現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2

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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2

1 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2012/03/16(金) 22:04:35.83 ]: uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/　前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む >>1より

ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？

detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん質問日時： 2011/9/18

「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。

両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。

ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん回答日時：2011/9/21

ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。

が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。

ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。
129 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 12:33:15.10 ]: >>128
つづき
ガロアの第一論文の最後の定理>>4

（前スレ440より再録）
話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと

>正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
>この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
>正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
>まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
>次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
>P(12)～5xA4=A5

P(12)～5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５
だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！　これかなと

まとめると、
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと

これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う
で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ
130 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 12:42:17.52 ]: >>129
つづき

ガロアは、５次（素数次）の方程式として、コーシーの論文を引用し、５次の巡回群が必要だというボトムアップアプローチを考える
そうして、５次の巡回群のひとつ前の正規部分群が線形群になり、線形群を正規部分群を含む群は正規部分群になると展開する

それが>>128-129
これで、ボトムアップアプローチから、５次のべき根で解ける方程式のガロア群は線形群（位数20）までで、位数60の交代群A5や位数120の対称群には届かない

これば、ボトムアップアプローチからの一般５次方程式がべき根では解けないもう一つの説明だ
131 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 13:06:34.54 ]: >>130
E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」>>83
で、定理46　素数次の既約方程式の群Gが可解のとき、その分解体はその方程式の相異なる任意の２根を添加するだけで得られる

と述べたのち、
「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。”」
「系実数だけからなる体内の奇素数次の既約多項式がべき根で解けるときは、その既約多項式は実根をただ一つもつか、すべての根が実根であるかのいずれかである」
「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」
だと。

これも、一般５次方程式が解けないという説明の一つの切り口
132 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 13:59:49.25 ]: >>131
>「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」
>「系実数だけからなる体内の奇素数次の既約多項式がべき根で解けるときは、その既約多項式は実根をただ一つもつか、すべての根が実根であるかのいずれかである」
>「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」

余談だが
この系と例は、アルティンとは別の本んでも昔読んだ気がする（そのときは下記には気付かなかった）
が、「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」
という部分で、１の原始根は拡大体に含まれているとして、ガロア理論を展開するのが普通。とすれば、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”で、１の原始根（虚数）は？と思うんだよね

結論は正しいと思うけど、理由付けがね。例えば、アルティンは定理41の証明の２．で「εを１の原始n乗根として」として証明を進めている
そしてその結果を用いて、線形群を導き、定理46を導いている
とすれば、”２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。”は違和感あり

３つの実根と２つの虚根の場合に、定理46に反するのは（１の原始n乗根は添加されている前提で）もう少し丁寧な議論を要するように思う
133 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/19(月) 16:04:39.57 ]: >>113
>２ちゃんねる素人か？
何かうまい方法でも有るのか？
134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/19(月) 16:04:49.19 ]: 640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2]
『平清盛』プロデューサー反日朝鮮人　磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品

①『監査法人 (2008)』反体制・反社会

②『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会

③『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会

日本放送協会、、〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員

テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな
民主党は、朝鮮人だらけ。
野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は
135 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 17:52:30.11 ]: >>133
>何かうまい方法でも有るのか？

いや、別に方法はないけど

”俺は仙石では無いが、荒らしのしすぎで目を付けられている。
そろそろ書く禁になるかもな。”のところがね

数学板みたく過疎っているところはどうか知らないが
そう簡単にアク禁にはならないだろうと思う

現在のルールは熟知していないが、経験的にはアク禁は個人ではなく、発信元のプロバイダー込でアク禁になったと思う
だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてアキコが出来ないという経験はなんどもあった

「発信元のプロバイダー込でアク禁」というのは、そうとう大変なことで周りを巻き込むから管理者側もよほどでないとやらない
”荒らしのしすぎ”というのがどの程度か知らないが、従来のアク禁のレベルから言えば、そうとうな労力をかけてやらないと

アク禁になるのは、荒しより宣伝貼り付けが多いように思う（経験上）
２ちゃんねるでの商売（PR）は、オーナーの許可が必要だぞと

”荒し”かどうかは、なかなかムツカシイし、基本はその板やスレの住人に任されているから、「その程度は自分らで管理しろ」と思われる場合が多いだろうと
と言って、荒しを奨励しているわけじゃない

「発信元のプロバイダー込でアク禁」というのは、その個人のIDをプロバイダーへ送り付けて、「こいつをなんとかしないと、あんたのところ全員２ちゃんねるアク禁だ」とやるわけで
そいつは、発信元のプロバイダーから睨まれるってことになる。そうして、プロバイダーから「再発防止策を取りましたのでアク禁解除してください」という連絡があるまで、解除されないよと

”荒し”みたいな無益はことに労力使うなと
それが結論だけど
136 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 17:55:19.65 ]: >>135　訂正

だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてアキコが出来ないという経験はなんどもあった
　↓
だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてカキコが
137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/19(月) 18:23:56.94 ]: >>135
他人の荒らしやほかの板と比べてどの程度か分からないが、
150.19.10.122/error.html
と云うメッセージが良く出る。
>”荒し”みたいな無益はことに労力使うなと
確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。
今月いっぱいで止めようとは思うが。
138 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 18:46:43.93 ]: >>137
>150.19.10.122/error.html
>と云うメッセージが良く出る。

うん、これはね、おいらも経験があるけど
”荒し”という内容に関する規制ではないよ

”連投禁止”みたいなものだ
おそらく、ある短い時間の間に連続して投稿（記憶では８回かな）したので（あんたの場合は荒しかな）
ちょっと頭を冷やしないさいみたいな
で、それは”目を付けられて”ではなく、（コンピュータの）機械的な処理だと思う

>確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。
>今月いっぱいで止めようとは思うが。

暇だね。まあ、止める権能はおいらにはないけど
できれば、他所でやってくれると助かるね
139 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 19:48:10.49 ]: >>137
>確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。
>今月いっぱいで止めようとは思うが。

一つ忠信から忠告するが
つまらんことをしていると、リアルでそういう臭いというか影が出ることがある
人間が小さく影や隠し事のあるつまらない人間的魅力の無い人になってしまうような気がする

やるなら、人のために汗をかくことをした方がいいよ
そうすれば、人が磨かれ光る
そちらがお薦めだよ
140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/19(月) 20:13:20.92 ]: >>139
忠告有り難う。
来週は理科大だから実質的には今週いっぱい。
それ以外にあったとしたら別人。
141 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 21:33:23.52 ]: ああ、東京理科大か
うちの会社にも去年一人
神楽坂の辺に展示場みたいなのが・・
もう大学の準備かね
頑張ってね
142 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:02:58.50 ]: >>90
>”ガロア理論とは何か？”

このページなかなか面白いし、レベル高い。参考になるよ

blog.livedoor.jp/calc/archives/cat_50008692.html
学校では教えてくれない数学:ガロア理論

2010年09月16日
かわったガロア理論
143 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:10:54.02 ]: >>90
これも面白い

www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論　梅村　浩　多元数理科学専攻教授　名古屋大学理学部・理学研究科広報誌 No.10 p14_15

彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
　方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
　ガロア理論は上に述べた歴史的難問の解決に役立っただけではない。19世紀以降の数論、代数幾何学の発展はガロア理論なくして考えられない。たとえば300年を越える眠りから覚めたフェルマの最終定理の証明もそうである。

忘れ去られたアイデア

代数方程式とならんで大切なのが微分方程式*4である。科学の多くの問題が微分方程式記述できることからもその重要性が推察できよう。
代数方程式においてガロア理論が重要な役割をはたすのを見て、リー*5はガロア理論を微分方程式に対してもつくろうという着想をもった。微分方程式のガロア理論は微分ガロア理論とよばれている。つまり、リーは微分ガロア理論をつくろうと考えた。
ところがこれは難しい問題である。その理由は2つあって、1つは理論が本質的に無限次元*6であること（略）
有限次元の理論さえなかった当時、リーは有限次元の理論からつくり始めなければならなかった。リーのアイデアの実現は20世紀の初めまで盛んに試みられたが、問題が難しいこともあって放棄され、ついには忘れ去られてしまった。
私は1996年に、20世紀初頭に活躍したフランスの数学者ヴェッシオ*7の晩年の1つのアイデアを現代代数幾何学*8と結びつけることにより、新しい無限次元微分ガロア理論を提案した。
数年後海外で話題となった。現在はこの分野の研究に注目する数学者が増えてきた。無限次元微分ガロア理論は数十年の眠りから覚めて復活したのである。
1980年代からひそかにこの分野の重要性に注目して、研究をしていた私にとって、復活のための一翼を担うことができたのは、うれしいことである。
144 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:19:19.52 ]: （前スレ368より再録）
wind.ap.teacup.com/skreduhs/253.html
ガロア理論　なぜこの方程式は解けないか？（さくら教育研究所）

■ガロア理論への旅　その１
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。

ところが、最近になって急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。

そして、わかってしまうと、結局は「2次方程式の解の公式」の中にすべての秘密が隠されていることに気がつかされるのである。（某大学の先生）

■ガロア、わが青春の砕けた夢

　いまでも数学というと陶然となる。もちろん高校までの受験数学や教養課程の数学ではない。今でも理解したくても出来ないのがガロア理論だ。
確かにガロアといえばその政治的人生と失恋、決闘による悲劇の最期の生涯ばかりが語られがちだ。これもやむを得ないことでガロア理論、現代数学の真のスタート、があまりに難解で読んでも聞いてもまず常人では理解不可能なしろものだからだ。

これは何もガロア理論に限らず近代から現代数学の諸天才になる数学理論の全てに妥当するがその象徴的、あらゆる意味で象徴的な存在がガロアである。
今はラインナップが整理されたようだが東京図書からは数多くの数学ジャンルの本が出版されていた。その中で「ガロア理論」を高三のとき購入し、読み始めたが余りの難しさに持っているだけの満足感を求めるしかなかった。

「ガロア、その真実の生涯」は数学自体は出てこないに等しいので誰にでも読める。だが、これでは何も理解したことにはならない。
カントールの「濃度の理論」の集合論は分かる。

だが抽象代数学は本当に難しい。
ガロアの群論からさらにリー群論となるとてんで一行も進まない。（某お医者さん）
145 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:33:18.50 ]: は？ hiroyukikojimaの日記って、あの小島さん？

d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20110404/1301921889
思想としてのガロア理論 - hiroyukikojimaの日記　2011-04-04

ぼくに記事の依頼があったのは、昨年『天才ガロアの発想力』技術評論社というのを刊行したからだろう。今回の記事は、この本の最後の章に書いた「位相空間のガロア理論」を、もっと初歩から丁寧に論じた。

天才ガロアの発想力　?対称性と群が明かす方程式の秘密? (tanQブックス)作者: 小島寛之
(この本については、『天才ガロアの発想力』出ました！ - hiroyukikojimaの日記参照のこと)
d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20100821
146 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/19(月) 23:44:28.22 ]: ”最後になってですが、筆者はこの解法を書き上げて、やっとガロア理論をなんとなく分かってきたかなという状況に成りました。”か
みんな苦労しているんだ・・

note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n25948
ガロア理論　を勉強中の人の役に立ちたい！４次方程式からの入門　ライター：nijicameさん（最終更新日時:2012/1/28）投稿日：2012/1/27

４次方程式の解法の紹介

関連資料（準同型、半直積等についての）　

　４次方程式の解法中で群論がどのように働いているか、群がどうのように変化しているかを行列で表現し工夫しました。

　読後、「５次対称群が可解群でないので５次方程式がこの解法の延長では解けそうもない」ことを感じ取って貰えれば、このノートの目的はひとまず達成しているかと思っています。

　最後になってですが、筆者はこの解法を書き上げて、やっとガロア理論をなんとなく分かってきたかなという状況に成りました。
147 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/20(火) 01:08:50.70 ]: 攻撃開始
148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/20(火) 05:41:46.87 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:03:03.48 ]: >>132

（前スレ415より再録）
ガロアリゾルベントを体論の代用として使うメリットもある
例えば、ガロア論文の最後の定理
「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、（この方程式の）根の任意の二つがわかれば、他（の根）はそれから有利的に導かれることが必要十分である」と

つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は
V=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベントが、実は
V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった
157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:09:57.96 ]: （前スレ407より再録）
今日はこれ。>>315 >>317倉田>>4§７より
（ラグランジュの定理）
体ｋ上のｎ（＞１）次の多項式の根α１、・・・、αｎは重根を持たないとする。
α１、・・・、αｎのｋ上の有理式
β＝φ（α１、・・・、αｎ）、γ＝ψ（α１、・・・、αｎ）において
βを不変にするすべての（α１、・・・、αｎ）の置換によって、γが不変ならば、
γはβのｋ上の有理式で表される。

証明は、
デデキント、ラグランジュの論法を使う
βを不変にするSn（ｎ次対象群）の部分群をHとし、
Sn＝H＋σ1H＋・・・＋σk-1H
とする。
β1＝σ1β、β2＝σ2β、・・・、βk-1＝σk-1β とおけば、
β、β1、β2、・・・、βk-1は、Snの置換によって生じる量の全部である。
γから同様にγ1＝σ1γ、γ2＝σ2γ、・・・、γk-1＝σk-1γを作る。
このとき、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1も、Snの置換によって生じる量の全部である。
但し、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1の中に等しいものはあり得る。
F(ｘ)＝（ｘ－β）（ｘ－β1）・・・（ｘ－βk-1）
を作ると、根と係数の関係から、F(ｘ)はｋ上の式。
F(ｘ)（γ／（ｘ－β）＋γ1／（ｘ－β1）・・・＋γk-1／（ｘ－βk-1））＝G(ｘ)
を作ると、G(ｘ)もSnの置換によって不変だから、ｋ上の式。

これから、
γ＝G(β)／F’(β) 即ち、γはβのｋ上の有理式
F’( x )＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)
158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:13:56.65 ]: （前スレ411より再録）
「１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28
　　だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ」
「３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）」

V=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベントで、>>407にならって、Snの置換によって生じる量の全部
V、V1、V2、・・・、Vk-1　（k=n!）
で、元の方程式の一つの根aがa＝φ(V)という有理式で表されたとして、上記同様Snの置換によって生じる量の全部を考え
φ(V)、φ(V)1、φ(V)2、・・・、φ(V)k-1　（k=n!）
ここで、この中には同じ値のものが存在する。例えば、一般５次方程式なら根は５つ(例 a,b,c,d,e)であるから、異なる値は５で２４づつ同じ値が存在する。

F(ｘ)＝（ｘ－V）（ｘ－V1）・・・（ｘ－Vk-1）として
F(ｘ)（φ(V)／（ｘ－V）＋φ(V)1／（ｘ－V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ－Vk-1））＝G(ｘ)
φ(V)＝G(V)／F’(V)
F’(x)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)

で、分かりやすく一般５次方程式で根５つ a,b,c,d,eで考える。

１．ある置換σがあって、根aがbに置換されたとする
そのとき、ガロアリゾルベントVの値が変わるがその式をVbと名づけよう
Vb＝Ab＋・・・（後の・・・は根b以外の項）

F(ｘ)（φ(V)／（ｘ－V）＋φ(V)1／（ｘ－V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ－Vk-1））＝G(ｘ)　（k=5!）
で、この式の両辺に置換σを施す
この式全体は、ｋ上の有理式だから、左右両辺は全体としては変わらず等号は成り立つ
ただ、（φ(V)／（ｘ－V）＋φ(V)1／（ｘ－V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ－Vk-1））の並びが変わる

φ(V)／（ｘ－V）は、φ(Vb)／（ｘ－Vb）に変わる
φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:17:27.25 ]: （つづき）

２．逆にある置換σでaが不変なら、上記の論法でφ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)は、aのまま
３．同じことが、aがc、ｄ、eに変わるときにも言える。つまり、ある置換σとそれに対応するガロアリゾルベントでのaの変化は完全に対応している
４．上記の論法（φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)）で、同じことは他の根（b,c,d,e）の全てに言えて、ある置換σにおける根の入れ替わりと、その置換に対応するガロアリゾルベントでの根の入れ替わりは同じ

なので、>>325でしたように
”f(α,β,γ)=（α－β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る
Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に）
で、（ｘ－Ｖ１）（ｘ－Ｖ４）がそれ”

と、置換（α,β）（＝α,βの互換）を考えて、それをベースに素直に（ガロア論文にある根の有理式を経由しないで）ガロアリゾルベントで直接根の置換を考えて良いということになる
そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）

ここは、前述>>361のように
倉田>>4は、P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）で扱っている
>>409-412が証明になっているかどうか不明だが、分かりやすい説明にはなっているだろう
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:18:36.43 ]: （前スレ414より再録）
補足

>ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
>つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)

ここは、
φ(V)=aで、φ(V)／（ｘ－V）は、デデキント、ラグランジュの論法>>407のもともとの式の定義から、分母と分子は一つの置換で連動して動くことになっていたから>>409
分子aがbに置換されれば、分母のVの式中のaもbに置換されると
そういう見方もできる

>そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）

V=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベントには、順列（a,b,c,・・・）が対応し
V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ガロアリゾルベントには、順列（a',b',c',・・・）が対応し
この順列と下記の置換が対応する
（a,b,c,・・・）
（a',b',c',・・・）
（ここは、置換のコーシー記法で、上段と下段とを大きな括弧で括っていると見てください）

V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ガロアリゾルベント
　↓
（a',b',c',・・・）順列
　↓
（a,b,c,・・・）置換
（a',b',c',・・・）

という三点セットで、ガロアは置換群をガロアリゾルベントの集合として捉え、ガロアリゾルベントを体論の代用として使った
これがガロアの見ていた原風景ではないだろうか
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 21:28:24.30 ]: >>156
えーと、前スレより長々と引用したが
言いたいことは

”つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は
V=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベントが、実は
V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった”と

そして、ガロアリゾルベントを使う論法で、係数A,B,C・・・は、最初の体（簡単のために有理体Qとする）としてよく、方程式論の拡大体（分解体）のように１の原始根（x^n=1 の虚根）は考える必要はない
とすれば、>>132のアルティンの例ではガロアリゾルベントを使う論法の方が、１の原始根を考慮する必要がないだけ、議論は簡単になるだろうということ
（>>132で指摘したように、アルティンは分解体を導く前、定理41の証明の２．で「εを１の原始n乗根として」として証明を進めている）
162 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/21(水) 23:17:25.76 ]: >>161
アルティン>>83の例　>>131で定理46の系の下に記されている
「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」
について考える

３つの実根a,b,cと二つの虚根d,eを持つを持つとする
定理46は、「素数次の既約方程式の群Gが可解のとき、その分解体はその方程式の相異なる任意の２根を添加するだけで得られる」と

だが、ガロア論文>>4の第VIII節の定理は
「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、[この方程式の]根の任意の２つがわかれば、他[の根]はそれから有理的に導かれることが必要十分である」と

このガロア原論文の表現でよければ、分解体という用語を使わない方が、１の原始根を使わなくて簡単で良い
ガロア原論文の表現でよければ、「実根を二つ選べば、虚根は有理的に導かれない」ともいえる
163 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/21(水) 23:19:13.49 ]: すまん、コテ抜けた>>156-162
164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/21(水) 23:27:25.56 ]: 割り込んですいません。かなりのボンクラですが、質問させてください。
長いので↓に書きました。迷惑だったらスルーヨロ！
blogs.yahoo.co.jp/waowao888car/4020261.html
165 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 06:48:18.18 ]: >>164
乙です。面白い情報をありがとう

暗黒物質関連の数物連携宇宙研究機構というのは知らなかったが、面白そう
www.ipmu.jp/ja
ホームページ
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%89%A9%E9%80%A3%E6%90%BA%E5%AE%87%E5%AE%99%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%A9%9F%E6%A7%8B
数物連携宇宙研究機構（すうぶつれんけいうちゅうけんきゅうきこう、英称: Institute for the Physics and Mathematics of the Universe、略称: IPMU）は、
数学と物理学の連携により宇宙の最も根源たる謎（暗黒物質など）の解明に挑む、東京大学総長室直属の研究機関。
166 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 07:09:33.64 ]: >>165　つづき

”「このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。」と書いてますが、”は、下記だね
www.ipmu.jp/ja/research-activities/research-program/particle-astrophysics
天体素粒子物理学 | IPMU-数物連携宇宙研究機構
（抜粋）
暗黒物質粒子の相互作用は重力以外わかっていないので、いろいろな可能性を調べなければならない。
IPMU研究者は可能性のありそうなもの、たとえば数論的暗黒物質、超対称性理論に現れるグラビティーノ、アクシオン、ステライルニュートリノ（相互作用をしないニュートリノの総称）、非対称でなおかつ崩壊するレプトンのような暗黒物質、などである。

数論的暗黒物質は中山、高橋、柳田によって提案されたエレガントで新しい可能性である。このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。
（このような理論はその名称と目的に示されるとおりの「物理学と数学」の研究所から生まれたことを付け加えておく）
（引用おわり）
その英語版が下記
www.ipmu.jp/research-activities/research-program/particle-astrophysics
で、Number-theory dark matter が英語のキーワード（日本語で”数論的暗黒物質”で検索してほとんど意味ある情報はヒットしない）
で、英語検索で下記ヒット
arxiv.org/abs/1102.4688
Number-Theory Dark Matter
Authors: Kazunori Nakayama, Fuminobu Takahashi, Tsutomu T. Yanagida
(Submitted on 23 Feb 2011 (v1), last revised 21 Apr 2011 (this version, v2))
167 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 07:14:26.95 ]: >>166　つづき

（アブストラクト）
We propose that the stability of dark matter is ensured by a discrete subgroup of the U(1)B-L gauge symmetry, Z_2(B-L).
We introduce a set of chiral fermions charged under the U(1)B-L in addition to the right-handed neutrinos,
and require the anomaly-cancellation conditions associated with the U(1)B-L gauge symmetry.
We find that the possible number of fermions and their charges are tightly constrained,
and that non-trivial solutions appear when at least five additional chiral fermions are introduced.
The Fermat theorem in the number theory plays an important role in this argument.
Focusing on one of the solutions, we show that there is indeed a good candidate for dark matter, whose stability is guaranteed by Z_2(B-L).
Comments: 12 pages, no figure. v2: references added
Subjects: High Energy Physics - Phenomenology (hep-ph); Cosmology and Extragalactic Astrophysics (astro-ph.CO); High Energy Physics - Theory (hep-th)
Journal reference: Physics Letters B 699 (2011) 360-363
DOI: 10.1016/j.physletb.2011.04.035
Report number: IPMU 11-0020, TU-878, KEK-TH 1440
Cite as: arXiv:1102.4688v2 [hep-ph]
（引用おわり）

フェルマー理論との関係：
”We find that the possible number of fermions and their charges are tightly constrained,
and that non-trivial solutions appear when at least five additional chiral fermions are introduced.
The Fermat theorem in the number theory plays an important role in this argument.
Focusing on one of the solutions, we show that there is indeed a good candidate for dark matter, whose stability is guaranteed by Z_2(B-L). ”
168 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 07:24:20.53 ]: あとは仕事から帰ってから
169 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/22(木) 07:30:21.34 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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170 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/22(木) 08:59:06.11 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/22(木) 21:25:12.05 ]: 　　　　　_______　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_＿
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172 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 21:52:01.66 ]: >>166-168

論文のPDFが見つかった（下記）
www.citebase.org/abstract?id=oai%3AarXiv.org%3A1102.4688
で、本文を読むと、P9で
”Importantly, the Fermat theorem excludes the case of n = 3, which have forced us to consider n > 3.”と出てくる
P7で
”In the case of three new fermions (n = 3), we can easily see that there is no solution to Eq. (4), by noting the famous Fermat theorem in the number theory [7].”
”[7] A. Wiles, Annals of Mathematics 141, 3, 443 (1995); R. Taylor and A. Wiles, Annals of Mathematics 141, 3, 553 (1995).”

ところがだ。Eq. (4)というのがZ1^3+Z2^3+Z3^3=0って・・・、それWilesを引用する？？？
173 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 21:56:57.33 ]: >>172

Z1^3+Z2^3+Z3^3=0は、もともとオイラーさんが証明していたでしょうよ
（因みに、オイラーさんも”おいら”と言っていたんだぜ、きっと）
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
n = 3 ：オイラー
オイラーは1753年にゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し、1770年に刊行した著書でそれを明らかにした。
ただし、この証明は虚数のレベルまで因数分解を行ったものであったが、虚数のレベルまで因数分解をすると様々な複素数の積に分解できてしまうという不備があったので、のちに補正された。
（引用おわり）

まあ、軽い冗談なんだろうな
174 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 22:02:19.27 ]: >>167
U(1)B-Lとか分からんだろうな（おいらも分からんかった）

下記ご参照
en.wikipedia.org/wiki/B%E2%88%92L
In high energy physics, B ? L (pronounced "bee minus ell") is the difference between the baryon number (B) and the lepton number (L).

DetailsThis quantum number is the charge of a global/gauge U(1) symmetry in some Grand Unified Theory models, called U(1)B ? L.
Unlike baryon number alone or lepton number alone, this hypothetical symmetry would not be broken by chiral anomalies or gravitational anomalies,
as long as this symmetry is global, which is why this symmetry is often invoked.
If B ? L exists as a symmetry, it has to be spontaneously broken to give the neutrinos a nonzero mass if we assume the seesaw mechanism.
The gauge bosons associated to this symmetry are commonly called X and Y bosons.

The anomalies that would break baryon number conservation and lepton number conservation individually cancel in such a way that B ? L is always conserved.
One hypothetical example is proton decay where a proton (B = 1; L = 0) would decay into a pion (B = 0, L = 0) and positron (B = 0; L = ?1).

Weak hypercharge Y
W is related to B ? L via:

X + 2Y
W = 5(B ? L)
where X is the U(1) symmetry Grand Unified Theory-associated conserved quantum number.
175 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 22:06:46.54 ]: >>174 つづき

en.wikipedia.org/wiki/Left-right_model
Left?right symmetry is a general principle in physics which holds that valid physical laws must not produce a different result for a motion that is left-handed than motion that is right-handed.
The most common application is expressed as equal treatment of clockwise and counter-clockwise rotations from a fixed frame of reference.

The general principle is often referred to by the name chiral symmetry.
The rule is absolutely valid in the classical mechanics of Newton and Einstein, but results from quantum mechanical experiments show a difference in the behavior of left-chiral versus right-chiral subatomic particles.

Particle PhysicsIn theoretical physics, the electroweak model breaks parity maximally.
All its fermions are chiral Weyl fermions, which means that the weak gauge bosons only couple to left-handed quarks and leptons.
Some theorists found this objectionable, and so proposed a GUT extension of the weak force which has new, high energy W' and Z' bosons which couple with right handed quarks and leptons.
（この後が面白いが、数学記号が複雑なので省略する）
176 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 22:10:43.77 ]: >>175　つづき

en.wikipedia.org/wiki/Grand_Unified_Theory
A Grand Unified Theory, (GUT), is a candidate model in particle physics in which at high energy,
the three gauge interactions of the Standard Model which define the electromagnetic, weak,
and strong interactions, are merged into one single interaction characterized by one larger gauge symmetry and thus one unified coupling constant.
In contrast, the experimentally verified Standard Model of particle physics is based on three independent interactions, symmetries and coupling constants.

Models that do not unify all interactions using one simple Lie group as the gauge symmetry,
but do so using semisimple groups, can exhibit similar properties and are sometimes referred to as Grand Unified Theories as well.

Unifying gravity with the other three interactions would provide a theory of everything (TOE), rather than a GUT. Nevertheless, GUTs are often seen as an intermediate step towards a TOE.

As of 2012[update], all GUT models which aim to be completely realistic are quite complicated, even compared to the Standard Model, because they need to introduce additional fields and interactions, or even additional dimensions of space.
The main reason for this complexity lies in the difficulty of reproducing the observed fermion masses and mixing angles.
Due to this difficulty, and due to the lack of any observed effect of grand unification so far, there is no generally accepted GUT model.
（この後が面白いが、数学記号が複雑なので省略する）
177 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 22:24:38.00 ]: >>164
ブログ削除されたか？・・・
まあ良い

>>166
”このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。”って
ご冗談でしょうフェルマーさん・・だな
178 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 22:43:44.75 ]: >>162
本題に戻る

>３つの実根a,b,cと二つの虚根d,eを持つとする

分解体という用語を使わないガロア原論文の表現の方が、１のべき乗根を入れたくないときは、議論がシンプルだと思う
それから、３つの実根a,b,cと二つの（共役な）虚根d,eを持つ場合、ガロア群は線形群では収まらないということを直接導けるような気がする
（どうすれば良いか浮かんでいないが）
179 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/22(木) 22:58:09.37 ]: >>161
>V=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベント

なぜガロアはこんなものを考えたのか？を考えて見た
ガロアリゾルベントの前に、ラグランジュの分解式があった>>1

ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式
ガロアは、最初ラグランジュの分解式の係数を１の（虚数）累乗根という制約を外して、５次方程式の解法を考えたのではないだろうか？
だが、結局係数を１の（虚数）累乗根という制約を外しても、５次方程式は解けなかった
そこから、ガロア群へ発展したのでは・・
180 名前：164 mailto:sage [2012/03/22(木) 23:04:25.03 ]: >>1
レスどうもありがとう！
ってか何でブログ削除されてんだろ？
何かのカテゴリーに何時間か以内に入らないと消えるシステムになってんの？
それとも人のアドレスを勝手に貼ったからかなあ…気味悪
181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/22(木) 23:12:40.20 ]: >>179
違うよ
182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/23(金) 01:40:15.07 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/23(金) 01:51:32.58 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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184 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/23(金) 06:10:09.73 ]: >>180
ども

>ってか何でブログ削除されてんだろ？
>何かのカテゴリーに何時間か以内に入らないと消えるシステムになってんの？

おそらくルールは公開されていると思う
どこかに書いてあるんじゃないかな？
探して読んで見たらどうか
185 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/23(金) 06:21:43.09 ]: >>181
この書きっぷりは、その１で出てきたお方かな
どこが違うと？

ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式で、元の体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式で根の置換をすると一般５次方程式でも異なる１２０の値を持つ
とすると、ラグランジュの分解式はガロアリゾルベントの一種と考えることもできるだろう

とすれば、体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式を使ってもガロア論文と同じ論法は展開できるのでは？
とすれば、わざわざラグランジュの分解式を使わずガロアリゾルベントにする意味は？
　↓
ガロアは、最初ラグランジュの分解式の係数を１の（虚数）累乗根という制約を外して、５次方程式の解法を考えたのではないだろうか？と考えたのだが・・
186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/23(金) 06:21:50.72 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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187 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/23(金) 21:45:20.04 ]: 現代数学はガロアから始まった・・

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。現代の代数学はこの理論から始まった。
ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/23(金) 22:33:45.05 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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189 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/23(金) 23:28:15.78 ]: >>187
つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
歴史

ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。
その後、1846年になって、リューヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。
デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[1]。早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。
カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。
また、デデキントとウェーバーは1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[1]。

ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。
その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。
アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。
190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/23(金) 23:57:04.09 ]: 640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2]
『平清盛』プロデューサー在日朝鮮人　磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品

①『監査法人 (2008)』反体制・反社会

②『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会

③『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会

日本放送協会、、〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員

テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな
民主党は、朝鮮人だらけ。
野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は
191 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 09:41:43.35 ]: >>189

下記がなかなか面白い
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
外部リンク
フランス語の原文とドイツ語、イタリア語、英語の翻訳：
www.galois-group.net/

www.galois-group.net/g/EN/theory.html　というのがあって、”Prof. James Milne for allowing us to mirror his splendid course notes "Fields and Galois Theory". ”で
www.jmilne.org/math/ へ行くと
www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html Fields and Galois Theory - J.S. Milne Top から、v4.22 (March 30, 2011).が最新版
192 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 09:56:02.24 ]: >>191
J.S. Milneさんか、どこの大学かな？

www.jmilne.org/math/
Mathematics Site - J.S. Milne (since 1996)

What's New in Articles
?Nov 11, 2009. New version of Points on Shimura varieties over finite fields: the conjecture of Langlands and Rapoport 2008b

What's New in Course Notes
?March 7, 2012. Major revision of Affine group schemes, Lie algebras, reductive groups, ....
?September 16, 2011. Algebraic Number Theory and Group Theory now available for ereaders

What's New in Expository Notes
?March 18, 2012. The Work of John Tate For Abel prize volume.
?May 13, 2011. TeXed version of Tannakian Categories (with Deligne)

www.jmilne.org/math/CourseNotes/lec.html　Lectures on Etale Cohomology
193 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 10:07:43.89 ]: >>192

www.jmilne.org/　写真が綺麗

www.jmilne.org/math/tips.html
If you write clearly, then your readers may understand your mathematics and conclude that it isn't profound. Worse, a referee may find your errors. Here are some tips for avoiding these awful possibilities.
1.Never explain why you need all those weird conditions, or what they mean. For example, simply begin your paper with two pages of notations and conditions without explaining that they mean that the varieties you are considering have zero-dimensional
（面白い人だね）

大学がよくわからないが、時間がないのでここまで
194 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 10:17:47.08 ]: >>192
> www.jmilne.org/math/CourseNotes/lec.html　Lectures on Etale Cohomology

補足：上記を引用したのは、下記があったから
おーい、加藤和也！　名指しされているぞー！
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
現在エタール・コホモロジーについて書かれた体系的な日本語文献は出版されていない。岩波書店の現代数学の展開から出版予定であるが数年間延期されたままになっている。（執筆者は加藤和也）

・・と、シカゴ大学数学科教授か、日本語書いている時間がないかね？愛光出身か、四国の名門だね
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E8%97%A4%E5%92%8C%E4%B9%9F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
1970年 - 愛光高等学校卒業
2009年 - シカゴ大学数学科教授に就任

ja.wikipedia.org/wiki/%E6%84%9B%E5%85%89%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E3%83%BB%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1
ドミニコ会を設立母体とし、カトリック精神に基づいて「愛 (Amor) と光 (Lumen) の使徒」たる「世界的教養人」を育成することを目標としている。
開校以来、男子校であったが、創立50周年に当たる2002年度より共学化を実施。2005年2月には、初めての女子生徒を送り出した。
全国でも有数の進学校であり、全国各地から生徒を集め、学園構内にある寮には多くの生徒が寄宿している。
195 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 10:27:45.75 ]: >>194
>・・と、シカゴ大学数学科教授か、日本語書いている時間がないかね？

ビジネス的には、なにか仕掛けをつくらないと動かんよ
シカゴ大学で、講義する。そのテキストと講義録を元に、だれか日本にいる人がテキストを作る
加藤和也と共著にするか、加藤和也監修にするか
まあ、岩波も名門だけどのんびりしているからな・・

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97
1913年（大正2年）8月5日、岩波茂雄が東京市神田区南神保町16番地（現・東京都千代田区神田神保町）に開いた古書店として出発。正札販売方法を採用し、注目を集めた。
翌1914年（大正3年）に夏目漱石の『こゝろ』を刊行し、出版業にも進出。漱石没後に『夏目漱石全集』を刊行し、躍進する。看板は漱石の筆による。
多くの学術書を出版するだけでなく、岩波文庫や岩波新書を出版するなどして古典や学術研究の成果を社会に普及させることに貢献。文化の大衆化に多大な影響を与えた。昭和時代にはしばしば、大衆的な路線を貫く講談社と対比された。
戦前には、いわゆる共産主義講座派の拠点であった。
196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 10:32:41.02 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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197 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 16:56:31.76 ]: >>193
>大学がよくわからないが、時間がないのでここまで

どうもシカゴ大みたいだが
その前にこんなのが・・・

www.e-booksdirectory.com/mathematics.php
Free Mathematics Books

Here is an alphabetical list of online mathematics books, textbooks, monographs, lecture notes, and other mathematics related documents freely available on the web.
I tried to select only the works in book formats, "real" books that are mainly in PDF format, so many well-known html-based mathematics web pages and online tutorials are left out.
Click here if you prefer a categorized directory of mathematics books. The list is updated almost on a daily basis, so, if you want to bookmark this page, use the button in the upper right corner.

005. Lectures on Stochastic Processes
K. Ito | Tata Institute of Fundamental Research （伊藤清？）
Published in 1960, 207 pages
（新しそうなところで）
006. Theory of the Integral
Brian S. Thomson | ClassicalRealAnalysis.com
Published in 2012, 330 pages

010. Geometry and Group Theory
Christopher Pope | Texas A&M University
Published in 2008, 181 pages

013. Group Theory
J. S. Milne |
Published in 2009, 127 pages

014. Introduction to Topology
Alex Kuronya |
Published in 2010, 102 pages
198 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 17:04:02.03 ]: >>197
”J. S. Milne taught at the University of Michigan between 1986 and 1999”だと
いまは？と思うが、まあこの程度で

（このサイトもなかなか面白いよ）
mathforum.org/library/topics/fields/
The Math Forum - Math Library - Fields

All Sites - 8 items found, showing 1 to 8
２．Course Notes - J. S. Milne
Full course notes in dvi, pdf, and postscript formats for all the advanced courses J. S. Milne taught at the University of Michigan between 1986 and 1999:
Group Theory; Fields and Galois Theory; Algebraic Number Theory; Class Field Theory; Modular Functions ...more>>
199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 18:03:00.21 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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200 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 19:33:47.87 ]: >>185
補足

>ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式で、元の体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式で根の置換をすると一般５次方程式でも異なる１２０の値を持つ
>とすると、ラグランジュの分解式はガロアリゾルベントの一種と考えることもできるだろう

一つ確かに言えることは、V=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベント>>161は、ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式の一般化（拡張）になっている
現代のガロア理論を知る我々の目から見れば、体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式を使ってもガロア論文と同じ論法は展開できる

だが、ガロアの時代の人から見れば、ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式を使っても、そこに疑問を挟まれる余地がある（別の係数の式ではどうなる？と）
そこで、V=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベントで係数A、B、Cは任意だとして理論を展開すれば、ここに疑問を挟まれる余地がなくなるので、理論としてはすっきりする。そういうメリットはある

ただ、ガロアの思考としてはV=Aa+Bb+Cc+・・・ガロアリゾルベントでラグランジュの分解式以上の何かが出ないかと少しは考えたのではないだろうか
でも、何も出ないということは、ガロアにはすぐ分かったことと思う。そして、それをガロア理論の展開の基礎に据えたと
201 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 19:43:17.63 ]: >>20
さて、今日はこれ

（引用開始）
”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応

（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,

注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）”
（引用おわり）

「　V=Aa+Bb+Cc+・・・
　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる」>>19

普通の素直な発想は、V=Aa+Bb+Cc+・・で、根（a,b,c・・・）の置換（a',b',c'・・・） (aa',bb',cc'・・・)
202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 19:44:10.76 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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203 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/24(土) 20:07:39.28 ]: >>201　スマソ途中でカキコになった

つづき
普通の素直な発想は、V=Aa+Bb+Cc+・・で、根（a,b,c・・・）の置換（a',b',c'・・・） (説明：aをa',bをb',cをc'・・・に置換）するとして、単純にV'=Aa'+Bb'+Cc'+・・とすれば良いじゃないかと
それを複雑に、Vの有理式による根（a,b,c・・・）を考えて、a=φV,b=φ1V,・・・・,e=φm-1V, (注：５次方程式を想定して最後の根をeとしたが、当然さらなる高次の方程式も考えることができる)

（注：なお、>>4の守屋注釈にあるように、φV,φ1V,・・・・,φm-1VはVの有理式という意味で、現代ではφ(V),φ1(V),・・・・,φm-1(V)と書かれるべき）
と、Vの有理式を経由して、置換（a',b',c'・・・）とV'=Aa'+Bb'+Cc'+・・とを結びつけている

その理由はなんだ？
おそらく、部分群を考えるときや最後の定理>>161　”根の任意の二つがわかれば・・・”を意識しているのだろう

”（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,”
の形で、Vの有理式を経由して置換とガロアリゾルベントVとを結び付けておけば、（V）、（V'）、（V''）、・・・・、（V''*）の個数が即、置換の個数だということが分かる
つまり、普段一般の置換を考えるときは置換（a',b',c'・・・）→V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・という直感的な扱いで良いが、>>161のような場合に「実は方程式のガロア群は、Vの値がn(n-1)しか異なる値を取らない」というときに、ガロア群の位数＝n(n-1)が直ちに出る

そんなことで、Vの有理式を経由して置換とガロアリゾルベントVとを結び付けておくことで、理論展開が数学的にしっかりしてくると
ガロアは考えたのではないだろうか
204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 20:10:33.47 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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205 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 00:10:38.07 ]: >>203
つづき

>そんなことで、Vの有理式を経由して置換とガロアリゾルベントVとを結び付けておくことで、理論展開が数学的にしっかりしてくると
>ガロアは考えたのではないだろうか

補足
代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol著新妻　弘訳 ”付録：ガロアによる置換群の表現”>>39
P311にガロア論文>>4の部分訳がある

Tignolの訳は、守屋の訳とは少し異なっている
というか、Tignolを訳した新妻　弘の訳し方が違うのかも知れない

どちらが正しいかは判断できないが、守屋の訳もあまり分かりやすい文にはなっていないが
TignolのP311の「導入における基本的な考え方からの引用」は
P307の注釈で、「順列」と「代入」（＝置換の意味）とを用いるとしておきながら、「代入」と「置換」という用語を使っている。守屋の訳では、Tignolで「置換」のところが「順列」となっている。どうもここは守屋が正しいようだ
206 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 00:17:17.72 ]: >>205
補足

ガロア論文>>4のP32で、「注解２．　なお、置換は根の個数に無関係である。」と訳されていて、なんの解説もないがこれだけでは意味が通らない
一つの解釈は、５次方程式で、根は５つだが、ガロア群が長さ５の巡回置換（＝５次の２項方程式）の場合、置換群の位数は５だが、一般の５次方程式の位数は120で（最後に出てくる線形群は位数20）、置換群はいろいろケースで異なるということを言いたかったのかも
207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 06:41:47.64 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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208 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 08:27:59.93 ]: >>203
>普通の素直な発想は、V=Aa+Bb+Cc+・・で、根（a,b,c・・・）の置換（a',b',c'・・・） (説明：aをa',bをb',cをc'・・・に置換）するとして、単純にV'=Aa'+Bb'+Cc'+・・とすれば良いじゃないかと
>それを複雑に、Vの有理式による根（a,b,c・・・）を考えて、a=φV,b=φ1V,・・・・,e=φm-1V, (注：５次方程式を想定して最後の根をeとしたが、当然さらなる高次の方程式も考えることができる)
>その理由はなんだ？
>おそらく、部分群を考えるときや最後の定理>>161　”根の任意の二つがわかれば・・・”を意識しているのだろう

「置換（α,β）（＝α,βの互換）を考えて、それをベースに素直に（ガロア論文にある根の有理式を経由しないで）ガロアリゾルベントで直接根の置換を考えて良いということになる
そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）」
と、>>157-160で書いた

単に置換とガロアリゾルベントVとの対応だけなら、率直な発想で良い
だが、５次で巡回群（位数５）や線形群（位数20）を考えると、ガロアリゾルベントVの取る異なる値の数は減って、5個あるいは20個になる（一般の120個の式で同じ値を取るものが出てくる）
そういう視点で見ると、ガロアリゾルベントというのは方程式論だけで言えば、スグレものの発明だったと

もちろん、現代数学への発展という視点からは、群論と体論との組み合わせによるガロア理論が大事なんだが
こういう切り口もあるということを知っておくと
ガロア理論への理解も深まるだろう
209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 08:56:23.43 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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210 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 09:03:06.08 ]: 倉田令二朗がガロアを読む: 第1論文研究>>6の序論の「5.文献」で「[守屋]はは現代的理論による強引な解説という立場であって、・・・、しかしそれは徹底したもので、結局たいへんお世話になった」とある
同感だ。[守屋]の解説は、現代数学目線で、ガロアの論文を理解しようという視点は薄い。だから、[守屋]の解説を読んでも、原論文の意味がなかなか取れなかった

もしそうでないなら、倉田令二朗があとがき>>6で、「他の多くの人達と同様、私はなんとか古典を理解したい思いにかられ、過去何度も挑戦して挫折した経験がある。最近共同作業のおかげでようやくガロア第I論文し得て原稿化したが・・」と書くこともなかったろう
（前スレ633にも書いたが）（倉田令二朗にしてこれだから、普通の人は挫折して当然なのだろう>>1）

なお、ガロア第I論文を理解しようとするなら、守屋>>4に加えて倉田>>6とJean-Pierre Tignol>>39と、あと中村>>2を併読すべし
211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 09:05:46.72 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 09:11:50.22 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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213 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 09:21:25.55 ]: （前スレ398より再録）
Maximaを使っているこんなページもあった

www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/perm/glgrp.htm
Galois 理論の数値実験

最後に
多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。人間の抽象化能力は具体的事実とのペアで働きます。具体例を伴わない抽象化は無意味です。論理だけでは抜けが入り込むからです。
（引用おわり）

同じ人が、こんなページも
www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/perm/BasicThry.htm
Galois の基本定理の証明と sf による数値実験

で、sf というのが下記Python sfというソフト
www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/index.htm
python sf による群論：群電卓・・これもなかなか面白いね
www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/pysf/math/group/group.htm
python sf は、普段のメモ書き数式そのままを計算させてたくて作りました。その python sf は群論での数式にも使えます。
214 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 09:32:43.11 ]: 理科大の準備出来ているか？

>>39
>代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol著新妻　弘訳 A5，360頁，3200円

新妻　弘先生は、東京理科大だな。もし会ったらよろしくな。研究室に挨拶に行くと喜ぶと思うよ
m2server.ma.kagu.tus.ac.jp/math2/niitsuma/index.html
新妻研究室
jglobal.jst.go.jp/public/20090422/200901040603914678
J-GLOBAL - 新妻　弘【研究者】
215 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/25(日) 10:14:04.08 ]: >>213
>多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。
>人間の抽象化能力は具体的事実とのペアで働きます。
>具体例を伴わない抽象化は無意味です。
>論理だけでは抜けが入り込むからです。

これは2chの住人の大部分が賛成するだろ。
天邪鬼な俺はこのように大多数が賛成するときに逆に警戒する。
具体例というのは難しい場合が多いのだよ。
抽象化とは具体例の本質的でない難しさを取り除いて単純化することでもある。
だから一般に具体的なものより抽象的なもののほうが簡単。
例えば Gauss のDisquisitiones Arithmeticaeは非常に具体的であるが難解である。
216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 10:17:00.91 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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217 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 10:20:17.81 ]: （前スレ446より再録）
sugakujuku.blog109.fc2.com/blog-category-2.html
びっくり数学島日記

習うときはタンタンと
2011-09-26 Mon

しばらく前に仲間に言われたこと．

できあがった理論や，他人が研究で新しく編み出したテクニックを習得するときは，何てすごいアイディアなんだ！と驚嘆したり感動したりせず，
「フーン，そうやればいいのか．」と冷静に，当たり前のように受け止めたほうがよいらしい．
なぜなら，それをスゴイ理論だと思うほど，自分には難しくて使いこなせないのでは，という心理的な壁ができてしまうから．うーんなるほど，そうだなぁと思った．
（引用おわり）

１．使いこなす過程で理解を深める（理解して使うのではなく、使って理解する。（驚嘆したり感動したりはそのあとでも可）
２．理解できなくとも、先に進むべし。先に進むと、「ああ、あの時のはこれか」と理解できることが多い
３．一冊の本で止まらない。誤記誤植もある。分からないところは別の本で確認すべし
４．一段高い立場に上がってみる。例えば、微分積分が十分理解できないところがあっても、微分方程式とその解法を勉強すると、「微分積分はこういうことか」と微分方程式を通した理解ができるはず
５．遠慮なく巨人の肩の上に登れ。ガロアも先人の肩の上で仕事をした
218 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 10:42:14.95 ]: >>215
Kummerさん、乙です

>天邪鬼な俺はこのように大多数が賛成するときに逆に警戒する。
>具体例というのは難しい場合が多いのだよ。
>抽象化とは具体例の本質的でない難しさを取り除いて単純化することでもある。
>だから一般に具体的なものより抽象的なもののほうが簡単。

それは一理あるね
下記の岡潔の発言について、広中がどこかに書いていたが
広中は、一般の場合がむつかしいからとどんどん制限を付けて具体的な範囲で「これなら解ける」と発表した
岡潔がいわんとしたのは、もっと問題を抽象化一般化して、その問題を一部として含むところまで抽象化すべしということでは無かったかと
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%83%E4%B8%AD%E5%B9%B3%E7%A5%90
広中平祐（ひろなかへいすけ、1931年4月9日 - ）は日本の数学者。日本人で2人目のフィールズ賞受賞者である。専門は代数幾何学で、フィールズ賞受賞対象の研究は「標数0の体上の代数多様体の特異点の解消および解析多様体の特異点の解消」。
多様体特異点の解消問題を、制限条件を付けて学会発表した。その時、岡潔が立ち上がり、問題は一般的に制限なしで解かなければ解けないと言った。その後、広中は制限なしで解き、フィールズ賞の成果となる。
（引用おわり）

この例としては、ポアンカレ予想をさらに一般化したサーストンの幾何化予想があると言われる
ポアンカレ予想をその一部として含む幾何化予想まで拡張したことで、（３次元）幾何化予想の証明→ポアンカレ予想の解決となった

ただ、抽象から具体例、具体例から抽象化の、行ったり来たりも必要だと思うんだ
219 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 10:48:19.77 ]: >>208

ああ、こんなページが・・、なにかのご参考に
teenaka.at.webry.info/200608/article_28.html
「ガロアと群論」＿Ⅳ．方程式の群（１） T_NAKAの阿房ブログ 2006/08/27
220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/25(日) 10:55:08.91 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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221 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 11:08:39.69 ]: （前スレ509より再録）
www.kishimo.com/math/Galois.html
アルティン「ガロア理論入門」を読む
文庫本が出たのをきっかけに，30年前から読みたかった「ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)」を読む決心をしました。
（引用おわり）

www.kishimo.com/math/Galois.html
残り１４７ページ。

毎日1ページずつ読めば5か月弱で読み終えますが，果たして…。

読んだところまでの定理一覧
2010/09/10 064～066　39　定理13とその系の行間を補完したものを，別ページに書いておきます。
（引用おわり）

批判するわけじゃないが、こんな読み方は止めた方が良い（特に本格的に勉強しようという人は）
やるなら”わんこら式”>>99
”最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。

1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ～って感じで読むだけで超高速で終わらせます。
2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。”

数学書なら、まず前書きと目次、序論、後書きまでを読む（30分程度）
次に、ページをめくる。目次を見て、面白そうなところ、結論（山頂に当たるところ）は何かをつかむ（１時間前後）
その後、この本が教書で試験に出るとか自分が理解して使わなければならないなら、”わんこら式”でまず１周

試験なら過去問を把握しておく。使わなければならないなら、自分が適用する問題を理解し、どこが使えるかを考えながら読む
そうやって、早く２周３周する。ここで、”わんこら式”を継続するか、分からないところを人に聞くか、別の本を読むかなど考える

”わんこら式”を知る前からこんなことはやっています
というか、個人的には”わんこら式”をさらに省略して、面白そうなところをつまみぐいしています
222 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 11:46:54.43 ]: >>213
補足

ここで言いたかったのは、Python sfというソフト
これからは、ソフトを使わないと世界では通用しないだろうと。早く自分が使う良いソフトを手に入れて使いこなすこと。さらに、Python sfなどの自分で作る世界も経験した方が良いだろうと

>>218
>ただ、抽象から具体例、具体例から抽象化の、行ったり来たりも必要だと思うんだ

佐藤幹雄がソリトン理論を作るときに電卓を使って膨大な数値計算をしたらしい
そもそも、ソリトン理論の発展と数値計算は不可分
gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/lectures/koukaikouza/text.pdf
ソリトン　～不思議な波が運んできた，古くて新しい数学の物語～　九州大学大学院数理学研究院梶原健司

1.4 大ブレーク!
Miura3 は手計算でKdV 方程式(2) の保存量を13 個求め4，最終的に保存量が無限個(!) あることを示しました．

広田はこの方法を駆使して，各個撃破的にたくさんのソリトン方程式の解を求めたり，また新しいソリトン方程式を
構成して見せたり，ソリトン方程式の解の変換理論を作ったりして，爆発的に研究を進めていきます．どうやら，広田
自身には「双線形形式こそがソリトン方程式の本質だ」という，極めて先駆的な確信があったようです．
そして1981 年，広田の確信がソリトン方程式の根本を突いていることに気が付いたのは，同じく独創的な数学者と
して名を知られていた佐藤幹夫でした．

3 ソリトンが運んできた数学
佐藤理論は多くの研究者が追い求めていた「からくり」を一挙に明らかにしました．1981 年に佐藤理論が発表さ
れた後は，研究者たちは別の研究に移り，ちょうど大騒ぎした祭りの後のような状況だったということです．文献[7]
の冒頭の対談では，ちょうどその頃大学院生だった方が「気がつくと周りには誰もいない感じがしたものです」と発言
されています．しかし，文献[7] は1997 年に出版されており，タイトルも「ひろがる可積分系の世界」(可積分系とは
ソリトン方程式のような意味で解ける方程式を言います) です．実は，「ソリトン的からくり」はさまざまな新しい数
学を内包していたのですね．
223 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 12:36:14.07 ]: >>222
補足

下記は九州大学大学院数理学研究院梶原健司氏と神戸大の方（都合で省略）の共著だが
数式処理を使っている
それと、Gaussの超幾何函数が「親玉」だと
Gaussの超幾何函数を昔見たとき、？？？だったけど、「親玉」だと言われると、ああそうかとなんとなく納得してしまう
”理解できなくとも、先に進むべし。先に進むと、「ああ、あの時のはこれか」と理解できることが多い”>>217の例

gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/preprint/hyper.pdf
q-Painlev´e 方程式の超幾何解
九州大学大学院数理学研究院梶原健司(Kenji Kajiwara)
(Graduate School of Mathematics, Kyushu University)

解として現れる超幾何函数は方程式の退化図式(図1) に対応して，図2 のようになっている．PVI の解として現れるGaussの超幾何函数2F1 は，
言うまでもなく物理数学などで現れるさまざまな特殊函数の「親玉」である．では，図1で点線に囲まれていない部分のうち，
右端の3 種類(超幾何解は存在しないと予想される) を除くWeyl 群対称性をもつq-Painlev´e 方程式の超幾何解としてどのような函数が現れるのであろうか．

2.2 何が難しいのか
適当なq-Painlev´e 方程式について実際に実行してみると，(30) の第1,3
項の係数は通常1 次式に因数分解されているが，第2 項が因数分解されていない巨大な式になる(例えばE(1)8 型の場合100 項をはるかに越える)．

さて，数式処理を用いれば(72)-(76) に対して上の手続きはそう困難なく実行することができる．

楕円Painlev´e 方程式を何とか書き下して超幾何解を構成し，2 階の
線形方程式で記述される超幾何函数の「親玉」として楕円超幾何函数10E9 が現れることを示したのが[22] である．
224 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 12:39:15.23 ]: >>221
訂正

その後、この本が教書で試験に出るとか自分が理解して使わなければならないなら、”わんこら式”でまず１周
　↓
その後、この本が教科書で
225 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 13:43:23.72 ]: >>222
訂正

佐藤幹雄
　↓
佐藤幹夫
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E5%B9%B9%E5%A4%AB_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
226 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 14:06:33.47 ]: >>217
> ５．遠慮なく巨人の肩の上に登れ。ガロアも先人の肩の上で仕事をした

ガロア第一論文>>4でも、ラグランジュの分解式が引用されている。第V節と第VII節の２箇所
このラグランジュの分解式の使い方は、ラグランジュと同じである（これについては、下記小杉か代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre TignolのLagrangeのところをご参照）

ガロア第一論文の補題IIIのところで、アーベルの楕円関数に関する遺稿に言及している
第VII節で「二項方程式に対するガウス氏の方法」と言及している

つまり、ガロアはラグランジュ、アーベル、ガウスといった巨人たちの肩の上に乗って仕事をしたのだ
もちろん、巨人たちの肩の上に乗ること自身大変なことなのだが、ともかく遠慮なく巨人の肩の上に乗れ

（前スレ143より再録）
さて、今日の本題は、「数学史 (数と方程式)」小杉肇
このP118にLagrangeの方程式論が詳しく書かれている
日本語の文献としては、Lagrangeの方程式論がもっとも詳しく書かれていると思う

mail2.nara-edu.ac.jp/~kawaken/zemi_kawaken.html
平成 13 年度は数学史を学生のみんなと一緒に勉強しました。教科書として「数学史 (数と方程式)」小杉肇, 槙書店, をゼミのみんなで輪読しました。
そのあと、各自興味のあるところをつっこんで探求してもらいました。

www.jbook.co.jp/p/p.aspx/1159113/s
数学史（数と方程式）数学選書小杉　肇
発行年月：1973年06月発売元：槙書店
227 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/25(日) 14:07:23.28 ]: 　　　　　　　　　　　気
　　　　　　　　　あ　　を
　　　　　　　　　の　　付
　　　　　　　　　民　　け
　　　　　　元　主　　.ろ
　　　　　　朝　党
　　　　　　鮮　.員
　　　　　　人
　　　圖　
　 ∧＿∧
　（　´∀｀）
　（　 ○　）

280 名前：名無しさん＠１２周年[sage] 投稿日：2012/01/13(金) 12:26:01.31 ID:sGoAT50E
三年前ごみんすに投票した連中、今どんな気持ち？
287 名前：名無しさん＠１２周年[sage] 投稿日：2012/01/13(金) 12:27:00.18 ID:P8V2Yy+50
>>280
橋下様なら何とかしてくれるとお経上げてるよ。

09年の選挙では　民主なら誰でもよかった　
今度の選挙では　維新なら誰でもよかった
幾らB層でも流石にこうはならないな
228 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 14:57:01.42 ]: >>226
補足

>つまり、ガロアはラグランジュ、アーベル、ガウスといった巨人たちの肩の上に乗って仕事をしたのだ

いま気付いたが、ガロア第一論文>>4のP27補題Iの前に
「方程式 (x^n-1)/(x-1)=0、ここでｎは素数
　にガウス氏の補助方程式の１つの１根を添加するとき・・」と書かれている

これは明らかに、代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol>>39の「第12章ガウスの円分方程式」のP200 「12.5 べき根による可解性」で用いられるラグランジュ分解式のことに違いないだろう
ラグランジュ分解式は、ガウスを通じて知ったのかも知れない
が間接としてもラグランジュの肩の上という上記結論はそのままで良いだろう
229 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/25(日) 17:04:12.66 ]: こんなのがあった

leonhardeuler.web.fc2.com/documents/column9.html
私のオイラーとの出会い　オイラー研究所名誉所長　佐々木　力　（SASAKI Chikara, Honorary Director of the Euler Institute in Japan; 東京大学大学院総合文化研究科・数理科学研究科教授）

　先日、京都大学数理解析研究所での研究集会「数学史の研究」での講演に赴いた際、会議場に「オイラー研究所」の名前を冠した文書が並べてあった。
　それらを手にして、私は九州大学の高瀬正仁氏の「仕業」であることをただちに感得した。彼に問い質したところ、たしかに自分が所長だということであった。
　しかし、インターネットにそのことを明かしてはいないということであった。以前からオイラーにただならぬ愛着心を抱いていた私は、高瀬氏に「私をも所員にしていただけないか？」とお願いした。
　ところが、高瀬氏は「ただの所員では畏れ多いので、名誉所長なら受け入れる」ということであった。
　そのような高瀬氏の要請なら断れないと考え、かつ悪名を轟かせている昨今の私には珍しい「名誉職」と思い直し、名誉所長という役職での研究所入りを決意した次第であった。
　しかし、研究所とはほとんど名ばかり、実態は、高瀬氏周辺の若手研究者数名の有志団体なのであった。

　このような経緯で、日本オイラー研究所は実質的に走り出すことになった。
　以上の会話は、2007年8月22日午後のことで、翌23日夜には、他の数学史研究者数人と祇園に繰り出し、オイラー研究所立ち上げをそこの由緒ある店で宣言することとなった。オイラー生誕300年目の快挙ではあった。

　京都から横浜に帰還すると、ただちに高瀬氏から、オイラーの名著『極大もしくは極小の性質をもつ曲線を発見する方法、別題、最広義で解釈された等周問題の解答』
　（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proporietate gaudentes, sive Solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, Lausannae & Genevae, 1744）の原典コピーが送られてきた。
　東京大学大学院数理科学研究科所蔵のかつて見た稀覯書のコピーであった。私をオイラーの無類の称賛者たらしめた著作にほかならない。

　私は、1976年秋からプリンストン大学大学院の院生として本格的な数学史研究に踏み出すことになった。
（以下略）

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