- 132 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 13:59:49.25 ]
- >>131
>「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」
>「系 実数だけからなる体内の奇素数次の既約多項式がべき根で解けるときは、その既約多項式は実根をただ一つもつか、すべての根が実根であるかのいずれかである」
>「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」
余談だが
この系と例は、アルティンとは別の本んでも昔読んだ気がする（そのときは下記には気付かなかった）
が、「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」
という部分で、１の原始根は拡大体に含まれているとして、ガロア理論を展開するのが普通。とすれば、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”で、１の原始根（虚数）は？と思うんだよね
結論は正しいと思うけど、理由付けがね。例えば、アルティンは定理41の証明の２．で「εを１の原始n乗根として」として証明を進めている
そしてその結果を用いて、線形群を導き、定理46を導いている
とすれば、”２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。”は違和感あり
３つの実根と２つの虚根の場合に、定理46に反するのは（１の原始n乗根は添加されている前提で）もう少し丁寧な議論を要するように思う
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