O* 上の乗法的構造群について、コホモロジー群 H1(M,O*) は、対数をとることにより、加法的構造をもつコホモロジー群 H1(M,O) と比較することができる。 すなわち、層の完全系列: 0 → 2 π i Z → O → exp O * → 0 が存在する。ここに、最も左の層は、ファイバー 2 π i Z をもつ局所定数層である。H1 の最低次数での対数を定義するための障害は、 H 2 ( M , Z ) の中にあり、コホモロジーの長完全系列
H 1 ( M , O ) → H 1 ( M , O * ) → 2 π i H 2 ( M , Z ) → H 2 ( M , O )
から得られる。M がシュタイン多様体のとき、中央の矢印は同型である。 q > 0 に対して、Hq(M,O) = 0 であるので、従って、第二クザン問題が常に解ける必要かつ充分条件は、 H 2 ( M , Z ) = 0 である。 関連項目
