- 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 03:00:17 ]
- >>785
【有界性】a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k,
(略証)
nについての帰納法による。
a(1) = 1 < 2 ≦ (右辺),
また、
a(n-1) ≦ {(k+1)/2}^2 + k = {(k+1)/2 + 1}^2 - 2 < {(k+1)/2 + 1}^2, (k:奇数)
a(n-1) ≦ (k/2)^2 + k = (k/2 + 1)^2 - 1 < {(k/2) + 1}^2, (k:偶数)
いづれの場合も
√a(n-1) < [(k+1)/2] + 1,
∴ [√a(n-1)] ≦ [(k+1)/2],
∴ a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k, (終)
じゅうぶん大きいnについて等号成立。
【単調性】a(n-1) ≦ a(n),
(略証)
nについての帰納法による。
a(2) - a(1) = k ≧ 1,
a(n) - a(n-1) ≧ 0,
とすると、f(x) = [ √x ]^2 + k は広義の単調増加函数だから
a(n+1) - a(n) = f(a(n)) - f(a(n-1)) ≧ 0, (終)
→ a(n) は有界な単調列だから、収束する。
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