現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2

1 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2012/03/16(金) 22:04:35.83 ] uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/　前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む >>1より ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？ detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18 「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。 アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。 両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。 ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。 彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。 皆さまの見解を伺いたいと思います。 ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21 ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。 ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。 ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。 75 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 09:20:43.26 ] >>74 リーマン予想関連 （再録）前スレ438 アインシュタインが、当時馬鹿にされながら統一理論を追求して、カルツァー・クライン理論になった それが、ウィッテンのM理論に ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ 量子力学のランダム行列理論とリーマン予想との不思議な関係 ゴレイ符号（デジタル通信に用いられる誤り訂正符号。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn−ズの証明という流れもある ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%AC%E3%82%A4%E7%AC%A6%E5%8F%B7 ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。 en.wikipedia.org/wiki/Binary_Golay_code en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice ソリトンも落とせないかな フェルミ・パスタ・ウラムの問題→ソリトン→可積分系 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BB%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C 950年代にロスアラモス研究所で電子計算機を用いて、この問題に取り組んだ3人の物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラムに名に因む。 当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された平衡状態に達するはずであったが、 計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。 en.wikipedia.org/wiki/Soliton In 1965 Norman Zabusky of Bell Labs and Martin Kruskal of Princeton University first demonstrated soliton behaviour in media subject to the Korteweg?de Vries equation (KdV equation) in a computational investigation using a finite difference approach. They also showed how this behavior explained the puzzling earlier work of Fermi, Pasta and Ulam.[3] （つづく） 76 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 09:25:12.26 ] >>75　補足 >ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ ここ正確には、 ワインバーグサラム理論の基礎になっているヤン＝ミルズ理論が、４次元位相空間の研究に使われた ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%82%BA%E7%90%86%E8%AB%96 ヤン＝ミルズ理論（−りろん、英: Yang-Mills theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことである。 なお、その少し前にヴォルフガング・パウリ[1][2]と内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。 元々は、数学者ヘルマン・ワイルらによって研究が進められていた（可換）ゲージ理論であった。このゲージ理論を物理学の世界に応用して生まれた、強い相互作用や弱い相互作用の場についての理論が、ヤン＝ミルズ場と呼ばれるゲージ場の理論である。 目次 1 定義 2 実際の例とバリエーション 3 繰り込み群と結合定数 4 脚注 5 参考文献 6 関連項目 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/18(日) 09:28:14.67 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 78 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 09:43:20.21 ] >>76 ヤン＝ミルズ理論補足 en.wikipedia.org/wiki/Simon_Donaldson Biography Donaldson's father was an electrical engineer in the physiology department at the University of Cambridge[citation needed]. Donaldson gained a BA degree in mathematics from Pembroke College, Cambridge in 1979, and in 1980 began postgraduate work at Worcester College, Oxford, at first under Nigel Hitchin and later under Michael Atiyah's supervision. Still a graduate student, Donaldson proved in 1982 a result that would establish his fame. He published the result in a paper Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds which appeared in 1983. In the words of Atiyah, the paper "stunned the mathematical world" (Atiyah 1986). Whereas Michael Freedman classified topological four-manifolds, Donaldson's work focused on four-manifolds admitting a differentiable structure, using instantons, a particular solution to the equations of Yang-Mills gauge theory which has its origin in quantum field theory. One of Donaldson's first results gave severe restrictions on the intersection form of a smooth four-manifold. As a consequence, a large class of the topological four-manifolds do not admit any smooth structure at all. Donaldson also derived polynomial invariants from gauge theory. These were new topological invariants sensitive to the underlying smooth structure of the four-manifold. They made it possible to deduce the existence of "exotic" smooth structures?certain topological four-manifolds could carry an infinite family of different smooth structures. （つづく） 79 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 09:51:59.75 ] >>78 つづき en.wikipedia.org/wiki/Simon_Donaldson Donaldson's work（抜粋） A thread running through Donaldson's work is the application of mathematical analysis (especially the analysis of elliptic partial differential equations) to problems in geometry. The problems mainly concern 4-manifolds, complex differential geometry and symplectic geometry. The following theorems rank among his most striking achievements: The diagonalizability theorem (Donaldson 1983a, 1983b): if the intersection form of a smooth, closed, simply connected 4-manifold is positive- or negative-definite then it is diagonalizable over the integers. (The simple connectivity hypothesis has since been shown to be unnecessary using Seiberg-Witten theory.) This result is sometimes called Donaldson's theorem. A smooth h-cobordism between 4-manifolds need not be trivial (Donaldson 1987a). This contrasts with the situation in higher dimensions. A stable holomorphic vector bundle over a non-singular projective algebraic variety admits a Hermitian-Einstein metric (Donaldson 1987b). This was proved independently by Karen Uhlenbeck and Shing-Tung Yau (Uhlenbeck & Yau 1986). Donaldson's recent work centers on a difficult problem in complex differential geometry concerning a conjectural relationship between algebro-geometric "stability" conditions for smooth projective varieties and the existence of "optimal" Kahler metrics, typically those with constant scalar curvature. Definitive results have not yet been obtained, but substantial progress has been made (see for example Donaldson 2001). See also Donaldson theory. External links O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Simon Donaldson", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. Simon Donaldson at the Mathematics Genealogy Project. Home page at Imperial College 80 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 10:49:56.90 ] >>79 補足 下記岩木泰孝氏の修論がよく纏まっているね www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h11/iwaki.pdf 平成11 年度学位論文 Seiberg-Witten 理論について 兵庫教育大学 岩木泰孝 序　文（抜粋） 1956 年J.W.Milnor が７次元の球面と連続同相であるが可微分同相ではないエキゾチック球面を発見して以来 略 しかし1980 年代初頭に２つの出来事によりその状況が大きく変わることになった。 １つには1982年のM.H.Freedman による仕事で、略 もう一つが1983 年、まだ学生であったS.Donaldson によりゲージ理論を応用して単連結4 次元閉C1 多様体の正定値交叉形式が決定されたことである。 その後もDonaldsonはh-同境定理の反例やDonaldson 不変量の定式化など輝かしい業績を築いていった。 これらの業績により1986 年Donaldson はFreedman らと共にFields 賞を受賞している。 Donaldson 理論は物理学で発展したゲージ理論(Yang?Mills 理論) を数学に持ち込んだものであった。 その中核を成すのはYang?Mills 方程式と呼ばれる非線形偏微分方程式である。 Yang?Mills 方程式の非線形性やゲージ群がSU(2) で非可換であるなど理論を展開するのに多くの難点を克服する必要があり 略 しかし1993 年P.Kronheimer,T.Mrowka によりDonaldson 不変量の構造定理が発表されるとDonaldson理論の本質的な部分は物理学で言うところの「質量ギャップ」にあることが分かってきた。 Donaldson 理論の背景にあるゲージ理論は物理学ではN = 2 SuperSymmetry Yang-Mills 理論と呼ばれるものである。 物理学的に双対な理論を考えることはN = 4 の場合には一般的であったがN = 2 の場合には意味がないと言われていた。 しかしN = 2 の場合の双対な理論を考えることで「質量ギャップ」は磁気単極子(Monopole) の存在の問題に置き換えることができることを1994 年N.Seiberg とE.Witten が発見した。 そしてYang?Mills 方程式に代わりMonopole 方程式を用いた理論を数学にフィードバックしたのがSeiberg?Witten 理論である。 その成り立ちから見ても、Seiberg?Witten 理論は当初より物理学的な理由からDonaldson 理論と同値であると予想されており、実際Donaldson 理論の成果はSeiberg?Witten 理論でも示されている。 本論文ではSeiberg?Witten 理論を数学的に基礎から構築し 略 81 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 11:02:56.41 ] >>72 >英語のwikipediaの解説は充実していますね 英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる 数学では、英語のwikipediaの記事が圧倒的に情報量が多いね >>80 これも英語のwikipediaのリンクからたどったが、ご参考まで xstructure.inr.ac.ru/x-bin/revtheme3.py?level=1&index1=284824&skip=0 arXiv Structure N=2 supersymmetric; Prepotential n=2; Picard-fuchs equation; N=2 supersymmetricyang-mills List of Review Articles: （略） 82 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/18(日) 12:13:53.13 ] ガロア拡大体の有名な定理に正規基の定理と云うのがあるが、 Q 上ガロア拡大の場合は、正規基は常に代数的整数で取れるのだろうか？ 83 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 14:11:00.99 ] >>82 うむ 仙石６０（前スレ671−672）かもしらんが、まあ良い おいらは、来るものは拒まず去る者は追わずで、特にこだわらない >ガロア拡大体の有名な定理に正規基の定理と云うのがあるが、 アルティンの第２章 14「正規底の存在」の定理33だな www.kishimo.com/math/Galois/p46.html na-inet.jp/weblog/archives/001482.html E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫 >Q 上ガロア拡大の場合は、正規基は常に代数的整数で取れるのだろうか？ Qが有理数体であることを確認しておく アルティン定理33によれば、”EをK（ここではQ）の正規拡大体とし、・・・σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)がK（ここではQ）に関して線形独立であるようなものが存在する。”とある 面白いことに、アルティン先生の本では、「基底」という用語に明確な説明が与えられていない（分かっているものとして話が進む（因みに”10.アーベル群とその応用”の”基底定理”とは基底のイメージするところが異なると思う）） まあ、常識では”σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)”たちを線形空間の基底と呼ぶことは当然ではあるが 正規＝正規拡大体に対すると、線形独立とを引っ掛けているんだろう 説明を簡単にするために、線形空間としてn次の直交空間として考えると、”σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)”はx(x1)軸、y(x2)軸、z(x3)軸・・・、(xn)軸の上の単位ベクトルに選ぶのが普通 単位ベクトル＝長さ１ しかし、”単位ベクトル＝長さ１”を考えるのは、本質ではなく適当な大きさのベクトルを考えても線形代数の理論の本質は変わらない。ただ、式に余計な係数が増えるだけなので、最初に単位ベクトルにしておくのが普通 （ここらは、工学の電磁気学を学ぶと、単位系をどう選ぶかという話につながる） で、「代数的整数」をどういうイメージで捉えているか不明だが、Eの中の線形独立要素として”σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)”たちがあるわけで、 これが、仮に”代数的有理数”としても、例えばσ1(θ)分母の最小公倍数を求めて、その最小公倍数を掛けてやって整数にしても線形独立の性質は損なわれない だから、答えはYesかな 84 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 14:50:46.21 ] >>83　補足 下記GREENBERG予想と正規整数底(群スキームの変形と整数論への応用)によれば、”整数環”では事情が違うと（当然でしょうが） www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/kokyuroku.html 京都大学数理解析研究所 - 講究録 Kokyuroku - www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/1996.html www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/942.html www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0942-9.pdf 9. GREENBERG予想と正規整数底(群スキームの変形と整数論への応用)--112 　　　　日本大学生産工学部　　　福田 隆 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/18(日) 15:58:27.16 ] やっと気づいたAKBの宣伝に税金が使われている件。そしてその税金は民主党にも流れている。 報道規制とあらゆるランキングの操作、CD等売上の捏造、サクラ動員の証拠画像等はこちら やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件　その120 hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1331752286/ AKBも韓流もワンピース（集英社）も同じ広告代理店の捏造人気　　 86 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 17:53:27.11 ] >>44 訂正 モース理論までいかなくとも、製図の正面図は平面図がある 　↓ モース理論までいかなくとも、製図の正面図や平面図がある >>39 だいぶ寄り道したが、本題へ 郡とはなにか？ ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。 群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。 概略 群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。 この集まりは X の対称性を表現していると考えられ、結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在などがなりたっている。 集合論にもとづき X が集合として実現されている場合には、自己同型として X からそれ自身への全単射写像を考えることになるが、空間や対象の持つ構造に応じてさらに付加条件を課すことが多い。 例えば、ベクトル空間 X に対してその自己同型写像の集まりを考えると群が得られる。 また、平面上に正三角形など何らかの対称性を持った図形が与えられているとき、平面全体の変換のうちでその図形を保つようなものだけを考えることによって、図形の対称性を表す群を取り出すことができる。 （つづく） 87 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 17:59:06.01 ] >>86 >だいぶ寄り道したが 寄り道が楽しいんだよね ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E6.9C.89.E9.99.90.E7.BE.A4.E3.81.AE.E6.A7.8B.E9.80.A0.E5.AE.9A.E7.90.86 つづき 歴史 群の概念が初めてはっきりと取り出されたのは、エヴァリスト・ガロアによる根の置換群を用いた代数方程式の研究だとされている。 16世紀中頃に、ジェロラモ・カルダーノ、ルドヴィコ・フェラーリらによって四次方程式まではべき根による解の公式が得られていたが、5 次以上の方程式に解の公式が存在するのかどうかはわかっていなかった。 その後18世紀後半になってラグランジュによって代数方程式の解法が根の置換と関係していることが見出された。（「ラグランジュの定理」にその名が残っているのはこのためである。） 19世紀に入り、ルフィニやニールス・アーベルによって五次以上の方程式にはべき根による解の公式が存在しないことが示された。 ガロアは、より一般に任意の代数方程式について根が方程式の係数から加減乗除や冪根の操作によって得られるかどうかという問題を、方程式のガロア群の可解性という性質に帰着した。 ガロアの研究に端を発する群を用いた代数方程式の理論は今ではガロア理論と呼ばれている。 ガロア理論によれば五次以上の代数方程式の非可解性は交代群が単純であることによって説明される。 このような有限単純群の分類は20世紀に大きく発展し、1980年代までにいくつかの系列と26の例外からなる有限単純群の同型類のリストアップが完成した。 88 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 18:10:39.71 ] >>87 英語版 en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics) In mathematics, a group is an algebraic structure consisting of a set together with an operation that combines any two of its elements to form a third element. To qualify as a group, the set and the operation must satisfy a few conditions called group axioms, namely closure, associativity, identity and invertibility. Many familiar mathematical structures such as number systems obey these axioms: for example, the integers endowed with the addition operation form a group. However, the abstract formalization of the group axioms, detached as it is from the concrete nature of any particular group and its operation, allows entities with highly diverse mathematical origins in abstract algebra and beyond to be handled in a flexible way, while retaining their essential structural aspects. The ubiquity of groups in numerous areas within and outside mathematics makes them a central organizing principle of contemporary mathematics.[1][2] Groups share a fundamental kinship with the notion of symmetry. A symmetry group encodes symmetry features of a geometrical object: it consists of the set of transformations that leave the object unchanged, and the operation of combining two such transformations by performing one after the other. Such symmetry groups, particularly the continuous Lie groups, play an important role in many academic disciplines. Matrix groups, for example, can be used to understand fundamental physical laws underlying special relativity and symmetry phenomena in molecular chemistry. The concept of a group arose from the study of polynomial equations, starting with Evariste Galois in the 1830s. After contributions from other fields such as number theory and geometry, the group notion was generalized and firmly established around 1870. Modern group theory?a very active mathematical discipline?studies groups in their own right.a[?] （略） 89 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 18:26:24.13 ] >>88 つづき なお”Main article: History of group theory en.wikipedia.org/wiki/History_of_group_theory”がまた面白いんだ en.wikipedia.org/wiki/Group_ History The original motivation for group theory was the quest for solutions of polynomial equations of degree higher than 4. The 19th-century French mathematician Evariste Galois, extending prior work of Paolo Ruffini and Joseph-Louis Lagrange, gave a criterion for the solvability of a particular polynomial equation in terms of the symmetry group of its roots (solutions). The elements of such a Galois group correspond to certain permutations of the roots. At first, Galois' ideas were rejected by his contemporaries, and published only posthumously. More general permutation groups were investigated in particular by Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) gives the first abstract definition of a finite group. Geometry was a second field in which groups were used systematically, especially symmetry groups as part of Felix Klein's 1872 Erlangen program. After novel geometries such as hyperbolic and projective geometry had emerged, Klein used group theory to organize them in a more coherent way. Further advancing these ideas, Sophus Lie founded the study of Lie groups in 1884. The third field contributing to group theory was number theory. Certain abelian group structures had been used implicitly in Carl Friedrich Gauss' number-theoretical work Disquisitiones Arithmeticae (1798), and more explicitly by Leopold Kronecker. In 1847, Ernst Kummer led early attempts to prove Fermat's Last Theorem to a climax by developing groups describing factorization into prime numbers. The convergence of these various sources into a uniform theory of groups started with Camille Jordan's Traite des substitutions et des equations algebriques (1870). 90 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 18:37:00.95 ] >>86 訂正 郡とはなにか？ 　↓ 群とはなにか？ さらに本題 ”ガロア理論とは何か？” 検索していると、こんなサイトが・・・・！　これはお薦めです！ d.hatena.ne.jp/rikunora/20090901/p1 ガロア理論のサイトオープン -20090901 （抜粋） * Ｇの夢 〜 解けない方程式の謎を解く >> galois.motion.ne.jp/ 目標は「高校生でもわかる 泥臭い群論入門」、ぜひ見て下さいね！ 今日の時点ではまだ前半だけですが、後半も近々アップ予定です。 91 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 18:47:43.21 ] >>90　つづき ”ガロア理論とは何か？” ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。 1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。 数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。 実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。 現代の代数学はこの理論から始まった。ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。 ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。 92 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 19:35:06.57 ] >>91 ”ガロア理論とは何か？”英語版 en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory In mathematics, more specifically in abstract algebra, Galois theory, named after Evariste Galois, provides a connection between field theory and group theory. Using Galois theory, certain problems in field theory can be reduced to group theory, which is in some sense simpler and better understood. Originally Galois used permutation groups to describe how the various roots of a given polynomial equation are related to each other. The modern approach to Galois theory, developed by Richard Dedekind, Leopold Kronecker and Emil Artin, among others, involves studying automorphisms of field extensions. Further abstraction of Galois theory is achieved by the theory of Galois connections. en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection Application to classical problems Galois theory not only provides a beautiful answer to this question, it also explains in detail why it is possible to solve equations of degree four or lower in the above manner, and why their solutions take the form that they do. Further, it gives a conceptually clear, and often practical, means of telling when some particular equation of higher degree can be solved in that manner. 93 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 19:45:09.30 ] >>92 つづき en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory History See also: Abstract algebra#Early group theory en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra#Early_group_theory Galois theory originated in the study of symmetric functions ? the coefficients of a monic polynomial are (up to sign) the elementary symmetric polynomials in the roots. For instance, (x ? a)(x ? b) = x2 ? (a + b)x + ab, where 1, a + b and ab are the elementary polynomials of degree 0, 1 and 2 in two variables. This was first formalized by the 16th century French mathematician Francois Viete, in Viete's formulas, for the case of positive real roots. In the opinion of the 18th century British mathematician Charles Hutton,[1] the expression of coefficients of a polynomial in terms of the roots (not only for positive roots) was first understood by the 17th century French mathematician Albert Girard; Hutton writes: ...[Girard was] the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products. He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation. In this vein, the discriminant is a symmetric function in the roots which reflects properties of the roots ? it is zero if and only if the polynomial has a multiple root, and for quadratic and cubic polynomials it is positive if and only if all roots are real and distinct, and negative if and only if there is a pair of distinct complex conjugate roots. See Discriminant: nature of the roots for details. （以下略） 94 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/18(日) 20:13:01.10 ] 　　　　　_______　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_＿ 　　　　／／￣~`i ゝ　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 `l | 　　　 / /　　　　　　　 ,______　　　,_____　　　　________　 | |　　____　TM 　　　|　|　　 　 ＿__　//￣ヽヽ　//￣ヽヽ　（（￣）） 　 | |　//￣_>> 　　　＼ヽ、　　 ｜l　| |　 　 | |　| |　 　 | |　　``( (.　　.| |　| | ~~ 　　　 　 `､二===-'　 ` ===' '　　` ===' '　 //￣ヽヽ　|__ゝ ヽ二='' 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ヽヽ___//　　　日本 　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　＿＿ 　　　　　　　　　|街宣車の正体 　朝鮮人工作員　 　 　.|　|検索| 95 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 21:05:35.06 ] 英語ｇｏｏｇｌｅは無視か？ 英語弱そうだな、おっさん 英語ｇｏｏｇｌｅまで朝鮮だ街宣だと言われちゃ、ｇｏｏｇｌｅ本国が起こるだろうぜ 96 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 21:06:42.69 ] >>95 訂正 起こるだろうぜ 　↓ 怒るだろうぜ イカン馬鹿が感染ってきた 97 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/18(日) 21:29:54.00 ] >>1 が、意外と (元々) 馬鹿である事がやっと分かった。 98 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 21:58:49.28 ] >>97 心配するな。おっさんと同じ程度だよ、仙石 ”616 名前：仙石60サポータ[はい] 投稿日：2012/03/15(木) 01:29:32.39 寺田文行さんのつけた問題と解凍はすばらしい。 さすが心技ともにすぐれた先生方はすばらしい。 おかげでガロア理論の理解もかなり進んだ。”か？ logsoku.com/thread/kamome.2ch.net/math/1294901071/ 60才からの数学への理解 1 : 仙石６０: 2011/01/13(木) 15:44:31 　いまや　毎日が日曜日。 職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。 しかし数学は大學理科（非数学）れべるに止まっている。 ジャルゴンだけなら、数学用語もしっているが本質はしらん。 そこで数学勉強を始めようとおもう。 情報処理能力は若い奴に葉ソフトハードともにまけん。 よろしくご教示指導願いたい。 　遊民的暇つぶしなどと言わないでよろしくお願いする。 （引用おわり） 毎日が日曜日で、2011/01/13(木)から１年以上、”おかげでガロア理論の理解もかなり進んだ”？ わんこら式をやった方がいいぞ 99 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 22:00:16.14 ] （前スレ449より再録） ”正規部分群はどういう意味があるか”の著者がこんなことを書いているので紹介する wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1295.html Author:かずゆき 京都大学理学部を数学専攻で卒業 わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用) これを参考に効率ではなく『拘りを捨てて出来ることをやる』を常に念じて自分にあわせてやってください。 問題を見てすぐに解答、解説を読みます。 英語なら英語を読んですぐに対応する日本語を読みます。 最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。 1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ〜って感じで読むだけで超高速で終わらせます。 2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。 3,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 4,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 5,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 …こんな感じで7周ぐらいやってみてください。 これで、だんだん理解出来ていったり、処理が速くなったり、覚えられてきたら成功です。 拾えるものだけ拾うって言うのは ○こういう意味だから、こうなのか ○これとあれは似てる ○こういう計算になるから、こうなる ○語呂合わせ などです。 目安タイムは最初の1周目で 白チャートなら1例題10秒 シンプルな英単語帳の例文は1つ1秒 大学受験の数学の二次試験の過去問なら1問20〜40秒 数学の専門書なら1ページで10〜30秒 最初の周は意味わからないスピードにするのがポイントです(限界突破) 2周目からは、スピードを余り落とさないで意味を拾えるだけ拾っていきます。 ほんまに速すぎたり、めっちゃ難しいのは、何も拾えずに出来ないので注意して下さい。拾えるものを拾おうとしたり、計算を紙に書いて確認して結構時間かかっても大丈夫です。 繰り返すたびに整理していって、話を簡単にしていくようにします。 100 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 22:02:57.84 ] （前スレ611より再録） ジグソーパズルを知っているだろう 数学の本を読んでいると、次から次に定義・定理が出てくる ジグソーパズルの一つのピースみたいなもの 早く全体像を掴んで、その一つのピースが全体のどこにはまるのかを考えないと ジグソーパズルの各ピースを見ていても理解は進まない だが、各ピースを見ないと、全体像が理解できない。数学の本を読むのはなかなか大変だ（一部の天才は別として） わんこら式>>449というのも一理ある 前の方で分からないところが出てくる。だが、最後まで読むと、後ろの方で関連したところが出てきて、「ああ、そうか」と分かる場合がある 早く最後まで読んで、また前から読むべし。全体像を掴みながら これが良いのでは・・ 101 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 22:16:58.59 ] >>97 仙石のおっさんな、岩波の数学辞典を知っているか？ 下記に情報があるけどね www.iwanami.co.jp/moreinfo/0803090/top.html 岩波 数学辞典 第 4版 おいらは、第3版を買ってね。お世話になった おっさんは見たことないんだろうな googleを馬鹿にしているが、岩波の数学辞典を利用するのとなんら変わらない というか、英語のgoogleの情報量は圧倒的だよ。岩波＜日本語google＜英語google という感じかな 最近、アルティンって、初心者には意外にむつかしいかも知らんと思うようになった 102 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/18(日) 22:21:24.49 ] 正規底とか説明なしにポンと出てくる>>83　岩波でも手元に置いて読まないと、基礎知識がないとつらいだろう （前スレ609より再録） アルティン「ガロア理論入門」をあらためて眺めていたんだが これ、群論の知識を前提として、群論部分はほとんど記述がないね・・ アルティン氏による”まえがき”に 「その初版のドイツ語訳の提案を受けたときに、私はついでに現代代数学の理論への入門をつけ加えるのが良いのではないかとも考えた。」 　しかし、熟慮ののち、私は当初の方針を堅持し、前と同様の読者層を対象とすることを決意した。 　今日世の中に現代代数学の基礎理論を与える教科書は十分なほどに用意されているからである。」と書かれている 前と同様の読者層＝ノートルダム大学の夏期学校で行った講義 だと ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%A0%E5%A4%A7%E5%AD%A6 ノートルダム大学（University of Notre Dame）は、アメリカ合衆国、インディアナ州サウスベンド近郊にあるカトリック教会創設の名門私立大学。 1842年エドワード・ソリンによって創設された。現地では英語式に、「ノーターデイム」と発音する。エモリー大学などとともにヒドゥン・アイビー（Hidden Ivies）に数えられる。 （引用おわり） ご存知米国は９月入学。とすれば、夏期学校の対象は、最低１年の大学教育は終えた者 おそらくは、数学科だろう なお、「ガロア理論入門」のドイツ語の題は入門はついていないのだった とすれば、群論は履修済みとして、そこは飛ばして夏期学校の短い時間で担当直入に「ガロア理論」を展開した本だと ”入門”というより、”概括”とでも言った方がいいかも知れない 骨太にガロア理論のエッセンスを、数学科で最低１年の大学教育は終えた者に教えるのだと 索引に群論関係の用語がほとんどないこともうなづける 索引はおそらく原書のままで、ページだけを調整したのだろう P37の節の見出しになっている「群指標」さえ索引にはない。巡回群もない。本文には、群の定義は与えられていない＝知っているのが前提だと アルティンは、そういう本なのだと思って読むことだね（＝”まえがき”にある「現代代数学の基礎理論を与える教科書」を併読すべきだと） 103 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/18(日) 22:26:08.21 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 104 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/18(日) 22:27:03.55 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn−ズの証明という流れもある ギョウエーテさんも学識が深いですね。 118 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 06:45:34.77 ] >>115 >　仙石は数学をはじめて一年以上たっているんだよ >もう修士レベルは終わっているんじゃないのかな？ そう期待したいが しかし、仙石の数学的アウトプットを見たことがないので、一年以上たっているけど進んでいないような気がする 自学自習の限界というか、現代数学は用語や記法がむつかしい。ガロアの時代とは違う。ガロアの時代は式の計算が中心だったから アルティンは、用語や記法がある程度分かっている前提で書いているようだ。夏期学校という短期の講義録という制約からだろうが 線形代数の習熟と群論の基礎が前提とされていると思う 119 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 06:54:53.86 ] >>116 ＞相手に合わせているだけさ、おれはおれ スキンという言葉を聞いたことがあるか？（下記） 無意味なトートロジーではない スキンを多少相手に合わせている。だが、本体は急には変わらない it-words.jp/w/E382B9E382ADE383B3.html スキンとはアプリケーションソフトウェアなどでユーザインタフェースの外観表示を変更できる機能をいう。（IT用語辞典 | 日立ソリューションズ） 120 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 07:10:58.95 ] >>117 乙です リーチ格子→散在単純群→モンスター群は、昔から鈴木道夫氏が群論などに書いていた ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャ−ズの証明は、ボーチャ−ズがフィールズ賞を貰ったときに話題になった ゴレイ符号→リーチ格子は、最近読んだ本にあって、ゴレイ符号についてはネット検索で情報を得た ギョウエーテさんね。ネット検索すると似たような名乗りがあるけど（下記ご参照）、もし特定の人を指すなら人違いだろう ギョウエーテと名乗ったことも呼ばれたことも無かったから ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%86 ゲーテ (Goethe) のドイツ語での発音は日本人には難しいこともあり、日本語表記は、古くは「ギョエテ」「ゲョエテ」「ギョーツ」「グーテ」「ゲエテ」など数十種類にものぼる表記が存在した。 このことを諷して斎藤緑雨は「ギョエテとは俺のことかとゲーテ言い」という川柳を詠んだ（矢崎源九郎『日本の外来語』参照）。 121 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 07:22:27.06 ] >>101 >というか、英語のgoogleの情報量は圧倒的だよ。岩波＜日本語google＜英語google という感じかな 補足 大体、まずwikipediaを見るようにしている。google検索のトップに来ることが多いし 次に英語のwikipedia。下記テクニックは>>81で紹介した で、論文のPDFが落ちていたりすると拾う 岩波の数学辞典は以前の版を持っていて、昔はお世話になりました。あれ後ろに公式集みたいなのがついていて便利なんだ ”英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる”>>81 122 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 09:00:57.92 ] >>110 シローの定理というのが出てくる 四郎さん、アーベルと同じノルウエー人で高校の教師だった、1862年30歳のときに大学で講義”explained Abel's and Galois's work on algebraic equations”をしている。 そのときに、シローの定理に関する問題意識をもったようだ 1872年40歳のときにシローの定理の論文を発表したが、これが大ヒットだったんだ en.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow Peter Ludwig Mejdell Sylow (12 December 1832 ? 7 September 1918) was a Norwegian Sylow was a high school teacher in Halden, Norway, from 1858 to 1898, It was then that he posed the question that led to his theorems regarding Sylow subgroups. Sylow published the Sylow theorems in 1872, and subsequently devoted eight years of his life, with Sophus Lie, to the project of editing the mathematical works of his countryman, Niels Henrik Abel. www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sylow.html In 1862 Sylow lectured at the University of Christiania, substituting for Broch. In his lectures Sylow explained Abel's and Galois's work on algebraic equations. A summary of these lectures is presented in [2]. It is worth noting that although he had not proved 'Sylow's theorems' at this time (he published them 10 years later) he did pose a question about them. Sylow's fame rests on one 10 page paper published in 1872. In this paper Theoremes sur les groupes de substitutions which Sylow published in Mathematische Annalen Volume 5 (pages 584 to 594) appear the three Sylow theorems. Cauchy had already proved that a group whose order is divisible by a prime p has an element of order p. Sylow proved what is perhaps the most profound result in the theory of finite groups. If pn is the largest power of the prime p to divide the order of a group G then G has subgroups of order pn, G has 1 + kp such subgroups, any two such subgroups are conjugate. Almost all work on finite groups uses Sylow's theorems. 123 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 09:05:55.01 ] >>90 更に引用する d.hatena.ne.jp/rikunora/20090901/p1 （抜粋） 「なぜ、五次方程式は代数的に解くことができないのか？」 この問題意識から、ガロア理論は生まれました。 簡単に言います。 「５次方程式には５つの解がある。 　その５つの解を違いに入れ替える方法は 5! = 120通り。 　この１２０通りの入れ替え方法を、形として表現すると正２０面体となる。 　より正確には、１２０通りを半分にした６０通りの入れ替え方法が、 　“正２０面体を回転して自身に重ね合わせる方法”に対応付けられる。 　（正１２面体に対応付けることもできる。） 　ところで、実際に正２０面体を動かしてみればわかるのだが、 　正２０面体の回転操作を分解して、より簡単な図形に還元することができない。 　これは、方程式で言うと、５次方程式をより簡単な式に分解して還元できないことを意味する。 　なので、五次方程式は解けない。」 なんのこっちゃ？ 何故に、正２０面体？ そう思った人は、ぜひ上のサイトへ。　→ galois.motion.ne.jp/ 124 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 10:08:19.62 ] >>123 >「なぜ、五次方程式は代数的に解くことができないのか？」 >この問題意識から、ガロア理論は生まれました。 ラグランジュが根の置換と有理式で表される性質との関係を証明した（ラグランジュの定理） （前スレ317より） homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf 方程式論の歴史（平成１４年） これの定理3-3だな （引用おわり） そしてラグランジュは、ラグランジュの分解式でべき根による解法を研究した（ラグランジュの分解式は、上記方程式論の歴史（平成１４年）のP8参照） 簡単化していうと、べき根による解法というのは結局巡回群に帰着される 巡回群というのは、ぐるぐる回るってことで、この話は>>110の”群論は輪っかの理論”を見てください べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある　と 125 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 10:22:20.86 ] >>124 もう少し、「なぜ、五次方程式は代数的に解くことができないのか？」について、分かりやすい例えばなしを そこで、”複雑な対象は一つの切り口だけでなく、複数の切り口を使うべし>>44”と 一つの切り口が、 ”正２０面体の回転操作を分解して、より簡単な図形に還元することができない。 　これは、方程式で言うと、５次方程式をより簡単な式に分解して還元できないことを意味する。 　なので、五次方程式は解けない。”>>123だと これはトップダウンアプローチ （因みに、トップダウンアプローチ、ボトムアップアプローチはよく言われるが、意識して自由自在に使い分けることをお薦めする。一般には両方をミックスして使う場合が多いので（下記は一例）） www.atmarkit.co.jp/im/cpm/serial/standard03/standard03.html トップダウンかボトムアップか　瀬谷 茂　2006/10/20 （引用おわり） ”べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある”>>124 は、ボトムアップアプローチ 126 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 11:00:23.74 ] >>125　つづき あと、アナロジーという考えがある ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E6%8E%A8 類推（るいすい）は類比（るいひ）、アナロジー（Analogy）ともいい、特定の事物に基づく情報を、他の特定の事物へ、それらの間の何らかの類似に基づいて適用する認知過程である。 ドイツ語のAnalogieはギリシャ語の?ναλογ?αからの外来語だが、そのギリシャ語での意味は「反ロゴス」である。 類推は、問題解決、意思決定、記憶、説明（メタファーなどの修辞技法）、科学理論の形成、芸術家の創意創造作業などにおいて非常に重要な過程であるが、論理的誤謬を含む場合が高く、論証力としては弱い論理である。 (科学的な新概念の形成過程は、チャールズ・パースによるアブダクション理論として区別される場合が多い) 異なる事象に対し類推することで、共通性を見出す言語的作業が比喩である。 言語学では、言語自体に対する類推が言語の変化の大きな要因とされる。 （引用おわり） ”べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある”>>124ということを 平面多角形の周囲と内部の対角線の複雑さに例えると 対角線は、下記のサイトの図のようになる yosshy.sansu.org/taikakusen.htm 方程式の次数に対応するように、１次方程式には１点のみの図形、２次方程式には２点からなる図形（線分）を、多角形に含める（３次は当然３点からなる三角形） そうすると、１次、２次、３次までは対角線がない。だから、（対角線に関係しない）巡回群のみで話が済む ４次方程式は、四角形が対応するが、対角線はただ２本だけ。なので、これはまだ巡回群の範囲で扱える*) だが、５次方程式は、五角形が対応するが、上記のサイトの対角線の図で、この対角線に従う根の置換までを表現する必要が出てくる で、巡回群は上記のサイトの図で、対角線での置換を除く、周囲の根の配置はそのままで、ぐるぐる回る関係を表現するもの とすると、五角形になると複雑になって対角線に従う根の置換は、巡回置換（＝巡回群）の範囲で収まらない→だからべき根の範囲に収まらない→べき根では解けない と *)鏡像変換（＝３次元空間に持ち上げて180℃反転する）で扱える。鏡像変換は、C2（２次の巡回群）と同型だと 127 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 11:43:26.55 ] >>126　つづき （先に言っておくが、今日は仕事が休みでね） 鏡映変換は下記ご参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%8F%A1%E6%98%A0%E6%93%8D%E4%BD%9C で、別の切り口 組成列と単純群、可解群という見方がある hooktail.sub.jp/algebra/GroupSeries/ ガロア理論の基本定理 hooktail.sub.jp/algebra/GaloisFundamentalTheorem/ ガロア群と可解群 hooktail.sub.jp/algebra/Radicals/ 可解群について補足 hooktail.sub.jp/algebra/SolvableGroupsApp/ ガロア理論の基本定理を認めてしまうと 方程式がべき根で解ける→方程式のガロア群が可解→５次方程式のガロア群は５次対称群で正規部分群は５次交代群のみ→５次交代群は単純群（位数は60）で非可解。（巡回群では表現できないからべき根では解けないと） 128 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 11:53:05.20 ] >>127 >方程式がべき根で解ける→方程式のガロア群が可解→５次方程式のガロア群は５次対称群で正規部分群は５次交代群のみ→５次交代群は単純群（位数は60）で非可解。（巡回群では表現できないからべき根では解けないと） これは、トップダウンアプローチで、５次交代群S5から降りてくると、５次交代群A5までしか降りられないと ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4 ボトムアップアプローチは、単位群から出発して、べき根で解ける群はどんなものかを考えるアプローチ これが、ガロアの第一論文の最後の定理になっている （前スレ575より再録） 因みに、守屋>>3のガロア論文の本文第VII節P39で 「この[群（G）の直前の]群について、前の群についてと同様に論ぜられるであろう。 その結果、[群の]分解の順序で第一の群、すなわち方程式の実際の群は xk, xak+b という形の置換だけを含むことができることになる。」 と、書かれているが、ここはちょっとおかしいだろう つまり、ガロアは>>554アルティン「補題　qを素数とし、Hをq個の文字の置換群とし、Hの正規部分群Nが線形であるとする。するとH自身も線形である」を明確に意識し、 ”線形群の正規拡大はまた線形になる”ので、結局べき根で解ける素数n次の既約方程式のガロア群は線形群だと主張していると思う とすれば、 「この（正規部分群列（方程式のガロア群=G0>G1>G2>・・・>Gs-1>Gs=1 by アルティン>>511 ））について、前の群（Gs-1 by アルティン＝群（G）の直前の群 by ガロア）についてと同様に論ぜられるであろう。 その結果、[群の]分解の順序で第一の群、すなわち方程式の実際の群は xk, xak+b という形の置換だけを含むことができることになる。」とされるべきだったろう。ガロアの原文が悪いのか、訳がどうなのか不明だが 129 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 12:33:15.10 ] >>128 つづき ガロアの第一論文の最後の定理>>4 （前スレ440より再録） 話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと >正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます． >この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります． >正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね． >まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります． >次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります． >P(12)〜5xA4=A5 P(12)〜5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５ だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！　これかなと まとめると、 ５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416 そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ 130 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 12:42:17.52 ] >>129 つづき ガロアは、５次（素数次）の方程式として、コーシーの論文を引用し、５次の巡回群が必要だというボトムアップアプローチを考える そうして、５次の巡回群のひとつ前の正規部分群が線形群になり、線形群を正規部分群を含む群は正規部分群になると展開する それが>>128-129 これで、ボトムアップアプローチから、５次のべき根で解ける方程式のガロア群は線形群（位数20）までで、位数60の交代群A5や位数120の対称群には届かない これば、ボトムアップアプローチからの一般５次方程式がべき根では解けないもう一つの説明だ 131 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 13:06:34.54 ] >>130 E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」>>83 で、定理46　素数次の既約方程式の群Gが可解のとき、その分解体はその方程式の相異なる任意の２根を添加するだけで得られる と述べたのち、 「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。”」 「系 実数だけからなる体内の奇素数次の既約多項式がべき根で解けるときは、その既約多項式は実根をただ一つもつか、すべての根が実根であるかのいずれかである」 「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」 だと。 これも、一般５次方程式が解けないという説明の一つの切り口 132 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 13:59:49.25 ] >>131 >「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」 >「系 実数だけからなる体内の奇素数次の既約多項式がべき根で解けるときは、その既約多項式は実根をただ一つもつか、すべての根が実根であるかのいずれかである」 >「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」 余談だが この系と例は、アルティンとは別の本んでも昔読んだ気がする（そのときは下記には気付かなかった） が、「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」 という部分で、１の原始根は拡大体に含まれているとして、ガロア理論を展開するのが普通。とすれば、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”で、１の原始根（虚数）は？と思うんだよね 結論は正しいと思うけど、理由付けがね。例えば、アルティンは定理41の証明の２．で「εを１の原始n乗根として」として証明を進めている そしてその結果を用いて、線形群を導き、定理46を導いている とすれば、”２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。”は違和感あり ３つの実根と２つの虚根の場合に、定理46に反するのは（１の原始n乗根は添加されている前提で）もう少し丁寧な議論を要するように思う 133 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/19(月) 16:04:39.57 ] >>113 >２ちゃんねる素人か？ 何かうまい方法でも有るのか？ 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/19(月) 16:04:49.19 ] 640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2] 『平清盛』プロデューサー反日朝鮮人　磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品 �@『監査法人 (2008)』反体制・反社会 �A『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会 �B『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会 日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1 韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員 テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮 あとはもうわかるよな 民主党は、朝鮮人だらけ。 野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は 135 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 17:52:30.11 ] >>133 >何かうまい方法でも有るのか？ いや、別に方法はないけど ”俺は仙石では無いが、荒らしのしすぎで目を付けられている。 そろそろ書く禁になるかもな。”のところがね 数学板みたく過疎っているところはどうか知らないが そう簡単にアク禁にはならないだろうと思う 現在のルールは熟知していないが、経験的にはアク禁は個人ではなく、発信元のプロバイダー込でアク禁になったと思う だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてアキコが出来ないという経験はなんどもあった 「発信元のプロバイダー込でアク禁」というのは、そうとう大変なことで周りを巻き込むから管理者側もよほどでないとやらない ”荒らしのしすぎ”というのがどの程度か知らないが、従来のアク禁のレベルから言えば、そうとうな労力をかけてやらないと アク禁になるのは、荒しより宣伝貼り付けが多いように思う（経験上） ２ちゃんねるでの商売（PR）は、オーナーの許可が必要だぞと ”荒し”かどうかは、なかなかムツカシイし、基本はその板やスレの住人に任されているから、「その程度は自分らで管理しろ」と思われる場合が多いだろうと と言って、荒しを奨励しているわけじゃない 「発信元のプロバイダー込でアク禁」というのは、その個人のIDをプロバイダーへ送り付けて、「こいつをなんとかしないと、あんたのところ全員２ちゃんねるアク禁だ」とやるわけで そいつは、発信元のプロバイダーから睨まれるってことになる。そうして、プロバイダーから「再発防止策を取りましたのでアク禁解除してください」という連絡があるまで、解除されないよと ”荒し”みたいな無益はことに労力使うなと それが結論だけど 136 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 17:55:19.65 ] >>135　訂正 だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてアキコが出来ないという経験はなんどもあった 　↓ だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてカキコが 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/19(月) 18:23:56.94 ] >>135 他人の荒らしやほかの板と比べてどの程度か分からないが、 150.19.10.122/error.html と云うメッセージが良く出る。 >”荒し”みたいな無益はことに労力使うなと 確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。 今月いっぱいで止めようとは思うが。 138 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 18:46:43.93 ] >>137 >150.19.10.122/error.html >と云うメッセージが良く出る。 うん、これはね、おいらも経験があるけど ”荒し”という内容に関する規制ではないよ ”連投禁止”みたいなものだ おそらく、ある短い時間の間に連続して投稿（記憶では８回かな）したので（あんたの場合は荒しかな） ちょっと頭を冷やしないさいみたいな で、それは”目を付けられて”ではなく、（コンピュータの）機械的な処理だと思う >確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。 >今月いっぱいで止めようとは思うが。 暇だね。まあ、止める権能はおいらにはないけど できれば、他所でやってくれると助かるね 139 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 19:48:10.49 ] >>137 >確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。 >今月いっぱいで止めようとは思うが。 一つ忠信から忠告するが つまらんことをしていると、リアルでそういう臭いというか影が出ることがある 人間が小さく影や隠し事のあるつまらない人間的魅力の無い人になってしまうような気がする やるなら、人のために汗をかくことをした方がいいよ そうすれば、人が磨かれ光る そちらがお薦めだよ 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/19(月) 20:13:20.92 ] >>139 忠告有り難う。 来週は理科大だから実質的には今週いっぱい。 それ以外にあったとしたら別人。 141 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 21:33:23.52 ] ああ、東京理科大か うちの会社にも去年一人 神楽坂の辺に展示場みたいなのが・・ もう大学の準備かね 頑張ってね 142 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:02:58.50 ] >>90 >”ガロア理論とは何か？” このページなかなか面白いし、レベル高い。参考になるよ blog.livedoor.jp/calc/archives/cat_50008692.html 学校では教えてくれない数学:ガロア理論 2010年09月16日 かわったガロア理論 143 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:10:54.02 ] >>90 これも面白い www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html 眠りから覚めた微分ガロア理論　梅村　浩　多元数理科学専攻教授　名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15 彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。 （１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。 （２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。 　方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。 　ガロア理論は上に述べた歴史的難問の解決に役立っただけではない。19世紀以降の数論、代数幾何学の発展はガロア理論なくして考えられない。たとえば300年を越える眠りから覚めたフェルマの最終定理の証明もそうである。 忘れ去られたアイデア 代数方程式とならんで大切なのが微分方程式*4である。科学の多くの問題が微分方程式記述できることからもその重要性が推察できよう。 代数方程式においてガロア理論が重要な役割をはたすのを見て、リー*5はガロア理論を微分方程式に対してもつくろうという着想をもった。微分方程式のガロア理論は微分ガロア理論とよばれている。つまり、リーは微分ガロア理論をつくろうと考えた。 ところがこれは難しい問題である。その理由は2つあって、1つは理論が本質的に無限次元*6であること（略） 有限次元の理論さえなかった当時、リーは有限次元の理論からつくり始めなければならなかった。リーのアイデアの実現は20世紀の初めまで盛んに試みられたが、問題が難しいこともあって放棄され、ついには忘れ去られてしまった。 私は1996年に、20世紀初頭に活躍したフランスの数学者ヴェッシオ*7の晩年の1つのアイデアを現代代数幾何学*8と結びつけることにより、新しい無限次元微分ガロア理論を提案した。 数年後海外で話題となった。現在はこの分野の研究に注目する数学者が増えてきた。無限次元微分ガロア理論は数十年の眠りから覚めて復活したのである。 1980年代からひそかにこの分野の重要性に注目して、研究をしていた私にとって、復活のための一翼を担うことができたのは、うれしいことである。 144 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:19:19.52 ] （前スレ368より再録） wind.ap.teacup.com/skreduhs/253.html ガロア理論　なぜこの方程式は解けないか？ （さくら教育研究所） ■ガロア理論への旅　その１ ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。 おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。 ところが、最近になって急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。 数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。 そして、わかってしまうと、結局は「2次方程式の解の公式」の中にすべての秘密が隠されていることに気がつかされるのである。（某大学の先生） ■ガロア、わが青春の砕けた夢 　いまでも数学というと陶然となる。もちろん高校までの受験数学や教養課程の数学ではない。今でも理解したくても出来ないのがガロア理論だ。 確かにガロアといえばその政治的人生と失恋、決闘による悲劇の最期の生涯ばかりが語られがちだ。これもやむを得ないことでガロア理論、現代数学の真のスタート、があまりに難解で読んでも聞いてもまず常人では理解不可能なしろものだからだ。 これは何もガロア理論に限らず近代から現代数学の諸天才になる数学理論の全てに妥当するがその象徴的、あらゆる意味で象徴的な存在がガロアである。 今はラインナップが整理されたようだが東京図書からは数多くの数学ジャンルの本が出版されていた。その中で「ガロア理論」を高三のとき購入し、読み始めたが余りの難しさに持っているだけの満足感を求めるしかなかった。 「ガロア、その真実の生涯」は数学自体は出てこないに等しいので誰にでも読める。だが、これでは何も理解したことにはならない。 カントールの「濃度の理論」の集合論は分かる。 だが抽象代数学は本当に難しい。 ガロアの群論からさらにリー群論となるとてんで一行も進まない。（某お医者さん） 145 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:33:18.50 ] は？ hiroyukikojimaの日記って、あの小島さん？ d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20110404/1301921889 思想としてのガロア理論 - hiroyukikojimaの日記　2011-04-04 ぼくに記事の依頼があったのは、昨年『天才ガロアの発想力』技術評論社というのを刊行したからだろう。今回の記事は、この本の最後の章に書いた「位相空間のガロア理論」を、もっと初歩から丁寧に論じた。 天才ガロアの発想力　?対称性と群が明かす方程式の秘密? (tanQブックス)作者: 小島寛之 (この本については、『天才ガロアの発想力』出ました！ - hiroyukikojimaの日記参照のこと) d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20100821 146 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:44:28.22 ] ”最後になってですが、筆者はこの解法を書き上げて、やっとガロア理論をなんとなく分かってきたかなという状況に成りました。”か みんな苦労しているんだ・・ note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n25948 ガロア理論　を勉強中の人の役に立ちたい！４次方程式からの入門　ライター：nijicameさん（最終更新日時:2012/1/28）投稿日：2012/1/27 ４次方程式の解法の紹介 関連資料（準同型、半直積等についての）　 　４次方程式の解法中で群論がどのように働いているか、群がどうのように変化しているかを行列で表現し工夫しました。 　読後、「５次対称群が可解群でないので５次方程式がこの解法の延長では解けそうもない」ことを感じ取って貰えれば、このノートの目的はひとまず達成しているかと思っています。 　最後になってですが、筆者はこの解法を書き上げて、やっとガロア理論をなんとなく分かってきたかなという状況に成りました。 147 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/20(火) 01:08:50.70 ] 攻撃開始 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/20(火) 05:41:46.87 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/20(火) 05:42:11.23 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:03:03.48 ] >>132 （前スレ415より再録） ガロアリゾルベントを体論の代用として使うメリットもある 例えば、ガロア論文の最後の定理 「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、（この方程式の）根の任意の二つがわかれば、他（の根）はそれから有利的に導かれることが必要十分である」と つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:09:57.96 ] （前スレ407より再録） 今日はこれ。>>315>>317倉田>>4§７より （ラグランジュの定理） 体ｋ上のｎ（＞１）次の多項式の根α１、・・・、αｎは重根を持たないとする。 α１、・・・、αｎのｋ上の有理式 β＝φ（α１、・・・、αｎ）、γ＝ψ（α１、・・・、αｎ）において βを不変にするすべての（α１、・・・、αｎ）の置換によって、γが不変ならば、 γはβのｋ上の有理式で表される。 証明は、 デデキント、ラグランジュの論法を使う βを不変にするSn（ｎ次対象群）の部分群をHとし、 Sn＝H＋σ1H＋・・・＋σk-1H とする。 β1＝σ1β、β2＝σ2β、・・・、βk-1＝σk-1β とおけば、 β、β1、β2、・・・、βk-1は、Snの置換によって生じる量の全部である。 γから同様にγ1＝σ1γ、γ2＝σ2γ、・・・、γk-1＝σk-1γを作る。 このとき、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1も、Snの置換によって生じる量の全部である。 但し、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1の中に等しいものはあり得る。 F(ｘ)＝（ｘ−β）（ｘ−β1）・・・（ｘ−βk-1） を作ると、根と係数の関係から、F(ｘ)はｋ上の式。 F(ｘ)（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））＝G(ｘ) を作ると、G(ｘ)もSnの置換によって不変だから、ｋ上の式。 これから、 γ＝G(β)／F’(β) 即ち、γはβのｋ上の有理式 F’( x )＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分) 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:13:56.65 ] （前スレ411より再録） 「１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28 　　だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ」 「３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）」 V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントで、>>407にならって、Snの置換によって生じる量の全部 V、V1、V2、・・・、Vk-1　（k=n!） で、元の方程式の一つの根aがa＝φ(V)という有理式で表されたとして、上記同様Snの置換によって生じる量の全部を考え φ(V)、φ(V)1、φ(V)2、・・・、φ(V)k-1　（k=n!） ここで、この中には同じ値のものが存在する。例えば、一般５次方程式なら根は５つ(例 a,b,c,d,e)であるから、異なる値は５で２４づつ同じ値が存在する。 F(ｘ)＝（ｘ−V）（ｘ−V1）・・・（ｘ−Vk-1）として F(ｘ)（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））＝G(ｘ) φ(V)＝G(V)／F’(V) F’(x)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分) で、分かりやすく一般５次方程式で根５つ a,b,c,d,eで考える。 １．ある置換σがあって、根aがbに置換されたとする そのとき、ガロアリゾルベントVの値が変わるがその式をVbと名づけよう Vb＝Ab＋・・・（後の・・・は根b以外の項） F(ｘ)（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））＝G(ｘ)　（k=5!） で、この式の両辺に置換σを施す この式全体は、ｋ上の有理式だから、左右両辺は全体としては変わらず等号は成り立つ ただ、（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））の並びが変わる φ(V)／（ｘ−V）は、φ(Vb)／（ｘ−Vb）に変わる φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb) ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb) つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb) 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:17:27.25 ] （つづき） ２．逆にある置換σでaが不変なら、上記の論法でφ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)は、aのまま ３．同じことが、aがc、ｄ、eに変わるときにも言える。つまり、ある置換σとそれに対応するガロアリゾルベントでのaの変化は完全に対応している ４．上記の論法（φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)）で、同じことは他の根（b,c,d,e）の全てに言えて、ある置換σにおける根の入れ替わりと、その置換に対応するガロアリゾルベントでの根の入れ替わりは同じ なので、>>325でしたように ”f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に） で、（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）がそれ” と、置換（α,β）（＝α,βの互換）を考えて、それをベースに素直に（ガロア論文にある根の有理式を経由しないで）ガロアリゾルベントで直接根の置換を考えて良いということになる そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ） ここは、前述>>361のように 倉田>>4は、P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）で扱っている >>409-412が証明になっているかどうか不明だが、分かりやすい説明にはなっているだろう 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:18:36.43 ] （前スレ414より再録） 補足 >ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb) >つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb) ここは、 φ(V)=aで、φ(V)／（ｘ−V）は、デデキント、ラグランジュの論法>>407のもともとの式の定義から、分母と分子は一つの置換で連動して動くことになっていたから>>409 分子aがbに置換されれば、分母のVの式中のaもbに置換されると そういう見方もできる >そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ） V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a,b,c,・・・）が対応し V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a',b',c',・・・）が対応し この順列と下記の置換が対応する （a,b,c,・・・） （a',b',c',・・・） （ここは、置換のコーシー記法で、上段と下段とを大きな括弧で括っていると見てください） V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベント 　↓ （a',b',c',・・・）順列 　↓ （a,b,c,・・・）置換 （a',b',c',・・・） という三点セットで、ガロアは置換群をガロアリゾルベントの集合として捉え、ガロアリゾルベントを体論の代用として使った これがガロアの見ていた原風景ではないだろうか 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:28:24.30 ] >>156 えーと、前スレより長々と引用したが 言いたいことは ”つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった”と そして、ガロアリゾルベントを使う論法で、係数A,B,C・・・は、最初の体（簡単のために有理体Qとする）としてよく、方程式論の拡大体（分解体）のように１の原始根（x^n=1 の虚根）は考える必要はない とすれば、>>132のアルティンの例ではガロアリゾルベントを使う論法の方が、１の原始根を考慮する必要がないだけ、議論は簡単になるだろうということ （>>132で指摘したように、アルティンは分解体を導く前、定理41の証明の２．で「εを１の原始n乗根として」として証明を進めている） 162 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/21(水) 23:17:25.76 ] >>161 アルティン>>83の例　>>131で定理46の系の下に記されている 「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」 について考える ３つの実根a,b,cと二つの虚根d,eを持つを持つとする 定理46は、「素数次の既約方程式の群Gが可解のとき、その分解体はその方程式の相異なる任意の２根を添加するだけで得られる」と だが、ガロア論文>>4の第VIII節の定理は 「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、[この方程式の]根の任意の２つがわかれば、他[の根]はそれから有理的に導かれることが必要十分である」と このガロア原論文の表現でよければ、分解体という用語を使わない方が、１の原始根を使わなくて簡単で良い ガロア原論文の表現でよければ、「実根を二つ選べば、虚根は有理的に導かれない」ともいえる 163 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/21(水) 23:19:13.49 ] すまん、コテ抜けた>>156-162 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 23:27:25.56 ] 割り込んですいません。かなりのボンクラですが、質問させてください。 長いので↓に書きました。迷惑だったらスルーヨロ！ blogs.yahoo.co.jp/waowao888car/4020261.html 165 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 06:48:18.18 ] >>164 乙です。面白い情報をありがとう 暗黒物質関連の数物連携宇宙研究機構というのは知らなかったが、面白そう www.ipmu.jp/ja ホームページ ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%89%A9%E9%80%A3%E6%90%BA%E5%AE%87%E5%AE%99%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%A9%9F%E6%A7%8B 数物連携宇宙研究機構（すうぶつれんけいうちゅうけんきゅうきこう、英称: Institute for the Physics and Mathematics of the Universe、略称: IPMU）は、 数学と物理学の連携により宇宙の最も根源たる謎（暗黒物質など）の解明に挑む、東京大学総長室直属の研究機関。 166 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 07:09:33.64 ] >>165　つづき ”「このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。」 と書いてますが、”は、下記だね www.ipmu.jp/ja/research-activities/research-program/particle-astrophysics 天体素粒子物理学 | IPMU-数物連携宇宙研究機構 （抜粋） 暗黒物質粒子の相互作用は重力以外わかっていないので、いろいろな可能性を調べなければならない。 IPMU研究者は可能性のありそうなもの、たとえば数論的暗黒物質、超対称性理論に現れるグラビティーノ、アクシオン、ステライルニュートリノ（相互作用をしないニュートリノの総称）、非対称でなおかつ崩壊するレプトンのような暗黒物質、などである。 数論的暗黒物質は中山、高橋、柳田によって提案されたエレガントで新しい可能性である。このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。 （このような理論はその名称と目的に示されるとおりの「物理学と数学」の研究所から生まれたことを付け加えておく） （引用おわり） その英語版が下記 www.ipmu.jp/research-activities/research-program/particle-astrophysics で、Number-theory dark matter が英語のキーワード（日本語で”数論的暗黒物質”で検索してほとんど意味ある情報はヒットしない） で、英語検索で下記ヒット arxiv.org/abs/1102.4688 Number-Theory Dark Matter Authors: Kazunori Nakayama, Fuminobu Takahashi, Tsutomu T. Yanagida (Submitted on 23 Feb 2011 (v1), last revised 21 Apr 2011 (this version, v2)) 167 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 07:14:26.95 ] >>166　つづき （アブストラクト） We propose that the stability of dark matter is ensured by a discrete subgroup of the U(1)B-L gauge symmetry, Z_2(B-L). We introduce a set of chiral fermions charged under the U(1)B-L in addition to the right-handed neutrinos, and require the anomaly-cancellation conditions associated with the U(1)B-L gauge symmetry. We find that the possible number of fermions and their charges are tightly constrained, and that non-trivial solutions appear when at least five additional chiral fermions are introduced. The Fermat theorem in the number theory plays an important role in this argument. Focusing on one of the solutions, we show that there is indeed a good candidate for dark matter, whose stability is guaranteed by Z_2(B-L). Comments: 12 pages, no figure. v2: references added Subjects: High Energy Physics - Phenomenology (hep-ph); Cosmology and Extragalactic Astrophysics (astro-ph.CO); High Energy Physics - Theory (hep-th) Journal reference: Physics Letters B 699 (2011) 360-363 DOI: 10.1016/j.physletb.2011.04.035 Report number: IPMU 11-0020, TU-878, KEK-TH 1440 Cite as: arXiv:1102.4688v2 [hep-ph] （引用おわり） フェルマー理論との関係： ”We find that the possible number of fermions and their charges are tightly constrained, and that non-trivial solutions appear when at least five additional chiral fermions are introduced. The Fermat theorem in the number theory plays an important role in this argument. Focusing on one of the solutions, we show that there is indeed a good candidate for dark matter, whose stability is guaranteed by Z_2(B-L). ” 168 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 07:24:20.53 ] あとは仕事から帰ってから 169 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/22(木) 07:30:21.34 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 170 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/22(木) 08:59:06.11 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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(4), by noting the famous Fermat theorem in the number theory [7].” ”[7] A. Wiles, Annals of Mathematics 141, 3, 443 (1995); R. Taylor and A. Wiles, Annals of Mathematics 141, 3, 553 (1995).” ところがだ。Eq. (4)というのがZ1^3+Z2^3+Z3^3=0って・・・、それWilesを引用する？？？ 173 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 21:56:57.33 ] >>172 Z1^3+Z2^3+Z3^3=0は、もともとオイラーさんが証明していたでしょうよ （因みに、オイラーさんも”おいら”と言っていたんだぜ、きっと） ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86 n = 3 ：オイラー オイラーは1753年にゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し、1770年に刊行した著書でそれを明らかにした。 ただし、この証明は虚数のレベルまで因数分解を行ったものであったが、虚数のレベルまで因数分解をすると様々な複素数の積に分解できてしまうという不備があったので、のちに補正された。 （引用おわり） まあ、軽い冗談なんだろうな 174 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 22:02:19.27 ] >>167 U(1)B-Lとか分からんだろうな（おいらも分からんかった） 下記ご参照 en.wikipedia.org/wiki/B%E2%88%92L In high energy physics, B ? L (pronounced "bee minus ell") is the difference between the baryon number (B) and the lepton number (L). DetailsThis quantum number is the charge of a global/gauge U(1) symmetry in some Grand Unified Theory models, called U(1)B ? L. Unlike baryon number alone or lepton number alone, this hypothetical symmetry would not be broken by chiral anomalies or gravitational anomalies, as long as this symmetry is global, which is why this symmetry is often invoked. If B ? L exists as a symmetry, it has to be spontaneously broken to give the neutrinos a nonzero mass if we assume the seesaw mechanism. The gauge bosons associated to this symmetry are commonly called X and Y bosons. The anomalies that would break baryon number conservation and lepton number conservation individually cancel in such a way that B ? L is always conserved. One hypothetical example is proton decay where a proton (B = 1; L = 0) would decay into a pion (B = 0, L = 0) and positron (B = 0; L = ?1). Weak hypercharge Y W is related to B ? L via: X + 2Y W = 5(B ? L) where X is the U(1) symmetry Grand Unified Theory-associated conserved quantum number. 175 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 22:06:46.54 ] >>174 つづき en.wikipedia.org/wiki/Left-right_model Left?right symmetry is a general principle in physics which holds that valid physical laws must not produce a different result for a motion that is left-handed than motion that is right-handed. The most common application is expressed as equal treatment of clockwise and counter-clockwise rotations from a fixed frame of reference. The general principle is often referred to by the name chiral symmetry. The rule is absolutely valid in the classical mechanics of Newton and Einstein, but results from quantum mechanical experiments show a difference in the behavior of left-chiral versus right-chiral subatomic particles. Particle PhysicsIn theoretical physics, the electroweak model breaks parity maximally. All its fermions are chiral Weyl fermions, which means that the weak gauge bosons only couple to left-handed quarks and leptons. Some theorists found this objectionable, and so proposed a GUT extension of the weak force which has new, high energy W' and Z' bosons which couple with right handed quarks and leptons. （この後が面白いが、数学記号が複雑なので省略する）

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