1 名前:132人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ] 面白い問題、教えてください
28 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 01:55:52 ] >>27 カタラン数の一般化ですな? 念のため訊いておくが、お主解答は用意出来て御座るか?
29 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 06:36:00 ] >>26 正三角形の場合だけやってみた。 a^2*(11pi+3√3)/6 三角形ABCのAを中心に半径r(A).. として r(A)=a, r(B)=b, r(C)=c r(A)=c, r(B)=a, r(C)=b etc とした方がきれいな結果になるような気がしないでもない。
30 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 13:41:20 ] >>28 すいませぬ。n>mという条件付で ×線分ABに触れず(点A,Bは除く)に格子の辺のみを通って ○直線y=xに触れず(点Aは除く)に格子の辺のみを通って だった 27だと階乗使うだけじゃ表せねぇ
31 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 14:29:14 ] >>30 あーしてこーしてひっくり返すと ((n-m)/n)*C[n+m-1,m]
32 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 16:34:56 ] >26 a≧b≧c としても一般性を失わない。 A,B,C を中心とする円を α,β,γ とすれば、 (α∪β∪γ) = α + β + γ - (α∩β) - (β∩γ) - (γ∩α) + (α∩β∩γ), S(α) = πb^2, S(β) = S(γ) = πa^2, S(α∩β) = S(α∩γ) = f(a,b), S(β∩γ) = f(a,a), 【補題】 0<r≦R とする。半径Rの円をC, その周上の点を中心とする半径rの円をcとすると, 共通部分の面積 S(C∩c) は, f(R,r) = (π/2)r^2 + (2R^2 -r^2)・arcsin(r/2R) -r√{R^2 -(r/2)^2}, f(R,R) = {(2π/3) - (√3)/2}R^2, 残った S(α∩β∩γ) をどうするかという問題。
33 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 17:31:42 ] >>32 この問題ってa=BC, b=CA, c=ABってことでいいんだよね? 円と円の交点(一番外側にあるやつ)と、三角形の頂点を線分で結んでいくと、 4つの三角形と3つの扇形が出来る。 こっちのほうが楽でない?
34 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 20:05:48 ] 必要なのってヘロンの公式だけで、わからんスレにあったやつだし、普通に高1の数学じゃね? 結果出してないから何ともいえんけど、結果は綺麗にならない悪寒がする。
35 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 20:20:37 ] >>34 やってから言えよ、ジジイ!
36 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/22(日) 20:36:57 ] >32 S(α∩β) = S(α∩γ) = f(b,a), 【補題】は 0<r≦2R のとき。 r≧2R のときは πR^2 だった. スマソ.
37 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 02:45:04 ] >26 >32,34 より、S(α∩β∩γ) を求めればよい。 α周,β周とγ周の交点をD,Eとおく。△BCEは正3角形。 まづ B ≧ π/6 のときを考える。 B ≧ π/3 -B = ∠ABE, b = AC ≧ AE, Eはα内にある。 CAの延長とγ周の交点をA'とおくと、 α∩β∩γは2直線BC,CA'により3分割される。 α∩β∩γ = (筍形BCE) + (筍形A'CD) - (扇形A'CB), S(α∩β∩γ) = (1/2)f(a,a) + (1/2)f(b,a) - (1/2)(a^2)C.
38 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 03:46:02 ] なぜこの問題はマルチのみならず、マルチ進行が許されるのですか? 教えてください。夏だからですか?
39 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 19:30:00 ] deg(f)=2. deg(g)=2. f(g(x))=x^4+x^3+x^2+x+1.
40 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/26(木) 23:12:11 ] >>39 解あるの?
41 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/27(金) 19:12:45 ] >37 の続き B≧π/6 のときは S(α∩β∩γ) = {(π/3) -(√3)/4 -C/2 +θ/2}a^2 + {(π/2)-θ}b^2 -(a/2)√{b^2 -(a/2)^2}, S(αUβUγ) = {(5/3)π +(√3)/4 -B -C/2 -θ/2}a^2 + {(π/2)-A+θ}b^2 +2Δ + (a/2)√{b^2 -(a/2)^2}, θ = arccos(a/2b), ΔはABCの面積。 >32, >36 S(α∩β) = (a^2)B + (b^2)A -2Δ, だな。
42 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/28(土) 23:28:08 ] >41 の続き B≦π/6 のときは α周とβ周の交点をC,E'とする。E'はCとEの間にある。 α∩β∩γ = (α∩γ) - (弓形CE') = (α∩γ) - {(扇形CAE') +2Δ -(扇形CBE')}, S(α∩β∩γ) = S(α∩γ) - {(b^2)(B+C) +2Δ -(a^2)B}. ハァハァ
43 名前:名無しさん@そうだ選挙に行こう mailto:sage [2007/07/29(日) 12:08:59 ] >42 の続き CE'は2つの円周に挟まれてるから「三日月形CE'」と言うべきだな。
44 名前:名無しさん@そうだ選挙に行こう mailto:sage [2007/07/29(日) 15:27:51 ] >42 の続き B≦π/6 のときは S(α∩β∩γ) = (B+θ)a^2 +(A-2θ)b^2 -2Δ -a√{b^2 -(a/2)^2}, S(αUβUγ) = {(4/3)π +(√3)/2}a^2 = 5.05481560…a^2
45 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/30(月) 03:31:25 ] >44 の続き B≦π/6 のときは α ⊂ (βUγ) α∩β∩γ = β∩γ だな…
46 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/07/31(火) 01:27:57 ] >44 の続き まちがえた…orz B≦π/6 のときは αUβUγ = βUγ だった…
47 名前:132人目の素数さん [2007/08/01(水) 20:33:38 ] 3乗して下3桁が777になるような整数は存在するか?
48 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/01(水) 20:38:27 ] 753^3=426957777
49 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/01(水) 21:39:40 ] N,mを正の整数とし、nをNの桁数とする。 f(N,m)の値を以下の値で定義する。 「N^mを下からn桁ずつ区切っていき、それらの総和をf(N,m)とする。 n桁ずつ区切ったときに最上位の数字が0の部分は桁数がn未満の値として扱う」 (1)任意のnに対してf(N,2)=Nを満たすNが存在することを示せ。 (2)任意のnに対してf(N,2)=f(N,3)=Nを満たすNは存在するか?
50 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/01(水) 22:08:38 ] >>49 問題の意味を俺が理解できているか確認したいんだけど、例えば f(101,3)=1+30+301=332 ってことでよい?
51 名前:49 mailto:sage [2007/08/01(水) 22:17:32 ] >>50 それでOKです。 理解が早くて助かります。
52 名前:49 mailto:sage [2007/08/01(水) 22:23:57 ] すいません、一つ追加です (1)は「二つ以上存在」にしてください。10^k-1以外にも存在することを示す感じで。
53 名前:50 mailto:sage [2007/08/01(水) 22:29:12 ] >>49 ありがとう。チャレンジしてみるよ。
54 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/04(土) 02:16:42 ] n!を10進法で表記したとき、それを1の位から見ていき、初めて0でない数が現れた ところで、その数をf(n)と書く。たとえば 4!=24なのでf(4)=4 5!=120なのでf(5)=2 10!=3628800なのでf(10)=8 となる。自然数nの5進方表示n=納i=0〜u](5^i)aiを与えたとき、 納i=1〜u]i*ai≡t (mod 4)となる自然数tを1つ選べば、 {au!a(u−1)!…a1!a0!}2^t の1桁目の数字がf(n)になっていることを示せ。
55 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/04(土) 02:30:50 ] 例: n=21のとき、5進法でn=納i=0〜u](5^i)ai , u=1 , a0=1 , a1=4 と表せる。納i=1〜1]i*ai≡t (mod 4)となるtはt≡1*a1=4≡0 (mod 4)なので、 t=4が選べる。このとき{au!a(u−1)!…a1!a0!}2^t=4!1!2^4=24*16 なので、 この数の1の位は4となり、f(21)=4となる。 直接求めると、21!=51090942171709440000であるから、f(21)=4である。
56 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 00:50:58 ] >>49 の(1)をやってみた(出来てないけど) p=10^nとして N^2=ap+b, f(N,2)=a+b=N の2式から a=N(N-1)/(p-1), b=N(p-N)/(p-1) となる。a, bが整数であるためには、 N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*) を満たす必要がある(p≡1 (mod p-1)だからbから来る式はいらない)。 任意のnに対して、(*)を満たす10^{n-1} ≦ N < 10^nなるNがあれば万事OK。 p-1以外のNということで、n≡±1 (mod 3)の時は、I=(p-1)/9, d=1,2,...,8として N = dI for n≡1 (mod 3) N = dI+1 for n≡-1 (mod 3) がある。ただし、dはnに応じて適当に選ぶ必要がある。だけどn≡0 (mod 3)はこのゾロ目形は通用しない。無念。 詳しくないので(*)の一般的な解法があるのか知らぬ。
57 名前:56 [2007/08/05(日) 00:56:13 ] 後半の(mod 3)は全部(mod 9)だった。
58 名前:56 mailto:sage [2007/08/05(日) 01:05:05 ] 簡単に修正しようとして失敗した。 I=(p-1)/9として、n≡1,2,4,5,7,8 (mod 9)の時はd=1,2,...,8を適当に選んで nd≡1 (mod 9)と出来る場合 N = dI nd≡-1 (mod 9)と出来る場合 N = dI+1 とすればOK。 だけどn≡0,3,6 (mod 9)のときはゾロ目形は通用しない。
59 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 01:37:36 ] >>49 (1) N=99・・・9 (n桁)=(10^n)-1は条件を満たす。 実際,N^2=10^(2n)-2*10^n+1において, 下n桁は1,その後のn-1桁は99・・・8 (=10^n-2)なので それらの和は(10^n)-1=N
60 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 01:41:23 ] >>49 (2) 存在しない。 f(2,N)=Nより,N=(10^n)-1と書かれることが必要。 ところがn=1のとき,N=9だが,N^3=729となり,f(3,N)=18≠N
61 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 02:05:42 ] >>59 (1)に限っては、>>52 で99・・・9 「以外でいつでもあるか」と言ってるよ。 >>60 >f(2,N)=Nより,N=(10^n)-1と書かれることが必要。 その必要は無いよ。 それと(2)では(1)と違って、その形であっても存在すればOKと出題者は言いたいのだと思う。 俺の計算機がしょぼいので、ここまでしか確認できてないけど、 f(N,2)=N 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222… f(N,3)=N 1, 8, 10, 45, 297… ちなみに俺は>>56 だけど、n≡0,3,6 (mod 9)のとき、(1)を満たすNが無いと言いたいのではなくて、どのような形になるかわかってないと言いたかった。 (もちろん俺は出題者じゃないからね。誤解無いように。)
62 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 04:37:36 ] 単位円がある。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。 OP_1がx軸の正の向きとなす角がθ(0<θ<π/4)となるような点P_1をとる。 ∠OP_1P_2=θとなるような点P_2をとる。 ∠P_1P_2P_3=θとなるような点P_3をとる。 ∠P_2P_3P_4=θとなるような点P_4をとる。 ・・・以降同様に、∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)=θとなるような点P_(n+1)を順次とる。 ただし∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)は線分P_(n-1)P_(n)について、∠P_(n-2)P_(n-1)P_(n)と同じ側にある(同位角)とする。 P_(n)の座標をθを用いて表せ。 問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。
63 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 04:43:37 ] >>62 >問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。 ふざけんなwww 他所にそれ相応のスレがある。
64 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 05:51:28 ] >>63 え、このスレって答えも用意してないとダメなの? 正直スマンカッタ。問題ごと忘れてくれ。
65 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 06:24:58 ] >>64 いや、答えがわからなくてもいいとは思うが、 >考えたけど面倒でやめたから後は任せた。 というところに突っ込みたくなった。それでは面白いかどうかわからないでしょ?
66 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 06:32:47 ] >>65 別の問題を考えていた時に、ふと思いついた図形から考えてみた。グラフィカルに面白いと思ったから出してみただけ。そういう意味じゃないって? いずれにしても答えはわからなかった。軟弱な俺を許して。
67 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 07:28:50 ] >>>62 P_3の取り方に(一般性を失う)2通りあるでしょ。そこら辺ちゃんと考えてるの?
68 名前:66 mailto:sage [2007/08/05(日) 07:31:27 ] ていうかP_(n)が円周上の点だと明示してなかったorz 今何とか考えてみたらこうなった。 P_(2n)=((-1)^ncos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ) P_(2n+1)=(cos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ) ただしn=0の時P_(0)は定義しない。
69 名前:66 mailto:sage [2007/08/05(日) 07:35:03 ] >>67 意味わからない。どういうこと?
70 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 09:40:55 ] 知将
71 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 09:58:27 ] >>56 > N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*) N^2 ≡N (mod p-1) N と p-1 の最大公約数を q とすると N ≡1 (mod (p-1)/q) N ≡0 (mod q) の二本の式が出てきて、中国剰余定理からp-1未満の 整数解の存在は保証される。 そして、そのNがf(2,N)=Nを本当に満たしているって言うのは 不等号ではさんでゴニョゴニョスればいいはず。 というか、ここまでは前スレの終わりに出てた問題と一緒でしょう。 (2)は繰上りとかがうまく処理できなくて難しいね。
72 名前:66 mailto:sage [2007/08/05(日) 15:55:37 ] >>70 多分俺に言ってるんだと思うけど、罵るのはいいからさあ・・・教えて欲しいのよ、こっちは。 まあ、よく考えたら大して面白い問題でもなさそうだったからスルーでもかまわないが。
73 名前:132人目の素数さん [2007/08/05(日) 22:33:36 ] >>72 簡単 かつ つまらない かつ 解答も考えずに書き込んだお前は屑だ! 100年ロムって、そのままs…
74 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/05(日) 22:37:21 ] 100年と言わず、半万年ろm(ry
75 名前:132人目の素数さん [2007/08/06(月) 01:14:47 ] 半径rの球面上にn個の点(a1,a2,...,an)を配置するとき、 ある1点akと他の点間の各距離の最小値をdkとする。 n=5のとき、d1+d2+d3+d4+d5の値が最大となる配置はどのような配置か? 長年疑問だったのでお尋ねします。
76 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 01:38:55 ] mathnoriの問題か?
77 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 08:57:51 ] >>62 の反省を生かして別問題を作ってみた。答えも用意してあるが、後に公開するそれが間違ってたら指摘を求む。 原点をOとし、0<θ<π/2とする。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。 線分OP_1がx軸の正の向きとなす角がθとなるような点P_1をとる。 次に線分P_1P_2が線分OP_1の延長の正の向きとなす角が2θとなるような点P_2をとる。 次に線分P_2P_3が線分P_1P_2の延長の正の向きとなす角が3θとなるような点P_3をとる。 ・・・以下同様に、線分P_(n)P_(n+1)が線分P_(n-1)P_nの延長の正の向きとなす角がnθとなるような点P_(n+1)を順次とっていく。 (1)OP_(n)の座標を、θを用いて表せ。 (2)P_4がy軸上にあるようなθの値を求めよ。 (3)θが(2)で一義的に定まる時、P_4のy座標を求めよ。 定まらない時は、最も小さなθに対応する点P_4を点A、最も大きなθに対応する点P_4を点Bとし、線分ABの長さを求めよ。 なお、既知の角度が求められない場合は三角比の表を用いるなどして良い(注:ここだけ美しくなくて残念)。
78 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 09:03:55 ] >>77 また一つ書き忘れたおバカな俺。「線分P_(n)P_(n+1)の長さはいずれも1とする。」これがなきゃ解けねーよ。
79 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 11:12:22 ] A[n+2]=(4n+2)A[n+1]+A[n] B[n+2]=(4n+2)B[n+1]+B[n] A[1]=1、A[2]=3 B[1]=1、B[2]=1 を満たすA[n],B[n]においてA[n]/B[n]の極限値を求めよ。
80 名前:75 mailto:sage [2007/08/06(月) 13:01:20 ] >>76 問題背景は金属錯体化学です。球面縛りはこれが由来です。 中心に金属原子を持ち、その周りに幾つかの原子団(配位子) が結合(配位)したものを金属錯体と言います。 金属原子に配位したそれぞれの配位子はお互いの立体反発を小さくするような 空間配置をします。 4つの配位子がある場合、正四面体の頂点(平面正方形となる場合もあります) 6つ場合、正八面体の頂点となるような配置になります。 5つの場合は、中心金属を含む平面内に正3角形の頂点をなすように3つ、 残りの2つはその平面と垂直になり、中心金属を通る直線上にとります(三方両錐型)。 数学的に考えて、三方両錐型が一番反発の少ない構造なのかを 知りたくて出題させて頂きました。 数学素人の問題ですがお願いします。 類似の問題がありましたら教えてください。
81 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 13:15:22 ] >>78 糞して寝ろ! (゚Д゚)≡゚д゚)、カァー ペッ!!
82 名前:132人目の素数さん [2007/08/06(月) 17:30:01 ] (゚Д゚)
83 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 22:16:32 ] >>77 とりあえず2分くらい考えただけだが (2)π/9,π/7,π/4,π/3,3π/7 (3)2sin3π/7-√3 あってるかどうかとか解説とか、そういうレスはなくていいです
84 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 22:16:48 ] >>80 立体反発というのがどういうものか知らないんだけど、 問題>>75 の「距離の和」が関係してるの? むしろそっちのほうが気になってしまうやつがここにいる。
85 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 22:58:42 ] 距離の二乗の和?
86 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 23:15:59 ] >>83 解説は不要とのことなので、感想だけ。 2分でよく答えをはじき出せたねえ・・・。問題として面白いかとか、自分もちゃんと解けるかどうかとかを考えてたら2時間以上かかったよ。
87 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/06(月) 23:56:44 ] >80 それだったら、静電エネルギーを最小にするんぢゃね? Σ[1≦i<j≦n] 1/d(i,j) → min.
88 名前:83 mailto:sage [2007/08/07(火) 00:04:41 ] >>86 あ、すいません。解説っていうのは回答に対する考察のことで、問題の解説はほしかったり。 ほとんど当て推量で、 10-1=6+3=9 10-3=6+1=7 10-6=3+1=4 の最右辺の値を分母でcosに持っていけば大丈夫だろうくらいしか考えてませんでした。 ただ一般化はしにくいかも知れませんね。東工大でこのままありそうな問題って感じで。 あと(3)はなんか意味のある問題だったり?
89 名前:87 mailto:sage [2007/08/07(火) 00:34:28 ] >80 3方両錐型のとき Σ[i<j] 1/d(i,j) = 6/(a√2) + 3/(a√3) + 1/(2a) = 6.4746915…/a. (たぶん最小)
90 名前:75 [2007/08/07(火) 00:42:56 ] >>84 ,85,87 レスありがとうございます。 イメージとして個々の点の持つ「縄張り」ができるだけ均等になるのは どのような常態かが知りたくて>>75 のような問題文になってしまいました。 この「縄張り」の定義があいまいな為、混乱を招いてしまったと思います。 球面ではなくて円周にした場合、点が幾つであろうと等間隔に 点を円周上に並べれば、各点間の反発が均等になります。 これが球面になるとどうなってしまうのか? とくに対象性の悪い数の場合はどうか? が知りたくて出題しました。
91 名前:75 mailto:sage [2007/08/07(火) 00:57:39 ] >>89 解答ありがとうございます。 各点間の距離の逆数の和が三方両錐型の場合に最小に なることの証明は難しいのでしょうか?
92 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/07(火) 01:05:30 ] >>89 6.4746915 をぐぐったら Distributing n Charges on a Sphere tracer.lcc.uma.es/problems/thomson/thomson.html なんてページが出てきた。
93 名前:75 mailto:sage [2007/08/07(火) 01:09:35 ] 連投で申し訳ないです。 各点に立体角を割り振るようなうまい定義 ができていないのがダメですね。
94 名前:75 mailto:sage [2007/08/07(火) 01:14:31 ] >>92 面白いページですね。 5つのときはやはり三方両錐型ですね。
95 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/08(水) 00:24:02 ] >>88 勘違いすみませぬ。 (1)P_(n)の座標はベクトルを用いて↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)と表せる。これを用いれば ↑OP_2=↑OP_1+↑P_1P_2=(cosθ,sinθ)+(cos(θ+2θ),sin(θ+2θ)=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ) ↑OP_3=↑OP_2+↑P_2P_3=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)+(cos(θ+2θ+3θ),sin(θ+2θ+3θ) =(cosθ+cos3θ+6θ,sinθ+sin3θ+6θ) 以下同様にすれば ↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)=(納k=1,n]cos(k(k+1)θ/2),納k=1,n]sin(k(k+1)θ/2)) ・・・確かに成り立つかどうかの吟味って必要かな? (2)P_4がy軸上にある、つまりx座標が0であるから、cosθ+cos3θ+6θ+cos10θ=0。 変形すると-4sin2θsin(9θ/2)cos(7θ/2)=0であり、0<θ<π/2よりsin2θ≠0なので sin(9θ/2)cos(7θ/2)=0。これを満たすθは0<θ<π/2において、θ=π/9,π/7,3π/7,4π/9 の4つ。 (3)(2)で求めたようにθは一つだけではないから、最小のθに対応する点P_4つまり点Aのy座標は となる。これはsin(π/7)+sin(3π/7)+sin(6π/7)+sin(10π/7)=2sin(2π/7)である。 最大のθに対応する点P_4つまり点Bのy座標はsin(2π/9)+sin(6π/9)+sin(12π/9)+sin(20π/9)=2sin(2π/9)である。 したがって、線分ABの長さ=2sin(2π/7)-2sin(2π/9)=2sin(π/63)≒0.997。 >あと(3)はなんか意味のある問題だったり? 別にあまり意味は無い。本当はθは一つに定まると思ってた(このへんが浅はかだなあ)から、 それに対応する点の座標を求めるだけのつもりだった。しかし一つには定まらないことに気づいてから、 「だったら複数の点の座標を求め、それが作る多角形についても問題にしよう。」と考えた。 さらに言えば、「どうせθは一つには決まらないんだから、P_4がx軸上にある場合も問題にしてやれ。」 との考えにいたった。それぞれで題意に沿う最小および最大のθに対応する4点を定めて、それが作る台形の 面積を求めるつもりだった。でも自分が大変なのでやめた。時間と気力があったらやってみてね。
96 名前:132人目の素数さん [2007/08/08(水) 03:47:31 ] 2^186+1/65 が整数であることを証明せよ。
97 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/08(水) 08:34:43 ] (2^186+1)/65?
98 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/08(水) 17:44:15 ] 以下65を法とする 2^6≡64≡-1 2^186≡(2^6)^31≡(-1)^31≡-1 2^186+1≡-1+1≡0
99 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/09(木) 11:11:31 ] 自作問題。 (1)f:(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。 ・fは(-1,1)上でC^1級である ・|f'(x)|<1 (-1<x<1)が成り立つ ・f(0)=0である このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)=0が成り立つことを示せ。 ただし、f^n(a)=f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。 (2)f:(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。 ・fは(-1,1)上で微分可能である(しかしC^1級とは限らない) ・|f'(x)|<1 (-1<x<1)が成り立つ ・f(0)=0である このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)=0が成り立つことを示せ。 ただし、f^n(a)=f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。
100 名前:89 mailto:sage [2007/08/11(土) 01:17:39 ] >92 ddクス nが小さいところでは n=2, 直径, f(2) = 1/2, a=2, n=3, 正3角形, f(3) = √3, a = √3, n=4, 正4面体, f(4) = (3/2)√6, a = √(8/3), n=5, 三方両錐, f(5) = (1/2) + 3√2 + √3, a(ax)=√2, a(eq)=√3, n=6, 正8面体, f(6) = (3/2) + 6√2, a=√2, n=7, 五方両錐, f(7) = (1/2) + 5√2 + 5√{(5+√5)/10} + 5√{(5-√5)/10}, a(ax)=√2, a(eq)=√{(5-√5)/2}, n=8, 捩れ正方形柱, f(8) < 2 + 6√3 + 3√6, (square anti-prism), a(top) = a(bot) = 1.171247738380718…, a(side) = 1.28769352633104…, n=12, 歪20面体, f(12) < -12 +15√5 +15√{(5+√5)/2}, n=20, 歪12面体, f(20) < 5 +30√3 +15√6 +15√15, かな。 n=8,12,20 では正多面体からずれている。ヤーン・テラー効果?
101 名前:89 mailto:sage [2007/08/11(土) 01:51:01 ] >80 平面正方形では, f(4) < 1+2√2, a=√2, でつが実在しまつね。 軌道函数どうしの重なり積分が≒0 となる必要があるので、結合角にも制約があり… 静電エネルギーだけで決まる訳ぢゃね…
102 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/24(金) 16:36:07 ] ほしゅ
103 名前:132人目の素数さん [2007/08/25(土) 18:24:43 ] ひまでしたら解いてみてください 6桁の自然数ABCDEFは3桁の自然数ABC*DEFで割り切れる。 6桁の自然数ABCDEFをいくつか見つけてください。
104 名前:132人目の素数さん [2007/08/25(土) 19:27:36 ] ポテンシャル問題でしょ、普通に解けば?ラグランジェとかで?
105 名前:132人目の素数さん [2007/08/25(土) 19:32:34 ] V=eiej/dij dij=d(ri-rj) d(ri)=d(rj) G=V-sjd(rj)
106 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/25(土) 22:15:04 ] >>103 143143 = 143*1001 = 143*143*7 167334 = 167*1002 = 167*167*6 この問題には深い意味ありますか?ただいま検討中。
107 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/25(土) 22:34:39 ] >>104 さすがに (5-1)*2=8 の変数を単純計算では、取り付く島もなかろう。 せめて対称性を分析してからでないと。
108 名前:132人目の素数さん [2007/08/26(日) 12:03:50 ] 次の数式は何故そうなるのかわかる方どなたかご教授ください。 鉱山を営むとする鉱業権は、次により評価する。 (1) 操業している鉱山の鉱業権の場合 a×(1/(s+(r/((1+r)^n−1))))−E (1+r)の後はn乗です。 a 鉱山が毎年実現しうる純収益 s 報酬利率 9パーセントから15パーセントまでの間において適正に定めた率 r 蓄積利率 n 可採年数 E 今後投下されるべき起業費の現在価額 (2) 未着手のまま据置期間のある場合の鉱山の鉱業権の場合 (1/(1+r)^m)×a×(1/(s+(r/((1+r)^n−1))))−E (1+r)の後m乗、 (1+r)のあとn乗 m 据置期間 a、s、r、n及びE (1)に定めるとおりとする。 (3) 開坑後予定収益を生ずるまでに期間のある場合における鉱業権の場合 a×(((1+r)^n−1)/(r+s{(1+r)^n+m−1}))−E (1+r)のあとn乗、(1+r)のあと n+m乗 m 補償時から予定収益を生ずるまでの期間 a、s、r、n及びE (1)に定めるとおりとする。 どなたかわかる人がいればご教授ください。比較級数の和の公式のようにも思えるし、複利計算の式にも思えるし・・・悩み中です。
109 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 12:51:28 ] >>108 マルチ
110 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/19(水) 23:53:54 ] ほしゅ
111 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/23(日) 17:10:38 ] 転載。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190430000/22 半径r の円の中で一回に距離1だけ(好きな方向に)逃げたり 追いかけたりすることが出来る鬼ごっこをするとします。 最初に、鬼は中央に子は円周にいるとして先に子が逃げるとします。 さて、半径rがある程度大きくなると永遠に逃げ回ることが 可能になるのでしょうか?それとも絶対に捕まるのでしょうか? また、円以外の閉領域で上の鬼ごっこをするときに 必ず捕まる条件みたいなのは計算可能でしょうか?
112 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/23(日) 23:55:07 ] >111 鬼は子の方向に追いかけるとする。距離RがR-1になる。 子が鬼の反対側に逃げた場合には距離がRに戻る。しかし θだけ逸れると R - √{R^2 -2(R-1)(1-cosθ)} ≧ (R-1)(1-cosθ)/R だけ近づく。
113 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 02:14:06 ] 鬼が子の方向に必ず1進めるわけではないので かならずそれが適応できるわけではない。
114 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 02:16:23 ] ああ、ごめん。ルールを勘違いしてた。 交互に逃げたり追ったりするんだね
115 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 10:16:51 ] そもそも永遠に逃げられるパターンが思いつけない。
116 名前:132人目の素数さん [2007/09/24(月) 11:11:50 ] (1) 正方形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ (2) 正三角形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ (3) 円を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
117 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 13:18:23 ] >>115 任意の凸領域(任意の二点を結ぶ線分がその領域内を通るもの)は毎回、鬼が子の方向に進んでいけば距離が小さくなっていく。 よってずっと逃げ回るためには境界が凹領域のところ(つまり、穴というか進入禁止領域)があることが必要。 それでは、どれだけの大きさの穴があれば逃げ回れるのでしょうか? 球面とか、トーラスのように境界がない曲面も逃げ回ることが出来る大きさの最小値がありそう。
118 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 13:23:22 ] >>116 (1)これでどうだ! 文句あるか! ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■□□□□ ■■■■■■■■■■■■□□□□ ■■■■■■■■■■/□□□□□ ■■■■■■■■■■□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□ (/の部分は、フラクタル)
119 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 14:02:17 ] >>118 フラクタルはダメです 曲線でわけても結構です
120 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 14:04:07 ] >>118 相似にならねえじゃん
121 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:48:20 ] >>116 (1)と(3)は思いついたが(2)が思いつかん。
122 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:49:06 ] >>120 なるだろ。
123 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:49:24 ] >>121 解答頼む
124 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:50:34 ] あ、(2)もできた。
125 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 17:54:22 ] 結局フラクタルな図形以外でできるのか?
126 名前:121,124 mailto:sage [2007/09/24(月) 18:19:14 ] 自分が考えたのもどれもフラクタルな図形です。 そうでないのは出来るんだろうか?
127 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 18:23:40 ] >>122 ならねえよ
128 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2007/09/24(月) 18:24:54 ] >>122 デカい方が角が2つ多いだろ。