- 238 名前：A根の有理式 Ｇ（x1,x2,x3）= t= Ax1+Bx2+Cx3で、全ての根の置換で異なる値を取るように、A,B,Cを定める。なお、ここでは、A,B,Cは有理数にしておく＊）
２．すると、６つの置換ですべて異なる値を取るから、6次方程式(t-t1)(t-t2)・・・(t-t5)(t-t6)＝0を考えれば良い
この6次方程式は、一見問題を難しくしているようだが、急がば回れで、６つの置換とt1,t2,・・・,t5,t6 が一対一に対応しているという利点がある
３．また、6次式(t-t1)(t-t2)・・・(t-t5)(t-t6)は、６つの置換で互いに入れ替わるだけだから、対称式なんだ
つまり、その係数は元の３次方程式の係数a,b,c,dで表すことができる（対称式の基本定理）
４．結局、6次方程式(t-t1)(t-t2)・・・(t-t5)(t-t6)＝0を考える方が、方程式の解法と根の置換との関係が見やすいという利点がある
５．さて、5次方程式で同じことを考える。 ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 と根 x1,x2,x3,x4,x5、根の有理式 Ｇ（x1,x2,x3,x4,x5）= t= Ax1+Bx2+Cx3+Dx4+Ex5 を考える
置換の数は120。120次の方程式を考えることになる
６．天才ガロアは、補助方程式の根の添加で、120次の方程式が因数分解できて、それに応じて、５次対称群Ｓ５が正規部分群に分解されるという解法を考えた
７．結論は、ご存知の通り、5次方程式つまり120次の方程式は、ベキ根添加では解けないということが導かれるのだ
８．なぜか？ それが、ガロア理論だ。ベキ根の有理式添加による因数分解と方程式の群Ｇが正規部分群の商群に縮小していくことの対応が取れると、ガロアは見抜いた
９．一方、アルチン先生は、「t= Ax1+Bx2+Cx3+Dx4+Ex5って、ベクトル空間の式に似ている」と見抜いた。「体の拡大と群Ｇの縮小の対応の理論とした方が、数学的センスが良いね」と
＊）解の公式としては、ラグランジュ分解式 t= x1+ωx2+ω^2x3 を取るのが、計算上一番楽なんだが。有理数にしておくのが理論的にすっきりしている
まあ、不正確な記述があるかも知れないが、そんなイメージで、矢ヶ部とかガロア理論を読んでみなさいよ [] - [ここ壊れてます]
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