- 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 10:52:44 ]
- >>785
簡単の為、b(n)^2 = a(n) と表す（このとき b(n+1)^2 = [b(n)]^2 + k）
漸化式から数列 {b(n)^2} は全て正整数であり、
b(n+1)^2 - b(n)^2 = [b(n)]^2 - [b(n-1)]^2 = ([b(n)] + [b(n-1)])([b(n)] - [b(n-1)])
であるので、数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である
今、全ての n で b(n+1) > b(n) だと仮定する（このとき lim[n→∞]b(n) = +∞）
m を [b(n)] ≦ k なる最大の n とすると
[b(m+1)]^2 ≦ b(m+1)^2 = [b(m)]^2 + k ≦ k^2 + k < (k+1)^2
∴[b(m+1)] ≦ k
これは m の最大性に反する
∴ある整数 m が存在して b(m+1) = b(m)
ぬるぽ
