代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 552 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/20(火) 09:44:04 ] >てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど Hartshorneだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだろ (Serreの双対定理の証明はEGAにないがそれもGrotehndieckの仕事)。 Mumfordのもいくらかぱくってるし。 そのMumfordだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだし。 それにMumfordとかHartshorneの本の証明だって結構いい加減。 結局、スキーム論の基礎に関してはGrothendieckがオリジナルだし 基礎部分はペンペン草もはえないくらいに徹底してやってるから(Bourbaki仕込み)、 他の人がオリジナルな入門書を書くのは無理。 553 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 10:49:23 ] 補題 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 A が整閉(前スレの578)なら A の 極大イデアルは単項イデアルである。 証明 m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。 a を m の非零元とする。 m ⊂ m(A:m) ⊂ A だから、m(A:m) = m または m(A:m) = A である。 m(A:m) = m とすると、>>551 より A:m の元は A 上整である。 A は整閉だから、A:m = A である。 一方、>>550 より A:m ≠ A だから、これは有り得ない。 よって、m(A:m) = A である。つまり m は可逆イデアルである。 >>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。 証明終 554 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 10:54:10 ] 補題 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 m を A の極大イデアルとする。 ∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。 証明 Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、 直接証明をしよう。 I = ∩m^n おく。 I ≠ 0 なら、dim(A/I) = 0 つまり A は Artin 環 である。よって m^n ⊂ I となる整数 n > 0 がある。 I の定義より I ⊂ m^n だから I = m^n である。 I ⊂ m^(n+1) だから m^n = m^(n+1) となる。 よって 中山の補題(前スレの242)より m^n = 0 である。 よって I = 0 となって矛盾。 証明終 555 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 10:57:55 ] 定理 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 A が整閉(前スレの578)なら A は離散付値環(前スレの645)である。 証明 m を A の極大イデアルとする。 I を A のイデアルで I ≠ 0 かつ I ≠ A とする。 >>554 より ∩m^n = 0 だから I ⊂ m^n だが I ⊂ m^(n+1) とは ならない整数 n > 0 がある。 >>553 より m は単項だから可逆である。 よって、I ⊂ m^n より Im^(-n) ⊂ A となる。 Im^(-n) ≠ A とすると Im^(-n) ⊂ m となって、 I ⊂ m^(n+1) となり仮定に反する。 よって Im^(-n) = A すなわち I = m^n となる。 >>553 より m は単項だから I も単項である。 証明終 556 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:00:11 ] >>555 >>>553 より m は単項だから可逆である。 >>>553 の証明より m は可逆である。 557 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:17:35 ] >>555 の定理が Dedekind整域の特徴付けのキーポイント。 >>555 は結局 >>550の補題と局所環のPicard群が自明という 命題(>>361)に基づいている。 558 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:40:29 ] >>550の補題の証明は簡単そうに見えるけど、随伴素イデアルの理論に 基づいている。 Dedekind整域の特徴付けをもっと手っ取り早くやる方法もある。 例えば van der Wearden。 しかし、その場合は小手先のテクニックというと言いすぎだけど やや強引な証明になる。 ただ、van der Weardenの証明も我々の証明も本質的には あまり変わらない。 559 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:42:18 ] >van der Wearden van der Waerden 560 名前：9280 ◆owS58xj2hQ [2005/12/20(火) 14:38:24 ] また king か 561 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/20(火) 19:33:35 ] talk:>>560 ? 562 名前：9280 ◆owS58xj2hQ [2005/12/20(火) 20:19:11 ] >>561 お前誰だよ。 563 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/20(火) 20:21:25 ] talk:>>562 I'm the King of kings. 564 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/20(火) 20:24:33 ] >>563 訳）俺はオナニーキングだ！ 565 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/21(水) 10:50:07 ] talk:>>564 お前もな？ 566 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 11:19:59 ] 補題 A をネーター局所整域 とする。 A の 極大イデアル m が単項なら ∩m^n = 0 となる。 ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。 証明 Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、 直接証明をする。 m = 0 なら、この補題は明らかである。 よって m ≠ 0 とする。 m = At, t ∈ A とする。m ≠ 0 だから t ≠ 0 である。 I = ∩m^n とおく。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。 x ∈ I とする。各整数 n > 0 に対して x ∈ m^n だから、 x = (t^n)y_n となる y_n ∈ A がある。 (t^n)y_n = (t^(n+1))y_(n+1) だから y_n = ty_(n+1) よって Ay_n ⊂ Ay_(n+1) である。 A はネーターだから、十分大きい n に対して Ay_n = Ay_(n+1) となる。よって y_(n+1) = (y_n)u となる u ∈ A がある。 y_n = ty_(n+1) より y_n = tu(y_n) よって (1 - tu)y_n = 0 となる。 1 - tu ∈ A - m だから 1 - tu は可逆元である。 よって y_n = 0 となり x = (t^n)y_n = 0 である。 従って、I = 0 となる。 証明終 567 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 11:36:58 ] 命題 A を体でないネーター局所整域 とする。 A の 極大イデアル m が単項なら A は離散付値環である。 証明 A は体でないから m ≠ 0 である。 よって、m = At とすれば t ≠ 0 である。 >>566 より ∩m^n = 0 である。 ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。 x ∈ m で x ≠ 0とすると、x ∈ m^n だが x ∈ m^(n+1) とはならない n > 0 がある。 x = (t^n)u, u ∈ A とすれば u ∈ A - m だから u は可逆元である。 よって、A は離散付値環である(詳細は読者に任す)。 証明終 568 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 12:08:24 ] >>567 の仮定は弱めることが出来る。 命題 A をネーター局所環 とする。 A の 極大イデアル m がベキ零でない元で生成される単項イデアルなら A は離散付値環である。 証明 Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より∩m^n = 0 である。 ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。 仮定より m = At となる。ここで、t はベキ零でない。 x ∈ m で x ≠ 0とすると、>>567 と同様にして x = (t^n)u となる n > 0 と可逆元 u がある。 同様に y ∈ m で y ≠ 0とすると、y = (t^k)v となる k > 0 と可逆元 v がある。 xy = (t^(n+k))uv = 0 とすると、uv は可逆だから t^(n+k) = 0 となって、t がベキ零でないことに矛盾。 よって xy ≠ 0 である。 x または y が m に含まれない場合は、xy ≠ 0 は明らか。 したがって、A は整域である。 後は、>>567 と同じ。 証明終 569 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/21(水) 15:35:29 ] 補題 A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。 A/m = k とおく。m/m^2 は k 上のベクトル空間と考えられる。 dim(m/m^2) = n は有限であり、n は m の生成元の個数の最小である。 証明 m は有限生成であるから dim(m/m^2) は有限である。 dim(m/m^2) = n とする。 x_1, ..., x_n を m の元で x_1 (mod m), ... , x_n (mod m) が m/m^2 の k 上の基底となるようなものとする。 x_1, ..., x_n で生成されるイデアルを I とする。 m = I + m^2 である。N = m/I とおけば、mN = N である。 よって中山の補題(前スレの242)より、N = 0 である。 よって、m = I となる。つまり、m は n 個の元で生成される。 m が r 個の元で生成されれば、dim(m/m^2) ≦ r となる。 よって、n は m の生成元の個数の最小である。 証明終 570 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 15:08:57 ] 命題 A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。 dim(A) ≦ dim(m/m^2) となる。 証明 >>569 と Krullの次元定理(前スレの455)より明らか。 571 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 15:12:25 ] 定義 A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。 dim(A) = dim(m/m^2) となるとき、A を正則局所環と呼ぶ。 572 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 15:31:35 ] 命題 Krull次元１の正則局所環は離散付値環である。 証明 A をKrull次元１の正則局所環、m をその極大イデアルとする。 定義より dim(m/m^2) = 1 である。 よって、>>569 より m は一個の元 t で生成される。 t がベキ零とすると m もベキ零となる。m^r = 0 とする。 p を A の任意の素イデアルとすると m^r ⊂ p だから m = p となる。よって dim(A) = 0 となり dim(A) = 1 に反する。 よって t はベキ零でない。 >>568 よりA は離散付値環である。 証明終 573 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 15:36:12 ] 命題 離散付値環はKrull次元１の正則局所環である。 証明 明らかだろう。 574 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 15:45:03 ] 命題 king 氏ね。 証明 明らかだろう。 575 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 16:23:19 ] 命題 kingはKrull次元１の正則局所環である。 証明 明らかではない。 576 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/22(木) 17:57:18 ] talk:>>574 お前に何が分かるというのか？ talk:>>575 私を呼んだか？ 577 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/22(木) 17:58:32 ] >>574 「king 氏ね」は公理だ。 578 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/22(木) 18:09:50 ] talk:>>577 お前に何が分かるというのか？ 579 名前：GiantLeaves ◆Ox1b3ANLCs [2005/12/22(木) 18:10:52 ] talk:>>576>>577 人の名前を語って数学板を荒らしてるのはお前らか 580 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/22(木) 18:16:58 ] >>579 誰の名前だよ？ 581 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 19:00:32 ] 定義 A をking局所環、m をその極大イデアルとする。 yojo(A) = sex(m/m^2) となるとき、A を包茎局所環と呼ぶ。 582 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 19:06:49 ] 命題 A を包茎局所環とする。 このとき、アーベル群としての射 I(A) → Cli(A) は 同型 I(A)/Pi(A) = Cli(A) を誘導する。 ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。 証明 明らかである。 583 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 19:55:32 ] なんで インポ／ピピ＝クリ になるの？ 584 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 21:33:53 ] 命題 A を整閉整域とし、S を A の積閉部分集合とする。 A_S は整閉である。 証明 K を A の商体とし、x ∈ K が A_S 上整とする。 x^n + (a_1/s)x^(n-1) + ... + (a_(n-1)/s)x + a_n/s = 0 ととしてよい。ここで、各 a_i ∈ A で, s ∈ S この等式の両辺に s^n を掛けて、 (sx)^n + a_1(sx)^(n-1) + ... + a_(n-1)s^(n-2)(sx) + (a_n)s^(n-1) = 0 となる。よって、sx は A 上整である。 A は整閉だから、sx ∈ A となる。 つまり、x ∈ A_S となる。よって A_S は整閉である。 証明終 585 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 21:40:55 ] 命題 A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１(前スレの379)の 素イデアルとする。このとき A_p は離散付値環である。 証明 >>584 と >>555 より。 586 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 21:57:15 ] >>553 >a を m の非零元とする。 この行は削除。 587 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/22(木) 22:06:47 ] >>586 書き込む前に良く確認しようね。 588 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/22(木) 22:09:32 ] >>582 ＞ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。 この部分、短小イデアル群を短小イデアル類群に置き換え。 589 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 22:31:31 ] 補題 A をネーター整閉整域とし、m を A の極大イデアルとする。 a を A の元とする。 m ∈ Ass(A/aA) なら A は離散付値環である。 証明 >>550 と同様にして A:m ≠ A となる。 A は整閉だから >>553 と同様にして m は可逆となり、 したがって単項となる。よって、>>567 より A は離散付値環である。 証明終 590 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/22(木) 22:47:58 ] >>589 >A をネーター整閉整域とし、 A を整閉なネーター局所整域とし、 591 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/23(金) 01:33:35 ] びっくり 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:さげ [2005/12/23(金) 01:34:31 ] びっくり 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:?3?° [2005/12/23(金) 01:36:47 ] び 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:?3??? [2005/12/23(金) 01:41:54 ] びびび 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:?3??? [2005/12/23(金) 01:45:04 ] びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:?A?L?? [2005/12/23(金) 04:22:35 ] びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび びびび 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:?A?L?? [2005/12/23(金) 04:23:37 ] >>582 ＞ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。 この部分、短小イデアル群を短小包茎イデアル類群に置き換え。 598 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/23(金) 04:34:04 ] 1001 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:さげ [2005/12/23(金) 07:52:58 ] 1 600 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/23(金) 07:54:49 ] アッという間に600がすぎた 年末年始の間にはスレが消えていることだろう 601 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 10:47:11 ] 定義 １次元のネーター整閉整域をDedekind整域またはDedekind環と呼ぶ。 602 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 10:59:10 ] >>589 >a を A の元とする。 a ≠ 0 を A の元とする。 603 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 11:00:59 ] 命題 A をネーター整閉整域とし、a ≠ 0 を A の元とする。 p ∈ Ass(A/aA) なら ht(p) = 1 である。 証明 前スレの 95 より Ass(A_p/aA_p) = Ass(A/aA) ∩ Spec(A_p) である。 よって、p ∈ Ass(A_p/aA_p) となる。 >>589 より A_p は離散付値環である。 よって、ht(p) = 1 である。 証明終 604 名前：9208 ◆4etoz7nPdA mailto:sage [2005/12/27(火) 13:12:43 ] >>602 良く考えて投稿したらどうか？ 605 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 13:51:35 ] 命題 A をネーター整閉整域とする。 A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。 証明 a, b ∈ A, b ≠ 0 で a ∈ bA_p が任意の ht(p) = 1 の 素イデアル p について成立てば、a ∈ bA となることを示せばよい。 I = {x ∈ A; xa ∈ bA} とおく。I = A が言えればよい。 I ≠ A と仮定する。Ia ⊂ bA だから、I ⊂ p となる p ∈ Ass(A/bA) がある(前スレの90)。>>603 より ht(p) = 1 である。 仮定より、a ∈ bA_p であるから、sa ∈ bA となる s ∈ A - p がある。よって s ∈ I だが、これは I ⊂ p に矛盾する。 証明終 606 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/27(火) 16:10:32 ] 　　　　／￣￣￣￣＼ 　　　２７歳で日本数学会は下らないと悟った。 　　　（　　人＿＿＿＿） 　　３０歳でフィールズ賞も下らないと分かった。 　　　 |ミ/　　ー◎-◎-） 　　３３歳で下らない建部賞を贈られた。 　　　（６　　　　　(_　_)　） 　　３６歳でアカポスを諦めた。 　　＿_|　∴　ノ　　３　 ﾉ　　　 ３９歳で自分自身を諦めた。 　（＿_/＼＿＿＿＿_ノ 　　　　 だから愚痴はかみ殺してた。 　/　（ 　　))　　　　　 ))）　　　「アカポスはコネ」が口癖。 []＿__.|　｜ラブひな命 ヽ 　　　自分を相手にしない公募は糞以下だと気づてたから。 ｜[]　.|＿|＿＿>>1＿＿＿） 　　　言えば僻みになるから負け惜しみになるからダサいから、 　＼_（＿_）三三三[□]三）　　　　ずっとかみ殺してた。 　　／（＿）＼:::::::::::::::::::::::|　　　　　　でも２ちゃんで言ったら最高に笑えた。 　｜Sofmap｜:::::::::/:::::::/ 　　　　　　「川北君に嫉妬したInvent崩れが、女児を刺す！ｗ」 　（＿＿＿＿_）;;;;;/;;;;;;;/ 　　　　　（＿＿＿[）＿[） 　　　　　　　　本当に心の底から笑えた…。 607 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 18:14:03 ] 命題 一意分解整域は整閉である。 証明 A を一意分解整域とし、K を A の商体とする。 a/b ∈ K が A 上整とする。ここで、a ∈ A, b ∈ A, a ≠ 0, b ≠ 0。 a, b は互いに素と仮定してよい。 a/b は A 上整だから、整数 n > 0 があり、 (a/b)^n + (a_1)(a/b)^(n-1) + ... + (a_(n-1))(a/b) + a_n = 0 となる。ここで、各 a_i ∈ A。 この等式の両辺に b^n を掛けて、 a^n + (a_1)ba^(n-1) + ... + a_(n-1)(b^(n-1))a + (a_n)b^n = 0 左辺の a^n 以外の項は b で割れる。よって a^n も b で割れる。 b を割る素元 p があるとすると、p は a も割ることになり、 a, b は互いに素という仮定に反する。 よって b は単元である。したがって、a/b ∈ A となる。 証明終 608 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/27(火) 19:14:01 ] >>606 建部崩れの専門は、ヘルス巡り。月給１０万で 最近はほとんど逝けず、激しく意気消沈なのれしたｗ 609 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 13:48:56 ] 命題 A をネーター整域とする。 A が整閉であるためには以下の条件が必要十分である。 1) A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は離散付値環である。 2) A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。 証明 A はネーター整閉整域とする。 >>585 より 1) が成立つ。 >>605 より 2) が成立つ。 逆にネーター整域 A が 1), 2) を満たすとする。 1) より A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は 一意分解整域だから、>>607 より A_p は整閉である。 よって、2) より A も整閉である 証明終 610 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/28(水) 13:54:17 ] 138 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 11:44:27 多元数理研の由来は多元環からきてるの？ だとすると代数系に重点を置いてるのかな 139 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 13:24:44 >>138 そんなわけないだろ。 それは吉田正章が言った冗談。 本当の由来はある教授が四方教授と本部の事務官の前で言った「冗談」 611 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 14:58:27 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。 証明 p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の単項イデアルである。 A はネーターだから、I は A-加群として有限表示を持つ。 よって、>>235 より I は射影的である。 I ≠ 0 だから I は非退化(>>431)である。 よって、>>511 より I は可逆である。 証明終 612 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 16:07:07 ] 補題 A を整域とする。 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 証明 x ∈ ∩A_m とし、I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。 I = A と仮定する。I ⊂ m となる極大イデアル m がある。 x ∈ A_m であるから、sx ∈ A となる s ∈ A - m があり、 s ∈ I に矛盾。 証明終 613 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 16:13:20 ] 命題 A を体でない整域とする。A の任意の非零イデアルが可逆(>>430)なら、 A はDedekind整域(>>601)である。 証明 >>504 より可逆イデアルは有限生成である。 よって、A はネーターである。 p を A の非零素イデアルとする。 p は可逆だから、>>509 より p は階数１(>>253)の射影加群である。 よって、>>191 より pA_p は階数１の自由加群である。 つまり、pA_p は、単項イデアルである。 よって、>>567 より A_p は離散付値環である。 よって、ht(p) = 1 である。これから dim(A) = 1 となる。 よって、A の非零素イデアルと極大イデアルは同じものである。 >>612 より A = ∩A_p (p は A の極大イデアル全体を動く)であり、 >>607 より 各 A_p は整閉だから、A も整閉である。 以上で、A は１次元のネーター整閉整域、つまりDedekind整域で あることがわかった。 証明 614 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/28(水) 16:16:04 ] まだ写経してるのか。 615 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 17:22:31 ] 補題 A をネーター整域とする。 m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n > 0 に対して m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。 証明 Supp(A/m^n) = {m} だから前スレの 166 よりAss(A/m^n) = {m} である。 よって、m^n は準素イデアルである。 よって、前スレの 198 より m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。 証明終 616 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 17:31:23 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に分解される。 証明 I ≠ A と仮定してよい。 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 I ≠ 0 だから各 p_i は極大イデアルである。ht(p_i) = 1 だから、 p_i は Supp(A/I) の極小元である。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。 >>585 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。 よって、>>615 より、q_i = (p_i)^(n_i) となる。 前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。 証明終 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 04:40:51 ] 381 618 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/06(金) 10:30:47 ] 早く崩れろ 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/08(日) 17:02:11 ] ここは208の独断場ではない 620 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/08(日) 17:33:38 ] >>619 ここは 9208 の希望によって俺が 9208 の為に立てたスレだ。 趣旨を尊重してもらおう。 数学的内容に関しての、質問、まじめな異論なら歓迎だ。 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/08(日) 17:52:07 ] >>620 お前の独壇場でもない。 622 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 13:23:36 ] 命題 kingはKrull次元１の正則局所環である。 証明 明らかではない。 623 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 17:32:41 ] Krull と聞くと、ケロロ軍曹を思い浮かべる漏れって数学に向いてない？ 624 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:22:58 ] talk:>>622 私は代数幾何学の専門家ではないぞ。 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 18:27:38 ] >>624 お前何もできないじゃん。 626 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:32:23 ] talk:>>625 お前に何が分かるというのか？ 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 18:41:07 ] >>626 kingがあほなこと。 628 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:45:59 ] talk:>>627 お前に何が分かるというのか？ 629 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 20:15:39 ] >>628 talk:>>627 お前に何が分かるというのか？ あんた、他の言い方知らないの？ 630 名前：GiantLeaves mailto:sage [2006/01/10(火) 23:33:31 ] talk:>>629 お前に何が分かるというのか？ 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 23:37:09 ] talk:>>630 お前に何が分かるというのか？ 632 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 07:40:43 ] talk:>>629 お前に何が分かるというのか？ 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 08:47:24 ] talk:>>632 お前に何が分かるというのか？ 634 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/11(水) 09:47:27 ] 補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = IJ となる A のイデアル I, J があるとする。 このとき、I と J は可逆(>>430)である。 証明 aA = IJ だから、IJ(1/a) = A となる。 よって、I と J は可逆である。 証明終 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 10:56:52 ] talk:>>634 お前に何が分かるというのか？ 636 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 11:51:07 ] talk:>>633 お前に何が分かるというのか？ 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 12:28:55 ] talk:>>636 お前に何が分かるというのか？ 638 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 12:35:48 ] talk:>>637 お前に何が分かるというのか？ 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 13:20:51 ] talk:>>638 お前に何が分かるというのか？ 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 13:30:59 ] talk:>>639 お前に何が分かるというのか？ 641 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 14:50:02 ] talk:>>639 お前に何が分かるというのか？ 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 15:02:19 ] talk:>>641 お前に何が分かるというのか？ 643 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 15:06:55 ] talk:>>641 お前に何が分かるというのか？ 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 16:57:39 ] talk:>>1-643 おまいらに何が分かるというのか？ 645 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:02:01 ] talk:>>642 お前に何が分かるというのか？ 646 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:02:36 ] talk:>>643 お前に何が分かるというのか？ 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 18:08:43 ] talk:>>645 お前に何が分かるというのか？ 648 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 18:12:01 ] talk:>>645 お前に何が分かるというのか？ 649 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:16:33 ] talk:>>647-648 お前に何が分かるというのか？ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 18:46:06 ] talk:>>649 お前に何が分かるというのか？ 651 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 18:51:50 ] >>635-650 お前らに何が分かるというのか？ 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 19:00:46 ] talk:>>651 お前に何が分かるというのか？

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