大好き★代数幾何

1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41] Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。 488 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 21:14] Hartshorne II Ex. 3.4 f: X → Y をスキームの射とする。 Y がアフィン開集合 V_i = Spec(B_i) による被覆を持ち、 各 f^(-1)(V_i) が アフィン開集合 Spec(A_i) であり、 各 A_i が有限生成の B_i-加群であるとき、 f を有限射という。 以下を証明せよ。 スキームの射 f: X → Y が有限射であるためには、 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V) がアフィン開集合 U = Spec(A) となり、 A が有限生成の B-代数となることが必要十分である。 489 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 21:23] Hartshorne II Ex. 3.5 f: X → Y をスキームの射とする。 任意の点 y ∈ Y に対して f^(-)(y) が有限集合となるとき f を準有限射という。 (a) 有限射は準有限射であることを示せ。 (b) 有限射は閉写像であることを示せ。即ち、任意の閉集合の f による像は閉集合となる。 (c) 全射で有限型かつ準有限な射で有限射でない例をしめせ。 490 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 21:36] Hartshorne II Ex. 3.6 スキーム X の各開集合 U に対して、O_X(U) が整域となるとき X を整スキームという。 X を整スキームとする。X の生成点 ζ における局所環 O_ζは 体であることを示せ。これを X の関数体と呼び、K(X) と書く。 U = Spec(A) を X の任意の開集合としたとき、K(X) は A の 商体と同型であることを示せ。 491 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 21:54] Hartshorne II Ex. 3.7 f: X → Y をスキームの射とし、Y を既約とする。 Y の生成点ζに対して、f(-1)(ζ) が有限集合のとき、 f を生成的に有限と呼ぶ。 射 f は、f(X) が Y において稠密なとき支配的と呼ぶ。 さて、X, Y をともに整スキームとし、f: X → Y を 支配的かつ生成的に有限な有限型の射とする。 Y の稠密な開部分集合 U が存在し、f により誘導される射 f^(-1)(U) → U が有限射となることを示せ。 [ヒント：最初に X の関数体は Y の関数体の有限次拡大である ことを示せ。] 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/31 21:56] そろそろ、誰かがまとめのページ作ったほうがいいのかな。 493 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 22:02] 練習問題を翻訳して、そのうちの簡単な問題を解いただけじゃん 494 名前：数学専攻 mailto:sage [03/10/31 22:07] www-het.ph.tsukuba.ac.jp/~tomonobu/ag.htm 導来圏がD-braneだと？ 妄想はいいかげんにしろな。 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/31 22:11] まったく詩的じゃない気がする・・・。 496 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 22:19] >>493 茶々入れるのはやめてね。簡単な問題も重要だよ。 497 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 22:38] 今日も全然だめだめですた。 498 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 23:39] Hartshorneの演習問題を独力で全部(超難問**は除く)解いたら、 数学者の素質があるんじゃないか。 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/31 23:59] >>498 確かに数学者としての素養はあるかもしれないけど、この分野では… 500 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 02:15] >>499 「この分野では…」の後がビミョーに気になる。 どういうこと？ 501 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 02:21] この分野では数学者どころか神になれるよ！ と続くのでは？ 502 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 11:30] >>414 の解答 Hartshorne II Ex. 2.9 X を位相空間、Z を既約な閉集合とする。 Z の生成点(generic point)とは、Z = Cl{ζ} となる点ζのことである。 ここで、Cl{ζ} は、一点からなる集合{ζ}の閉包をあらわす。 X がスキームなら全ての(空でない)既約な閉集合は一意に定まる生成点 を持つことを示せ。 証明 F を X の既約な閉集合といする。 まず、X がアフィンスキーム Spec(A) のときは、F = V(P) となる。 ここで、P は A の素イデアル。この P が F の生成点である。 これが一意に定まることも明らか。 X が一般のスキームとする。F と交わる空でないアフィン開集合 U をとる。 U ∩ F は F の空でない開集合だから既約である。 従がって、U ∩ F は U の既約な閉集合である。最初に述べたことから U ∩ F は生成点 ζ を持つ。U ∩ F は F の稠密な部分集合だから、 ζは F の生成点でもある。U ∩ F の生成点は一意に定まるから F の生成点も一意に定まる。 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/01 12:16] しょうじき、そんな人はこの分野腐るほどいると。 504 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 13:18] >>503 仮に腐るほどいるとして、お前はその中に入れないんだろう？ 505 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 14:24] >>485 の解答 証明の前に次の補題を証明しておく。 補題 f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とし、 A が有限生成の B-代数とする。 V を Y のアフィン開集合とする。 f^(-1)(V) は X のアフィン開集合であり、Γ(f^(-1)(V)) は Γ(V) 上有限生成である。 証明 f^(-1)(V) は X と V の Y 上のファイバー積 (X x V)/Y と見なせる。 これから、補題の主張は明らか。 506 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 14:25] >>485 の解答 Hartshorne II Ex. 3.1 以下を証明せよ。 スキームの射 f: X → Y が局所有限型であるためには、 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V) がアフィン開集合 U_j = Spec(A_j) により被覆され、 各 A_j が有限生成の B-代数となることが必要十分である。 証明 さて、スキームの射 f: X → Y が局所有限型であるとする。 定義より、Y はアフィン開集合 V_i = Spec(B_i) による被覆を持ち、 各 f^(-1)(V_i) が アフィン開集合 U_ij = Spec(A_ij) による 被覆をもち、各 A_ij が有限生成の B_i 代数となる。 補題により V はアフィン開集合 V_h = Spec(B_h) による被覆を持ち、 各 f^(-1)(V_h) はアフィン開集合 W_k による 被覆をもち、各 Γ(W_k) が有限生成の B_h 代数となる。 B_h は B 上有限生成だから、Γ(W_k) もB 上有限生成である。 Γ(W_k) の形の開集合全体は f^(-1)(V) の被覆をなすから、 これで問題が証明された。 507 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 14:48] >>486 の解答 Hartshorne II Ex. 3.2 スキームの射 f: X → Y が次の条件を満たすとき、準コンパクトという。 Y がアフィン開集合 V_i による被覆を持ち、 各 f^(-1)(V_i) が準コンパクトとなる。 以下を証明せよ。 f が準コンパクトであるためには、任意のアフィン開集合 V ⊆ Y に 対して、 f^(-1)(V) が準コンパクトとなることが必要十分である。 証明 f が準コンパクトであるとする。 >>506 と同様にして、V = Spec(B) はアフィン開集合 V_h = Spec(B_h) による被覆を持ち、各 f^(-1)(V_h) は準コンパクトとなることが分かる。 V はアフィンだから準コンパクトである。従がって、V_h は有限個と 考えてよい。故に、f^(-1)(V) が有限個の準コンパクトな 開集合の和となり、それ自体も準コンパクトである。 逆は明らか。 508 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 14:55] >>487 の解答 Hartshorne II Ex. 3.3 以下を証明せよ。 (a) スキームの射 f: X → Y が有限型であるためには、 局所有限型かつ準コンパクトであることが必要十分である。 証明 Ex. 3.1 と Ex. 3.2 から明らか。 509 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 15:00] >>487 の解答 Hartshorne II Ex. 3.3 以下を証明せよ。 (b) スキームの射 f: X → Y が有限型であるためには、 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V) が有限個のアフィン開集合 U_j = Spec(A_j) により被覆され、 各 A_j が有限生成の B-代数となることが必要十分である。 証明 これも II Ex. 3.1 と Ex. 3.2 から明らか。 510 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 16:07] >>487 の解答 (c)の証明の前に次の補題を証明しておく。 補題 A → B を環の射。Spec(B) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆 があり、各 B[1/f_i] が A 上有限生成の代数とする。 このとき、B も A 上有限生成の代数である。 証明 D(f_i) は Spec(B) の被覆だから ��(f_i)(g_i) = 1 となる B の元 g_i が存在する。 B[1/f_i] の A 上の有限個の生成元を b_ij/(f_i)^n, j = 1,2,... とする。B = A[f_i, g_i, b_ij; i,j = 1,2,...] となることを示す。 B の任意の元 b を取る。 b/1 ∈ A[b_ij/(f_i)^n, j = 1,2,..] だから (f_i)^r b ∈ A[f_i, b_ij, j = 1,2,..] となる 整数 r > 0 がある。r は各 i に共通としておく。 ��(f_i)(g_i) = 1 だから、��(f_i)^r c_i = 1 となる A[f_i, g_i, i = 1,2,..] の元 c_i がある。 何故なら、(f_i)^r で生成されるこの環のイデアルは 単位イデアルだから。 故に b = ��(f_i)^r b c_i は A[f_i, g_i, b_ij, i,j = 1,2,...] に含まれる。 511 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 16:25] Hartshorne II Ex. 3.3 (c) スキームの射 f: X → Y が有限型であれば、以下が成立する。 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) と、f^(-1)(V) の任意の アフィン開部分集合 U = Spec(A) ⊆ f^(-1)(V)に対して、 A は有限生成の B-代数となる。 証明 f: X → Y が有限型であるから U のアフィン開集合 W_i = Spec(C_i) による被覆があって、各 C_i は有限生成の B-代数となる。W_i に含まれる Spec(A[1/h]) の形の開集合を 考える。h の W_i における像をh' とすると、 Spec(A[1/h]) = Spec(C_i[1/h']) と見なせる。 C_i[1/h'] は有限生成の C_i 代数だから、有限生成の B-代数でもある。 従がって、A[1/h] も有限生成の B-代数である。 >>510の補題から A は有限生成の B-代数である。 512 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 17:28] 補題 A を環、Spec(A) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆があるとする。 M を A-加群とする。各 M[1/f_i] = 0 なら M = 0 である。 証明 x を M の任意の元とする。 x/1 は M[1/f_i] で 0 となるから、ある n > 0 があって (f_i)^n x = 0 となる。n を十分大きく取れば、この n は 各 i に共通に取れる。一方、D(f_i) は Spec(A) の被覆だから ��(f_i)^n g_i = 1 となる A の元 g_i がある。 これから x = �肺 (f_i)^n g_i = 0 となる。 即ち、M = 0 である。 513 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 17:35] 　　　　　　　　　　　　も　う　い　い　だ　ろ　？ 514 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 17:39] 補題 A を環、Spec(A) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆があるとする。 M を A-加群とする。各 M[1/f_i] が A[1/f_i] 上有限生成なら M は A 上有限生成である。 証明 M[1/f_i] の A[1/f_i] 上の生成元を x_ij/(f_i)^n, j = 1,2,.. とする。 n を十分大きく取れば、この n は各 i に共通に取れる。 x_ij 全体で生成される M のA-部分加群を N とする。 仮定より、(M/N)[1/f_i] = 0 となるから >>512の補題より M/N = 0 即ち M = N となる。 515 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 17:55] >>488の解答 Hartshorne II Ex. 3.4 f: X → Y をスキームの射とする。 Y がアフィン開集合 V_i = Spec(B_i) による被覆を持ち、 各 f^(-1)(V_i) が アフィン開集合 Spec(A_i) であり、 各 A_i が有限生成の B_i-加群であるとき、 f を有限射という。 以下を証明せよ。 スキームの射 f: X → Y が有限射であるためには、 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) に対して、f^(-1)(V) がアフィン開集合 U = Spec(A) となり、 A が有限生成の B-加群となることが必要十分である。 証明 仮定より、Spec(B) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆があり f^(-1)(D(f_i)) がアフィンとなり、Γ(f^(-1)(D(f_i))) が 有限生成の A[1/f_i]-加群となる(>>511の証明を参照)。 残りは、>>269 Hartshorne II Ex. 2.17 (b)(解答は>>299) と >>514の補題を使えばよい。 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 02:58] >>513 ついていけなくて嫉妬してるﾔｼﾊｹｰﾝ 517 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 07:32] 最近は、俺しか問題を解く奴はいないのかな？ 初めの頃はもう一人いたが。なんか空しいな。 俺がいくら問題を解いても猫に小判、豚に真珠、 馬の耳に念仏なのか？ 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 12:10] >>517 マジレスすると、そういうレスすると｢別人なんだろ？｣とか煽る香具師が出てくるから トリップつけたほうがいいよ。 519 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 12:55] >>517 「初めの頃はもう一人いたが」のもう一人だ。最近忙しくて時間がとれん。 スマソ。一応、書かれてる解答はざっと読んでるよ。しかし、 > 俺がいくら問題を解いても猫に小判、豚に真珠、 > 馬の耳に念仏なのか？ こういうこと言われるとちょっとわけわかんないです。 520 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 12:58] 別スレで質問したんだけど、誰も答えてくれなかったので、 こっちに貼っておきます。 665 ：１３２人目の素数さん ：03/10/30 01:27 グロたん先生に質問があります。 EGA IV 20.1 に、一般の環付き空間での有理形関数の定義があるんですが、 (20.1.3) に書いてあることにちょっと疑問があります。 「(X上の層) Sを、開集合 U に対してΓ(U, O_X) の非零因子全体 Γ(U, S) を対 応させる層とし・・・」というようなことが書いてあるんですが、一般の環付き 空間では（局所環付き空間でも）制限写像がうまく定まるとは限らないので、こ のような S がいつでも定義できるわけではないですよね? X がスキームや解析空 間なら大丈夫ですが・・・。 これは、「上のような層 S が定義できたら〜」と いう意味なんでしょうか？ それか、Γ(U, S) = {s | ∀x s_x∈O_x が非零因子} と定義するというようなことですか？ それか僕のフランス語の読み方がおかしいのかも・・・ 666 ：665 ：03/10/30 01:37 665 の続き。 局所環付き空間で「セクションの非零因子全体からなる層」が定義できない場合 として、次のようなのを考えてみました。 (A, m) を次元 1 の局所整域（たとえば Z_(p) := {a/b | p は b を割らない}、k[t]_(t)） X を Spec A と同相な位相空間 {η, x}（自明でない閉集合は{x} のみ） とし、構造層 O_X を O_X(X) = A、O_X({η}) = A/m（制限写像は標準全射） で定める（Spec A の構造層だと O({η}) = 「A の商体」となるところを A/m で 入れ替えたもの）。 これ、局所環付き空間だけど、「非零因子全体からなる層」は定義できませんよね？ 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 13:09] こんなところで、こんなことしてる使えない助手は消えろってことだよ。 522 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 13:32] >>519 ちょっと言い過ぎたたな。すまん。 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 13:35] >>517 ROMってる香具師は漏れも含めてたくさんいるでしょ。 524 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 13:40] >>519 誤解のないように言うと>>517は君に言ったんじゃないよ。 問題をまったく解こうとしないで、ただ解答を見るだけの 奴に言ったわけだ。 525 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 13:46] >>523 問題と関係ないとすぐレスがつくな。 526 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 13:51] >>521 誰に言ってるんだ？ 527 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 14:07] >>520 (20.1.3) には、こう書いてある。 「SをO_X の集合の層としての部分層で、開集合 U に対して Γ(U, S) が Γ(U, O_X) の非零因子全体となるようなものとする・・・｣ つまり、上は仮定であり常に成り立つ主張とは書いてない。 528 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 15:21] 補題 f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をスアフィンキームの射とする。 Y の点 P に対して κ(P) を P の剰余体とする。 f^(-)(P) は 位相空間として Spec(A (x) κ(P)) と見なせる。 ここで、A (x) κ(P) は、A とκ(P) の B 上のテンソル積である。 証明 0 → PB_P → B_P → κ(P) → 0 が完全だから、 A (x) PB_P → A (x) B_P → A (x) κ(P) → 0 は完全である。 A (x) B_P = A_P だから、A (x) κ(P) = A_P / PA_P と見なせる。 これから、補題の主張は明らか。 529 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 15:30] >>489 の解答 Hartshorne II Ex. 3.5 f: X → Y をスキームの射とする。 任意の点 y ∈ Y に対して f^(-)(y) が有限集合となるとき f を準有限射という。 (a) 有限射は準有限射であることを示せ。 証明 f はアフィン射だから X、Y を共にアフィンと仮定してよい。 X = Spec(A)、Y = Spec(B) とする。 Y の点 P に対して κ(P) を P の剰余体とする。 >>528 の補題より f^(-)(P) は Spec(A (x) κ(P)) と見なせる。 f はアフィン射だから A は B-加群として有限生成である。 したがって、A (x) κ(P) も、κ(P) 上有限生成。 故に、A (x) κ(P)　はアルティン環である。 アルティン環の素イデアルは有限個だから、f は準有限射である。 530 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 15:30] >>527 そうすると、そういう特別な仮定が成り立つときにのみ、有理形関数を 定義するっていうことなの？ 531 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 15:49] >>527 原文は次のようになってます。 (20.1.3) Nous allons nous interesser ici au cas ou S est le sous-faisceau S(O_X) de O_X tel que pour tout ouvert U, Γ(U, S) soit l'ensemble des elements reguliers de l'anneua Γ(U, O_X); "le sous-faisceau S(O_X)"と定冠詞が付いてたりするんで、「仮定」という感じ ではないかなという気がしたんですが・・・ 532 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 15:52] 補題 X を位相空間とし、 開集合 U_i が X の被覆をなすとする。 X の部分集合 F が閉集合であるためには、 各 U_i ∩ F が U_i の閉集合であることを示せ。 証明は簡単だから省略。 533 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 15:58] >>531 ｢我々は、ここでは、・・・となる場合に興味がある。｣ と書いてある。これからも仮定であることがわかる。 534 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 16:09] 補題 f: X → Y を位相空間の射とする。 開集合 U_i が Y の被覆をなし、 各 i に対して、f の f^(-)(U_i) への制限が閉写像とする。 このとき、f も閉写像となることを示せ。 証明 f の f^(-)(U_i) への制限写像を f_i と書く。 F を X の閉集合とする。 f(F) ∩ U_i = f_i(F ∩ f^(-)(U_i)) となる。 仮定から、f_i(F ∩ f^(-)(U_i)) は U_i の閉集合である。 >>532の補題から、f(F) は Y の閉集合である。 535 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 16:26] >>489 の解答の続き Hartshorne II Ex. 3.5 (b) 有限射は閉写像であることを示せ。即ち、任意の閉集合の f による像は閉集合となる。 証明 f はアフィン射だから>>534の補題より X、Y を共にアフィンと 仮定してよい。 X = Spec(A)、Y = Spec(B) とする。 X の任意の閉集合 F をとる。 F = V(I) と書ける。ここで I は A のイデアル。 Ψを f に付随する射 B → A とする。 標準的な単射 B/Ψ^(-1)(I) → A/I が存在する。 f は有限射だから、A は B-加群として有限生成である。 従がって、A/I も B/Ψ^(-1)(I) -加群として有限生成である。 故に、A/I は、部分環 B/Ψ^(-1)(I) の上に整である。 Cohen-Seidenberg の定理から、Spec(A/I) → Spec(B/Ψ^(-1)(I)) は全射である。これは、f(V(I)) = V(Ψ^(-1)(I)) を意味する。 即ち、f は閉写像である。 536 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 16:30] >>489の(c) の例が思い付かないので、先に進む。 537 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 16:52] >>490 の解答の続き Hartshorne II Ex. 3.6 スキーム X の各開集合 U に対して、O_X(U) が整域となるとき X を整スキームという。 X を整スキームとする。X の生成点 ζ における局所環 O_ζは 体であることを示せ。これを X の関数体と呼び、K(X) と書く。 U = Spec(A) を X の任意の開集合としたとき、K(X) は A の 商体と同型であることを示せ。 証明 ζは生成点だから、U はζを含む。 局所環の定義から、(O|U)_ζ = O_ζである。 X は整スキームだから、A は整域である。 したがって、ζは A の 0 イデアルに対応する。 故に、O_ζは A の商体と同型である。 538 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 17:10] 上のほうで(例えば>>529で) ｢f はアフィン射だから｣と書いたのは、 ｢f は有限射だから｣の間違い。ビール飲み飲み書いてるもんで。(汗 539 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 17:58] >>521 誤解のないように言っておくが、俺は５０過ぎの社会人だ。 俺って、つまり上で問題を書いたり解いてる奴のこと。 酒を飲みのみな。ｗ 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 18:47] usodaro 541 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 19:02] >>540 嘘じゃないよ。Hartshorne の講義を 1973年頃に聞いたと書いた のも俺だし、問題の解答を書いた時刻を見てみろ。 平日は、夜しか書いてないだろ。 つまり、平日の昼間は働いてるわけだ。 542 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 19:07] オマンコわっしょい！ 543 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 19:20] >>533 んじゃ「仮定」なのかもしれないけど、そうすると有理形関数は そういう特別な仮定が成り立つときにのみ定義できる/するって いうことなんでしょうか？ 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 19:43] しわだらけの中級の管理職ついたようなおっさんが 普通の人間なら誰もしらないような知識と技術を使って 問題を解くのか なんで働いてるの？自分の道に後悔してる？若い僕たちになにかアドバイスはありますか？ 煽ってるわけじゃないのでいやならスルーしていいですです 545 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 19:51] >>544 しわだらけじゃねえよ。俺は体も心も十分若いよ。 俺に気をつかわなくていい。タメ口きいていいよ。 なんで働いてるか？ 愚問だな。 俺は後悔なんかしてないよ。 アドバイスなんか、思い浮かばんな。 いいから問題を解け。 546 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 19:53] >>543 それ以外考えられるか？ 547 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 19:59] >>543 スキームなら｢仮定｣が成り立つんだから、問題ないだろ。 X をスキームと思って読んでればいい。 548 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 20:01] >>546 たとえば、 Γ(U, S) = {s∈Γ(U, O_X | ∀x s_x∈O_x が非零因子} と定義すれば、任意の環付き空間に対してSを定義できて、X が スキームや解析空間のときは、Γ(U, S) = 「Γ(U, O_X) の非零因子全体」 となると思うんですが、こういう定義は意味ないっていうことですか？ それと「仮定」にしては、書き方が曖昧のような気がしないでもない。 549 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 20:10] >>547 Xがスキームの場合なら別に問題ないけど・・・って 最初から書いてあるだろ！ なんでそんな高飛車な言い方するのかよくわからん。 547 さんはあまりあてにならないことが判明したので、520 の質問に誰か 答えてもらえると嬉しいです。 EGA IV は以下で見ることができます。 archive.numdam.org/article/PMIHES_1967__32__5_0.pdf 550 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 20:19] >>549 別に高飛車のつもりはない。最初から書いてないと俺が言ったか？ スキームの本なんだから、スキームと思って読んでればいいと言った だけ。質問者が妙に拘ってるんでな。 551 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 20:21] >>549 解答した人に向かって、そのいい草はないだろ。 俺が正しかったらどうする？ 552 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 20:32] >>551 書き方が悪かったです。すいません。 だけど、そもそも一般の環付き空間で有理形関数の定義がどうなるのか ってのが僕の疑問だったので、「スキームなら問題ない」じゃ答えにな ってないんです。 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 20:37] >>520 ＞これ、局所環付き空間だけど、「非零因子全体からなる層」は定義できませんよね？ 　 自信ないけど一般には「非零因子全体｣は層でないに１０００あやや。 てか>>520は確かに反例になってるに１０００あやや。 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 20:40] >>550 いった本人が｢別に高飛車のつもりはない。｣っていう問題じゃないだろ？ 高飛車かどうかは言った本人じゃなくて言われた側が感じることだろ？バカ？ 555 名前：520 [03/11/02 20:46] >>550 誤解のないように言っておきますが、554は僕じゃないです。 556 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 20:54] >>552 だから、君も書いてるように一般の環付き空間では非零因子全体は 層にはならないから、あの本のやり方では有理型関数は 定義出来ないでしょ。 557 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 20:55] >>554 じゃ何か、俺がお前を高飛車と感じれば、罵倒してもいいのか？ 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 21:02] >>557 いやだね。他人に高飛車な言い方はやめろっていわれたら自分にそのつもりがなくても ｢あ、言い方まずかったですか。すいません。｣っていうのが普通の会話だろ？ 高飛車な言い方は絶対するなとはいわん。人間なんだから思わず言葉がすぎてしまう ことだってあるだろう。でも自分の言葉で他人に｢その言い方は高飛車です｣と 指摘されたら｢そうかもしれない。わるかった。｣っていうのが普通だろ？ちがうか？ もちろん全然言葉の解釈が言われた側の勘違いに起因することもあるだろうけど このスレで何度も指摘されてるとうりあんたの他人に対する人を見下したような書き方は 目に余るンだよ。わからんかそれが？なんども指摘されてるのに？なんど指摘されても わからんから｢あなたはバカですか？｣ってきいたのよ？これだけわかりやすく書けばわかる？ 559 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 21:09] >>558 よほど癪に障ったらしいな。だけど俺のこと誰と思ってんの？ 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 21:12] このスレでなんども他人を見下したような書きこみをしてる香具師。ちがうのか？ ちがうんだったらスマ。 561 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 21:18] >>560 違うよ。問題を解いてるのは俺だが。 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 21:25] あっそ。スマ。でも>>520さんの質問にたいする君の受け答えは他人のオレから見ても すくなからず高飛車にみえる。 >>520さんだってそう感じたんだから。それに対して>>550はないと思う。 表情が見えない掲示板なんだしお互い楽しくひまつぶしするために２ｃｈやってんだから もうすこし慎重に言葉をえらぶべきだと思う。 563 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 21:48] >>558 一丁前の口をたたく前に問題の一つも解いて解答を書いたらどうだ？ ここは、問題を解くのがメインのスレだ。俺の解答以外のレスなんか 気にするなよ。俺の人格も関係ないだろ。そうだよ俺は人でなしの 悪人だよ。それがどうした？ 問題を解くのとの何の関係がある？ 564 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 21:50] 忠誠98の鍾会が登場一ヶ月目に寝返りますた あいたたた… 565 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 21:54] >>562 君は2chの初心者か？ ここでは口の悪いのは当たり前なんだよ。 あれのどこが高飛車なんだ？ 566 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 21:59] 2ch上級者(・∀・)ｶｺｲｲ! 567 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 22:02] >>564 忠誠98の鍾会って？ 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/02 22:05] こんなところでしか、ドロップアウターや使えない助手は自尊心を保つことができない。 569 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 22:08] >>547を丁寧に書くとこうなる。 スキームなら｢仮定｣が成り立つんですから、問題ないと思います。 X をスキームと思って読んでいけばいいのではないでしょうか。 前と内容はまったく同じだろ。どこが高飛車なんだよ？ 570 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 22:13] >>568 馬鹿野郎。 571 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 22:20] >>566 とんでもございません。あなた様に較べれば、私なんてとても足元にも及びませんです。 572 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 22:43] >>491を誰か解いてくれないか？ 俺に見下された思って怒ってる奴、チャンスだぞ。 俺を見返してくれよ。 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/03 00:04] その前に572は誰なのか。 574 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 00:05] 俺だよ、俺 575 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 00:10] >>574 勝手に俺に成り代わるなよ。冗談としても許せない。 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/03 00:12] 俺も俺 577 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 00:25] >>576 馬鹿野郎。紛らわしいこと言うなよ。子供じゃないんだろ。 屁理屈こくな。 578 名前：520 ◆gAYBx62iKo [03/11/03 00:25] 520 です。あー、なんかわけわかんなくなってますね・・・ とりえあず「高飛車」って言ったのは謝りますので、その話題はもう やめませんか? 520 について誰か助言もらえると嬉しいです。 579 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 00:26] 謝っても高飛車は高飛車。 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/03 00:32] 問題解けないからって荒らすなっちゅうに。 581 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 00:33] 自分にとって都合の悪い書き込みは荒らしですか？ 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/03 00:41] はい 583 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 00:52] >>578 EGAのあそこは、非零因子全体が部分層になるような環付き空間を 考えようと言ってるわけです。必ずしもスキームとしないのは、 複素多様体などの例もあるからでしょう。なるべく条件を弱くしようと するのはGrothendieckの思想でもあるわけです。そのほうが、 問題の本質が見えやすい場合が多いからです。 584 名前：520 ◆gAYBx62iKo [03/11/03 01:47] >>578 レスありがとうございます。 そうすると、一般に有理形関数っていうのは「非零因子全体が部分層になる」 という仮定の下でのみ考えるっていうことになるわけですか？ たとえば520の例のような特殊な環付き空間では、有理形関数は 定義しない（できない？）ということでしょうか？ 585 名前：520 ◆gAYBx62iKo [03/11/03 01:57] スマソ。 上の「>>578」は「>>583」の間違い。 586 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 01:59] >>584 EGAでの定義ではそうなりますね。 587 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 04:15] 補題 f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。 さらに、A, B は整域とする。 f が支配的なら、付随する射 ψ: B → A は単射である。 証明 Ker(ψ) が 0 でないとする。h を 0 でない Ker(ψ) の元とする。 B は整域だから h はベキ零ではない。従がって、D(h) は空でない。 f^(-1)(D(h)) = D(ψ(h)) = D(0) となるが、D(0) は空集合である。 つまり、D(h) ∩ f(X) は空である。これは、f(X) が Y で稠密で あることに反する。 588 名前：∩( ･ω･)∩ ばんじゃｰい [03/11/03 04:22] ∩( ･ω･)∩ ばんじゃｰい

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