- 1 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/01/15(日) 10:11:35.71 ID:3YFHDxHU.net]
- 小学レベルとバカプロ固定お断り！sage進行推奨（＾＾；
旧スレが512KBオーバー間近で、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28(High level people が時枝問題を論じるスレ) rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/
27 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/
26 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/
25 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/
24 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/
23 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1474158471/
22 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1471085771/
21 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/
20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/
19 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/
18 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/
17 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/
16 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/
15 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/
14 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/
13 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
12 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/
11 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
10 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
（略（9～5は、10のテンプレご参照））
(4) uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
3 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
2 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
初代 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/
そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/18(火) 01:06:42.78 ID:5CXBnaTW.net]
- 多分、まともな数学者だったら、「頂を踏む」なんて傲慢な言い方はしないと思う。
ガロアの遺言は、楕円函数や代数函数論まで含んでいるもので、ガロアにとっては
そこまで含めてガロア理論の思想圏に入っていることを数学者なら知ってるし。
- 585 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 05:50:45.70 ID:oOHrLD0y.net]
- >>500-503
どうも。スレ主です。
「運営乙」さんも含め、ようやく以前のガロアスレの雰囲気に近くなったね
たまにはこうやって、ちゃちゃ入れしてるとありがたい（＾＾
一人で書いていると、規制がかかる。「連投だ」「埋め立てだ」と
ちゃちゃ入れがあると、それらは回避できる
おっちゃんも忙しいだろうから、みなさんも頼むよ
- 586 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 06:52:17.54 ID:oOHrLD0y.net]
- >>492 もどる
（補足）
（再度抜粋引用開始）
「ガロア理論の頂を踏む」（石井俊全）(https://www.amazon.co.jp/dp/4860643631)1章94ページ
「h を (Z/pZ)* の原始根とします。このとき、h の mod p^n での位数を m とします。
h^m ≡ 1 (mod p^n) より、h^m ≡ 1 (mod p) で、h の mod p での位数が p - 1ですから、m は p - 1 で割り切れます。m = s(p - 1) とします。すると、h^s の mod p^n での位数は p - 1 です。ここで g = h^s をおきます。
1, g, g^2, …, g^(p-2)
は、h で表すと指数がすべて m = s(p -1) 以下ですから、mod p^n でみてすべて異なります。もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」
ここで最後の「もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」にギャップを感じており、すなおに「はい」といえません。「もちろん」というキーワードに驚いています。
この最後の部分はどうしていえるのでしょうか？よろしくお願いいたします。
（引用終り）
１．質問者の気持ち、分かる。初版から４刷までは、>>496引用のように、「gを(Z/pZ)*の原始根とすると，定理1.15(i)より，mod Pで見て 1，g ，g^2，・・・ ，g^(P-2) はすべて異なります。」だった。
２．そして、上記「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」は、正しい。正しくないのは、>>496引用の「mod P^nで見たとき」の「なぜなら・・・」の証明部分の方だ
３．で、言いたいことは、元の流れは、「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」なんだ
４．それを、訂正で流れを変えてしまった。多分スペースの都合。「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」が入らないので、「もちろん」とやったんだ
５．繰り返すが、初版のときは、「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」と書くのが分かり易いと思っていたんだ
６．流れ変えたら分からんという人も出てくるだろうさ。でも、スペース優先になったんだ（＾＾；
- 587 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 07:10:20.62 ID:oOHrLD0y.net]
- >>505 補足
筆者 石井俊全の気持ちも分からなくもない
（もちろん）”mod p で見たときもすべて異なります。”について
この、”mod p で見たとき”の話は、Ｐ33辺りから始まって、ずっと通底音で続いている話だ。だから難しいのは”mod p^n でみて”の部分のみだと
つまり、定理1.15 (巡回群の生成)とか、定理1.17( (Z/pZ)*は位数p-1の巡回群に同型)とか、全部”mod Pで見て”なので、ここらが理解できていれば、「もちろん」だろうと
が、>>505に書いたように、初版の流れは、「gを(Z/pZ)*の原始根とすると，定理1.15(i)より，mod Pで見て 1，g ，g^2，・・・ ，g^(P-2) はすべて異なります。」の下から目線
が、第5刷から訂正スペースの都合で、「もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」の上から目線
”ギャップを感じており、すなおに「はい」といえません。「もちろん」というキーワードに驚いています。”という読者の声も理解できる（＾＾
- 588 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 07:20:14.55 ID:oOHrLD0y.net]
- >>498 戻る
>>それは第一版と第五版とで大幅に改訂されているからですよ
１．ベレ出版の正誤表についての対応が不誠実（こそこそ隠している印象あり）
２．版と刷の出版業界の慣行に反しているように思う。大幅改訂なら、刷でなく改訂版だろ？ ゴマカシはいかんぞ！（＾＾
- 589 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 07:48:44.54 ID:oOHrLD0y.net]
- >>507 追加
・出版業界もソフト業界みたく、不誠実な対応になってきたんだろうか？
・だが、ソフト業界では、ソフトのバージョン番号やビルド番号の識別がある。出版物では、改訂版とxx刷がそれに相当するはず。ルールを守れ！
・ホームページなどに、改訂情報をしっかり載せる。また、本の冒頭や後付けに、ＵＲＬと「改訂情報（正誤表）を見て下さい」のお願いを書くようなことをせめてやれよ
・もし、自動車業界なら、リコールですよ、リコール
・だが、ソフト業界は、「このソフトを使ってバグに遭遇しても、おらしらねえ」と書いてある
・が、この本「頂を踏む」は、”本書の特徴：証明がこの本に全部書いてある”なんだよね～（＾＾；
・第５刷ということは、売れたということなんだろうね。マイクロソフトのまねか。宣伝で売って、バグはこっそり修正。まあ、それで世の中進歩する面もあるけど・・
・が、世の中厳しくなっているよ、ブログから炎上とか。本のバグにどう対応するか。ベレ出版さん、しっかり考えた方が良いよ。老婆心ながら忠告しておく（＾＾；
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/18(火) 10:12:18.21 ID:2T0IPBlH.net]
- おっちゃんです。
普段読む箇所じゃないんだから、そんなとこ刷でも改訂版のどっちでもいいよw
そんなことより、もっと改めさせる部分があるだろう。
「ガロア理論の頂を踏む」って、です・ます調の文体の本だったのかよ。
中学以上だと、です・ます調では書かないのが普通。
そもそも、ガロア理論の本に何で初等整数論のことが書いてあるんだ。
初等整数論だけで一冊の本になる。
- 591 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 10:49:08.56 ID:oOHrLD0y.net]
- >>504 訂正
たまにはこうやって、ちゃちゃ入れしてるとありがたい（＾＾
↓
たまにはこうやって、ちゃちゃ入れしてくれるとありがたい（＾＾
- 592 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 11:10:42.58 ID:oOHrLD0y.net]
- >>509
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ちゃちゃ入れありがとう（＾＾
>「ガロア理論の頂を踏む」って、です・ます調の文体の本だったのかよ。
>中学以上だと、です・ます調では書かないのが普通。
そうだね
石井俊全先生は、塾の講義の気分なんだろうね。大学ではなくてね
>そもそも、ガロア理論の本に何で初等整数論のことが書いてあるんだ。
>初等整数論だけで一冊の本になる。
確かに。
だが、石井俊全先生は、定理1.20について
「この定理は最後のピークの定理を証明するときに大活躍します。」と予告しているんだ
が、ピークの定理の第６章を見ると、定理1.20は定理6.3 "円分体のガロア群"の証明で出てくる
そのための章だろう
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/18(火) 11:27:35.68 ID:2T0IPBlH.net]
- >>511
円分体って1の原始n乗根を添加した有理数体の有限次代数拡大体のことで、
代数的整数論の範囲になるから、その前に一般的な有限次代数拡大体の理論が必要になるんだが。
その本では、有限次代数拡大体は扱っているのか。
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/18(火) 12:01:45.44 ID:2T0IPBlH.net]
- >>511
>>512は n≧3 のときの話な。
- 595 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 12:54:49.08 ID:oOHrLD0y.net]
- >>512-513
どうも。スレ主です。
>その本では、有限次代数拡大体は扱っているのか。
扱っている
P305 ５章４節「体の次元を捉えよう」だな
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/18(火) 13:31:33.39 ID:2T0IPBlH.net]
- >>514
無限次代数拡大体や代数的閉包は？
代数拡大体っていっても有限次代数拡大と無限次代数拡大体があるんだが。
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/18(火) 13:37:24.84 ID:2T0IPBlH.net]
- あっ、代数的閉包はなさそうだな。
- 598 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 16:04:39.02 ID:oOHrLD0y.net]
- >>515-516
おっちゃん、どうも、スレ主です。
代数方程式の古典ガロア理論でなら、有限次代数拡大で十分だろ
そもそも、ガロア原論文では、拡大次数の概念は出てなかった
- 599 名前： ◆QZaw55cn4c mailto:sage [2017/04/18(火) 20:31:54.46 ID:Hg94HBcp.net]
- >>505
この部分はヤフー知恵遅れ，もとい知恵袋で考察が進んでいます．
前にも書いたように著者の「お手つき」，が妥当なところだと思います．
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13170327928
- 600 名前： ◆QZaw55cn4c mailto:sage [2017/04/18(火) 20:33:12.85 ID:Hg94HBcp.net]
- >>508
いや，販促としては最高の対応でしょう
ターゲット層はロジックが改訂されたとなったら，同じ本をまた買う，私のように
５刷まで出た理由だと思いますぅ
- 601 名前： ◆QZaw55cn4c mailto:sage [2017/04/18(火) 20:36:39.57 ID:Hg94HBcp.net]
- >>509
高校数学で止まった身としては，
「ですます」「だ，である」の字数の少ない方を採用し，浮いた字数をロジックのギャップを埋める方向で努力していただければありがたいです．
初等整数論の部は歯ごたえばっちりの求めていたものでした
通勤電車の中で没頭しています，気がつくと目的駅だった，という経験を重ねています．
この路線で歯ごたえがあり，でも初学者にやさしい，ギャップの小さいものが求められていると考えています．
プロの皆様，商機です！
- 602 名前： ◆QZaw55cn4c mailto:sage [2017/04/18(火) 20:38:18.51 ID:Hg94HBcp.net]
- >>502
実際に出版社のほうでつけた題だ，とのことです，本のあとがきによると
>>503
いいんです，これこそマーケティングの成果でしょう
プロはそっぽをむき，初学者ホイホイのいいネーミングだと思いました
- 603 名前： ◆QZaw55cn4c mailto:sage [2017/04/18(火) 20:40:16.73 ID:Hg94HBcp.net]
- 私も自分スレを持っています，よかったら遊びに来てください
echo.2ch.net/test/read.cgi/tech/1434079972/
hibari.2ch.net/test/read.cgi/tech/1289715349/
hibari.2ch.net/test/read.cgi/tech/1295273862/
hibari.2ch.net/test/read.cgi/tech/1309527259/
peace.2ch.net/test/read.cgi/tech/1313183984/
- 604 名前： ◆QZaw55cn4c mailto:sage [2017/04/18(火) 20:49:42.28 ID:Hg94HBcp.net]
- この石井という人は，二匹目の泥鰌を狙ってきました
https://www.amazon.co.jp/dp/4860644980
「2013年8月に出した「ガロア理論の頂を踏む」では，多くの心温かい読者に救われることとなりました．
執筆への感謝のお手紙と一緒に，気がついた誤植を表にして送っていただいた読者の方が
何人もいらっしゃったのです．他の本では考えられないことです．
いまでも，読者の皆さんとこのような機会をいただいた運命に感謝の念が絶えません．」
さあ，今回はどうなるか？！
- 605 名前：１３２人目の素数さん [2017/04/18(火) 22:02:26.71 ID:xznVMu36.net]
- ちゃちゃ入れと認識してしまうということはスレ主の馬鹿は健在だなｗ
まあこいつの場�
- 606 名前：㍽ぬまで治らないでしょう []
- [ここ壊れてます]
- 607 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 22:06:50.90 ID:oOHrLD0y.net]
- >>518-523
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
私の感じでは、レベル：（上）知恵袋（gooなども）＞＞２CH（下）やね（＾＾；
>ターゲット層はロジックが改訂されたとなったら，同じ本をまた買う，私のように
> ５刷まで出た理由だと思いますぅ
私なら、友人に勧めて、５刷を買わせて、それを見せて貰う
それが、５刷まで出た理由だと
>初等整数論の部は歯ごたえばっちりの求めていたものでした
>通勤電車の中で没頭しています，気がつくと目的駅だった，という経験を重ねています．
◆QZaw55cn4cさん、まじめなんやね。それと、プログラム（ロジック）に強いんだね
多分若い。まだまだ伸びるよ。がんばってね（＾＾
今のスレでは余白が少なくなったが、次のスレで、プログラムの話題も上げるよ
遊んで行ってください
二匹目は、相対論か・・
一般性相対論ね・・
石井先生みたいな人は貴重やね・・（＾＾；
- 608 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 22:18:51.45 ID:oOHrLD0y.net]
- >>518 & >>520 補足
ご存知かもしらんが、ここらを見ておくと参考になるよ（＾＾
www.epii.jp/articles/note/math/primitive_root
既約剰余類群と原始根 epii Last modified: 2016/05/16 22:31:02
(抜粋)
n がどのようなときに原始根が存在するのだろうか？という疑問に答えるのが本記事のゴールです。
はじめに議論を厳密にするために「既約剰余類群」と呼ばれる群を定義します。 それを用いて原始根の定義を厳密に与え、まずはじめに nn が素数の場合には必ず原始根を持つことを示します (定理 1) 。 最後に原始根を持つような nn の必要十分条件と、その証明を与えることで上の疑問の解答を与えます (定理 2) 。
1用語説明
1.1既約剰余類群
1.2原始根
2n が素数のときには原始根が必ず存在すること
3原始根の存在する必要十分条件
3.1十分であること
3.2必要であること
- 609 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 22:31:28.47 ID:oOHrLD0y.net]
- >>526
追加で、ここら美的数学のすすめ id:TSKiさんも分かり易すくて面白いよ（＾＾；
biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/14/135722
既約剰余類群の部分群 - 美的数学のすすめ id:TSKi 2015-04-14
biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/02/28/102350
原始根の存在定理－剰余類の基本的な性質（その3） - 美的数学のすすめ id:TSKi
biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/03/01/202331
原始根の存在定理（その2） - 美的数学のすすめ id:TSKi
biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/17/104038
≪ 円分体のガロア対応- 美的数学のすすめ id:TSKi
biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/11/224758
ガロア対応超入門 ≫- 美的数学のすすめ id:TSKi
「円分体論はガロア理論に吸収されてしまうのでしょうか？そうではありません。上のガロア対応にはガロア理論を超えたさらに驚くべき内容が隠されています。次回は、円分多項式がmodpmodpでどのように因数分解されるか考えてみます。」
biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/21/124949
円分多項式のmod pにおける因数分解 - 美的数学のすすめ id:TSKi
- 610 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 22:40:10.55 ID:oOHrLD0y.net]
- ついでに、2004年の卒論だが、ご参考まで
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/STUDENT/KENKYU2003/kobayashi.pdf
平成15年度 卒業論文 m を法とする既約剰余類群の指数を 与えた時の m の上限について
広島大学 理学部 数学科 小林 智一 平成 16 年 2 月 10 日
（概要）
これらの結果を利用すると、p = 2, n = 1 のとき、(Z/pn)× は可約であ
ることが分かる。さらに、2 以上の任意の整数 m に対して m を素因数分
�
- 611 名前：ｷることで、m を法とする既約剰余類群 (Z/m)× の群構造が分かる。
本論文では、2, 3, 4 節で上に挙げた関係式を導出し、5 節で (Z/m)× の
群構造を考察する。その際、「 (Z/m)× が巡回群になるための m の必要
十分条件 」と「 (Z/m)× の指数 (元の最大位数) 」の 2 つについて考え
た。そして 6, 7 節では、指数に着目し、新しい問題として「(Z/m)× の指
数 n を与えた時の m の上限」について考えた。 [] - [ここ壊れてます]
- 612 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 22:52:38.25 ID:oOHrLD0y.net]
- さらに追加
ご存知「物理のかぎしっぽ」より
hooktail.sub.jp/
hooktail.sub.jp/contributions/galoire3.pdf
[2016-12-05] Contribution/響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著)
コラム：やはり、人類の至宝はオイラーなのか
私にとっては、オイラーの関数Φ(n)(n と互いに素な整数の個数）こそが、人類の至宝であるようなような気がする。
オイラーの関数のすごさは、群論、体論、初等整数論、解析、線形代数学のそれぞれの初歩を知らないとわからない。
このようにオイラーの関数が現代数学の重要な箇所で顔を現わすその美しさは優に芸術作品に匹敵する。
オイラーの名を冠する数学・物理用語は多い。このように考えてくると、いずれにしても人類の至宝はオイラーなのかも知れない。
hooktail.sub.jp/contributions/galois160912tu.pdf
[2017-01-05] Contribution/置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論概論（第２版）(上野孝司 著)
筆者は別稿『響きあうガロアとガウス―正17 角形の作図問題』で、ガロアの理論とガウスの考えたf 項周期
（拡大体の基底）を基に正17 角形が作図できることを示したが、本稿ではガロア理論を再考することによって
代数方程式の可解性について概略を述べる。
- 613 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/18(火) 22:57:16.09 ID:oOHrLD0y.net]
- ◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
まあ、私は、既約剰余類群や原始根はあまり詳しくないが
上記を読んだ感じでは、石井先生のP94からの既約剰余類群の証明は、バグ取り切れていないように感じる
なので、先に>>526-527の既約剰余類群のところを読むようにお薦めします（＾＾；
- 614 名前： ◆QZaw55cn4c mailto:sage [2017/04/19(水) 05:34:08.97 ID:OGtKfjJc.net]
- >>530
>>526 は併行してすでに読んでいました．こっちの原始根の存在定理は背理法ですね
石井は高木貞治のものを噛み砕いていました
今は石井第二章で苦闘しているところです．
再構成できるほどには染み込んでいませんが
もう私は伸びないでしょうが，ひと時の没頭をくれる本を求めています
はごたえはあるほうがいい，でもギャップは少ない方がいい
プロの皆様，商機だと思います
- 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/19(水) 05:58:52.36 ID:EI4BHEQ3.net]
- >>531
おっちゃんです。
数学をしたいなら、いきなりガロア理論からはじめるより
基本的な線形代数と微分積分からはじめるのがいい。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/19(水) 07:54:48.05 ID:IzsVF5Bb.net]
- >>532
ありがとうございます。その方向でやっていきたいです
工科系（電気系）としての素養はあるつもりですが、やっぱり数学はとまってしまった感が強い
線形代数は2次の場合からのアナロジーですまし、解析学系はフーリエ変換ラプラス変換をつまみ食い（だって昔はそんな授業だったし）
- 617 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 12:36:08.82 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>531
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
>石井は高木貞治のものを噛み砕いていました
ああ、そうなん？ それ、持っているかもしれんが・・・、まあ探すのも面倒だし・・・
で、本題
ともかく、石井先生のP94からの既約剰余類群の証明は、石井先生甘く見ていたんだろうね
>>518 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13170327928
「ガロア理論の頂を踏む」（石井俊全） qzaw55cn4cさん yahoo! 知恵袋 2017/2/10
（回答
- 618 名前：補足）
doahoyasanさん2017-02-10 19:39:10
大変失礼しました。かなり見当違いなコメントだったようです。
(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数です。ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてますね。
mod pで考えるとｐ乗するのは何もしないことと同じなので
ｇ＝ｈ＾ｓ≡ｈ(mod p)
です。ｈが原始根であることから0≦k＜ｌ<p-1に対して
g^k≡h^kとg^l≡h^lは合同でないことになります。
質問者qzaw55cn4cさん 2017-02-10
1. (Z/p^nZ)*は位数が{p^(n-1)｝(p-1)の巡回群
2. フェルマーの小定理 a^p ≡ a(mod p)
の二つから h^s ≡ h (mod p) がいえるわけですね．
ただ，この教科書では，この二つとも現在の段階から後に（おそらくは現在の結果を利用して）証明するようですので，循環論法になるような気がします．
(引用終り)
所感：
１．解答者 doahoyasanさん レベル高いね
２．”(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数です。ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてますね。
mod pで考えるとｐ乗するのは何もしないことと同じなので ｇ＝ｈ＾ｓ≡ｈ(mod p) です。ｈが原始根であることから0≦k＜ｌ<p-1に対して g^k≡h^kとg^l≡h^lは合同でないことになります。”
は秀逸ですね。納得だな
３．だが、質問者が指摘しているように、”(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数”は、この命題を証明する過程での議論なので、この結果は証明に使えない。
４．石井先生は、P85でオイラー関数Φを使わない証明を考えたという。だが、P94辺りの証明は甘かったのでは？ そう思うスレ主です。 [] - [ここ壊れてます]
- 619 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 12:41:10.29 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>531
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
>もう私は伸びないでしょうが，ひと時の没頭をくれる本を求めています
まあ”伸び”という客観評価指標はないからね～（＾＾；
主観的評価指標で良いんじゃない？（＾＾；
以前分からなかった数学が分かるようになったとか・・
ガロア読んで次の本を読むことになったとかでも・・（＾＾；
- 620 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 12:45:45.06 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>533
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>数学をしたいなら、いきなりガロア理論からはじめるより
>基本的な線形代数と微分積分からはじめるのがいい。
おっちゃん、ほんと代数弱いからな～（＾＾；
古典ガロア（特に５次代数方程式の非可解程度）なんて、初歩の初歩だよ（＾＾；
- 621 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 13:35:33.46 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>533
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
>工科系（電気系）としての素養はあるつもりですが、やっぱり数学はとまってしまった感が強い
>線形代数は2次の場合からのアナロジーですまし、解析学系はフーリエ変換ラプラス変換をつまみ食い（だって昔はそんな授業だったし）
それで十分だと思う。必要性を感じたときに、すぐ必要な基礎のところに戻って、勉強するのが良いんじゃないかな？
具体的目的や目標もなしに、だらだら読むより、数倍以上のスピードと集中で読めるし頭に入るよ（＾＾；
まあ、大学の講義で教えて貰えて、試験－単位あげるというサイクルに乗っている人は別として・・
>今は石井第二章で苦闘しているところです．
>再構成できるほどには染み込んでいませんが
第二章って”群”かい？
ここは結構やさしく書いてあるよ。大学用テキストなら、１０～１５ページくらいかな？ 高校生向きに100ページ近く、具体例を豊富に入れて丁寧に説明しているね
「再構成できるほどには染み込んで」とかいわず、さっさと先に進んで、分からないところにまた戻った方が良いよ（＾＾；
精読と多読の併用だよ（＾＾；
- 622 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 13:36:44.99 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>537 補足
あれ？ガロア理論の頂きが、第１０章「５次方程式の解の公式はない」？ 正確には違うが、世間一般の説明では、よくこう言われるね（＾＾
「５次方程式の解の公式はない」は、アーベルが到達した”頂き”だよね。ガウスも「そんな証明はすぐ出来そうだ、余白がないので、予言だけ書く」とDAに記したとか
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の奇数次数の代数方程式が可解の場合に線型群（メタ巡回群）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E2%80%93%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
アーベル?ルフィニの定理（アーベル?ルフィニのていり、英: Abel?Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。
同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。
代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。なおガウスは後年アーベル、ガロアの論文を受け取っているが、全く関心を示さなかったという。ガウスにとって既に重要な問題とは見えなかったらしい。
(引用終り)
yoshiiz.blog129.fc2.com/blog-entry-736.html
よしいずの雑記帳 meta-abelianとmeta-cyclic 2013-06-06 : 代数学
(抜粋)
meta-cyclic
群 GG が meta-cyclic であるとは, GG の正規部分群 NN が存在して, NN と G/NG/N の両方が巡回群であるときにいう. meta-cyclic ならば meta-abelian である.
meta-cyclic な群は超可解群 (supersolvable group) である.
- 623 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 13:38:50.02 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>538 訂正
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の奇数次数・・・
↓
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の素数次数・・・
- 624 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 13:40:53.60 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>539 追加補足
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の奇数次数の代数方程式が可解の場合に線型群（メタ巡回群）に限るということ
「五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない」というアーベルの結果は、当然ガロアは知っていた（＾＾
- 625 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 13:43:13.04 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>540 コピペしたらまた同じ間違い ｍ（_ _）ｍ
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の奇数次数の代数方程式が可解の場合に線型群（メタ巡回群）に限るということ
「五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない」というアーベルの結果は、当然ガロアは知っていた（＾＾
↓
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の素数次数の代数方程式が可解の場合に線型群（メタ巡回群）に限るということ
「五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない」というアーベルの結果は、当然ガロアは知っていた（＾＾
- 626 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 13:46:43.64 ID:gLi5Ebjw.net]
- 線型群（メタ巡回群）という言い方は、最近はしないと思うが
守屋本（倉田本もか）で使っていたように思う
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/19(水) 17:02:44.55 ID:EI4BHEQ3.net]
- >>536
>おっちゃん、ほんと代数弱いからな～（＾＾；
>古典ガロア（特に５次代数方程式の非可解程度）なんて、初歩の初歩だよ（＾＾；
正規部分群が分からないスレ主にいわれる筋合いはないw
何せ、時枝問題のときはスレ主は極限が分からないことを実証してしまったからな。
現代数学概説Ⅰでもガロア理論は抜けているが、この本の内容は役に立つ。
群環体、多元環、ホモロジー代数、その他位相やカントール流の実数論なども或る程度扱っている。
スレ主が今している既約剰余類の話を論理立ててするにも、本当は他にも
直積や直和位の概念か、イデアルや可換環位の概念は最低限必要になる。
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/19(水) 17:11:05.51 ID:EI4BHEQ3.net]
- >>537
>大学用テキストなら、１０～１５ページくらいかな？
やはり、スレ主は群論の初歩が分かっていない。
群論のテキストは10～15ページでは終わらないんだが。
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/19(水) 19:22:49.48 ID:IzsVF5Bb.net]
- >>534
＞＞>石井は高木貞治のものを噛み砕いていました
＞まあ探すのも面倒だし・・・
ネットに一部掲示されていました。
https://ja.wikisource.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E7%AC%AC1%E7%AB%A0/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E6%A0%B9%EF%BC%8C%E6%8C%87%E6%95%B0
- 630 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 22:27:59.44 ID:gLi5Ebjw.net]
- 新スレ立てました
ここは、いま510KBだ
512KBでパンクでしょう（＾＾
あとは新スレへ
rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30
- 631 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 22:28:54.63 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>545
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
よび名が無いと不便なので、仮にC++さんと呼ばせてもらおう
『初等整数論講義』高木貞治だね、これは持ってなかったと思う。高木の「代数学講義」はもっているが
それで、実は今日東京へ行く用があって、丸善で見てきたんだ（＾＾；
その私の見立ては、「原始根，指数」の章より、「合同式解法の概論」の章が、今回の証明には当てはまると思うよ
まあ、細かい話は新スレで
https://ja.wikisource.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96%E8%AC%9B%E7%BE%A9
https://ja.wikisource.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E7%AC%AC1%E7%AB%A0/%E5%90%88%E5%90%8C%E5%BC%8F%E8%A7%A3%E6%B3%95%E3%81%AE%E6%A6%82%E8%AB%96
初等整数論講義/第1章/合同式解法の概論
- 632 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/19(水) 22:31:27.93 ID:gLi5Ebjw.net]
- >>543-544
やれやれ、相変わらずのおっちゃんだね
まあ、ガロアスレでは、愛すべきキャラだから、目くじらたてても仕方ないが・・（＾＾
>何せ、時枝問題のときはスレ主は極限が分からないことを実証してしまったからな。
まだ言ってるの？ まだ時枝記事が、ガセだって理解できてないのか？（＾＾；
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