★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 06:10:13 ] >>545 応用してみた。 x^3-ax^2+bx-c=0(a,b,cはともに実数) (1)この方程式が正の解しか持たない時、ab/c≧9であることを示せ。 (2)いまサイコロを三回投げて、順に出た目をa,b,cに代入した。 この時、この方程式の解が正整数解しかもたない確率を求めよ。 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 08:38:23 ] >>548 (1)>>547 (2)0<α≦β≦γとしておく (1)よりab/c≧9なのでc≦4 c=1のとき、α=β=γ=1⇔a=3,b=3 c=2のとき、α=β=1,γ=2⇔a=4,b=5 c=3のとき、α=β=1,γ=3⇔a=5,b=7(不適) c=4のとき、α=β=1,γ=4⇔a=6,b=9(不適) または α=1,β=γ=2⇔a=5,b=8(不適) 求める確率は2/216=1/108 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 09:10:42 ] 東工大に類題あるな 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 10:02:44 ] あまり(1)と(2)に関連がないような気もする 552 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 14:55:23 ] 3点P(0,0,1),Q(0,1,0),R(0,0,1)を頂点とする正三角形の板Sを考える。 (1)Sをz軸のまわりに1回転させたとき､Sが通過する点全体のつくる立体Tの体積を求めよ。 (2)Tをy軸のまわりに1回転させたとき､Tが通過する点全体のつくる立体Uの体積を求めよ。 553 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 15:57:53 ] n,m,l,kを正の整数とする。 以下の式を満たすn,m.l.kの組を全て求め、 それが全てであることを示せ。 (n!)^k+(m!)^k=(l!)^k 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 16:13:10 ] 誰か >>511 をお願い 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 16:53:52 ] >>553 n≦m<lで考える n<m<lのとき (n!)^k+(m!)^k=(l!)^k の両辺(n!)^kでわると 1+(P(m,m-n))^k=(P(l,l-n))^k …(1) (1)の左辺はn+1で割って1余り右辺はn+1で割り切れるので不適 ゆえに m=nとなり 2(n!)^k=(l!)^k 両辺 (n!)^kで割って 2=(P(l,l-n))^k これを満たす組み合わせは k=1, m=n=1,l=2のみ 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 17:10:02 ] >>555 正解、簡単すぎかな スマートな面白さを求めたつもりだったけど・・・ 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 17:21:11 ] とりあえず回答が出てある程度時間経ったら出題者は自分の用意した回答だしてくれ 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 22:23:53 ] >>543 　f(x) = (x^n)･e^(-x), は x=n で最大値 f(n) = (n/e)^n をとる。 y>0 のとき 　f(2n+y) = f(2n)･(1 + y/2n)^n･e^(-y) < f(2n)･e^(y/2)･e^(-y) = f(2n)･e^(-y/2), a>2n のとき 　(与式) = ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[2n,a] f(x)dx 　　= ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[0,a-2n] f(2n+y)dy 　　< ∫[0,2n] f(n)dx + f(2n)∫[0,a-2n] e^(-y/2)dy 　　= 2n･f(n) + 2･f(2n){1 - e^(-(a-2n)/2)} 　　→ 2n･f(n) + 2･f(2n),　　　　(a→∞) 559 名前：558 mailto:sage [2009/09/18(金) 22:28:54 ] >>543 　>558 より与式は有界。 　また、与式はaについて単調に増加するから、収束する。 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 23:57:00 ] >>554 >>511は簡単すぎて誰もﾄﾅｶｲ 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:01:35 ] 簡単とか難しい以前に解こうかなって思わせる要素が全くない、面白くない あれだったら自分の用意してた答え書いてみ 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:04:16 ] と解けない人が回答を欲しがっています 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:05:14 ] >>560 トナー買うなら･･･ www.tonakaibin.com/index.php 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:06:47 ] >>563 ﾄﾅｶｲの便w 565 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 00:16:06 ] ２/３＝１/２＋１/６ １１／１４＝ 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:17:44 ] >>552 (1) 　Rを頂点とする2つの円錐と、xy-平面とで囲まれた部分。→ T 　外側の円錐は、RP,RQを通り、底半径1, 　内側の円錐は、PQの中点を通り、底半径1/√2, 　V(T) = (1/3)π- (1/6)π = π/6, 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:18:26 ] >>561の面白い問題投下に期待 568 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 02:04:03 ] 確かに解答者の解答が示されないと面白みが半減するな 569 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 02:04:27 ] 一辺が10の立方体がある。 この中に半径1/√5の球を立方体からはみださないようにいれていく。 立方体に詰めることができる球の最大の個数を求めよ。 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 08:45:57 ] >>569 秋山仁乙 571 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 10:03:36 ] >>568 解けていないのに,解いて欲しいが為に出題する奴が多いから無理 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 10:13:21 ] >>511の出題者は、「問題」を思いついただけで、 高校課程の知識での解等例はおろか 「もちろん，大学以降の知識を使えば自明」な解答すら実は書けないのではないか。 573 名前：511 mailto:sage [2009/09/19(土) 11:23:26 ] 高校範囲内の解答はもちろん用意していますが、 誰もﾄﾅｶｲのでお蔵入りです。 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 11:46:09 ] そりゃ残念だったな 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 11:48:47 ] 真っ赤なIDのトカナイさん 576 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 11:55:38 ] 有理数と有理数の間には必ず無理数が存在し、 無理数と無理数の間には必ず有理数が存在することをいえばよいのかな？ 577 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 11:59:41 ] ↑スルーしてくださいorz 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 12:06:31 ] >>512がといてるやん 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 12:11:25 ] 無理数はいくらでも有理数で近似できることを用い、連続性の定義を振り返ればよい 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 12:37:26 ] >>578 >>512は範囲外だろ。 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 12:50:21 ] どいつもこいつも歯切れが悪くてイライラするぜ 582 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 13:26:03 ] >>570はげ山仁がだしてたの？ 研究室で結晶格子みながらこのスレみたから投下してみた 583 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 13:58:47 ] 半円x^2+y^2=1(y≧0)上に2点P,Qがある．線分PQの中点をRとする。 P,Qが半円上をそれぞれ自由に動く時、Rの存在する領域を図示せよ。 584 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 14:07:13 ] >>565 1/2 + 1/4 + 1/28 =11/14 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 14:07:34 ] >>583 計算による問題は既出。 幾何的に解くのは，大数1対1対応の演習（旧課程版）にあり。 586 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 16:20:55 ] 一辺が2の正三角形ABCがある。 辺AB,辺BC,辺CAを軸に正三角形ABCを回転させてできる立体の共通部分の体積を求めよ。 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 16:33:13 ] 東大志望だけどこのスレ見てると死にたくなったｗｗ勉強してくる 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 18:16:30 ] science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1249096955/とか他にも出題スレはあるよ 589 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/20(日) 00:26:32 ] 大数かなんかの裏表紙の広告にあった問題 正七角形ＡＢＣＤＥＦＧにおいてＡＢ＝ｘ、ＡＣ＝ｙ、ＡＤ＝ｚとおくと y^2/x^2+z^2/y^2+x^2/z^2=5となることを示せ。 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 01:32:15 ] >>583 　問題の半円から、中心(-1/2,0) 半径1/2 の小さい半円と、 中心(1/2,0) 半径1/2 の小さい半円と を除いた領域。 　　　　　　　　　　(x + 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2,　　　　(x - 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2, 　R(x,y) がこの領域内にある　⇔　Rを通りORに垂直な直線と半円とが２点で交わる(P,Q)。 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 02:47:14 ] >>589 外接円の半径をR とする。 　x = AB = 2R･sin(∠AOB/2) = 2R･sin(π/7) = −2R･sin(8π/7), 　y = AC = 2R･sin(∠AOC/2) = 2R･sin(2π/7), 　z = AD = 2R･sin(∠AOD/2) = 2R･sin(3π/7) = 2R･sin(4π/7), よって 　y/x = 2cos(π/7), 　z/y = 2cos(2π/7), 　x/z = −2cos(4π/7) = 2cos(3π/7), よって 　(y/x)^2 = 2{1 + cos(2π/7)}, 　(z/y)^2 = 2{1 + cos(4π/7)}, 　(x/z)^2 = 2{1 + cos(6π/7)}, よって 　(与式) = 5 + {1 + 2cos(2π/7) + 2cos(4π/7) + 2cos(6π/7)} 　　　= 5 + Σ[k=0,6] cos(2kπ/7) 　　　= 5, ------------------------------------------------- (注) cos(2π/7), cos(4π/7), cos(6π/7) は 　1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 -4u +4u^2 +8u^3)^2 = 0, の根で u≠1 のもの、すなわち 1 -4u +4u^2 +8u^3 = 0, の3根である。（本問では使わないが） 592 名前：591 mailto:sage [2009/09/20(日) 02:52:37 ] >591 の訂正 　1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 +4u -4u^2 -8u^3)^2 = 0, の根で u≠1 のもの。 ｽﾏｿ. 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 03:01:35 ] 1の７乗根ζは難問の宝庫 ζ＋ζ^2＋ζ^4　の値を求めよ 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 04:30:19 ] >>593 とっかかりすりゃわからん・・・ところで、ζってなんて読むの？あと７乗根って１含む？ 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 04:51:26 ] >>594 　z　= ζ + ζ^2 + ζ^4　とおく。 　z* = ζ^6 + ζ^5 + ζ^3, 　z + z* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) -1 = -1, 　zz* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) + 2 = 2, 　Z^2 + Z +2 = 0, ∴　z　= {-1 + (√7)ｉ}/2, 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 06:25:34 ] >>586 　A(√3,0)　B(0,1)　C(0,-1) とする。 AB: y = 1 - x/√3, AC: y = x/√3 -1, 領域D: 　1 - (√3)x < y < (√3)x - 1,　　　　{(1/√3) < x < (√3)/2} 　(x/√3) - 1 < y < 1 - (x/√3),　　　{(√3)/2 < x < √3} の体積を求めて3倍する。 　x '(y) = (√3)(1-|y|), 　z(x,y) = √{(x ')^2 - x^2} = √{3(1-|y|)^2 - x^2}, 　V = ∫_D　z(x,y) dxdy = ･･･ 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 07:49:27 ] >>558 〔補題〕 x>0 のとき 　(1 + x/n)^n < e^x, (略証) 　(左辺) = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (x/n)^k 　　　= Σ[k=0,n] {n(n-1)(n-2)････ (n-k+1)/(n^k)} (1/k!) x^k 　　　< Σ[k=0,n] (1/k!) x^k 　　　< e^x, 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 08:25:15 ] >>560 >>563 www.youtube.com/watch?v=g5QZ8asNHoQ 02:22　モー娘。 www.youtube.com/watch?v=nxUsvRr8o0k 02:52　歌詞付 www.youtube.com/watch?v=0q6lD9IFtks 02:15 池田淳子 www.youtube.com/watch?v=vDUzcqZuBdI　 　MP3TUBE www.youtube.com/watch?v=pISgVQOj_QM 03:04 www.youtube.com/watch?v=rUyRYH8w7EM 02:35 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 08:28:20 ] 日本には「鼻蔵」という僧がいて、クロード・コンピューティングの開祖とされている････ これも今は昔、奈良に、蔵人得業 恵印といふ僧ありけり。 鼻大きにて、赤かりければ、「大鼻の蔵人得業」といひけるを、後(のち)ざまには、ことながしとて、「鼻蔵人」とぞいひける。 なほ後々(のちのち)には、「鼻蔵(はなくら)、鼻蔵」とのみいひけり。 　　　　　　　　　--宇治拾遺物語「蔵人得業猿沢の池の龍の事」より-- 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 14:45:48 ] >>579 できればもっと詳しくお願いします 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 18:45:59 ] >>600 ？ この文言で明らかじゃないなら勉強が不足しているよ君 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 20:13:08 ] >>601 お前、ここが高校生向けの問題を作るスレだって自覚してる？ 603 名前：清書屋 mailto:sage [2009/09/20(日) 20:44:25 ] >>510 a≠0 のとき　f(t) = aT^3 + (c - b^2 /a)T + 定数項,　(T = t + b/3a) 　f '(t) = 3aT^2 + (c -b^2 /a), 　a(c - b^2 /a) = ac - b^2 < 0 のとき、極値を持つ　…　○ 　a(c - b^2 /a) = ac - b^2 ≧ 0 のとき、極値を持たない　…　× a=0 のとき 　b≠0 のとき、f(t)は2次式、極値を持つ　…　○ 　b=0 のとき、f(t)は1次式 　　c≠0 のとき、極値を持たない　…　× 　　c=0 のとき、定数　…　○ ∴　求める条件は 　a≠0 かつ ac-b^2 < 0, 　a=0 かつ b≠0, 　a=b=c=0, のいずれか。 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:13:43 ] >>593 2000年4月号の学力コンテストに類題あり、 a,b,cは相異なる複素数で、a^2=b、b^2=c、c^2=aであるとする。このときa+b+cは実数でないことを示せ。 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:47:17 ] >>604 こんな簡単な問題が出るかなぁ 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:50:05 ] >>593 cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)　を求めよ なんて形で出題したら、受験生の何割が完答するだろう？ 範囲外か 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:52:10 ] >>606 sin(\pi/14)をかけて割ればいいから範囲内です。 数学オリンピック1963年[5]がこの問題でした。 608 名前：595 mailto:sage [2009/09/20(日) 21:55:55 ] >>604 　a^8 = b^4 = c^2 = a, 　a=0,1 とすると a=b=c となり、題意に適さない。 ∴　a^7 =1,　a≠1, ∴　a = exp((2kπ/7)ｉ) = ζ,　　(1≦k≦6) 以下 >>595 と同じ。 609 名前：607 mailto:sage [2009/09/20(日) 21:56:44 ] ついでに言えば、2007年数学検定2段で\sum_{k=1}^{180}sin k°= cot 0.5°を示せというのがありました。 この計算は、定積分 \lim_{n \to \infty} \sum_{n}^{k=1} (1/n) \sin( \pi k/n) を求めるのにも使えます。 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 22:49:23 ] >>602 無理数の定義自体、有理数でない実数、程度の高校数学で 高校生にどんな解答を期待しているのか、マジで知りたい。 611 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 03:12:58 ] >>398（訂正版 >>404） n=3のとき題意を充たすpが存在しないことを示せばよい。 （n=k≧4のときに存在すれば、p=a_{k-2}と置き直してa_3=3となる） a_3=3となるには、a_2の各位の値は3が1つと残りは1でなければならない。 ところでa_2はpの各位の数の積なので、a_2の素因数としてありうるものは2、3、5、7。 素因数に2、5を含むとすると、a_2の1の位が偶数または5となり不適。 よってa_2=3^s･7^t（s、tは非負整数）とかける。 ここでa_2の1の位としてありうるものは1、3、7、9であるが、それらと3あるいは7との積の10の位は偶数であるから、 任意の(s,t)について、帰納的にa_2の10の位は偶数である。これとa_2が2桁以上の整数であることにより、a_3は偶数となる。 従ってa_3=3とはなりえないから、題意は示された。 帰納的に〜あたりは端折りすぎというか、言葉遣いが間違ってる気がするが伝わるだろうか…。 あと、この議論だと1、7、9にもなりえない気が…。 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 05:41:45 ] >>610 ヒント 中間値の定理 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 19:05:26 ] なるほど 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 20:56:20 ] 面白い問題を思いついた．完璧に解ける高校生は非常に少ないと思う． 入試ではﾀﾌﾞｰだと思うので実際に出題される事はないと思いうが． n，m を2以上の整数とするとき，次の関数の導関数を求めよ． y＝[n]√(x^m) 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 21:58:54 ] xの範囲も指定せずに導関数を求めよとか有りなのか 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 22:04:40 ] >>615 mが奇数ならx>=0のみ、mが偶数なら全実数ということでは？ 617 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 22:07:06 ] x^(m/n)じゃなくて？ 618 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 22:13:44 ] >>614 ガウス記号かと思った 619 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 22:21:19 ] 俺もガウス記号に見えて何言ってんだろうって思った 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 22:46:46 ] >>615 実数値関数として意味を持つ x の範囲が定義域だろ、普通。 y＝√x のときに x＞0 とか書かない。 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 22:51:25 ] >>616 ちょっと全然違う。 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:02:27 ] >>614 { [n]√(x^m) }’＝ { x^(m/n) }’＝(m/n) x^(m/n−1)＝(m/n) [n]√{ x^(m−n) } ではどこがあかんのですか？ 623 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 23:20:13 ] f(x)=e^(m/n)logx f'(x)=e^(m/n)logx*m/n*1/x =m/n*x^(m/n-1) これなら教科書にも載ってるしな 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:21:26 ] >>619 >>622 俺もそう思った。 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:24:47 ] どうも、思いつき、が多いなあ。 626 名前：614 mailto:sage [2009/09/21(月) 23:30:00 ] どうも出題意図が上手く伝わらない． ではもっとｼﾝﾌﾟﾙにして，次の様に修正． y＝[3]√(x) 及び y＝[6]√(x^2) の導関数を求めよ． 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:37:51 ] え？[3]√(x)＝[6]√(x^2) では? 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:45:45 ] もしかしてあれか、定義にしたがって求めよってやつか？ 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 00:05:55 ] ちゃいますがな 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 00:10:21 ] 「面白さ」を含めて解説きぼんぬ 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 03:09:25 ] d/dx(|x|)=sgn(x) 632 名前：sage [2009/09/22(火) 07:15:42 ] どっかで同じような流れを見たことがあるような…。 多分出題者は[n]√(x^m)とx^(m/n)の表す意味合いは微妙に違うみたいなことを言いたいんだろう。 後者だとx<0は扱えない。高校の教科書の定義は確かそうだったはず。 まぁ「面白さ」は今ひとつ感じないが。 >>627 x=-8とすると [3]√(-8)=-2 [6]√(-8)^2=2 とかになるが… 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 07:17:43 ] なんで名前のほうにsageって書いたんだろう。ちょっと吊ってくる。 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 08:06:23 ] >>626 y＝[3]√(x) において x＞0 のとき y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2) x＜0 のとき y'＝{−(-x)^(1/3)}'＝−(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝1/[3]√(x^2) よって x≠0 のとき y'＝1/[3]√(x^2) y＝[6]√(x^2)において x＞0 のとき y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2) x＜0 のとき y'＝{(-x)^(1/3)}'＝(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝−1/[3]√(x^2) 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 09:49:04 ] >>634 ｱﾅﾙほど 636 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/22(火) 09:54:44 ] 原点を通らず、全実数で定義される関数f(x)は、原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということは正しいか？ 正しいなら証明を与え異なれば反例を与えよ 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 09:59:42 ] 正しい訳ないじゃん。 ﾚｷﾞｭﾗりﾃｨｰに関する記述がない。 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 10:24:33 ] y=[x]+1とか もちろん[ ]はガウス記号 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 17:55:31 ] >>634 そうすると y=[3]√x を微分するとき 安直に y=x^(1/3) とかするのは本当は駄目なんだね 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 18:12:24 ] f(x)=|x|+1とかいくらでもあるわな 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 18:15:11 ] >>636は微分可能性を付け忘れたお馬鹿ｻﾝ 642 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/22(火) 19:33:02 ] 半径１の球上に、無作為に２つの点をとる.この２点間の距離の期待値を求めよ. 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 19:46:26 ] 線積分すりゃいいよ 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 20:11:45 ] >>636 「原点を通ら(ない)・・・関数」 という表現は、 カス教師の作った問題やFランク大入試ならまだしも、 東大入試ではあるはずがない。 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 20:16:06 ] (0,1), (1,-1), (2,-1) を通る二次関数を求めよ、とかいう問題とかね。よくあるけどやめてほしいよな。 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 20:54:32 ] いやです。 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 21:42:24 ] >>644 なぜ？ 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 21:54:12 ] >>647 「関数」と「関数のグラフ」を混同するような馬鹿なことは しないってことだよ。 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 22:01:40 ] >>645はどう書けば満足なんだ？ きちんとしたグラフの定義は高校ではやらない。 重箱の隅を突付いて嬉しいか？ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 22:30:08 ] >>639 有体に言えばそういうことだ 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:10:05 ] >>649 きちんとしてるかどうかは別として、 高校数学においても関数とグラフは別物だろ。 「2次関数〜〜とx軸との交点の個数」といった表現も生徒の答案ではよく見るが、 教科書や入試問題ではそういう表現はされていないはずだから、 これでいいじゃないかと主張する高校生がいたら勉強不足だと言いたい。 そのへんは理解度が試されるところだと思うから、厳しくした方が受験生のためだ。 ただ、式とそのグラフを同一視するということはままあって、 「放物線y=x^2」というような書き方は珍しくないのだが。 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:11:51 ] まず教科書に定義を書いているかが問題だ 653 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/22(火) 23:31:20 ] 全実数で定義され、かつ微分可能な関数f(x)のグラフは、 原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということを示せ。 ただし、f(0)≠0である。 だったら正しい？ 問題出したというより疑問として出したんだけど 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:44:16 ] ＞問題出したというより疑問として出したんだけど 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:52:35 ] >>634 目から鱗です。。。 656 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 00:07:51 ] 今日、来年理１受けることを決めたｗ で、問題。 ========================================================================================= ある自然数の２乗で表すことのできる数を平方数と呼ぶ。 1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16・・・（中略）・・・2010^2=4040100,2011^2= 4044121,….であるので 平方数を小さい順に記述すると、 1,4,9,16・・・（中略）・・・,4040100,4044121,・・・・(以下永遠に続く) である。 ある自然数nは、平方数であり、nを１０進法で記述したとき各桁の数字がすべて１である。 n を求めよ。 ========================================================================================= って、平方数かじったことある人なら楽勝かもしれないけど、 「東大入試」って考えれば、いいよね？（でもかんたんすぎる？解き方もいろいろあるし） 657 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 00:13:02 ] もひとつ。 ========================================================================================= ｘｙ座標平面上に、原点Ｏを中心とし半径１の円Ｃ、および、円Ｃの円周上に相異なる点Ｐ、点Ｑがあり、ＰＱ＝aである。 また、△ＯＰＱの面積を２等分する直線lがある。 直線lと△ＯＰＱの交点を点Ｍ、点Ｎとするとき、線分ＭＮの長さの最小値を a を用いて表せ。 ========================================================================================= （実は数学から長らく離れてたので、東大入試の難易度、年々かんたんになってるということくらいしかあまり知らない・・・） 658 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 00:17:16 ] 2^X=X^2の実数解Xを求めよ。 こんなのどうだろう。 ちょっと逸脱気味だし、満点取るやついないだろうな… 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 00:42:30 ] >>658 X^(1/X) = 2^(1/2), X = 2,4 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 01:30:23 ] >>656 条件より、ある正整数kを用いて、 n=(10^k-1)/9 とあらわせる。 これより、 9n=10^k-1……(※) 以下では法4で考える。 nは平方数なので、0,1と合同になるが、0と合同になるのはnが4の倍数のときである。 4の倍数の下一桁には1が現れないことから、nは1と合同となる。 9が1と合同であることとあわせて、(※)の左辺は1と合同になる。 したがって、 10^k-1≡1⇔10^k≡2⇔2^k≡2⇔2^(k-1)≡1 k-1≧2のとき、2^(k-1)は4の倍数になるから、 k-1=0,1⇔k=1,2 前者のときは、 n=1 後者のときは、 n=11 nは平方数なので、求める数はn=1である。 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 02:09:08 ] >>660 なるほどなあ　いい問題や 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 02:10:43 ] じゃあオレからも一題。 y=x^2 と x^2+y^2+z^2=1で囲まれる体積の、小さいほうの体積を求めよ。 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 02:11:27 ] どこがいい問題なんだか 664 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 03:07:28 ] 円C_a,C_b,C_cは互いに3点で外接する。 その三点を通る円の面積をS C_a,C_b,C_cに囲まれた部分の面積をS'とする この時S'/Sの最大値を求めよ 665 名前：>>656=だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 03:13:11 ] >>660 あってます。 けど、「nは平方数なので、0,1と合同になる」の部分、東大入試的には説明不足で減点にならないのかなぁ・・・ あと、2^(k-1)≡1 がわかった段階で、そのあとは、 （mod 4の考えから少し（？）離れれば） 「k>=2 のとき2^(k-1)は２の倍数なので、題意を満たさない。また、k=1のとき、n=1。これは題意を満たす。答えは１」 で終わる。 たぶん、「正整数pについて、p^2≡0 または p^2≡1 (mod 4)」ってのを知ってたから、こう解いたのだと思いますが、 ちょっと実験すれば、回答は５行で書けます。 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 03:45:46 ] >>656 難易度A*だな 667 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 04:11:34 ] 秒針、短針、長針をもった、正確に動いている時計がある。 この3本の針について、どの2本の針のなす角も120°である瞬間は存在するか。 668 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 04:40:47 ] 命題P,Qがある。P,Qは真か偽か不明だが少なくとも一方は真である。 続き作れ 669 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 05:05:50 ] >>667 それぞれの針は、なめらかに動くの？それとも、（たとえば秒針なら）１秒ごとに、2π*(1/60)だけ「カチっ」って、瞬間移動っぽく動くの？ (分針は必ずなめらかに動くんだっけ？いつもデジタル時計しか見てないからわすれた） >>668 Ans, 命題「>>668」は真か偽か不明である。 670 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 09:18:18 ] 数列｛a[n]｝は 漸化式a[n+2]=(a[n+1]+a[n])/2とa[1],a[2] によって定まる数列である。 lim[n→∞]a[n]＝αとおくとき、 |a[1]-α|≧|a[2]-α|を示せ。 (☆漸化式を解かない方法てあるかな？) 671 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 10:15:09 ] 誰か>>658を解ける強者いない？ ちなみにコンピュータは使わないでね。 >>659は違います。実数解は全部で3つ存在してます。 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 10:57:12 ] ま、どうでもいいけど、問題としてどんな面白みを感じてるのさ？ 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 12:21:55 ] X^2=(-X)^2=2^X 2^(-X)=(-X)^(-2) 2^(1/(-2))=(-X)^(-1/X) 1/√2=t^(1/t) さて…? 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 12:27:06 ] x＜0で片や単調増加、片や単調減少 中間地の定理から-0.5と-1の間に零が一個ある、程度でいいんじゃねえの 675 名前：うんこ mailto:sage [2009/09/23(水) 14:05:12 ] -0.76あたりで３つめをとるな！ しかし、673のようにx乗根を取ったときその変形が同値なのかわからんな。 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 17:45:30 ] 任意の自然数k,mについて a^n+b^n=c^(km+1) が成立するような(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ. 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 17:46:56 ] ×　a^n+b^n=c^(km+1) ○　a^m+b^m=c^(km+1) 678 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:10:21 ] >>561=>>632=>>672 文句ばっかり言ってるね。 自分が投下した問題を吊るしてみなさいYO 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:11:16 ] 実際つまらんから言われても当然 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:12:21 ] {a[n]}(n=1,2,3,…)は各項が正の実数からなる数列で、 初項a[1]から第n番目の項a[n]までの和をS[n]とおく。 a[n]=√S[n]を満たしているとき、a[n]の一般項を求めよ。 681 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 18:19:45 ] >>656 で出題したやつのかんたんな解答例 nは題意により奇数。一般に偶数の２乗は偶数。ゆえに、∴n=(2k+1)^2 （kは非負整数）とおける するとn=(2k+1)^2=4*(k^2)+4*k+1 ゆえにn-1=4*(k^2)+4k=4(k^2+k) 題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0 (∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである) ∴ n-1=0 ゆえにn=1 これは題意を満たす。よって答えは n=1 =============================== >>657 で出題したやつ、だれも解いてない。だれか解いてくれぇ。。 =============================== >>676 (>>677） a^m+b^m=c^(km+1) ⇔c = (a^m+b^m)の(km+1)乗根 m,kの値がいくつであっても、a,bは変数であるので、a,bが実数全体を動くことを考えると、(a^m+b^m)は無限個の値をとる。 また、(km+1)は、a,bの値に依存しない。 ゆえに、c（ = (a^m+b^m)の(km+1)乗根）も、（a,bの値に依存するとはいえ）無限個の値をとる。 よって、題意を満たす(a,b,c）の組は無限個存在する。■ 、 682 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:25:07 ] >>681 ＞4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである ダウト 例えば非負整数=5では？ 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:37:10 ] >>680 大数の宿題かなんかだっけ？ その問題 684 名前：681 mailto:sage [2009/09/23(水) 18:39:42 ] >>681 の ==== 題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0 (∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである) ==== これ、ウソだった。（4*40=160とか） 正しくは、たとえば、 ＝＝＝ n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ。 しかしこのとき、n=(2k+1)^2=1ゆえnは１桁。よって矛盾し、題意を満たさない。 一方、n-1が１桁だと仮定すると、n=1である。これは題意を満たす。よって答えは1 ＝＝＝ 685 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:50:05 ] 関数f(x)は任意の実数について定義され、実数値をとる関数であり、以下の2つの条件をともにみたす。 f(x)としてありうるものをすべて求めよ。 *任意の実数xについてf''(x)> 0(第2次導関数が常に正の値)である。 *任意の相異なる実数a,bに対してy=f(x)上の2点A(a,f(a)),B(b,f(b))を考えたとき、 線分ABとy=f(x)で囲まれる部分の面積は |a-b|^3 である。 686 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:53:26 ] >>684 ＞n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ 意味不明。 そもそも>>656はnの桁数が2以上のときn=1...11≡3(mod4)で平方剰余にならないことからあっさり終了する。 東大にこんな知ってるか知ってないかの安易な出題はまずされない。 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:55:47 ] >>684 いや k^2+k ( =k*(k+1) )が５の倍数のとき、ダウトだ。。。 最初に解いた答え、どっかゴミバコにすてちった。。。５で割ったことはたしかなんだが。 688 名前：687 mailto:sage [2009/09/23(水) 18:57:33 ] >>686 n=1...11≡3(mod4)、知ってたけど、東大受験生的には常識？ 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:01:02 ] 4の倍数の判別法くらい中学生でも知ってるだろ・・・ 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:27:21 ] >>679 多分おまえの方がつまらない 691 名前：297 mailto:sage [2009/09/23(水) 19:29:58 ] >>670 　(a[n+1] + 2a[n+2])/3 = (a[n] + 2a[n+1])/3 = ･･････ = (a[1] + 2a[2])/3, ∴　α = (a[1] + 2a[2])/3, 　a[n+1] - α = (-1/2)(a[n] - α) = ･･････ = (-1/2)^n {a[1] - α}, 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:50:19 ] >>685 y=6x^2+ax+b 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:52:52 ] >>685 任意の実数xについてf''(x)>0 は 任意の実数xについてf'(x) が存在 に弱められそうだだが。 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:56:38 ] >>693は勘違い 電電無視してくれ 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:59:31 ] でも確かに広義の凸性があれば、2回微分可能でなくてもいいな。 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 20:04:09 ] 確かに 誰かギリギリの条件の模索頼む 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 20:07:37 ] >>658 x>0のとき。f(x) = log x/xとすると、f'(x) = (1-\log x)/x^2よりx=eで極大値を持ち、 x<eで単調増加、x>eで単調減少。 2^x=x^2は、logx/x=log 2/2より、x<eでは解はX=2のみ。x>eでは解はX=4のみ。 x<0のとき。y=-xとすると、y^2=2^{-y}よりlog y/y = - log 2/2。このようなyは、0<x<eでf(x)=log x/x が単調増加するので、0<y<1の間に一意的に存在する。 y = - (2/log(2))*LambertW(log(2)/2) (LambertW(x)はLambertのW関数で、y=xe^xの逆関数) 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 20:22:21 ] 任意の自然数k,mについて a^m+b^m=c^(km+1) が成立するような自然数(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ. 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 22:20:32 ] >>698 これは簡単すぎだろ 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 00:07:46 ] このスレから６問、２０１０年度の東大本試に出したら、暴動起こるだろうな 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 01:12:35 ] >>700 作問者って、このスレ見てるのかな？1人くらいはみてそう 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 01:15:19 ] >>698 >>677 で同じの出してるじゃん、だいじょうぶ？ 703 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 01:44:37 ] >>671の解答って結局 X=2、4とあと一つX<0の範囲に存在する解は何なんだ？ グラフ書いてみて何となく想像つく気もするが、高校の知識でこれを解く方法なんてあるのか？ 704 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 01:45:54 ] >>671じゃなくて>>658だた 訂正 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 02:10:07 ] ニュートン法。 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 05:49:12 ] >>703-705 　X = -0.7666646959621230931112044225103･･･ 707 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 06:02:36 ] >>685の解法おしえて 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 08:00:00 ] 三角形（ａ，ｆ（ａ））（ｂ，ｆ（ｂ））（ｃ，ｆ（ｃ））の面積。 709 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 08:04:57 ] ☆☆☆★最大級の注意を★☆☆☆☆☆ ☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆ ☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆ ☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆ ☆☆☆★世界の支配者ユダヤが地震兵器を使うのか★☆☆☆☆☆ 友人、知人、親類縁者、あらゆるつながりを駆使して巨大地震がくることを教えて下さい。 四川地震より大きいのが来る可能性があります。 goldenta★★matama.bl★★og★8★★4.f★★c2.c★★om/ 警告！21-23日の地震は外れた次は27日やヴぁいかも5 live24.2ch.net/test/read.cgi/eq/1253716942/ ワタスの予言では今月中に関東大地震だす３ live24.2ch.net/test/read.cgi/eq/1253594903/ e-PISCO Part11 live24.2ch.net/test/read.cgi/eq/1252991726/ ほんとに大震災だったら犯人は特権階級全員だってことにwwwwwwww ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ カナダの世界的科学者ロザリー・バーテルはハープが地震兵器や脳を損傷させる兵器の疑い があるので情報を公開するように要請している www.youtube.com/watch?v=8AMlqRsHUXI&feature=player_embedded#t=511 710 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 08:35:01 ] 不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす実数x(0<x<1)に対して、 x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。 ※log_[x]（…)は底がxということです。 711 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 08:37:39 ] 任意の実数xか有る実数xに対してかハッキリしてくれ 712 名前：710 [2009/09/24(木) 08:50:18 ] 【訂正】 不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす全ての実数x（0<x<1）に対して、 x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。 713 名前：うんこ mailto:sage [2009/09/24(木) 12:52:27 ] >>712　かなり数が汚くなるなあ 一行目変換で 2x^2-10x+7≦0。よって(5-√(11))/2≦x<1。 f(x)=x^2-2ax-1としたとき、f(1)=-2a これが非負なのでa≦0. よってf(x)の軸は負か0にあり、f( (5-√(11))/2 )≧0より- (9√(11)-25)/28≧a となる 714 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 14:59:26 ] s<tのとき、以下の連立方程式からu, v, s, tを決定せよ。 u*s^3 + v*t^3 = 0　　�@ u*s^2 + v*t^2 = 2/3　�A u*s + v*t = 0　　　　�B u + v = 2　　　　　　�C 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 18:02:13 ] u，vは複素でもいいんかい? 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 18:05:01 ] いい加減誰か>>511の模範解答をを教えて呉 717 名前：714 [2009/09/24(木) 18:26:55 ] >>715 成立するなら、いいよ。 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 19:19:25 ] >>714 us(t-s)(t+s)=0 簡単杉 宿題か? 719 名前：714 [2009/09/24(木) 19:28:24 ] >>718 実際、簡単杉なんだけど、一応、答えを書いて下さい。 720 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 20:02:57 ] >> 713 正解 721 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 20:15:19 ] 次のような自然数の組(a,b)は存在しないことを示せ。 ※全ての自然数pに対してap+bが素数となる。 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:27:18 ] >>721 b≠1 なら、p=b のときに ap+b = ab+b = b(a+1) は合成数。 b＝1 なら、p=a+2 のときに ap+b = a^2 + 2a + 1 =(a+1)^2 は合成数。 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:43:02 ] >>722 30点ぐらいかな 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:45:27 ] 東大数学は1問20点です。 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:47:26 ] >>716 そういう関数fがあれば、集合｛f(x)：x∈[a,b]｝（これは幅をもった区間になる。） に属する各無理数zに対し、中間値の定理によって、f(c)=zとなるc∈[a,b]が存在して このcは有理数。すると　z|→cなる単射が作れたことになる。 さあ、高校数学の範囲でこの先矛盾を導けるのか？ 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 22:29:27 ] >>658 〔類題〕 　g(X) = (2^X - X^2)/{[2^X - e^(-2W(log(2)/2))](2-X)(4-X)}　 とおくとき、 次を示せ。 　2^X ≠ X^2　⇒　0 < g(X) < e^{2W(log(2)/2)} = 1.70133199790････ 727 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 22:54:44 ] Wて？ 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 23:56:15 ] >>725 以下背理法による略解 ある[a,b]で題意の関数fが存在したとする a＜c＜d＜b なる有理数 c,dが存在 [c,d]で m＜f(x)＜M なる有理数m,Mが存在 g(x)＝(M−m)(x-c)/(d−c)＋m−f(x)とおく 中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0 729 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:19:56 ] >>707 x≠0 のとき (f(x)/x)'＋f(0)/(x^2)＝6 微分方程式みたいなもん。 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:28:22 ] >>728 よく思いつくな 731 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:28:44 ] >>721 p＝a(a+2) 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:30:53 ] >>730 有理数係数の1次関数がf(x)を横切れば矛盾が出るという単純な発想を 数式化しただけ 733 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:33:28 ] >>729 よくわからん 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:34:51 ] >>732 その発想が上手いと思った 今日は良い夢が見れそうだ 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:38:58 ] >>734 ここであまり誉めらえる事はないんで有り難う 736 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:40:41 ] >>733 >>685において a=0，b=x とおいて両辺をxで微分して整理 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:43:35 ] >>736 なるほど、変数とみて微分するとは気付かなかったｻﾝｸｽ 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:47:54 ] >>728 細かいが訂正 × 中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0 ○ 中間値の定理よりあるα∈(c,d)があって，g(α)＝0 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 01:34:21 ] >>728 ほう なるほどな 褒美にメロンパンをやろう つ（＃） 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 01:39:16 ] 上半期一番の作問だね。 年度賞の第一候補。 741 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 08:32:37 ] それはない 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 08:34:46 ] これは有名問題だから作問とは言えないね・・・ 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 08:40:02 ] 上半期？ 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 08:58:50 ] Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。 A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。 1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。 線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、 動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 17:46:38 ] >>742 あまり見た事ないけど。 解法も有名なやつ？ 746 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 22:07:35 ] (1) ∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ (2) π=lim(n→∞)4*Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)を証明せよ (3) e=lim(n→∞)2^(Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/k)を証明せよ 747 名前：ゆう [2009/09/25(金) 22:10:22 ] ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分解せよ 748 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 23:10:43 ] >>746訂正 nは非負整数 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 02:39:21 ] ∫[0,1](sinθ-√(x^2-1))dxをθを用いて表せ。 750 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 03:25:13 ] √(x^2-1)が虚数になるんだが 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 03:45:29 ] >>746 (1) 　tan(x)^n･{tan(x)^2 + 1} = tan(x)^n / cos(x)^2 = tan(x)^n {tan(x)} ', ∴　(与式) = ∫[0,π/4] tan(x)^n･{tan(x)} 'dx 　　= [ (1/(n+1))tan(x)^(n+1) ](x=0〜π/4) 　　= 1/(n+1), (2)　 　(右辺) = 4Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) = 4Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)/(2k-1) x^(2k-1) ](x=0,1) 　　= 4Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx 　　= 4∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx 　　= 4∫[0,1] {1 + (-1)^(n-1)･x^(2n)}/(1+x^2) dx 　　→ 4∫[0,1] 1/(1+x^2) dx　　　　　　　　　　　　　　(n→∞) 　　= 4[ arctan(x) ](x=0〜1) 　　= π, (3) 　Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･(1/k) = - Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)･(1/k)x^k ](x=0,1) 　　= Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx 　　= ∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx 　　= ∫[0,1] {1 - (-x)^n}/(1+x) dx 　　→　∫[0,1] 1/(1+x) dx 　　= [ log(1+x) ](x=0〜1) 　　= log(2), ∴　lim(n→∞) e^{Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) 1/k} = 2, 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 06:19:48 ] >>496-497って直感的には明らかだが論証がめんどくさい。 この事実を公式的に扱えば、例えば、2008年の6番は増減を調べる必要はなく簡単。 ttp://www.densu.jp/tokyo/08tokyosprob.pdf 753 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 11:34:04 ] >>751 そういう方法もあるのか〜 一応(1)使う方針は S_n=∫(0→π/4)(tanx)^ndxとおくと(1)よりS_(n+2)+S_n=1/(n+1)…�@ (2)nが偶数の時 S_0=∫(0→π/4)dx=π/4 �@より π/4=1-1/3+1/5…1/(n-1)(+-S_n) =Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) +-S_n n→∞でS_n→0より(∵0≦x＜π/4においてtanx→0) π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k+1)/(2k-1)が示される (3)はnが奇数の時を考えたら方針は同じです 754 名前：ゆう [2009/09/26(土) 21:25:52 ] ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分数せよ 755 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 22:07:19 ] >>754 方程式を因数分解とか死んだ方がいいよ 756 名前：ゆう [2009/09/26(土) 22:29:02 ] もう他のところでおしえてもらったんでいいです! 757 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 22:34:35 ] 無限に対するあなたの考えを4000字以内で示せ 758 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 22:36:12 ] A 無限は無限だと思います。 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 23:15:42 ] 無限って、何？ 760 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 23:41:11 ] 無毛 761 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 00:40:23 ] >>755 yはxの関数ってことだろ。 =が入ってれば何でもかんでも方程式って… 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 00:44:24 ] 2元方程式でしょ。 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 00:45:50 ] >>761 764 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 01:00:43 ] 683 名無しさんと大人の出会い 2009/09/26(土) 23:35:56 ID:/v9Anlx90 ラメ入りいうてもヒラヒラついてる V系のコがきてそうな奴やで？ なんやアソコまでバラバラやとティバッグはいてても 紐にウンコついてそうやからスル〜したぞ！！ 前見た時はポッチャリしてたんやけど？スリムなってすぐって こんなんやろか？普通だれもいらんで！ 765 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 02:08:56 ] 451はどうやるの？ 解いた人いないかしら。 766 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 02:30:52 ] スレが進むごとに東大入試に適さない出題が増えている気がする。 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 03:53:53 ] >>759 もちろん、HONDA | 無限 MUGEN　だが。 www.mugen-power.com/index.html www.youtube.com/watch?v=dHKYSKpbknA 01:32 FORZA Z www.youtube.com/watch?v=KN-4O_yPCgY 03:21 INSIGHT 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 03:58:19 ] >>757 　2000年にBARと組んで復帰したホンダは、シーズンが始まるとすぐに同スペックのエンジンをジョーダンに供給するという形になった。 　そうなっては無限はただホンダエンジンのメンテナンスのためにいるようなモノで、そんな活動に意味はないだろうと考えて当然だった。 　結果的にはホンダ本社が無限をF1から追い出し、身内同士の醜い争いという結果になった(?)のは残念で仕方ない。 　　中ry) 　F1参戦を目標にマシン開発を行っていた童夢、そのマシンには無限のV10エンジンが搭載されていた。 　マシンそのものはそこそこの完成度を誇っていたように見え、雑誌などでスポンサーとなる企業などを募っていたし、ワコールなどはそれに名乗りを上げていた。 　　中ry) 　ホンダや無限と深い関係にあった童夢だけにもしかしたらホンダや無限と組んでF1に参戦するのではという噂もあった。 　実現したらすごい事ではあったが所詮は噂にすぎなかったようだ。 　トヨタのフルワークス参戦というのも確かにすごく魅力的だけど、ホンダ、無限、童夢、BSの4社が団結した日本連合軍のF1参戦というものが実現していたら、それはF1にとっても新鮮な事であり、日本のレース界にとっても大きな意味があったはずなのだがね。 www5f.biglobe.ne.jp/~f1gp/mugen.htm 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 04:08:15 ] >>761 因数分解するのは函数じゃなくて多項式。 >>754 因数分数って何。 770 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 14:15:21 ] >>768 考えというかただの感想じゃん 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 15:14:54 ] >>757 あなたが無限(むげん)を無碍(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、 間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無碍にする事は出来ません。 無碍に　… 思った通りに あなたが無限(むげん)を無下(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、 間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無下にする事は出来ません。 無下にする … それより下はない事をする。 お話にならないことをする。 772 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 18:18:06 ] 《問題》 体積の等しい立方体と球がある。 この立方体と球を動かして、立方体のなるべく多くの辺が球の内部と共通点をもつようにしたい。 最大何個の辺が共通点を持つようにできるか。 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 21:13:28 ] 感覚的には、球が立方体の辺を透過して移動できるというのは無理がある。 774 名前：765 mailto:sage [2009/09/28(月) 01:07:31 ] 少し前の春分の日の棒の影の問題、√6/3でしょうか。 解いて欲しそうだったので解いてみました。 >>451さん、解答を教えてもらえませんか。 775 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 04:30:24 ] >>772 5? 776 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 14:05:43 ] 【問】 y=e^xを原点中心にθ回転させたグラフがy=f(x)のようにyがxの関数として表されるためのθの条件を求めよ 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 15:45:18 ] >>776 　y･cosθ - x･sinθ = e^(x･cosθ + y･sinθ) 　　　　　= e^(x/cosθ + (y･cosθ - x･sinθ)tanθ), 　-(y･cosθ- x･sinθ)tanθ･e^(-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ) = -tanθ･e^(x/cosθ), 　-tanθ･e^(x/cosθ) ≧ -1/e すなわち x/cosθ ≦ -1 -log(tanθ) に対してyが存在し、 　-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ = W(-tanθ･e^(x/cosθ)), W は Lambert-W函数。 　y = x･tanθ -(1/sinθ)W(-tanθ･e^(x/cosθ)), と表わされるが.... 778 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 16:54:39 ] >>777 関数はyがxにより一意的に定まるものだから常識的に考えて全範囲はあり得ないはず 【問】 (2)y=f(x)を原点中心にθ回転させた時にできるグラフは任意のθについてyがxの関数としてy=g(x)のように表せるf(x)は存在しないことを示せ 779 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 17:26:36 ] △ABCをその重心を通る直線で2つの部分に分ける。 このとき､小さい方の面積が最小となるのはいつか。 780 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/28(月) 22:44:58 ] >>779 AB↑=b↑ ,AC↑=c↑ 重心を通る直線がAB、AC(端点含む)を通るとしそれぞれの交点をP、Qとする AP↑=p*b↑,AQ↑=q*c↑とし(1/2≦p≦1,1/2≦q≦1) 重心をsp*b↑+(1-s)q*c↑とすると b↑,c↑が一次独立なので sp=(1-s)q=1/3 p≠0,q≠0なので 1/p+1/q=3 相加相乗より pq≧4/9 等号はp=q=2/3で成立 すなわち…(略) 駅弁レベルだとリアルに出るかもね 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/29(火) 02:12:19 ] >>778の補足 f(x)は連続で、全実数xにたいして定義される関数 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/29(火) 22:09:39 ] >>772 大阪大学乙 783 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/29(火) 22:26:57 ] >>782　その通り　なかなか良問ですよね　これ 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 00:14:40 ] 動点Pを(t-a,(t-a)^2),動点Qを(0,t)で定める. a>0のとき、tを0≦t≦aの範囲で動かす.線分PQの通過する領域の面積S(a)を求めよ. 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/01(木) 22:11:34 ] 数列｛a(n)｝を次のように定める. a(1)=1 a(n)=［√a(n-1)］^2+k このとき、どのような自然数kについても、a(m+1)=a(m+2)　となるような自然数mが存在することを示せ. 簡単過ぎ？ 786 名前：785 [2009/10/01(木) 22:12:30 ] ちなみに、［x］はxを超えない最大の整数を表す. 787 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/01(木) 23:38:17 ] >>785 √a(n-1)のルートはn-1の部分にまでかかっているわけ？ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 00:00:12 ] >>787 それa_(n-1)だと思うぞ 文脈からして 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 00:25:40 ] >>784 まづ、線分PQが通過する領域を求める。 直線群PQ を F(t;x,y) = 0 とおく。 　F(t;x,y) = {(a-t)^2 -t}x + (a-t)(y-t) 　　　　　= (x+1)t^2 -{a(x+1) + (ax+y) + x}t + a(ax+y), その包絡線は、 　F(t) =0, (∂F/∂t) =0　 からtを消去したものであり、F(t) =0 が重根をもつ条件である。 本問では F(t) は2次式だから、判別式を使って 　D(x,y) = {a(x+1) + (ax+y) + x}^2 -4a(ax+y)(x+1) 　　　　= (y-a)^2 ＋2x(y-a) +x^2 -4a(-x)(x+1) 　　　　= (y-a+x)^2 -4a(-x)(x+1) 　　　　= 0, ∴ y = a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　　　　(････楕円の一部) これと直線PQ との接点は 　( a/{(a-t)^2 +a} - 1, a - (a^2 -t^2)/{(a-t)^2 +a} ), 特に t=0 のときは ( -a/(a+1), (a^2)/(a+1) ), よって PQ の通過する領域は 　x^2 ≦ y ≦ -ax,　　　　(-a ≦ x ≦ -a/(a+1)) 　x^2 ≦ y ≦ a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　(-a/(a+1) ≦ x ≦ 0) 790 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 00:57:39 ] 正方形ABCDの辺BCの中点をMとする。△ACDの周または内部に任意の点Pをとる。 △APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる確率を求めよ。 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 09:11:03 ] 座標平面において、A(0, 3) とし、またPとQを単位円x^2+y^2=1 上の動点とする。 三角形APQの面積の最大値を求めよ。 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 09:18:11 ] よくそんなつまらん問題思いつくな 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 10:52:44 ] >>785 簡単の為、b(n)^2 = a(n) と表す（このとき b(n+1)^2 = [b(n)]^2 + k） 漸化式から数列 {b(n)^2} は全て正整数であり、 b(n+1)^2 - b(n)^2 = [b(n)]^2 - [b(n-1)]^2 = ([b(n)] + [b(n-1)])([b(n)] - [b(n-1)]) であるので、数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である 今、全ての n で b(n+1) > b(n) だと仮定する（このとき lim[n→∞]b(n) = +∞） m を [b(n)] ≦ k なる最大の n とすると [b(m+1)]^2 ≦ b(m+1)^2 = [b(m)]^2 + k ≦ k^2 + k < (k+1)^2 ∴[b(m+1)] ≦ k これは m の最大性に反する ∴ある整数 m が存在して b(m+1) = b(m) ぬるぽ 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 10:58:10 ] >>793 二点修正 ×b(n)^2 = a(n) ○b(n) = √a(n) ×数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である ○数学的帰納法から数列 {b(n)^2} は単調増加である 795 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 12:36:13 ] >>746 (1) ∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ (π/4)/(tan^(n+2)+tan^n) 796 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/10/02(金) 13:41:50 ] >>790 これ、本来、高校数学の理系の範囲でとくもの？ 自分、高校数学の理系の範囲、かなりわかってないんで、 文系数学の範囲でゴーインにといてみた。 てか、見にくくてスマソ ↓ docs.google.com/View?id=dfr2mrs9_79dhxgg3dn ま、たんに、xy座標平面で、 p=(m,n)とおいて、 △ACDの周または内部に任意の点Pをとる＞＞＞m,nについての条件を求めて、・・・（１） △APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる＞＞m,nがどういう条件か、をもとめて、。。。（２） 両者をmn座標平面で図解して、（１）の領域にしめる（２）の領域の割合を求めただけ。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 14:03:35 ] >>790 Pが動く領域の面積を求めたらいいことを教えてやれば 偏差値65以上の中学生でも解ける 798 名前：796 mailto:sage [2009/10/02(金) 14:25:43 ] >>797 あ・・・そりゃそうだ。。。あせって、解き方思いついたらひたすら書きまくってしもた。 題意を吟味する習慣がそういえば最近欠けている。。。 799 名前：785 [2009/10/02(金) 19:22:42 ] >>785 に追加問題 あるkの値について、a(m+1)=a(m+2)となるとき、この値をf(k)とおく. 例えば、f(2)=3　f(3)=7である. lim(n→∞)Σ（2≦k≦n）：1/f(k) を求めよ. 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 21:13:16 ] >>799 f(2k-1) + 1 = f(2k) = k^2 + 2k 勘だけど 801 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 21:32:28 ] >>800 そんな予想は誰でもできます. その証明が問題なんです. 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 03:00:17 ] >>785 【有界性】a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k, (略証) nについての帰納法による。 　a(1) = 1 < 2 ≦ (右辺), また、 　a(n-1) ≦ {(k+1)/2}^2 + k = {(k+1)/2 + 1}^2 - 2 < {(k+1)/2 + 1}^2,　(k:奇数) 　a(n-1) ≦ (k/2)^2 + k = (k/2 + 1)^2 - 1 < {(k/2) + 1}^2, (k:偶数) いづれの場合も 　√a(n-1) < [(k+1)/2] + 1, ∴　[√a(n-1)] ≦ [(k+1)/2],　 ∴　a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k,　　(終) じゅうぶん大きいnについて等号成立。 【単調性】a(n-1) ≦ a(n), (略証) nについての帰納法による。 　a(2) - a(1) = k ≧ 1, 　a(n) - a(n-1) ≧ 0, とすると、f(x) = [ √x ]^2 + k は広義の単調増加函数だから 　a(n+1) - a(n) = f(a(n)) - f(a(n-1)) ≧ 0,　　(終) →　a(n) は有界な単調列だから、収束する。 803 名前：802 mailto:sage [2009/10/03(土) 03:15:30 ] >>799 ・kが偶数のとき 　f(k) = (k/2)^2 + k = (1/4)k(k+4), 　1/f(k) = (1/k) - 1/(k+4), ･ｋが奇数にとき f(k) = {(k+1)/2}^2 + k = (1/4)(k^2 +6k+1) = (1/4){(k+3)^2 -8}, 　1/f(k) = 4/{(k+3)^2 -8},　　むむ… 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 05:47:00 ] >>802 (有界性) は 　k = [k/2] + [(k+1)/2] ≦ 2[(k+1)/2] = 2L, 　a(n-1) ≦ L^2 + k ≦ L^2 + 2L < (L+1)^2, 　√a(n-1) < L+1, 　[√a(n-1)] ≦ L, 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 07:06:14 ] >>784 S(a) = S_1(a) + S_2(a) - S_3(a), S_1(a) = ∫[-a, -a/(1+a)] (-ax)dx = [ (-1/2)ax^2 ](x=-a, -a/(1+a)) = (2+a)(a^4)/{2(1+a)^2}, S_2(a) = ∫[-a/(1+a),0] { a-x-2√{a(-x)(x+1)} } dx 　　= [ ax -(1/2)x^2 -(x +1/2)√{a(-x)(x+1)} + (1/4)(√a)arccos(2x+1) ](x=-a/(1+a),0) 　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} -(1-a)a/{2(1+a)^2} -(1/4)arccos((1-a)/(1+a)) 　　= (2a^2 +4a-1)a/{2(1+a)^2} - (1/2)arctan(√a), S_3(a) = ∫[-a,0] x^2 dx = [ (1/3)x^3 ](x=-a, 0) = (1/3)a^3, 806 名前：805 mailto:sage [2009/10/04(日) 11:30:32 ] 訂正、ｽﾏｿ S_2(a) = ･･････ 　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} ＋(1-a)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/4)arccos((1-a)/(1+a)) 　　= (2a^2 +２a＋1)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/2)arctan(√a), 807 名前：805-806 mailto:sage [2009/10/04(日) 11:43:59 ] これが正解だとしたら、ひたすらマンドクセだけの問題だなｗｗ 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 17:01:57 ] >>744はどうやるだ？ 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 22:01:19 ] >>808 OA=(a1,a2)、OB=(b1,b2)とおいて写像fを求めるのはいいと思う？ どっちにしろ(|PA|^2)+(|PB|^2)=|OA-OB|^2、(PA↑)*(PB↑)=0だけじゃ Qを求めたところで詰む 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 03:09:16 ] >>805-807 まとめると 　S(a) = (1/6)a^3 + (1/2){a - (√a)arctan(√a)}, 　　　 = (1/6)a^2 + (1/15)a^3 + (1/14)a^4 - (1/18)a^5 + …… だが。 811 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/06(火) 00:51:05 ] f(x) がx＝0 の近くで定義された関数とするとき， 次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ． (1) 極限値 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (2) (1) の逆命題 (3) 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (4) (3) の逆命題 ただし， 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇔ 極限値 lim[x→0]f(x) が存在，または lim[x→0]f(x)＝∞，または lim[x→0]f(x)＝−∞ とする． 812 名前：811 mailto:sage [2009/10/06(火) 00:58:22 ] 訂正． f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき， 次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ． (1) 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (2) (1) の逆命題 (3) 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在 (4) (3) の逆命題 ただし， 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇔ 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在，または lim[x→0]f’(x)＝∞，または lim[x→0]f’(x)＝−∞ とする． 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 00:58:56 ] >>811 何これ？反例ならf(x)=|x|でしょ。 逆とかは微分可能であれば連続だからおｋ。 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 01:35:53 ] (1) (f(h)-f(0))/h=f'(ξ)　（ξ：0とhの間、平均値の定理） より、f'(0)=lim[x→0]f'(x)･･･(*) (2)f(x)=x^2sin(1/x)　（x≠0），0　（x=0）　が反例。 (3)基本的に(1)と同じ。f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし、 認めなければ成り立たない。((*)は常に成り立つ。) (4)(2)が反例。 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 07:06:07 ] >>814 (3)でにおいて f’(0) は実数なので，±∞まで認める事はない． 認めないと，証明は自明ではない． (*)はいつも成り立つとあるが，成り立つのは f’(x) が x＝0 で連続のときだけ． 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 07:11:32 ] また，(1) で f’(0)=lim[x→0]f’(x) とあるが，これは f’(0)=lim[h→0]f’(ξ) で lim[x→0]f’(x) が存在するので， 結果的に f’(0)=lim[h→0]f’(ξ)=lim[x→0]f’(x) となる事を明記しないと， あらかじめ f’(0)=lim[x→0]f’(x) となる印象を受ける． 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 08:40:48 ] >>812に追加． (5) f’(0) が存在 ⇒ f’(x) が有界 ( |f’(x)|≦M ) 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 13:12:00 ] >>814 ＞f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし これは間違い。 819 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/06(火) 13:43:38 ] 自然数Nにたいして、F(N)=10^Nで定める. (1)F(N)-1が２００９で割り切れるような自然数Nをすべて求めよ. (2)Mが７以上の整数のとき、a^2009+b^2009=c^f(M!)　をみたす自然数の組（a,b,c)は無限に存在することを示せ. 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 17:17:35 ] ×　無限に存在する ◎　無数に存在する 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 21:17:01 ] >>816 書き方が悪かったのか？ (1)は極限の定義よりlim[h→0]f'(ξ)=lim[x→0]f'(x)は(lim[x→0]f'(x)が存在すれば)明らかだ。 (3)は (f(h)-f(0))/h=f'(ξ) なんだから、lim[x→0]f'(x)=∞のときは ∀K＞0に対して∃δ＞0　s.t.　|x|＜δ⇒f'(x)＞Kが成り立っている。 このKに対して、|h|＜δを任意に取れば、0＜|ξ|＜|h|よりf'(ξ)＞K すなわち|h|＜δ⇒(f(h)-f(0))/h＞K これよりlim[h→0](f(h)-f(0))/h=∞である。よってf'(0)は存在しない。-∞も同様。 (1)より、lim[x→0]f'(x)∈Rのときは成り立つ。 これで問題ないんじゃない？ ちょっと書き方悪いけど、収束とf'の値に±∞まで許せば f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x) は常に正しいと書いた。 (3)の反例としては、f(x)=√x　（x≧0），-√(-x)　（x＜0） 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 21:49:30 ] >>821 物理屋じゃないんだから，f'(0)＝∞ はないだろ． lim[x→0]f(x)＝∞ の「＝」は形式的に書いているだけで，本来の意味の等号ではない． ∞ を実数とすれば実数の公理から矛盾が出る． 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 21:57:05 ] >>822 だから書き方が悪かったって。お前の言うとおり形式的といえばそうなるな。 でも間違ってはないだろ？ てか測度論・ルベーグ積分論では可測関数の値域に±∞を認めて議論するのが普通じゃないか。 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 22:39:15 ] 無限遠点を加えて議論した方がすっきりするしな 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 00:08:58 ] そんないい訳では f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x) の二つの「＝」の説明はつかないぞ。値域云々じゃなくて「表記」の問題。 δ関数も本当の関数だと言ってるようなものだよ。 しかもここは工房相手の作問スレ。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 00:14:40 ] そもそもあれは工房向けの問題じゃないしな 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 00:52:01 ] >>721-722 少し発展させた次の問題なら、東大入試程度になるかな？ 問：与えられた実数a,bについて、直線l: y=ax+b を定める。 l上のすべての格子点(座標が整数である点)が、x座標・y座標ともに素数であるとき、 aは無理数であることを示せ。 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 01:04:05 ] >>819 (1) 根性で1/49の循環節が42であることを求め、1/41の循環節が5であることとあわせて 1/2009の循環節は42*5=210、よってN=210n (nは自然数)という結果が出たが… (2)は皆目見当がつきません。 829 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/07(水) 02:20:32 ] >>828 (2)の問題は、以前出した>>698の応用。 (1) 1/41の循環節が５であることはすぐ分かる. ここで、各桁が１である、m桁の自然数をf(m)と書くことにしよう. たとえば、f(4)=1111である. f(m+1)=10f(m)+1であることから、f(m)が７で割り切れるようなmは6の倍数であることがすぐにわかる. よって、f(m)が４９で割り切れるのも、mが６の倍数のときである. f(6m+6)=1000000・f(6m)+111111 　　　　≡8・f(6m)+28　(mod49) で、f(6)≡28(mod49)から 計算していくと、 f(12)≡7(mod49) f(18)≡-14(mod49) f(24)≡14(mod49) f(30)≡42(mod49) f(36)≡21(mod49) f(42)≡0(mod49) よって、1/49の循環節は42である. 以上より、N=210n（nは自然数） (2) (1)により、M!は210の倍数であることから,f(M!)-1は２００９で割り切れる. したがって、(f(M!)-1)/2009=Zとおけば、Zは整数である. a=x・(x^2009+y^2009)^Z b=y・(x^2009+y^2009)^Z とおくと、正の整数（x,y）の組は無数に存在するから、(a,b)の組も無数にあると考えてよい. a^2009+b^2009=(x^2009+y^2009)^f(M!)=c^f(M!) ∴c=x^2009+y^2009 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 12:20:07 ] >>817は真っぽいでけど証明ができない． 831 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/07(水) 17:18:01 ] >>830 偽っぽいでけど反例が思いつかない 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 17:59:11 ] >>830 反例：f(x)=tanx 833 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/07(水) 21:20:31 ] 大学入試史上、最も難しかった数学問題を教えてください。 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 21:23:03 ] >>832 お前は何を言っているんだ 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 21:56:08 ] >>831 x^(3/2) sin(1/x) だとどうかな。 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 21:58:06 ] >>834 f(x)=tanxは微分可能でf’(x)=1+(tanx)^2、f’(0)=1だが f’(x)は有界でない 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:30:32 ] >>836 池沼は黙ってろｗ 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:42:15 ] >>835 惜しいが関数が x＞0 で定義できない [5]√(x)^4 sin(1/x) とかでFA 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:54:01 ] × 惜しいが関数が x＞0 で定義できない ○ 惜しいが関数が x＜0 で定義できない 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:54:37 ] >>837 俺何か見落としてる？マジでどこがいけないのか分からない教えろ いや、教えてくださいお願いします。 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:57:42 ] >>826 工房向けでない可能性があるのは (3) だけ。 やっぱ (3) はε-δ論法無しでは無理なんだろうか？ 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 22:59:10 ] >>840 ＞f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき， 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:01:46 ] f(x)=tan(x) がx＝0 を含む開区間(-π/2,π/2)で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき， 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:03:31 ] >>842 f(x)=tanxは開区間(-π/2,π/2)で連続で、(-π/2,π/2)-{0}でf’(x)は存在するけど？ え？マジでどういうこと？ 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:29:43 ] 2曲線 x^2/4＋y^2＝1，x^2＋(y−t)^2/4＝1 が共有点を持つ t の必要十分条件を t∈[a，b] とする． その共有点の x 座標は最大４個あり，それらを重複を含めて a(t)，b(t)，c(t)，d(t) ．．．�@ とする． その4つの関数 �@ が，任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ． 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:40:08 ] で、どうなんだ？>>837,842よ 俺を池沼呼ばわりしたんだから それなりの根拠があるんだろ？ 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:41:42 ] × 任意の t∈[a，b] において不連続となる ○ 任意の t∈[a，b] において不連続と成りうる 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:46:54 ] >>846 x＝0 を含む “任意の” 開区間での反例を示さないと意味をなさないだろ。 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:48:22 ] >>846 馬鹿は黙ってろ 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 23:53:49 ] 数学では、いや、数学でこそ、馬鹿は免罪符にはならない。 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:01:16 ] × 任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ ○ t∈[c，d] ⊂ [a，b] なる任意の t∈[c，d] において不連続となる必要十分条件を c，d を用いて表せ もうわけワカメ 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:03:02 ] >>848 >>812の問題文が f(x) がx＝0 を含む任意の開区間で連続で， と書いてあればその主張は受け入れられるがそうではないだろ。 さらに任意のx=0を含む開区間で連続であることとR上連続であることは同値、 x=0を含む任意の開区間でx≠0で微分可能であることとR-{0}で微分可能であることは同値。 したがって、>>812が「任意の開区間」という意味で「開区間」と書いたとは考えにくい。 以上より、>>848は認められない。 853 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/08(木) 00:05:31 ] 100100010101は素数か. 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:07:35 ] >>852 それは題意を曲解した場合。 もしそう曲解した場合問題はとるに足らない。 題意を善意に解釈した場合，>>835>>838と答えるのが普通。 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:11:48 ] >>852 頭悪いんだなお前って・・・ 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:19:17 ] >>854 ほう、そうか。善意の解釈ね。 >>855 そうだよ。だから訊いてるんだよ。 具体的に俺のどういった部分がそう思わせているのか提示してくれ。 俺はこれまで別に間違ったことは書いてないはずだが。 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:20:04 ] 題意をはっきりさせない出題者が一番悪い 実数全体で連続って言えば明解だろうに 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:38:07 ] もし曲解した場合、星の数ほどある取るに足らない反例の一つを 鬼の首を取ったみたいに書き込んだ行為が反感を呼んだ。 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:41:46 ] >>857 仮定は弱く、結論は強くが普通の考え。 そういう捻くれものには“x＝0 を含む閉区間”と書けば良かったのだろう。 でも常識的に考えれば何を問うてｲﾙｶは自明。 tan x は頂けない。 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:43:13 ] お前の言うように題意を取ったら中学生でも判例作れるだろ。 みんながそうしてないのはなぜか空気を読め。 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:55:11 ] でもやっぱり「任意の」は省いてはイカン 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:55:37 ] >>857 そうだよね。分かってくれるやつが一人でもいてよかったよ。 f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で， って書かれたら、fの定義域の宣言とそこでは連続だという言及くらいに取るのが普通だと俺は思うんだ。 でも今日ので俺の思い込みだったことが判明した。 >>858 曲解したわけではないんだよ。 素でそう思ってたんだよ。 曲解するにはそうしようとする意志がいるだろ。 だからこれでいいじゃんくらいの気分で書いただけ。 >>860 しかし、必要十分でより簡潔な表現があるのに何故そちらを使わなかったのかに疑問が残る。 それならば俺も間違って解釈することはなかった。 俺が善意に問題を解釈できなかったとはいえ、 このスレで俺という解釈間違いを起こした者がいる以上、 本試験で出せばある程度の人数が間違う勘定になると思われる。 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:56:03 ] 消防の会話のAがおまい A 「日曜日は学校はあるか？」 B 「ないよ」 A ｢学校自体はあるだろw｣ B 「何それ？」 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:58:34 ] >>857だけどお前の曲解は稀だし、お前はウザイ 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 00:58:47 ] ＞曲解するにはそうしようとする意志がいるだろ。 そんな事はないよ。素で思ってこそ曲解。 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:01:09 ] >>865 広辞苑には 相手の言動・心中を、素直でなくわざと曲げて解釈すること。 とあるが・・・ 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:01:57 ] 昔，青ﾁｬｰﾄでこんな問題があったのを思い出した。 「砂糖は甘い」の否定命題を作れと。 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:03:23 ] >>867 甘くない砂糖が存在する 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:07:24 ] >>868 そうそう。 「(すべての)砂糖は甘い」の「すべて」が省略されている。 厳密な数学においても、混乱の恐れがないない場合は許される事が多いが、 読者を選ぶのは言うまでもない。 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:08:55 ] >>867 「砂糖は甘い」は命題にすらなってない 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:12:23 ] もうひとつ数セミの記事を思い出した。 大森英樹先生だっけかな。 星が無限個あるとする。 「殆どすべての星は赤い」の否定命題を作れ。 ただし，「殆どすべて」とは「有限個の例外を除いて」の意味とする。 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:14:20 ] >>870 そういう人がいると思ったよ。 >>869を参照しる。 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:16:08 ] 甘いってのは主観的じゃん、人によって判断が異なるじゃん 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:18:22 ] >>871 赤くない星が無限個存在する 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:19:29 ] >>873 そう思う。 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:20:00 ] >>817 ｆ（ｘ）＝ｘ＾２。 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:20:19 ] そうだ！kingに聞こう 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:22:51 ] だから“混乱”する人が少数いるのは想定済み。 でも少し考えれば，何を問うているかは自明だろう。 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:24:21 ] >>874 正解。 これは無限を理解しているかどうかのﾘﾄﾏｽ試験紙になるらしい。 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:25:49 ] 人間には2種類ある。 >>863のAとBだ。 おまいはどっちだ？ 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:26:29 ] しかし，tanx はいただナイト 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:28:46 ] >>880 どっちでもないよ 俺はお茶を飲みすぎた変態紳士なのだから 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:31:26 ] >>881 ごめんなさい。 884 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/08(木) 01:32:21 ] >>882 お茶の水博士なのか？ それは失敬した。 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:36:18 ] >>876はｳｨｯﾄに富んだｱﾝﾁﾃｰｾﾞだな。 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 01:43:10 ] >>884 ティータイムはどんな作業も中断します 887 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/10/08(木) 06:42:33 ] Reply:>>877 この世ではファジー曲線と呼ばれるものがある。 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 11:14:56 ] >>887 荒らすな。 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/10(土) 21:56:42 ] 　当たりくじ付きの棒アイスがあり，この棒アイスを1本買ったときの「アタリ」の出る確率は p （0＜p＜1）である．この棒アイスは，「アタリ」5本で新しい棒アイス1本と交換できる． 　初めてこの棒アイスを買い始めてから，「アタリ」が5本出るまでに買わなければならない 棒アイスの本数の期待値を求めよ． 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/10(土) 23:01:23 ] kを正の定数とする 漸化式 a_(n+1)=|a_n(a_n-k)|+1 で定まる数列について以下の問いに答えよ (1)数列{a_n}が発散する初期値a_1の必要十分条件を求め それを示せ (2)数列{a_n}が収束する初期値a_1の必要十分条件を求め その極限値を求めよ 891 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 01:45:14 ] (k-1)x^2+ky^2-xy＝０をみたす０でない実数x,yが存在するような実数kの値の範囲を求めよ. 892 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 06:55:20 ] (1-√2)/2≦k≦(1+√2)/2 893 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 09:15:48 ] 円錐の底面の円周上の点Aを出発し, 側面を一周して Aに戻る道のりで, 最も短い道をαとする. 曲線αは 空間内のある1つの平面上に存在するか？ 理由も答えよ. 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 16:47:59 ] >>890 ありきたりだがちょとむず杉 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 19:44:08 ] >>891 とりあえず対角化だな。 k の掛かった項は x^2 +y^2 だから、回転の影響はないだろう。 そこで軸を回して 残りの -x^2 -xy を対角化しよう。 軸を π/8 (=22.5ﾟ) 回して、 　(1/2)(√(2+√2))･x + (1/2)(√(2-√2))･y = u, 　(1/2)(√(2-√2))･x - (1/2)(√(2+√2))･y = v, とおくと、 　(左辺) = {k - (√2 +1)/2}u^2 + {k + (√2 -1)/2}v^2, 原点が極値でない（鞍馬点・峠点である）条件は、2つの係数の符号が異なること。 ∴　{k - (√2 +1)/2}{k + (√2 -1)/2} ≦ 0,　　　　　　>>892 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 20:16:59 ] >>891 固有値だけ分かればいいなら、固有多項式 　| k-1-λ, -1/2 | 　| -1/2,　　k-λ| = (k-1-λ)(k-λ) - 1/4 = (k -1/2 -λ)^2 - 1/2, から 　λ = k - (1±√2)/2, 897 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/11(日) 21:57:50 ] ここに問題を書きこんだが、Easyのほうは宮廷入試としては中の下くらいだろう。 Extremely Hardのほうは1990年数学オリンピック問題3の超難問。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1047608164/399 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 22:02:32 ] >>897 easyの方、位数の活用無しに解けるか？ 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 22:30:00 ] (1+1)^n+1=3+an. 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 22:39:11 ] なるほど 901 名前：Queen ◆xeS.CIM.Jk mailto:sage [2009/10/12(月) 01:49:50 ] nを自然数とする。 (1) ３つの数 n、n+1、n+2の積は６の倍数であることを示せ。 (2) ３つの数 n、n+2、n+4が全て素数であるようなnを全て求めよ。 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 07:23:45 ] >>901 (1)厨房問題 (2)は未解決問題 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 08:26:33 ] n=1、2のときは条件を満たさない。 n=3とする。 3、5、7はすべて素数であるから、n=3は条件を満たす。 n≧4の時を考える。mは自然数でm≧2として、 n=3mのとき、nは3の倍数なのでダメ。 n=3m+1のとき、n+2=3m+3は3の倍数なのでダメ。 n=3m+2のとき、n+4=3m+6は3の倍数なのでダメ。 よって、n、n+2、n+4がすべて素数となるのはn=3のときのみ。 やった！未解決問題を解決した！ 904 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 09:15:03 ] ↑ジャムパン買ってこいよ 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 09:24:27 ] 俺は定番だがﾒﾛﾝﾊﾟﾝな 906 名前：猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 mailto:age [2009/10/12(月) 09:34:10 ] ワシもﾒﾛﾝﾊﾟﾝが大好きやねん。 猫 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 09:54:35 ] 予め未解決問題であることを示した上で、 どこまで思考出来るのかを試すって形式なら出題出来ない事も無いかも 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 10:58:04 ] >>902 未解決は双子の場合だろ 三つ子が3,5,7の組だけってのは有名 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 11:01:10 ] nとn+2とn+4のどれかは3の倍数なのに 未解決問題ってｗ 910 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 15:03:21 ] >>909 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 15:35:46 ] 括弧の中に適当な言葉を入れよ．(15点) 三つ子素数の[ ]百まで 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 16:04:45 ] >>910 913 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 17:22:03 ] 半径1の円に内接する正n角形の面積をS(n),外接する正n角形の面積をT(n)とする。 lim[n→∞]n^p｛T(n)-S(n)｝が0でない数に収束するときのpの値を求めよ。 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 18:28:40 ] >>913 　(面積) = n・(中心と一辺が作る二等辺△の面積) 　　　　= n・(1/2)(一辺の長さ)(中心から辺の中点までの距離） を使うと、 　S(n) = n・cos(π/n)sin(π/n), 　T(n) = n・tan(π/n), ∴　T(n) - S(n) = T(n){1 - cos(π/n)^2} = T(n)sin(π/n)^2, 　π - (π/6)(π/n)^2 < n・sin(π/n) < π < n・tan(π/n) < π + (π/3)(π/n)^2, n→∞ のとき 　lim[n→∞) n･sin(π/n) = π = lim[n→∞) n･tan(π/n), よって 　p=2 のとき、極限値 π^3, 蛇足だが････ 　{S(n) + 2T(n)} /3 = π + (2/15)π^5･(1/n)^4 + ････ 　lim[n→∞) n^4･{S(n)+2T(n)}/3 = (2/15)π^5, 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 18:32:53 ] >>914 ねーよ 916 名前：914 mailto:sage [2009/10/12(月) 18:40:51 ] >>913 (追加) よって 　p=2 のとき 　n^2 {T(n)-S(n)} = T(n) {n･sin(π/n)}^2 → π・π^2,　(n→∞) 蛇足 　lim[n→∞) n^2･{π - S(n)} = (2/3)π^3, 　lim[n→∞) n^2･{T(n) - π} = (1/3)π^3, 　lim[n→∞) n^4･{[S(n)+2T(n)]/3 - π} = (2/15)π^5, 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 19:51:44 ] >>908 >>911 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1085836534/498-499 双子素数 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 21:17:33 ] >>901の（２）とは全然関係無いから 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 00:07:53 ] 大体、正確に未解決問題を書き写したらなおのこと、大学入試問題にはならないだろ。 ちなみに、よく分からないので聞きたいんだが、入試問題的に見て、受験生が誰も解けなかった問題ってのは良い問題なのかな、悪い問題なのかな？ ここでいう誰も解けないは、部分点も無かったってことね。 少なくともその問題は受験生の能力差を見るのに役立たなかった訳だから、悪い問題と見なすべきなきがするけど…… 実際は部分点ぐらいあるだろうから問題ないのかな？ 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 01:23:24 ] 部分点もなかったと言っておきながらすぐ下で部分点ぐらいあると言う。 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 01:26:09 ] >>890 を誰か解いて下洒落 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 02:04:58 ] y=|x(x-k)|+1とy=xのグラフを書く →kで場合分け だけど「発散」が振動を含むのか含まないのか分からん どっちの語法もあるからはっきりしてほしい あと場合分けがめんどくさそう 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 02:14:22 ] >>890みたいなただ面倒なだけの有名問題はやめてくれよ 解きつくされてるんだから 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 16:08:01 ] 絶対値絡みは珍しいと思うけど？ 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 19:27:22 ] ただ場合分けがより面倒になりますというだけだけどね 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 22:09:53 ] 3^3^3^3^3と10^10^10^10の大小を比較せよ。 但しlog10_3=0.4771...である。 難しくないと思うのだけど、 入試問題として類題をほとんどみないせいか、 周りの東大志望の出来は意外と良くなかった。 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:05:49 ] log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3 = 9log3^3^3 = ... = 81log3 log 10^10^10^10 = 1000log10 log10/log3=0.477より後者の方がでかい 案外簡単だな 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:08:44 ] >>927 お前馬鹿だろ 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:20:03 ] 入試問題でも f(t)=e^t^2+... という式がeの肩にt^2が乗ってることを表してたし、 (a^b)^c=a^bcという規則があるから、 特に括弧をつけずにa^b^cと書いた場合 a^(b^c)のように後ろから計算するものだと思ってたので ここはそのように考えてください。 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:33:02 ] >>927 えくせれんと 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:34:28 ] >>927 ＞log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3 正しくは log 3^3^3^3^3 = 3^3^3^3*log3 だね 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/15(木) 22:33:38 ] x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F (x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_n-1*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。 （ずっと前の大数の宿題から） 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/15(木) 22:37:54 ] 訂正 x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F(x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_{n-1}*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。 （分かると思うが。） 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 23:43:19 ] xyz空間において、相異なる格子点が９つある。 （なお、格子点とは・・・・ry） この９点から２点を選びその点と点を結ぶ線分（３６本）を考える。 このうち、線分の中点もまた、格子点であるような線分が必ず存在することをしめせ。 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 23:49:57 ] 鋭角θにおいて、 θ < （Sinθ + Tanθ）/2 を証明せよ 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 00:56:09 ] >>934 （x座標、y座標、z座標）の偶奇の組合せは2^3=8通りしかないので、 9個の格子点があれば、その中には各座標の偶奇が一致する2点が少なくとも1組存在する。 この2点の中点は格子点である。 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:36:06 ] 正の素数を固定せよ。 また、nを任意の正の整数とする。 n！約数として現れるｐの個数をあらわす公式を求めよ 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:38:56 ] ×n！約数として ○n！に約数として 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:40:18 ] >>935 　tan(θ/2) = t とおく。 　鋭角により 0 < t < 1, 　(右辺) = t/(1+t^2) + t/(1-t^2) = 2t/(1-t^4) > 2t > θ, 940 名前：Snellius mailto:sage [2009/10/17(土) 04:48:17 ] >>935 序でに･･･ 　{Cosθ + Cosθ + 1/(Cosθ)^2} /3 ≧ 1,　　(←相加･相乗平均) をθで積分して、 　(Sinθ + Sinθ + Tanθ) /3 ≧ θ, 941 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 14:40:50 ] a[1]↑=(1,0)､a[n+1]↑をa[n]↑/2を原点の回りに角θ回転したものとし､ a[2]↑、a[3]↑…と順に定めていく． ここで、Σ[k=1,n]a[k]↑=(x[n],y[n])とおき、 θに対して点P(lim[n→∞]x[n],lim[n→∞]y[n])を定める。 θが0≦θ＜2πの範囲で動く時、点Pの軌跡を求めよ。 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 19:27:29 ] ある頻出問題を解いていて思いついた。証明は簡単なので東大には不向きかも。 この定理は有名なものかも知れないので、もし知っている人がいたら教えて！ センター試験の裏技にいいかなと自分では思っている。 【問題】四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DA上に点P、Q、R、Sをとる。 (辺の端点はとらないとする) このとき、4点P、Q、R、Sが同一平面上にある必要十分条件は、 (AP/PB)・(BQ/QC)・(CR/RD)･(DS/SA)＝1 であることを示せ。 943 名前：942 mailto:sage [2009/10/17(土) 19:37:16 ] 例えば、 www.densu.jp/center/01center2bprob.pdf の第3問のタ〜トは瞬殺。 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 22:14:51 ] >>941 　a[n+1]↑ は a[1]↑ /(2^n) を原点の周りに角nθ回転したもの。 　a[n+1]↑ = ((1/2^n)cos(nθ), (1/2^n)sin(nθ)), 　x_n +i･y_n = Σ[k=0,n-1] (1/(2^k)){cos(kθ)+i･sin(kθ)} 　　　= Σ[k=0,n-1] {(1/2)exp(iθ)}^k 　 (← 等比級数) 　　　= {1 - [(1/2)exp(iθ)]^n} / {1-(1/2)exp(iθ)} 　　　→　1/{1-(1/2)exp(iθ)} 　　　= {1-(1/2)exp(-iθ)}/{(5/4)-cosθ},　　(n→∞) 実部と虚部に分けて 　x_n → {1-(1/2)cosθ}/{(5/4)-cosθ},　　　(n→∞) 　y_n → (1/2)sinθ/{(5/4)-cosθ},　　　　　(n→∞) ∴ 点Pは円 (x - 4/3)^2 + y^2 = (2/3)^2 の周上を動く。 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 22:38:35 ] >>941　(補足) x_n -(4/3) +i･y_n = -(1/3){1 -2exp(iθ)}/{1 -(1/2)exp(iθ)}, x_n -(4/3) -i･y_n = -(1/3){1 -2exp(-iθ)}/{1 -(1/2)exp(-iθ)} 　　　　　　　　　= -(4/3){1 -(1/2)exp(iθ)}/{1 -2exp(iθ)}, 辺々掛けて 　| x_n -(4/3) ±i･y_n |^2 = (2/3)^2, 　| x_n -(4/3) ±i･y_n | = 2/3, 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:21:43 ] n 次関数のグラフがn 1 個の異なる格子点を通れば，それは無数の格子点を通る。 947 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:23:33 ] a_(n+1)=2-√｛4-a_(n)｝ a_(1)=2 で定められる数列a_(n)について、 lim(n→∞)(4^n・a_(n))の値を求めよ. 難。答え出たら多分感動する。 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:28:32 ] そんなこといって宿題を解いて貰おうって寸法だな 949 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:38:54 ] >>948 こんな問題を宿題にする学校がある分けないだろ。ボケかお前は 950 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:45:11 ] >>949 親が子を思う気持ちと同じぐらい、子が親を思ってると思う。 親に迷惑かけたくない、弱い自分見せたくないという思いから、 電 話したり、田舎に帰る機会が少なくり、すれ違いが生まれるんでし ょうね。 951 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:50:36 ] >>947 a_n=4(sin(θ_n))^2 a_[n+1]=2-2cos(θ_n)=4{sin(θ_n/2)}^2 ∴θ_[n+1]=1/2*θ_[n] 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:53:03 ] やっぱり宿題だったんだ 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:58:36 ] >>942-943 確かに便利で砂 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 00:10:56 ] >>947 　a_n = 2(1-b_n) とおくと 　b_(n+1) = √{(1 + b_n)/2}, 　2･b_(n+1)^2 -1 = b_n,　　　　(←cosの倍角公式と同じ形) 　b_1 = 0, これを解いて 　b_n = cos(π/2^n), 　a_n = 2{1 - cos(π/2^n)}, 　(4^n)a_n → π^2　　(n→∞). >>941　(補足) 　P (x,y) = ((4/3)+(2/3)cos(2φ), (2/3)sin(2φ)) ただし 　φ = arctan(3･tan(θ/2)), 955 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/18(日) 02:24:36 ] 【問】 nを自然数として 正方形のn×nマスのある1マスの上に駒を乗せ、それを以下の動きを交互に繰り返して動かす �@すぐ隣のマスへの移動 �A一マス飛ばしの移動 ただし、駒は�@と�Aのどちらからでも動かし始めてよいものとし、縦横にしか移動しないとする この時、駒の初期位置と動かし方をうまく設定することでn×nの全てのマスを1回ずつ動くことが出来るためのnの必要十分条件を求めよ ただし、n=1の時は駒を動かさないが成立すると考えてよい 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 12:01:46 ] >>955 nを4で割った余りが2のときのみ出来ない。 証明： nを4で割った余りが2でないときは、左上のマスに駒を置いて �Aから始めることで題意の動かし方ができる。 詳細は省略するが、■の位置で�Aから始めて１〜４の順に 移動すれば、4つの連続したマスが消えるので、これを 何度も使えばよい。 ■□□□ １３２４ 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 12:05:01 ] nを4で割った余りが2のときは、n＝4k＋2とおいて、 n*n個のマスを次の4つのエリアL0,L1,L2,L3に分ける。 (n＝6の場合の分け方) □■□■□■ ●○●○●○ □■□■□■ ●○●○●○ □■□■□■ ●○●○●○ L0＝(□全体)，L1＝(■全体)，L2＝(○全体)，L3＝(●全体) L0のマスの個数は(2k＋1)^2であり、L1〜L3でも同様に (2k＋1)^2である。つまり、L0〜L3のマスの個数は全て奇数である。 最初に駒があるエリアをLsとするとき、次のようになる。 �@から始める場合： Lsのマスは1個減る(←駒の初期位置にあるマス)。その後は、 「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」 を繰り返す。L0〜L3のマスの個数は奇数なので、 題意の動かし方は不可能だと分かる。 �Aから始める場合： Lsのマスが2個減る。その後は、 「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」 を繰り返す。L0〜L3のマスの個数は奇数なので、 題意の動かし方は不可能だと分かる。 958 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/18(日) 13:17:17 ] >>956正解 ただnが奇数の時は4連の動きにちょっと動きが加わるけど 959 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/10/18(日) 17:01:31 ] Reply:>>888 そう思うなら何故お前がよそに行かない。

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