不等式への招待 第４章

1 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/15(月) 19:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 23:06:27 ] >>366 指数定理 　(a^m)^n=a^(mn) が成り立つのは、 「a＞0である」か「m,nがともに整数である」かの どちらかの条件を満たす場合である。 だから (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6)や (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2)は 成立しない。それだけのこと。 370 名前：360 mailto:sage [2009/08/07(金) 23:12:10 ] 頭に残ってたもやもやを取り除く方法を思いついたら、 また間違いに気付いたorz 十分性に欠けることには気づいてたんだが… ab+bc+ca=pとおくとa,b,cは t^3-t^2+pt-1/27=0の解 判別式 -{(4p+5/3)(p-1/3)^2}/27≧0より p=1/3またはp≦-5/12 したがってk=3/2または-30/7≦k<-2 首吊ってくる 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 23:14:25 ] >>369の修正 誤：指数定理 正：指数法則 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 23:27:34 ] >>369 知らなかった… 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/08(土) 01:28:24 ] >>349 >>369を見ても>>332がおかしいと思う？ 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/08(土) 01:35:39 ] 　>>326　→　>>331 →>>332　→　>>334 良く見ろ しかし最近レベルの低いレスがやたら増えたな 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/08(土) 01:42:56 ] >>369 だからこそ (-8)^(1/3) = -2 と安直に定義するわけにはいかない というのが >>311 の趣旨ではないかと思うが まあ，この矛盾を避けるために [1] (負）^(1/3) の定義を許さない [2] 定義は許すが指数法則の適用を許さない の両者の立場の違いなのかとも思うが， 一般的には前者なのではないか？ もっとも，複素関数論のように多寡であることを認めるのであれば 事情は全く異なるのは確か 376 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/09(日) 08:26:18 ] p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ： ∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p). 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/09(日) 08:29:27 ] >>374 本当だよ。 複素ベキを知らない奴が８割もいるｗ はっきり言って、受験生は板違いだから。 このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20) ＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験] 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/09(日) 08:49:48 ] >>369 嘘つくなボケ！ 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/09(日) 08:51:46 ] オイラーの公式をしらんのか？ e^{πi}=-1 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 01:53:40 ] >>302 (下) 　√{(k-1)(k+1)} = √(k^2 -1) < k, を使う。 　99!!/100!! = {3/(2√4)}{5/√(4･6)}{7/√(6･8)}･･････{99/√(98･100)}{1/√(100)} 　　　> {3/(2√4)}{1/√(100)} 　　　= (3/4)(1/10) 　　　= 3/40 　　　= 1/13.3333333･･･ 　99!!/100!! = {9!!(√11)/10!!}{√(11･13)/12}{√(13･15)/14}･･････{√(97･99)/98}{(√99)/100} 　 　　　< {9!!(√11)/10!!}{(√99)/10} 　　　= (9!!*11*3)/(10!!*10) 　　　= 31185/384000 　　　= 1/12.3136123･･･ 381 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/10(月) 02:14:11 ] >>40 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 03:09:31 ] >>381 a≧c≧0≧bの場合を考えれば良く a(a+c)x+c(a+c)y=xa^2+yc^2+(x+y)ac≧(x+y+2√xy)ac より abx+bcy+caz≦(z-x-y-2√xy)ac=(√z+√x+√y)(√z-√x-√y)ac　……�@ ここで条件より√z≦1≦√x+√yなので�@≦0 よってabx+bcy+caz≦0 383 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/11(火) 21:09:17 ] kＣ［n，r］≦Ｃ［nk，rk］ 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 01:41:55 ] Ｃ[nk,rk]≧(Ｃ[n,r])^k より明らか 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 13:26:47 ] >>383,>>384 r≠0,nか? ζ(s)=Σ[n=1,∞]1/(n^s)とする。 Σ[s=3,∞]{ζ(s)-1}<1/2を示せ。 (できればζ(2)=π^2/6を用いないで) 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 15:15:56 ] >>385 ζ(3)-1<�納n=2_∞]1/(n^3-n)<1/4 ζ(s+1)-1<{ζ(s)-1}/2 より Σ[s=3_∞]{ζ(s)-1}<2{ζ(3)-1}<1/2 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 18:15:09 ] >>315 コーシーより 　(左辺)^2 ≦ {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･{sin(mA)^2 + sin(mB)^2 + sin(mC)^2} 　　　　= {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･f(mA,mB,mC) 　　　　≦ (1/3)(p^2 + q^2 + r^2)^2･f(mA,mB,mC), となるので、 f(mA,mB,mC) ≦ 4/9 を示せばよいが･･･ ※　(p^2 + q^2 + r^2)^2 - 3{(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2} 　　= (1/2)(p^2 -q^2)^2 + (1/2)(q^2 r^2) + (1/2)(r^2 -p^2) ≧0, 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 18:24:14 ] >>315 〔補題〕 A+B+C=π、mは整数のとき 　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 ≦ ９／４, (略証) m=0 のときは明らかだから m>0 とする。 左辺は mA, mB, mC について周期π をもつ。剰余を 　A' = mA - [mA/π]π, 　B' = mB - [mB/π]π, 　C' = mC - [mC/π]π, とおくと 　0 ≦ A',B',C' < π. 　A' + B' + C' = 0, π, 2π. しかし　右辺が0のとき A'=B'=C'=0 なので明らかに成立。 　 また　右辺が2πのときは　　　　　　{sin(π-x) = sin(x)} 　A' = π + [mA/π]π - mA, 　B' = π + [mB/π]π - mB, 　C' = π + [mC/π]π - mC, とおき直せば 　A' + B' + C' = π, 鈍角3角形(C'>90ﾟ)の場合は、C'を90ﾟに減らし、その分 A',B'を増やした方が明らかに大きい。 ∴　鋭角三角形と直角三角形を考えれば十分。 　(左辺) = {sin(A')}^2 + {sin(B')}^2 + {sin(C')}^2, 　= 1 -(1/2)cos(2A') -(1/2)cos(2B') + {sin(C')}^2 　= 2 + cos(C')cos(A'-B') + {sin(C')}^2　　　　　　{0≦cos(C'), cos(A'-B') ≦1} 　≦ 2 + cos(C') - {cos(C')}^2 　= 9/4 - {1/2 - cos(C')}^2 　≦ ９／４. 等号成立は A'=B' かつ C'=π/3,　すなわち A'=B'=C'=π/3 (正三角形)のとき。　 389 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/12(水) 19:35:02 ] α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾β の大小関係を答えよ 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 17:44:53 ] >>387 (別解) A+B+C = π のとき 　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 　= 2 -(1/2){cos(2mA) + cos(2mB)} - {cos(mC)}^2 　= 2 - cos(m(A+B))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2 　= 2 - cos(m(π-C))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2 　= 2 - γ･cos(mC) - {cos(mC)}^2 　= 2 + (1/4)γ^2 - {(γ/2) + cos(mC)}^2 　≦ 2 + (1/4)γ^2, ただし、γ=(-1)^m･cos(m(A-B)), ぬるぽ 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 19:03:57 ] >>385 n≧2 のとき 　1/n ≦ 3/{2(n+1)}, ∴　Σ[s=3,∞) 1/(n^s) = 1/{(n^3)[1-(1/n)]} 　= 1/{(n^2)(n-1)} 　≦ 3/{2(n-1)n(n+1)} 　= (3/4){1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))}, よって 　ζ(s) -1 = Σ[n=2,∞) 1/(n^s) 　Σ[s=3,∞) {ζ(s)-1} = Σ[s=3,∞) Σ[n=2,∞) 1/(n^s) 　= Σ[n=2,∞) Σ[s=3,∞) 1/(n^s) 　≦ (3/4)Σ[n=2,∞) {1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))} 　= 3/8, 蛇足だが、 　ζ(3) - 1 = 0.20205690315732････ 　ζ(4) - 1 = (π^4)/90 - 1,　 　ζ(6) - 1 = (π^6)/945 - 1, 　････ を使うと 　(左辺) = 0.3550659331455･･･ < 3/8, 392 名前：385 mailto:sage [2009/08/13(木) 19:41:53 ] >>386,>>391 正解です。にしても評価粗すぎたなw 最初の想定では Σ[s=2,∞]{ζ(s)-1}=1とζ(m)-1>Σ[s=m+1,∞]{ζ(s)-1} で証明だったが(だからζ(2)の条件を付けた) 考えてみたらζ(s)<1+2/2^s+4/4^s+…くらいの評価で示せたorz ついでに >(左辺)=0.3550659331455･･･ =2-(π^2)/6です 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 19:59:02 ] つまらん 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/14(金) 20:49:16 ] >>316 　 〔問題38〕 三角形の辺の長さの和をa,b,c, 頂角A,B,Cの二等分線と対辺の交点をA",B",C" とおくとき、 　(1/2)(a+b+c) < AA" + BB" + CC" ≦ {(√3)/2}(a+b+c), 等号成立は a=b=c (正三角形) のとき。 (大塚氏による) 　 数セミ、Vol.48, No.9, 通巻576, p.54, Notes (2009/09) Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.38 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/14(金) 20:55:34 ] >>394 (左側) 　 角の二等分線は△の内部で交わるから、 　a = BC < BB" + C"C, 　b = CA < CC" + A"A, 　c = AB < AA" + B"B, 辺々たして2で割る。　 　 (右側) 　(a+b+c)/2 = s とおく。 �僊BC = �僊BA" + �僊CA" 　= (1/2)(b+c)AA" sin(A/2) 　= (1/2)(b+c)AA" √{(s-b)(s-c)/bc} 　≧ AA" √{(s-b)(s-c)},　　　　　　(相加相乗平均) ∴ ヘロンの公式から AA" ≦ �僊BC /√{(s-b)(s-c)} 　= √{s(s-a)} 　= (√3) √{(s/3)(s-a)} 　≦ (√3){(s/3)+(s-a)}/2　　　　　(相加相乗平均)　 　= (√3){(2/3)s -a/2}, 循環的にたすと 　AA" + BB" + CC" ≦ (√3)s, 等号成立は s-a = s-b = s-c = s/3, すなわち a=b=c. 　 Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.39 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 01:37:47 ] 　　∧＿∧ 　　( ;´∀｀)=3 ﾊｧﾊｧ… 　 人　Y　/ 　(　ヽ し 　（＿）＿） 397 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/15(土) 02:35:00 ] 516:大学への名無しさん[] 2009/08/07(金) 17:14:38 ID:ZA6uauFfO みんな聞いてくれ。昨日電車で勉強してたんだが、前にいた女がいきなり「この人、今痴漢しました。」 って俺に指さして騒いだわけ。この意味が分かるかな？ そう俺はそのとき痴漢積分していたのだ。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 03:12:26 ] 褒美だ！ ('A` )　ﾌﾟｳ ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ、ｿﾚﾊ ﾎｳﾋ！ 　 くく　へﾍﾉ ←>>397 399 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/15(土) 15:29:22 ] >>376は？ 400 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/15(土) 18:16:10 ] x,y,x∈R、x+y+z=1, xy+yz+zx=-8 のとき x^3+y^3+z^3 の最大最小。 2文字消去して定義域出して微分して解析、 という吐き気を催す解法しか思いつかなかった。 誰かかっこよく頼む。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 19:30:08 ] >>400 x y z = s とおくと x, y, z は X^3 + X^2 - 8 X + s の解．また， x^3 + y^3 + z^3 = 3 (x y z) + (x + y + z)^3 - 3 (x + y + z) (x y + y z + z x) = 3s + 25 なので x^3 + y^3 + z^3 の最小化するためには， X^3 + X^2 - 8 X + s が３実数解を持つ条件で s を最小化すればよい． ３次方程式の判別式より D = 2112 - 148s - 27s^2 = -(s + 12)(27 s - 176) よって D ≧ 0 なる最小の s は s = -12． よって x^3 + y^3 + z^3 の最小値は 3×(-12) + 25 = -11 ３次方程式の判別式はアンチョコつかった． 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 19:30:26 ] そんな数II・Bﾚﾍﾞﾙの問題はスレ違い 403 名前：401 mailto:sage [2009/08/15(土) 19:32:29 ] 最大値を忘れてたが、判別式から 176/27 だな。 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 20:23:11 ] >>401 アンチョコって？ 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 20:34:54 ] >>404 覚えてないからメモを見たってことでしょ 406 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/16(日) 06:33:24 ] f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする (∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a)) 407 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/17(月) 02:02:15 ] >>400 n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=-15 x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27 t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]+15-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz-7 よって求める最小値, 最大値は-43, 113/9 t^3-t^2-8t-xyz=0の両辺にt^nをかけてからx. y and zを代入して辺ごと足すと {t[n]}の漸化式が得られる. 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 05:15:05 ] >>400 x=kとおくと y+z=1-k また x(y+z)+yz=-8より k(1-k)+yz=-8 k(1-k)+y(1-k-y)=-8 y^2-(1-k)y-k(1-k)-8=0 yが実数解を持つには (1-k)^2+4k(1-k)+4･8≧0 -3≦k≦11/3 よって -3≦x,y,z≦11/3 x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) 　　　　　 =1+16=17 x^3+y^3+z^3=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz 　　　　　 =25+3xyz 　　　　　 =25-3x(xy+zx+8) 　　　　　 =25-3x{xy+(1-x-y)x+8} 　　　　　 =25-3x(x-x^2+8) 　　　　　 =3x^3-3x^2-24x+25 xの範囲より最小値-11最大値779/3 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 05:33:58 ] >>407はt[2]で早くも間違えてたので書き直そう >>400 n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=17 x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27 t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]-17-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz+25 よって求める最小値, 最大値は-11, 401/9 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 06:12:35 ] >>407>>409 y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27 ここの論理って、どういう過程？ 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 08:07:19 ] 易問にいつまで関わるん？ 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 08:19:27 ] >>410 xyz=kとするとkの値によってx,y and zの値が変わる(つまりxyzの値を何にとるかで3文字は，3!=6通り以下あるにせよ，決まる)． kを変えたときに3変数がどれも実数となるようなkの範囲を調べる． そうなるのはグラフ書いて考察して今回の場合は(y=t^3-t^2-8tの極小値)≦k≦(y=t^3-t^2-8tの極大値)． 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 08:19:36 ] >>411 いいから黙ってろ！ 屁かますぞ！ 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 18:14:00 ] なるほど。Thx 415 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/18(火) 13:50:42 ] かまして！ 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 01:35:11 ] ('A` )　ﾌﾟｳ ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ 　 くく　へﾍﾉ ←>>415 417 名前：清書屋 mailto:sage [2009/08/20(木) 23:03:27 ] >>400 x+y+z = a, xy+yz+zx = b, のときは xyz=s とおくと 　x^3 + y^3 + z^3 = a^3 -3ab +3s,　　　　　･･･････ (1) だから、sの最大・最小を求めればよい。 　X^3 -aX^2 +bX -s = (X - a/3)^3 +B(X - a/3) - S ここに 　B = b - (1/3)a^2, 　S = s - (1/3)ab + (2/27)a^3, 判別式 D = 4(-B)^3 -27S^2, ∴　D ≧0 となる条件は 　-2(-B/3)^(3/2) ≦ S ≦ 2(-B/3)^(3/2),　B<0, 　-(2/27)a^3 +(1/3)ab -2(-B/3)^(3/2) ≦ s ≦ -(2/27)a^3 +(1/3)ab +2(-B/3)^(3/2), よって (1) から 　(7/9)a^3 -2ab -6(-B/3)^(3/2) ≦ x^3 + y^3 + z^3 ≦ (7/9)a^3 -2ab +6(-B/3)^(3/2), 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/21(金) 02:41:25 ] 正の実数a,b.cについて Σcyc [{√(a+b)(a+c)}(√b+√c)] ≧ 3√{(a^3+b^3+c^3+5abc)/2} 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/21(金) 03:07:09 ] 自分で解けくず 420 名前：宮川ダイスケ mailto:sage [2009/08/21(金) 09:10:35 ] なんもかんがえなくとも、 x,yを中心にかんがえ、 x+y=1-z xy+z(x+y)=xy+z(1-z)=-8よって、 x+y=p.xy=q,ｘｙを２つの解とした二次方程式の判別式＞０よりｚの範囲でる。 最後は、p^3-3pq=(1-z)^3-3(1-z) あと適当に、、、なんか不等式みてると眠くなる 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/21(金) 22:24:15 ] >>417 　等号条件は 　左側 {x,y,z} = {(a/3)-2√(-B/3), (a/3)+√(-B/3), (a/3)+√(-B/3)}, 　右側 {x,y,z} = {(a/3)+2√(-B/3), (a/3)-√(-B/3), (a/3)-√(-B/3)}, 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 23:11:22 ] >>417　の一般解 　(X - a/3)^3 +B(X - a/3) = S, を 2(-B/3)^(3/2) で割ると 　4ξ^3 -3ξ = S/{2(-B/3)^(3/2)}, となる。ここに 　ξ = (X -a/3)/[2√(-B/3)], ところで右辺は、実根条件から 　D = 4(-B)^3 -27S^2 ≧ 0, 　-1 ≦ S/{2(-B/3)^(3/2)} ≦ 1,　(B<0), よって 　S/{2(-B/3)^(3/2)} = cos(σ),　0≦σ≦π を満たす σ がある。 　4ξ^3 - 3ξ = cos(σ), ∴　ξ = cos((σ-2π)/3), cos(σ/3), cos((σ+2π)/3), ∴　{x, y, z} = {(a/3)+2(√(-B/3))cos((σ-2π)/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos(σ/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos((σ+2π)/3)}, s を動かしても σ しか動かない。　　>>417 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 07:37:37 ] √ [ x ^ 2 + ( 1 - y ) ^ 2 ] + √ [ ( 1 - x ) ^ 2 + y ^ 2 ] の最小値を求む 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 08:32:45 ] べく 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 22:56:37 ] 普通に(1,0)と(0,1)からの距離を考えて√2 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/24(月) 01:42:44 ] 複素係数の1変数代数方程式 z^m＋�納j=1→m] a(j) z^(m-j)＝0 の根は |z}≦2max[j] |a(j)|^(1/j) を満たす． 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 18:56:29 ] >>423 軸を45ﾟ回す。 　x^2 + (1-y)^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y+1)^2 = u^2 + {v + (1/√2)}^2 ≧ {v + (1/√2)}^2, 　(1-x)^2 + y^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y-1)^2 = u^2 + {v - (1/√2)}^2 ≧ {v - (1/√2)}^2, よって 　√[x^2 + (1-y)^2] ≧ |v + (1/√2)|, 　√[(1-x)^2 + y^2] ≧ |v - (1/√2)|, 辺々たす。 　(与式) ≧ |(1/√2) - (-1/√2)| = √2, 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 19:24:27 ] >>418 y=√x は上に凸だから 　√b + √c ≦ 2√{(b+c)/2} = √{2(b+c)}, 　√c + √a ≦ 2√{(c+a)/2} = √{2(c+a)}, 　√a + √b ≦ 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)}, よって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと 　(左辺) ≦ 3√{2(b+c)(c+a)(a+b)} 　= 3√{2(st-u)} 　≦ 3√{2(st-u + F_1)} 　= 3√{2(s^3 -3st +8u)} 　= 3√{2(a^3 + b^3 + c^3 + 5abc)}, ここに F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0, ジャマイカ? 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 19:36:42 ] >>427 　u軸の彼方から観察した”射影”ぢゃね？ 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 21:20:44 ] >>426 の証明をお願いします 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/26(水) 00:05:45 ] >>426,430 Max{|a(j)|^(1/j); 1≦j≦m} = M とおくと 　|Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j)| ≦ Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j) 　≦ Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j) 　= {M/(|z|-M)}{|z|^m - M^m}　　　　　　　　(|z|≠M) 　≦ {M/(|z|-M)}|z|^m, いま |z| > 2M と仮定すると、 　M/(|z|-M) < 1 となり、題意を満たさない。 ∴　題意を満たす根zに対して |z| ≦ 2M. 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 00:51:39 ] |z| > 2M の仮定のタイミングがおかしくないかい？ 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 22:23:19 ] | x | < π / 2 のとき cosh x ≦ sec x 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 22:49:41 ] >>433 cosh x * cos x ≦ 1 微分して楽勝 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 01:29:26 ] 誰と戦ってるんだ 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 01:56:12 ] >>435 見えざる敵 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 08:15:26 ] >>435 数学との戦い 438 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/01(火) 08:36:45 ] x,y,z＞0のとき x^3+y^3+z^3+3xyz≧xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) の成立をx,y,zについての不等式による場合分けをせず示せ． 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 11:14:31 ] 愚問 440 名前：「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/01(火) 11:50:02 ] そやけどねぇ、こんな感じの大学受験問題やったかな、 大昔にどっかで見た事がありますよ。 コレを愚問っちゅうんだったらですね、 それこそ大学入試問題なんて総崩れじゃないですかね。 大学入試なんて止めないとアキマセンがな！！ そやけんどそんな事は出来ひんやろ！ そやし、どないすんねん？ 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 14:09:34 ] >>438 相乗平均相加平均より xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧6xyz よって x^3+y^3+z^3+3xyz-xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧x^3+y^3+z^3-3xyz =(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0 から題意の不等式を得る そんな愚問か？ 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 14:19:48 ] 途中の不等号逆じゃね？ 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 14:29:28 ] あーホントや 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 15:31:49 ] 444 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 16:40:10 ] >>433 　cosh(x) = (1/2){exp(x) + exp(-x)}, 　cos(x) = (1/2){exp(ix) + exp(-ix)}, 　cosh(x) * cos(x) = (1/4){exp((1+i)x) + exp((1-i)x) + exp(-1+i)x) + exp((-1-i)x)}, ところで 　exp(ax) = Σ[k=0,∞) {(a^k)/k!} x^k, であった。 　1±i = (√2)exp(±(π/4)i), 　-1干i = (-1)･{　〃　}, より 　(1+i)^k + (1-i)^k = 2^(k/2)*{exp((kπ/4)i) + exp(-(kπ/4)i)} = 2^(1 + k/2)･cos(kπ/4), 　(-1-i)^k + (-1+i)^k = (-1)^k･{　〃　}, 辺々たして 　(1+i)^k + (1-i)^k + (-1-i)^k + (-1+i)^k = {1+(-1)^k}･2^(1 + k/2)･cos(kπ/4), 　　= 4 * 2^(k/2) (-1)^(k/4)　　　{kが4の倍数 or 0 のとき} 　　= 0,　　　　　　　　　　　　　{その他} 　cosh(x) * cos(x) = Σ[j=0,∞) (-1)^j {(4^j)/(4j)!} x^(4j) 　　= 1 - (1/6)x^4 + (1/2520)x^8 - (1/7484400)x^12 + (1/81729648000)x^16･･････, 交代級数となるから 2項づつまとめて 　cosh(x) * cos(x) = 1 - (1/6){1 - (1/420)x^4}x^4 - (1/7484400){1 - (1/10920)x^4}x^12 - ･････ 　< 1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(|x|<π/2) 微分しなくても楽勝 微分方程式 y "" = -4y　の解 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/08(火) 04:23:36 ] 0≦b≦1-a^2,0≦q≦1-p^2のとき (a-p)^2+(b-q)^2の最大値を求める 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 16:43:32 ] >>446 問題それであってるの？ （わかりやすいように、bx ,q=>yっておきかえると 0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2のときの、 ） 最初に、a,pを定数とみなして,x,yを変数とみなすと、 448 名前：447 mailto:sage [2009/09/10(木) 16:48:44 ] あ、とちゅうで送信してしもうた。 ＝＝＝＝ bをx,qをyって書き換えると、 0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2 のときの (x-y)^2+(a-p)^2の最大値を求めればいい。 a,bを定数とまずみなすと、 xy平面で、x-yの最大値が分かる（そのときのa,pの値もわかる） だから、(x-y)^2+(a-p)^2 の最大値も分かる（そのときのa,pの値もわかる） あとは、a,pの計算。 449 名前：447 mailto:sage [2009/09/10(木) 16:51:17 ] typo ＞a,bを定数とまずみなすと、 じゃなくて、 a,p... 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 20:27:20 ] そう簡単にはいかないでしょ 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 21:39:47 ] >>446 　|a|=A, |p|=P とおく。 ・0 ≦ A ≦ P ≦ 1 のとき 　(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-a^2)^2　　　(等号は b=1-a^2, q=0 のとき) 　　　≦ (1+A)^2 + (1-A^2)^2　　　(等号は p=-Sgn(a) のとき) 　　　= 4 -(1-A)(2 +A^2 +A^3) 　　　≦ 4,　　　　　　　　　　　　　(等号は A=1 のとき) ・0 ≦ P ≦ A ≦ 1 のとき 　(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-p^2)^2　　　(等号は b=0, q=1-p^2 のとき) 　　　≦ (1+P)^2 + (1-P^2)^2　　　(等号は a=-Sgn(p) のとき) 　　　= 1 - (1-P)(2 +P^2 +P^3) 　　　≦ 4,　　　　　　　　　　　　(等号は P=1 のとき) 452 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/15(火) 06:55:45 ] 正5角形の辺上に3点A,B,Cをとる △ABCの面積が最大となるには 3点A,B,Cをどのようにとればよいか 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 07:03:19 ] >>452 簡単な例文。 【ステロイド抜けたらガリガリで横チンを公共電波に晒したり 　土俵に力水はいたり尻の穴ほじくった手でツッパリして相手をひるませたり 　自分で隠し持っていた山響株を兄が盗んだと騒いだりする】 より 【子供たちとの草サッカー】 の方が力士としての品格に欠け極悪であるとされてしまう知的土人のまじない師どもが日夜アホダラ教を唱えるサル・パラダイス日本 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 22:52:24 ] >>452 {A,B,C}のうち1点Xのみを動かそう。Xと両隣の点(Y,Z)が作る3角形XYZの面積は 　△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ), Xは多角形の辺上を動くから、高さのが最大になるのはXが頂点にあるとき。 ∴　Xは頂点にあるとしてよい。 他の点についても同様。 本問では 正5角形だから 　{A,B,C} = {2π/5,2π/5,π/5} のとき 455 名前：454 mailto:sage [2009/09/17(木) 23:59:36 ] 訂正 　△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ) ／２, 　{A,B,C} = {3π/5,π/5,π/5}　もあるが、>>454 より小さい。 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 00:17:15 ] >>453 　唱えるならアホダラ経ぢゃね？ dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn/4702/m0u/あほ/ dic.yahoo.co.jp/dsearch?p=あほだらきょう love.ap.teacup.com/ondodouraku/237.html www.sutemaru-manzai.com/geino/aho/index.html 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 00:19:18 ] 2n+1角形に拡張出来そうでつね 458 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 06:03:30 ] (1) 0<x<e，α=e-x，β=e+x α^βとβ^αどちらが大きいか (2) 0<x<1，α=ex，β=e/x α^βとβ^αどちらが大きいか 459 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 11:24:43 ] 0<df(x)/dx<f(x)<∫_(-1,x) f(t)dt, (x∈(-1,1))となるf∈C^1(-1,1) 460 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 09:43:56 ] 0<f かつ f∈C^1(-1,1) ならば 0<f<∫_(-1,・) f(t)dt は自明だから 0<df/dx<f さえ満たせば良い 従って 解全体の集合∈{f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x} であり 逆に {f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x} に属する関数は 0<df/dx<f<∫_(-1,・) f(t)dt を満たすから 解全体の集合={f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x} 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 14:10:00 ] >>460 ＞0<f かつ f∈C^1(-1,1) ならば 0<f<∫_(-1,・) f(t)dt は自明だから これは間違い。f<∫_(-1,・) f(t)dtという不等式は 「グラフの高さ＜グラフの面積」という不等式なので、 原点でのグラフの高さに比べて面積が異常に小さい関数を 選べば、x＝0においてこの不等式は破綻する。 実際、a＞0としてf(x)＝e^(-x^2/a)とおけば、aが十分小さいとき f(0)＜∫_(-1,0) f(t)dt が成り立たないことが証明できる。 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 00:02:19 ] 〔問題〕(Shapiro-type) 正の数 a_k に対して次を示せ。 　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + ･･････ + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.6 ･ご参考 　n/3　[初代スレ.497(2), 501-502] 　n/4　[ASU, 1969.14] 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 00:24:25 ] >>462 (略証) 問題の左辺をＳとおく。 [初代スレ.501] より 　a/(b+c) + 2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)], 　b/(c+d) + 2c/(d+e) - {(b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+e) -1} ＞ (c^2)/[(c+d)(d+e)], それぞれ 0.3 と 0.7 を掛けて加えると、 　0.3a/(b+c) + 1.3b/(c+d) + 1.4c/(d+e) - {0.3(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + 0.7(c+d)/(d+e) -1} 　> 0.3(b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] + 0.7(c^2)/[(c+d)(d+e)] 　> {0.3(b^2 +cd)d + 0.7(b+c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　> {(0.2b^2 + 0.3cd)d + (0.4b + 0.7c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　= {0.4c(b+c)(c+d) + 0.2(b-c)^2･d + 0.3c(c-d)^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　>　0.4c(b+c)(c+d)/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　=　0.4c/(d+e), ∴　0.3a/(b+c) + 1.3b/(c+d) + c/(d+e) ＞ 0.3(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + 0.7(c+d)/(d+e) -1, 循環的に加えて 　2.6Ｓ > (0.3 + 1 + 0.7)Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) - n 　　　> (0.3 + 1 + 0.7)n - n　　　　　　(← 相加・相乗平均) 　　　= 2n - n = n. ∴ Ｓ > n/2.6 ぬるぽ ･Shapiro 巡回不等式 関連レス 　[第２章.284-285] 　[第３章.172-173, 218-220] 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 00:47:13 ] >>463 もっとギリギリの評価はありますか？ 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 04:18:41 ] >>464 ギリギリかどうか知らないけど 　(462の左辺) > λ･n, 　λ = 0.4976175155670･･･ というのがあるらしい。 (求め方) 点(0,1)を通る2つの関数 　y1:　y = e^(-x), 　y2:　y = 2/{e^x + e^(x/2)}, の function convex hull (共通接線?) を曳く。 　y = φ(x) = φ(0) + m･x, 　m = -0.903980192855258 　λ = (1/2)φ(0) = 0.4976175155670･･･ 　y1 との接点は (log(-m), -m) 　y2 との接点は (-0.524821743429450･･･, 1.469663491974050･･･) mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 05:45:31 ] >>464 www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4778803086/ 元ギリギリ... 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 12:43:13 ] >>465 サンクス． 直観的にはn＝0.5とかいけそうですけど駄目なんでしょうね． 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 14:49:37 ] >>466 予想通り 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 22:46:30 ] >>468 = アホ fc23.blog63.fc2.com/blog-entry-855.html 470 名前：463 mailto:sage [2009/09/20(日) 23:20:46 ] >>462 (改良版) 問題の左辺をＳとおく。 [初代スレ.501] より 　a/(b+c) + 2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)], 　b/(c+d) + 2c/(d+e) - {(b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+e) -1} ＞ (c^2)/[(c+d)(d+e)], それぞれ 5/14 と 9/14 を掛けて加えると、 　(5/14)a/(b+c) + (19/14)b/(c+d) + (9/7)c/(d+e) - {(5/14)(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (9/14)(c+d)/(d+e) -1} 　> (5/14)(b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] + (9/14)(c^2)/[(c+d)(d+e)] 　> {(5/14)(b^2 +cd)d + (9/14)(b+c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　> {(1/7)db^2 + (5/14)cd^2 + (4/7)bc^2 + (9/14)c^3}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　= {(3/7)c(b+c)(c+d) + (1/7)(bc^2 +cd^2 +db^2 -3bcd) + (3/14)c(c-d)^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　>　(3/7)c(b+c)(c+d)/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　=　(3/7)c/(d+e), ∴　(5/14)a/(b+c) + (19/14)b/(c+d) + (6/7)c/(d+e) ＞ (5/14)(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (9/14)(c+d)/(d+e) -1, 循環的に加えて 　(18/7)Ｓ > (5/14 + 1 + 9/14)Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) - n 　　　> (5/14 + 1 + 9/14)n - n　　　　　　(← 相加・相乗平均) 　　　= 2n - n = n. ∴ Ｓ > (7/18)n = n/2.57143 ぬるぽ 471 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 02:51:05 ] 自民：ぶれている 民主：柔軟/現実路線 自民：独裁だ/まるでヒトラー 民主：豪腕だ/リーダーシップがある 自民：統率力がない 民主：開かれている 自民：強行採決 民主：迅速採決 自民：劇場型選挙/刺客戦略 民主：高等な選挙戦術/上手い候補者選び 自民：派閥政治 民主：グループ（しかも緩やかな集まりでサークル活動みたいなもん・ｂｙ鳥越俊太郎）政治 自民：格差社会を象徴する首相私邸 民主：華麗なる一族 自民：閣内不一致 民主：閣内に温度差 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 06:25:16 ] 同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある 点Pが以下の位置にあるとき ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか (1)点Pが点A[k]と同一直線上にあるとき (2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき (3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 15:16:45 ] 正の実数 a ，b ，c に対し，不等式 3/2 < { ( 4a + b ) / ( a + 4b ) } + { ( 4b + c ) / ( b + 4c ) } + { ( 4c + a ) / ( c + 4a ) } < 9 が成り立つことを示せ． 凸六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD ，BE ，CF はいずれの2本のなす角も60ﾟである． このとき不等式 AB + BC + CD + DE + EF + FA ≧ AD + BE + CF が成り立つことを示せ． 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 16:52:32 ] 0 ≦ x , y , z≦ 1 のとき {( x + y + z ) / 3 } + √ { x ( 1 - x ) + y ( 1 - y ) + z ( 1 - z ) } の最大値を求めよ 四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 21:28:13 ] >>472 (1) 　Pより右にあるA点の数 ＞ Pより左にあるのA点の数　⇒　Pを右へずらす。 　Pより右にあるA点の数 ＜ Pより左にあるのA点の数　⇒　Pを左へずらす。 したがって 　nが奇数のとき、P = A[(n+1)/2]　(Median) 　nが偶数のとき、線分 A[n/2]-A[n/2 +1] 上の点。 >>473 (上) 　1/4 + 15a/{4(a+4b)} = (4a+b)/(a+4b) = 4 - 15b/(a+4b), 　1/4 + (15/16)a/(a+b+c) < (4a+b)/(a+4b) < 4 - (15/4)b/(a+b+c), 循環的にたす。 　3/4 + 15/16 < (与式) < 12 - 15/4, (便法) 　0<y≦x　⇒　1 ≦ (4x+y)/(x+4y) < 4, 　0<x≦y　⇒　1/4 < (4x+y)/(x+4y) ≦ 1, から 3/2〜9。 >>474 (上) 　��(逆順序積) ≦ ��(乱順序積) より 　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ s(1-s/3),　　s=x+y+z,　0≦s≦3 ∴ x=y=z (体対角線) 上で最大となる。 　(与式) = s/3 + √{s(1-s/3)} 　　　= (1/3){(s - 3/2) + √(s(1-s/3)) + √(s(1-s/3)) + √(s(1-s/3))} + 1/2 　　　≦ (2/3)√{(s - 3/2)^2 + 3･s(1-s/3)} + 1/2　　　(← コーシー) 　　　= (2/3)√(9/4) + 1/2 　　　= 1 + 1/2 　　　= 3/2,　 等号成立は s=9/4 のとき。 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:00:13 ] >>473 (上) 　1/4 + (15/4)a/(a+4b) = (4a+b)/(a+4b), と 　a/(a+4b) + b/(b+4c) + c/(c+4a) - 3/5 = (4/5){7(a^2･b+b^2･c+c^2･a -3abc) + 8(ab^2 + bc^2 +ca^2 -3abc)}/{(a+4b)(b+4c)(c+4a)} ≧0, から 　3/4 + (15/4)(3/5) ≦ (与式), 　3 ≦ (与式), 等号成立は a=b=c のとき。 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 02:23:15 ] >>473　(下) 　ADとBEの交点をXとする。 　頂点A,Bから ∠AXB = 60ﾟ の二等分線に垂線をおろし、A-Ha, B-Hb とする。 　AHa = AXsin(30ﾟ), BHb = BX･sin(30ﾟ), 　AB > AHa + BHb = (AX + BX)sin(30ﾟ) = (AX + BX)/2　　･････････ (*) 同様に 　DE > (DX + EX)/2, ∴　AB + DE > (AX + DX)/2 + (BX + EX)/2 = (AD + BE)/2, 同様に 　BC + EF > (BE + CF)/2, 　CD + FA > (CF + DA)/2, 辺々たすと求める式を得る。 *別法 　AB^2 = AX^2 + BX^2 -AX･BX = (1/4)(AX + BX)^2 + (3/4)(AX - BX)^2 ≧ (1/4)(AX + BX)^2, 　AB ≧ (1/2)(AX + BX), 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 02:57:49 ] 区間 [ 0 , 1 ] 上の任意の連続関数 f ( x ) に対して , さらに f ( x ) > 0 を満たすとき ∫ [ 0 , 1 ] log f(x) dx と log ∫ [ 0 , 1 ] f ( x ) dx の大小を比較せよ 実数上で定義され , 実数に値をとる , 2次までの連続な導関数をもつ関数 f ( x ) が条件 f ' ' ( x ) ≧ f ( x ) ( - ∞ < x < + ∞ ) を満たす . このとき f ( x ) ≧ f ( 0 ) cosh ( x ) + f ' ( 0 ) sinh ( x ) ( x ≧ 0 ) f ( x ) ≦ f ( 0 ) cosh ( x ) + f ' ( 0 ) sinh ( x ) ( x ≦ 0 ) となることを示せ 全ての実数 x に対して x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + ( 21 / 64 ) > 0 となることを示せ 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 07:16:18 ] >>478 真中 {f’(x)＋f(x)}’≧f’(x)＋f(x)，{f’(x)−f(x)}’≧−{f’(x)−f(x)} g(x)＝f’(x)＋f(x) ，h(x)＝f’(x)−f(x) とおくと {e^(-x) g(x)}’＝e^(-x) {g’(x)−g(x)}≦0，{e^x h(x)}’＝e^x {h’(x)＋h(x)}≧0 x≧0 のとき e^(-x) g(x)−g(0)≧0，e^x h(x)−h(0)≦0 ⇔ g(x)≧e^x g(0)，−h(x)≧−e^(-x) h(0) f(x)＝(g(x)−h(x))/2 ≧[e^x {f’(0)＋f(0)}−e^(-x) {f’(0)-f(0)]]/2 ＝f(0) cosh(x)＋f’(0) sinh(x) x≦0 のときも同様。 簡単でないかい？ 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 07:42:03 ] >>478 下 f(x)＝x^4−x^3＋x^2−x＋21/64 とおく f'(x)＝4x^3 - 3x^2 + 2x - 1，f''(x)＝12x^2−6x＋2＞0 より f(x) の極値は 極小値 1個のみ x＝a で極小値をとるとすると f'(0.6)＜0＜f'(0.61) より 0.6＜a＜0.61 f(a)＝(a/4-/16) f'(a)＋5a^2/16-5a/8+17/64＝5a^2/16-5a/8+17/64 g(x)＝5x^2/16-5x/8+17/64 とすると g(x) は0＜x＜1 で単調減少 g(0.61)＞0 より g(a)＞0 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 08:57:18 ] >>478 (上) (略証) 　(k-1)/n ≦ x_k ≦ k/n とする。 相乗･相加平均より 　　{Π[k=1,n] f(x_k)}^(1/n) ≦ (1/n)�納k=1,n] f(x_k), �凅 = 1/n として、 ∴　�納k=1,n] log{f(x_k)}�凅 ≦ log{�納k=1,n] f(x_k)�凅}, ここで n→∞ (�凅→0) とする。 >>480 (蛇足) 　f '(x) = 4x^3 -3x^2 +2x -1 = 4X^3 +(5/4)X -(5/8), ここに X = x - 1/4, 　a = (1/4){1 + [(20/9)√6 +5]^(1/3) - [(20/9)√6 -5]^(1/3)} 　　= 0.6058295861882680209909387311570･･･ 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 09:53:42 ] >>478 (下) 　X = x - 1/4 とおく。 　(左辺) = x^4 - x^3 + x^2 - x + (21/64) 　　　= X^4 + (5/8)X^2 - (5/8)X + (33/256) 　　　= (X^2 - 1/8)^2 + (7/8)X^2 - (5/8)X + (33/256) 　　　= (X^2 - 1/8)^2 + (7/8)(X - 5/14)^2 + (3/1792) 　　　> 3/1792, 感嘆で内科医？ 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 22:40:22 ] >>478 (下) y=f(x) は下に凸で、ただ1つの極小点aは 0.6<a<0.61　　　>>480 ･ x≦0.605 のとき 　x=0.6 で接線をひく。 　f(x) ≧ f(0.6) + f '(0.6)･(x-0.6) 　　　　= 0.001725 - 0.016(x-0.6) 　　　　≧ 0.001645 ･ x≧0.605 のとき 　x=0.61 で接線をひく。 　f(x) ≧ f(0.61) + f '(0.61)･(x-0.61) 　　　　= 0.00170241 + 0.011624(x-0.61) 　　　　≧ 0.00164429 >>482 　肝胆で内科医 　邯鄲で無い海 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 00:31:51 ] >>480 f(x) の最小値は 　f(a) = g(a) = 0.001678223476410008900477133721940･･･ 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 01:59:33 ] x を正の実数 , n を正の整数とするとき [ nx ] > Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k ) となることを示せ ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 03:32:38 ] >>472 (2)は某所に答えあった 487 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 05:19:01 ] >>485 n=1のとき、 左辺も右辺も両方とも、[x]になって、 [x] > [x] ・・・＞ありえない。 になってしまうんだけど・・・自分の勘違い？ 488 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 05:29:19 ] >>472 (3)って、かんたんに(2)に帰結できるきが。。。 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:31:59 ] 四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ x を正の実数 , n を正の整数とするとき [ nx ] ≧ Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k ) となることを示せ ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 22:31:16 ] >>489 前半は入試問題 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 18:31:27 ] 実数x,yが x≧0, y≧0, x^6+y^5≦x^5+y^4 を満たすとき、x^5+y^5≦2を示せ。 492 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 23:10:09 ] I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ． ( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | ) ただし，M は f に無関係な定数とする． 493 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 05:41:58 ] >>490 大数の宿題 宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理�T志望。 空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!! 494 名前：猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/27(日) 09:52:56 ] 空気の読めなさやったらワシの方が上じゃろうなァ 何でかっちゅうとやねェ、ワシは空気を読むんを わざと放擲してるからや。 空気を読むっちゅうんはオリジナリティの最大の 敵やからな。 猫 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 19:45:09 ] >>491 相加･相乗平均より {あるいは >1 と <1 で場合分けして} 　1 +5x^6 -6x^5 = (1-x)^2 (1+2x +3x^2 +4x^3 +5x^4) ≧ 0, 　1 +4y^5 -5y^4 = (1-y)^2 (1+2y +3y^2 +4y^3) ≧ 0, よって 　x^5 = 1 + (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 +x +1) ≦ 1 + 5(x-1)x^5 = 1 + 5(x^6 -x^5), 　y^5 = 1 + (y-1)(y^4 + y^3 + y^2 +y +1) ≦ 1 + 5(y-1)y^4 = 1 + 5(y^5 -y^4), 辺々たすと 　x^5 + y^5 ≦ 2 + 5(x^6 -x^5 + y^5 -y^4) ≦ 2,　　　　　(← 題意) 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 05:26:30 ] >>495 同じことだが、 　x-1 ≦ (x-1)x ≦ (x-1)x^2 ≦ (x-1)x^3 ≦ (x-1)x^4 ≦ (x-1)x^5, 　y-1 ≦ (y-1)y ≦ (y-1)y^2 ≦ (y-1)y^3 ≦ (y-1)y^4, よって 　x^5 ≦ 1 + 5(x^6 -x^5), 　y^5 ≦ 1 + 5(y^5 -y^4), 辺々たす、だな。フムフム･･･ 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 14:27:15 ] >>489 (下) S_k = [kx] - (2/(k+1))･([x] + [2x] + …… + [kx]) 　　= (1/(k+1))･Σ(j=0,k) ([kx] - [jx] - [(k-j)x]) 　　≧ 0, とおくと (左辺) - (右辺) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx] /k 　　= … … 　　= (1/(n+1))Σ(k=0,n) ([nx] - [kx] - [(n-k)x]) + Σ(0<i+j≦n) (2/(i+j)(i+j+1))([(i+j)x] - [ix] - [jx]) 　　= S_n + Σ(k=1,n) S_k /k 　　≧ 0, ぬるぽ 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 18:02:17 ] >>497 【補題】 　[y+z] ≧ [y] + [z], (略証) 　y = [y] + {y}, 　z = [z] + {z}, ∴　[y+z] = [y] + [z] + [{y}+{z}] = [y] + [z] + (0 or 1), 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/29(火) 23:03:28 ] >>496 　x^5 = (x-1)x^4 + (x-1)x^3 + (x-1)x^2 + (x-1)x + (x-1) + 1 ≦ 1 + 5(x-1)x^5, 　y^5 = (y-1)y^4 + (y-1)y^3 + (y-1)y^2 + (y-1)y + (y-1) + 1 ≦ 1 + 5(y-1)y^4, だな。 500 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/30(水) 00:03:19 ] R上の任意の2数x,yについて,x>yならばx≦yとなり得ない事を示せ って宿題が出ました どこをどう示せばいいか分かりません 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 00:51:24 ] >>500 x>yである順序対(x,y)全体の集合をA、x≦yである順序対(x,y)全体の 集合をBとおいて、A∩B=空集合を示せばいいのでは 502 名前：未解決？ [2009/09/30(水) 07:08:32 ] I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ． ( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | ) ただし，M は f に無関係な定数とする． 四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ 同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある 点Pが以下の位置にあるとき ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか (2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき (3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき (1) 0<x<e，α=e-x，β=e+x α^βとβ^αどちらが大きいか (2) 0<x<1，α=ex，β=e/x α^βとβ^αどちらが大きいか f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする (∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a)) α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾βの大小関係を答えよ p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ： ∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p). F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。 ∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 13:39:35 ] ＞F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。 ＞∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ 0≦x≦1とする。t∈[x,1]のときF(x)≦F(t)だから、両辺をxから1までtで積分して (1−x)F(x)≦∫[x,1]F(t)dt が成り立つ。変形してF(x)≦xF(x)＋∫[x,1]F(t)dt となる。F≧0だから ∫[x,1]F(t)dt≦∫[0,1]F(t)dtであり、また、x≧0，F(x)≦1よりxF(x)≦x である。これらを用いて F(x)≦x＋∫[0,1]F(t)dt を得る。これは任意のx∈[0,1]で成り立つから、(Gの値域)⊂[0,1]であることから x＝G(y)，y∈[0,1] と置いても上の不等式は成り立つ。つまり F(G(y))≦G(y)＋∫[0,1]F(t)dt が任意のy∈[0,1]で成り立つ。この不等式をyで0から1まで積分すればよい。 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 14:23:51 ] ＞I＝[0，1]，f (x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ． ＞( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f (x) | ) ( max [I] | f (x) | ＋ max [I] | f”(x) | ) ＞ただし，M は f に無関係な定数とする． 簡単のためA＝max [I] | f (x) |，B＝max [I] | f ' ' (x) |とおく。 A＝0のときはf≡0だから、既に成り立っている。以下、A≠0とする。 a∈[0,1]を任意に取り、固定する。各x∈[0,1]に対して、適当なθ＝θ(x)があって f (x)＝f (a)＋f ' (a)(x−a)＋f ' ' (θ)(x−a)^2/2 とできる。x≠aのとき、両辺を(x−a)で割って変形して f ' (a)＝(f (x)−f (a))/(x−a)−f ' ' (θ)(x−a)/2 となるから、特に|f ' (a)|≦2A/|x−a|＋B|x−a|/2となる。 ここで更にt＝|x−a|/2 とおけば |f ' (a)|≦A/t＋tB　…(*) となる。aを固定したままでxを[0,1]−{a}の範囲で任意に 動かすとき、tの動く範囲は 0＜t＜1　　　　　　　　　　 (a＝0,1) 0＜t≦max{ |a| , |1−a| }/2　(a≠0,1) である。a≠0,1の場合については、簡単な議論によって 1/4≦max{|a|,|1−a|}/2であることが言えるので、結局、tは少なくとも 0＜t≦1/4の範囲を動くことになる。また、a＝0,1の場合は、tは0＜t＜1の 範囲を動くから、tは当然0＜t≦1/4の範囲も動く。よって、いずれの場合も、 tは少なくとも0＜t≦1/4の範囲を動く。 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 14:30:43 ] \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 訂正します(＾o＾) aを固定したままでxを[0,1]−{a}の範囲で任意に 動かすとき、tの動く範囲は 0＜t≦1/2　　　　　　　　　　 (a＝0,1) 　　　(←これが正しい) 0＜t≦max{ |a| , |1−a| }/2　(a≠0,1) である。 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 504の続き： そこで、t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} と置いてみる。このtは0＜t≦1/4 を満たしている(A≠0だからt≠0であることに注意)ので、このtに対して (*)が成り立つ。このとき (*)の右辺＝4√{A(A＋B)}＋(1/4)B√{A/(A＋B)} 　　　　　　≦4√{A(A＋B)}＋(1/4)(A＋B)√{A/(A＋B)} 　　　　　　＝(4＋1/4)√{A(A＋B)} となるので、結局、|f ' (a)|≦(4＋1/4)√{A(A＋B)}…(**)となる。 これが任意のa∈[0,1]で成り立つから、max [I] | f’(x) |≦(4＋1/4)√{A(A＋B)} となり、両辺を2乗して題意の不等式を得る。 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/01(木) 16:52:28 ] >>504-505 流石にこのスレはレベルが高いですね． t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが， どうやって思いついたのですか？ とりあえず 2A/|x−a|＋B|x−a|/2 のうちどちらを const.√{A(A＋B)} の形にするかで，前者を選んだと言うことでしょうか？ 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/01(木) 19:00:08 ] >>504-505 さんの解答をほとんど同じですが，より平易に書いて見ました． 文字は>>504-505 さんのものを使用します． x，a∈[0，1]，a を固定し x≠a とする． {f(x)−f(a)}/(x−a)＝f’(c) となる c が x と a の間に存在 |f’(c)|≦( |f(x)|＋|f(a)| )/|x−a|≦2A/|x−a|．．．�@ f’(c)−f’(a)＝∫[a，c]f”(t)dt より |f’(a)|≦|f’(c)|＋|∫[a，c]f”(t)dt|≦|f’(c)|＋|c−a| B≦|f’(c)|＋B|x−a| ．．．�A �@，�A より |f’(a)|≦2A/|x−a|＋B|x−a| ．．．�B ( i ) 0≦a≦1/2 のとき x＝a＋(1/2)√{A/(A＋B)} とおくと 0≦x≦1 で �B より |f’(a)|≦4)√{A(A＋B)}＋(1/2)B√{A/(A＋B)} ≦(4＋1/2)√{A(A＋B)} ( ii ) 1/2≦a≦1 のとき ( i ) とまったく同様 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 19:14:40 ] >>506 ＞どうやって思いついたのですか？ この問題は、以前読んだ数学書に書いてあった不等式そのもので、 証明も載ってた。それを引っ張ってきただけ(＾o＾) ただし、その本では(偶然にも)>>507と全く同じやり方で やっていて、個人的にはこのやり方は気に食わない。 何で気に食わないかと言うと、(*)の不等式への道筋が 見えにくいから。でも、テーラー展開しておけば一瞬で見える。 それで、504〜505の形で書いた。 ＞t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが， 何も分かってない！そこは肝でも何でもない。 表面的な技巧に目が行って本質が見えてない。 504〜505では、行数の節約のために、本にならって t＝(1/4)*√{A/(A＋B)}と置いたが、こんな技巧的な操作は 本来は必要なくて、(*)まで行ければ何をしたって証明できる。 つまり、肝は(*)の不等式だ。 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 19:33:14 ] もし(*)の不等式でtが実数全体を動けるなら、t＝√(A/B) と置けば ||f ' ||^2≦ 4||f ||*||f ' ' ||　…(★) という(より強い)不等式が示せる。t＝√(A/B)と置く理由は、 相加相乗平均から。 あるいは、(*)の不等式の両辺にtをかけて整理すれば Bt^2−|f ' (a)|t＋A≧0 と変形できるので、tが実数全体を動けるなら、(判別式)≦0 を計算して 同じく(★)の不等式が得られる。 ここまで来ればもう分かると思うが、この手法はコーシー・シュワルツの 不等式の証明と同じものなのだ。そういう理解をしなければいけない。 ある文字について二次の多項式になっていれば、そこには コーシー・シュワルツの手法が使える可能性があるのだ。 今回は、f(x)をaのまわりで2次までテイラー展開すれば、 「|x−a|」 について二次の多項式になっているのだ。 しかし、>>507の書き方だと、二次の多項式で書けることが 見えないのだ。 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 19:50:27 ] で、一応 ＞(*)まで行ければ何をしたって証明できる。(>>508) の詳細も書いておく。 今回問題となるのは、tは実数全体を動けるわけでは無いということ。 ならば、普通に(*)の右辺の最小値を泥臭く計算すればいい。 g(t)＝A/t＋Bt と置くと、(*)の不等式は|f ' (a)|≦g(t) と書ける。 以下、簡単のためB≠0とする。 √(A/B)≦1/4のとき： 0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は2√(AB)　(t＝√(A/B)) なので、このtを(*)に代入して|f ' (a)|≦2√(AB) となり、よって(★)の不等式を得る。 √(A/B)＞1/4のとき： 0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は4A＋B/4 (t＝1/4)なので、 t＝1/4を(*)に代入して|f ' (a)|≦4A＋B/4 を得る。 あとは、4A＋B/4≦C√{A(A＋B)} を満たす定数Cが存在することが言えればよい。 変形して(4A＋B/4)/√{A(A＋B)}≦Cとなるから、要するに左辺が有界ならよい。 で、√(A/B)＞1/4だったからB＜16Aであり、 (4A＋B/4)/√{A(A＋B)}＜(4A＋4A)/√{A(A＋B)}＝8√{A/(A+B)}≦8 となって、C＝8と置けばいい。 (B＝0の場合が残っているが、これも泥臭く計算すれば出る。) 511 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 21:59:37 ] 質問です 任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに　ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２−２ｐｘｙ−２ｑｙｚ−２ｒｚｘ≧０ となるための、ｐ、ｑ、ｒについての条件を求める ｐ、ｑ、ｒは与えられた正数とする。任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに ｐ√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＋ｑ√（ｙ＾２＋ｚ＾２）＋ｒ√（ｚ＾２＋ｘ＾２）≦Ｋ√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２） が成立する定数Ｋの最小値を求める（コ−シー・シュワルツの不等式を使わずに） ｐ、ｑ、ｒは与えられた実数で、ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ＞０かつ（ｐ＋ｑ）（ｑ＋ｒ）（ｒ＋ｐ）≠０とする 任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに （ｐｘ＋ｑｙ＋ｒｚ）＾２＋Ｋ（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２−２ｘｙ−２ｙｚ−２ｚｘ）≧０ が成立する最大な正数Ｋをｐ、ｑ、ｒで表す お願いします 512 名前：507 mailto:sage [2009/10/03(土) 00:11:41 ] 「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました． 平均値もテーラー展開も本質的には同じで，みえやすさにそれほど大差はないと思います． |f ' (a)|≦A/t＋tB　の評価が肝だとも書かれていますが，これは，平均値やテーラー展開を 使う限り自ずと出てくるものだと思います． |f ' (a)|≦A/t＋tB　がでて来ればおっしゃるとおり泥臭くやれば，2次関数の問題に帰着され 結果的に解けます． 僕が興味を持ったのは，それらの事を踏まえた上で，何故唐突に t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} という値が出てきたか知りたかった訳です． 後，、｢|f ' (a)|≦A/t＋tB まで行ければ何をしたって証明できる。｣とありますが， |f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも 思いますが． 513 名前：507 mailto:sage [2009/10/03(土) 00:22:30 ] 僕個人では，A/t＋tB≦C√{A(A＋B)} を示すのに，t は上限があり， いくらでも小さくなれるので， A/t を まず C√{A(A＋B)} で上から評価するために，t＝p√{A/(A＋B)} といて （p は後から調整） という発想からでたものかと思っていました． 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 00:51:01 ] >>512 ＞「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました. 個人的には、それは平易とは思わない。使われているツールは 原始的(＝平易)かもしれないが、それが証明の見通しのよさに 繋がるとは限らない。 ＞|f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも思いますが． それは俺の書き方が悪かったかもしれない。 少なくともt＝(1/4)*√{A/(A＋B)}を(*)に代入すれば題意の不等式は 出るのだから、(*)の時点で評価が甘いということは無いわけだ。 これを踏まえた上で「何をやっても証明できる」と書いた(天下り的な感じ)。 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 09:41:00 ] >>376, >>502(7) 　1/(t^p + 1) = x　とおくと、 　t = (1/x - 1)^(1/p), 　p･dt = (-1/x^2)(1/x - 1)^(1/p - 1) dx, 　(左辺) = ∫[0,1] (1/x)(1/x -1)^(1/p -1) dx 　　= ∫[0,1] x^((1 -1/p)-1) (1-x)^(1/p -1) dx 　　= Ｂ(1 -1/p, 1/p) 　　= Γ(1 -1/p)Γ(1/p) / Γ(1) 　　= π/sin(π/p), 等式の希ガス… 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 10:08:33 ] >>406 , >>502(5) 　x_0 =a, x_n =b, x_i - x_(i-1) = �凅_i >0, ととる。 f "(x) ≧ 0 だから、Jensenの不等式より 　Σ[i=1,n] f(x_i)�凅_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] f(x_i)�凅_i /(b-a) ), ここで Max{|�兩i|; 1≦i≦n} → 0　を満たすように n→∞ とする。 (応用例) 　>>478 (上), >>481 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 10:18:51 ] >>516　訂正… 　Σ[i=1,n] f(g(x_i))�凅_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] g(x_i)�凅_i /(b-a) ), 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 11:53:57 ] >>472 , >>502 [3] 点Pが問題の直線の外にあるときは、最小にならない希ガス。 ∵　点Pからこの直線に下ろした垂線をPQとすれば、 PA[k] > QA[k] となるから。 ∴　(2),(3) も結局 (1) に帰着され、>>475 と思われまする。 519 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/04(日) 20:34:50 ] x,y≧0,x+y=1のとき (x^5+y^5)/(x^3+y^3)の最大値最小値を求めよ。 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 22:32:25 ] >>514 いきなりの t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} のびっくりしましたが，熊ノ郷先生の発案でしたか。 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 01:05:53 ] >>519 　4(x^5 +y^5) = 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3) + 2(x^2 -y^2)(x^3 -y^3) 　　≧ 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3) 　　= (x+y)^2･(x^3 +y^3) + (x-y)^2･(x^3 +y^3) 　　≧ (x+y)^2･(x^3 +y^3), 最小値 1/4,　等号成立は x=y のとき。 　(x+y)^2･(x^3 +y^3) - (x^5 + y^5) = xy(2x^3 +x^2･y +x･y^2 +2y^3) ≧ 0, 最大値 1,　等号成立は xy=0 のとき。 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 20:10:07 ] >>519 〔類題〕 x,y≧0、0≦m≦n のとき 　{(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n + y^n)/(x^m + y^m) ≦ (x+y)^(n-m), 　{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m + y^m)/(x^n + y^n) ≦ {2/(x+y)}^(n-m), 523 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/08(木) 03:20:04 ] 鋭角三角形ABCについて次の不等式を示せ 2(sinA+sinB+sinC)＞3(cosA+cosB+cosC) sinA+sinB+sinC＞2+min{A/4,B/4,C/4} www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/l50 より 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 09:25:06 ] >>519 >>521 で答えでてるけど、別解。 丁寧というか、馬鹿正直に長ったらしく書いたけど、やりかたは、高校生チックで素直？ （てか、>>521 の回答、いきなり４かけたりよくそんなの思いつくなぁ） x^5 + y^5 = (x^3+y^3)(x^2+y^2) -{(xy)^2}(x+y) = (x^3+y^3)(x^2+y^2) - (xy)^2 = (x^3+y^3){(x + y)^2 -2xy} - (xy)^2 = (x^3+y^3)(1 - 2xy) - (xy)^2 ∴ 与式 = 1 - 2xy - {(xy)^2}/(x^3+y^3)・・・≪１≫ また、 x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x + y) = 1 - 3xy ゆえに、 与式 =≪１≫ = 1 - {2a + (a^2)/(1-3a)}・・・≪２≫ （※a=xyとおいた。 ここで、x,yは、tについての２次方程式「t^2-(x+y)t+xy=0・・・≪３≫」の２実解で、かつ非負整数であるので、 ≪３≫の判別式 = (x+y)^2 - 4xy = 1 - 4a >= 0 ∧ x>=0 ∧ y >=0 ∴ 0<=a<=1/4 ） つづく。。。。。。。。。。。。。 525 名前：524 mailto:sage [2009/10/08(木) 09:26:32 ] このとき、aの増減と、2a, a^2 の増減は一致する。 また、aの増減と、1-3a の増減は反対となる。 ゆえに、 aの増減と≪２≫、つまり与式の増減は反対となる。 よって、≪２≫より、 与式の最小値は、a=1/4のとき（※）、1/4 （※ つまり、a=xy=1/4 ∧ x+y=1ゆえ、x=y=1/2のとき） 与式の最大値は、a=0のとき（※）、1 （※ つまり、a=xy=0 ∧ x+y=1ゆえ、(x,y)=(1,0) ∨ (x,y)=(0,1)のとき） ==== 告白すると文系出身なので、≪２≫を微分するやりかたわすれましたｗ 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 23:00:11 ] >>519 〔類題〕 x,y≧0、0≦m≦n のとき 　(n/m){(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n - y^n)/(x^m - y^m) ≦ (x+y)^(n-m), 　{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m - y^m)/(x^n - y^n) ≦ (m/n){2/(x+y)}^(n-m), ・参考 　>>136 , [初代スレ.128, 132-135] 　Ingleby不等式 527 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/09(金) 04:01:26 ] >>525 宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理�T志望。 空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!! 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 11:46:34 ] >>502 (4) 　β^α - α^β、β^(1/β) - α^(1/α) 、(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は符号が同じ。 便宜上 (2) を先に解く。 　0<x，α=ex，β=e/x のとき 　(1/α)log(α) = (1/ex){1 + log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t)/(t^2) dt, 　(1/β)log(β) = (x/e) {1 - log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t) dt, 辺々引いて 　(1/β)log(β) - (1/α)log(α) = (1/e)∫[x,1] (1 - 1/t^2)log(t) dt, ここで被積分函数は非負 (1 - 1/t^2)log(t) ≧ 0　だから、 　(1/β)log(β) - (1/α)log(α) の符号は 1-x の符号と一致する。(終) 〔系〕 0 < α < e < β, αβ < e^2 のとき 　(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は β-α と同符号。 (1) αβ = (e-x)(e+x) = e^2 - x^2 < e^2　だから、(系) により成立する。 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 15:37:38 ] >>389 , >>502 (6) 　f(x) = (1/x)log(x), は x=e に極大をもち、両側で単調だから 　f(x) ≦ f(e) = 1/e, 　f(π) < 1/e, ∴　π^(1/π) < e^(1/e), ∴　α = e^π > π^e = β, ∴　π^α > π^β,　e^α > e^β, 問題は π^β > e^α であるが、これと同値な 　β･log(π) > α, を示そう。 　e = 2.71828… > 2.7142857… = 19/7, 　π^7 = 3020.293… > 2980.958… = e^8, 　π > e^(8/7), 　log(π) > 8/7 = 1/{1 - (1/8)} > 1/e^(-1/8) = e^(1/8), 　β = π^e = e^(e･log(π)) > e^((19/7)(8/7)) = e^(3 + 5/49) > e^(3.1) , 辺々かけて 　β･log(π) > e^(3.1 + 1/8) > e^π = α, 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 15:47:28 ] ふぅ・・・ 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 18:00:26 ] >>511 (上) ・問題の２次形式が半正値。 ・行列 　[ 1, -p, -r ] 　[-p,　1, -q ] 　[-r, -q,　1 ] の固有値がすべて非負。 ・固有多項式 　t^3 -3t^2 + (3 -p^2 -q^2 -r^2)t -(1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr) = 0, の根がすべて非負。 ・　3 -p^2 -q^2 -r^2 ≧ 0,　1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr ≧ 0, (中) 　a = √(x^2 +y^2),　b = √(y^2 +z^2),　c = √(z^2 +x^2), とおくと (a,b,c) は鋭角△をなす。 ∴　これは 条件付きの不等式である。 　(p,q,r) が鋭角△をなすか否かで場合分け。　　>>221 (下） ・問題の２次形式が半正値。 ・行列 　[ p^2 +K, pq -K, pr -K ] 　[ pq -K, q^2 +K, qr -K ] 　[ pr -K, qr -K, r^2 +K ] の固有値がすべて非負。 ・固有多項式 　t^3 -(p^2 +q^2 +r^2 +3K)t^2 +{(p+q)^2 +(q+r)^2 +(r+p)^2}Kt -4(pq+qr+rp-K)K^2, の根がすべて非負。 ・　0 ≦ K ≦ pq+qr+rp, 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/10(土) 17:35:58 ] >>511 (上), >>531 (上) 　0 ≦ 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr　　　　>>531 　　= (1-p^2)(1-q^2) - (pq+r)^2 　　= (1-q^2)(1-r^2) - (qr+p)^2 　　= (1-r^2)(1-p^2) - (rp+q)^2, から 　(1-p^2)(1-q^2) ≧ 0, 　(1-q^2)(1-r^2) ≧ 0, 　(1-r^2)(1-p^2) ≧ 0, よって 1-p^2, 1-q^2, 1-r^2 は同符号。 したがって 　(1-p^2) + (1-q^2) + (1-r^2) ≧ 0,　　　>>531 ⇔　1-p^2 ≧ 0,　1-q^2 ≧ 0,　1-r^2 ≧ 0, ⇔　|p|≦1,　|q|≦1,　|r|≦1, ・参考書[3]の第1部 例題１． 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 10:54:36 ] >>523 出題元の解答は･････ 〔補題〕　A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2), (上) 　min{A,B,C} = C　とすると 0<C≦π/3 より, 　2cos(C/2) -3sin(C/2) ≧ 2cos(π/6) -3sin(π/6) = √3 -(3/2) >0 だから 　(左辺) - (右辺) = 2{sin(A) + sin(B) + sin(C)} -3{cos(A) + cos(B) + cos(C)} 　　　= 2cos((A-B)/2){2sin((A+B)/2) -3cos((A+B)/2)} +2sin(C) -3cos(C) 　　　= 2cos((A-B)/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C), 　　　> 2cos(C/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C)　　　　(←補題) 　　　= 2{1+cos(C)} -3sin(C) +2sin(C) -3cos(C) 　　　= 2 -sin(C) -cos(C) 　　　= 2 -(√2)sin(C + π/4) 　　　≧ 2 - √2 　　　> 1/2　 　　[93]　by シタカンダ (下) 　min{A,B,C} = C　とする。 0<C≦π/3, 　(左辺) = sin(A) + sin(B) + sin(C) 　　　= 2cos((A-B)/2)sin((A+B)/2) + sin(C) 　　　= 2cos((A-B)/2)cos(C/2) + sin(C) 　　　> 2{cos(C/2)}^2 + sin(C)　　　　　　(←補題) 　　　= 1 + cos(C) + sin(C) 　　　≧ 1 + {1 - (3/2π)C} + {(3√3)/(2π)}C　　(←cos(x)+sin(x)は上に凸) 　　　= 2 + {3(√3 -1)/(2π)}C 　　　= 2 + 0.349528513857C, 　　　= 2 + (1/3)C,　　　　　　　[96]　by だるまにおん 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 10:57:12 ] >>523 〔補題〕 　A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2), (略証) 　A-B < (π-A) - B = C, 　B-A < (π-B) - A = C, ∴　|A-B| < C,　　　　　(終) 535 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 01:34:46 ] (1) θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき 　　15(sinθ)^2+12sinθcosθ+16(cosθ)^2 の最大値を求めよ。 (2) θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき 　　15sinθ+12sinθcosθ+16(cosθ)^2 の最大値を求めよ。 www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/l50 より 536 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 02:59:02 ] >>438 www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089292331/830 らしい 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 05:41:07 ] >>523 の〔類題〕 ・1≦K≦√3 のとき 　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 - (√2)(K-1), ・0≦K≦1のとき 　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + (2-K) + (1-K)(1/3)C, (略証) 　0≦K≦√3 と C≦π/3 より 　cos(C/2) - K･sin(C/2) ≧ (√3 -K)/2 ≧ 0, 　sin(A) + sin(B) > K{cos(A)+cos(B)-sin(C)} + 1 + cos(C), 　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 + (1-K){sin(C)+cos(C)}, ところで、 C≦π/3 より 　1 + (1/3)C ≦ cos(C) + sin(C) ≦ √2, (終) 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 21:14:11 ] >>535　出題元の解答は… 〔補題〕 　|a･cos(x) + b･sin(x)| ≦ √(a^2 + b^2), (略証) 　{a･cos(x) + b･sin(x)}^2 = a^2 + b^2 - {b･cos(x) - a･sin(x)}^2 ≦ a^2 + b^2, (終) (1) 　(与式) = (31/2) +6sin(2x) +(1/2)cos(2x) ≦ (31/2) + √{6^2 + (1/2)^2}, (2)　 　(与式) = 3sinθ(5+4sinθ) + 16(cosθ)^2 　　　　=　3sinθ(5+4cosθ) + 25 - (5-4cosθ)(5+4cosθ) 　　　　= 25 - (5 -3sinθ -4cosθ)(5+4cosθ) 　　　　≦ 25, www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/111-112 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 03:13:04 ] △ ABC の周の長さを L とし , 角 A , B , C の二等分線の長さを x , y , z とすると 不等式 x + y + z ≦ { ( √ 3 ) / 2 } L が成立する . さらに , 外接円と内接円の半径をそれぞれ R , r とすると 9 r ≦ x + y + z ≦ ( 9 / 2 ) R が成立する α , β , γ を複素変数とし , 次の式の分母が 0 とならない範囲での最大値を求めよ また , 実変数の場合はどうか | ( α - β ) ( β - γ ) ( γ - α ) ( α + β + γ ) | / ( | α | ^ 2 + | β | ^ 2 + | γ | ^ 2 ) ^ 2 ( 数学セミナーより ) 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 03:15:51 ] フェラチオ＞シックスナイン 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 16:16:19 ] フェラチオという行為は女性から男性、または男性から男性に行うことのできる写像であるとすると、 この写像は男性という集合への単射である。また、シックスナインは同じ考えに基づき全単射の写像である。 いずれも、任意の性的快感を得る写像であることから、このふたつは同じ集合の元であると考えると、 単射э全単射といえることから フェラチオ э シックスナイン であると言える。 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 16:17:31 ] ｗ 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2009/10/17(土) 02:14:08 ] age 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:22:24 ] >>539 (上)　>>394-395　 (下)　実変数のときは、　(与式) ≦ 0.397747488･･･, 　　等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1 かな？ 545 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 10:03:31 ] △ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、 √(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R)) を示せ。 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 15:16:14 ] >>539 　(下) 実変数のとき 　最大値　9/(16√2) = 0.397747564････ 　α:β:γ = -(3/√2 - 1) : 1 : (3/√2 + 1) 　　　　= -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1 　　　　= -0.359245518････ : 0.320377241･･･ : 1 のとき 547 名前：546 mailto:sage [2009/10/18(日) 06:00:35 ] >>539 (下)　(546の続き) ・複素変数のとき 　3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†) 　　= |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 　　≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2),　　(← 相加･相乗平均) ∴　(与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16, 　等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。 ・実変数のとき 　βはαとγの中間にあるとする。 　|γ-α|^2 = (|α-β| + |β-γ|)^2 ≧ 4|α-β||β-γ|,　　･･････　(*) よって 　3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 　≧ 2|α-β||β-γ| + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2　　　　　(← 相加･相乗平均) 　≧ 2|α-β||β-γ| + 2|α-β||β-γ| + (1/2)|γ-α|^2 + |α+β+γ|^2　　(← *) 　≧ 4･2^(1/4) |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2),　　　(← 相加･相乗平均) ∴　(与式) ≦ 9/(16√2), 　等号成立は　|α-β| = |β-γ| = (1/√2)|α+β+γ| のとき, 　　α:β:γ = -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1　 548 名前：547 mailto:sage [2009/10/18(日) 06:50:01 ] >>539 (下)　(547の続き) ・非負変数のとき 　min{α,β,γ} = m ≧0,　{α,β,γ} = {m,m+x,m+x+y}, x≧0, y≧0 とする。 　|�處 = xy(x+y), 　α+β+γ = 3m +2x +y, 　|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 = 3m^2 + 2m(2x+y) + (2x^2 +2xy +y^2), 　(1/4)(|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2)^2 ≧ m(2x+y)(2x^2 +2xy +y^2) + (1/4)(2x^2 +2xy +y^2)^2 　　=　|�處･(α+β+γ) + m(4x^3 +3x^2･y +xy^2 +y^3) + {x^2 -(1/2)y^2}^2 　　≧ |�處･(α+β+γ), 　(与式) ≦ 1/4, 　等号成立は m=0, x=y/√2 のとき。 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 22:20:46 ] >>538 (2)　訂正 　(与式) = 3sinθ(5 + 4ｃｏｓθ) + (4sinθ)^2 >>548 　�� = (α-β)(β-γ)(γ-α),　　とおきますた(差積)。 　等号条件は α:β:γ = 0 : 1 : (1+√2) = 0 : (√2 -1) : 1　及びその入れ換え。 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/19(月) 03:59:44 ] 蒼井そら 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/20(火) 02:10:33 ] www.551horai.co.jp/ 551蓬莱 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/20(火) 02:11:34 ] >>550 ja.wikipedia.org/wiki/河合曾良 dic.nicovideo.jp/a/河合曾良 ja.wikipedia.org/wiki/ギャグマンガ日和 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/21(水) 01:00:05 ] |cos(θ+φ)-cosθ+φsinθ|≦(φ^2)/2 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/23(金) 21:53:39 ] >>553 　-1 ≦ -cos(θ+φ) ≦ 1, φで積分して 　-|φ| ≦ -sin(θ+φ) + sinθ ≦ |φ|,　 φで積分して 　-(1/2)φ^2 ≦ (左辺) ≦ (1/2)φ^2, あるいは平均値の定理から f(φ) - f(0) - φf '(0) = (1/2)φ^2･f "(kφ),　0<k<1, ただし、f(φ) = cos(θ+φ), 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/24(土) 02:24:55 ] >>502 の解答 (1) >>504-510　(2) 未　(3) >>518　(4) >>528　(5) >>516-517　(6) >>529　(7) >>515　(8) >>503 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/24(土) 02:53:56 ] 問1 1.6 < ( √ 2 ) ^ ( √ 2 ) < 1.7 ただし √ 2 = 1.414･･･ とする 問2 | Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x | のとき | Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1 問3 自然対数の底eを e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! ) とする ( 1 )済 e < 2.721 ( 2 )済 log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x ) ( 3 ) 1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318 ただし 2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561 とする 問4 四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 00:15:47 ] >>556 とりあえす問１だけ････ 　a = 2^(3/2) = 2√2 = 2.828････ とおくと、(与式) = a^(4/3a), 　e^(1/a) < a^(1/a) < e^(1/e),　　　(← a>e) 　e^(4/3a) < (与式) < e^(4/3e), 　8/3 < e < a < 17/6　より 　1/2 - 1/34 = 8/17 < 4/3a < 4/3e < 1/2, 　e^(4/3e) < √e = 1.64872･･･ 　e^(4/3a) > e^(-1/34)√e > (1-1/34)(√e) = (33/34)√e = 1.6002･･･ 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 02:59:25 ] さすがに√eの値を出すのは反則でない？ 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 10:35:04 ] >>556 問1 (√2)^(√2)=a　とおく。 f(x)=x^(√2-1)　とすると、f(x)はx>0で単調増加より f(√2) < f(a) よって、a/√2 < a^√2/a =2/a　から a^2 < 2√2 = 2.828... 2.56 < 2.828... < 2.89 より 1.6 < (√2)^(√2) < 1.7 560 名前：559 mailto:sage [2009/10/26(月) 10:41:03 ] 間違えた…… 下の評価は、g(x)=x^(√2-3/2)　とおいて g(a) < g(√2)　から示す。 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 20:59:26 ] >>438　　(出題元 >>536 から) 　(左辺) - (右辺) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F_1, ∴　(x+y)(x+z)(z+x)F_1 　　= (xy+xz)(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (yz+yx)(y^2 -z^2)(y^2 -x^2) + (zx+zy)(z^2 -x^2)(z^2 -y^2) = xy{(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (y^2 -z^2)(y^2 -x^2)} + cyclic. = xy(x^2 -y^2)^2 + yz(y^2 -z^2)^2 + zx(z^2 -x^2)^2 ≧ 0, 562 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/26(月) 22:42:47 ] image.blog.livedoor.jp/para080/imgs/9/7/97e892c5.jpg img05.ti-da.net/usr/dera1008/DSCF0851s%E5%8A%A0%E5%B7%A5%E3%80%82.jpg www.asaho.com/jpn/img/2005/0919/nikkangendai20050913.jpg

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