代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 461 名前：9208 ◆ZAgKuX9lgw [2005/12/15(木) 15:29:03 ] ×文字どうり 462 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:29:12 ] このバカ(>>458)、何言ってるの？ 463 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:30:11 ] ちょっと退屈なんで、アフォとじゃれてるだけ。 464 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:30:14 ] w これはウザイね 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:31:19 ] >>462 えっ、そこに絡むのかよ 揚げ足とられてることにすら気づいてないのか ちょっと痛すぎるだろ 466 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:31:49 ] アフォ=Ass=208 467 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:33:54 ] アフォ=Ass=9208 468 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:34:08 ] >>465 文脈から俺が言ってるＩＤとは、9208 に決まってるだろが、 アホンダラ 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:38:14 ] だからこそ「揚げ足とり」になるんだけどな。 いやまあお前が人の言葉遣いとは異なるマイ定義を 押し通す奴だということは既に明らかなので お前のマイ定義では「揚げ足とり」は「お前への煽り」と 同義語なのかもしれんが。 470 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:40:17 ] 文脈から明らかになってることをそのまま前提していいなら 208＝アフォ、終了、でいいんじゃね？ 471 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:40:20 ] だからさあ、お前等の煽りって数学、少なくともこのスレの題目と 全然関係ないじゃないの。 これは、お前等の頭のイタさを如実に表してるんだよ。 ｲﾀｲ、ｲﾀｲｗ 472 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:41:22 ] >文脈から おまえに文脈なんて言われたくないね。 473 名前：9208 ◆xnP4Ob6JZQ [2005/12/15(木) 15:41:45 ] >>468 物理板ではそれは ID とは呼ばないよ 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:43:04 ] このスレの趣旨については>>107参照。 475 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:44:01 ] その証拠に、俺がちょっと相手したら、ほらみろ、こんなにレスが ついたじゃないかｗ 数学と関係ない話題だと俄然張り切るんだからなｗ 476 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:44:42 ] >ｲﾀｲ、ｲﾀｲ おまえにおまえにｲﾀｲなんて言われたくないね。 477 名前：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ [2005/12/15(木) 15:45:45 ] king シネ 478 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:46:30 ] ＞その証拠に、俺がちょっと相手したら、ほらみろ、こんなにレスが ＞ついたじゃないか それだけおまえが嫌われてるってことの証明だよ。 479 名前：9208 ◆16ubqHmTH2 [2005/12/15(木) 15:47:45 ] >嫌われてる 悲しいね 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:51:52 ] >>475 だって208の醍醐味は数学じゃなくて基地外っぷりだもんな 481 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 15:58:02 ] >>9208 今日は写経はお休みか？ 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 15:59:48 ] 俺等が、どんなに煽っても、9028の証明の間違いとか方法を批判しない限り、 9208は痛くもなんともないので、 俺達の煽りにいちいち反応しまくってくれてるんです。 483 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:01:04 ] 教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。 教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。 教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。 これは方法への批判だけどな 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:03:48 ] >>482の元ネタは>>451ね。一応。 485 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:14:13 ] >>483 >>435 を読め。 486 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:21:48 ] >>478 オメーはとことんアフォだな。嫌ってる人間のスレになんで 奴らは、のこのこ来るんだよ。 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:23:23 ] まさか、嫌われてないと思ってたのかよ・・・・・・ 488 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:23:41 ] >嫌ってる人間のスレになんで >奴らは、のこのこ来るんだよ。 分かり切ったことを いちいち質問するなアホ 489 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:25:40 ] ＞＞485 そうやって反応するのはかわゆいよ。 バカみたいで。 490 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:26:46 ] おめーらはヘンタイかよ。嫌いなら来なきゃいいだろ。 491 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:28:45 ] >>490 とってもｱﾀﾏﾜﾙｲ反応です。 492 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:32:17 ] 嫌われてるのに何でこんなことするかな？ 493 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 16:32:53 ] お遊びはこれで終わり。もう相手しないよ、悪いけどな。 当然、本題と関係ある場合は別だ。 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:35:32 ] よかったよかった 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:36:38 ] かかってこい弱虫 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:38:18 ] かかってこんかい弱虫ども 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:39:47 ] 写経のはじまりはじまり！！ 間違えたらちゃんと揚げ足とってよ！！ 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:41:21 ] かかってこんかいヘンタイども 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:44:07 ] 「ageではもう相手しない」って意味だったのかーおもしろいなー 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 16:58:17 ] へんなの 501 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 17:00:20 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M は非退化(>>431)である。 証明 M は可逆だから、B の A-加群としての部分加群 N があり、 MN = A となる。B ⊃ NB だから MB ⊃ MNB = AB = B 他方、MB ⊂ B だから MB = B となる。 証明終 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/15(木) 17:01:50 ] 写経のはじまりはじまり！！ 間違えたらちゃんと揚げ足とってよ！！ 503 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 17:18:10 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら 定義より MN = A となる B の部分加群 N があるが、 このとき N = A:M となる。 証明 MN = A だから、N ⊂ A:M である。 よって、A = NM ⊂ (A:M)M ⊂ A よって、(A:M)M = A この両辺に N を掛けて、(A:M)MN = N よって、(A:M)A = N 即ち、A:M = N 証明終 504 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 17:31:48 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M はA-加群として有限生成である。 証明 定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。 よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。 よって、x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x となる。 (y_i)x ∈ A だから、M は、有限個の元 x_1, x_2, ... で生成される。 証明終 505 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/15(木) 17:44:14 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M はA-加群として射影的である。 証明 定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。 よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。 f_i ∈ Hom(M, A) を f_i(x) = (y_i)x で定義する。 x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x = Σf_i(x)x_i となる。 よって、>>429 より M は射影的である。 証明終 506 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 17:46:15 ] デデキント環まだーーー？ 507 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 18:04:58 ] そうあわてるな。あわてる何とかはと言うだろ。 出来るだけ一般化して論ずるのは、いろいろ利点があるのだよ。 まず証明が自然になって、小手先のテクニックが不要になる。 508 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/15(木) 19:42:48 ] あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ 509 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 10:28:16 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 証明 >>505 より M は射影加群である。 しかも、>>504 より有限生成である。 よって、p を A の素イデアルとすると、>>208 より M_p は A_p-加群として有限階数 r の自由加群である。 S を A の非零因子全体の集合とする。 φ: A → A_p を標準射とする。 (M_p)_φ(S) は (A_p)_φ(S) 上の階数 r の自由加群である。 (A_p)_φ(S) = (A_S)_p = B_p (M_p)_φ(S) = (M_S)_p となる。 M は可逆だから非退化(>>431)である。 よって >>440 より M_S = B である。 よって (M_S)_p = B_p となる。 よって r = 1 である。 証明終 510 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 10:30:17 ] たけちゃんのウェッブ・ページだよ♪ｗｗｗ www.ms.u-tokyo.ac.jp/%7Et-saito/ たけちゃんのウェッブ・ページだよ♪ｗｗｗ www.ms.u-tokyo.ac.jp/%7Et-saito/ たけちゃんのウェッブ・ページだよ♪ｗｗｗ www.ms.u-tokyo.ac.jp/%7Et-saito/ 511 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 10:47:54 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)で射影的なら M は可逆(>>430)である。 証明 M は射影的だから、>>426 より、Hom(M, A) の元の族 (f_i), i ∈ I と、M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、 M の任意の元 x に対して x = Σf_i(x)x_i となる。 M は非退化だから、>>444 より各 i に対して y_i ∈ B があり M の任意の元 x に対して f_i(x) = (y_i)x となる。 >>434 より M ∩ S は空でない。s ∈ M ∩ S をとる。 s は非零因子だから s = Σ(x_i)(y_i)s より、 Σ(x_i)(y_i) = 1 となる。 (y_i) で生成される B の A-部分加群を N とすれば、MN = A となる。 よって M は可逆である。 証明終 512 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 10:48:52 ] ・教授のコネがもうないから、俺達就職できない 　じゃん ・何でたけちゃんは研究しても就職できないって 　言わなかったんだよ ・大学院なんて役に立つこと何も教えないじゃん ・企業への就職を世話するのも大学の義務だろが ・数学なんて税金泥棒、研究する価値なし！！！ 513 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 11:07:27 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 M, N を B の A-加群としての部分加群とする。 M が可逆(>>430)なら、標準射 M(x)N → MN は同型である。 証明 >>509 より M は射影的だから >>188 より平坦である。 よって、完全列 0 → N → B より完全列 0 → M(x)N → M(x)B が得られる。 一方、M(x)B = M_S である。ここで、S は A の非零因子全体の 集合である。 M は可逆だから >>501 より非退化(>>431)である。 よって、>>440 より M_S = B である。 よって、完全列 0 → M(x)N → B が得られる。 M(x)N の像は MN であるから M(x)N → MN は同型である。 証明終 514 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 13:29:22 ] >>294 >優拳固にする必要はなかろう 優拳固＝有限個のつもりかよ。 今、気がついた。荒しだと思ったぞ。 なんでちゃんと書かないんだ？ それもしつこく何回も。 確かに有限個の単純部分加群の直和でなくてもいい。 そんなことは初めからわかってる。 だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。 それが何か？ 515 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 13:57:15 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 で可逆(>>430)なもの全体は 部分加群の積によりアーベル群となる。 証明 明らか。 516 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 14:03:01 ] ＞今、気がついた。荒しだと思ったぞ。 いちいち反応するな。 >そんなことは初めからわかってる。 >だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。 はじめからそう書けアホ 517 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 14:38:56 ] >いちいち反応するな。 アホ >はじめからそう書けアホ ドアホ 518 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 16:03:41 ] やめれ馬鹿 519 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 16:49:35 ] >やめれ馬鹿 ガキはすっこんどれ 520 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 16:52:42 ] 定義 A を環とし、M を A 上の階数１(>>253)の射影加群とする。 M の同型類を cl(M) と表す。cl(M) は Pic(A)(>>360) の元である。 521 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:02:20 ] 定義 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 >>515 より B の A-加群としての部分加群 で可逆(>>430)なもの 全体は、部分加群の積によりアーベル群となる。 このアーベル群を、A の可逆分数イデアル群と呼び、I(A) と書く。 522 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:07:00 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 M を B の A-加群としての部分加群で可逆(>>430)とする。 >>509 より M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 よって、M の同型類 cl(M) は Pic(A) の元である。 M に cl(M) を対応させることにより、I(A)(>>521) から Pic(A) への アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) が得られる。 証明 Pic(A) の定義(>>360) と >>513 より明らか。 523 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/16(金) 17:13:29 ] いい加減にやめれ馬鹿 524 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:13:39 ] 定義 A を環とする。A の可逆元全体は乗法によりアーベル群となる。 この群を U(A) または A^* と書く。 525 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:20:03 ] 定義 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 x ∈ B のとき、Ax が可逆となるためには、x が可逆、 即ち x ∈ U(B)(>>524) が必要十分である。 証明 B の A-加群としての部分加群 N で (Ax)N = A となるものがある。 (Ax)N = xN だから、y ∈ N で xy = 1 となるものがある。 よって、x は可逆である。 証明終 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/16(金) 17:22:14 ] かかってこい弱虫ども！！ 527 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:23:42 ] >>525 x ∈ U(B) なら Ax が可逆なことも明らか。 528 名前：9208 ◆6WlJFCskKc mailto:sage [2005/12/16(金) 17:28:52 ] だらだらしすぎ。 529 名前：9208 ◆0qS9/fAJ8E mailto:sage [2005/12/16(金) 17:31:26 ] とろくせー。 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/16(金) 17:33:22 ] かかってこんかい！！ 531 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 17:42:35 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 >>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。 他方、>>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を φ(x) = Ax で定義出来る。 このとき、Ker(cl) = Im(φ) となる。 証明 M ∈ Ker(cl) とする。 cl(M) = cl(A)、つまり、M は A-加群として A と同型である。 これから、M = Ax, x ∈ U(B) となる。 よって、Ker(cl) ⊂ Im(φ) である。 逆の包含関係は明らか。 証明終 532 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/16(金) 18:12:15 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 自然な単射 A → B によりアーベル群としての射 ψ: Pic(A) → Pic(B) が誘導される(>>276)。 他方、>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。 このとき、Ker(ψ) = Im(cl) となる。 証明 M を A 上の階数１の射影加群とし、ψ(cl(M)) = 0 とする。 これは M(x)B が B と同型になることを意味する。 M は平坦だから 単射 A → B より単射 M → M(x)B が得られる。 よって、M は B の部分加群とみなせる。M(x)B = B だから M は非退化である。よって、>>511 より M は可逆である。 よって、cl(M) ∈ Im(cl) である。 よって、Ker(ψ) ⊂ Im(cl) である。 逆に M ∈ I(A) なら、>>501 より M は非退化である。 よって、 >>440 より M(x)B = M_S = B となる。 よって、Im(cl) ⊂ Ker(ψ) である。 証明終 533 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/17(土) 12:33:26 ] talk:>>381 お前に何が分かるというのか？ talk:>>432 二日ぶりだな。 talk:>>477 そんなひまがあったら人の脳を読む能力を悪用する奴を殺せ。 534 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/17(土) 13:06:29 ] 【建部 】斎藤毅先生【Invent】 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134743220/ 535 名前：9280 ◆owS58xj2hQ [2005/12/17(土) 13:07:42 ] 命題 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。 証明 そんなことよりキングの脳を止めるのが先だ。 証明終 536 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/17(土) 13:12:20 ] 僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる 僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる 僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる 537 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/17(土) 21:21:06 ] talk:>>535 お前に何が分かるというのか？ 538 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/17(土) 22:15:27 ] 下層崩れ＝アナレン級隔年の駒場のＣＯＥ 中堅崩れ＝アナレン級１本／年の学振ＰＤ 上層崩れ＝建部、Ｉｎｖｅｎｔ．崩れかけ 539 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 10:11:52 ] 定義 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 >>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を φ(x) = Ax で定義出来る。 Im(φ) を A の単項分数イデアル群と呼び、P(A) と書く。 540 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 10:29:46 ] 命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 以下の完全列がある。 0 → U(A) → U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B) 証明 >>531, >>532 より U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B) は完全である。 0 → U(A) → U(B) → I(A) が完全なのは明らかだろう。 証明終 541 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 10:31:55 ] 命題 A をネーター環とする。 >>522 で定義したアーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) は 同型 I(A)/P(A) = Pic(A) を誘導する。 ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群(>>539) である。 証明 A の全商環を B とすると、>>363 より B は半局所環である。 よって、>>361 より Pic(B) = 0 である。 よって、>>540 より、同型 I(A)/P(A) = Pic(A) が得られる。 証明終 542 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 11:37:11 ] 環 A の可逆分数イデアル群(>>521) I(A) は、アフィンスキームとしての Spec(A) の Cartier因子群と同一視される。 だから Pic(A) にしろ I(A) にしろ幾何的に解釈したほうがいい。 しかし、残念なことに、ここでスキーム論の初歩を展開するわけには行かない。 やってもいいけど、本筋から離れすぎる。 因みに日本語で書かれたスキーム論の入門書としては 上野の代数幾何(岩波) がある。 俺としては EGA I を勧めたいとこだけどね。 EGA がフランス語で書かれていることが残念だね。 EGA I の改定版は英語だけど絶版だろう。 オリジナルならネットからダウンロード出来る。 543 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 11:40:17 ] >EGA I の改定版は英語だけど絶版だろう。 英語だよね？ 違ったかな。 544 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/19(月) 14:20:54 ] >>543 違います。フランス語です。 Grothendieck et Dieudonne, Elements de geometrie algebrique 1, Springer-Verlag, 1971 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd.166) 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/19(月) 15:00:40 ] 350 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/19(月) 10:00:45 >上野　代数幾何　岩波 これは、ちょっと極端に言うとお話だね。 ちゃんとした証明は、別の本にあたる必要がある。 例えば、部分スキームのところとか。 351 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/19(月) 12:54:44 てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど 546 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 15:42:50 ] 環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の２元 I, J に対して、 I ⊂ J のとき I ≧ J と定義することにより I(A) に順序が入る。 容易にわかるように、I ≧ J のとき、任意の K ∈ I(A) に対して、 IK ≧ JK となる。 よって、I(A) は順序アーベル群となる。 547 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 16:05:46 ] 命題 環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、 A の非零因子 s があり、sM ⊂ A となる。 証明 >>504 より M は有限生成である。 これより明らか。 548 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 16:13:35 ] 命題 環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、 I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。 証明 >>547 より、A の非零因子 s があり、sM ⊂ A となる。 I = sM, J = As とおけばよい。 証明終 549 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 16:29:10 ] 命題 A を単項イデアル整域(前スレの644)とする。 Pic(A) = 0 である。 証明 前スレの650より、A 上の有限生成射影加群は自由である。 証明終 550 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 17:35:06 ] 補題 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。 A:m ≠ A となる。 ここで、A:m = {x ∈ K; xm ⊂ A} で(>>441)、K は A の商体。 証明 a を m の非零元とする。 dim(A) = 1 だから、Supp(A/aA) = {m} となる。 Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、 Ass(A/aA) = {m} となる。 よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA), mb ⊂ aA となるものがある。 m(b/a) ⊂ A だから b/a ∈ A:m となる。 b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。 証明終 551 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/19(月) 18:32:49 ] 補題 A を整域、I を有限生成イデアルで I ≠ 0 とする。 x を A の商体の元で xI ⊂ I とする。 このとき x は A 上整である。 証明 ω_1, ... , ω_n を I の生成元とする。 xI ⊂ I だから、 xω_i = Σa_(i,j)ω_j となる。 ここで、各 a(i,j) は A の元。 行列 (a_(i,j)) を T とおく。 I ≠ 0 だから、det(xE - T) = 0 となる。 E は n 次の単位行列。 この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。 証明終 552 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/20(火) 09:44:04 ] >てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど Hartshorneだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだろ (Serreの双対定理の証明はEGAにないがそれもGrotehndieckの仕事)。 Mumfordのもいくらかぱくってるし。 そのMumfordだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだし。 それにMumfordとかHartshorneの本の証明だって結構いい加減。 結局、スキーム論の基礎に関してはGrothendieckがオリジナルだし 基礎部分はペンペン草もはえないくらいに徹底してやってるから(Bourbaki仕込み)、 他の人がオリジナルな入門書を書くのは無理。 553 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 10:49:23 ] 補題 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 A が整閉(前スレの578)なら A の 極大イデアルは単項イデアルである。 証明 m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。 a を m の非零元とする。 m ⊂ m(A:m) ⊂ A だから、m(A:m) = m または m(A:m) = A である。 m(A:m) = m とすると、>>551 より A:m の元は A 上整である。 A は整閉だから、A:m = A である。 一方、>>550 より A:m ≠ A だから、これは有り得ない。 よって、m(A:m) = A である。つまり m は可逆イデアルである。 >>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。 証明終 554 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 10:54:10 ] 補題 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 m を A の極大イデアルとする。 ∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。 証明 Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、 直接証明をしよう。 I = ∩m^n おく。 I ≠ 0 なら、dim(A/I) = 0 つまり A は Artin 環 である。よって m^n ⊂ I となる整数 n > 0 がある。 I の定義より I ⊂ m^n だから I = m^n である。 I ⊂ m^(n+1) だから m^n = m^(n+1) となる。 よって 中山の補題(前スレの242)より m^n = 0 である。 よって I = 0 となって矛盾。 証明終 555 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 10:57:55 ] 定理 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 A が整閉(前スレの578)なら A は離散付値環(前スレの645)である。 証明 m を A の極大イデアルとする。 I を A のイデアルで I ≠ 0 かつ I ≠ A とする。 >>554 より ∩m^n = 0 だから I ⊂ m^n だが I ⊂ m^(n+1) とは ならない整数 n > 0 がある。 >>553 より m は単項だから可逆である。 よって、I ⊂ m^n より Im^(-n) ⊂ A となる。 Im^(-n) ≠ A とすると Im^(-n) ⊂ m となって、 I ⊂ m^(n+1) となり仮定に反する。 よって Im^(-n) = A すなわち I = m^n となる。 >>553 より m は単項だから I も単項である。 証明終 556 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:00:11 ] >>555 >>>553 より m は単項だから可逆である。 >>>553 の証明より m は可逆である。 557 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:17:35 ] >>555 の定理が Dedekind整域の特徴付けのキーポイント。 >>555 は結局 >>550の補題と局所環のPicard群が自明という 命題(>>361)に基づいている。 558 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:40:29 ] >>550の補題の証明は簡単そうに見えるけど、随伴素イデアルの理論に 基づいている。 Dedekind整域の特徴付けをもっと手っ取り早くやる方法もある。 例えば van der Wearden。 しかし、その場合は小手先のテクニックというと言いすぎだけど やや強引な証明になる。 ただ、van der Weardenの証明も我々の証明も本質的には あまり変わらない。 559 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/20(火) 11:42:18 ] >van der Wearden van der Waerden 560 名前：9280 ◆owS58xj2hQ [2005/12/20(火) 14:38:24 ] また king か 561 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/20(火) 19:33:35 ] talk:>>560 ?

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