面白い問題おしえて〜な 十三問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ] 面白い問題、教えてください 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 01:14:17 ] >352 3816547290 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/20(木) 03:18:50 ] >>354 おお、本当にそうなってる、うめぇｗ 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/22(土) 00:31:38 ] (1/1√1)＋(1/2√2)＋(1/3√3)＋(1/4√4)＋……＋(1/n√n)＋…… はいくつに収束するか？ 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/22(土) 03:51:21 ] >356 (与式) = ζ(3/2) = 2.6123753486 8548834334 8567567924 0716305708 0065240006 3407573328 2488149277 6768827286 0996243868 1263119523 8… 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/22(土) 17:19:35 ] \Gamma (1/2), \Xi (s) 見たいに「函数等式」って無かったのか！ 359 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/25(火) 22:25:17 ] >>354 今さらながら、どうやったの？ 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:32:36 ] >>354 超うめぇｗ 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:35:41 ] >>353 エクセルじゃないけど、三次方程式の解の公式（カルダノの公式）↓ www2.biglobe.ne.jp/~ytajima/cardanos_formula.html 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:52:11 ] >>359 >>354ではないけど、倍数判定をしていけばよろし。 順番としては最後に７の倍数判定かな 順に絞っていくと、6通りぐらいに絞れて、最後に７の条件を満たす候補を探す。 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/26(水) 05:08:17 ] OA=OB=OC=1として四面体OABCがある。頂点Oの立体角をπとするとき、この四面体の体積Vの範囲。 364 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/26(水) 12:11:41 ] >>315 ペルの3次は x^3+ay^3+(a^2)z^3-6xyz=1 だよ aは立方数じゃないからな 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 14:20:50 ] 動点Pが(0,0)から(1,1)まで移動する。 途中、Pの座標値(x,y)のうちどちらか一つが必ず有理数になるように移動すると考えたとき、 Pの移動距離の最小値を求めよ。 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 16:25:27 ] 2 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/29(土) 20:47:53 ] >>364 具体的な一般解（全ての解）の例を挙げてくれ a = 2, 3 位で。 368 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/29(土) 21:06:20 ] xy平面上に曲線y=log x と直線y=m(x-2)がある。ただしm>0。 この二つのグラフで囲まれる面積の最小を求めよ。 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 15:54:09 ] >>368 最小は2交点が x=2±t, log(2+t)+log(2-t)=0 となるとき。t^2=3 なので m=(log(2+√3))/(√3) のときに最小。面積も大してキレイにならない。 議論の精密化をしたところで面白い話は出てこない。つまんないなー。 ここは「面白い問題」を楽しむ所だよ。 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 22:22:18 ] www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ を見てみると、代数の問題が少ないようだがどうしてだろう。 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 23:31:38 ] 自作問題投下。 無限に広がる平面があって、同じ大きさの正方形のマス目に区切られているとする(碁盤の目のように)。 これらのマスのうち有限個のマスを黒で塗りつぶす。n個のマスを塗りつぶしたとする。 塗りつぶしたマス目に、1からnまでの自然数を1つずつ書き込む(順番はどうでもよい)。 各項が0と1のみから成る、n次の正方行列Aを次のように定める。 ・Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0 ただし、i＝jのときは、iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスは隣接していると 定義しておく(従って、Aの対角成分は全て1である)。このAについて、次が成り立つ ことを示せ。 ・A^(n^2)の成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。 ・A^(n^2)の成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。 372 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/31(月) 23:32:27 ] 転載ですがどうぞ 1)10cmの直線ABを引く、 2)直線ABのAから90度の角度で、直線AC(3cm)を引く 3)直線ABのBから88度の角度で、直線BD(3cm)を引く 4)点Cと点Dを結ぶ直線を直線CDとする。これで台形(のような)四角形ができる 5)直線ABの中点E1から垂線を引く 6)同様に、直線CDの中点E2から垂線を引く 7)E1の垂線とE2の垂線の交わる点をFとする 8)Fから、点ABCDに線を引く 9)三角形AFCと三角形BFDを考える。この2つは異なる形状となるのが見て取れるだろう 10)しかし、三角形は3辺の長さが同じなら合同のはずである。 10-1)三角形AFCの辺AFと、三角形BFDの辺BFは、ABの中点から伸ばした垂線の任意の1点からの長さなので、同一 10-2)同様に辺CFと辺DFも長さは同じ、辺ACと辺BDは初期条件が3cmでこれも同じ 問題：この話のどこかに間違いがある、それを見つけろ 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 23:32:45 ] たとえば、n＝4として、以下のように4マスを黒で塗りつぶしたとする。 □□□□□ □■■■□ □□□■□ □□□□□ 次に、1から4までの番号を適当に書き込む。例えば □□□□□ □�C�A�B□ □□□�@□ □□□□□ と書き込む。このとき、行列Aは １０１０ ０１１１ １１１０ ０１０１ となる。A^4を計算すれば、A^4の成分は全て正だと分かるので、A^(n^2)＝A^16もまた、成分が全て正だと 分かり、よって、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である(実際、連結になっている)。 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:02:22 ] >>371 グラフ理論で良く知られた事実と思うが。 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:05:38 ] >>372 問題：この話のどこかに｢間違い｣がある、それを見つけろ ×××××××××××××↑ここに｢間違い｣があるじゃん 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:13:13 ] >>732 これも良く知られた話だ。 F が非常に遠くにあって、三角形BDFが裏返っているから。 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 01:27:12 ] >>374 そうなのか。グラフ理論のどんな定理？ 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 08:56:24 ] >>377 定理という程の名前はなかったと思う。 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 10:42:59 ] 正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、 元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通る物とする。 正十二面体ではどうか？ ここでは図を書けないので理論で答えよ。 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 11:38:11 ] a を非負の実数とする。 i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), （iii) Σ[n = 2 → ∞ ]a^(√log n) が収束する a の範囲をそれぞれ求めよ。 381 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 21:47:40 ] >>380 問題文列記が汚い 人に読ませる力がない 論文書いても読まずにポイ 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 21:59:46 ] では書き直し。 a を非負の実数とする。 (i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), (ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), (iii) Σ[n = 2 → ∞] a^(√log n) の三つの無限級数について、それぞれ収束する a の範囲を求めよ。 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 04:30:54 ] >>382 (ii)があると易し過ぎてツマラナイ。 (ii)がないと結果がツマラナイ。 ゆえにこの問題は 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 05:15:44 ] >>378 ということは、かなり簡単に導けるってことか… 実は、Aの作り方を (i≠jのとき)　Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0 (i＝jのとき)　Aの(i,i)成分＝(iが書いてある黒マスの上下左右4箇所が全て黒マスのとき) 0 , (それ以外のとき) 1 に変えても ・A^nの成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。 ・A^nの成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。 が成り立つのだが( A^(n^2)は勘違いで、A^nで十分ですた )、これも簡単に導ける？ 385 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 08:39:11 ] >>379 こうゆう消防でも問題自体はわかる問題は良問ノ予感 ただ「理論」というのが漠然として 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 09:44:31 ] >>385 「理論」は大げさだった。 「図で具体例を書くより、簡単な文章で」ぐらいに解して置いて下さい。 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 11:00:26 ] >>384 変形した方の問題は兎も角として、元の問題は、連結でなければ、 A を何乗しても 0 は消えないし、 A^k の要素が全て正ならば、更に A を掛けてもそうだから、 小さい n で示せば十分。グラフ理論の結果では、 「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」 が簡単に導けていたと思う。 A^(n^2) については、その系として、 「必要十分が知られている」と言う意味で書いた。 変形した方の問題に対応する直接のグラフ理論の結果は知らないが、 何かの結果から出そうな気はする。 388 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 11:33:43 ] >>367 便宜上2^(1/3)=pとおく a=2なら (1+p+p^2)^n=x[n]+p*y[n]+p^2*z[n] として x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 が任意のnで成り立つよ． 389 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 12:30:38 ] >>386 ＞簡単な文章 経線５回＆逆＋緯線３回＆逆（ｗ 何通りあるかのほうが面白そう 「正多面体逆向二２筆書き」 390 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 12:33:04 ] 多面体逆向二筆書き 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 12:48:01 ] >>389 うーん、簡単すぎたか。もう少し条件を付けたバージョンを考えておく。 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 13:53:06 ] >>389>>391 >>379では「頂点でＵターンしない」という条件を忘れていた。 その条件を付けても可能となる。それでも簡単なら、改めて付帯条件を考える。 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 16:59:03 ] >>387 ＞「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」 ＞が簡単に導けていたと思う。 ああ！そうか、確かにn−1乗でOKだわ。 俺のやった方法だと、初めの方も、変形した方も、全く同じ方針で 解けるのだが、グラフ理論からの解法も気になるな。 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 21:10:09 ] >>388 なるほど。しかしこれでは 2^(1/3) の有理数近似は苦しいな。 x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 は x[n]^3+2y[n]^3+4z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 の誤記 だろうけど、これを2次のペル方程式の真似で (x[n]+y[n]p+z[n]p^2)(A[n]+B[n]p+C[n]p^2)=1 と因数分解して 「x,y,z がデカイと A[n]+B[n]p+C[n]p^2 ≒ 0」を 利用しようとしても、pの2次方程式を解くことになってしまい、 「2次の無理数による、2^(1/3) の近似値」しか出てこない。 395 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 21:17:56 ] >>394 x[n]/y[n]→2^(1/3) x[n]/z[n]→2^(2/3) てな風に近似すんだよ 極限とってみ 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 22:26:34 ] >>395 あそーか。行列 [1,2,2] [1,1,2] [1,1,1] の絶対値最大の固有値の固有ベクトル [2^(2/3),2^(1/3),1] の成分比だな。 なるほどー。 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 00:52:39 ] >>396 成る程、同様にして m^(1/n) の近似分数列も定まってきそうだな。 高次ペル方程式とは一寸違う方向かも知らんが。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 07:05:13 ] 行列 A [1,2,2] [1,1,2] [1,1,1] を、実射影平面 P^2 の射影変換と見ると、 （実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、 [1, 1, 1] からでなくとも、どの整数点 [p, q, r] から始めても A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。 2^(2/3),2^(1/3) の同時近似（同一分母による近似）としては効率は良さそうだが。 単一近似としての効率はどうかな。 一般の初期値から出発した場合は、ペル方程式としては N(α) = 定数 の形になるのかな。 同じく、行列 B [1, n, n, n] [1, 1, n, n] [1, 1, 1, n] [1, 1, 1, 1] を、実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、 [1, 1, 1, 1] 等任意の整点を出発点として、 B を何回も施すと、n^(1/4) の近似分数列が得られるだろう。 この場合、ペル方程式は、 Q(n^(1/4)) の整数環の単数群の torsion free part を表すものとなるのだろうが、 その生成元は、 n = 2, 3 の場合でも結構複雑になるのかな。 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 11:54:58 ] >>398 >（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、(中略) >A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。 不動点がちょうど1つ、というだけでは収束は保証されないよ。 対応する固有値の絶対値が、虚数固有値の絶対値より大きいからOK。 > 同じく、行列 B(中略)を実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、 >（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、 [ - n^(3/4), n^(2/4), - n^(1/4), 1] も実不動点だよ。でも [ n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1 ] は固有値(の絶対値)が最大なので 収束はこっち。 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 12:11:00 ] >>398 >単一近似としての効率はどうかな。 効率は悪いよ。平方根を今のと同じアルゴリズムでやった場合を a[n]、 ニュートン法でやった場合を b[n] とし、初項を b[0]=a[1]=1 にすれば b[n]=a[2^n] になる。 立方根でも、ニュートン法のような2次収束する数列が、部分列になるか どうかを調べるのも面白そうだ。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 17:05:37 ] >>399>>400 tkx 大部感じが分かってきた。有難う。 402 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 18:37:11 ] リーグ戦の組合せ順は何通りあるか？ 　例）４チーム（ＡＢＣＤ）の場合は６通り（↓の節の順＝３！） 　　　　□ＡＢＣＤ 　　　　Ａ□１２３　　第１節がＡ−Ｂ＆ＣーＤ 　　　　Ｂ１□３２　　第２節がＡ−Ｃ＆ＢーＤ 　　　　Ｃ２３□１　　第３節がＡ−Ｄ＆ＢーＣ 　　　　Ｄ３２１□　 一般解（ｎチームの場合）を求める問題です。 403 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 18:47:00 ] 放置推奨 404 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 19:01:25 ] >>401 ↓ここに高校生向きの問題として３次ペルがあるよ。２番な。 93.xmbs.jp/ch.php?ID=checkmath2&c_num=83037 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 19:07:43 ] >>400 　f(x) = x^2 -2/x = 0 を使えば3次の収束らしいお。 >>275 406 名前：Eukie_M_SHIRAISHI mailto:ms.eurms@gmail.com [2008/01/03(木) 19:27:32 ] mainichi.jp/select/opinion/editorial/news/20080103k0000m070070000c.html 407 名前：405 mailto:sage [2008/01/03(木) 19:38:30 ] a_(n+1) -p = a_n -p -{(a_n)^2 - (p^3)/a_n}/{2a_n + (p^3)/(a_n)^2}, 　　　　= (a_n -p)^3 (a_n +p)/{2(a_n)^3 + p^3}, 408 名前：400 mailto:sage [2008/01/03(木) 21:33:05 ] >>405 本当だ、確かに3次収束だ。はえー 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 23:22:15 ] >>359が2007/12/25(火) 22:25:17 だから、このスレ年末年始で結構進んだな。 社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 04:55:41 ] >>394-401 同じように 整数 a,b,c,d に対して p=d^(1/3) (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立) として x[n] + y[n]*p + z[n]*p^2 = ( a + b*p + c*p^2 )^n で定まる数列 x[n],y[n],z[n]は、行列 A = aE + bD + cD^2 のn乗 A^n の第1列で与えられる。 ただし Dは D = [0,0,d] [1,0,0] [0,1,0] であり Eは3次の単位行列。また Dの固有ベクトルは、ω=exp(i*2π/3) として Dの固有値 p に対しては t[p^2, p, 1] Dの固有値 ωp に対しては t[ω^2*p^2, ω*p, 1] Dの固有値 ω^2p に対しては t[ω*p^2, ω^2*p, 1] Aの固有値は上のそれぞれに対して a+bp+cp^2, a+bωp+cω^2p^2, a+bω^2p+cωp^2 になる。従って a,b,c が正なら a+bp+cp^2 が絶対値が最大の固有値だが、たとえば c=0 で aとbが異符号なら a+bωp+cω^2p^2 や a+bω^2p+cωp^2 の方が絶対値が大きくなる。 このため収束列を作りたいなら a,b,c の選択に制限がある。 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 06:13:30 ] >>成る程。 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 17:43:27 ] >>409 数学板は全般的にこの通りだな。 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 00:23:35 ] www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ に代数の問題が少ないので一つ投入しよう。 但し数検過去問の変形、と言ったら大ヒントになるので、 知っている人は別として、過去問は見ないやうに。 a, b, c, d, e, f の実係数 1 次同次式を成分とする 4 次正方行列 A で、 det A = (a^2 + b^2 + c^2 - d^2 - e^2 - f^2)^2 なる物が存在する。 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 10:20:46 ] >>413 電磁場テンソルF (4次元の二階交代テンソル) の行列表示が det(F) = ( E_1*B_1 + E_2*B_2 + E_3*B_3 )^2 をみたすな。 E_1=a-d, B_1=a+d, E_2=b-e, B_2=b+e, E_3=c-f, B_3=c+f とすれば題意をみたす行列の出来上がり。 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 10:51:12 ] >>382 の (ii) 簡単の為 a ＞ 0 とする。 a = e^(log a) a^(log a) = e^{(log a)*(log n)} = n^(log a) よって log a ＜ -1, i.e; a ＜ 1/e で収束、 これが a の収束範囲。 416 名前：410 mailto:sage [2008/01/05(土) 11:05:43 ] >>410 × (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立) ○ (ただし 1,p,p^2 はQ上1次独立) 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 14:50:06 ] >>414 意外と簡単だったか！ 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 15:30:21 ] >>413 が意外と簡単だったので、行列ではなく多項式の代数問題。 n を奇数とし、 f (x, y), g (x, y) を高々 n - 1 次の実係数多項式とする。 この時、連立方程式 x^n = f (x, y) y^n = g (x, y) は、少なくとも一つの実数解を持つ。 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 15:50:46 ] >>418 そっちのほうが簡単な気が… 実係数、奇数次だから (∀y∈R)(∃x∈R) x^n = f (x, y) (∀x∈R)(∃y∈R) y^n = g (x, y) よって（ry 420 名前：419 mailto:sage [2008/01/05(土) 15:57:07 ] ごめん。できてなかった。 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 16:49:57 ] >>399 前半の話だが、虚数不動点は実の回転みたいなものだが、 整点でそんな点はないんじゃないか？ だから任意の整点から出発して収束するとは云えない・・・・？ いや待てよ、やっぱり云えないか。 複素力学系みたいな振る舞いをするのかな？ 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:17:41 ] >>382 (1) a ≧ 1 だと当然収束しないから、 0　≦ a ＜ 1 とする。 この時適当な定数 C により、 a^(√n) ≦ C/n^2 と評価されるから、その範囲で収束。 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:32:24 ] >>418 F:y∈R→x∈R, x^n = f(x,y) G:x∈R→y∈R, y^n = g(x,y) を満たす連続関数F,Gがあって、グラフx=F(y)とy=G(x)がxy平面で交点をもつ。 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:44:34 ] >>423 F, G は一価連続じゃないぞ。連続な物があるという保証はない。 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:07:25 ] 遅ればせながら高校生スレに便乗 (1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう (2) 111222333の9つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう (1)(2)共に回転して一致する並べ方は1通りとする てかあの問題と同じ仕様で 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:13:27 ] ん？ 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:14:14 ] >>425 ポリアの定理で計算出来る。 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:52:00 ] >>379 が出題ミスだったので、もう一度きちんと書いておこう。 正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、 元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。 また、辺上を動いていて、頂点に到達した時、今通った辺にすぐ戻る事（Ｕターン）は禁止する。 正十二面体ではどうか？ 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/05(土) 21:32:15 ] D を xy-平面内の原点中心の「面積」 1 の閉円板、 f, g をその上の連続関数で、条件 ： 任意の p, q ∈ D に対して [ f (p) ≦ f (q) ⇔ g (p) ≦ g (q)] を満たす物とする。 また、関数 g に円板 D の任意の回転を合成した関数を h とする。このとき (∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy を示せ。 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:00:51 ] >429 　ただの �迫随�序積 ≦ �箔ｯ順序積 (積分版) だって… science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/206-207 不等式スレ３ 431 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 00:07:59 ] X=cosX Xはいくつ？ 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 00:20:41 ] >>431 で、問題は？ 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:ｓage [2008/01/06(日) 02:07:17 ] で、答えは？ 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 02:44:35 ] >>431 X=0.7390851332151606416553120876738734040134117589… 死ぬほどクダラナイ 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 02:52:44 ] >>427 ポリア？ 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 09:16:28 ] xyz-空間 R^3 で、x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d が、全て整数になる点は 0 ≦ x, y, z ≦ n の範囲で幾つあるか？ a, b, c, n が奇数の場合は 0 ≦ |x|, |y|, |z| ≦ n の範囲で幾つあるか？ a, b, c, d が整数なる平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d で、0 ≦ x, y, z ≦ n　なる領域は幾つの領域に分割されるか？ a, b, c, d, n が奇数の時、 x + y + z ≦ n, -x + y + z ≦ n, x - y + z ≦ n ,x + y - z ≦ n なる領域は、平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d で、幾つの領域に分割されるか？ 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 13:13:22 ] >>435 www.mathreference.com/grp-act,bpt.html 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 15:15:01 ] >>436で与えられた各点を中心とする半径 r の球体を考える時、 それらが球面以外で共通点を持たない様な最大の r を求めよ 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 17:49:50 ] >>437 英語は嫌いだぁ 実際に解いてみてよ 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/06(日) 18:01:45 ] 英語が嫌いでは高等数学は出来ない。 441 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 19:06:39 ] >>428 シンプルな問題だったのが台無し 正多面体の辺を二筆書きする方法はそれぞれ何通りあるか？ ただし各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。 のほうが汎用性がある。 頂点発着と辺発着は同じとする条件は必要？蛇足？ 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 19:19:11 ] >>425>>439 では(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう を解いてみよう。 先ず、回転を考えない並び方の総数は 8!/(2!)^4. このうち、自明でない回転で一致する物は、 各 n に対し、 n と n が中心対称の位置にある物のみで、 4!. 従って答えは (8!/(2!)^4 - 4!)/8 + 4!/4. 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 07:46:34 ] 各辺の長さがいずれも整数であり、その最大公約数が1である三角形で 1つの内角がθであるような三角形の集合を S[θ] と書くことにする。 S[θ] が空集合でなく、かつ有限個の要素からなるようなθは存在するか。 444 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/07(月) 15:09:09 ] >>425 等間隔とかの条件がないから無限大 線対称は別の条件を入れないと誤解 445 名前：Eukie_M_SHIRAISHI mailto:ms.eurms@gmail.com [2008/01/07(月) 21:30:59 ] 【賞品付きＱｕｉｚ】(先着１０名まで) １２個の硬貨ある。　そしてその中には贋金が一つ含まれている。 その偽（にせ）の硬貨は残りの本物の硬貨よりも質量が違うことが分かっている。 上皿天秤が与えられている。　その上皿天秤を３回だけ使って、 その偽（にせ）の硬貨を見つけ出し本物よりも重いか軽いかを判定する方法がある どんな方法か？　Web Page を作ってその方法を示せ。 E-mailの宛先は：− ms.eurms@gmail.com Nao kono Mondai ni wa bimyou ni tsugau（違う）fukusuu-ko no Seikai ga aru ! Good Luck to YOU and to US ALL ! 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/08(火) 05:03:26 ] >>444 馬鹿無限大 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/08(火) 15:43:48 ] >>443 存在しない。二次体の簡単な話題。 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/10(木) 02:46:04 ] ここに、赤玉と青玉が入った袋がある。玉を無作為に一個取りだして、 玉の色を見て、それを袋に戻す。この操作を n 回行った時、 赤玉が r 回であるである確率はいくらか？ と言うのが問題であるが、ここで赤玉の出る確率は、 途中 k 回まで操作を行った時に赤玉が j 回であったなら、 次に赤玉が出る確率は (j + 1)/(k + 2) とする。 最初、即ち k = j = 0 の場合は 1/2 である。 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 03:27:41 ] >>443 の>>447での解答が素っ気なかったので、もう少し詳しく述べる。 これは、三辺の長さが有理数で、相似で無い物が一個あれば無限個あるという問題と同値なので、 この形で考える。三辺の長さを X, Y, Z, cos∠C = a とすると余弦定理より、 Z^2 = X^2 + Y^2 - 2aXY. X^2 + Y^2 - 2aXY (a ∈ Q) は有理数体 Q または二次体 K で因数分解出来る。 (i) 有理数体 Q で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY) と因数分解された場合。。 相異なる素数 p, q, ...... が無限にあるから、 Z = pq, X - bY = p^2, X - cY =q^2, ... とすれば、相似でない物が無限に得られる。 (ii) そうでない場合、二次体 K で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY). K の整数環の元 p, q, ...... で (p), (q) が異なる素イデアルになる様な物が無限にある。 Z = pp~ (p~ は p の共軛元）、X - bY = p, X - cY = p~ とすれば得られる。 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 06:00:01 ] x^2+y^2-axy=1. y=1+tx. x=(a-2t)/(1-at+t^2). y=(1-t^2)/(1-at+t^2). 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 06:29:01 ] >>450 当然有理曲線ではあるよ。 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 09:00:18 ] んー 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 16:43:25 ] n個の数θ_1, θ_2, ... , θ_n が sinθ_1=θ_2, sinθ_2=θ_3, ... , sinθ_n=θ_1 を満たすとき、θ_nをnを用いて表せ。 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 17:17:56 ] 0

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