ファイバー https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) ファイバー (数学) 数学において、用語ファイバー (fiber, fibre) は文脈によって次の2つの意味を持つ： １．素朴集合論において、写像 f : X → Y のもとでの集合 Y の元のファイバーとは、単元集合 {y} の f による逆像のことである。 ２．代数幾何学において、スキームの射のファイバーの概念は、一般に全ての点が閉とは限らないから、より注意深く定義されなければならない。
目次 1 定義 1.1 素朴集合論におけるファイバー 1.2 代数幾何学におけるファイバー
定義 素朴集合論におけるファイバー f : X → Y を写像とする。元 y ∈ Y のファイバーは、一般に f － 1 ( y ) と書かれるが、 f ^-1( { y } ) = { x ∈ X | f ( x ) = y } と定義される。
様々な応用においてこれはまた次のようにも呼ばれる： 写像 f による { y } の逆像 写像 f による { y } の原像 点 y における関数 f の等位集合
用語等位集合は f が実数値のときしたがって y が単に数であるときにのみ用いられるf が連続関数で y が f の像に入っていれば、f のもとでの y の等位集合は、2次元空間内の曲線、3次元空間内の曲面、より一般に d － 1 次元の超曲面である。 代数幾何学におけるファイバー 代数幾何学において、f : X → Y がスキームの射であれば、Y の点 p のファイバーはファイバー積 X × Y Spec ? k ( p )である、ただし k(p) は p における剰余体。
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics) (抜粋) Ringed spaces and locally ringed spaces Main article: Ringed space
A pair ( X , O X ) consisting of a topological space X and a sheaf of rings on X is called a ringed space. Many types of spaces can be defined as certain types of ringed spaces. The sheaf O X is called the structure sheaf of the space. A very common situation is when all the stalks of the structure sheaf are local rings, in which case the pair is called a locally ringed space. Here are examples of definitions made in this way:
An n-dimensional Ck manifold M is a locally ringed space whose structure sheaf is an R -algebra and is locally isomorphic to the sheaf of Ck real-valued functions on Rn. A complex analytic space is a locally ringed space whose structure sheaf is a C -algebra and is locally isomorphic to the vanishing locus of a finite set of holomorphic functions together with the restriction (to the vanishing locus) of the sheaf of holomorphic functions on Cn for some n. A scheme is a locally ringed space that is locally isomorphic to the spectrum of a ring. A semialgebraic space is a locally ringed space that is locally isomorphic to a semialgebraic set in Euclidean space together with its sheaf of semialgebraic functions.
Sites and topoi Main articles: Grothendieck topology and Topos
Alexandre Grothendieck solved this problem by introducing Grothendieck topologies, which axiomatize the notion of covering. Grothendieck's insight was that the definition of a sheaf depends only on the open sets of a topological space, not on the individual points. Once he had axiomatized the notion of covering, open sets could be replaced by other objects. A presheaf takes each one of these objects to data, just as before, and a sheaf is a presheaf that satisfies the gluing axiom with respect to our new notion of covering. This allowed Grothendieck to define etale cohomology and l-adic cohomology, which eventually were used to prove the Weil conjectures.
A category with a Grothendieck topology is called a site. A category of sheaves on a site is called a topos or a Grothendieck topos. The notion of a topos was later abstracted by William Lawvere and Miles Tierney to define an elementary topos, which has connections to mathematical logic.
History
1958 Godement's book on sheaf theory is published. At around this time Mikio Sato proposes his hyperfunctions, which will turn out to have sheaf-theoretic nature.
At this point sheaves had become a mainstream part of mathematics, with use by no means restricted to algebraic topology. It was later discovered that the logic in categories of sheaves is intuitionistic logic (this observation is now often referred to as Kripke?Joyal semantics, but probably should be attributed to a number of authors). This shows that some of the facets of sheaf theory can also be traced back as far as Leibniz.
A category of sheaves on a site is called a topos or a Grothendieck topos. The notion of a topos was later abstracted by William Lawvere and Miles Tierney to define an elementary topos, which has connections to mathematical logic. に関連した記述だろう
正式な定義 基本的な定義 位相空間 X の点 x と、2つの写像 f, g: X → Y （ここで Y は任意の集合）が与えられると、f と g は、x のある近傍 U が存在して U に制限したときに f と g が等しいときに、つまりすべての u ∈ U に対して f(u) = g(u) であるときに、x で同じ芽 (germ) を定義する。 同様に、S と T が X の任意の2つの部分集合であれば、再び x のある近傍 U が存在して S ∩ U = T ∩ U であるときに、それらは x で同じ芽を定義する。
x で同じ芽を定義することが（写像や集合の上で）同値関係であることを確かめることは直截であり、その同値類を芽（それぞれ写像の芽あるいは集合の芽）と呼ぶ。同値関係は通常 f ? x g あるいは S ? x T と書かれる。X 上の写像 f が与えられると、その x での芽は通常 [f]x と表記される。同様に、集合 S の x における芽は [S]x と書かれる。したがって、 [ f ] x = { g : X → Y ? g ? x f } である。
X の点 x と Y の点 y に写す X の x における写像の芽は f : ( X , x ) → ( Y , y ) と表記される。この表記を用いるとき、f は任意の代表写像と同じ文字 f を使って写像の同値類全体として意図されている。
2つの集合が x おいて芽同値であることと、それらの特性関数が x において芽同値であることは同値である S ? x T ? 1 S ? x 1 T ことに注意する。
写像は X 全体で定義されている必要はなく、特に同じ定義域を持つ必要もない。しかしながら、S と T を X の部分集合として f が定義域 S をもち g が定義域 T をもてば、f と g は次のとき X の点 x において同値な芽である。まず S と T は x において同値な芽である。 S ∩ U = T ∩ U としよう。そしてさらに、f|{S ∩ V} = g|{T ∩ V} が x ∈ V ⊂ U なるよりより小さいある近傍 V に対して成り立つ。これは特に2つの設定において意味がある：
１．f は X の部分多様体 V 上定義され、 ２．f は x においてある種の極をもち、したがって x において定義さえされていない。例えば有理関数では極が定義域から外される。
基本的な性質
f と g が x において同値な芽であれば、それらは連続性や微分可能性といったすべての局所てな性質を共有し、したがって可微分あるいは解析的芽などについて話すことは意味をなす： 部分集合に対しても同様である。芽の1つの代表が解析的集合であれば、すべての代表は少なくとも x のある近傍上で解析的である。
さらに、終域 Y がベクトル空間であれば、芽を足すことが意味をなす： [f]x + [g]x を定義するために、まず近傍 U と V 上でそれぞれ定義された代表元 f と g を取ると、[f]x + [g]x は写像 f + g（ここで f + g は U ∩ V 上定義されている）の x における芽である。（同様にしてより一般の線型結合を定義できる。）
X から Y への写像の x における芽全体の集合は離散位相を除いて有用な位相を持たない。それゆえ芽の収束列について話すことはほとんどあるいは全く意味がない。しかしながら、X と Y が多様体であれば、ジェット（英語版）の空間 J k x (X, Y) （写像（-芽）の x における有限項のテイラー級数）は、有限次元ベクトル空間と同一視できるので、確かに位相をもつ。
芽のアイデアは層と前層の背後にある。位相空間 X 上のアーベル群の前層 Fはアーベル群 F ( U )を X の各開集合 U に割り当てる。アーベル群の典型的な例は： U 上の実数値関数、U 上の微分形式、U 上のベクトル場、U 上の正則函数（X が複素平面のとき）、U 上の定数関数、U 上の微分作用素。
V ⊂ U であれば、ある種の協調性条件を満たす制限写像 r e s V U : F ( U ) → F ( V ) が存在する。固定された x に対して、元 f ∈ F ( U ) と g ∈ F ( V )が x において同値であるとは、x の近傍 W ⊂ U ∩ V が存在して resWU(f) = resWV(g) （どちらも F ( W ) の元）ということである。 同値類は前層 F の x における茎（英語版） F xをなす。この同値関係は上で記述された芽同値の抽象化である。
位相空間 X の点 x における X 上の層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} {\mathcal {F}} の茎（英語版）は一般に F x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} と表記される。したがって芽は、様々な種類の関数の茎であるので、この型の表記ができる：
・C x 0 は x における連続関数芽の空間 (space of germs of continuous functions) である。 ・C x k は各自然数 k に対して x において k 回微分可能な関数芽の空間 (space of germs of k-times-differentiable functions) である。 ・C x ∞ は x において無限回微分可能な（「滑らかな」）関数芽の空間 (space of germs of infinitely differentiable ("smooth") functions) である。 ・C x ω は x において解析関数芽の空間 (space of germs of analytic functions) である。 ・O x において（複素幾何において）正則関数芽の空間 (space of germs of holomorphic functions) あるいは（代数幾何学において）正則関数芽の空間 (space of germs of regular functions) である。
層は開集合上定義されるが，基礎位相空間 X は点からなる．X の固定された一点 x における層の振る舞いを分離しようとすることは合理的である．概念的に言えば，点の小さい近傍を見ることでこれをする．x の十分小さい近傍を見れば，その小さい近傍上での層 F の振る舞いはその点での F の振る舞いと同じはずである． もちろん，1つの近傍だけでは十分小さくはなく，ある種の極限を取らなければならない．
である．ここで直極限は x を含むすべての開集合で添え字付けられ，順序関係は逆包含から誘導される（ U ⊃ V のとき U < V）．直極限の定義（あるいは普遍性）により，茎の元は元 x U ∈ F ( U ) の同値類である，ただし2つのそのような切断 xU と xV は2つの切断の制限が x のある近傍上で一致するときに同値であると考える．
別の定義
茎を定義するある文脈では有用な別のアプローチがある．X の点 x を選び，i を一点空間 {x} の X への埋め込みとする．すると茎 F x は層 i ? 1 F の逆像（英語版）と同じである．一点空間 {x} の開集合は {x} と Φ しかなく，空集合にはなんのデータもないことに注意．しかしながら，{x} 上，次を得る：
i ? 1 F ( { x } ) = lim → U ⊇ { x } ? F ( U ) = lim → U ∋ x ? F ( U ) = F x .
対照的に，滑らかな多様体上の滑らかな関数の層に対しては，芽は局所的な情報を含んではいるが，任意の開近傍上の関数を再構成するには十分ではない．例えば，f: R → R を原点のある近傍で恒等的に 1 で原点から遠く離れたところでは恒等的に 0 である隆起関数とする． 原点を含む任意の十分小さい近傍上 f は恒等的に 1 なので，原点において，値が 1 の定数関数と同じ芽を持つ．f をその芽から再構成したいとしよう．f が隆起関数であると前もって知っていたとしてさえ，芽はその隆起がどのくらい大きいかを教えてくれない． 芽が教えてくれることからは，隆起は無限に広くてもよい，つまり，f は値 1 の定数関数に等しいかもしれない．原点を含む小さい開近傍 U 上で f を再構成することさえできない，なぜならば f の隆起が U におさまっているかどうかとか隆起が大きくて f が U 上恒等的に 1 であるかどうかは分からないからである．
一方で，滑らかな関数の芽は値 1 の定数関数と関数 1 + e － 1 / x 2 を区別することはできる，なぜならば後者の関数は原点のどんな近傍においても恒等的に 1 ではないからである． この例は芽は関数の冪級数展開よりも多くの情報を含んでいることを示している，なぜならば 1 + e － 1 / x 2 の冪級数は恒等的に 1 だからである．（この追加の情報は原点における滑らかな関数の層の茎はネーター環ではないことと関係している．クルルの交叉定理によりこれはネーター環に対しては起こりえない．）
準連接層
アファインスキーム（英語版） X = Spec A 上，素イデアル p に対応する点 x における A 加群 M に対応する準連接層（英語版） F の茎は単に局所化 Mp である．
摩天楼層
任意の位相空間上，閉点 x と群あるいは環 G に付随した摩天楼層（英語版）は x 以外での茎は 0 で x では G である――名前摩天楼の所以である． 同じ性質は問題の位相空間が T1 空間ならば任意の点 x に対して成り立つ，なぜならば T1 空間のすべての点は閉だからである．この性質は層の関手的移入分解を得るために代数幾何学において例えば使われるゴドマン分解（英語版）の構成の基本である．
第一クザン問題は、次のように層コホモロジーの言葉で理解することができる。K を M 上の有理型函数の層として、O を正則函数の層とする。K の大域切断 ? は、層の商である層 K/O の大域切断 φ(?) へ写像される。 この逆の問題が第一クザン問題である。つまり、K/O の大域切断が与えられたときに、これから作られる K の大域切断が存在するか？という問題である。この問題は、写像
H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) . の像を特徴つける問題である。ホモロジーの長完全系列により
H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) → H 1 ( M , O ) は完全であるので、第一クザン問題は、第一ホモロジー群 H1(M,O) が 0 となるときは、常に解くことができる。特に、カルタンの定理 Bにより、M がシュタイン多様体であれば第一クザン問題は常に解ける。
第二クザン問題
第二クザン問題(the second Cousin problem)、もしくは乗法的クザン問題(multiplicative Cousin problem)は、各々の比率が、
O* 上の乗法的構造群について、コホモロジー群 H1(M,O*) は、対数をとることにより、加法的構造をもつコホモロジー群 H1(M,O) と比較することができる。 すなわち、層の完全系列: 0 → 2 π i Z → O → exp O * → 0 が存在する。ここに、最も左の層は、ファイバー 2 π i Z をもつ局所定数層である。H1 の最低次数での対数を定義するための障害は、 H 2 ( M , Z ) の中にあり、コホモロジーの長完全系列
H 1 ( M , O ) → H 1 ( M , O * ) → 2 π i H 2 ( M , Z ) → H 2 ( M , O )
から得られる。M がシュタイン多様体のとき、中央の矢印は同型である。 q > 0 に対して、Hq(M,O) = 0 であるので、従って、第二クザン問題が常に解ける必要かつ充分条件は、 H 2 ( M , Z ) = 0 である。 関連項目
Chirka, E.M. (2001), “Cousin problems”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104. Cousin, P. (1895), “Sur les fonctions de n variables”, Acta Math. 19: 1?62, doi:10.1007/BF02402869. Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice Hall. 潤次郎, 野口 (2013), 多変数解析関数論, 朝倉書店, ISBN 9784254111392.
(U_1,f_1)sim(U_2,f_2) ⇔ p の開近傍 U_3⊂ U_1∩ U_2 で f_1|_{U_3}=f_2|_{U_3} となるものがある この同値関係による同値類全体を p における O_V の茎 O_V(p) といい、O_V(p) の元を p における O_V の芽という。
p における O_V の茎 O_V(p) は、p における V の局所環、つまり p で正則な有理関数全体から成る環
層、茎、芽は次のイメージで（私は）捉える。
多様体 V 上の点 p の法線を茎、法線に交わるように書いた（＝p で正則）関数それぞれがを芽（というか枝） 開集合 U⊂ V 内の点 p∈U の分だけ茎を集めて束にしたのが O_V(U) sheafの一般的訳って「束」だけど、既にlatticeの数学的訳を束としちゃってたのと、sheafが長ネギのような層構造にみえるから、sheafの数学的訳を「層」とした？
定義 位相空間 X とその上の環の層 O の対 (X, O) は環付き空間（かんつきくうかん）と呼ばれる。 X 上の環の層 O で、X の各点 x における O の茎 Ox が局所環になっているようなものはX上の局所環の層とよばれ、Oが局所環の層であるような環付き空間 (X, O)は局所環付き空間と呼ばれる。 ここで、局所環の層とは開集合のなす圏から「局所環の圏」への反変関手とは限らないことに注意する必要がある。 二つの局所環付き空間 (X, OX) と (Y, OY) に対し、連続写像f: X → Y と層の射φ: OY → f*OX の対 (f, φ) で、Xの任意の点xについて誘導される準同形OY, f(x) → OX, x が極大イデアルを極大イデアルの中�
293 名前：ﾉうつすようなものは(X, OX) から (Y, OY) への射とよばれる。
構成 X を位相空間とする。X の開集合 U に対して U 上の複素数値連続関数環 C(U) を与える対応は X 上の局所環の層（連続関数の層）になる。同様にXが可微分多様体や複素多様体のときはなめらかな関数の層や正則関数の層が局所環の層になる。 これらの空間の間の連続写像や滑らかな写像、正則写像などは対応する局所環付き空間の間の射を自然に導く。 代数学において、可換環に対し自然に構成される局所環付き空間であるアフィンスキームや、それらの張り合わせとして定義される概型（スキーム）は可換環論と幾何学との間の諸概念の対応を与えている。
ここ、日本語おかしいね 英語版と仮訳下記 まあ、層は開集合Uに依存しない（∵Uの帰納極限を取っているから） なので、OX（U）がローカルリングでなくてもかまわん（実際そうならない）ということかいな （上記の日本語wikiでは意味取れないだろう） https://en.wikipedia.org/wiki/Ringed_space Ringed space (抜粋) Definition[edit] Formally, a ringed space (X, OX) is a topological space X together with a sheaf of rings OX on X. The sheaf OX is called the structure sheaf of X.
A locally ringed space is a ringed space (X, OX) such that all stalks of OX are local rings (i.e. they have unique maximal ideals). Note that it is not required that OX(U) be a local ring for every open set U. In fact, that is almost never going to be the case. (引用終り)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Schwarzian_derivative Schwarzian derivative In mathematics, the Schwarzian derivative, named after the German mathematician Hermann Schwarz, is a certain operator that is invariant under all linear fractional transformations. Thus, it occurs in the theory of the complex projective line, and in particular, in the theory of modular forms and hypergeometric functions. It plays an important role in the theory of univalent functions, conformal mapping and Teichmuller spaces.
全ての素数の積が4π^2になる件についての調査ログ （無限積のゼータ関数 ... study-guide.hatenablog.jp/entry/20140213/p1 ）証明および注意点について に移動 - primeproduct.dvi - sis-2003-264.pdf cds.cern.ch/record/630829/file... もとになっている証明が掲載された論文; Munoz Garcia, E. and Perez Marco, R. "The Product Over All Primes is 4pi^2." Preprint ...
Miller, Haynes (2000). "Leray in Oflag XVIIA: The origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences" (PS)が面白い そうなんか、そうなんや、層なんや https://en.wikipedia.org/wiki/Jean_Leray Jean Leray (French: [l???]; 7 November 1906 ? 10 November 1998)[1] was a French mathematician, who worked on both partial differential equations and a
327 名前：lgebraic topology.
Leray's work of this period proved seminal to the development of spectral sequences and sheaves.[4] These were subsequently developed by many others,[5]
5. Miller, Haynes (2000). "Leray in Oflag XVIIA: The origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences" (PS). http://www-math.mit.edu/~hrm/papers/ss.ps []
局所切断と切断の層 ファイバー束はその底空間全域で定義される切断（大域切断、global section）を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを考えることも重要である。 ファイバー束 (E, π, B) の（連続な）局所切断 (local section) とは、U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、束射影 π について U のすべての元 x に対して π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。 (U, φ) が E の局所自明化（つまり F をファイバーとして φ が π?1(U) から U × F への同相写像を与えるもの）とするとき、U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と一対一に対応する。 このような局所切断の（U を任意に動かすときの）全体は底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections) と呼ばれる。 ファイバー束 E の開集合 U 上の連続（局所）切断全体の成す空間はときに C(U,E) とも表され、また E の大域切断全体の成す空間はしばしば Γ(E) や Γ(B,E) と表される。
https://en.wikipedia.org/wiki/Section_(fiber_bundle) Section (fiber bundle) (抜粋) Local and global sections
Generalizations Obstructions to extending local sections may be generalized in the following manner: take a topological space and form a category whose objects are open subsets, and morphisms are inclusions. Thus we use a category to generalize a topological space. We generalize the notion of a "local section" using sheaves of abelian groups, which assigns to each object an abelian group (analogous to local sections).
There is an important distinction here: intuitively, local sections are like "vector fields" on an open subset of a topological space. So at each point, an element of a fixed vector space is assigned. However, sheaves can "continuously change" the vector space (or more generally abelian group).
This entire process is really the global section functor, which assigns to each sheaf its global section. Then sheaf cohomology enables us to consider a similar extension problem while "continuously varying" the abelian group. The theory of characteristic classes generalizes the idea of obstructions to our extensions.
See also Fibration https://en.wikipedia.org/wiki/Fibration
