, he also supplied a proof of Serre's conjecture about the triviality of algebraic vector bundles on affine space. He was also an architect (along with Dennis Sullivan) of rational homotopy theory. 297 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:18:18.34 ] >>295 猫さん、乙です >そのランドスケープの話は『収穫と蒔いた種』に書いてありますよね。きっと >まあ『数学の実在』という、人間には一切無関係な神の領域に、まああぜ道み >たいな「ガイドが通る場所」を準備したんじゃないですかね。だから数学とい >う価値観を創造したユークリッドの偉大さに次ぐでしょうね。 はあ、なるほどなるほど >グロタンの偉大さは決して「仕事量」じゃないです。『正しい場所を準備した なるほど 面白い見方ですね 298 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:35:34.51 ] Grothendieck 東北大学 論文で検索すると下記ヒット （なぜ東北大学？を知りたかったんだが） slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 親族の数学に多少の興味を持っている高校生からグロタンディーク氏 (本来なら博士とお呼びすべきなのでしょうが、皆さんもご存知の通り氏は世間と没交渉ですし、博士と呼ばれるのは最も氏の忌嫌うことだと容易に想像されますので、氏のままにします)のまとまった伝記本が無いのかと聞かれ、ちょっと困ったなあと思いました。 本がある無しで弱ったのではなく、グロタンディーク氏の人生を知ってショックを受けるかも知れぬと危惧したからです。 勿論私くらいの年齢の大人になれば、天才は天才であって、凡才は凡才に過ぎぬと居直って平気なのですが、高校生くらいの年齢ではまだ自己が何たるか分かっていないので無限大の力を持っているかのように錯覚しがちです。 今の日本で家が裕福でないと言っても、グロタンディーク氏ほど劣悪な環境で少年期を過ごすことは先ずないと思います。ですから、大人はどうでもいいですが、青少年はもっと勉強出来るはずなんです。 グロタンディーク氏の少年期を考えれば、凡才なりに勉強しないと人として恥だと思ってほしいです。 さて、グロタンディーク氏のまとまった伝記本は私の知る限り皆無です。但し、一つだけ例外があり、後でまた触れます。 本ではありませんが、まとまった伝記的記事で定評があるのがAllyn Jackson女史の"Comme Appele du Neant?As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck"(PDF) www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf だと思います。 この記事は2004年に発表されましたが、書かれた当時はまだグロタンディーク氏が御存命である可能性が高かったのですが、今は83歳ですから生きておられるかどうかわかりませんし、誰も知るすべを持っていません。 なお、Allyn Jackson女史は現在"AMS Notices"の主任編集者です。編集者は裏方さんなので、プライベートなことを言いたくないのですが、数学科で勉強され、私の記憶に間違いが無ければ学位も持っているはずです。 299 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:39:24.21 ] >>298 slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 （抜粋つづき） ここで伝記本の件に戻ります。先に例外があると言いました。Jackson女史の記事の中でも言及されていますが、現在ミュンスター大学名誉教授のWinfried Scharlau博士が伝記本(独語)を書いていました。 但し、その本は限定出版と言うのか注文出版と言うのかよく分かりませんが、限定されています。つまり、商業ベースに乗せていないのです。その理由は博士が明言されていないので分かりません。 ただ、何となく分かるような気がします。伝記の主人公が世間と縁を切って姿をくらましているのに、赤の他人が土足で家に上がるようなもんです。しかも、グロタンディーク氏の心の傷になっているはずの少年期にも触れなければならないのです。 だから商業ベースに乗せることに躊躇いがあったと思います。もう一つ理由があると思います。 Scharlau博士はグロタンディーク氏と会ったことがありません。ですから、Michael Atiyah卿が言っている、グロタンディーク氏を個人的に知る数学者が学問的に等身大の伝記を書くことが望ましいという意見に反するのです。 しかしながら、Atiyah卿やジャン＝ピエール・セール博士がグロタンディーク氏の伝記を書くなんて私は想像出来ませんし、お二人ともご高齢ですから先ずあり得ないでしょう。結論を言えば、この先伝記本が書かれることはないと思います。 従って、伝記本は皆無です。但し、無責任素人が書く可能性はあります。 ともかくも、Jackson女史の記事の私訳を以下に載せておきます。なお、この記事は前篇で続きがあります。後編の第2部は私が気の向いた時にでも(いつになるかわかりません)紹介するかも知れません。 前篇だけでも長いので、その1とその2と2つに分けました。 （抜粋つづく） 300 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:45:36.19 ] slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 （抜粋つづき） 収穫と種子の中で、グロタンディークは1954年を"困難な年"("l’annee penible")(ページ163)と呼んだ。 その年を通じて、彼は位相ベクトル空間における近似問題の前進に成功しなかった。その問題はおよそ20年後にグロタンディークが試みたものと異なる手法で解決されたばかりだった。 これは"私の人生で数学をすることが重荷になった唯一の時だった!"と彼は書いた。この苛立ちは彼に教訓を与えた。すなわち、一つの問題が厄介と分かれば、取組むべきものが他にあるように数学的"火中の鉄"をいつも複数持て。 サンパウロ大学教授Chaim Honigは、グロタンディークがサンパウロにいた時に助手で、彼等はいい友達となった。グロタンディークはいくぶん質実剛健で孤独な生活をし、ミルクとバナナだけを食べて完全に数学に没頭したとChaim Honigは言った。 Chaim Honigは一度グロタンディークに数学に行った理由を訊いた。数学とピアノに熱中したが、そのような生活を得やすいと思ったから数学を選んだとグロタンディークは答えた。 彼の数学的才能は余りにも明らかなので、Honigは言った。"彼が数学と音楽の間で迷った瞬間があるなんて、私は吃驚した"。 （抜粋つづく） 301 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:47:43.76 ] slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 （抜粋つづき） ブラジルを去った後、グロタンディークは1955年の1年をカンザス大学(おそらくN. Aronszajnの招待だろう。[Corr])で過ごした。 そこで、グロタンディークはホモロジー代数に没頭し始めた。彼が"Sur quelques points d’algebre homologique"[訳注:"ホモロジー代数のいくつかのポイントについて"]を書いたのはカンザス大学滞在中だった。 この論文は、それが掲載されたTohoku Mathematical Journal [To]の名前を冠して専門家の間で非公式に"東北論文"として知られるようになったが、ホモロジー代数の古典となり、モジュールに関するカルタンとアイレンバーグの研究を拡張した。 またカンザスにいる間、グロタンディークは"A general theory of fiber spaces with structure sheaf"[訳注:"構造的層を持つファイバー空間の一般論"]を書き、アメリカ国立科学財団のレポートとして出現した。 このレポートは非アーベルコホモロジーに関する彼の第1着想を展開した。非アーベルコホモロジーには後に代数幾何学の状況で舞い戻った。 この時前後、グロタンディークはコレージュ・ド・フランスのジャン＝ピエール・セール(グロタンディークは彼にパリで会ったし、後にはナンシーでも出会った)と文通を始めた。 彼等の手紙のセレクションが元々の仏語で2001年、仏語-英語の二重バージョンが2003年に刊行された。[Corr] これは長く実りのある交流の始まりだった。 手紙は、非常に異なる二人の数学者の間の深く活気に満ちた数学的絆を示す。 （抜粋つづく） 302 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 09:52:08.46 ] >>301 "東北論文"についての記述があったが、経緯は不明 slashdot.jp/journal/539517/ 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン 日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分 （抜粋つづき） グロタンディークは非常に飛んだイマジネーションを見せるが、セールの鋭い理解力と広い知識によってしばしば地上に戻されている。 時々手紙の中でグロタンディークは驚くべきレベルの無知を示す。例えば、ある時点で、彼はセールにリーマンゼータ関数が無限個の零点を持つのか聞いている。 ([Corr]、ページ204) "彼の古典的代数幾何学の知識は実際にはゼロだった。私自身の古典的代数幾何学の知識は少しましだったが、大したことはなかった。 しかし、それを用いて彼を助けようとした。だが...問題にならない質問が多過ぎた"とセールは回想した。グロタンディークは最新の文献についていく人ではなく、かなりな程度まで、何が行われているかを語るセールに依存した。 収穫と種子の中で、独学したことを除いて、幾何学で勉強したことの大部分はセールから学んだと書いた。(ページ555-556) だが、セールはグロタンディークに只単に教えたのではなかった。 つまり、彼はアイデアを要約し、グロタンディークが反駁出来ないと分かる方法で要約を議論出来た。グロタンディークはセールを、アイデアの爆発のためヒューズに燃やさせるスパークを与える"起爆薬"と呼んだ。 実際、グロタンディークは彼の研究の中心テーマの多くを追跡してセールに行き着いた。例えば、1955年前後に、コホモロジー的状況でヴェイユ予想をグロタンディークに述べたのはセールだった。 その状況は、ヴェイユ予想のオリジナルな説明では明確にされておらず、グロタンディークを罠にはめる可能性があった。(R&S、ページ840) ヴェイユ予想の"ケーラー的"類似のアイデアを通して、いわゆる"標準予想"というグロタンディークの概念もセールが呼び起こした。"標準予想"はより一般的で、系としてヴェイユ予想を暗に意味した。(R&S、ページ210) （引用おわり） セールがいて、グロタンディークがいた セールが居なければ・・・ 303 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 10:10:21.36 ] >>295 但し誤解が無い様に追加しておくと、その種を蒔いたり収穫をするのは （馬鹿な人間ではなくて）『神々だけ』なんですよ。まあ佐藤先生はそ ういう神々のお一人ですよね。人間でそんな人は殆ど居ませんけどね。 そして我々下々は「唯見てるだけ」ですよ、唯見てるだけね。でも見て るだけでも充分に幸せですけどね。 例えばグロタンが凄いのは『Backward deduction』ですよね。つまり： ★★★『要らない事は証明しない。また必要が無い事は使わない。』★★★ という事です。コレは『数学を行う際の基本』です。数学とはこうでな ければなりません。 また例えば(FLT)の場合を考えてみましょう。コレは： ★★★『問題が解けた事そのものよりも、「ソコへと至る道筋が 　　　　　　　人類に対して示された」という事実（谷山・志村ヴェイユ） 　　　　　　　　　　の方が遥かに大切ですよね。そしてその道筋が存在し得る 　　　　　　　　　　　　　場所を与えたのがグロタンですよね。コレは神にしか不可能。』★★★ という事です。だから我々下々は「唯見るだけ」です。 我々下々は『神々の宴会』を唯見るだけです。そして我々凡俗は「唯見 るだけ」で充分なんです。 貴方がどの範疇なのかは私は知りませんが。 猫 304 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 10:30:20.68 ] 追加です。 グロタンは『天国から地上へと梯子を下ろした』という印象ですよね。そして その梯子を昇る事が出来た有能な人達が勝利を勝ち取った訳です。 そして佐藤先生は『地上から天国へと梯子を掛けた』という印象ですよね。そ して『計算でも論理でも、そのどちらでも無い数学』（つまりその両方を縦横 無尽に使い切る数学）を行われた神ですよね。 そういう意味では『計算でも論理でも、そのどちらでも無い数学』、しかもそ のご意志を計算と論理で表現なさられた岡潔先生と似てる様で似てない神です。 神とはそういう存在であり、我々下々が解釈する事は許されません。唯ソレを 見て、そして有難く鑑賞するだけです。 猫 305 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/01(日) 10:33:36.04 ] >>304 お前は地獄行きだから関係ないよ まず地上にあがる心配をしような 306 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 10:46:50.73 ] >>305 だからその『地獄の炎』で数学板を焼き払うんだよ。判るわナ。 猫 307 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 10:54:31.40 ] >>305 もうひとつ言っておこう。『私には地上は必要がない。』この場で馬鹿 を思いっきり焼き払うのが『その使命』だからナ。だから地上なんかに は興味は無いんだよ。 そろそろその事実を判れや。オマエ等にとってはかなり深刻やゾ。 猫 308 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 11:41:39.63 ] >>305 今後も徹底的に板全体を焼くゾ。判ってるナ。 猫 309 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/01(日) 11:42:58.65 ] フランス入国拒否… 310 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 11:46:02.95 ] >>309 日本に居てへんと焼却活動がしにくいがな。そやからコレでエエのや。 猫 311 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 13:38:56.81 ] >>303 猫さんの話はいつも面白ね >貴方がどの範疇なのかは私は知りませんが。 私は、まったくの観客です 数学はエンタの一部です。ただ、数学は使う立場です。数学が分かると便利です。趣味と実益を兼ねています >例えばグロタンが凄いのは『Backward deduction』ですよね。つまり： >★★★『要らない事は証明しない。また必要が無い事は使わない。』★★★ >という事です。コレは『数学を行う際の基本』です。 お言葉なれど、経緯を時間の逆順に書けば・・ グロタンディークは、ヴェイユ予想を解決しようとした（1955年前後に、コホモロジー的状況でヴェイユ予想をグロタンディークに述べたのはセールだった）>>302 　↓ ヴェイユ予想：リーマン予想の類似で非特異代数多様体上の合同ゼータ関数における予想。(下の(3)がリーマン予想の類似)アレクサンドル・グロタンディークを経てピエール・ルネ・ドリーニュにより1974年に解決された。 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A6%E4%BA%88%E6%83%B3 　↓ リーマンがゼータ関数についての予想を出した ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3 　↓ ゼータ関数と素数との最初の関連はオイラーによって示された ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0 ということは、オイラーの肩の上にリーマンが乗り、その肩でヴェイユが類似予想を出し、セールがコホモロジーが使えるぞとグロタンディークに教え、グロタンディークが部分解決し、その肩の上でドリーニュが最終解決したけれど ドリーニュは、グロタンディークが示した方針とは別の方針で解決しましたと（ゼータの非自明なゼロ点がすべて実部1/2の直線上にあるの類似） で、グロタンディークはどうもドリーニュの証明に納得しなかったらしいと（美しさに欠けると思ったのかな？） これが私の理解ですけど グロタンディークは凄いと思うし、まさに神ですが、ヴェイユ予想の最後の部分は別の神ドリーニュを必要としたということだけは押さえておきたい 312 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 13:51:09.96 ] >>311 私はそういう事を言ってるのではありません。論文の書き方というか議 論の運び方です。即ち： １．Aを示すにはBを言えば充分。 ２．Bを示すにはCを言えば充分。 ・・・ ２５．Yを示すにはZを言えば充分。 でも「Zは自明」。従って『Aが成立』。 という議論の運び方をしますよね。コレが私の言う『Backward deduction』 ですよ。普通の数学の議論の仕方とは全く逆ですよね。 まあ歴史は貴方の言う通りですよ。だから彼の師はヴェイユとセールで すかね。ドリーニュが弟子というのはちょっと違うでしょうけどね。 猫 313 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 13:58:52.97 ] >>311 追加です。ドリーニュに対してグロタンが納得しなかったのは： ★★★『ヴェイユ予想の証明に関して「グロタン自身が本来通るべき 　　　　　　　としたルートをドリーニュが意図して通過しなかった」からですね。』★★★ まあこの話は然るべき文献には記述がある（と思います）。まあ予定されてて 未完となってるEGAの各章のタイトルを見たら、その事は概ねは判りますけど。 猫 314 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:09:12.70 ] >>303 >また例えば(FLT)の場合を考えてみましょう。コレは： >★★★『問題が解けた事そのものよりも、「ソコへと至る道筋が >　　　　　　　人類に対して示された」という事実（谷山・志村ヴェイユ） >　　　　　　　　　　の方が遥かに大切ですよね。そしてその道筋が存在し得る >　　　　　　　　　　　　　場所を与えたのがグロタンですよね。コレは神にしか不可能。』★★★ これについても、私の理解を書けば（今度は時間順） フェルマーが予想を出した ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86 （このサイトがよく纏まっているの典拠はこれで） 　↓ クンマーの理想数 　↓ デデキントのイデアル理論 　↓ 抽象代数学の発展（ブルバキの世界。高木の類対論などもこの流れ） もう一つのモジュラーの流れ ポアンカレがモジュラー形式を案出（典拠には無いがガウスが楕円関数の研究で得ていたという） 　↓ 谷山・志村予想 　↓ フライ曲線、セールのイプシロン予想とケン・リベットの証明 　↓ アンドリュー・ワイルズが数学者になる一つの動機がフェルマー予想だったと。ワイルズは、「じゃ、谷山・志村予想すれば良いのね」と そして、屋根裏部屋にこもって証明を進めた。途中、いろいろ人にこっそり聞いたとか。あと、最後はリチャード・テイラーを呼んで共同で仕上げた このワイルズの証明の中で、グロタンディークの影響は極めて大きいとは思うが そもそもが、FLTが出てクンマー→デデキントを通じて抽象代数学の発展につながってきたという流れの中でのグロタンディークのコホモロジー論が出たと まあ、フェルマーさんが変なこと（「この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。[4]」）を書かなければ、クンマーも変なことを考えずデデキントのイデアル論ももっと遅れたかも・・・ ということだけは押さえておきたい 315 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 14:13:19.27 ] >>311 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%8E%9F%E8%AB%96 全体のプランはココにきちんと書いてありましたね。失礼しました。 猫 316 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:17:06.14 ] >>312 猫さん、乙です なるほどね 論文の書き方ですか グロタンディークは、全部明白に全貌が見えていたんでしょう だから、必要なことだけを書いた。というか、グロタンディークが必要と思うことを書けばそうなったのかも・・・ ドリーニュはこれですね。彼は、神の怒りをかった・・（「自らのプログラムが放棄(埋葬)されたことに激怒したグロタンディークはドリーニュを激しく非難した。」） ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%A5 14歳でニコラ・ブルバキの数学原論を読みこなしていたドリーニュは、ブリュッセル自由大学 ──大学に入るころは既に大学の数学をすべて終えていたとのこと。── と高等師範学校で数学を学び、23歳でIHESの客員教授、26歳でIHES教授、34歳のときフィールズ賞を受賞。1984年からはプリンストン高等研究所教授。 そのドリーニュが師事したのが、アレクサンドル・グロタンディークである。 彼はグロタンディークが数学をしていた間はグロタンディークに忠実であったが、グロタンディークが数学をやめた後は、グロタンディークのプログラムよりヴェイユ予想の早期の解決に向かい、1974年ヴェイユ予想を解決した。 自らのプログラムが放棄(埋葬)されたことに激怒したグロタンディークはドリーニュを激しく非難した。現在ドリーニュは1988年にグロタンディーク還暦記念論文集を刊行するなど和解に向けて努力している。 ドリーニュ61歳記念カンファレンスには、複数のフィールズ賞受賞者を含むメンバーが揃った[1]。 317 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 14:20:22.79 ] >>314 歴史は確かにそうですが、でも谷山・志村の出所は楕円曲線のモジュラリティ の問題だから、従ってそんなにストレートな話ではないと思います。実際に、 その問題となる志村先生の（極めて重要な）定式化である『有理数体上で』と いう論点に到達するまでは『FLTとは無関係である』と考える方が妥当だと私 は理解しています。 歴史というのは、所詮は『全て後付けでしかない』ので。その方向で完成する までは一切何も言えないからです。 猫 318 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 14:23:06.64 ] >>316 まあ悪いけど、貴方が言うてるのは『良く知られてる事ばっかし』ですよ。 猫 319 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:27:35.64 ] >>315 なるほど ”『代数幾何原論』（だいすうきかげんろん、Elements de geometrie algebrique, EGA）は、アレクサンドル・グロタンディークによる代数幾何学を根底から書き換えた数学書。ユークリドの『原論』と同様に13巻刊行される予定であったが、5巻以降は未完成。 それでも、1巻から4巻まで1800ページもあり、残りの原稿となる『代数幾何学セミナー』 "Seminaire de Geometrie Algebrique"（SGA と略称）が弟子たちによってかかれた（約6500ページ）。” ですか なかなか凄いですね。キリストとその弟子ですね 外部リンクには、EGAとSGAが入手できるように書かれていますが いまやってみるとうまくいかなかったな・・ 320 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 14:29:33.99 ] >>319 ソレは今は閉じてますね。グロタン師ご本人のご意向みたいですね。 猫 321 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:43:08.52 ] >>317 うんうん、宮岡洋一氏の話がありましたね。当時新聞記事にもなった 下記は、ちょっと正確ではないようですが 谷山・志村予想の方が難しいと思われていた・・、フェルマーの直接証明よりということのようですが members2.jcom.home.ne.jp/tasuzuki2/kiroku/memorial/sonota/ferumer/ferumer.html （1988年）東京で数学者の宮岡が「フェルマーの最終定理」が解けたとワシントンポスト等に発表した。宮岡は微分積分学で 　　アプローチをしており、ワイルズの「楕円方程式」と「モジュラー形式」により証明を行っていた。但し宮岡の論文に矛盾点が見つかり 　　証明は失敗だったという結論になって終わった。 >>318 >まあ悪いけど、貴方が言うてるのは『良く知られてる事ばっかし』ですよ。 まあ、私はただの観客ですから、私からは猫さん以上のものは出てきませんので悪しからず 322 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:45:17.23 ] >>320 >ソレは今は閉じてますね。グロタン師ご本人のご意向みたいですね。 なるほど 教祖さまは、いまお篭もりですか しかし、数学の進歩は止まらないと思いますね 323 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 15:46:13.47 ] >>314 だから実際に「もしフライ・リベットが無かったらどうにもならなかった」 とは言えるでしょうね。でも（何故か）： ★★★『谷山・志村が「有理数体上の問題」として定式化されてしまってた』★★★ という事実が『地獄の釜の蓋を開けてしまった』んですよね。コレが実 質上の数論幾何学への扉だったという風に私は理解しています。 加えてソコにはFaltingsによるMordel-Weilの解決が抜けています、もし FLTを語るのであればですが。フィールズ賞も彼に対して出ていますしね。 猫 324 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 15:51:09.95 ] >>322 いや、IHESを辞されてからズッとお篭りされてたのは周知の事実なんで すがね、どうやらグロタン師のご意向に加えてIHESの版権の問題とも言 われてますね。 大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。 猫 325 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 16:07:27.57 ] >>321 宮岡先生のは『ヤウ・宮岡の不等式のアリスメティックバージョン』を 考えて、ソレを用いるという考え方ですよね。だからまあ「微分幾何学 からのアイデア」という解釈ですかね。 あの時は『新聞が騒いだ』という意味で、宮岡先生は犠牲者ですよね。 学者の仕事や研究に対して新聞如きが騒ぐなんて愚の骨頂ですよ。日本 人はどうかしてるね。ゴシップばっかし追いかけてさ。低脳はそういう 事にしか興味を持たないから。 猫 326 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 17:53:30.89 ] >>323 猫さん、乙です。ちょっと外出していまして、失礼しました。 >★★★『谷山・志村が「有理数体上の問題」として定式化されてしまってた』★★★ >という事実が『地獄の釜の蓋を開けてしまった』んですよね。コレが実 >質上の数論幾何学への扉だったという風に私は理解しています。 なるほど そういう見方もできますね >加えてソコにはFaltingsによるMordel-Weilの解決が抜けています、もし >FLTを語るのであればですが。フィールズ賞も彼に対して出ていますしね。 FaltingsによるMordel予想解決は、確かに大きいですよね つーか、新聞記事になったような記憶が、フェルマー関係で（フェルマー予想の部分解決（フェルマーの解があっても有限だと）） 本当は、フェルマーよりMordel予想の方が数論的には重要なのですが 世間的には、フェルマーの方が受ける（TVに例えれば視聴率が取れる） ファルティングスはこれ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9 1983年にモーデル予想を証明。1986年にモーデル予想を証明した業績によりフィールズ賞を受賞。その後プリンストン大学教授を経て、2004年現在はマックス・プランク数学研究所で研究している。 ファルティングスはまずテイト予想とシャファレヴィッチ予想を証明してから、モーデル予想を証明した。 モーデル予想を証明した論文をIHESのアラン・コンヌに送り、その論文に多少のギャップはあったものの、大方あっていたため、その事実をファルティングスに報告。そのギャップを埋めて完全に証明した。 327 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:04:32.55 ] >>324 猫さん、どうも 貴重な情報ありがとうございます。 >大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。 なるほどなるほど >宮岡先生のは『ヤウ・宮岡の不等式のアリスメティックバージョン』を >考えて、ソレを用いるという考え方ですよね。だからまあ「微分幾何学 >からのアイデア」という解釈ですかね。 ヤウ先生ね 『見えざる宇宙のかたち』　シン＝トゥン・ヤウ　Shing-Tung Yau を買ってきました。なかなか面白そうです https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/0060430/top.html もとはといえば，ただひたすら幾何学に魅せられて数学者への道を進んだフィールズ賞受賞者，シン＝トゥン・ヤウ． しかし，「カラビ予想」の証明をきっかけとして，かたちの研究は＜宇宙のかたち＞へとつながり，ヤウは幾何学と宇宙論の境界領域に足を踏み入れることに……． ヤウの名は，まさにその＜かたち＞である「カラビ＝ヤウ多様体」で記憶している方もおられるのではないでしょうか． 　川で体を洗う日々，貧しさのあまり家禽業者になりかける……など驚くような生い立ちをはじめ，人生における節目節目のエピソードも随所に差し挟まれますが，基本的にはヤウ自身の足跡に沿って，幾何学，そしてひも理論の魅力がみっちりと語られる本です． 抽象的かつ難解な概念が続々と出てきますが，気鋭のサイエンスライターである共著者の助力も大きいのでしょう，あらゆるトピックが非常に丁寧に，平易な言葉を使って解きほぐされていきます． ドーナツ，バスケットボールや石鹸膜など，豊富な喩え話によりつつ，あれこれと図を描きながら想像をたくましくして読み進めていけば，大づかみながらも，ヤウの壮大な知的冒険をともに楽しむことができるでしょう． 328 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:10:09.32 ] >>327 >シン＝トゥン・ヤウ　Shing-Tung Yau 写真がありますね。”ポアンカレ予想を巡って”というのは、米国ではかなり騒がれたようですね ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%88%E3%82%A5%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%82%A6 丘 成桐（きゅう せいとう、シン・トゥン・ヤウまたはシン＝トゥン・ヤオ、邱成桐, 1949年4月4日 - ）は中国系アメリカ人の数学者。ハーバード大学教授。 数学者ではあるが幼い頃から数学が得意だったわけではなく5歳の頃に受けた公立学校の入学試験にはそれが原因で落ちている。 高校の頃に幾何学を学び、それがきっかけで代数学などの数学のさまざまな分野に興味を持ち始めるようになった。 この頃、父親が亡くなり経済的に非常に厳しくなったためこれらは書店で本を立ち読みして勉強したという。 1969年に香港中文大学を卒業。カリフォルニア大学バークレー校で陳省身に学び、1971年に博士号を取得。同年プリンストン高等研究所でポスドクとなる。 ポアンカレ予想を巡って 当時、未解決問題だった幾何化予想を研究していたリチャード・ハミルトンと交流があり、後に問題解決にとても大きな役割を担うことになるリッチフローを応用するよう彼に薦めたのも丘である。 この予想はウィリアム・サーストンにより予想されたものでクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題にもなっていた3次元ポアンカレ予想を含む壮大なものであり、 実際、3次元ポアンカレ予想はグリゴリー・ペレルマンが2002年にこの予想を証明することによってその長い歴史に終止符を打つことになる （査読・検証を経て証明が確定されたのは2006年末）。 よって丘がポアンカレ予想解決を大きく推し進めたのは事実なのだが、ペレルマンの証明の検証の際に、 あたかも自分たちが最終的解決をしたかのような論文を提出した曹懐東と朱熹平（2人ともハーバード大で丘の指導を受けた数学者）を弁護したため、数学界のみならずニューヨーカー誌などの報道機関からも批判を受けた。 マーシャ・ガッセンはその著書『完全なる証明』（文芸春秋刊）で、丘のこの行為こそがペレルマンを人間不信に陥らせ、フィールズ賞含む数々の賞の入賞を辞退させることにつながったと書いている。 329 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:24:42.12 ] >>302 つづき slashdot.jp/journal/548439/ taro-nishinoの日記： 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 20120325 抜粋 一流の人から直接学ぶことが大事なのは当り前ですが、直接学ぶ機会が無くても一流の人が書いた著作を読むことが次善の策だと思います。 それに関連して思い出したことがあります。皆さんは、グロタンディーク氏とジャン=ピエール・セール博士の文通書簡集"Correspondance Grothendieck-Serre"という本を御存知でしょうか。 2001年にSMF(フランス数学協会)から出版され、2003年にはAMS(米国数学協会)から仏英2か国語版が出版されました。 この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。 今後再刊されることはありませんので、持っている人にとって貴重な現代数学史の資料となるでしょう。 この本は和訳されませんでしたので、日本のいわゆる数学愛好家には殆ど知られていません。 本にはグロタンディーク氏が位相ベクトル空間から代数幾何学へと分野替えの真っ最中の1955年に始まり、主として1969年までのセール博士との文通が収められています。 セール博士は当時(今でもそうですが)世界一の数学者であり、代数トポロジーの若き権威でした。 対してグロタンディーク氏は位相ベクトル空間に素晴らしい業績を残したけれども、代数トポロジーは勿論のこと、代数幾何学はおろか、函数論の初歩も知らなかったのではないかと思わせる有様でした。 昨今の阿呆学生でもしないような質問、例えば、リーマンのゼータ函数の零点は無限個あるのかとセール博士に聞いているのですね。 天才が天才であるのは知識が無くても、一流の数学者から手紙を通じて学び、あっという間に数学最前線に立てるのです。そこが凡才とは違うところです。 もし相手がセール博士のような一流でなければ、グロタンディーク氏の分野替えはもっと遅れただろうと思います。 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 2004年3月 John Tate この本は、1955年から1969年までのグロタンディークとセールとの間で行われたコラボレーションの詳しい状況を私達に見せる。その当時、彼等は代数幾何学における革命的発展に重要な役割を果たした。 （略） 330 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:35:28.56 ] >>299 >ともかくも、Jackson女史の記事の私訳を以下に載せておきます。なお、この記事は前篇で続きがあります。後編の第2部は私が気の向いた時にでも(いつになるかわかりません)紹介するかも知れません。 後編（part2）下記。200410ですね www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf 331 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:44:33.26 ] >>330　つづき　ついでにヒットしたもの これは、80才の記念記事 www.ams.org/notices/200808/tx080800962p.pdf Grothendieck at 80, IHES at 50 GrothendieckのBiographical Materialみたいでリンクがいろいろ・・ www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/biographic.php Biographical Material Modified page Texts by A. Grothendieck no longer available as per his demand, with the exception of issues of the newsletter Survivre et Vivre (see below) 332 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 19:14:39.54 ] >>324 >どうやらグロタン師のご意向に加えてIHESの版権の問題とも言 >われてますね。 >大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。 うん、>>329「この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。」の関連ですね IHESを辞して、本もだめだと・・ 333 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/04/01(日) 19:19:44.22 ] 　ニートのゴミ・クズ・カスのクソガキ！　消えろ！！！！！！！！！！！！！！！！ 334 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 19:29:10.14 ] >>302 >セールがいて、グロタンディークがいた >セールが居なければ・・・ 友達が大事ってことかな 小川益川を思い出した。下記は小川さんの立場からの見方。益川先生は本を書いていたね。二人で力を合わせた・・ www.soken.ac.jp/journal/special/doc/05-09.pdf 335 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 20:49:19.27 ] >>279 >加えて私はもうジジイだしね。 話の感じでは、40代みたいなんだけど？ 数学者では、カール・ワイエルシュトラスが、けっこう晩成だったと思ったが・・ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9 1815年10月31日 - 1897年2月19日 ここからドイツのページに飛ぶと これはどうも超楕円関数（アーベル関数）の論文をようやく1854に出したと、39才かな。2012年なら40代中頃から後半の年代でしょうね In volliger Isolation von der mathematischen Welt arbeitete er intensiv an seiner Theorie der Abelschen Funktionen (den unmittelbaren Verallgemeinerungen der elliptischen Funktionen) und publizierte in der Zeitschrift seiner Schule. Aufmerksamkeit erregte aber erst ein Aufsatz in Crelles Journal 1854 Zur Theorie der Abelschen Funktionen, dem 1856 eine ausfuhrlichere Arbeit folgte. 336 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/01(日) 20:50:20.85 ] ガロア理論を勉強中です。質問ですが、ガロア分解方程式f(x)=0に 補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると、p個に群が 別れて、p個の群はすべて同一の置換をもつよいうことですが、 この同一になる部分の証明が読んでも分かりません。なんか誤魔化 されているみたいで。 みなさんから理解に役立つヒントはもらえないでしょうか。 置換が同一になれば、そのガロア群が元のガロア群の正規部分群 になるのは理解しているのですが。 ご教示をお願いします。 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/01(日) 22:47:07.62 ] グロタンといえば良しも悪しきも山純 １は相当のど素人だな、語るな今後 338 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 23:44:53.56 ] >>336 誤魔化されているんだよ それから、だれに誤魔化されたか書けよ、教えて欲しければ 339 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 23:54:27.74 ] 山純山純か、日本語ならね 山純の回し者か？それとも英語は苦手か？ 340 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 23:58:53.31 ] >>338 まあ、証明など本が１０冊あれば全部違うんだよ 全部同じと錯覚しているようなカキコだな 一冊の本で理解しようと思うな 別の本を読んでみな 341 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 00:22:47.49 ] >>340　補足 なお、”補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると・・”の話は、下記 前スレ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/329-345 ですでに議論している よかったら参考にしてくれ 342 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/02(月) 10:27:55.96 ] >>341 ありがとうございます。過去ログや他のスレで勉強します。 春休みなんで普段なかなか時間が 取れない勉強をしようとガロア理論を選んだんすが、まあ ラグランジュがすべての準備はしておいてくれたとしても わずか２０歳そこそこでガロア理論のような発想にいたった ガロアの頭の中はどうなっているのか。 天才と言えばそれまでですが、若くして詰まら決闘なんか で死んだのは本当に残念ですね。長生きしていたら、さらに どんな業績を残したらやら。 ちなみにガロア理論が分かったという感覚はどう言うときに そんな感覚が得られますか。僕はただそれだけのために ガロア理論を学習しています。ガロア理論が分かったぞという 感覚を味わいたいのです。 343 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:18:52.89 ] >>342 乙 そのカキコからすると、大学１年生の春休みかな あるいは２年生 ガロア理論と言っても、複数ある（下記） ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 （引用おわり） 個人的見解 １．もっとも原始的：ガロア第一論文＝このスレのメインテーマ（しばしばスレ主により脱線するけれども）　１９世紀 ２．古典的：van der Waerden 群環体 第二次大戦前 d.hatena.ne.jp/TuvianNavy/20100529/1275157065 ３．アルティン：線形代数化　２０世紀中ごろ na-inet.jp/weblog/archives/001482.html ４．グロタンディークのガロア理論　２０世紀後半 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 >ちなみにガロア理論が分かったという感覚はどう言うときに >そんな感覚が得られますか。僕はただそれだけのために >ガロア理論を学習しています。ガロア理論が分かったぞという >感覚を味わいたいのです。 １（もっとも原始的）でよければ、このスレで遊んでゆきな 344 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:33:55.79 ] >>343　補足 >ちなみにガロア理論が分かったという感覚はどう言うときに >そんな感覚が得られますか。 前スレ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/414-415 を書いているころ、このスレでいろいろ教えてもらって ようやくガロアの原論文が分かったという感覚になったね 345 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:43:30.71 ] 学生さんみたいだから言っておくと １．自分の勉強のレベルが分かるように聞く：答える方が困る。どの程度噛み砕いて言えば良いか検討がつかない ２．自分の勉強している本は上げる：こっちが同じ本を持っていれば確認できる（大概の本はある） ３．証明のどこにどんな疑問があるのかを書く：書くことが次の理解に繋がる 346 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:49:13.89 ] 東京に限らないが、大都市の地下街を歩くと、人に連れられて言う通り歩いても、どこをどう通ってここに来たのか分からないということがある 人って、そういうことがあるよね。地上だと、周りの風景を見ながら歩くから、自分のいる位置を理解しながら行ける 数学の証明で同じように感じることがある （証明おわり）まで来て、人に連れられて言う通り歩いても、どこをどう通ってここに来たのか分からないということがある 地下街なら、あとで地図を見るんだ 証明なら、自分で地図を作って見るんだ 347 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:58:42.01 ] >>342 >>143　より再録 www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html 眠りから覚めた微分ガロア理論　梅村　浩　多元数理科学専攻教授　名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15 彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。 （１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。 （２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。 　方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。 （引用おわり） ４次方程式の根は４つ、５次方程式の根は５つ、で差は１ だが、隠れた対称性＝ガロア群は、４次＝S4＝位数２４、５次＝S5＝位数１２０ その複雑さは桁違い >>336 >補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると、p個に群が 実は、補助方程式にも同じように隠れた対称性（＝ガロア群）があるよと 348 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 23:54:41.00 ] >>347 > ４次方程式の根は４つ、５次方程式の根は５つ、で差は１ >だが、隠れた対称性＝ガロア群は、４次＝S4＝位数２４、５次＝S5＝位数１２０ >その複雑さは桁違い staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf >>36 5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01 に、例が豊富にある 付録に f(x)=x^5+a2x^3+a3x^2+a4x+a5 の係数 a2,a3,a4,a5で可解な例が上がっている (B5 -1 -10 8 9) はx^5-x^3-10x^22 + 8x + 9 がB5 (半メタ巡回群?位数10) であることを示す。 他に可解なガロア群はB'5 (位数20、B5+で示す)、C5 (位数5、C5 で示す) がある。 ・・・・・・ (C5 -11 -11 11 11) (B5 -4 1 10 4) (B5+ 0 0 0 10) (B5+ 5 0 5 5) ・・・・・・ 係数を式に直すと、順に C5 ：f(x)=x^5-11x^3+11x^2+11x+11 B5 ：f(x)=x^5- 4x^3+ x^2+10x+ 4 B5+：f(x)=x^5+10 B5+：f(x)=x^5+ 5x^2+ 5x+ 5 ???? なんかおかしいな？ 元吉文男先生、付録の表間違ってない？ 349 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 00:35:08.67 ] >>348 仕方ないので方針転換 前スレ>>399より repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/handle/10132/1612 repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf 可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003 P84 f(x)=x^5+330x-4170 のガロア群はF20（元吉文男>>348では、B5+ 位数20）で、べき根で解ける 具体的な根の表示もある この場合の隠れた対称性は位数20で、一般の場合の120にくらべると複雑さが小さい だから、べき根で解けるんだが ともかく、”隠れた対称性”というキーワードを頭にいれておくべし 350 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 06:32:07.02 ] >>346 補足 証明 vs 地下街のアナロジーで言えば どこから入って（入口）どこに連れて行かれようとしているのか（出口）と大まかな方向は、最初に頭に入れておく 証明を読むとき、それを意識して読むこと 351 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 06:35:39.68 ] >>341 補足 ”補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると・・”で 前スレ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/329-345 でも議論しているが、例とした補助方程式は３次だが隠れた対称性を考えるとすべて添加すると６次だと ここも重要ポイントだ 352 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/03(火) 15:41:13.67 ] ガロアの現論文を訳して解説されている守屋先生の 共立出版の本を読んでいると、時々地下道に入り込んで 今自分がどこにいるのか分からなくなることが ありますが、それでも完全に分かっていないながら 読んでいて、面白いなあと思うのですが、こんな 読み方でもいいでしょうか。 みなさんのような頭脳明晰でないので完全な理解は 難しいとは思うのですが、面白いんですよね。 エーミル・アルティン先生の「ガロア理論入門」は 文庫本になっていて寺田先生の訳で時々参考にして いますが、読んで面白いのは守屋先生の原論文の訳 および解説です。アーベルの方はまだ読んでいませ んが。 353 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 20:50:11.03 ] >>352 乙です >読んで面白いのは守屋先生の原論文の訳および解説です。 そういう趣旨なら、倉田令二朗>>6「ガロアを読む: 第1論文研究」と中村亨>>2ブルーバックス　「ガロアの理論」　を併読した方が良い 256倍面白くなるよ 中村亨>>2ブルーバックスは、おそらく高校生から大学１年をターゲットにしているから分かりやすい 図書館にもあると思うが 倉田令二朗も図書館にあると思う だが、手元において読むほうがたのしい 354 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 20:54:00.96 ] >>352 >守屋先生の >共立出版の本を読んでいると、時々地下道に入り込んで >今自分がどこにいるのか分からなくなることが 同感です 守屋先生の解説は分かりやすいものではないと思う そうでなければ（分かりやすければ）、倉田が>>6を書く動機も薄かったろうと思う （>>210より もしそうでないなら、倉田令二朗があとがき>>6で、「他の多くの人達と同様、私はなんとか古典を理解したい思いにかられ、過去何度も挑戦して挫折した経験がある。最近共同作業のおかげでようやくガロア第I論文し得て原稿化したが・・」と書くこともなかったろう） 355 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 21:19:07.18 ] >>351 >でも議論しているが、例とした補助方程式は３次だが隠れた対称性を考えるとすべて添加すると６次だと >ここも重要ポイントだ ガロアは隠れた対称性を明らかにするために、ガロア分解式（リゾルベント） 　V=Aa+Bb+Cc+・・・を考えた>>19 補助方程式についても、ガロア分解式（リゾルベント）が考えられる（簡単のために３次として根をa'、b'、c'とすると） 　V=A'a'+B'b'+C'c' A'、B'、C'は根a'、b'、c'の置換ですべて異なるように選ぶことで、Vは６つの異なる値を取ることができる 根a'、b'、c'を全て添加するとは、Vを添加することと同じで V1,V2・・・V6は、互いに有理式で表されることに注意すると 拡大体 k(V1)=k(V2)=・・・=k(V6)であり ガロア群を自己同型群と考えれば、”p個の群はすべて同一の置換をもつ”>>336は自明だという説明を、倉田>>6は P141 命題３の証明の冒頭で注意している。あとはP141の証明を読んでもらえれば・・ 356 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/03(火) 21:50:56.70 ] >>353　>>354 ありがとうございます。おすすめの２冊をアマゾンでとりよせて 読んでみます。愉しみです。 ちなみにレベルの低い話で申し訳ありませんが。ガロア理論の 基本的な概念（可解群の組成列）で正規部分群がなぜ要求され るのかがどうしてもピンと来ないので、それを原論文の解説で 理解できたらと思って読んでみたんです。 補助方程式のすべての根を基礎体に添加した拡大体と与え られた方程式の最小分解体との共通部分の体のガロア群が 基礎体のガロア群の正規部分群になるんだとはじめて分かった 次第です。 累乗根からできる方程式を補助方程式とすると確かに正規 部分群になるわいという感じです。 まあ要するに可解群の組成列と累乗根で解けることとの 関係が実感でわかりたかったのです。原論文なら実感で わかるかと期待して守屋先生の訳・解説本を読んだ訳で す。 おすすめの本を読んでこのあたりを再度味わいたいと 思います。 357 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 23:11:56.50 ] >>356 はい、どうもです 正規部分群 １．ガロア記法との関係 前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む212より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/212 群の共役の記述がシンプル（コーシー記法ではH = gKg-1と書かなければいけないが（下記参照）、ガロア記法はgを作用させるだけで良い>>195。だから、正規部分群に早く気付いたのかも） ２．正規部分群は商群を作る 前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む250より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/250 正規部分群については、下記が面白く、かつ印象が強烈だったので紹介しておく kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-378.html 正規部分群はどういう意味があるか （抜粋） 正規部分群は最初に経験する忘れらない切ない経験ですが、今回はそういう正規部分群について説明したいと思います。 まあこれだけ聞くと正規部分群はなんかようわからんことが多いねん。 なんでこんな定義してるのか、どう扱ったらええのか。 それで定義も忘れると。 そこでまずは正規部分群にイメージを持ってもらいたいねん。 だいたいこんな感じ。 これでだいたい、 せ…正規部分群…おまえ… ってなると思うねんけど、もう少し説明を加えると正規部分群は正規部分群だけ見ててもあんまよくわからんかって剰余集合を考えて見てほしいねん。 （以下略） 358 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 23:21:02.33 ] >>357 補足 正規部分群 ３．組成列と単純群 hooktail.sub.jp/algebra/GroupSeries/ これは，どのような有限群でも究極的には単純群にバラせるという，非常にショッキングな主張です． （引用おわり） ショッキングではなく、まっとうな主張でしょう 359 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 00:24:23.87 ] と、発達障害者（チビ、ブサ、知的障害）が申しております 360 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 06:13:00.25 ] >>357　ついでに、kazuschool.blogの記事 kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-10.html 数理物理：これは数学と物理の中間的な記事で大学の専門的な内容なので、あまり受験とは関係ありません。興味があれば見てください。 物理と数学、両方に敬意を払っていて、数学的な思考で物理の発見がされたり、物理的な思考で数学の発見されたりすると言う信念に基づいて両方勉強してきました。全然内容はしょぼいですが。 rotのイメージ(ベクトル解析) 極限の定義、ε-δ論法は否定を考えてみるとわかりやすい 10進法とn進法の変換方法 二重級数の和の命題の証明 正規部分群はどういう意味があるか 分離公理は図を書くのがコツ =には等しいと言う意味と、≧かつ≦が成り立つ意味がある 有理数は稠密と有限個とは 全射と単射についての説明 漸化式で解けないけど極限値は求まる問題 数学的帰納法は何故証明したことになるか？は証明になってない 整列集合と超限帰納法 因数定理と三角関数から円周率が求まる直感的なおはなし 距離を保つ一次変換である直交変換の行列は回転か鏡映 体についてとZ/pZ(p:素数)が体の証明 2×2行列Aのn乗の求め方 不確定性原理の関係式は量子を確率分布と考えることだけで数学的に出る 相対性理論、何故加速すると時間は遅れるのか？ 相対性理論の続き、ロケットの中の人と地球にいる人との違い 相対性理論の何がわかってるのかの説明が何もわかってない ポアンカレ予想 物理と表現論 量子力学とヒルベルト空間 原子の半径と不確定性原理の美しい関係 ∫(0,∞)sin/xの値の求め方、複素積分の方法 複素数の物理的考察 量子力学の対称性 361 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 06:29:29.76 ] 物理関連で >>43から www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/tateshina.htm >『ADHM 構成』歴史おぼえがき　2002 年8月 > ３．現代数学という衝撃 >それが ADHM である．物理学者にとって重要かつホットな問題に対し，そのさなかに数学者のみによるインパクトある仕事が提出される，というのは過去に例のないことではなかったか． >しかもその手法が，それまで物理学者たちには全くなじみのなかった代数幾何という分野の，それも層係数コホモロジーの言語で書かれた現代的なものであった． >Polyakov は「現代数学が役に立つのをはじめて見た」と周囲に漏らしたと伝えられる．この衝撃が若き日の Witten の眼を現代数学へと向けるきっかけとなったのではないかと推察される． 『ADHM 構成』については下記ご参照 en.wikipedia.org/wiki/ADHM_construction 362 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 06:33:54.85 ] 物理関連で 前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む432より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/432 （粟田英資 准教授） ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=55&page_type=materials 講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=materials 講義資料 | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=syllabus シラバス | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) 歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。 20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。 本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。 363 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 06:37:47.61 ] >>357 補足 ガロア記法については>>39でJean-Pierre Tignolも紹介している 中村>>2を見てからで良いと思うが、Jean-Pierre Tignolも楽しい本です 364 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 14:11:17.33 ] 自分で調べればいいのですが、お詳しい方にきいた 方が早いのでおききします。 Ｓ4の部分群で位数８の正規部分群はありますか。 ないんだろうとは思うんですが。 365 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 14:13:14.86 ] >>364 無い 366 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:14:06.14 ] >>354-365 どちらさまも、乙です 下記"2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類"が参考になるだろう 前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む282より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/282 対称群などについては、下記が参考になるだろう www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf 2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類 www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/soturon.htm 明治大学 蔵野ゼミ 研究室の学生の卒業論文・修士論文 367 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:21:39.65 ] 補足 >>365の無いが正解 S4の位数８の部分群については、P7の3.6項だ P2の一覧表の書き方で、< (12); (1324) > 368 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:32:35.62 ] 補足 S4の位数８の部分群< (12); (1324) >でないことの説明 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96%E3%81%AE%E7%94%A8%E8%AA%9E#.E6.AD.A3.E8.A6.8F.E5.88.97 与えられた群 G に対して異なる種類の正規列が存在しうる。 与えられた正規列にさらに正規部分群を追加して正規列の細分を得ることができないとき、その正規列は群 G の組成列（英語版）であるという。 ジョルダン-ヘルダーの定理（英語版）により、与えられた群の二つの組成列は必ず互いに同値となる[5]。 5 ^ これを示すのにシュライヤーの細分定理（英語版）を用いる。 （（英語版）の部分にはリンクがあるので、英語の得意な人は見てください） 上記を認めると S4＞A4＞V＞（e,(12)(34)）＞(e)　という組成列になって（＞は集合の’含む’記号のアスキー代用） ここにeは単位元、(e)は単位元のみからなる群、Vはクライン群（下記）、A4は４次交代群、S4は４次対称群 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4 クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。 クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。 また、交代群 A4 の正規部分群　V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) > と同型。 （引用おわり） 369 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:36:35.64 ] S4：位数２４ A4：位数１２ V：位数４ 位数８の群は、組成列でA4：位数１２の後に入らないといけないが、位数８ではA4：位数１２を割り切ることができないのでA4の部分群にはなれない 370 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:40:39.31 ] >>368 訂正スマソ S4の位数８の部分群< (12); (1324) >でないことの説明 　↓ S4の位数８の部分群< (12); (1324) >が正規部分群でないことの説明 >>369つづき もう一つの説明は、 S4＞A4＞V＞（e,(12)(34)）＞(e)　という組成列 で、A4は偶置換から成る群なので、その部分群も偶置換から成る しかし、S4の位数８の部分群< (12); (1324) >は奇置換を含むので、組成列には入れない＝正規部分群ではない 371 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:42:52.23 ] >>370 補足 直接置換の計算をして確かめても良いんだが >>370や>>369みたいな説明も、なんとなく群論らしいだろ 372 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 22:01:46.53 ] >>335 補足 >これはどうも超楕円関数（アーベル関数）の論文をようやく1854に出したと、39才かな。2012年なら40代中頃から後半の年代でしょうね 昔は寿命が短かったからという意味ね 長寿になって、栄養も良くなったいまなら、６０代近くでも現役ばりばりって感じっていう意味と感想です 373 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 22:03:28.85 ] >>314 訂正 （このサイトがよく纏まっているの典拠はこれで） 　↓ （このサイトがよく纏まっているので典拠はこれで） 374 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 22:14:46.49 ] >>329 補足 >この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF 反戦運動と環境問題に熱心だったことから、1970年頃にIHESに軍からの資金援助があることを知ると、彼は即座にIHESを辞職。 その後は、数学から距離を置いた隠遁生活を送るようになった。 （引用おわり） 彼の論理的帰結としては 反戦運動に熱心だった自分→IHESに軍からの資金援助がある→反戦運動からの帰結として自身の数学が軍に利用されるのは矛盾→自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めない という論理を貫徹した結果かも・・ 375 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 22:20:19.65 ] >>303 そういえば、昨晩とつぜん、亡くなったお袋のことをフラッシュバックしたよ、５０代中ごろだったから当時でもまだ亡くなるにはまだ若い方だった 猫さんの前スレでのDVの話から 悲しい話なんで、細かくは書かないけど、猫さんの１／１０くらいかね程度は 376 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 23:23:45.55 ] >>304 >グロタンは『天国から地上へと梯子を下ろした』という印象ですよね。そして >その梯子を昇る事が出来た有能な人達が勝利を勝ち取った訳です。 グロタンディークがいなければ、代数幾何の発展はもっと遅れていたとは思うけれど いずれだれかが、その高みに登っただろうと思う ルートは紆余曲折があり、一人ではなく、現代のエベレスト登頂のように何人ものチームと重装備を用意してとなったかも知れないが・・ 内山 龍雄氏が何かに下記を書いていたが、ヤングミルズ方程式は独立に得ていたが、船で渡米しているうちに先をこされたと。 （「これはだれも考え付かない」と思っていたらやられたとか） ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E5%B1%B1%E9%BE%8D%E9%9B%84 内山 龍雄（うちやま りょうゆう、1916年（大正5年）8月28日 - 1990年（平成2年）8月30日）は、日本の男性理論物理学者。大阪大学名誉教授。重力場を含む一般ゲージ場の創設者である。 1954年ごろまでに、楊振寧、ロバート・ミルズとは別に重力と電磁力を結び付ける一般ゲージ理論（非可換ゲージ理論）の研究を完成させていたが、日本で内山以外に一般ゲージ理論を理解できる人間がいなかった[要出典]。 国外では、ヴォルフガング・パウリが1953年には、非可換ゲージ理論を完成させていたが、こちらもゲージボソンに質量を与える方法が分からないという理由で論文発表を控えていた[1][2]。 このため、1954年10月の楊とミルズの論文に対して発表が遅れ、プライオリティは得られなかった[3]。 しかし、論文の発表と同時にプリンストン高等研究所へ赴任し、場の理論の発展に努めた。 377 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 23:26:27.00 ] >>376 >内山 龍雄氏が何かに下記を書いていたが、ヤングミルズ方程式は独立に得ていたが、船で渡米しているうちに先をこされたと。 >（「これはだれも考え付かない」と思っていたらやられたとか） 陸上の世界記録など 必ず破られるもの そして、破られた世界記録は次の標準記録になる グロタンディークは、『天国から地上へと梯子を下ろした』が、いまやそれが標準記録だろう 378 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 23:48:04.82 ] 1 名無しさんにズームイン！ [] Date:2012/03/28(水) 08:28:15.02 ？ID:NWYs/2ZP Be: 　やらなけゃいけない 　電○の各局への圧力が半端ないんです 　昨日、一昨日前田AKB卒業ネタやった情報番組全てが前田AKB卒業ネタ中の毎分で視聴率がダダ下がりしました。 　各局本音では毎分視聴率ダダ下がりするこのネタははやりたくなかったけど原子力村以上に電○からの圧力が凄いんです ブーム捏造、枕営業、自社買い、サクラの動員そして AKBの捏造ブームのために税金が大量に使われている証拠がこちら やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件　その124 hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1333533082/ テレビの捏造ブームに騙されるな 379 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/05(木) 06:00:24.33 ] >>376 補足 1954年5〜6月頃の口頭発表のときに、簡単なレジュメ（概要と結論）を配布しておけば、プライオリティの主張（独立に同じことをの）はできたかも それと、口頭発表が伝わったのかも・・。ワイルズさんがFLTをやっているときに、ちょっとしたヒントで同じ理論を瞬時に思いつく人は沢山いると、秘密を厳格に守ったそうだ そういう例を沢山しっていたのだろう。古くはガウスが楕円関数を一言書いたら、それをヒントにヤコビとアーベルとが理論を作り上げた 今思えば、レジュメ（概要と結論）も配布しないなら、そしてすぐ論文投稿しないなら、なんのための発表かということになる。他国で独立で進めている人には、「早く投稿しなければ」という動機付けになるし・・ ともかく、ヒントでも言ってしまえば、グロタンディークと同じことを構成する人は出てきたんじゃないかな もっと人数と時間は掛かっても・・ ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E5%B1%B1%E9%BE%8D%E9%9B%84 経歴 1954年5〜6月頃、楊振寧、ロバート・ミルズとは別に一般ゲージ理論の研究を完成させ、京大基礎物理学研究所で開催された小さな研究会で口頭発表していた 1954年8月からプリンストン高等研究所に研究員として渡米 1954年10月の楊とミルズの論文（ノーベル物理学賞受賞）に対して発表が遅れたためにプライオリティは得られなかった 1955年10月 大阪大学教授 380 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/05(木) 13:40:14.37 ] 保 381 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/05(木) 21:29:28.23 ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む500より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/500 位数119 までの群の分類が下記にある www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf 位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日

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