- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 2 名前：べ [2009/05/15(金) 21:11:56 ]
- 2get
- 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:12:47 ]
- 過去ログ倉庫
briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問(前スレ)
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/
- 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:13:35 ]
- 過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194120000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/
- 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:37:04 ]
- 前スレの未解決
nを自然数とする。
n*(n+1)*(n+2)が7以上の素因数を持たないとき、nの値を全て求めよ
- 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 22:20:04 ]
- >>3の過去ログ倉庫にアクセスできないんですが，どうなってんのこれ？
- 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 23:37:12 ]
- >>5
n>1 のとき、n,n+1,n+2 は 2,3,5 のいずれかを素因数に持つ。
また、gcd{n,n+1} = gcd{n+1,n+2} =1 だから、n+1 は素数べき。
∴ 題意より n+1 は 2^a, 3^b, 5^c のいずれか。
・n+1 = 2^a のとき
n または n+1 は3^b,
・n+1 = 3^b のとき、
n,n+2 は偶数。
gcd(n,n+2) = 2 より、nまたはn+2は 2^a,
・n+1 = 5^c のとき
n,n+2 は偶数。
gcd{n,n+2} = 2 より、gcd{n/2, (n+2)/2} =1,
{n/2, (n+2)/2} = {2^a, 3^b},
いづれの場合も、不定方程式 3^b -2^a = ±1 に帰着する。
これは Catalan予想 とよばれ、解は
3^2 - 2^3 = 1, 3^1 - 2^1 =1, 3^1 -2^2 = -1,
∴ n= 1,2,3,4,8.
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1132313250/
Catalan予想
mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
mathworld.wolfram.com/CatalansDiophantineProblem.html
- 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 01:09:17 ]
- >>7
＞ n+1 = 3^bのとき、
＞ n,n+2 は偶数。
＞ gcd(n,n+2) = 2 より、nまたはn+2は 2^a,
ここがよく分からんかった。
n, n+2は少なくとも一方が5を素因数に含まない。
また、ともにn+1と互いに素であるため、nまたはn+2は 2^a
とか、言われると分かるが……
＞ n,n+2 は偶数。
＞ gcd(n,n+2) = 2 より、
って二つの条件だけだと、n=10とかも入らない？
- 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 01:22:06 ]
- わからんままに出題し
わからんままに解答うつしてるからしゃあない。
- 10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 02:27:25 ]
- 前スレ>>994で正解だろ
お前らアホだな
- 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 02:37:16 ]
- 相手しない方がいいのかな、こういうのは
- 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 02:39:55 ]
- >>9-10
ともに相手にしたくない……どっちも根拠なさ杉
- 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 02:41:20 ]
- 数学的な間違いはおのずと分かるからな。根拠なくても
- 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 03:16:44 ]
- a,b,cは一体どこから出てきたんだ
- 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 04:07:14 ]
- a,b,cは立体不等式xΣy+yΣz+zΣx≦Ｒ
を満たす(x,y,z)のことだろ
- 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 08:32:55 ]
- >>6
ttp://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/%E6%9D%B1%E5%A4%A7%E5%85%A5%E8%A9%A6%E4%BD%9C%E5%95%8F%E8%80%85%E3%82%B9%E3%83%AC
- 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 18:08:39 ]
- 894 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/05/10(日) 07:43:37
定数でない整数係数の多項式 f(x) であってすべての実数 x に対して
f (f '(x))=f '(f(x))
をみたすものをすべて求めよ。
（見にくいから一応補足するとg(x)=df/dxとおいたときf(g(x))=g(f(x))ということ。）
ax+(a-a^2)
(1/2)x^2+b
x^n/n^(n-1)
- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 18:20:51 ]
- 前スレ９０９の間違いはn=1のときn(n-1)>(n-1)(n-1)としてるとこ
- 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 21:29:04 ]
- ＞また、gcd{n,n+1} = gcd{n+1,n+2} =1 だから、n+1 は素数べき。
ここはもう少し書くべきでは？
n＋1が3,5の両方を素因数に持つとすると、n,n＋2は2のベキ乗になって、
すぐには矛盾は出ない(計算していくと矛盾するが)。
- 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 22:44:47 ]
- >>17
ものすごい整数係数な多項式だな
- 21 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/17(日) 17:10:00 ]
- ｘ＾３／９−ｘ＾２＋９。
- 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/17(日) 19:33:09 ]
- >>17
一階微分方程式なので、任意定数が１つ･･･
ｘ＾２／２ ＋Ｃ。
- 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/17(日) 19:38:18 ]
- なにこのひとにほんごよめないの？
- 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/17(日) 21:35:55 ]
- 整数係数の場合は既に解決してる
- 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/17(日) 23:29:23 ]
- science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1229082448/327
- 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/21(木) 06:40:00 ]
- >>17
>>21
８次以下ではこれだけ。
- 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/21(木) 21:42:38 ]
- >>21 の根を求む。
- 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/21(木) 21:43:30 ]
- >>27
x = 3(1+2s) とおくと、
(x^3)/9 -x^2 +9 = (1/6)(1/2 -3s+4s^3),
∴ s=sinθ とおくと、=(1/6){1/2 - sin(3θ)},
θ= 10ﾟ, 130ﾟ, 250ﾟ あるいは
θ= 50ﾟ, 170ﾟ, 290ﾟ
- 29 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/21(木) 22:41:05 ]
- 0＜x＜1、xは10進数表記、小数点以下n桁の実数であるとする。
このとき、xは10^n-1通り考えられるが、これらの中から等確率に一つの数を選び、
選んだ数の小数点以下第ｋ位に初めて2009（小数点以下k位が2、k+1位が0……という意味）という数字が現れる確率P(n,k)とする。
lim[n→∞] k*P(n,k)
を計算せよ。
- 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/24(日) 04:37:26 ]
- 〔問題〕n≧2 のとき
e･(n/e)^n < n! < (e^2)･(n/e)^(n+1),
を示してくださいです。
- 31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/24(日) 04:42:00 ]
- >30
まづ、k≧2 のとき
{k/(k-1)}^(k-1) = {1 + 1/(k-1)}^(k-1) < e < {1 + 1/(k-1)}^k = {k/(k-1)}^k,
(証略する.)
k倍して
(k^k)/(k-1)^(k-1) < ke < k^(k+1)/{(k-1)^k},
k=2〜n で辺々掛けると、
n^n < n!e^(n-1) < n^(n+1),
∴ e･(n/e)^n < n! < (e^2)･(n/e)^(n+1),
- 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/24(日) 12:32:20 ]
- 素朴な疑問なんだけど、ここで正しい答え書いてる人って、
どのくらい時間かけて解いてるのかな？
すぐ解きかたがわかるのかしらん
- 33 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/24(日) 14:43:13 ]
- ０≠１ について実数の公理をもとに証明せよ。
- 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/24(日) 15:20:23 ]
- >>30の問題を解いてしかも解答を書き込む時間も含めて４分30秒なんてありえないだろjk
朝の4時という数学板に誰もいないような時間帯でしかもsage進行だし
絶対に>>30=>>31 だな
- 35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/24(日) 15:28:39 ]
- y = {x(x-1)^2}の三重根
極値および変極点を調べ、グラフを書け
- 36 名前：32 mailto:sage [2009/05/24(日) 17:04:45 ]
- >>34
ほんとだ。
時間差みてなかった。
てか、
>>30 と >>31 、
全部の式の右側にカンマがついてるねｗ
- 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/24(日) 20:03:17 ]
- しかも数式の前に全角空白
- 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/25(月) 07:45:52 ]
- >>37
問題の要点をとらえきれてない人が
問題と解答を丸写しor部分的改変して自己満足を味わってる ってのは時々あるのがわかるね。
自分で出題したのならありえない記号ミスが問題と解答で共通してたり、
出題に条件不足などの不備があって解きようがないのに、なぜか解ける人がいたり、
解答も解法のポイント一言示せばそれで通じるところを
示す必要のない途中の式変形を長々とつけてたり。
以前もコラッツ予想っていうんだっけな、自分で解けるかどうかも知らずに出題してるのがいて
即座にヒント示せとツッコミ入れられてたこともあったな。
- 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/25(月) 21:20:10 ]
- 〔問題〕k≧2 のとき
{1 + 1/(k-1)}^k = {k/(k-1)}^k > e
を示してくださいです。
- 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/25(月) 21:21:09 ]
- >>39
2項定理より
{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) = {1 +1/(k^2 -1)}^(k+1) = Σ[j=0,k+1] Ｃ[k+1,j] /(k^2 -1)^j > 1 + 1/(k-1) = k/(k-1),
∴ {k/(k-1)}^k > {(k+1)/k}^(k+1) > ･･･(単調減少)･･･ > lim[k→∞) (1 + 1/k)^k = e,
- 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 04:59:36 ]
- 〔問題〕k≧2 のとき
{k/(k-1)}^(k-1) < e < {k/(k-1)}^k,
を示してくださいです。
- 42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 05:15:46 ]
- >>41
・左側
{1,1,････,1,(k-1)/k} (k個) の相加･相乗平均から、
{(1-k^2)/k^2}^k > (k-1)/k,
∴ {k/(k-1)}^(k-1) < {(k+1)/k}^k < ････ < e, (単調増加)
・右側 >>40 または
{1,1,･･・･,1,k/(k-1)} (k+1個) の相加･相乗平均から、
{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) > k/(k-1),
∴ e < ････ < {(k+1)/k}^(k+1) < {k/(k-1)}^k, (単調減少)
- 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 13:30:46 ]
- おぉ、書き間違いがあったよ。どうりで誰も解いてくれないわけだ……
0＜x＜1、xは10進数表記、小数点以下n桁以下の実数であるとする。
このとき、xは10^n-1通り考えられるが、これらの中から等確率に一つの数を選び、
選んだ数の小数点以下第ｋ位に初めて2009（小数点以下k位が2、k+1位が0……という意味）という数字が現れる確率P(n,k)とする。
lim[n→∞] Σ[k=1,n] k*P(n,k)
を求めよ。
−−−−
わかりにくいと思うので、念のため説明
p(5,1) は、0.00001、0.00002、0.00003、……、0.20090、0.20091、……
の中から0.2009Xとなるものが現れる確率。
なので、P(5,1) = 10/99999です。
- 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 20:56:37 ]
- 〔問題〕k≧2 のとき
{k/(k-1)}^(k - 1/2) > e,
を示してくださいです。
- 45 名前：40 mailto:sage [2009/05/27(水) 22:32:12 ]
- >>44
2項定理より
{(k^2)/(k^2 -1)}^(2k+1) = {1 +1/(k^2 -1)}^(2k+1) = Σ[j=0,2k+1] Ｃ[2k+1,j] /(k^2 -1)^j
> 1 + (2k+1)/(k^2 -1) + (2k+1)k/(k^2 -1)^2 + (2k+1)k(2k-1)/{3(k^2 -1)^3 (今回はj=3まで残す)
> 1 + (2k+1)/(k^2 -1) + (2k+1)k/(k^2 -1)^2 + k/(k^2 -1)^2 (← (2k+1)(2k-1)>3(k^2-1))
= 1 + 2(k+1)/(k^2 -1) + (k+1)^2/(k^2 -1)^2
= 1 + 2/(k-1) + 1/(k-1)^2
= {1 + 1/(k-1)}^2
= {k/(k-1)}^2,
平方根をとると
{(k^2)/(k^2 -1)}^(k + 1/2) > k/(k-1),
∴ {k/(k-1)}^(k -1/2) > {(k+1)/k}^(k +1/2) > ･･･(単調減少)･･･ > e,
〔系〕n≧2 のとき
n! < e･n^(n +1/2)･e^(-n),
(略証) 上式にkをかけて
{k^(k +1/2)}/{(k-1)^(k -1/2)} > ke,
k=2〜n で辺々掛ける.
n^(n +1/2) > n! e^(n-1),
なお、Stirling の公式によると、
n! 〜 c･n^(n +1/2)･e^(-n), ただし、c = √(2π) = 2.506628･･･
- 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 03:20:21 ]
- >>43
nが十分大きいとして
P(n,1)=P(n,2)=P(n,3)=P(n,4)=1/10000
P(n,5)=1/10000(1-P(n,1))
P(n,6)=1/10000(1-P(n,1)-P(n,2))
…
P(n,n)=1/10000(1-P(n,1)-P(n,2)-…P(n,n-4))
よって
Σ[k=1,n]P(n,k)=1/10000{n-Σ[1,n-4]((n-3-k)P(n,k))}
=1/10000{n-(n-3)Σ[1,n-4]P(n,k)+Σ[k=1,n-4]kP(n,k)}
ここでlim[n→∞]Σ[k=1,n]P(n,k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n-4]P(n,k)=1 (確率の和は1に収束)なので
lim[n→∞]Σ[k=1,n]kP(n,k)は収束し
lim[n→∞]Σ[k=1,n]kP(n,k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n-4]kP(n,k)
その極限値をαとおくと
1=(3+α)/10000
∴α=9997
- 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 11:28:10 ]
- 俺がやったら9996になったが……
＞ここでlim[n→∞]Σ[k=1,n]P(n,k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n-4]P(n,k)=1 (確率の和は1に収束)なので
＞lim[n→∞]Σ[k=1,n]kP(n,k)は収束し
ｋｗｓｋ
- 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 14:41:39 ]
- >>47
ありゃまちがえたか？
実はlim[n→∞]n{1-Σ[k=1,n-4]P(n,k)}が不定形なんだけど適当に0にしたんだよねーアハハ
- 49 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/28(木) 17:06:37 ]
- アハハ
- 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 19:51:01 ]
- 〔問題〕
c･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。 ただし、c=√(2π),
できれば >>44-45 のように代数的に･･･
- 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 23:27:21 ]
- いつから>>50の宿題をやってあげるスレになったんだ？
だいたいやってあげるやつがいるから図に乗るんだよ
質問スレいけや
- 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/29(金) 17:05:30 ]
- >>51
いやいや、コイツは自作自演してるんだよ。何がしたいのか意味不明ｗ
・数式の右側にカンマがついている
・数式の前に全角空白
・〔問題〕という変わった書き方(普通、〔 なんていうマニアックなカッコは使わないｗ)
こういう独特な書き方からして、
30＝31＝39＝40＝41＝42＝44＝45＝50
と推測される。特に>>39と>>40は酷く、投稿間隔が59秒という神業ｗ
どう考えても自作自演。
今回もまた、>>50本人が後から「自分で」解答をつけるんだろうよ。
- 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 01:02:31 ]
- >>52
なんか実力のともなわない理系願望でもあって
そんなことに気付かない少数のネット初心者やマヌケ相手に
見せかけの賢さを尊敬されたいんじゃないの？
出題のセンスからして理系とは思えないし、ましてスレタイには全然あってない
- 54 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/30(土) 03:05:43 ]
- こんな簡単な問題はどの旧帝大の入試にも出ないと思うが。
暇だったら解いてみて。
ａを実数の定数とする。すべての実数ｘに対して次の式が成り立つような多項式ｆ（ｘ）をすべて求めよ。
ｆ（ｆ（ｘ）＋ａ） ＝ ｛ｆ（ｘ）｝^2
- 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 03:47:48 ]
- >>54
マルチ
- 56 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/30(土) 04:08:02 ]
- >>55
書き込み時刻を見ればわかる。こっちの板に書いたのが先。
- 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 04:15:56 ]
- だから？
- 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 04:24:37 ]
- >>57
頭悪っ
- 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 04:27:26 ]
- 2箇所(以上)に投稿してしまった行為そのものが
批判されているのであって、どっちが先とかは
関係ないような気が。
- 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 04:46:29 ]
- そもそも教えて欲しい奴がなんでここに書き込むんだ？
>>48
ちょwww
- 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 06:47:30 ]
- 春分の日に地面に垂直に長さ1の棒を立てた。
この日この地点での南中高度はπ/4であり、日の出は午前6時ちょうどで日の入りは午後6時ちょうどであった。
この日の午前10時から午後2時までに棒の影が地面に描いた部分の面積を求めよ。
ただし、太陽は見かけ上天球を一定の速さで動いているものとし、棒の先と影の先を結ぶ直線が地面となす角を太陽の高度と見なす。
…なかなかシンプルに書けないが意味は伝わるかな
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 18:36:38 ]
- >>59
マルチ
- 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 21:33:58 ]
- >>54
fをn次式とすると、題意より
n^2 = 2n,
∴ n=0 または 2.
・0次のとき、
f(x)=0 または f(x)=1,
・2次のとき、題意より、
f(y+a) = y^2,
が成り立てば十分。
f(x) = (x-a)^2,
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/31(日) 02:37:03 ]
- >>61
自分で解いた？
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/31(日) 03:03:23 ]
- >>64
一応できたと思うよ、そんなに汚くない答えになった
わかってると思うけど一応条件として太陽は真東から出て真西に沈むこと
あと“太陽を空間の1点としたときそれと棒の根本を結ぶ直線に平行な光線で影ができる”としてね
- 66 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/31(日) 11:51:21 ]
- 〔問題〕
c･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。 ただし、c=√(2π),
できれば >>44-45 のように代数的に･･･
- 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/31(日) 15:58:41 ]
- >>59
マルチ
- 68 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/01(月) 23:23:47 ]
- >>43は結局9997なのか9996なのか
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/01(月) 23:40:13 ]
- >>48をみるかぎり9997は間違いのようだぞ
9996の人ないし出題者の解答を見てないから9996が正しいかはどうかはわからん
- 70 名前：47 mailto:sage [2009/06/02(火) 09:35:10 ]
- すまん、もう一度やったら9997になった。
しかし、証明が間違ってることは事実なんだね……
今会社なんであれだが、あとで証明UPしてもいい……あとと言っても、最悪土日だが……
- 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/02(火) 20:24:50 ]
- >>48
lim[n→∞]n{1-Σ[k=1,n-4]P(n,k)}=lim[n→∞]10000*nP(n,n)=0
OK
- 72 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/05(金) 22:02:44 ]
- 人いねーな
- 73 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/06(土) 21:45:58 ]
- >>70
まだか？
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/08(月) 22:07:50 ]
- 578 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/24(火) 23:37:23
>>576-577
過去ログ倉庫の避難所を用意しました。
cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
- 75 名前：47 mailto:sage [2009/06/11(木) 15:55:23 ]
- はずいので読まないでくれ
----
明らかに
p(n,1)=p(n,2)=p(n,3)=p(n,4)=10^-4
p(n,k+4)={1-Σ[i=1,k]p(n,i)}/10^4
後者の式よりp(n,k+4)-p(n,k+3)+p(n,k)/10^4=0が成立。
以降、p(n,k)がnに依存しないことは明らかなので、単にp(k)と書く。
これは五項間漸化式なので、特性方程式x^4-x^3+10^(-4)=0の解をα、β、γ、δとすれば、ある定数A,B,C,Dを用いてp(k)=Aδ^k+Bδ^k+Cδ^k+Dδ^k。
-1＜α、β、γ、δ＜1より明らかに、
Σ[k=1,∞]kp(k)=Aα/(1-α)^2 + ……となる。
分母は明らかに特定方程式をf(x)=x^4-x^3+10^(-4)として、f(1)^2=10^(-8)となる。
分子を計算する前に、特性方程式の解α、β、γ、δの関係式
β+γ+δ=1-α
βγ+γδ+δβ=-α(β+γ+δ)=α^2 - α
βγδ=-α(βγ+γδ+δβ)=-α^3 + α^2
に注意して、Aα{(1-β)(1-γ)(1-δ)}^2=Aα^7を得ておく。
これと、p(k)=Aδ^k+Bδ^k+Cδ^k+Dδ^kから、分子はp(7)。
以上より、求める値は10^8*p(7)=9997
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/11(木) 20:31:06 ]
- 解き方に漏れがありそうな気がしますが、一応・・・。
//-----------------------------------------------------------
xy平面上において、x 座標とy座標がともに整数であるような点を格子点を呼ぶ。
全ての格子点間を、x軸方向およびy軸方向にのみ線で結ぶと、
一片の長さが１である正方形を隙間無くタイル状に敷き詰めた図ができる。
このxy平面上に、１辺の長さが 1/2 である正三角形Ｔをランダムに置く。
（注：つまり、xy平面と平行に、向きや位置を全くランダムに、正三角形Ｔを置く）
この条件下で、前述の（１辺の長さ１の）正方形のうちちょうど４個が、正三角形Ｔと重なるような、確率を求めよ。
ただし、三角形Ｔとこれら正方形において、１点でも共有点がある場合、重なっているとみなす。
（辺や頂点同士でも重なっているとみなす）
//-----------------------------------------------------------
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/17(水) 07:12:44 ]
- もうこのスレ終わったな
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/17(水) 08:58:04 ]
- >>76
なにがしたいの？
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/28(日) 16:29:26 ]
- 楕円C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a，bは実定数で，a>b>0) 上に第一象限内の点Pをとる．
点PでのCの接線をL[1]，法線をL[2]とし，原点を通りL[1]，L[2]に平行な直線をそれぞれL[3]，L[4]とする．
このときL[1]，L[2]，L[3]，L[4]で囲まれてできる図形が正方形となるように，a/bの値の範囲を求めよ．
- 80 名前：べ [2009/06/30(火) 19:16:23 ]
- √{15-√6-√2}を簡単な形に直せ。
別スレで作ってみたんだが、２０分で解ける人いたら尊敬。
- 81 名前：べ mailto:sage [2009/06/30(火) 19:20:24 ]
- ここで言う必要ないかもしれんが、
＊簡単な形とは、二重根号を用いず有理化した形。
- 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/30(火) 20:22:23 ]
- >有理化
意味不
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/30(火) 21:30:51 ]
- 中学からやり直せ
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/30(火) 22:26:21 ]
- >>80
(a\sqrt{2}+b*sqrt{3}+c*sqrt{6}+d)^2=15-\sqrt{2}-\sqrt{6}としてa,b,c,dを求めようとしたが、
a=0.2251417501, b=-2.225751456, c=0.07538322136, d=0.01525049918
としか得られなかった…。
- 85 名前：べ mailto:sage [2009/06/30(火) 23:43:28 ]
- >>84
スマソ。何を勘違いしたか…
√{15-2√6-2√2}を簡単な形に直せ。
だた…。
- 86 名前：べ mailto:sage [2009/06/30(火) 23:49:42 ]
- >>84
これはこちらが、別スレで煽り相手に出したため点検を怠ったミスなので、
御詫びを兼ねて大ヒントを出します。つうか、このヒントなきゃ誰も２０分で解けないかも…。
根号の係数は全て１。
- 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 00:00:09 ]
- ばかばかしい
- 88 名前：べ mailto:sage [2009/07/01(水) 00:07:03 ]
- あ、違う√{27-2√6-2√2}だった…ｗ
- 89 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/01(水) 00:09:58 ]
- あ、じゃない何度も訂正スマソ。√{15-2√6-2√2}であってるあってる。
- 90 名前：べ [2009/07/01(水) 00:14:32 ]
- >>89はオレね。何度も訂正スマソ
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 00:41:58 ]
- >>84のように置いて a, b, c＝±1, d∈Z と仮定し展開，係数比較より4方程式得られる．
自乗和の式よりa=±2が得られるので，後は場合分け．
候補として±(2+√2＋√3ー√6) を得る．
2+√3＞√6に注意すると 2+√2＋√3ー√6 のみ適合．
都合7度もレスするのは頂けない．ちゃんと整理してから書くように
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 00:42:43 ]
- >>91
自乗和の式よりd=±2が
と訂正
- 93 名前：べ mailto:sage [2009/07/01(水) 00:44:28 ]
- >>91
スマソ。ただこのスレはレスした直後解いてる人間がいる可能性が高いので、
早めに間違いなら訂正しようとして、余計に長くなってしまった。
やるな…ヒントなしでも解けてたか…？さすがこの板でもレベルが高いスレ
- 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 00:53:07 ]
- 4+2+3+6=15だからな。
- 95 名前：91 mailto:sage [2009/07/01(水) 00:56:31 ]
- >>93
連立方程式が手強いと思ったのでヒント使ったｗ
しかしよく考えるとヒント無くても全然いけるな．場合分けが増えるだけで．
2a^2+3b^2+6c^2+d^2＝15
で全て整数と仮定したから(ちゃんと書けてなかったがそういうことで)，a〜dのいくつかが0になる場合を除き，a^2, b^2, c^2＝１．
つまり根号の係数は±1(>>84は+1ともっと限定的だな)
どれかが0の場合，矛盾が出るんだろう．
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 01:00:06 ]
- スレにそぐわないアホがいるな
二重根号を独学で覚えた中学生くらいか
対象も高１文系程度かね
＞さすがこの板でもレベルが高いスレ
ギャグセンスだけはあるのかもな
- 97 名前：べ mailto:sage [2009/07/01(水) 01:03:44 ]
- ま、入試に出るなら(1)で係数が１であること証明して…って感じだろうな。
煽り相手に短時間で作った問題だが。
- 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 01:05:37 ]
- 高校入試か
二重根号は範囲外だろ
- 99 名前：べ mailto:sage [2009/07/01(水) 01:07:11 ]
- >>96
誰でも解ける難問こそ深い
- 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 01:09:12 ]
- むしろその深さというかひねりというか、出す意義がなくね？
特に東大入試としてだと。
|
 |
