代数的整数論

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/12(月) 16:30:31 ] 代数的整数論に関するスレッドです。 855 名前：208 [2005/11/14(月) 16:13:40 ] >>753 の別証 A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。 p > n なら (Λ^p)M = 0 であり、 p ≦ n なら (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。 証明 p > n なら (Λ^p)M = 0 は明らか。 p ≦ n なら (Λ^p)M は e_(i_1)Λ...Λe_(i_p), i_1 < ... < i_p で生成される。この e_(i_1)Λ...Λe_(i_p) を e_I と書く。 I は {1, .... , n} の濃度 p の部分集合 {i_1, ... , i_p} を 表す。e_I の全体が A上一次独立であることを言えばよい。 p = n なら >>853 より明らか。 p < n で Σ(a_I)(e_I) = 0 とする。ここで、a_I ∈ A である。 １つの I をとり、その補集合を J とする。 e_J Λ(Σ(a_I)(e_I)) = (a_I)e_J Λ e_I + Σ(a_K)e_J Λ e_K = 0 である。ここで、Σ(a_K)e_J Λ e_K は K ≠ I, |K| = p となる K に関する和である。 e_J Λ e_K = 0 であるから、(a_I)e_J Λ e_I = 0 となる。 >>853 より e_J Λ e_I ≠ 0 であるから、a_I = 0 となる。 証明終 856 名前：208 [2005/11/14(月) 16:23:24 ] >>753 から、有限階数 の A-自由加群 M の階数は基底の取り方に よらないことが分かる。この事実の別証としては A の極大イデアル m をとり k = A/m としたとき、M(x)k の体 k 上の次元は M の A 上の階数に一致することを使う。ただし、この証明は A がネーターでないとき Zorn の補題が必要である。 857 名前：208 [2005/11/14(月) 16:36:44 ] 定義 A を可換環、 B を A-加群とする。 A-加群としての射 φ: B → B(x)B があるとき、 組 (B, φ) または B を A-余代数(A-coalgebra)という。 858 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 17:57:11 ] 寒くないのか？ 859 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 23:14:13 ] >>857 つつつ? 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 23:44:22 ] >>855 写すのはいいけど、せめて正確に写そうよｗ 861 名前：208 [2005/11/15(火) 09:28:58 ] A-余代数(>>857)の例： A を可換環、 M を A-加群とする。 対角射 Δ: M → M + M を考える。ここで M + M は直和であり、 Δ(x) = (x, x) である。 Δ により、A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が誘導される。 >>751 より Λ(M + M) = (ΛM)(x)'(ΛM) である。 (ΛM)(x)'(ΛM) は加群としては普通のテンソル積であるから、 ΛΔ により、ΛM は A-余代数となる。 ΛΔ は次数を保つことに注意。 862 名前：208 [2005/11/15(火) 10:02:32 ] >>861 の ΛΔ: ΛM → (ΛM)(x)'(ΛM) を具体的に求めよう。 x ∈ M のとき ΛΔ(x) = x(x)1 + 1(x)x である。 よって、x_1, ... , x_n が M の元であるとき、 ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) = Σ(-1)^μ (x_(i_i)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_i)Λ...Λx_(j_(n-p))) となる。ここで μ は i_k > j_l となるペアの個数である。 863 名前：208 [2005/11/15(火) 10:17:12 ] 外積代数 ΛM が自然に余代数となることは余り知られていない。 このあたりはBourbakiの独壇場だろう。 864 名前：208 [2005/11/15(火) 10:22:09 ] >>862 の式の訂正 正しくは、 ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) = Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p))) 865 名前：208 [2005/11/15(火) 10:47:45 ] A を可換環、 (B, φ) を A-余代数とする。 C を結合的とは限らない A-代数 とする。 m: C(x)C → C を乗法から得られる A-加群としての射とする。 u: B → C v: B → C を A-加群としての射とする。 φ: B → B(x)B と u(x)v : B(x)B → C(x)C と m: C(x)C → C の合成 m(u(x)v)φ: B → C を u と v の積と定義することにより、 Hom(B. C) は結合的とは限らない A-代数 となる。 866 名前：208 [2005/11/15(火) 15:56:56 ] >>865 の Hom(B. C) が結合的となる条件を考えよう。 A を可換環、E を結合的な A-代数とする。 μ: E(x)E → E を乗法から得られる A-加群としての射とする。 μ(x)1: (E(x)E)(x)E → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成 E(x)E(x)E → E(x)E → E と 1(x)μ: E(x)(E(x)E) → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成 E(x)E(x)E → E(x)E → E は結合的より一致する。 ここで、(E(x)E)(x)E と E(x)(E(x)E) を E(x)E(x)E と同一視している。 これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。 定義 (B, φ) を A-余代数とする。 φ: B → B(x)B と φ(x)1: B → (B(x)B)(x)B の合成 B → B(x)B → B(x)B(x)B と φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B → B(x)(B(x)B) の合成 B → B(x)B → B(x)B(x)B が一致するとき、B は余結合的という。 ここで、(B(x)B)(x)B と B(x)(B(x)B) を B(x)B(x)B と同一視している。 867 名前：208 [2005/11/16(水) 10:07:39 ] 命題 (B, φ) を A-余代数で余結合的とする。 C を結合的な A-代数 とする。 Hom(B, C) は >>865 の乗法により結合的な A-代数となる。 証明 u, v, w を Hom(B, C) の元とする。 u(x)v(x)w: B(x)B(x)B → C(x)C(x)C と 乗法から得られる C(x)C(x)C → C の合成を h とする。 h: B(x)B(x)B → C これと、φ: B → B(x)B と φ(x)1: B(x)B → B(x)B(x)B の合成 B → B(x)B → B(x)B(x)B → C は、(uv)w に等しい。 同様に h と φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B(x)B → B(x)B(x)B の合成 B → B(x)B → B(x)B(x)B → C は、u(vw) に等しい。 B は余結合的だから (uv)w = u(vw) となる。 証明終 868 名前：208 [2005/11/16(水) 10:54:15 ] >>865 の Hom(B. C) が単位元を持つ条件を考えよう。 A を可換環、E を単位元 1 を持つ A-代数とする。 ν: A → E を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。 μ(ν(x)1): A(x)E → E(x)E → E は A(x)E を E と見なしたとき E の単位射である。ここで、μ: E(x)E → E は E の乗法から 得られる射。同様に μ(1(x)ν): E(x)A → E(x)E → E は E の単位射である これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。 定義 (B, φ) を A-余代数とする。 A-加群としての射 η: B → A が以下の条件 1) と 2) を満たすとき η を B の余単位と呼ぶ。 1) (ν(x)1)μ: B → B(x)B → A(x)B は A(x)B を B と見なしたとき B の単位射である。 2) (1(x)ν)μ: B → B(x)B → B(x)A は B(x)A を B と見なしたとき B の単位射である。 869 名前：208 [2005/11/16(水) 11:08:40 ] 命題 (B, φ) を A-余代数で余単位を持つとする。 C を単位元を持つ A-代数 とする。 Hom(B, C) は >>865 の乗法により単位元を持つ A-代数となる。 証明 η: B → A を余単位とする。 ν: A → C を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。 νη: B → C が Hom(B, C) の単位元となる。 この証明は読者にまかす。 870 名前：208 [2005/11/16(水) 11:38:46 ] 命題 A を可換環、 M を A-加群とする。 ΛM は余結合的である。 証明 対角射 Δ: M → M + M と h = (1, Δ): M + M → M + M + M の合成 hΔ: M → M + M → M + M + M を考える。 ここで、h は h(x, y) = (x, y, y) で定義される射である。 よって、hΔ(x) = (x, x, x) である。 同様に、対角射 Δ: M → M + M と g = (Δ, h): M + M → M + M + M の合成 gΔ: M → M + M → M + M + M を考える。 ここで、g は g(x, y) = (x, x, y) で定義される射である。 よって、gΔ(x) = (x, x, x) である。 よって、hΔ = gΔ である。 Δ から誘導される A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が ΛM の余代数としての構造射である(>>861)。 よって、ΛM が余結合的であることは、 Λh = 1(x)(ΛΔ), Λg = (ΛΔ)(x)1 に注意すれば、 hΔ = gΔ から明らか。 証明 871 名前：208 [2005/11/16(水) 11:49:45 ] 命題 A を可換環、 M を A-加群とする。 ΛM は余単位(>>869)を持つ。 証明 ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) であり、A = (Λ^0)M である。 η: ΛM → A をこの直和における射影とする。 これが余単位であることは、>>862 の公式から分かる。 証明終 872 名前：208 [2005/11/16(水) 13:45:53 ] ここで、次数加群の Hom について少し述べる。 A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。 M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。 u :M → N を A-加群としての射で、ある p ∈ Z があり、 u(M_n) ⊂ N_(n+p) が任意の n ∈ Z で成立つとき u を次数 p の同次射という。次数 p の同次射 u: M → N の集合 を仮に H_p と書こう。H_p は Hom(M, N) の Z-加群としての 部分加群である。H_p で生成される Hom(M, N) の部分加群 ΣH_p は H_p の直和である(証明は読者に任す)。 ΣH_p を Homgr(M, N) と書く(gr は graded の略)。 Homgr(M, N) は H_p を同次部分加群とする A-次数加群である。 873 名前：208 [2005/11/16(水) 14:28:25 ] 命題 A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。 M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。 M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。 証明 x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。 u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。 ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p 次の同次成分。 u_p(x_i) = Σz_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。 u_p は同次でありその次数は p - deg(x_i) である。 u_p が well-defined であることは、 Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を 確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。 これを確かめるのは読者に任せる。 u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。 証明終 874 名前：208 [2005/11/16(水) 14:42:29 ] 規約： A を可換環、 M を A-次数加群とする。 ただし A は A_0 = A, p ≠ 0 のとき A_p = 0 として次数環と見なす。 Homgr(M, A) の p 次部分 Homgr(M, A)_p は Hom(M_(-p), A) と 見なせる。しかし、我々は Homgr(M, A) を考えるときは Homgr(M, A)_p = Hom(M_p, A) と定義することにする。 何故、このように定義するかは後にわかる。 875 名前：208 [2005/11/16(水) 14:52:54 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 Homgr(ΛM, A) は A-次数加群である。 これが、結合的な A-次数代数で単位元を持つことは、ΛM が余代数 となり(>>861)、余結合的で(>>870)、余単位を持つ(>>871) ことから明らかだろう(>>867 と >>869 より)。 876 名前：208 [2005/11/16(水) 16:33:06 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 整数 p > 0 に対して、M^p から A への交代的多重線形写像(>>849)の 集合をAlt(M^p, A)と書こう。これは、A-加群である。 >>874 の規約より、Homgr(ΛM, A)_p = Hom((Λ^p)M, A) だが、 これは >>852 より Alt(M^p, A) と見なせる。 u ∈ Alt(M^p, A), v ∈ Alt(M^q, A) のとき A-次数代数としての Homgr(ΛM, A) における u と v の積を明示的に求めてみよう。 >>862 より ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) = Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p))) である。 よって、(ΛM)(x)'(ΛM) を (Z^2)-型の次数代数と見たときの ΛΔ(x_1Λ...Λx_(p+q)) の (p, q)-成分は、 Σε(σ) (x_σ(1)Λ...Λx_σ(p)) (x) (σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q)) となる。ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ 区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において狭義単調増加 するものを動く。ε(σ) は σ の符号。 これと >>865 から (uv)(x_1, ... , x_(p+q)) = Σε(σ) u(x_σ(1), ..., x_σ(p))v(x_σ(p), ..., x_σ(p+q)) となる。 877 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 17:02:34 ] 無眼界乃至無意識界無無明亦無無明尽 878 名前：208 [2005/11/16(水) 17:08:21 ] 話は変わるけど(実は外積代数と関係あるが)、不変式論って面白そうだね。 以下はEisenbudその他の受け売り。 不変式論は１９世紀の半ば頃から末まで流行ったが、Hilbertが不変式論で 大きな仕事をしてから廃れてしまい、２０世紀半ばくらいまでは 内容を知ってる人間はわずかだった。それが、Mumford が 幾何的不変式論を発表してから再び日の目を見るようになった。 Hilbertは、不変式論の研究で四つの大きな発見をした。 1) 多項式イデアルの基底定理 2) 多項式イデアルの零点定理 3) 同次イデアルのHilbert多項式 4) 同次イデアルのSyzygy定理 これらは、可換環論で重要なものばかり。これらが不変式論から 出てきたということから、この理論が只者じゃないことがわかる。 879 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 17:38:40 ] >>878 Hilbert's Invariant Theory Papers www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0915692260/250-2656433-1963463 880 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 17:58:09 ] 永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/16(水) 18:14:28 ] >>877 乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得 882 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 20:55:17 ] 永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。 883 名前：208 [2005/11/17(木) 09:33:16 ] >>873を以下のように訂正する。 命題 A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。 M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。 M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。 証明 x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。 u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。 ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p + deg(x_i) 次の同次成分。 各 i に対して u_p(x_i) = z_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。 u_p は同次でありその次数は p である。 u_p が well-defined であることは、 Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を 確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。 これを確かめるのは読者に任せる。 M は有限生成だから u_p は有限個を除いて 0 である。 u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。 証明終 884 名前：208 [2005/11/17(木) 09:52:06 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 x_1, ... , x_p ∈ M y_1, ... , y_q ∈ M とする。 ΛM において、 (x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q) = (-1)^(pq) (y_1Λ...Λy_q)Λ(x_1Λ...Λx_p) となる。 よって、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^q)M のとき、 xΛy = (-1)^(pq) yΛx となる。 定義 B を (Z+)-型の(結合的な)次数代数とする。 ここで Z+ は非負の有理整数の集合を表す x ∈ B_p, y ∈ B_q のとき、xy = (-1)^(pq) yx となるとき、 B を歪可換次数代数という。 885 名前：208 [2005/11/17(木) 10:04:22 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 x ∈ (Λ^p)M とする。 x = Σx_i で各 x_i = x_(i_1)Λ...Λx_(i_p), x_(i_j) ∈ M とする。 xΛx = Σx_iΛx_i + Σ(x_iΛx_j + x_jΛx_i) となる。 ここで２番目の和は i < j となる組を動くとする。 i < j のとき、x_jΛx_i = (-1)^(p^2) x_iΛx_j であるから、 p が奇数のときは x_iΛx_j + x_jΛx_i = 0 となる。 よって、このとき xΛx = 0 である。 定義 A を可換環、 B を A 上の歪可換な次数代数とする。 x ∈ B_p で p が奇数のとき x^2 = 0 となるとき、 B を交代代数という。 886 名前：208 [2005/11/17(木) 10:53:13 ] これ良さげだね Classical Invariant Theory www.amazon.com/gp/product/0521558212/002-8762346-9714458?v=glance&n=283155&s=books&v=glance 887 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/17(木) 11:08:38 ] 永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。 881 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 18:14:28 >>877 乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得 882 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 20:55:17 永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。 888 名前：208 [2005/11/17(木) 11:25:59 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 >>876 より f, g ∈ Hom(M, A) のとき、Homgr(ΛM, A) において、 (fg)(x, y) = f(x)g(y) - f(y)g(x) となる。 よって、f^2 = 0 である。 よって、>>747 より A-代数としての射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op で f ∈ Hom(M, A) のとき、θ(f) = f となるものが一意に存在する。 ここで、Homgr(ΛM, A)^op は Homgr(ΛM, A) の乗法を逆にした 代数を表す(op は opposite の略)。 乗法を逆にするのは後の計算を簡単にするためであり、便宜的なもの に過ぎない。 889 名前：208 [2005/11/17(木) 12:34:13 ] A を可換環、 E を A-余代数(>>857)で余結合的(>>866)とする。 φ: E → E(x)E をその構造射とする。Hom(E, A) は >>867 より 結合的な A-代数となる。u_1, ... , u_n ∈ Hom(E, A) のとき その積 u_1...u_n を求めよう。 E から E の n 個のテンソル積 E(x)...(x)E への A-加群としての射 φ_n: E → E(x)...(x)E を帰納的に φ_n = (φ_(n-1)(x)1)φ で定義する。 つまり φ_n を φ: E → E(x)E と φ_(n-1)(x)1: E(x)E → (E(x)...(x)E)(x)E の合成で定義する。 ここで、E(x)...(x)E は E の(n-1)個のテンソル積。 双対的に A の n 個のテンソル積 A(x)...(x)A から A への射を A の乗法で定義したものを μ_n とおく。 μ_n = μ(μ_(n-1)(x)1) である。 このとき、 u_1...u_n = μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n となる。 証明 n に関する帰納法。 u_1...u_(n-1) = μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1) とする。 u_1...u_(n-1)u_n = μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1))(x)u_n)φ = μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))(x)u_n)(φ_(n-1)(x)1))φ = μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ = μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ = μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n 証明終 890 名前：208 [2005/11/17(木) 17:20:43 ] A を可換環、M を A-加群とする。 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) は ΛM の余代数としての構造射である 簡単のために ΛΔ = φ とおく。 f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき これ等の積 f_1...f_n を具体的に求めよう。 >>889 より f_1...f_n = μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n である。 ここで、δ_n は φ_n の 次数 (1,...,1) の成分を表す。 同様に δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分を表す。 ただし、ここでは ΛM の n 個のテンソル積 (ΛM)(x)...(x)(ΛM) に (Z^n)-型の次数付けを入れている。 δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n)) となることを n に関する帰納法により証明する。 δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分だから >>862 より δ_n(x_1Λ...Λx_n) = (δ_(n-1)(x)1)δ(x_1Λ...Λx_n) = Σ(-1)^(n-j) φ_(n-1)(x_1)Λ..[x_j]..Λx_n) (x) x_j ここで、x_1)Λ..[x_j]..Λx_n は x_j を除いたことを意味する。 この右辺に帰納法の仮定を適用して = Σ(-1)^(n-j)(Σε(σ)(x_σ(1)(x)..[x_σ(j)]..(x)x_σ(n))(x)x_j = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n)) つまり δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n)) である。よって、 (f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n)) = det(f_i(x_j)) となる。 891 名前：208 [2005/11/18(金) 10:36:15 ] >>890 の最後の式 (f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j)) は、>>889 を使わなくても >>876 から帰納法により証明できる。 つまり、 (f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = (f_1...f_(n-1))f_n(x_1, ... , x_n) = Σ(-1)^(n-j-1) (f_1...f_(n-1))(x_1,..[x_j]..,x_(n-1)))f_n(x_j) = Σ(-1)^(n-j-1) Σε(σ) f_1(x_σ(1))..[x_j]..f_(n-1)(x_σ(n-1))f_n(x_j) = Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n)) = det(f_i(x_j)) 892 名前：208 [2005/11/18(金) 11:03:01 ] A を可換環、M を A-加群とする。 f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき θ(f_1Λ...Λf_n) = (f_n)...(f_1) = (-1)^(n(n-1))/2 (f_1)...(f_n) である。ここで、θは >>888 の θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op である。 M が A 上の階数 m の自由加群で、e_1, ..., e_m をその基底とする。 f_1, ..., f_m をその双対基底とする。 つまり、f_1, ..., f_m ∈ Hom(M, A) で f_i(e_j) = δ(i,j) である。ここで、δ(i,j) は Kronecker の δ I が {1,...,m} の部分集合で I = {i_1, ..., i_p}, i_1 < ... < i_p のとき、 f_I = f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) と書く。 同様に e_I も定義する。 >>890 の最後の式 (f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j)) より、 (-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)(e_J) = δ(I, J) となる。 ここで、δ(I, J) は Kronecker の δ の拡張で I = J のとき δ(I, J) = 1、I ≠ J のとき δ(I, J) = 0 よって、{(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)} は {e_J} の Hom((Λ^p)M, A) における双対基底である。 よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op は同型射である。 893 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:07:10 ] >>882 >永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。 別に反対はしないけど、永田の可換体論の本は分かりにくい。 あの本の内容はそれほど難しくはないんだが。 894 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:15:18 ] 永田の local rings は Eisenbud が褒めてるね。 deep and beautiful って。 あの本を褒める人は珍しい。普通、重要な結果を載せているとは 認めていても almost unreadable とか言ってる(例えばMilne)。 895 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:21:31 ] >>893 入り組んだ思考の跡をそのまま記述するのが永田の限界かも。 この特徴は教科書の執筆にも現れている。 896 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:41:31 ] なるほど 897 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:51:08 ] >>895 と言うより、彼にとって当然の事が普通の(数学をやってる)人に とって当然じゃないんだろうね。才能のある人にありがちな事。 898 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:58:18 ] almost unreadable とか言ってる(例えばMilne) where?? 899 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 12:00:28 ] 英語が奇妙ってことはあるが 900 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 12:02:24 ] 大学、大学院では数学（の勉強、研究）をやらずに 塾講師と非常勤（中〜大学で）をバリバリやってた 奴だけがアカポス獲得競争への参加資格が得られる 時代になった、ということだ。要するにね science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132224232/77 901 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 12:06:08 ] >>898 Milne の online book の代数幾何学の最後の方に参考書のリストと 感想が載ってる。その本はMilne のwebサイトからdownload出来る。 902 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 12:09:10 ] >>899 そういう意味じゃない。 Milne のコメントを引用すると、 Contains much important material, but it is concise to the point of being almost unreadable. 903 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 14:32:07 ] Thanks!! 904 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 18:05:06 ] >>902 ＞そういう意味じゃない。 でもそういう意味にも読めるけど？どういう意味にとればいいんだ？ 905 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 18:07:39 ] >>904 もっと英語勉強しろ 906 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/19(土) 15:39:19 ] 可換体論のようなスタイルが 数学だと思って論文を書いて投稿したら ”too concise”というコメントつきで かえされてしまった。 これが本当の「顰みに習う」だね。 907 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 09:30:04 ] 先週、GrothendieckのスレでKummerの話をちょっとしたけど、 Kummerというのは過小評価されてる天才の数少ない例だろうね。 数学では天才というのは、概ね、遅かれ早かれ正等に認められる。 ところが、KummerというのはFermatの問題に一生を費やした 好事家というイメージが多少ある。 908 名前：208 [2005/11/21(月) 11:20:57 ] A を可換環、M を A-加群とする。 x ∈ (Λ^p)M に対して φ(x)(y) = xy により、A-次数加群としてのp次の射 φ(x): ΛM → ΛM が得られる。この双対 φ(x)^*: Homgr(ΛM, A) → Homgr(ΛM, A) を i(x) と書く。つまり、y ∈ (Λ^(n-p))M, f ∈ Homgr(ΛM, A)_n に対して (i(x)f)(y) = f(xy) と定義する。 i(x)f ∈ Homgr(ΛM, A)_(n-p) である。 i(xy) = i(y)i(x) となる。 よって、Homgr(ΛM, A) は f・x = i(x)f と定義することにより、 右 ΛM-次数加群となる。 i(x)f を f の x による内積と呼ぶ。 i(x)f を 仮に f←x とも書こう。このように書くのは、x が f に 作用していることを示すためである。 さらに、f(x) をベクトルの内積の記号で (f, x) とも書く。 すると、 (f←x, y) = (f, xy) となる。 909 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 12:18:31 ] Beethoven 910 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 12:57:33 ] 誤爆か？ 911 名前：208 [2005/11/21(月) 13:48:24 ] 定義 A を可換環、E を Z+型の次数付けをもった A-加群で 余代数(>>857)とする。 さらに、E は余結合的(>>866)で余単位(>>868) をもつとする。 φ: E → E(x)E をその構造射とする。 φは次数加群として次数0の射とする。 つまり、φ(E_n) ⊂ Σ(E_p)(x)(E_q), n = p + q である。 このとき、E をA-次数余代数という。 912 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 14:07:10 ] usuraga 913 名前：208 [2005/11/21(月) 14:29:49 ] A を可換環、E を A-次数余代数(>>911)とする。 f, g を Homgr(E, A) の同次元とする。 x ∈ E_n とし、 φ(x) = Σx_i(x)y_i とする。 (fg)(x) = Σf(x_i)g(y_i) = g(Σf(x_i)y_i) = g(f(x)1)(x) である。 ここで、f(x)1 : E → A(x)E = E により、 f(x)1 を射 E → E と見なしている。 f(x)1 を i(x)と書く。(i(x))f を x←f とも書く。 f(x) をベクトルの内積の記号で (x, f) と書くと、 (x←f, g) = (x, fg) となる。 914 名前：208 [2005/11/21(月) 14:38:07 ] >>913 の続き。 φ(x) = Σx_i(x)y_i φ(x_i) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j) φ(y_i) = Σz_(i,j)(x)w_(i,j) とすると (1(x)φ)φ(x) = Σx_i(x)z_(i,j)(x)w_(i,j) (φ(x)1)φ(x) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j)(x)y_i である。 (x←f)←g = Σf(x_i)(Σg(z_(i,j))w_(i,j)) = Σf(x_i)g(z_(i,j))w_(i,j) = (f(x)g(x)1)(1(x)φ)φ(x) x←(fg) = Σ((fg)(x_i))y_i = ΣΣf(u_(i,j))g(v_(i,j))y_i = (f(x)g(x)1)(φ(x)1)φ(x) E は余結合的だから、 (1(x)φ)φ= (φ(x)1)φ よって、 (x←f)←g = x←(fg) となる。 よって、E は Homgr(E, A)-右加群となる。 x ∈ E_n で f ∈ Homgr(E, A)_p のとき、 x←f ∈ E_(n-p) である。 915 名前：208 [2005/11/21(月) 15:10:38 ] A を可換環、M を A-加群とする。 ΛM は明らかに A-次数余代数 だから、>>914 より Homgr(ΛM, A)-右加群となる。 x ∈ (Λ^(p+q))M_n で f ∈ Homgr(ΛM, A)_p のとき、 x←f ∈ (Λ^(n-p))M を具体的に求めよう。 >>876 より、 ((x_1Λ...Λx_(p+q))←f) = Σε(σ) f(x_σ(1)Λ...Λx_σ(p))(x_σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q)) ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ 区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において単調増加 するものを動く。ε(σ) は σ の符号。 916 名前：208 [2005/11/21(月) 15:39:51 ] >>915の続き。 f ∈ Homgr(M, A)_1 とする。つまり、f は Hom(M, A) の元とする。 (x_1Λ...Λx_p)←f = Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p) となる。ここで、[x_i] は x_i を除くという意味である。 よって、 (x_1Λ...Λx_pΛy_1Λ...Λy_q)←f = Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q) + Σ(-1)^(p+j-1)f(y_j)(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ..[y_j]..Λy_q) = ((x_1Λ...Λx_p)←f)Λy_1Λ...Λy_q + (-1)^p(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q)←f となる。 つまり、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^p)M のとき、 (xΛy)←f = (x←f)Λy + (-1)^p(xΛ(y←f)) これは、内積 x←f が歪可換代数 ΛM の微分であることを示している。 917 名前：208 [2005/11/21(月) 15:58:31 ] >>915の続き。 f による 内積 i(f)(x) 即ち x←f は ２乗すると 0 となる。 つまり、(x←f)←f = 0 である。 何故なら、(x←f)←f = x←(ff) であるが、ff = 0 だから。 よって、ΛM は i(f) を境界作用素(または微分!)とする複体になる。 918 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:15:22 ] とことんトホホな奴。 919 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:40:52 ] このバカ セミナーで延々と関係ないこと喋ってたんだろうな学生時代 920 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:41:14 ] スレも終わりなのに、まだDedekind環までいってない。 可換代数の講義が俺の目的ではないんだけどね。 代数的整数論のほんとにおいしい所は可換代数とは別のところにある。 当然だけど。 921 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:44:30 ] 関係ないことはない。 Leray も多少過小評価されてるな。 922 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:50:35 ] そろそろ新しいスレに移ろうか？ このスレを生かしておかないと参照に不便だから１０００まで すぐに行かないように。 923 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:53:09 ] 誰か次のスレ立ててくれないかな。 俺は慣れてないんで。 次のスレの題名は簡単に「代数的整数論２」にしてくれ。 924 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:55:39 ] わがままな奴 おまえいつの間に講義してたんだ 脳内大学か？ 925 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:59:16 ] 847 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/14(月) 19:39:33 あれ？ 喧嘩はもう終わったのか。 ﾂﾏﾝﾈ 848 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/14(月) 19:56:04 ケンカというより、208の化けの皮がはがれたんで お仕置きされていたというのが正しい。 926 名前：1 mailto:sage [2005/11/21(月) 17:24:06 ] 今回はスレ立て無理みたいです。スマソ。 927 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:29:13 ] 208は見捨てられたのか。 928 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:30:03 ] 誤ることはない、残念だけど。 類体論までいく予定だったけど 929 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:31:11 ] 208専用スレはもうとっくに立ってるじゃないか！ 930 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:40:16 ] 予備校で類体論でも課外授業してれば 931 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:57:50 ] だめだよ 932 名前：208 [2005/11/21(月) 17:59:05 ] 駄目って何が？ 933 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:00:25 ] だめだよ 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/21(月) 18:03:03 ] >>926 なんで？　208がブラックリストに載ったとか？ 問題ばかり起こしているからなぁ。 935 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:05:37 ] >>930 無理だよ。わかってないんだもの。まあ、分数わかってなくても 偉そうに教えている小学校の教師もいるようだから、なくはないか。 936 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:11:53 ] ブルバキ写すのが講義だったら 類体論でもなんでも講義できるね 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/21(月) 18:14:13 ] その心を見事に写せば、間違いなく立派な講義なんだけどね さて、この写経の心は・・・うすらが、でしたっけ？ 938 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:14:26 ] そう甘くはない。質問されたらどうする？ それに、ここは誰でも見れる。 専門家もな 939 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:17:00 ] >質問されたらどうする？ 208はそれでこけた 940 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:18:48 ] で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？ 941 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:20:26 ] なんちゅう冗談いうてんねんおまえ おまえ誰？ 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/21(月) 18:21:41 ] 土足であがりこんできて、 オレのウンコが欲しくないの？ って言うヤクザはまだ聞いたことが無いな 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/21(月) 22:53:21 ] 人の本の丸写しに近いのは東大や京大では講義とは言わないよ 実際にはそういう講義もたまにあるけど >>922 にくちゃんねるとかmimizunとかで、数ヶ月もすれば過去ログとして無償公開してくれるけどね まあその間不便か >>923 立ててみればいいじゃん 944 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 09:18:02 ] >人の本の丸写しに近いのは東大や京大では講義とは言わないよ 丸写しじゃないだろ。 これを丸写しというなら松村だってそうだろ。 あれの随伴素イデアルのところとか、平坦加群とか完備化の扱い はBourbakiだし、次元論はＥＧＡ ＩＶだし。 945 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 09:27:30 ] 今やってるとこは初歩的なところだからBourbaki参照で済ましたい ところなんだよ、俺の本音は。 だけど、そうすると敷居が高くなるだろ。 そういう、俺の親切心を分からないんだから。 こんなとこでやたら独創性を発揮してもうざいだけだろ。 946 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 09:36:24 ] >立ててみればいいじゃん 俺は立てないよ。 皆の意見を聞いてると立てて欲しくないようだからな。 それに逆らってまで立てようとは思わない。 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 10:23:22 ] >>946 自分でホームページ立ち上げれば？　あんたのことをぼろくそに 言っている連中（おれ含む）のIPアドレスがわかるぞ。 948 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 10:28:27 ] ホームページなんてめんどうだろ。 レスポンスが遅いし。 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 10:59:51 ] 実はたたかれるのが快感？ 950 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 11:15:32 ] 逆だよ 951 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 11:26:00 ] >>942 比喩になってないだろ、ボケが。 このスレは俺が人に頼んで立ててもらったもの。 土足で上がりこんでるのはお前なんだよ。 952 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 12:58:07 ] そろそろ終わりが近づいてきた。やれやれ 953 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 13:45:24 ] なにこのスレ 954 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:02:28 ] 写経スレ 955 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:26:43 ] 208はじゃがいも好きか？ 956 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:41:15 ] >土足で上がりこんでるのはお前なんだよ。 おまえ人前でフリチンはやめろよ。 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 14:48:45 ] 秘書がやりました、みたいだな。凄い論理感覚 典型的な数学馬鹿 958 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:55:48 ] >>957 勘違いするなよ、ボケが。 このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。 959 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:58:18 ] >このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。 ｺﾉﾋﾄ ｱﾀﾏ ﾜﾙｲ ﾃﾞｽﾈ 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 14:59:59 ] >>958 うすらが 961 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:01:51 ] >このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。 ｺﾉﾋﾄ ｳｽﾗ ﾃﾞｽﾈ 962 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:03:33 ] >>959 >>961 病院から抜けてきたひとですか？ 963 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:06:41 ] >病院から抜けてきたひとですか？ 毛ｶﾞﾇｹﾃｷﾀﾋﾄﾃﾞｽｶ? 964 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:09:26 ] 208ﾊｼﾞｬｶﾞｲﾓﾃﾞｽｶ？ 965 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:12:15 ] >>962 人間一つくらい病気があるもんだけどな 208は完璧人間ｻﾝﾃﾞｽﾈｰ 966 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:35:09 ] >>965 >208は完璧人間ｻﾝﾃﾞｽﾈｰ ｿｳ　ｵﾓﾜﾅｹﾘｬ　ﾔｯﾃｲｹﾅｲ　ﾂﾗｲ　ｼﾞﾝｾｲ　ﾅﾝﾀﾞﾛｳﾈ 967 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:51:40 ] ニートの自己完全視と似たようなものか 968 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:53:48 ] 写経主義は永遠に不滅。写経主義者は完璧人間のみ。 969 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:55:08 ] ニートの事故感電死？ 社共主義？ 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 16:10:54 ] 208 よ！ 次スレ 立ててやったぞ。 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/ 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 16:30:31 ] 七十一日。 972 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:52:35 ] >>970 みんなを敵に回したな 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 17:10:42 ] >>972 受けて立とう！ 皆って何人だ？、全員名乗れ。 974 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 17:12:24 ] 307（ミンナ） 975 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 17:31:14 ] みんなは誰でもだ 普通そうだろ みんな普通そうなんだよ な 208の口癖 976 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 17:31:56 ] >>975 正鵠 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 19:39:52 ] 208は線型代数2の最初のヤツと同じ 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/23(水) 16:30:31 ] 七十二日。 979 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 05:06:00 ] 208の口癖 976 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/22(火) 17:31:56 >>975 正鵠 977 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/22(火) 19:39:52 208は線型代数2の最初のヤツと同じ 978 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/23(水) 16:30:31 七十二日。 980 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 10:45:11 ] nikudaaaan sanyushiii!!!!!! onikumo sanyushiiiiiii!!!! kora!!!! omaira yasukuni sampaishireiiiiii!!! 981 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 10:45:59 ] 四天王 982 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 11:34:05 ] 頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。 983 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 11:35:01 ] kora!!!! omaira yasukuni sampaishireiiiiii!!! 981 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 10:45:59 四天王 982 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 11:34:05 頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。 319 KB [ ２ちゃんねるが使っている 完 984 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 12:55:03 ] 頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。 頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 13:34:42 ] >>984 全レスを表示してページ保存をすれば良かろう。 986 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 14:06:48 ] >>985 分かってないなお主は。 今、このスレの続きが立ってるだろ。そこで、このスレを参照 してるのだよ。このスレが無くなってから初めてそこに来た人は、 どうする？ いずれにしろ、無いよりあったほうがいいだろ。 いいから、このスレをほっといてくれ、頼むよ。 987 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 14:40:44 ] >>986 Who are you???? 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 16:30:31 ] 七十三日。 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 16:55:56 ] いちいちあげるから目立つんじゃないの？ 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 17:48:24 ] w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.wwww p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.pppp k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.kkkk 991 名前：GiantLeaves ◆0RbUzIT0To [2005/11/24(木) 17:49:29 ] >>1 お前誰だよ？ 992 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:10:46 ] 臨終の時は迫れり 993 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:16:30 ] 心を静かに保ち、姿勢を正して、 一字ずつに真心を込めて写経すれば、 こころが癒されるであろう。 994 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:19:31 ] 摩訶般若古馬鹿心経 995 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:21:24 ] 老兵は消えゆくのみ 996 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:21:59 ] 唯我独尊 997 名前：GiantLeaves ◆0RbUzIT0To [2005/11/24(木) 18:23:36 ] king 氏ね。 998 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:24:13 ] 心は世界にどうつながっているのか 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 18:25:48 ] 208はつぶやく、「このうすらが」 だが、ここでどんなに叫ぼうとも、誰も聞くものもいない。 怨念に満ちた声だけが空しく響いてゆく・・・ 1000 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:26:12 ] 現代思想の源流 1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread] このスレッドは１０００を超えました。 もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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