代数的整数論

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/12(月) 16:30:31 ] 代数的整数論に関するスレッドです。 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:03:05 ] > ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ こんな素直な子が、背伸びしてブルバキをやったばかりに、 > じゃますんな。キチガイ > なまイキ言うんじゃねえ になってしまうなんて、日本の数学教育って一体・・・ 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:04:16 ] >>789 なにか勘違いしてるらしいね 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:04:51 ] うすらが 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:06:58 ] うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:08:09 ] せっかく大学まで行かせてやり 機嫌良く数学やってたんですよ でもある日 いつも座る席に知らない学生が座っていたので すねて帰ってきました それ以来なんです 家にひきこもったきりなんですよ 797 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:09:22 ] >>793 組みあわせて材料を増やしてからオッカムの剃刀で削るんだよ。 組み合わせる材料をオッカムの剃刀で削ってどうする。 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:10:01 ] なまイキ言うんじゃねえ 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:10:21 ] >>791 208隔離スレでしたが．．．今は．．．あっ 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:11:32 ] >>797 なにか勘違いしてるね 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:13:51 ] >オッカムの剃刀 おお新手の言いがかり登場だぞ でも何が言いたいのか 奥歯にうんこがはさまっているようだ 802 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:14:10 ] >>800 なにがさ？ 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:15:25 ] >>801 うんこ美味しいよね 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:16:11 ] >>802 だれが何を削ってるってのか？ 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:17:18 ] 皆んなぁ！　ケンカはやめて仲良くしようよ！！ 806 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:17:54 ] >>804 なにをかんちがいしてるかね？ 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:18:50 ] 基地外の巣でしたか。ここは。 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:20:02 ] >806 なにも削ってないだろ 削ってるのは208の脳味噌だけ 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:21:50 ] 208がやけ糞になって焦土戦術に出たようです 810 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:21:59 ] >>808 ２０８の脳味噌が削っているのかね？ それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？ 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:23:03 ] あと200くらいすぐだな 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:24:18 ] 焦土戦術は、防御側が効果的な反撃をできないと、ただの敗走だべ 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:24:38 ] >>それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？ そんなおそろしいことを！！！ 208は狂牛病なのか？？？ 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:25:53 ] ようするに敗走だった と後でわかる 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:26:12 ] >>811 ということは、ここに封印されていた208が外にあふれ出すのか。 危険！危険！　900を超えたら全スレに警報を発令せよ！ 816 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:29:38 ] >>815 それはただの上げ荒らしだからたのむからやめてくれ。 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:30:13 ] 208隔離スレがあらたに必要なのか でもおとなしく隔離されるかな？ 818 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:31:56 ] >>817 ズバリ！「２０８隔離スレ」でスレ立ててくれ。ファンスレという事でゆるす。 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:42:01 ] ガロア理論part2の残骸ものせて 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:52:51 ] 新スレが立ってしまったが208はいずこへ？ 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:55:52 ] 208は、最後に「うすらが」という言葉を残して 休眠状態に transfer した。 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:08:50 ] こうして、208のブルバキ帝国再興の夢は潰えた。 そして千年後の復活に備えて、永い冬眠状態に 入ったのであった・・・（完） 単に、いじけて泣いているだけという説もあるという。 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:09:05 ] 208泣いてるよ ほら 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:15:10 ] 新生208は ガウスラ か？ 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:37:13 ] ああ単因子よ外積よ 日の目をみずに眠るのか どうか安らかに死んだように眠っておいてくれ 826 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 18:43:14 ] 208軍団指揮官ガウスラ将軍はいまニューロードを進軍中。 827 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 19:00:24 ] >>826 フロンティアの開拓村がガウスラ将軍指揮下の精鋭部隊によって壊滅する。 ブルバキ帝国再興の夢は叶うのか。 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:hage [2005/11/11(金) 19:14:16 ] 一体いままでなんのために写経してきたんだ これがあの208の最後の姿なのか それでいいのか208よ おまえの子分どもが泣いているぞ さあガウスラとなって立ち上がるのだ 829 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 19:40:08 ] ガウスラ帝国　万歳！！ 830 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 19:46:20 ] この荒れようを見ると、ほんと、208って、数学板で嫌われていたんだな。 つくづくそう思う。 >>261のような信者も中にはいるが・・・ 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 20:05:43 ] >>830 そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。 数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような 言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 20:08:16 ] ↓信者へのお答えがこれじゃあねえ。まさに宗教 初学者？　そうね、我慢して証明を追っていく。 そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。 この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。 体験するしかない。 833 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 20:55:49 ] ＞＞８３１ このスレで数学科出てない人がいる？とは思えないけど 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 21:25:54 ] >>833 興味がある人はいたと思うよ。2chのような開かれた掲示板で 玄人だけくるようにさせるのは不可能。 それと、208が出没したのはここだけじゃないからね。 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 21:28:37 ] ブルマ履き 836 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 22:10:20 ] そういえば学会で意味のないらしい内容の発表を５回もするので、本来１５分の発表時間を数分に短縮されていた人がいたけど、２０８ではないよね。 837 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 22:17:56 ] >>834 ＞08が出没したのはここだけじゃないからね。 どこどこ。ほかにはどこ？ 838 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 22:41:37 ] >>837 知ってる範囲で・・・ ・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。 ・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて 荒れたｗ ・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。 ・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ ・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。 その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 22:51:30 ] オイラースレでの言動 670 ：198：2005/08/08(月) 14:50:28 >>666 お前よりは１００倍以上知ってるよ。 自慢にはならないがｗ 840 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 23:23:01 ] >>838 なるほど。ブルバキ教徒だからすぐわかるってこともあるね。 841 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/12(土) 13:19:29 ] ガウスラ将軍の軍団はどこに消えたんだ？ 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 11:07:31 ] >>841 ブルバキ帝国正規軍ガウスラ将軍の軍団はただのニートの208に 準同型写像された。 843 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 12:21:05 ] >>715 A がネーターなら EGA IV-2 p.153 に証明がある。 Eisenbud の本(Commutative algebra with a view ...) にも。 844 名前：208 [2005/11/14(月) 13:05:37 ] >>753 の前に以下を述べるべきだった。 R を可換環、 A_1, ... , A_n を必ずしも可換でない R 上の次数代数とする。 これ等の歪テンソル積 (A_1)(x)'...(x)'(A_n) も >>748 と同様に 定義される。 詳しく述べると、 (x_1)(x)...(x)(x_n) と (y_1)(x)...(x)(y_n) の積は ε(p,q)(x_1y_1)(x)...(x)(x_ny_n) と定義する。 ここで、各 x_i ∈ (A_i)_(p_i), y_i ∈ (A_i)_(q_i) ε(p,q) = (-1)^（Σ(p_i)(q_j)) Σは i > j のすべての組合わせを動くものとする。 p、q、r ∈ Z^n のとき、 ε(p+q, r) = ε(p, r)ε(q, r) ε(p, q+r) = ε(p, q)ε(p, r) となる。 これから、ε(p, q)ε(p+q, r) = ε(p, q+r)ε(q, r) となる。 これから、結合律 (xy)z = x(yz) が出る。 歪テンソル積の結合律 (A(x)'B)(x)'C = A(x)'(B(x)'C) = A(x)'B(x)'C も成立つ。 845 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 13:07:46 ] 208さんお帰りなさい。まったく酷い荒れようでした。 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 14:17:48 ] >>845 jisakujien, jisakujien 847 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 14:20:38 ] >>843 本当にありがとう。Eisenbudの本は読んだことあるんだけどな。読んでも覚えないな。 848 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 15:00:50 ] 熱烈歓迎 >数学板きっての嫌われ者。 849 名前：208 [2005/11/14(月) 15:08:59 ] 定義 A を可換環、 M, N を A-加群とする。 p > 0 を整数として、M^p から N への多重線形写像 f が交代的 であるとは x_i = x_j, i ≠ j のとき常に f(x_1, ... x_p) = 0 となることをいう。 850 名前：208 [2005/11/14(月) 15:09:32 ] 命題 A を可換環、M, N を A-加群とする。 p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像、 x_1, ... , x_p を M の元とし、σを {1, ... , p} の順列とする。 このとき、次の等式が成立つ。 f(x_σ(1), ... , x_σ(p)) = ε(σ)f(x_1, ... , x_p) 証明 >>746と同様。 851 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 15:15:30 ] 関数y=√3x-2sinx(0＜x＜2π)の極値を求めなさい って問題がどうしても解けません(´;ェ;`) 852 名前：208 [2005/11/14(月) 15:34:56 ] 命題 A を可換環、M, N を A-加群とする。 p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像とする。 A-加群としての射 g:(Λ^p)M → N で f = gh となるものが一意に 存在する。 ここで h: M^p → N は、h(x_1, ... , x_p) = x_1Λ...Λx_p で定義 される交代的多重線形写像である。 証明 >>727 の記号を使う、 定義より、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) であるから、 I ∩ T^p(M) は T^p(M) の部分加群として、x_1(x)...(x)x_p, x_i = x_(i+1) の形の元で生成される。 一方、テンソル積の普遍性より、A-加群としての射 φ:T^p(M) → N で f = φu となるものが一意に存在する。 ここで、u(x_1, ... , x_p) = x_1(x)...(x)x_p である。 よって、I ∩ T^p(M) ⊂ Ker(φ) となる。 よって、g(x_1Λ...Λx_p) = φ(x_1(x)...(x)x_p) と定義すればよい。g の一意性は明らか。 証明終 853 名前：208 [2005/11/14(月) 15:53:18 ] >>753 の別証を行う。 補題 A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。 n > 0 なら (Λ^n)M ≠ 0 である。 証明 M^n から A への交代的多重線形写像の１つとして行列式 det がある。 つまり、M のある基底により M を縦ベクトル空間 A^n と同一視 して、M^n の元 X を nxn 型の行列と考え det(X) を対応させればよい。 X が単位行列なら det(X) = 1 だから、これは 0 でない。 よって、>>752 より (Λ^n)M ≠ 0 である。 証明終 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 16:09:47 ] ぷっ 855 名前：208 [2005/11/14(月) 16:13:40 ] >>753 の別証 A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。 p > n なら (Λ^p)M = 0 であり、 p ≦ n なら (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。 証明 p > n なら (Λ^p)M = 0 は明らか。 p ≦ n なら (Λ^p)M は e_(i_1)Λ...Λe_(i_p), i_1 < ... < i_p で生成される。この e_(i_1)Λ...Λe_(i_p) を e_I と書く。 I は {1, .... , n} の濃度 p の部分集合 {i_1, ... , i_p} を 表す。e_I の全体が A上一次独立であることを言えばよい。 p = n なら >>853 より明らか。 p < n で Σ(a_I)(e_I) = 0 とする。ここで、a_I ∈ A である。 １つの I をとり、その補集合を J とする。 e_J Λ(Σ(a_I)(e_I)) = (a_I)e_J Λ e_I + Σ(a_K)e_J Λ e_K = 0 である。ここで、Σ(a_K)e_J Λ e_K は K ≠ I, |K| = p となる K に関する和である。 e_J Λ e_K = 0 であるから、(a_I)e_J Λ e_I = 0 となる。 >>853 より e_J Λ e_I ≠ 0 であるから、a_I = 0 となる。 証明終 856 名前：208 [2005/11/14(月) 16:23:24 ] >>753 から、有限階数 の A-自由加群 M の階数は基底の取り方に よらないことが分かる。この事実の別証としては A の極大イデアル m をとり k = A/m としたとき、M(x)k の体 k 上の次元は M の A 上の階数に一致することを使う。ただし、この証明は A がネーターでないとき Zorn の補題が必要である。 857 名前：208 [2005/11/14(月) 16:36:44 ] 定義 A を可換環、 B を A-加群とする。 A-加群としての射 φ: B → B(x)B があるとき、 組 (B, φ) または B を A-余代数(A-coalgebra)という。 858 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 17:57:11 ] 寒くないのか？ 859 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 23:14:13 ] >>857 つつつ? 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 23:44:22 ] >>855 写すのはいいけど、せめて正確に写そうよｗ 861 名前：208 [2005/11/15(火) 09:28:58 ] A-余代数(>>857)の例： A を可換環、 M を A-加群とする。 対角射 Δ: M → M + M を考える。ここで M + M は直和であり、 Δ(x) = (x, x) である。 Δ により、A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が誘導される。 >>751 より Λ(M + M) = (ΛM)(x)'(ΛM) である。 (ΛM)(x)'(ΛM) は加群としては普通のテンソル積であるから、 ΛΔ により、ΛM は A-余代数となる。 ΛΔ は次数を保つことに注意。 862 名前：208 [2005/11/15(火) 10:02:32 ] >>861 の ΛΔ: ΛM → (ΛM)(x)'(ΛM) を具体的に求めよう。 x ∈ M のとき ΛΔ(x) = x(x)1 + 1(x)x である。 よって、x_1, ... , x_n が M の元であるとき、 ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) = Σ(-1)^μ (x_(i_i)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_i)Λ...Λx_(j_(n-p))) となる。ここで μ は i_k > j_l となるペアの個数である。 863 名前：208 [2005/11/15(火) 10:17:12 ] 外積代数 ΛM が自然に余代数となることは余り知られていない。 このあたりはBourbakiの独壇場だろう。 864 名前：208 [2005/11/15(火) 10:22:09 ] >>862 の式の訂正 正しくは、 ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) = Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p))) 865 名前：208 [2005/11/15(火) 10:47:45 ] A を可換環、 (B, φ) を A-余代数とする。 C を結合的とは限らない A-代数 とする。 m: C(x)C → C を乗法から得られる A-加群としての射とする。 u: B → C v: B → C を A-加群としての射とする。 φ: B → B(x)B と u(x)v : B(x)B → C(x)C と m: C(x)C → C の合成 m(u(x)v)φ: B → C を u と v の積と定義することにより、 Hom(B. C) は結合的とは限らない A-代数 となる。 866 名前：208 [2005/11/15(火) 15:56:56 ] >>865 の Hom(B. C) が結合的となる条件を考えよう。 A を可換環、E を結合的な A-代数とする。 μ: E(x)E → E を乗法から得られる A-加群としての射とする。 μ(x)1: (E(x)E)(x)E → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成 E(x)E(x)E → E(x)E → E と 1(x)μ: E(x)(E(x)E) → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成 E(x)E(x)E → E(x)E → E は結合的より一致する。 ここで、(E(x)E)(x)E と E(x)(E(x)E) を E(x)E(x)E と同一視している。 これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。 定義 (B, φ) を A-余代数とする。 φ: B → B(x)B と φ(x)1: B → (B(x)B)(x)B の合成 B → B(x)B → B(x)B(x)B と φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B → B(x)(B(x)B) の合成 B → B(x)B → B(x)B(x)B が一致するとき、B は余結合的という。 ここで、(B(x)B)(x)B と B(x)(B(x)B) を B(x)B(x)B と同一視している。 867 名前：208 [2005/11/16(水) 10:07:39 ] 命題 (B, φ) を A-余代数で余結合的とする。 C を結合的な A-代数 とする。 Hom(B, C) は >>865 の乗法により結合的な A-代数となる。 証明 u, v, w を Hom(B, C) の元とする。 u(x)v(x)w: B(x)B(x)B → C(x)C(x)C と 乗法から得られる C(x)C(x)C → C の合成を h とする。 h: B(x)B(x)B → C これと、φ: B → B(x)B と φ(x)1: B(x)B → B(x)B(x)B の合成 B → B(x)B → B(x)B(x)B → C は、(uv)w に等しい。 同様に h と φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B(x)B → B(x)B(x)B の合成 B → B(x)B → B(x)B(x)B → C は、u(vw) に等しい。 B は余結合的だから (uv)w = u(vw) となる。 証明終 868 名前：208 [2005/11/16(水) 10:54:15 ] >>865 の Hom(B. C) が単位元を持つ条件を考えよう。 A を可換環、E を単位元 1 を持つ A-代数とする。 ν: A → E を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。 μ(ν(x)1): A(x)E → E(x)E → E は A(x)E を E と見なしたとき E の単位射である。ここで、μ: E(x)E → E は E の乗法から 得られる射。同様に μ(1(x)ν): E(x)A → E(x)E → E は E の単位射である これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。 定義 (B, φ) を A-余代数とする。 A-加群としての射 η: B → A が以下の条件 1) と 2) を満たすとき η を B の余単位と呼ぶ。 1) (ν(x)1)μ: B → B(x)B → A(x)B は A(x)B を B と見なしたとき B の単位射である。 2) (1(x)ν)μ: B → B(x)B → B(x)A は B(x)A を B と見なしたとき B の単位射である。 869 名前：208 [2005/11/16(水) 11:08:40 ] 命題 (B, φ) を A-余代数で余単位を持つとする。 C を単位元を持つ A-代数 とする。 Hom(B, C) は >>865 の乗法により単位元を持つ A-代数となる。 証明 η: B → A を余単位とする。 ν: A → C を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。 νη: B → C が Hom(B, C) の単位元となる。 この証明は読者にまかす。 870 名前：208 [2005/11/16(水) 11:38:46 ] 命題 A を可換環、 M を A-加群とする。 ΛM は余結合的である。 証明 対角射 Δ: M → M + M と h = (1, Δ): M + M → M + M + M の合成 hΔ: M → M + M → M + M + M を考える。 ここで、h は h(x, y) = (x, y, y) で定義される射である。 よって、hΔ(x) = (x, x, x) である。 同様に、対角射 Δ: M → M + M と g = (Δ, h): M + M → M + M + M の合成 gΔ: M → M + M → M + M + M を考える。 ここで、g は g(x, y) = (x, x, y) で定義される射である。 よって、gΔ(x) = (x, x, x) である。 よって、hΔ = gΔ である。 Δ から誘導される A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が ΛM の余代数としての構造射である(>>861)。 よって、ΛM が余結合的であることは、 Λh = 1(x)(ΛΔ), Λg = (ΛΔ)(x)1 に注意すれば、 hΔ = gΔ から明らか。 証明 871 名前：208 [2005/11/16(水) 11:49:45 ] 命題 A を可換環、 M を A-加群とする。 ΛM は余単位(>>869)を持つ。 証明 ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) であり、A = (Λ^0)M である。 η: ΛM → A をこの直和における射影とする。 これが余単位であることは、>>862 の公式から分かる。 証明終 872 名前：208 [2005/11/16(水) 13:45:53 ] ここで、次数加群の Hom について少し述べる。 A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。 M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。 u :M → N を A-加群としての射で、ある p ∈ Z があり、 u(M_n) ⊂ N_(n+p) が任意の n ∈ Z で成立つとき u を次数 p の同次射という。次数 p の同次射 u: M → N の集合 を仮に H_p と書こう。H_p は Hom(M, N) の Z-加群としての 部分加群である。H_p で生成される Hom(M, N) の部分加群 ΣH_p は H_p の直和である(証明は読者に任す)。 ΣH_p を Homgr(M, N) と書く(gr は graded の略)。 Homgr(M, N) は H_p を同次部分加群とする A-次数加群である。 873 名前：208 [2005/11/16(水) 14:28:25 ] 命題 A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。 M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。 M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。 証明 x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。 u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。 ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p 次の同次成分。 u_p(x_i) = Σz_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。 u_p は同次でありその次数は p - deg(x_i) である。 u_p が well-defined であることは、 Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を 確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。 これを確かめるのは読者に任せる。 u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。 証明終 874 名前：208 [2005/11/16(水) 14:42:29 ] 規約： A を可換環、 M を A-次数加群とする。 ただし A は A_0 = A, p ≠ 0 のとき A_p = 0 として次数環と見なす。 Homgr(M, A) の p 次部分 Homgr(M, A)_p は Hom(M_(-p), A) と 見なせる。しかし、我々は Homgr(M, A) を考えるときは Homgr(M, A)_p = Hom(M_p, A) と定義することにする。 何故、このように定義するかは後にわかる。 875 名前：208 [2005/11/16(水) 14:52:54 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 Homgr(ΛM, A) は A-次数加群である。 これが、結合的な A-次数代数で単位元を持つことは、ΛM が余代数 となり(>>861)、余結合的で(>>870)、余単位を持つ(>>871) ことから明らかだろう(>>867 と >>869 より)。 876 名前：208 [2005/11/16(水) 16:33:06 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 整数 p > 0 に対して、M^p から A への交代的多重線形写像(>>849)の 集合をAlt(M^p, A)と書こう。これは、A-加群である。 >>874 の規約より、Homgr(ΛM, A)_p = Hom((Λ^p)M, A) だが、 これは >>852 より Alt(M^p, A) と見なせる。 u ∈ Alt(M^p, A), v ∈ Alt(M^q, A) のとき A-次数代数としての Homgr(ΛM, A) における u と v の積を明示的に求めてみよう。 >>862 より ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) = Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p))) である。 よって、(ΛM)(x)'(ΛM) を (Z^2)-型の次数代数と見たときの ΛΔ(x_1Λ...Λx_(p+q)) の (p, q)-成分は、 Σε(σ) (x_σ(1)Λ...Λx_σ(p)) (x) (σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q)) となる。ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ 区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において狭義単調増加 するものを動く。ε(σ) は σ の符号。 これと >>865 から (uv)(x_1, ... , x_(p+q)) = Σε(σ) u(x_σ(1), ..., x_σ(p))v(x_σ(p), ..., x_σ(p+q)) となる。 877 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 17:02:34 ] 無眼界乃至無意識界無無明亦無無明尽 878 名前：208 [2005/11/16(水) 17:08:21 ] 話は変わるけど(実は外積代数と関係あるが)、不変式論って面白そうだね。 以下はEisenbudその他の受け売り。 不変式論は１９世紀の半ば頃から末まで流行ったが、Hilbertが不変式論で 大きな仕事をしてから廃れてしまい、２０世紀半ばくらいまでは 内容を知ってる人間はわずかだった。それが、Mumford が 幾何的不変式論を発表してから再び日の目を見るようになった。 Hilbertは、不変式論の研究で四つの大きな発見をした。 1) 多項式イデアルの基底定理 2) 多項式イデアルの零点定理 3) 同次イデアルのHilbert多項式 4) 同次イデアルのSyzygy定理 これらは、可換環論で重要なものばかり。これらが不変式論から 出てきたということから、この理論が只者じゃないことがわかる。 879 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 17:38:40 ] >>878 Hilbert's Invariant Theory Papers www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0915692260/250-2656433-1963463 880 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 17:58:09 ] 永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/16(水) 18:14:28 ] >>877 乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得 882 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 20:55:17 ] 永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。 883 名前：208 [2005/11/17(木) 09:33:16 ] >>873を以下のように訂正する。 命題 A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。 M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。 M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。 証明 x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。 u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。 ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p + deg(x_i) 次の同次成分。 各 i に対して u_p(x_i) = z_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。 u_p は同次でありその次数は p である。 u_p が well-defined であることは、 Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を 確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。 これを確かめるのは読者に任せる。 M は有限生成だから u_p は有限個を除いて 0 である。 u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。 証明終 884 名前：208 [2005/11/17(木) 09:52:06 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 x_1, ... , x_p ∈ M y_1, ... , y_q ∈ M とする。 ΛM において、 (x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q) = (-1)^(pq) (y_1Λ...Λy_q)Λ(x_1Λ...Λx_p) となる。 よって、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^q)M のとき、 xΛy = (-1)^(pq) yΛx となる。 定義 B を (Z+)-型の(結合的な)次数代数とする。 ここで Z+ は非負の有理整数の集合を表す x ∈ B_p, y ∈ B_q のとき、xy = (-1)^(pq) yx となるとき、 B を歪可換次数代数という。 885 名前：208 [2005/11/17(木) 10:04:22 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 x ∈ (Λ^p)M とする。 x = Σx_i で各 x_i = x_(i_1)Λ...Λx_(i_p), x_(i_j) ∈ M とする。 xΛx = Σx_iΛx_i + Σ(x_iΛx_j + x_jΛx_i) となる。 ここで２番目の和は i < j となる組を動くとする。 i < j のとき、x_jΛx_i = (-1)^(p^2) x_iΛx_j であるから、 p が奇数のときは x_iΛx_j + x_jΛx_i = 0 となる。 よって、このとき xΛx = 0 である。 定義 A を可換環、 B を A 上の歪可換な次数代数とする。 x ∈ B_p で p が奇数のとき x^2 = 0 となるとき、 B を交代代数という。 886 名前：208 [2005/11/17(木) 10:53:13 ] これ良さげだね Classical Invariant Theory www.amazon.com/gp/product/0521558212/002-8762346-9714458?v=glance&n=283155&s=books&v=glance 887 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/17(木) 11:08:38 ] 永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。 881 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 18:14:28 >>877 乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得 882 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 20:55:17 永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。 888 名前：208 [2005/11/17(木) 11:25:59 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 >>876 より f, g ∈ Hom(M, A) のとき、Homgr(ΛM, A) において、 (fg)(x, y) = f(x)g(y) - f(y)g(x) となる。 よって、f^2 = 0 である。 よって、>>747 より A-代数としての射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op で f ∈ Hom(M, A) のとき、θ(f) = f となるものが一意に存在する。 ここで、Homgr(ΛM, A)^op は Homgr(ΛM, A) の乗法を逆にした 代数を表す(op は opposite の略)。 乗法を逆にするのは後の計算を簡単にするためであり、便宜的なもの に過ぎない。 889 名前：208 [2005/11/17(木) 12:34:13 ] A を可換環、 E を A-余代数(>>857)で余結合的(>>866)とする。 φ: E → E(x)E をその構造射とする。Hom(E, A) は >>867 より 結合的な A-代数となる。u_1, ... , u_n ∈ Hom(E, A) のとき その積 u_1...u_n を求めよう。 E から E の n 個のテンソル積 E(x)...(x)E への A-加群としての射 φ_n: E → E(x)...(x)E を帰納的に φ_n = (φ_(n-1)(x)1)φ で定義する。 つまり φ_n を φ: E → E(x)E と φ_(n-1)(x)1: E(x)E → (E(x)...(x)E)(x)E の合成で定義する。 ここで、E(x)...(x)E は E の(n-1)個のテンソル積。 双対的に A の n 個のテンソル積 A(x)...(x)A から A への射を A の乗法で定義したものを μ_n とおく。 μ_n = μ(μ_(n-1)(x)1) である。 このとき、 u_1...u_n = μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n となる。 証明 n に関する帰納法。 u_1...u_(n-1) = μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1) とする。 u_1...u_(n-1)u_n = μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1))(x)u_n)φ = μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))(x)u_n)(φ_(n-1)(x)1))φ = μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ = μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ = μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n 証明終 890 名前：208 [2005/11/17(木) 17:20:43 ] A を可換環、M を A-加群とする。 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) は ΛM の余代数としての構造射である 簡単のために ΛΔ = φ とおく。 f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき これ等の積 f_1...f_n を具体的に求めよう。 >>889 より f_1...f_n = μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n である。 ここで、δ_n は φ_n の 次数 (1,...,1) の成分を表す。 同様に δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分を表す。 ただし、ここでは ΛM の n 個のテンソル積 (ΛM)(x)...(x)(ΛM) に (Z^n)-型の次数付けを入れている。 δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n)) となることを n に関する帰納法により証明する。 δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分だから >>862 より δ_n(x_1Λ...Λx_n) = (δ_(n-1)(x)1)δ(x_1Λ...Λx_n) = Σ(-1)^(n-j) φ_(n-1)(x_1)Λ..[x_j]..Λx_n) (x) x_j ここで、x_1)Λ..[x_j]..Λx_n は x_j を除いたことを意味する。 この右辺に帰納法の仮定を適用して = Σ(-1)^(n-j)(Σε(σ)(x_σ(1)(x)..[x_σ(j)]..(x)x_σ(n))(x)x_j = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n)) つまり δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n)) である。よって、 (f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n)) = det(f_i(x_j)) となる。 891 名前：208 [2005/11/18(金) 10:36:15 ] >>890 の最後の式 (f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j)) は、>>889 を使わなくても >>876 から帰納法により証明できる。 つまり、 (f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = (f_1...f_(n-1))f_n(x_1, ... , x_n) = Σ(-1)^(n-j-1) (f_1...f_(n-1))(x_1,..[x_j]..,x_(n-1)))f_n(x_j) = Σ(-1)^(n-j-1) Σε(σ) f_1(x_σ(1))..[x_j]..f_(n-1)(x_σ(n-1))f_n(x_j) = Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n)) = det(f_i(x_j)) 892 名前：208 [2005/11/18(金) 11:03:01 ] A を可換環、M を A-加群とする。 f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき θ(f_1Λ...Λf_n) = (f_n)...(f_1) = (-1)^(n(n-1))/2 (f_1)...(f_n) である。ここで、θは >>888 の θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op である。 M が A 上の階数 m の自由加群で、e_1, ..., e_m をその基底とする。 f_1, ..., f_m をその双対基底とする。 つまり、f_1, ..., f_m ∈ Hom(M, A) で f_i(e_j) = δ(i,j) である。ここで、δ(i,j) は Kronecker の δ I が {1,...,m} の部分集合で I = {i_1, ..., i_p}, i_1 < ... < i_p のとき、 f_I = f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) と書く。 同様に e_I も定義する。 >>890 の最後の式 (f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j)) より、 (-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)(e_J) = δ(I, J) となる。 ここで、δ(I, J) は Kronecker の δ の拡張で I = J のとき δ(I, J) = 1、I ≠ J のとき δ(I, J) = 0 よって、{(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)} は {e_J} の Hom((Λ^p)M, A) における双対基底である。 よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op は同型射である。

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