面白い問題おしえて～な 31問目

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面白い問題おしえて～な 31問目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net]: 過去ログ置き場(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3～6「datが存在しません。」
7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/

なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて～な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 14:23:06 ID:j1jqA7X+.net]: >>280
違う、上限でした
294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 14:58:24 ID:5Rrv77pM.net]: 卒業できる確率　：　4750970704397512 / 5551115123125783　= 0.85585879575891107187420816324627437826646454687092053

退学の確率　　　：　800144418728271 / 5551115123125783 = 0.144141204241088928125791836753725621733535453129079468759
295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 16:55:37.06 ID:CVYz5IRs.net]: 単位円上の2n個の点A1,B1,‥,An,Bnを一様独立に選び円盤をn個の線分線分A1B1,‥,AnBnで分割するとき、できる小領域の個数の期待値を求めよ。
296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 00:29:09.72 ID:Q6IpDgid.net]: >>280
とりあえず今のところこのスレでは>>240さんの証明しか上がってない。
この方針でいくなら非負実数αが条件
Σ(c(p+2,q)-c(p,q)|(|p|+|q|}^α→0 (n→∞)‥‥(※)
が成り立つならそのαは>>280の条件をみたしたりしないかな？
まだ>>240が完全に理解できてはいないからわかんないけど。
もし(※)を満たす非負の実数が0しかないなら今んとこαを改善できる見込みあるレスは上がってないな。
297 名前：イナ mailto:sage [2020/02/12(水) 02:21:36.56 ID:hcOGUVCg.net]: 前>>275
>>283
n=1のとき2(個)
n=2のとき、
3(1/2)+4(1/2)=3.5(個)
n=3のとき、
4(1/8)+5(1/8)+6(1/4)+7(1/2)=(9+12+28)/8
=6.125(個)
n=4のとき最大11個、最小5個
5(1/64)+6(1/64)+7(1/32)+8(1/16)+9(1/8)+10(1/4)+11(1/2)
=(5+6+14+32+72+160+352)/64
=10.015625(個)
n=5のとき最大16個、最小6個
=(6+7+16+36+80+176+384+640+192+1280+512+2560+1280)/1024
=(7149+8192)/1024
=15341/1024
=14.9814453……
n=6のとき、最小7、最大22
7(1/2)^15+8(1/2)^15+9(1/2)^14+10(1/2)^13+11(1/2)^12+12(1/2)^11+13(1/2)^10+14(1/2)^9+15(1/2)^8+16(1/2)^7+17(1/2)^6+18(1/2)^5+……+22(1/2)
n本の直線で分割した領域の個数の期待値は、
(n+1)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+2)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+3(1/2)^{n(n-1)/2-1}+……+{n(n+1)/2+1}(1/2)
ブロックくずしのように簡単になるのか、lim[n→+∞]に飛ばすのか、通分か。
298 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 04:10:08.56 ID:1Q0cdG25.net]: 毎度思うけど思考過程をレスするの何？
〇〇となり……ああ違うか。みたいなの誰も求めてないし数学の試験でそんなこと書くか？
ちゃんとオフラインで答えに辿り着いてからそれを纏めて書けよ
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 07:34:56 ID:eWvaFFv2.net]: >>285
n=1のときだけは正解です。
300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 10:02:20 ID:EmPEyxMI.net]: 日本数オリ本選の問題が出ました
https://i.imgur.com/Ub5tYCW.jpg
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 10:17:58 ID:2Z9zzZPK.net]: >>284
(※)は使えそうですね
実際には Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|=2Σc[0,q] の値は積分を使って
C(1+o(1))/√n (as n→∞, ただし定数Cはabsolute) となることが計算できるので、
|Σ(a[0,0]-a[2,0])|
≦Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|(|p|+|q|)^α
≦C(1+o(1)) ･ n^(α - 1/2) (∵|p|+|q|>n の時に係数が0となるため、|p|+|q|≦n の範囲で和をとれば良い)
という評価が得られます。
a[0,0]とa[2,0]の差以外にも同様のことが言えるので、結局 α<1/2 は条件を満たすことが導けると思います。

ちなみに一方で a[i,j]:=i (∀(i,j)∈Z^2) という例から、α≧1は条件を満たさないことがわかります
302 名前：イナ mailto:sage [2020/02/12(水) 14:44:38.94 ID:hcOGUVCg.net]: 前>>285え？　>>283n=2のとき違うの？　なんで？　クロスする確率とクロスしない確率は1/2ずつじゃないのかい？
／∥__`∥￣￣∥彡ミ､∥
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川 `
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303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 15:08:05.33 ID:IJFWAL+A.net]: >>200
ヒント。
ホントは積分で求めるんだけど裏技。
まず4点選ぶ。
後でどれをA1B1A2B2と割り振るか決める。
304 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 16:25:29.15 ID:U1ltP3xX.net]: 点O中心の半径1の円の内部に点Oと異なる点Aを取る。
半直線OA上にOA・OB=1なる点Bを取る。
円周上に点P,Qを、直線PQに関して点O,A,Bが同じ側に来るように任意に取る。この3点はいずれも直線PQ上に無い。
直線PQに関してAと線対称な点をDとする。
△PBD∽△OBQを示せ。
305 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 16:45:23.52 ID:2rGgcqMY.net]: >>283
四点A1,B1,A2,B2の偏角を小さい順に並べると1122,2211,1221,2112,1212,2121の六通り
このうち、先の四つは線分が互いに�
306 名前：墲轤ﾈい場合であり、後の二つは交わる場合である つまり、ランダムに決めた二つの線分が交わる確率は1/3 n本の線分により円が分割されているとき、新たに一本の線分を加えるとする このとき新しい線分が既存の線分と交わらなければ、分割される領域は一つ増える 既存の線分一本と交わるなら領域は二つ増え、既存の線分二本と交わるなら領域は三つ増える つまり、新しい線分が既存の線分と交わった本数+1の領域が新たに増える 新しい線分を引いたとき、既存の線分n本のうち交わる本数の期待値はn/3だから、 領域の数の増分の期待値はn/3+1となり、 n本の線分で分割されたときの領域の数の期待値をI(n)と置くと、I(n+1)=I(n)+n/3+1と書ける I(n)-I(1)=(n(n-1)/2)/3+(n-1)、I(1)=2は自明なので、I(n)=n(n-1)/6+n+1 []: [ここ壊れてます]
307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 17:23:00.93 ID:IJFWAL+A.net]: >>292
PQの垂直二等分線が実軸でOが原点となる複素座標を設定する。
Aの実軸対称点をCとする。
ABCDPQの複素座標をabcdpqとする。
PDをPQ、実軸で続けて対称移動するとQCに移るからd-p=q-cである。
またAが単位円に関する反転でCはその実軸反転だからc=1/bである。
P,Qは単位円上かつ実軸対称だからpq=1である。
以上により
(d-p)/(b-p)
=(q-c)/(b-p)
=(1/p-1/b)/(b-p)
=1/(pb)
=(q-0)/(b-0)
であるから△BDPと△BQOは相似である。
308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 17:24:07.93 ID:IJFWAL+A.net]: >>293
正解！GJ!
309 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 20:04:24.39 ID:2rGgcqMY.net]: >>291
積分でやってみた

A1,B1,A2,B2の偏角を0,X,Y,Zとして、A1を固定し、後の三つを確率変数と考える
それぞれ独立に0から2πの間の値を取る一様分布に従うので、確率密度関数は1/(2π)^3となる

YとZが共に0とXの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,x]∫[0,x]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x^2/(2π)^3}dx=1/3
Yが0とTの間、ZがTと2πの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,t]∫[t,2π]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x(2π-x)/(2π)^3}dx=1/6

二線分が交わらない確率=YとZが共に0とXの間または共にXと2πの間である確率=1/3+1/3=2/3
二線分が交わる確率=Yが0とTの間でZがTと2πの間またはその逆となる確率=1/6+1/6=1/3
310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 21:12:47.06 ID:IJFWAL+A.net]: >>296
おお、素晴らしい！
ここで受験数学お馴染みの1/6公式が出てくるのがへぇと思いました。
311 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/12(水) 22:25:41 ID:hcOGUVCg.net]: 前>>290
>>283
n=1のとき2
n=2のとき3(2/3)+4(1/3)=3.33……
n=3のとき4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)(2/3)+7(1/3)^2
=(4+10+12+7)/9
=3.66……
急にnやn+1に飛んだらだれもわからないだろう。途中をちゃんとやってほしい。
n=4のとき5(2/3)^3+6(2/3)^2(1/3)+7(2/3)(1/3)^2+8(/)+9(/)+10(1/3)^2(2/3)+11(1/3)^3Ψ`o`Ψ
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 22:36:00 ID:cpT3giHz.net]: 不正解
313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 22:51:26 ID:MTHiudft.net]: とりあえずn=3のときn=2と同じようにやってみればいい。
6点適当に選ぶ。
ただし三点が一点で交わるような特殊なケースは確率0なので無視する。
反時計回りに123456として2個組ずつわける。
12,34,56
12,35,46,
‥
で何通りできるか？
小領域が4つになるのは何通りか？
小領域が5つになるのは何通りか？
小領域が6つになるのは何通りか？
小領域が7つになるのは何通りか？
期待値は？
314 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 23:04:11 ID:2rGgcqMY.net]: >>298
m本の線分に交わる線を引くと、そのm本で分割されていたm+1個の領域の上を通ることになる
つまりm+1個の領域を切ることになるので、領域の数は倍化され、m+1個の領域が新たに増えることになる
315 名前：イナ mailto:sage [2020/02/12(水) 23:55:09.29 ID:hcOGUVCg.net]: 前>>298
>>301
2本の直線と交差する直線を引くと領域が3個増えることはわかってる。
つまりm=2のとき意味が通じる。
けど交差しないときの確率を足さないかんだろ。
n=3のとき領域が4個になるのは交差しないとき。
n=2のときの考察からして
316 名前：交差するときが1/3で交差しないときが2/3じゃないのか？ 4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)^2+7(1/3)^3 =(16+30+18+7)/27 =71/27 この計算、 2/3+2/9+1/9+1/27が1になるときじゃないと意味ないんだよ。 []: [ここ壊れてます]
317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:09:21 ID:ARUap2be.net]: A1B1とA2B2が交差する確率は1/3、
A2B2とA3B3が交差する確率は1/3、
A3B3とA1B1が交差する確率は1/3、
しかし交点が３つできる確率はこの３つをかけてもダメ。
かけて求められるのはコレらの事象が独立の時。
独立ではないのでダメです。
318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:15:15 ID:906Gyp6n.net]: 調和配列について考えてたけど、どうも何かがおかしい気がする…
>>195 のeの構成って本当に合ってる？
以下の要領で、原点以外の全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しないことが示せそうなんだけど…

配列aを a[0,0]=1 かつ a[X]≧0 (∀X∈Z^2) を満たす、原点以外で調和的な有界配列とする。
aの下限 inf_(X∈Z^2) a[X] を0としてよい。a[X]=0 を満たす格子点Xは存在できないことに注意。

配列の列 b_n を
b_n[0,0] = 1 (n≧0)
b_0[p,q] = 0 ( (p,q)は原点以外の格子点)
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1] ( (p,q)は原点以外, n≧0)
により定めると、帰納的に
b_n[p,q]≦b_(n+1)[p,q]≦1 (p,qは全ての整数, n≧0)
が導けるため極限 b[p,q]=lim_(n→∞) b_n[p,q] が存在し、
配列 b が原点以外で調和的であることもわかる。また、各nについて
b_n[p,q]=b_n[-p,q]=b_n[p,-q]=b_n[q,p]
0≦p かつ 0≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p+1,q]
1≦p≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p-1,q+1]
b_n[p,q]≦a[p,q]
が成り立つことが帰納的に示せるため、n→∞とすることでbについても同様のことが言える。

配列aの下限が0かつ全ての格子点Xについてa[X]>0であることから、
格子点の列 X_n=(p_n,q_n) であって
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
を満たすものが存在。これより、格子点(p,q)が max(|p|,|q|)≧|p_n|+|q_n| を満たすならば
b[p,q] ≦ b[|p_n|+|q_n|] ≦ b[p_n,q_n] ≦ a[p_n,q_n]
であるから、格子点Xについて|X|→∞ならばb[X]→0が成り立つ。

一旦ここまで。
319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:18:26 ID:906Gyp6n.net]: >>304
訂正。配列の列b_nの漸化式について
誤
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1]
正
b_(n+1)[p,q] = (b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1])/4
320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:23:06 ID:906Gyp6n.net]: >>304
何度も申し訳ない、もう１つ訂正。
格子点列X_nについて
誤
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
正
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=∞
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 00:49:32.88 ID:av6dLTOA.net]: >>304
もちろんeは原点て
4e[0,0]=e[1,0]+e[-1,0]+e[0,1]+e[0,-1]
を満たしてませんよ。
4e[i,j]=e[i+1,j]+e[-i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]
はキルヒホッフの法則
(e[i+1,j]-e[i,j]}+(e[-i-1,j] -e[i,j]}+(e[i,j+1]-e[i,j]}+(e[i,j-1] -e[i,j]}=0
を変形したものですが、原点は電極がついてて電流を吸い出してるのでこの等式が成立していません。
>>195のeは上に有界なのでもし全ての点で上の等式が成立するなら雨宮の定理により定数になってしまいます。
322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 02:15:11.71 ID:aaGAJwRB.net]: >>283
(n+2)(n+3)/6 かな
導出過程はこれから考えるw
323 名前：イナ mailto:sage [2020/02/13(木) 02:22:24.68 ID:7VewwRjX.net]: 前>>302いきなりnとかmとかで一般項出して解きだす奴は偽者か曲者。1面2面クリアして今3面。
n=3のとき最小が4で最大が7、
4(2/3)(3/4)(1/4)+5(2/3)(4/6)+6(1/3)(4/6)+7(1/3)(2/6)
=4(1/8)+5(4/9)+6(2/9)+7(7/24)
=1/2+32/9+49/24
=(36+256+147)/72
=439/72
=6.0972……
ちょっとマシになった。
324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 02:22:32.49 ID:aaGAJwRB.net]: >>308
交点の可能な数は n(n-1)/2 である
1≦i<j≦nとしてAiBiとAjBjが交差する確率は各々1/3なの
325 名前：だから、 交点の数の期待値は n(n-1)/6 領域の数の期待値は (n+1)+n(n-1)/6 = (n+2)(n+3)/6 []: [ここ壊れてます]
326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 03:08:45.48 ID:aaGAJwRB.net]: おっと、283は>>293で既に解かれていたか
まだ続いてるのかと思ったw
327 名前：哀れな素人 [2020/02/13(Thu) 09:53:51 ID:ij5lRW2v.net]: >>292
初等幾何的証明
ABを直径とする小円を描けば、出題の二つの三角形と相似な
二つの三角形を小円の中に作図できる。

大円と小円の交点をE、F、EFとABの交点をG、
DBと小円、QBと小円の交点をそれぞれH、I、
IGの延長と小円の交点をJ、JHとPBの交点をKとすると、
△KHB∽△GIBで、この二つの三角形は出題の二つの三角形と相似である。

∠H＝∠Iであることはすぐに分かる。
あとは∠KBH＝∠GBIであることを示せばよいが、
これが意外と難しく、今のところ未解決。
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:12:32 ID:906Gyp6n.net]: >>307
eが原点で調和的でないことはわかっているのですが、問題はそこではなくて、>>304の通り
『原点以外の』全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しない
ということを示せてしまう、ということなのです

↓↓304の続き↓↓

c=4b[0,0]-b[1,0]-b[-1,0]-b[0,1]-b[0,-1] とおくと、整数n≧2について
cn = Σ_(m=1,n) c
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|,|q|<m) 4b[p,q] - b[p+1,q] - b[p-1,q] - b[p,q+1] - b[p,q-1]
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|<m) - b[m,p] - b[-m,p] - b[p,m] - b[p,-m] + b[m-1,p] + b[1-m,p] + b[p,m-1] + b[p,1-m]
= 4b[0,0] + ( Σ_(p=1,n) 2b[p,p] + 2b[p,-p] + 2b[-p,p] + 2b[-p,-p] ) - ( Σ_(|p|<n) b[n,p] + b[-n,p] + b[p,n] + b[p,-n] )
= o(n) (as n→∞)
より矛盾。したがって、a は定数でなければならない。
329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:17:09 ID:ctEQzeqL.net]: >>313
eは0以上の値をとりますが有界ではありませんよ。
>>204で示されています。
330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:26:22 ID:906Gyp6n.net]: >>314
あら失礼しました… >>195しか見てませんでした
331 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:35:30 ID:7VewwRjX.net]: 前>>309
>>311つづけてください。
n=3から。
さあ。
3のとき5、
4のとき7、
6のとき12です。
332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 10:53:38.12 ID:Tf6czv/B.net]: 4e(i+1,j)+ e(i-1,j)+ e(i,j+1)+ e(i,j-1)
=
∫[～] (1-cos((x+y)(i+1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)(i-1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j+1)))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j-1)))/(1-cosxcosy)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] (2-2cos(x+y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
+∫[～] (2-2cos(x-y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4(1-cos(x)cos(y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-∫[～] 4(1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4cos((x+y)i)cos((x-y)j))dxdy
=
δ[i0]δ[j0]16π^2
になるハズ。
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 11:54:57.76 ID:906Gyp6n.net]: そうすると >>242 の最後の主張も訂正する必要がありそうだ

誤
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
と表せる。

正
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たす配列 a であって、
任意の定数 ε>0 について |a[X]|=O(|X|^ε) を満たすようなものは、
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
に限られる。
334 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/13(木) 13:21:59.82 ID:WiJ7Z5mz.net]: >>292
これ今年の灘高校の入試問題じゃん
335 名前：哀れな素人 [2020/02/13(Thu) 17:43:48 ID:ij5lRW2v.net]: >>312の続き
HBとEIが垂直であることを示すことができれば証明完了。
なぜなら、その場合、∠BHAは直角だからHAとEIは平行。
すると∠AHIとHIEは錯角だから等しい。
すると∠ABI＝∠AHI＝∠HIE＝∠EBH

∠Hと∠Iは同一円周角で等しいことがすでに示されているから、証明完了。
しかしHBとEIが垂直であることを示すことが難しい。

灘高校の入試問題なら、もっと簡単な解法があるに違いない（笑
336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 19:53:39.15 ID:uH+myoBI.net]: n,kは自然数でk≦nとする。
穴の開いた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひ
337 名前：もを通して輪を作る。 このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、 どちらの組も白玉k個、黒玉n-k個からなるようにできることを示せ。 (某大学文系過去問 - 中学生の知識で解ける) []: [ここ壊れてます]
338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 20:23:54.06 ID:iOaxVOmG.net]: >>321
上半分の赤の個数について考える。
玉一つ分時計回りに回したとき上半分のあかの数はそままか、一個増えるか一個減るのいずれか。
半周回したとき上半分と下半分が入れ替わるのでどっかの時点でピッタリ半分になる。
339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 20:38:32.25 ID:uH+myoBI.net]: >>322
早いね、正解。
要は離散版中間値の定理(自明)。
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 22:30:53.03 ID:VUrdGB1K.net]: >>280
でけた。上限は1。

全域で調和的な配列aが、ある α<1 について a[X]=O(|X|^α) を満たしていると仮定。
((Δ^n)a)[0,0] における a[-n+p+q,p-q] の係数c_n[p,q]は
((1+x)(1+y)/4)^n における (x^p)(y^q) の係数と一致。つまり
c_n[p,q] = 4^(-n)･C(n,p)･C(n,q).　（ただし大文字のCは二項係数）
よって、 (Δ^(2n+1)a)([1,0]+[-1,0]-[0,1]-[0,-1]) の係数の絶対値の総和は
Σ_(p,qは整数) 4^(-n)･|C(2n+1,p)-C(2n+1,p-1)|･|C(2n+1,q)-C(2n+1,q-1)|
=4C(2n+1,n)^2
=K/n･(1+o(1)). （ただしKはある定数）
であるから、
|a[1,0]+a[-1,0]-a[0,1]-a[0,-1]|
≦K(1+o(1))･2^α･n^(α-1)→0 (as n→∞)
より a[1,0]+a[-1,0]=a[0,1]+a[0,-1].
これと Δa=a より a[1,0]+a[-1,0]=2a[0,0].
同様にして、任意にjを固定した時に a[i,j] が等差列をなすことがわかるが、|a[X]|=o(|X|) より a[i,j] はiに依存しない。
同様にしてjに依存しないこともわかるため、aは定数。
341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 22:35:41.28 ID:iOaxVOmG.net]: >>324
おお、素晴らしい。gj
342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 23:51:21.39 ID:iOaxVOmG.net]: このスレで度々見かける某パズル本からの出題。

2人の修行僧がそれぞれ二つの山を登る。
2人とも同じ海抜の麓の地点から登頂を始め、ゴールの山頂の海抜も同じである。
各々の僧は山頂までの一本道の山道のみを移動する。
どちらの道も途中の地点ではスタート地点より海抜が高く、ゴール地点より海抜は低い。
この時2人の僧の登頂をうまく調節していずれの時点でも2人の海抜が完全に一致する様にして登頂をすることは可能であろうか？
2人の僧に許される行動は山道を進むか戻るか立ち止まるかのみである。

この問題の原題の設定はこれだけで当然暗黙の了解としてスタート地点からの道のりと海抜を与える関数が連続である事は仮定できます。
それはいいんですが、(そりゃそうでしょう)、パズル本の模範解答はできるで、私にはその解答はその連続関数になにか区分的に滑らかみたいな仮定がないと成立してないように思えます。
どなたか連続だけの仮定の元での肯定的な解答作れますでしょうか？
343 名前：イナ mailto:sage [2020/02/13(木) 23:58:27.97 ID:7VewwRjX.net]: 前>>316
>>322-323赤玉どっから出てきたん？　白玉と黒玉やろ。
344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 00:01:24.99 ID:ekmNRCqQ.net]: ちゃんと数学的に書けば

連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？

です。
f,gの連続性にある程度強い仮定があれば簡単なんですけど。
345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 00:02:35.07 ID:ekmNRCqQ.net]: >>328は>>326の続きです。
346 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 01:33:49.02 ID:1dEsnuQN.net]: >>328
f(x)=2x (0≦x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x<3/4)
f(x)=2x-1 (1/4≦x≦1)
g(x)=1/2+|x-1/2|sin((π/4)/(x-1/2))
の場合は登山五合目付近でp(t)が不連続になると思われる
347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 02:57:15.90 ID:ekmNRCqQ.net]: >>330
その程度の関数なら本に載ってる解答の肯定的解答がそのまま通用します。
348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 02:59:45.62 ID:1dEsnuQN.net]: >>328
条件を強くして道のりが微分可能でもダメみたい。
f(x)=1/2-(1/2)e^(4+1/(x-1/4)) (x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x≦3/4)
f(x)=1/2+(1/2)e^(4-1/(x-3/4)) (3/4<x≦1)
g(x)=1/2+8(x-1/2)^4 sin((π/4)/(x-1/2))
のとき
f^(-1)(g(x))は不連続で、f(x)の道の人は無限の距離を歩かないといけない
349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 03:17:50.97 ID:ekmNRCqQ.net]: >>332
とりあえず道のりの有限性を仮定すれば大丈夫です。
もう少し緩めてf,gが共に有界変動なら大丈夫です。
問題は有界変動性がないとき、>>328のp,qとして有界変動性がない連続関数まで含めて存在し得ない例を私は持ってないのです。
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 03:42:11.48 ID:ekmNRCqQ.net]: ちなみにfが有界変動連続関数のとき

f1(x)=fの[0,x]における全変動、
f2(x)=f1(x)-f2(x)

とおけば
f(x)=(f1(c)+x)-(f2(x)+x)
と二つの狭義単調増大連続関数の差となります。
gも有界変動連続ならgも同じような分解を持ってしまうので本の証明が通用してしまいます。
351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 03:43:07.46 ID:ekmNRCqQ.net]: あ、ポコポコ間違ってるけど適当にエスパーしてください。
352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 08:39:16 ID:8zGfmT3q.net]: >>331
ん？肯定的？否定的解答じゃなくて？
328の条件を満たす連続関数p,qが存在しないのは間違いないのでは？
353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 09:28:04.83 ID:ekmNRCqQ.net]: >>336
今上がってるケースぐらいではp,qは存在するします。
p,qは連続でありさえすれば有界変動性は要求されません。
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 09:32:16.08 ID:ekmNRCqQ.net]: あ、いま上がってるケースくらいならp,qも有界変動に取れます。
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 09:44:02.90 ID:1dEsnuQN.net]: >>338
>連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
>p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
>を満たすものがとれるか？
の問いに対する
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
は矛盾するように思えるのだが

>>332の例でp,q連続関数かつf(p(t))=g(q(t))と仮定すると
中間値の定理よりq(th)=1/2となるth∈[0,1]が存在し、
t_0=0と置くとq(t_i)=1/2-1/(4i+2)となるt_i∈[t_(i-1),th] (i=1,2...)が存在する
しかし
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))<1/4 (i:even)
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))>3/4 (i:odd)
さらにt_iは単調有界列だから収束してp(t)はlim t_iで不連続となり矛盾

何か誤解していれば指摘してほしい
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 10:27:02.14 ID:ekmNRCqQ.net]: >>339
あれ？
そうですね？
>>332は反例なってますね？
有界変動じゃないのかな？
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 10:37:54.73 ID:ekmNRCqQ.net]: ダメだ。すぐにはわからない。
もう問題のレベル下げます。>>328改

連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。

コレで肯定的に解決します。
有界変動では無理なのかな？
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 10:39:54.56 ID:ekmNRCqQ.net]: >>341
補足。
PLの区分は有限個までです。
359 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 11:55:32.12 ID:UISPIlpq.net]: >>340
君が見たという本が嘘なんじゃない？
360 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 11:58:33.09 ID:UISPIlpq.net]: >>341
361 名前：>ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。 めっちゃレベル下げすぎだな []: [ここ壊れてます]
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 12:00:56.70 ID:rp7n7TvM.net]: >>343
本では設定なしなんですよ。
ただ連続とだけ。
さすがにそれは無理だろうと。
数学的な面白さは激減しますがとりあえずplはら大丈夫、どこまで突っ込めるのかは謎。
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 12:12:29.42 ID:ZE8w945W.net]: 奇跡の数「142857」に隠された神秘を知っていますか
https://gendai.ismedia.jp/articles/-/51045
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 12:43:58.29 ID:8zGfmT3q.net]: plから条件をゆるめるとしても『区分的に広義単調』あたりが限界じゃないかな…

関数の値が無限回上下することを許してしまうと、どうしても>>330みたいな例が作れてしまうと思う。
逆に関数値の上下が有限回であれば、問題なくできそう（証明は多少面倒かもだけど）
365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 13:02:47.54 ID:rp7n7TvM.net]: まぁplまでかな？
変に広げてもgeneral nonsenseかも。
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 13:04:38.80 ID:8zGfmT3q.net]: 待て、逆に『どの区間においても定数ではない』という条件でもいけるか？
単に成り立ちそうだから書いてみただけで、確かめた訳ではないけど
367 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 14:43:01.01 ID:G8wZZuo4.net]: 所持金が一万円の貧乏人が、金持ちの友達相手に掛け将棋を持ちかけた
一局ごとに一万円を掛けた2n+1番勝負で、どちらかが先にn+1勝した時点で終了とする
ただし、貧乏人だけは途中で一番でも負け越した時点で所持金を失い続行不可能となる
実力は互角で、引き分けはないものとする
貧乏人が得する確率は？
368 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 14:53:50.89 ID:UISPIlpq.net]: >>345
>本では設定なしなんですよ。
本が嘘
あるいは君が条件読み落とし
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 15:28:01.36 ID:ekmNRCqQ.net]: 僧が3人だとダメなのかな？
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 15:34:23.96 ID:ekmNRCqQ.net]: >>350
貧乏人も金持ちも途中で降りるのはなし？
必ずどちらかがn+1勝するか、貧乏人が負け越すかまで続けられる？
371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 16:23:42.86 ID:ekmNRCqQ.net]: >>350
貧乏人の獲得賞金をXとする。
最初に貧乏人がi勝する事象をAiとして
E(X|Ai)=iである事をnとiについての帰納法で示す。
n=1では明らか。
またi=nでも明らか。
n<Nで正しいとしてn=Nとしi>Iで正しいとしてi=Iとする。
このとき
E(X|Ai)=
1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人勝ち)
+ 1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人負け)
である。
右辺第1項は帰納法の仮定により(i+1)/2である。
第2項はnが1少ない場合の貧乏人がi-1連勝した状況と同じになるのでやはり帰納法の仮定から(i-1)/2である。
よって主張は示された。
特にi=0の場合により貧乏人の獲得賞金の期待値は0。□
372 名前：イナ mailto:sage [2020/02/14(金) 16:44:46.29 ID:Glw+icxw.net]: 前>>327ふ～ゆ～に～ぉ～ぼえ～た～♪ う～た～ぉ～わ～すれ～て～♪ す～と～ぉ～ぶ～のな～か～♪ の～こ～ぉ～た～せき～ゆ～♪
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（(`o')/＿/（o^) )_
/_（_υ_)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿>>292メネラウスの定理で考えてたんだけど>>312はAとHが重なって描けないよね。こんな難しい作業やらせるか？
373 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 17:35:32.44 ID:VcIiPg2O.net]: >>354
0なわけねーだろ
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 17:51:01.49 ID:ekmNRCqQ.net]: 獲得金額ってもちろん参加費差っ引いた額ね。
具体的に書いてみればわかる。
以下Aを貧乏人、Bを金持ちとしてAのw勝l負をw/lで表す。
その時のAの獲得金額xと確率pでおわるときx(p)であらわす。

n=0のとき
1/0→1(1/2)、0/1→-1(1/2)
∴ 期待値0
n=1のとき
2/0→2(1/4)、2/1→1(1/8)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
n=2のとき
3/0→3(1/8)、3/2→2(1/4)、3/1→1(2/32)、
2/3→-1(2/32)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 17:56:55.14 ID:ekmNRCqQ.net]: あ、問題文は
貧乏人が得する確率は
か。
期待値求めるんじやないのね。
376 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 18:13:54.83 ID:G8wZZuo4.net]: >>353
途中で降りるのはなし
>>354
期待値はおっしゃる通り
期待値が0なのに、貧乏人は負けてもたった一万で済み勝てばそれ以上が得られるのは、
得する確率は小さいが勝った時のリターンが大きい勝負をしているからだ
この得になるケースが起こる確率はいくらか？が実は聞きたかった
377 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/14(金) 19:24:24 ID:Glw+icxw.net]: ∥人人∥前>>355
（_(＿)>>292裏技がある
（(-.-)のか ∩∩
（っγ)ﾞな (^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒)　？ υυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~
メネラウスとか。
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 19:35:09 ID:ekmNRCqQ.net]: >>359とすると
(2^(2n)-C[2n+1,n])/2^(2n+1)
かな？
カタラン数計算するのと同じテク。
379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 20:19:34.18 ID:ekmNRCqQ.net]: あ、違う。
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 20:43:56.77 ID:ekmNRCqQ.net]: 気持ちよく期待値0になっておおぉぉぉと思ったけど当たり前なのか‥‥
381 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/14(金) 21:22:52 ID:G8wZZuo4.net]: >>362
正解！！！

次のように問題を改変する
貧乏人が途中で負け越しても借金して続け、どちらかが先にn+1勝しても2n+1番まで続ける
そのときに、貧乏人が途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる場合を考える
勝敗条件はまったく変わらないので上記の確率を求めればいい

途中で一度は負け越してから勝ち越しで終わる場合、途中に初めて負け越した黒星が必ずある
その黒星より後で二番以上の勝ち越しがあることにより最後は勝ち越しとなる
このときもしその黒星より後の星の勝敗が逆であれば三番以上の負け越しで終わる
逆に、三番以上の負け越しで終わる場合、途中に初めて負け越しとなった黒星が必ずあり、
その後に二番以上の負け越しがあることで三番以上の負け越しで終わるので、
その勝敗が逆なら、途中の負け越しから二番以上を返し、最後勝ち越しで終わることになる
従って、途中で負け越してから勝ち越しで終わる場合と三番以上の負け越しで終わる場合は、
一対一に対応し、その確率は等しい

題意の確率=途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-途中で負け越してから勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-三番以上の負け越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-(負け越しで終わる確率-一番の負け越しで終わる確率)
=1/2-(1/2-n勝する確率)=n勝する確率=C[2n+1,n]/2^(2n+1)
382 名前：イナ mailto:sage [2020/02/14(金) 21:41:52.84 ID:Glw+icxw.net]: 前>>360
>>292
OA=tとすると、
OA･OB=1よりOB=1/t
AB=OB-OA=1/t-t
383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 21:48:27.27 ID:R20D62da.net]: n ＝１～７で虱潰しにプログラムに数えさせて頻度を出してみた。

> data.frame(n,p)
n p
1 1 0.3750000
2 2 0.3125000
3 3 0.2734375
4 4 0.2460938
5 5 0.2255859
6 6 0.2094727
7 7 0.1963806
384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/14(金) 22:26:53.90 ID:R20D62da.net]: C[2n+1,n]/2^(2n+1)

に代入すると、

> choose(2*n+1,n)/(2^(2*n+1))
[1] 0.3750000 0.3125000 0.2734375 0.2460938 0.2255859 0.2094727 0.1963806

同値。プログラムでのカウント漏れはなさそう。
385 名前：哀れな素人 [2020/02/14(金) 22:49:27.49 ID:ENo7Ubcw.net]: >>312に書いたことは間違いだったので訂正しておく。

PB、DB、QBと小円との交点をE、F、G、
GからQOに平行に引いた平行線と、AB、小円との交点をH、I
IFとPBとの交点をJとすると、△JFB∽△HGBで、
この二つの三角形は出題の三角形とも相似。

但し△OQB∽△HGBだけは明らかだが、
その他の相似は、今のところ、示せない。

もしかしたら小円など利用しなくても解けるのかもしれない。
386 名前： 【中吉】 mailto:sage [2020/02/15(土) 00:55:59 ID:UO46pwdD.net]: 前>>365小円なん　∩∩
((-_-)か思いつ　(^_^))
[￣]c) かんやろ。U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
____/＼/,,(`.`))⌒ヾU
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___/ |
□　| ∥￣~U~U~￣∥ |
____| ∥ □　□　∥ |/
_____`∥_________∥／
387 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/15(土) 08:06:57.62 ID:zzpS6PjC.net]: あるカジノに次のようなカードゲームがある
n枚のカードがあり、親は裏に互いに異なる数を書き込み、よく切って重ねて伏せる
プレーヤーは一枚ずつカードをめくり、好きなところで止める
また、途中で止めずに最後の一枚をめくった場合はそこで止める
止めたときのカードが親が書き込んだ最大の数であるとき、プレーヤーの勝ちとなる
プレーヤーは次のような作戦で止める箇所を決めることにした
m枚目までは止めない
m+1枚目からは、それまでに見た最大の数を超えていたら止めて、そうでなければ止めない

この方法を使ったとき、勝率はいくらか？
nが大きいとき、上記勝率の最大はいくらか？
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 10:51:21.54 ID:JNGZDcu7.net]: >>349 が気になって夜も眠れないから正式に投稿（眠れたけど）
もちろん自分では未解決。

↓↓ここから問題↓↓
連続関数 f,g:[0,1]→[0,1] は f^-1({0})=g^-1({0})={0}, f^-1({1})=g^-1({1})={1}, を満たし、
どの区間 [a,b] (0≦a<b≦1) においても定数でない。
この時、連続関数 p,q:[0,1]→[0,1] であって、p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1 かつ
f(p(t))=g(q(t)) (∀t∈[0,1]) を満たすものは存在するか。
↑↑ここまで問題↑↑

[0,1]^2 の部分集合Sを S = { (x,y)∈[0,1]^2 : f(x)=g(y) } とおくと、
二点(0,0)と(1,1)がSの同じ連結成分に属することは証明できる。
この問題は、この二点が同じ『弧状』連結成分に属するかどうか、と言い換えられる。
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 11:25:04.01 ID:JNGZDcu7.net]: 難問ばかりなのもアレなので解決済みのものを１つ

連続関数 f:R→R は非可算個の点で極大値をとり得るか。
390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 11:32:43 ID:JNGZDcu7.net]: >>372
しまった、ここでは関数 f が点 x_0 で極大値をとるとは、
x_0 のある開近傍 U が存在して
x∈U かつ x≠x_0 ならば f(x)<f(x_0)
を満たすこととします。
391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 11:44:39 ID:h/D6xsZJ.net]: >>372
不可能。
極大値をとるx=aの集合をSとする。
Sの元aに対し開集合Uaをf(a)がUaにおいてmaxとなるようにとると異なるa,bに対してUaとUbはdisjoint。
さらにUaから有理数qaを選べばqはSからQへの単射を与える。
392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 11:45:52 ID:h/D6xsZJ.net]: あ、勘違い>>374は無かった事にorz
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 11:52:00 ID:h/D6xsZJ.net]: 逆だな。
Rは可分なので可算近傍系Cをとれる。
C'={U∈C|fはCで狭義の最大をとる。}
m:C'→{極大点}をm(U)=(最大値をとる点)
で定めればこれは{極大点}への全射を与える。
394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 12:34:02 ID:JNGZDcu7.net]: >>376
正解！お見事
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 14:24:30 ID:p5FKhw4y.net]: >>370
ざっと考えて(n-m+1)/n
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 14:52:02 ID:dftQOULi.net]: m≦k≦n-1に対して
p(プレーヤー勝ち|k+1枚目が最大)
=p(1～k枚目までの最大が1～m枚目にある)
=m/k
だから
pm:=
397 名前： p(プレーヤー勝ち) =1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k よって p(m+1)-pm = 1/n(Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k -1)。 ∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1 ここで Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k =∫[m+1,n] 1/[x] dx > ∫[m+1,n] 1/[x] dx =log n/(m+1)、 Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k =∫[m+1,n] 1/[x] dx <∫[m+1,n] 1/(x-1) dx =log (n-1)/m とlog(n-1)/m < log n/mによりpmが最大となるのはm=[n/e]のとき。 []: [ここ壊れてます]
398 名前：イナ mailto:sage [2020/02/15(土) 15:56:25.82 ID:UO46pwdD.net]: 前>>369
>>370
まずm/nの確率でm枚目までに最大が出てるから絶対に負ける。
勝つ確率の最大値は1-m/n
問題はm+1枚目からn枚目までのm-n枚を引く途中で今まで見た最大を見てしまい、残りの枚数で最大が出る可能性を残したままゲームを終わらせてしまうこと。
m+k枚目で今まで見た最大が出たとすると、
(m+k)/n
まだ勝つかわからない。
勝つ確率k/(n-m)
(n-m-k)/(n-m)は負ける。
トータルで負ける確率は、
m/n+(n-m-k)/(n-m)
{m(n-m)+n(n-m-k)}/n(n-m)
=(n^2-m^2-nk)/n(n-m)
トータルで勝つ確率は、
k/n
これらが足して1だから、
(n^2-m^2-nk)/n(n-m)+k/n=1
n^2-m^2-nk+k(n-m)=n(n-m)-m^2-mk=-mn
k=n-m
∴勝つ確率=(n-m)/n
=1-m/n
だからこれは最大値だって。
(n-m)/nより小さい。
今まで見た最大値ならそこで見切るって言ってんだから勝つ確率は1-m/nより確実に小さい。
(n-m)/nを掛ければいいのか？
勘で(1-m/n)^2
399 名前：イナ mailto:sage [2020/02/15(土) 19:22:55.66 ID:UO46pwdD.net]: 前>>380
>>370
勝つ確率は1-m/nでnがじゅうぶん大きいとき1に近づく、つまり限りなく100％勝つ。
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 21:28:32.82 ID:Xfawjoh3.net]: p(プレーヤー勝ち)=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
って狽Oしたきれいな式にはならないのか。
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 21:59:36.07 ID:cY6cTvWp.net]: 自然数の逆数和ならディガンマ関数による表示法があるぞ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0
402 名前：イナ mailto:sage [2020/02/15(土) 22:03:44.86 ID:UO46pwdD.net]: 前>>381
>>379たとえば親が同じスートのA,2～Q,Kのカードを1枚ずつ持ってたら、
13/e=4.……だから、
5枚目以降に最大値が出るやいなや勝負に出たほうが勝つ確率が高いってこと？
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 22:31:34 ID:h/D6xsZJ.net]: >>384
この問題の設定はあくまで子が親の数を選ぶ分布について知りようがないという設定。
もちろん親が1～13の整数しか選ばないという情報があるならKが出てストップかけないのはバカ。
しかしその手の情報はなく、単に出た数の大小しか情報がないという設定。
そして親の数の選び方の分布が問題に与えられてないので本来解答不可能。
例えば親が常に単調増加になるように数を選ぶのなら子が勝てるのはm=n-1だけだし、常に単調減少に選ぶならm=0しか子は勝てない。
しかしそんな事は多分数学科卒でないとわからないだろうから、その辺はエスパーしないといけない。
>>379の解答は親の数の選び方の分布がn!通りある大小の分布が同様に確からしいという仮定を追加した場合の解答。
例えば親のn枚のカードの数をiidで選んだ場合などでは通用する。
404 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/15(土) 22:33:20 ID:UO46pwdD.net]: 前>>384いや、それは変だぜ。ジャックやクイーンが5枚目に出て、まだキングが出てないのに飛びついたら負けじゃないか。
mを1にしてnを最大にしてなるべく長く待つスタンスをとるにしても、肝心のキングが来なきゃ意味がない。
405 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/15(土) 23:12:42.69 ID:zzpS6PjC.net]: >>379
正解！素晴らしい！
>>378
>>380-381
残念ながら不正解！
>>385
ランダム性を持たせるため「よく切って重ねて伏せる」という文を入れておいた
これによりn!通りある順位のパターンは同様に確からしいと言えると思う []; [ここ壊れてます]
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 23:35:24.23 ID:Xfawjoh3.net]: >>383
狽謔闌ｩた目が複雑そう
408 名前：イナ mailto:sage [2020/02/15(土) 23:48:38.54 ID:UO46pwdD.net]: 前>>386
>>379はlog{(n-1)/m}かlog{n/(m+1)}かどっちが答えなの？
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/15(土) 23:55:44.95 ID:cY6cTvWp.net]: >>388
ガンマ関数の微分をって閉じた形で書ける利点があるにしろ、確かにそう捉えるのも自然だけれども
指数関数や多項式、あとそれらの積みたいに、部分和が閉じた形で書ける関数って案外少ないからなあ
410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/16(日) 00:23:17.40 ID:M7sc9CPo.net]: >>388
いや、見た目は簡単で
p(プレーヤー勝ち)=(m/n)(ψ(n)-ψ(m))
この極限はディガンマ関数の漸近公式ψ(n)=log(n)+O(1/n)より
=(m/n)(log(n/m)+O(1/n)+O(1/m))
=-xlog(x)+O(1/n), x=m/n
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/16(日) 03:06:22.72 ID:i66c5anA.net]: >>279です。
残念ながら計算間違いがあった。
Σ[1/m+‥1/(n-1)>1を満たす最大のmまではあってるけどこの方程式解き損なってる。
mのよりよい近似値として
m=[(n-1/2)/e+1/2]
は出せるけど、>>279よりはマシなだけでこれでもずれる。
(計算機使ってみると100項中1こずれてた)
>>370は完全に正確に答え解こうとすれば既出のディガンマ関数とかその逆関数とか使わないと無理かもしれない。
412 名前：哀れな素人 [2020/02/16(日) 16:46:27.64 ID:mvTUUaXe.net]: >>292の問題について考えていて思い付いた問題をひとつ。

中心をＯとする半径１の円があり、半径上に任意の点Ａがある。
ＯＡの延長上にＯＡ・ＯＢ＝１となる点Ｂを作図せよ。
413 名前：哀れな素人 [2020/02/16(日) 16:50:34.08 ID:mvTUUaXe.net]: ついでだから、もう一問。

↓この問題には別解がある。それを示せ。
https://www.youtube.com/watch?v=ejtPSxoUlRo

但し、コメント欄にある別解は禁止。
コメント欄の別解とは違う別解を挙げよ。
414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/16(日) 17:33:40 ID:dzgTO0Y1.net]: >>393
そう言うのを円による反転という。
初等幾何のイロハのイ。
415 名前：哀れな素人 [2020/02/16(日) 23:22:28 ID:mvTUUaXe.net]: 反転。初耳なので少し調べたが、>>393の問題とは関係ない（笑

ま、ここの連中は初等幾何の問題などバカにして答えないだろうと思っていた（笑
416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/16(日) 23:24:45 ID:KKT7Tfzq.net]: 調べてわからないのか。
馬鹿だなぁ。
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/16(日) 23:26:34 ID:uZMfv53j.net]: 半直線に垂直に線引いて交点での接線を引き、半直線との交点をとるだけだろ
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 00:35:40.51 ID:ZSzGQZkQ.net]: あと連続関数絡みで、前スレだったかで置き去りにされてた問題（を改編したもの）も出題しておこうかな
以前のものと同様、未解決ですが

次を満たす関数 f:R^2→{1,2,…,n} が存在するような正の整数nのうち、最小のものを求めよ：
連続関数 p:[0,1]→R^2 について、もしpとfの合成が定関数ならばpも定関数である。
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 00:44:07.68 ID:uYhhJbB7.net]: >>396
>393そのものじゃん
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 01:00:57.74 ID:7wYuJpOT.net]: 反転でトレミーの定理証明　
https://www.youtube.com/watch?v=bJOuzqu3MUQ
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 01:04:28.82 ID:IBQ0KY2w.net]: >>396
長さaの線分の逆数1/aを作図せよという問題なら
検索キーワードは"作図逆数"で解答がたくさん出てくる
四則演算と平方根は作図可能というのが作図の基礎知識
422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 02:03:49 ID:kdGYKNgW.net]: >>399
a:(0,1)×(0,1)→(0,1)を二進表示を交互に編み込む連続関数とする。
さらにb(x,y)=((atan(x)+2)/4,(atan(y)+2)/4)とする。
g:(0,1)→{1,2}をQ∩(0,1)の特性関数とする。
f=gabと定める。
p:(0,1)→R^2が定数でない連続関数とするとabpも定数でない連続関数である。
この時任意の相異なる有理数の間には無理数が存在する事と相異なる無理数の間には有理数が存在する事からgabpは定数でない。
よってfpも定数でない。
よって求める最小値は2。
423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 02:42:01 ID:/HnwZz/g.net]: あ、しまった。
aは連続じゃないや。>>403は撤回します。
424 名前：哀れな素人 [2020/02/17(月) 09:41:46.56 ID:XLoZlq8v.net]: >>393の問題は、円による反転とか、そんな難しい問題ではない（笑
単に方べきの定理の応用問題である（笑

それに初等幾何のイロハのイというが、
反転なんて小中高でも習ったことはない（笑
それを「初等幾何のイロハのイ」と書いているところに、
お前らの虚栄心が現れている（笑

もちろん>>402のように考えて解いてもいいが、もっと簡単な方法がある。
ＯからＯＡに垂直な直径を引き、円との交点をＰ、Ｑとし、
ＰＡの延長と円との交点をＲとし、
ＱＲの延長とＯＡの延長との交点をＢとすると、Ｂが求める点である。
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 10:18:39.50 ID:/HnwZz/g.net]: 虚栄心しかないやつが何言ってんの？
こんなもん理系の人間で知らん人間いない常識問題だっていってんだよ？
検索したらアホほどでてくるやろが？
こんな常識問題でも知らないで出すのはしょうがない。
調べてみて頻出、常識問題だとわからないのがアホだと言ってる。
人の書いた文章理解する能力ないんかね？
そもそも一番最初にでてる>>294の証明にもでてくるやろ？
読んでないの？
読んでもわからないの？
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 10:59:33.92 ID:/HnwZz/g.net]: >>399
未解決ですがというのは出題者も答え持ってないという意味？
427 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/17(月) 11:03:00.25 ID:LXWKraH0.net]: 別に初歩的な問題を初歩的と知らないで出題するのはいいけどね
それを指摘されて訳のわからないキレ方をするのはみっともない
428 名前：哀れな素人 [2020/02/17(月) 12:32:25.00 ID:XLoZlq8v.net]: 訳のわからないキレ方をしているのはお前らの方だ（笑

僕は虚栄心のために0.99999……≠１と説いているのではないし、
検索して>>405のような答えが出て来るとも思えないし、
>>294は初等幾何的証明ではないのである。

>>394の問題にしても、お前らは、答えが分っていても、書かないだろう、
と僕は最初から思っていた（笑
なぜなら、>>393-394のような問題はお前らのプライドを傷つけるからだ。

というわけで、お前らは、僕のことは無視して、数学の腕比べに励めばよい。
しかし、お前らがどんなに優秀であろうと、0.99999……＝１だと言った途端に、
世間の聡明な人々からは、お前らは笑われる（笑
https://www.youtube.com/watch?v=47zjeq13NwY
ここでも作者は５＝4.99999……という間違いを平気で犯しているが、
お前らはこの作者と同レベルなのである。
429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 12:44:25.85 ID:ZSzGQZkQ.net]: >>407
紛らわしくて申し訳ない、そういう意味です
既に誰かが答えを与えていないかどうかまでは調べられてないです
430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 13:58:19 ID:/HnwZz/g.net]: >>409
もういいからここには書くなよ。
自分の学力がこのスレではハナクソレベルなのがなんでわから�
431 名前：ﾌかねぇ？ 灘中の入試レベルでまだ四苦八苦してるレベルで。 []: [ここ壊れてます]
432 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/17(月) 14:13:44 ID:K1rLSA1v.net]: /＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（e^) )/＿/（o^) )_
/_（υ＿)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ちょ～しっぱずれの～♪
よし晴れてきた、洗濯もん乾くぞ！前>>389とかいのろじうらでぇ～♪ 勝つ確率にlogはねえよ。のんだくれたかえりに～♪ 確率にlog出てきたんじゃ訳わかんねえよなぁ。しこたまはいたぁ～♪ 髭剃るか。
433 名前：イナ mailto:sage [2020/02/17(月) 15:33:55.02 ID:K1rLSA1v.net]: ∥人人確率がlogって
（_(＿)どういう
（(-.-)意味なんだ？
（っγ)ﾞ
（⌒⌒)
~~~~~~~~~~~~~~~
log{n/(m+1)}が答えなのか？
434 名前：哀れな素人 [2020/02/17(月) 17:21:52.58 ID:XLoZlq8v.net]: >>411
では>>292の問題の初等幾何的な証明を書いてくれ（笑

どうせ書かないだろうが（笑

何で初歩的な問題を投稿するだけで、
こんなに叩かれ嘲笑されなければならないのか（呆

荒らしをしているわけではないのに、荒らし扱いだ（呆
435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 17:36:26.09 ID:Nzms6mON.net]: >>414
だから馬鹿だっていってるんだよ。
なんで初等幾何的証明だれも書かないかわかってないだろ？
書きたくても問題文の条件だけじゃ配置が不定なのでめちゃめちゃ書きにくいんだよ。
既に>>294で証明上がってる方針を初等的に焼き直すとき∠BPD=∠BOQを示すのが気もになる。
方針として>>294のCをとってBPとCQの交点をEとしてBEOQが同一円周上にある事を利用する手があるけど、そのときBPEの位置配置とBECQの円周上の配置によって∠BPD、∠BEQ、∠BOQの位置関係が微妙に変わる。
この三角がすべて等しい時もあれば捕角を取らないといけないときも出てくる。
おそらく原題では図が与えられてて位置配置が細かく決定してるんだろう。
あなたその中の勝手な一個の位置配置決め打ちして証明してるけどそんなの証明として通用しないんだよ。
しかもそんな事しなくても複素座標とれば全部のケースひっくるめて一撃で証明できるのになんでそんな意味ない事するの？
そもそもOA・OB=1という条件見た瞬間に反転幾何学≒複素座標使ってみようと思う発想が出てこない時点であんた失格なんだよ。
もんいいからでてけよ。
あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
スレ汚し。
436 名前：哀れな素人 [2020/02/17(月) 19:59:01.87 ID:XLoZlq8v.net]: >>415
>あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。

そんなこと最初から分かっている(笑
しかしこのスレはスレタイからして難問を出すスレではないから、
初等幾何の問題を出してもいいはずなのだ。
だからスレ汚しなどと叩かれる筋合いはない。

それに>>292の問題は灘高校の入試問題だというから、
複素数など使って証明する問題ではなく、
初等幾何で解けるはずの問題なのである。

これ以上書くと荒らしだと思われるかもしれないから、ここで止める。
お前らも僕に対する嘲笑とか攻撃はここで止めるように。
もちろんやりたければどんどんやればいい(笑
437 名前：イナ mailto:sage [2020/02/17(月) 21:02:48.22 ID:K1rLSA1v.net]: ∥人人∥前>>413
（_(＿)>>292も>>370も
（(-.-)納得∩∩でき
（っγ)ﾞる(^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒)答えυυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ではないなぁ。>>292は相似。相似比も相似条件もまだわからん。>>370は確率。すべての場合分のその場合の数。すべての場合がいくつでその場合がいくつなのかまだわからん。
438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 21:52:33 ID:Nzms6mON.net]: >>416
こいつここまで丁寧に説明してまだ何言われてるのかわからんのか。
どこまでアホなん？
439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 21:55:41.85 ID:CdzYXHaY.net]: 住処に帰るって言うのなら帰せばいいじゃないか
440 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/17(月) 22:05:28.36 ID:Us7azE/m.net]: (a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)なるn以下の非負整数の組(a,b,c,d,e,f)はいくつあるか。
分かスレの問題
全然わからん
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 22:17:31.33 ID:Nzms6mON.net]: >>420
それは多分解答もなんも作ってない奴が適当に文字並べただけの問題だと思う。
あのスレはわからん問題なら何書いてもいいという独特なロジックでその手の問題がよく上がってるから注意しないと。
442 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/17(月) 22:28:49.03 ID:BDpnwWQY.net]: >>421
やっぱそうだよね
一応頑張って解こうとしたけど約数の個数とかその辺を一般化しなきゃいけないっていう壁にぶち当たった
プログラム組んでOEISにぶち込んでも何も出てこないし無理ゲー
443 名前：イナ mailto:sage [2020/02/17(月) 22:44:22.78 ID:K1rLSA1v.net]: >>420前>>418
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)
4･3=6･2
a=6,e=2,b=4,f=1,c=8,d=3
n=8のとき、6･2=4･3もありうるから、
a=8,e=2,b=3,f=1,c=6,d=4
a=8,e=1,b=4,f=2,c=3,d=6のとき8･1=2･4で成り立つ。
もう一つあれば、
n以下の数で√n通りあるとか大胆な予想が立つけど。
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 23:26:01.19 ID:xxqdZaWU.net]: >>422
え？そんな手があるの？あのOEISって検索できるん？
445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 23:37:29.11 ID:uMEGbIOm.net]: この数列の法則性は？
なんて聞かれたときは検索機能が重宝する
446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/17(月) 23:51:49.70 ID:7cIb3gS8.net]: いいこと聞いた
447 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 00:33:40 ID:CSeACSeT.net]: >>399
これってn＝2の場合でも難しい感じ？
448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 01:08:39.46 ID:5azt0L51.net]: >>427
いや、nが大きいほど簡単でしょ？
n=3のときのfはすぐできる。
n=2のときにfが作れるのか？が問題。
最小値は3 or 2。
449 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 01:18:51.36 ID:ZlcMzP2c.net]: R^2の点をpathconnected componentが1点になるようないくつの部分集合に分けられるかか
R^1なら有理数と無理数でイイから
A={(x,y) | x, y∈Q} B=R^2-A
でよくない？
アーダメかy=eがB内だわ
4つに分けて
A=Q^2 B=Q×I C=I×Q D=I×I（I=R-Q）
ならいいでしょ
p1,p2:R^2→R
につなげたらいいから
しかしn=2,3でダメということはどう言えば良いのか？
450 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 01:19:22.97 ID:ZlcMzP2c.net]: >>428
>n=3のときのfはすぐできる
どう作る？
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 01:25:15.55 ID:Ft3883nd.net]: 某大学入試過去問改

東西に10本、南北に3n+1本の道路が碁盤の目状に走った町がある。
この町の道路は最南端にある東西に走る道路を南から順に東西0号線から東西9号線、南北に走る道路を西から順に南北0号線から南北3n号線と呼ぶ。
3の倍数3kに対し南北3k号線、東西0、3、6、9号線は大通り、その他は生活道路と呼ばれる。
各交差点には以下のような規則が定められている。
・生活道路と大通りの交差点においては、生活道路から進入する場合には左折して大通りに合流する事のみしか出来ず直進、右折はできない。大通りから進入する場合には左折して生活道路にはいるか、そのまま直進する事はできるが右折は禁止である。
・大通り、生活道路どうしの交差点では右左折、直進すべて可能である。
この町の南西端をX、北東端をYとするときのXからYへ規則に従う最短経路の数を求めよ。

原題はn=7の場合です。
452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/1 ]: [ここ壊れてます]
453 名前：8(火) 01:28:23.19 ID:luj3t+bp.net mailto: >>430
有理数×有理数は1,
有理数×無理数、無理数×有理数は2、
無理数×無理数は3にする。
コレでいけるはず。 []: [ここ壊れてます]
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 01:32:38.77 ID:kCgJRMKU.net]: あ、だめだ。
これだとずっと2になるかのうせいがある、
有理数×有理数は1,
有理数×無理数は2、
無理数×有理数は3、
無理数×無理数は4にする。
コレは絶対いける。
なので最小値は2か3か4。
455 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 01:49:36.24 ID:CSeACSeT.net]: >>428
あーそういう感じなのか？
2の時はダメだと言えて
3とか4とかどうなるのか、って方向性になるかなと思ったけど
456 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 01:52:29.08 ID:CSeACSeT.net]: >>433
あ、確かにそれで終わりだね
サンクス
457 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 02:48:18.10 ID:MiO5cL7u.net]: >>424
n=1,2,……の時の答えをぶち込んでなんか出てきたらラッキー
458 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 04:18:00.50 ID:JQdcAHMa.net]: 前>>423
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。
459 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 04:20:07.76 ID:JQdcAHMa.net]: 前>>437訂正。
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北3n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。
460 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 04:25:37.43 ID:JQdcAHMa.net]: 前>>438訂正。大通り右折できるわ。
>>431
Xから東西0号を東へ。南北Σn[n=1→3n+1]号との交差点を左折し北へ。適宜右折してYに着く経路。
∴(3n+1)^2通り
461 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 05:15:28.51 ID:JQdcAHMa.net]: 前>>439訂正。生活道路も掛けてた。
>>431
(n+1)^2通り
462 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 05:18:33.06 ID:JQdcAHMa.net]: 前>>440訂正。
>>431
11(n+1)通り
463 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 05:20:21.05 ID:JQdcAHMa.net]: 前>>441
>>431
4(n+1)通り
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 10:09:53.29 ID:emC4HTnA.net]: >>431
これは、どうやってシミュレーションするかなぁ。
とりあえず、ｎ＝７のときで道路を作図
https://i.imgur.com/fJDSrQo.jpg
465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 10:17:10.65 ID:emC4HTnA.net]: >>443
大通りの太さを区別してなかったので修正。

https://i.imgur.com/Qd8amyw.jpg
466 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 10:33:27.55 ID:ZlcMzP2c.net]: >>444
NG
467 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 10:50:53.56 ID:ZlcMzP2c.net]: 南から大通りに入る生活道路は全部カット（最短で進めないから）
大通りから東に入る生活道路も全部カット（最短で進めないから）
あとは自由に考える
大通りで囲まれた区画でなら
1+4C2=7通り
これを
左端の大通りは１
それ以外の南北の大通りが6
東西の大通りは１
で考えたら良いのではないかね
468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 10:51:47.78 ID:emC4HTnA.net]: >>444
南北にも大通りがあったので再度、修正。

https://i.imgur.com/7m5ZV3y.jpg
469 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 11:03:18.75 ID:ZlcMzP2c.net]: 大通りの直進左折右折で変わるから>>446だと考えにくい
左から直進が1通り
左から左折が6通り
下から直進が1通り
下から右折が1通り
これで考えるんだな
あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
470 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 11:11:53.12 ID:ZlcMzP2c.net]: >>448
>あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
書きやすく南北逆転させてみたら
　１　１　１　１　１　１　１
１　６　６　６　６　６　６　６
　１　７ 13 19 25 31 37
１ 12 48 84 19*6+6-120
　１ 13 61 61+84=145
こんな感じか
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 12:05:42.55 ID:bKAplv3x.net]: 「遠回りしない」という条件の下、東西、および、南北の0号、3号で囲まれる
3×3の区画内のいずれかの生活道路を使用する場合、
(1,0)か(2,0)から進入し、(3,1)か、(3,2)から出る場合しかなく、合計5通りある。
つまり、生活道路同士の交差点、(3p+s,3q+t)　(s,t=1,2)を利用する場合、
必ず、大通り同士の交差点(3p,3q)と(3p+3,3q+3)を利用している。

題意の条件に従い、通った大通り同士の交差点のみをプロットし、結ぶと、
“横に変化”、“上に変化”、“斜めに変化”の三通りに分類できる。

“斜めに変化”の回数がk回だとすると、“横に変化”は、n-k回、“上に変化”は3-k回となる。
斜めに変化の場合、生活道路の通り方で、5通りあるので、

Σ[k=0,3] 5^k*((n-k)+(3-k)+k)!/{(n-k)!*(3-k)!*k!}　で計算できることが判る。

答え　36n^3-54n^2+36n+1
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 13:29:45 ID:QuEz/3Tk.net]: >>450
正解
ちなみに東西線3m+1本、南北線3n+1のときは
Σ[0≦i≦m]C[m,i]C[n,i]6^i
(ただしj<kのときC[j<k]=0とする)
になります。
>>450さんの証明よく読めばできます。
ちなみに超幾何関数というのを使って
3F2(-m,-n,1;6)
とも表示されます。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Hypergeometric2F1%28-3%2C-x%2C1%2C6%29&lang=ja
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 17:04:26 ID:bKAplv3x.net]: なるほど。ということは、

Σ[k=0,m] C[m,k]*C[n,k]*(x+1)^k = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]*C[n,k]*x^k

が成立しそうですが、証明はどうやるんだろう．．．。
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 18:34:17 ID:06v9pOD9.net]: 自然数nに対してm=C[n+1,2]変数の多項式Pn(x[12],‥,x[n-1,n])で次の条件を満たすものが存在する事を示せ。

n次元ユークリッド空間の点p0,‥pnに対し、その凸包をK、m個の正の実数a[12],‥,a[n-1n]をd(pi,pj)を並べたものとするとき

vol(K)^2=Pn(a[12],‥,a[n-1n])

が成立する。(高次元のヘロンの公式)
またこの時次が成り立つ事を示せ。

実数の組みa[12],‥,a[n-1n]が任意の{1,‥,n}のk元集合Sと添字がSに入るC[k2]個のa[ij]を選ぶとき
Pk(a[ij])>0
が成立するときn次元ユークリッド空間の点p0,‥pnでa[12],‥,a[n-1n]がd(pi,pj)を並べたものと一致するようなものがとれる。(高次元の三角不等式)

例
p1(x)=x
P2(x,y,z)=(1/16)(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
でn≦2では成立しています。
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 23:44:09 ID:8DNhS0j5.net]: >>399
n=3の時は、f(x,y)の値を
1 (xもyも有理数の時)
2 (xとyの片方だけが無理数)
3 (xとyの両方無理数)
とすれば良い。fpの値が1か3で定数の場合は明らかにpも定数。
fpの値が常に2である時、pが定数でないと仮定。すると、任意の有理数qについて
C(q):=p^(-1)({q}×R) も C'(q):=p^(-1)(R×{q}) も区間[0,1]の閉集合になる。したがって
[0,1]=∪_(q:有理数) C(q)∪C'(q)
は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
そのような分割は不可能であるため矛盾。
476 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/19(水) 00:40:12 ID:v8JOxEBI.net]: >>454
>は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
[0,1]=[0,1]∪Φ
477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 02:37:51.22 ID:eq0pwpep.net]: >>452
(1+xz)^n = Σ[i=0,n]C[n,i]x^i z^i
(1+z)^m = Σ[j=0,m]C[m,j]z^j
(1-z)^(-n-1) = Σ[j=0,∞]C[n+j,j]z^j
より
(1+xz)^n (1+z)^mのz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[m,m-k]C[n,k] x^k
(1+xz)^n (1-z)^(-n-1)のz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]C[n,k] x^k
だから
f(z) = (1+z+xz)^n (1+z)^m/z^(m+1)
g(z) = (1+xz)^n (1-z)^(-n-1)/z^(m+1)
のz=0における留数が等しいことを示せばよい。
これはz=t/(1-t)と置くとf(z)dz=g(t)dtより明らか
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 08:32:16.66 ID:WE6EaV92.net]: >>455
例えば C(q)=[0,1] の場合、pの第一成分が常にq、第二成分が常に無理数をとる訳だけど、
その場合は第二成分も定数でなければならないから、結局pも定数関数であることが
479 名前：わかる。 C'(q)の場合も同様。 []: [ここ壊れてます]
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 16:44:13 ID:z1VUWsY5.net]: >>455
の反例は乗り切ってるかもだけど[0,1]が高々可算無限個の非自明な非交和になり得ないは正しいのかな？
反例も証明も分からん。
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 16:47:27 ID:k7LsatWJ.net]: >>412
イナさんは
おじさん(♂)だったんですか？
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 16:58:02 ID:k7LsatWJ.net]: Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎという数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる確率はいかほどか？

(初めから無限個の集合で考えなくてもＯＫです

ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません)
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 18:08:33 ID:z1VUWsY5.net]: log[10]2、
ちな最高位が3の確率？はlog[10](3/2)
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 18:12:58 ID:eq0pwpep.net]: >>460
jlog2(10)≦i<jlog2(10)+1を満たす整数iはjに対して必ず1つ存在するので
2^nがm桁の数とすると{1,2,4...,2^n}にはm個の最高桁が1となる数が存在する
この確率はm/(n+1)=ceil(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでceil(x)はx以上の最小の整数
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 18:23:32 ID:eq0pwpep.net]: >>462 訂正
m/(n+1)=floor(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでfloor(x)はx以下の最大の整数
486 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/19(水) 18:42:24 ID:v8JOxEBI.net]: >>458
閉集合だと無理だと「現代数学の系譜・・・」スレでやってた
487 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/19(水) 18:48:36 ID:zH0JvmWI.net]: /＿/＿/人人_/＿/＿/＿
/＿/_（＿^_)/＿/＿/＿
/＿/_（＿＿)/＿/＿/＿
/＿/_（ (^o)/＿/＿/＿
/＿/_（＿っ-┓_/＿/＿
/＿/_◎ﾞ┻υ◎ﾞ/＿/＿/＿/__/__/__/__/__/＿/＿/＿/＿/＿/あのどろだらけのすに～かぁじゃ～♪ ぉいこせない～の～わぁ～♪　ごめん、>>423の前>>417だった。
前>>442でんしゃ～でも♪ じかんでもなく♪ ぼくかもしれなぃ～け～ど～♪ ♪♪
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 19:11:43.18 ID:maZgQuwo.net]: >>458
さすがに省略しすぎてしまった、申し訳ない

>>454 の補足
閉区間[0,1]が、可算無限個の空でない閉集合により
[0,1]=∪_(n=0,1,…)C'_n (ただし 0∈C_0, 1∈C_1, n≠mならばC_n∩C_m=φ とする)
と分割されると仮定。
ここで、数列{a_n}, {b_n}を次のように定める。
まず、区間[0,1]におけるC_0∪C_1の補集合の、連結な部分集合を与える開区間(a_1,b_1)を１つとる。
つまり、a_1,b_1∈C_0∪C_1 であることに注意。

(i)nが奇数の時、a_(n+1)=a_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = min((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
（開区間(a_n,b_n)の両端はどちらもある C_m' (m'<m) の元であるため、
(a_n,b_n)∩C_m = [a_n,b_n]∩C_m. よってminが存在。）

(ii)nが偶数の時、b_(n+1)=b_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = max((a_n,b_n)∩C_m) と定める。

以上のように定めた数列{a_n}, {b_n}は a_n<a_(n+2)<b_(n+2)<b_n を満たすため、どちらもn→∞で収束。
しかし、例えばa_nの極限Aは全てのn≧1について A∈(a_n,b_n) を満たすため、
どの C_n (n≧1) にも属さない。よって矛盾。
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 19:40:12.87 ID:maZgQuwo.net]: >>466 で変なところに C'_n が出てきてるけど、これは普通に C_n として処理してくだせえ…

余談ではあるけど、>>399 の問題におけるR^2を全てR^mで置き換えてできる問題を考えれば、
同様の方法で、求めるnの最小値は2以上(m+1)以下の整数であることがわかる。
具体的には、関数 f:R^m→{1,2,…,m+1}を
f(X)=1+(Xの成分のうち有理数であるものの個数)
と定めれば、>>454 と同様の方法で(fpが定数ならばpも定数)を示せるはず。
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 21:08:37.40 ID:2hWCM518.net]: >>463
解答例は現在ガロアスレで絶賛展開中です。ご参考下さい。
491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 02:45:46.65 ID:Nvc8ojbF.net]: >>456
御下賜ありがとうございます。
当初、目が点状態でしたが何とかフォローできました。
二重、三重に驚きました。鮮やかな手法に恐れ入るばかりです。

>>これはz=t/(1-t)と置くと
恐らく、z=t/(1+t)　のミスだったのではないかと思います。
他の方の為に、記しておきます。
492 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 03:10:19.22 ID:w9za8ANa.net]: 正の整数a,bを互いに素とする。
ある非負整数x,yがあってn=ax+byと書ける時nは良い整数であると定義する。
正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。
493 名前：イナ mailto:sage [2020/02/20(木) 03:38:19.26 ID:PRyo8w16.net]: 前>>465
>>470
正の整数でax+byと書けないものは、1,2
∴2個
494 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 06:56:18.29 ID:g3Lggi6S.net]: まずは定数と変数の違いを理解できるようにしよう
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(Thu) 09:19:34 ID:BWBgHqRp.net]: (a-1)(b-1)/2
496 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 09:53:59.67 ID:TZOsntWL.net]: >>470
>正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。
(a,b)>1の時は無限大
(a,b)=1の時は面倒くさい
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 10:35:13.96 ID:bZRqCWPO.net]: nが良くない整数、かつn+a,n+bのどちらも良い整数である時、
n+a=bm, n+b=ak より a(k+1)=b(m+1).
これよりk=bk'-1であるから
n=a(bk'-1)-b.
nの良くない性より n≦ab-a-b であるから、k'=1.
以上から、任意の良くない整数 n<N:=ab-a-b について、n+a,n+bの少なくとも一方は良くない整数。
したがって、0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良くない整数ならばN-nは良い整数であることが導ける。
また、N=N-0が良くない整数であることと、
(N-nが良くない整数ならばN-(n+a)もN-(n+b)も良くない整数である)ことから、
0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良い整数ならばN-nは良くない整数であることが導ける。
以上の議論から、整数n∈[0,N]について、nとN-nの片方だけが良くない整数であることがわかる。
ゆえに、求める個数は(1+N)/2=(a-1)(b-1)/2.
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 11:03:06.57 ID:bZRqCWPO.net]: >>399 の類題と言えるかも知れない問題、こちらも出題者には未解決

実数全体からなる集合をRとおく。Rの任意の部分集合Aについて、次の主張は成り立つか：
Aの補集合とAの少なくとも一方は、Rの非可算な閉部分集合を含む。
499 名前：哀れな素人 [2020/02/20(木) 11:27:45.80 ID:Wd/N0aBi.net]: 実数全体からなる集合などというものは存在しないし、
実数は非可算ではない（笑
500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 11:28:07.68 ID:BWBgHqRp.net]: >>476
R={有理数}∪{無理数}でよくない？
{無理数}が閉集合Fを含むとするとU=R＼Fは{有理数}を含む開集合で{有理数}はdenseだからU=R。
∴{無理数}が含む閉集合は空集合のみ。
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 11:33:43.06 ID:BWBgHqRp.net]: >>478
はダメだ。吊ってくるorz
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 12:02:15.00 ID:bZRqCWPO.net]: >>478
一応説明しておくと、例えば無理数の部分集合を
{x∈[0,1] : xを２進展開した時、小数点以下第(2n)位はnが平方数の時1、それ以外の時0}
等と定めればこれはカントール集合と同相になります
503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 12:27:18.70 ID:BWBgHqRp.net]: >>480
カントール集合って閉集合だっけ？
504 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 12:55:06.08 ID:w9za8ANa.net]: >>475
正解です
505 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 12:55:54.20 ID:w9za8ANa.net]: >>471
？？
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 13:35:30.57 ID:bZRqCWPO.net]: >>481
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Perfect_set
のExampleや、カントール集合の記事の『歴史的注意』にある通り、閉集合。
507 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 19:32:41.29 ID:g3Lggi6S.net]: >>454
これってx,y,の両方が無理数の時と
それ以外の場合で分けてやっても同じようにpが定数は言えないの？
508 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 19:36:55.61 ID:g3Lggi6S.net]: まあ
509 名前：カントール集合って構成的に閉集合の共通部分だし []: [ここ壊れてます]
510 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 20:52:25.56 ID:TZOsntWL.net]: >>485
可算
511 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 20:56:26.46 ID:TZOsntWL.net]: Rを稠密で内点のない2つの連続濃度の部分集合に分割して欲しい
512 名前：イナ mailto:sage [2020/02/20(木) 22:13:26.57 ID:PRyo8w16.net]: (1/4845)(4Ｃ2)(16Ｃ1)(4Ｃ1)
=6･16･4/4845
=2･64/1615
=128/1615
=0.07952569659……
前>>148
∴約7.952569659％
513 名前：イナ mailto:sage [2020/02/20(木) 22:17:39.72 ID:PRyo8w16.net]: 前>>498
スレ違いました。
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 01:00:23.38 ID:mdcv3RW3.net]: >>485
その場合、p:[0,1]→R^2を例えば p(t)=(0,t) と定めた時にp(t)がずっと R^2-{無理数}^2 に属することになるね
515 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 08:23:47 ID:WqlF6ncx.net]: 無理数集合はR上の閉集合の可算和では書けないことを証明せよ
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 10:03:34.87 ID:mdcv3RW3.net]: >>492
R\Q=∪_(n≧1) C_n と可算個の閉集合に分割できたと仮定。
0以上1以下の全ての有理数を {q_n}_(n≧1) と番号づけすると、
∪_(n≧1) ((C_n∩[0,1])∪{q_n}) = [0,1]
により、可算個の閉集合による区間[0,1]の非自明な分割が与えられてしまい、>>466と矛盾。
517 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 11:34:54 ID:WqlF6ncx.net]: >>493
なるほど素晴らしい
想定解はベールのカテゴリー定理を使うものでした
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 11:43:38 ID:+4K3m1jQ.net]: >>494
想定解ギボン
519 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 12:25:40 ID:WqlF6ncx.net]: >>495
R\Q=U_{n∈N} C_nと可算和で書けたとする
Q= {q_n}_{n∈N}とすると
R=U_{n∈N} (C_n ∪ {q_n})となる
ここでRは完備距離空間より
ベールのカテゴリー定理「空でない完備距離空間は内点を持たない閉集合の可算和にはならない」
から、あるC_nは内点を持つがC_nはR\Qの部分集合のため矛盾
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 13:09:10.57 ID:mdcv3RW3.net]: >>476 はどうやら否定的に解決されてるみたいだ…Bernstein集合が反例になっている
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bernstein_set
Bernstein集合の存在性については、下のpdfの定理3.7で示されている
https://yamyamtopo.files.wordpress.com/2017/07/ukeru_gene_topo.pdf

そして多分同じ手法で、>>399の答えが2であることもわかる。
ポイントは、（非可算な）閉集合全体からなる集合の濃度が、R^2と同じ連続体濃度である、ということ。
521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 13:55:03.32 ID:+4K3m1jQ.net]: >>497
そのポイントから>>399の答えが2になる事をも少しkwsk
522 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 14:37:11.55 ID:4drFG/zF.net]: 連続と離散を統一した！
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0

R* := R ∪ { e }
(0 ≠ e ≠ dx)

a + e = a = a – e (a ∈ R)
ne = e (n ∈ Z)

応用例：
Vistaかwin7のファイルの表示方法を設定するメニューがその例です。
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 16:10:15.80 ID:mdcv3RW3.net]: 色々整ったので>>399の答えが2であることを示します。
ちなみにR^2からR^nに変えても同様で、答えが2であることも言えます。

R^2は可算な開基を持つので、R^2の開集合の個数は連続体濃度。
よって、R^2の閉集合全体からなる集合の濃度も同じく連続体濃度である
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
Pの各元が閉集合であるため、同じく連続体濃度を持つ。

これより、連続体濃度を持つ最小の基数をΩとおくと、PからΩへの全単射ωが存在。
超限帰納法により、R^2の点列 {a_p}_(p∈P), {b_p}_(p∈P) であって、
任意のp∈Pについて a_p≠b_p かつ
a_p, b_p ∈ p＼∪_(p'∈P, ω(p')<ω(p)){a_p',b_p'}
を満たすものが存在。
（任意のp∈Pについてpは連続体濃度を持つことと、
p'∈P であって ω(p')<ω(p) を満たすものの個数は連続体濃度未満であることに注意。）

B={b_p:p∈P} とおけば、任意のp∈Pについて
b_p∈p∩B, a_p∈p∩(R＼B)
を満たすので、これを用いて関数 f:R^2→{1,2} を
f(X)=1 (X∈Bの時), 2 (それ以外)
と定めれば良い。
524 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 16:34:43.55 ID:fwC6A4r9.net]: >>500
BとR＼Bで>>488の例になるかな
525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 17:20:15 ID:mdcv3RW3.net]: >>501
BもR＼Bも、どの弧とも共通部分を持たなければならないことを考えると、なると思う

でも、そのような例であれば他にも
Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合みたいな分割はできそう
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 17:35:15 ID:+4K3m1jQ.net]: >>500
まって。よくわからない。
b_pを構成するところにもfが出てくるけどコレは我々が作らないといけない関数f:R^2→{0,1}のfとは別物だよね？
目標としてる命題は
∃f:R^2→{0,1} ∀p:[0,1]→R^2 ‥‥
だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
527 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 17:35:42 ID:fwC6A4r9.net]: >>502
>Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合
なーるほど
ありがとう
528 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 17:37:06 ID:fwC6A4r9.net]: >>503
>だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
まずBを作ってそこからｆを作ってるから大丈夫
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 17:42:40 ID:+4K3m1jQ.net]: >>505
Bを作る時にPが出てきて、そのPはfから来てるけど、fは[0,1]からR^2への連続関数で好きなものとってくるの？
530 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 18:03:08 ID:fwC6A4r9.net]: >>506
納得いかないならPを定義しているところのｆはｇにでも名前変えてみたら？
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 18:03:59 ID:+4K3m1jQ.net]: >>507そのgはどんな関数を使ってもいいんですか？
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 18:07:10 ID:+4K3m1jQ.net]: わかった。
連続写像の像として得られる閉集合の全体がPか。
なるホロ
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 18:10:46 ID:+4K3m1jQ.net]: なるホロ、理解できた！
素晴らしい！
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 19:40:02.37 ID:tq3pzDtc.net]: やべえ、fを複数箇所で使っちまった
必要であれば>>500は以下のように訂正して読んでください
誤
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
正
ゆえに、区間[0,1]からR^2への定数でない連続写像の像全体からなる集合Pは、
535 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 19:44:26.08 ID:c3JnyBXm.net]: 一辺10[m]の正方形ABCDのプールがある

点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない

点Aから正方形の中心まで泳ぐのに掛かる最短時間を求めよ
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 20:03:43.60 ID:+4K3m1jQ.net]: >>512

> 点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない

コレはその地点ではどっちの向きを向いていてもr/10？
Dに向かっていようがいまいが？
537 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 20:24:20.47 ID:TVsWXWvp.net]: >>513
とりあえず問題文の通りどの向きでもr/10
さすがに向きによってスピード変わると難しくなる

そんな湧き出し方が現実に存在するかどうかは知らん
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 21:07:21.95 ID:+4K3m1jQ.net]: >>514
なるほど。
じゃあ測地線求めよみたいなもんなのかな？
539 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 21:21:12.09 ID:fwC6A4r9.net]: >>513
無意味な文章題だよな
こんな問題出題したら大顰蹙だ
540 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 22:20:28.44 ID:TVsWXWvp.net]: >>515
測地線というより断面積最小化かな

>>516
まあじゃあ湧き出しじゃなくて場所によって水質や重さが違うってことにしてくれ
541 名前：イナ mailto:sage [2020/02/21(金) 22:32:56.90 ID:aeOjnxR9.net]: 前>>490
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって弧を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=2π･5(1/4)t-at^2/2=5π/2
2t-at^2=5π
542 名前：①を代入すると、 2t-(1-1/√2)t=5π (1+1/√2)t=5π t=5π/(1+1/√2) =5π√2/(√2+1) =5π√2(√2-1) =π(10-5√2) =9.20151185……(秒) []: [ここ壊れてます]
543 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 22:49:36.41 ID:TVsWXWvp.net]: >>518
不正解
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 22:55:38.65 ID:0m7ajDhv.net]: >>517
断面積？
中心をE、AからEへのpathをp(t)(0<t<1)として所要時間は
T=∫[0,1] 10/r |x'(t)|dt
だから計量が
ds^2=(dx^2+dy^2)/r^2
のときの測地線を求めよになるのでは？
545 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 23:03:16.38 ID:TVsWXWvp.net]: >>520
失礼しました
f(x)=1/||x||のグラフ上で線積分をしてるから断面積を最小化するという考えです

たしかにそれなら測地線問題ですね
546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 23:03:35.42 ID:BKwvheo5.net]: >>512
Dを原点として極座標(rcosθ,rsinθ)を取り
曲線θ=f(r), 5π/4=f(10√2)=f(5√2)上を泳ぐときの時間は
T(f)=∫[5π/4,10√2]√((cosθ-rsinθdθ/dr)^2+(sinθ+rcosθdθ/dr)^2)/(r/10)dr
=10∫[5π/4,10√2]√(1/r^2+(f'(θ))^2)dr
この最小値はf'(θ)=0のときで
minT(f)=10∫[5π/4,10√2](1/r)dr
=10log2
547 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 23:11:34.45 ID:TVsWXWvp.net]: >>522
不正解です
f’=0の場合、境界条件を満たしません
548 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 23:15:31.64 ID:BKwvheo5.net]: すまん、CとDを間違えた、522は取り消し
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/22(土) 00:34:08.75 ID:P3wMpySS.net]: >>512
極座標の曲線r=f(θ), 10=f(-π/2), 5√2=f(-π/4)上を泳ぐ時間は
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(f'(θ)/f(θ))^2)dθ
δT(f)=0に対するオイラーラグランジュの方程式は
-(f'/f)^2/(f√(1+(f'/f)^2))-(d/dθ)((f'/f)/(f√(1+(f'/f)^2)))=0
整理すると
(f'^2-f''f)(f^2+f'^2)^(-3/2)=0
この解はf(θ)=a e^(bθ)で境界条件を合わせると
f(θ)=10e^((-θ-π/2)(2log2)/π)
このとき
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(2log2/π)^2)/dθ
=(5/2)√(π^2+4(log2)^2)
550 名前：イナ mailto:sage [2020/02/22(土) 01:05:26.06 ID:XhKI0L4t.net]: 前>>518
8秒切るのかよ──。
泳ぐ経路は放物線か？
551 名前：イナ mailto:sage [2020/02/22(土) 01:13:29.24 ID:XhKI0L4t.net]: 前>>526
5/{4log(√5+2)}+5√5/2
=7.58390826(秒)
552 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/22(土) 01:18:59.63 ID:gDsAB6h+.net]: >>525
素晴らしい
正解です

>>527
不正解
553 名前：イナ mailto:sage [2020/02/22(土) 04:04:04.64 ID:XhKI0L4t.net]: 前>>527
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって放物線を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=1.4789･5
2t-at^2=14.789
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.789
(1+1/√2)t=14.789
t=14.789/(1+1/√2)
=14.789√2/(√2+1)
=14.789√2(√2-1)
=14.789(2-√2)
=8.66319563……(秒)
554 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/22(土) 05:31:26.48 ID:E6KJT570.net]: >>529
不正解
555 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/22(土) 12:16:05.82 ID:0VJUtvuH.net]: イナって小数好きだよね
556 名前：イナ mailto:sage [2020/02/22(土) 12:49:16.26 ID:XhKI0L4t.net]: __∩∩__/__/__/__/__/
_((`.`)_/__/__/__/__/
_(っц~`～っﾞ_/∩∩_/
∥￣￣υ∥￣￣(`)　)/
∥＼／∥∥＼／,U⌒ヽ/
__/__/__/__/_(＿＿＿)
__/__/＿/＿/＿/_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/少数……。前>>529
__/__/__/__/__/__/__/
__/__/__/__/__ﾁｭ_/__/
__/_ц~_/__∩∩∩ξ､/
∥￣￣∥∥( (-(`)　)/
∥＼／∥∥(`っ,U⌒ヽ/
__/__/__/_ι_(______)
__/＿/＿/＿υυ_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/>>531好きだよ。愛してる。せやて数の大きさが実感できるじゃないか。
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/22(土) 16:04:26.49 ID:InYZG21C.net]: >>525
左上の頂点Dを極とする極座標ですね。
　DP = f(θ) = 5･e^{-(2log2)θ/π} = 5･2^(-2θ/π),
　T(f) = (5/2)√{π^2
558 名前： + (2log2)^2} = 8.584657992882624266 (秒) 経路は対数らせん。 []: [ここ壊れてます]
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/22(土) 17:47:24 ID:InYZG21C.net]: >>529
t秒後の速度と位置を
　v = 1 - at,
　AP = t - (a/2)tt,
とする。
AD=10(m), ∠PAD = 45ﾟ　ゆえ
第二余弦定理より
(DP/10)^2 = 1 - (√2)(AP/10) + (AP/10)^2
　≧ 1 - (√2)(AP/10)
　= 1 - (√2){t -(a/2)tt}/10,
また
　v^2 = (1-at)^2,

題意 (v ≦ DP/10) を満たすために
　a = 1/(10√2),
とすると、到達時間は
　t｡ - (a/2)t｡^2 = 5√2 = 1/(2a),
より
　t｡ = 1/a = 10√2 = 14.1421356　(秒)
となり、止まってしまう････orz
560 名前：イナ mailto:sage [2020/02/22(土) 18:37:12.15 ID:XhKI0L4t.net]: ;;;;;;;;人;;;;;;;;;;
;;;;;;（＿）;;;;;;;;
;;;;;（＿＿);;;;;;;;
;;;;;（＿(`);;;;;;;;
;;;;;（＿_っ┓;;;;;;
;;ε=◎ﾞ┻υ◎ﾞ;;;;;
ﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝ……。螺旋状に正方形の中心に近づくように泳いだほうがいいな。前>>532標的に対しできれば右回りで、左回りでもいいけどじゅうぶん近づいてから中心に切りこむ。湧水による減速を最小限にとどめるべきだ。
561 名前： 【大吉】 mailto:sage [2020/02/23(日) 00:37:59 ID:2zPyHRoL.net]: 前>>535
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かってまっすぐ直線をt秒間泳ぐと、速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=5√2
2t-at^2=14.1421356
?を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.1421356
(1+1/√2)t=14.1421356
t=14.1421356/(1+1/√2)
=20/(√2+1)
=20(√2-1)
=20･0.41421356……
=8.28427123……(秒)
あれ？　まっすぐ泳いだほうが速いのか。
562 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 00:43:44 ID:IKEuiMDY.net]: >>536
経路も計算も不正解
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 01:52:48.94 ID:6rqZMHpY.net]: 長さが1の正三角形ABCの辺を単位長さが1オームの導線で結び、
辺AB,BC,CAに中点E,F,Gを取り、EF,FG,GEに対しても同じ導線で結ぶ。
さらに辺BCを共有する三角形EBFと三角形GFCに対しも同様にして辺の中点を取り導線で結ぶ。
この操作を無限に繰り返したとき、AB間とBC間の抵抗値を求めよ。
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 02:59:55.72 ID:D9pzXkW3.net]: Aから、Dを中心とする半径10mの円周に沿って30ﾟ進む。v=1 (m/s)
　20π/12 = 5.235988 (秒)
そこから対角線の交点に向かって y軸方向に直進する。
　点(5,y) での速度は v ≦ DP/10 = (1/10)√(25+yy)
　T = ∫[5,5√3] (1/v)dy
　≧ ∫[5,5√3] (10/DP)dy
　= ∫[5, 5√3] 10/√(25+yy) dy
　= [ 10 arcsinh(y/5) ](5, 5√3)
　= 10 (1.3169579-0.8813736)
　= 4.355843 (秒)

これを合計して　9.591831 (秒)
565 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 03:04:18.09 ID:IKEuiMDY.net]: >>539
不正解
566 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 03:22:55 ID:eIKUodWL.net]: イナとかいう計算機にぶち込んで出てきた小数を脳死でレスして毎回間違う意味わからんクソコテ何者だよ
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 04:04:02.45 ID:D9pzXkW3.net]: >>536
　v = 1-at,
　AP = t -(a/2)t^2,
より
　v^2 - (DP/10)^2
　= (1-at)^2 - {1 -(√2)(AP/10) +(AP/10)^2}
　= AP(10√2 -200a -AP) /100,

・ここで a = 1/(10√2) なら
　v^2 - (DP/10)^2 = -(AP/10)^2 ≦ 0,
v ≦ DP/10 で題意を満たす。
・ところが
　1-at｡= 1/√2,
　t｡ -(a/2)t｡^2 = 5√2,
と置くと
　a = 1/(20√2),
　v^2 - (DP/10)^2 = AP(5√2 -AP)/100 ≧ 0,
　v ≧ DP/10,
となり、題意を満たさない。
568 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 06:49:54 ID:rxwEFURs.net]: F:R→RはC^2級で以下の条件を満たすとする
・ある定数0<c,Cがあり、c≦F’’(x)�
569 名前：�C (x∈R) ・x^2≦F(x) (x∈R) このとき、min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) }が存在することを示せ. []: [ここ壊れてます]
570 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 09:58:15 ID:rxwEFURs.net]: >>543
失礼しました修正します

任意のa,b∈Rに対して
min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) ,u(0)=a, u(1)=b}が存在することを示せ.

です
571 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/23(日) 10:45:08 ID:2zPyHRoL.net]: 前>>536
>>538
EA間の抵抗値は1/2[Ω]のはずだが、Eで三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/2)^3/(1/2+1/2+1/2)
=(1/8)/(3/2)
=1/12
になる。
BEの中点からEまでの間の抵抗値は1/4[Ω]のはずだが、BEの中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/4)^3/(1/4+1/4+1/4)
=(1/64)/(3/4)
=1/48
になる。
BとBEの中点の中点からBとBEの中点までの間の抵抗値は1/8[Ω]のはずだが、BとBEの中点の中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/8)^3/(1/8+1/8+1/8)
=(1/512)/(3/8)
=1/192
AB間の抵抗値は、
1/12+1/48+1/192+1/768+1/3072+……)
=(1/3)(1/4+1/16+1/64+1/256+1/1024+……)
=(1/3){1/(1-1/4)}
=4/9[Ω]
BC間の抵抗値は、
CA間の抵抗値がAB間の抵抗値と同じ4/9[Ω]だから、
推定すると、1/9[Ω]
572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 11:22:55.26 ID:6rqZMHpY.net]: >>545
不正解
573 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 11:23:58.21 ID:FPOdVTcq.net]: イナさん絶好調
574 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/23(日) 12:37:29 ID:2zPyHRoL.net]: 前>>545
>>512
Aから初速1[m/秒]、加速度-a[m/秒^2]で螺旋を描くようにＬ[m]を減速しながらt[秒]泳ぎ、終速1/√2[m/秒]で正方形の中心に到達したとすると、
速度について1-at=1/√2
at=1-1/√2
距離についてt-(1/2)at^2=Ｌ
t{1-(1/2)(1-1/√2)}=Ｌ
t(1-1/2+1/2√2)=Ｌ
t(1/2+1/2√2)=Ｌ
t(2√2+1)/2√2=Ｌ
t=Ｌ･2√2/(2√2+1)
=Ｌ･2√2(2√2-1)/7
=Ｌ(8-2√2)/7
もしも今対数螺旋とかいうＬが、
Ｌ=5･(√2)^eなら、
t=5･(√2)^e･(8-2√2)/7
=9.4762526……(秒)
螺旋泳ぎおっせー。
短距離だからかな。
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 13:12:59.17 ID:x1qWF4GD.net]: Aから対角線の交点まで直進する。
A付近では加速度aを大きく {a=1/(10√2)} せねばならんが、
そのままａ一定にすると、後半で遅くなり過ぎる。　　>>534
制限速度いっぱいで直進すると

v = DP/10
　= √{１ - (√2)AP/10 + (AP/10)^2}
　= (1/√2)√{１ + (1 - AP/5√2)^2},

T = ∫[0,5√2] (1/v) dAP
　= 10 ∫[0,1] 1/√(1+uu) du　　{← u = 1 - AP/(5√2)}
　= 10 [ arcsinh(u) ](u=0,1)
　= 10 arcsinh(1)
　= 10 log(1+√2)
　= 8.81373587　(秒)

2.7%ぐらい遅いが。。。
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 14:18:34.00 ID:x1qWF4GD.net]: A(0,-10)
B(10,-10)
C(10,0)
D(0,0)
とし、放物線 y = bxx -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから b=1/5.

v = DP/10
　= √{(x/10)^2 + (1-bxx/10)^2}
　= √{1 - ((20b-1)/100)x^2 + (bb/100)x^4},

ds = √{1+(2bx)^2} dx,

T = ∫[0,5] (1/v) ds
　= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2} (10/DP) dx
　= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2}/√{1 -((20b-1)/100)x^2 +(bb/100)x^4} dx
　= 8.6463092　(秒)

0.72%ほど遅い。。。
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 14:56:48 ID:x1qWF4GD.net]: >>550
3次関数 y = cx^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから c=1/25.

v = DP/10
　= √{(x/10)^2 + [1 - (c/10)x^3]^2},

ds = √{1 + (3cxx)^2} dx,

T = ∫[0,5] (1/v) ds
　= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2} (10/DP) dx
　= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2}/√{(x/10)^2 + [1-(c/10)x^3]^2} dx
　= 8.78206166　(秒)

2.3%ぐらい遅い。遠回りし過ぎ？
578 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/23(日) 15:15:40 ID:2zPyHRoL.net]: 前>>548
一辺10[m]のプールのA側の1/4を使って螺旋状に泳ぐべく右蹴り足をやや強く蹴り、左に旋回しながら一周で半径と同じピッチ上がる螺旋の長さのぶんだけ時間がかかると考えて、
ピタゴラスの定理より、
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
=7.95283141……(秒)
最速!!
579 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/23(日) 15:39:58 ID:2zPyHRoL.net]: 前>>552
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって螺旋を描くようにt秒間で7.952813141[m]泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=7.952813141
2t-at^2=15.90
580 名前：5626282…… ?を代入すると、 2t-(1-1/√2)t=15.905626282…… (1+1/√2)t=15.905626282…… t=15.905626282(2-√2) =9.31730016……(秒) たいして速くない。 []: [ここ壊れてます]
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 15:44:26 ID:x1qWF4GD.net]: n次関数 y = d x^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから d=1/5^(n-1).

v = DP/10
　= √{(x/10)^2 + [1 - (d/10)x^n]^2},

ds = √{1 + [nd･x^(n-1)]^2} dx,

T(n) = ∫[0,5] (1/v) ds
　= ∫[0,5] √{1+[nd x^(n-1)]^2} (10/DP) dx

　n　　　T(n)
　----------------------------------------------------
　1　　8.8137358702　　+2.67%　>>549
　2　　8.6463092000　　+0.718　>>550
　3　　8.7820616603　　+2.30%　>>551
　4　　8.9261905925　　+3.98%
　5　　9.0515773221　　+5.44%
　6　　9.1577166076　　+6.675
　----------------------------------------------------

正解　8.5846579929　　　>>525 >>533

近似式 (n≧2)
　8.584658{1 +0.0182(n-1.62) -0.0007(n-1.62)^2}
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 16:15:53.38 ID:UpuezNYO.net]: >>512はもう>>525で答え出てるんじゃないの？
583 名前：イナ mailto:sage [2020/02/23(日) 16:23:02.86 ID:2zPyHRoL.net]: √{π^2+(2log2)^2}
水平距離がπ、2πr=πとすると半径r=1/2
ピッチが2log2
──どういうことや？
前>>553ピタゴラスの定理より、螺旋の長さは、
√{π^2+(2log2)^2}
湧水の影響を避け螺旋状に中心に向かって右から旋回しながら中心に至る経路が最速なのはわかる。なんでピッチが2log2と一意に決まるのか。
584 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 16:26:55 ID:x1qWF4GD.net]: 訂正
　n次関数 y = d･x^ｎ -10　でした。

n→∞ のときは直角に近づく。

横：　A(0,-10) → (5,-10)
　DP = √(100+xx),
　∫[0,5] (10/DP)dx = 10∫[0,5] 1/√(100+xx) dx
　　= 10 [ arcsinh(x/10) ](x=0,5)
　　= 10 arcsinh(1/2)
　　= 10 logφ　　　　{φ=(1+√5)/2=1.618034}
　　= 4.8121182506　(秒)

縦：(5,-10) → X(5,-5)
　DP = √(25+yy),
　∫[5,10] (10/DY) dy = 10∫[5,10] 1/√(25+yy) dy
　　= 10 [ arcsinh(y/5) ](y=5,10)
　　= 10 {arcsinh(2) - arcsinh(1)}
　　= 10 {log(2+√5) - log(1+√2)}
　　= 10 (1.443635475 - 0.88137358702)
　　= 5.6226188816　(秒)

これを合計して
　T(∞) = 10 log{(2+√5)(√2 -1)φ} = 10.4347371322　(秒)
585 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 16:56:24.49 ID:eIKUodWL.net]: 円卓の席に座る方法を考える。
4人席の場合、既に着席している4人が1,2,3,4と書かれたくじを引いて、反時計回りに1,2,3,4と並ぶように座り直すことにする。1の席が固定されているということはない。
すると、どのようにくじを引いたとしても高々2人の移動で済むことが簡単な考察で分かる。
では一般にn席あって着席済のn人が1,2,…,nと書かれたくじを引く時、移動しなければならない人は高々何人だろうか？
586 名前：イナ mailto:sage [2020/02/23(日) 17:55:09.17 ID:2zPyHRoL.net]: 前>>556
>>558
4人いたら2人移動。
5人いたら3人移動。
n人いたら、
高々n-2人移動すれば半時計回りに番号順に並べると思う。
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/23(日) 18:33:17.01 ID:SsuGIXB0.net]: >>558
n人が『時計回りに』1,2,…,nの番号を引いた場合、
動かずに済む人数は、nが偶数の時2人、奇数の時1人となる。
また、どのようにくじを引いても1人は動かずに済むことから、
nが奇数の時の答えはn-1人であることがわかる。

nを偶数とし、Z/nZ上の任意の全単射fをとる。
g(x):=f(x)-x もZ/nZ上の全単射を与えていると仮定すると
Σ_(x∈Z/nZ) g(x) = Σ_(x∈Z/nZ) f(x) = Σ_(x∈Z/nZ) x = n/2 + nZ
となるが、これは
Σg(x) = - Σx + Σf(x)
と矛盾。ゆえにgは全単射でない。
�
588 名前：ｵたがって、f(x)-f(y)=x-y を満たす異なる x,y∈Z/nZ が存在。 以上の考察から、n人がどのようにくじを引いても、2人は動かずに済む。 よって、nが偶数の時の答えはn-2人。 []: [ここ壊れてます]
589 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/23(日) 23:22:59 ID:UpDOmukV.net]: >>560
素晴らしい
590 名前：哀れな素人 [2020/02/24(月) 10:25:37 ID:Rt+v/L/g.net]: 以前、たしかこのスレに、
円に内接する多角形を三角形に分割したとき、
どのように分割しても、
それらの三角形の内接円半径の和は一定である、
という問題があったが、四角形の場合の証明が分った。

円に内接する四角形を、右上から左回りにABCDとし、
各辺をAから左回りにa、b、c、dとする。
円の中心Oからa、b、c、dに下ろした垂線をe、f、g、hとし、
対角線AC、BDに下ろした垂線をi、jとする。
また円の中心Oは△ABC、△BCDの外にあるとする。

また外接円半径をR、
△ABC、△ACDの内接円半径をr1、r2
△BCD、△ABDの内接円半径をr3、r4とする。

するとカルノーの定理により、
e+f-i=R+r1、g+h+i=R+r2 ⇒e+f+g+h=2R+r1+r2
f+g-j=R+r3、h+e+j=R+r4 ⇒e+f+g+h=2R+r3+r4
∴ r1+r2=r3+r4
591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/24(月) 10:42:38 ID:/4cfnoQR.net]: それ日本の定理っていう名前がついてるやつか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/24(月) 10:50:29.59 ID:GWc2cyTj.net]: へぇ、そんな名前がついてるのか。
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/24(月) 16:44:00.49 ID:Gb7vk4DT.net]: >>557
楕円 y = -√(100-kxx) に沿って進む。
対角線の交点X(5,-5) を通るから k=3,

　v = DP/10
　　= (1/10)√{100-(k-1)xx},　

　dy/dx = kx/√(100-kxx),
　ds = √{(100+k(k-1)xx)/(100-kxx)} dx,

T = ∫(1/v) ds
　= 10∫[0,5] (1/DP)(ds/dx)dx
　= 10∫[0,5] √{(100+k(k-1)xx)/((100-kxx)(100-(k-1)xx))} dx
　= 8.6698357840

0.992%ほど遅い。

近似式
　T(n) = 10.434737 - 4.8644/n^0.6 + 3.2450/n^1.2
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/24(月) 22:47:05.10 ID:Gb7vk4DT.net]: この式は n=1.61693 の辺りで極小値 8.61175 となる。(0.315%遅い)
この辺が曲線 y = 5(x/5)^n -10 に沿って進む場合の限界かな～
595 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 13:34:37.50 ID:xlZ4iTwN.net]: https://matome.naver.jp/odai/2142193955410363201
Naver まとめ
おもしろく、素敵で、考えさせられる、大学入試問題 519gugさん 2015年01月23日

最も短い入試問題　（京都大学編）

tan１°は有理数か。

2006年　京都大学　後期　理系　第6問

超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

出典
mathtrain.jp/tan1
596 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 14:05:48.96 ID:WMW0bPzH.net]: >>567
>ほとんどの受験生が解けなかった
なんで？加法定理は有理式じゃん
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/25(火) 14:13:38.29 ID:INCWFL/L.net]: 京都の後期受ける人ならみんな解けそうだけどな
598 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 14:56:45.78 ID:1YFg5R8p.net]: >>567
tan１°が有理数であるならばtan30°も有理数で矛盾
599 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 15:26:52.86 ID:0KQ2py8l.net]: 4Dエンジンを作った。
回転する4Dの超立方体のサンプルが付いている。
画像とソースコードは：
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3677-0
600 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 20:20:32 ID:9H9AGGze.net]: そういう知識の活用ができる人は少ないって事でしょう
601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/26(水) 21:29:35.91 ID:3UGv2jT6.net]: 正の有理数
602 名前： x,y,z は xyz=1 を満たし、自然数 a,b,c と a=12x(y+1),b=12y(z+1),c=12z(x+1) の関係がある。 a+b+c　の値が 100と最も近いもの　および、1000 と最も近いもの、および、10000 と最も近いものを見つけよ。 []: [ここ壊れてます]
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 02:03:08.51 ID:f9GfmhOJ.net]: 1=144/(ab)+144/(bc)+144/(ca)+3456/(abc)
以下ry
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(Thu) 17:00:07 ID:5cc8+UEj.net]: (tan(x))^2が有理数となるxを決定せよ。
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 18:49:07.28 ID:hxZioUH7.net]: 訂正
(tan(π/n))^2が有理数となる自然数nを決定せよ。
606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 20:16:26.22 ID:6SmBw6gg.net]: >>570
tan(30ﾟ) が有理数でないことを示すには
　sin(30ﾟ) = s とおく。
　1 = sin(90ﾟ) = 3s -4s^3,
　(s+1)(2s-1)^2 = 0,
　s≠-1 だから s=1/2,
　tan(30ﾟ) = s/√(1-ss) = 1/√3,

1/√3 が有理数でないことを示せばよい。
　1/√3 が有理数だったと仮定すると
　1/√3 = p/q　　　(p,qは自然数)
　q^2 = 3p^2,
ここで両辺を素因数分解すると
　左辺の3の指数は偶数(または0)、右辺の3の指数は奇数
となって UFD に反する。　(矛盾)
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 20:29:00.81 ID:6SmBw6gg.net]: >>575
　{ sign(q)･arctan(√|q|) + nπ | q∈Q, n∈Z }
かな
608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 00:09:34.34 ID:6+sDQgwJ.net]: 和を1/2に保ちながらエジプト分数の項数を二倍に増やす

1/2=1/3+1/6=1/4+1/10+1/12+1/15=1/5+1/14+1/20+1/21+1/24+1/28+1/35+1/40=
1/6+1/18+1/30+1/30+1/33+1/36+1/44+1/45+1/60+1/65+1/63+1/70+1/77+1/84+1/88+1/104=
1/7+1/22+1/39+1/42+1/42+1/52+1/55+1/60+1/66+1/70+1/85+1/90+1/99+1/112+1/117+1/119+
1/126+1/126+1/130+1/133+1/144+1/152+1/154+1/165+1/168+1/170+1/198+1/204+1/209+1/228+1/234+1/273=1/2
609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 09:17:13.90 ID:gtbRddYz.net]: 有理数rに対して、rを約分しきった時の分子と分母の積をh(r)とおく。
ある実数xについて tan(x)^2=p/q (p,q>0 は互いに素な整数) が成り立っていると仮定すると、tan(2x)^2=4pq/(p-q)^2.

(i)p,qのうち片方が0でない偶数の時、もう片方は奇数であるから p-q は奇数。
ゆえに、4pq と (p-q)^2 は互いに素であるから
h(tan(2x)^2) = 4pq(p-q)^2 > h(tan(x)^2).

(ii)p,qの両方が奇数でありかつ少なくとも一方が5以上の時、4pq と (p-q)^2 の最大公約数は4.
したがって、h(tan(2x)^2)=(1/4)pq(p-q)^2.
仮に h(tan(x)^2)≧h(tan(2x)^2) が成り立っているならば、|p-q|=2 より tan(2x)^2=pq.
(p≧5 または q≧5) かつ |p-q|=2 より、pとqのどちらも3以上であるから、|1-pq|>2.
ゆえに、h(tan(4x)^2) = (1/4)pq(1-pq)^2 > pq = h(tan(x)^2).

以上の議論から、tan(x)^2=p/qが(i)と(ii)のどちらかの条件に当てはまるならば、
数列 {tan(2^n･x)}_(n≧1)
610 名前：は周期的にならない。 一方、xがπの有理数倍の時はこの数列が必ず周期的になるので、 x/πとtan(x)^2の両方が有理数になるのは tan(x)^2=0,1/3,1,3 の時のみ。 これは x/π-n = 0, ±1/6, ±1/4, ±1/3 の場合に相当。 []: [ここ壊れてます]
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 10:52:23 ID:TIr8ReLJ.net]: >>580
正解です。
中々面白い解答で素晴らしい。
想定の解答は

(tan(mπ/n))^2 が有理数でm,nが違いに素ならQ(tan(π/n))はQの2次拡大なのでこのようなnを決定すればよい。
cos(2π/n)∈Q(tan(π/n)、[Q(cos(π/2):Q]=φ(n)/2 (n≧3) なのでφ(n)≦4が必要。
よってn=1,2,3,4,5,6,8,10,12が必要。
以下ry

でした。
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 20:04:08.62 ID:yyQ2syhj.net]: (tan(2π/n))^kが有理数となる自然数n,kを決定せよ。
613 名前：イナ mailto:sage [2020/02/28(金) 22:04:49.54 ID:TMuPrCsw.net]: 前>>559
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＲ
614 名前：イナ mailto:sage [2020/02/28(金) 22:09:53.42 ID:TMuPrCsw.net]: 前>>583訂正。有理数の記号はＱでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＱ
615 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/29(土) 02:12:36 ID:Bn4PpVB4.net]: 前>>584訂正。自然数の記号はＮでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＮに対して、
与式=1^k=1эＮ
∴n=8のとき、kは任意の自然数。
n≠8のとき、k=0
もっとありそうな感じがする。
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/29(土) 13:04:11 ID:fSHRQCgW.net]: >>582の確認。
こんなの感でも答えはtan(2π/n)=1、またはk≦2のときに限られるのはわかります。
題意はそれを証明しなさいです。
すなわち

(tan(2π/n)^kが有理数となるのはtan(2π/n)=1、または(tan(2π/n)^2が有理数の場合に限る事を証明せよ。

です。
617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/29(土) 16:36:14.05 ID:3cJe9Ye6.net]: K:=Q(tan(2π/n))⊂Q(e^(2πi/n)) より K/Q はアーベル拡大であるから、
tan(2π/n)^k=p/q において k=2 とできなければならない。
あとは>>580と同じ…というのは飛ばし過ぎだろうか
618 名前：イナ mailto:sage [2020/02/29(土) 18:11:59.79 ID:Bn4PpVB4.net]: 前>>585
1+tan^2θ=1/cosθより、
tan^2θ=1/cosθ-1
tanθ=√(1/cosθ-1)
θ=2π/nとして、
tan(2π/n)=√{1/cos(2π/n)-1}
tan^k(2π/n)={1/cos(2π/n)-1}^(k/2)
n=1のとき、
tan^k(2π)={1/cos2π-1}^(k/2)
0=0^(k/2)
kは任意の自然数。
n=2のとき、
tan^kπ={1/cosπ-1}^(k/2)
1^k=(-2)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
n=8のとき、
tan^kπ/4={1/cos(π/4)-1}^(k/2)
1=(√2-1)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
∴n=1,kは任意の自然数。
もしあってたとしても、どこが面白いかはわからない。
619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/29(土) 19:45:46 ID:GgyIebsL.net]: >>587
まぁそれがほぼ想定解です。
しかしさすがに飛びすぎ。

実数tにおいてある自然数kにおいてt^kが有理数、かつQ(t)がQ上のアーベル拡大のときt^2が有理数である事を示せ。

です。
620 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 06:37:29.57 ID:+B38pBXy.net]: 正方形の一辺の垂直二等分線を定規のみで作図せよ
621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 08:54:32.79 ID:vlQ4BnF6.net]: >>590
A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)を4頂点とする。
E(a,0) (0<a<1/2) を適当にとる。
直線AC∩直線BD=F(1/2,1/2)∈S
直線DE∩直線AC=G∈S
直線BG∩直線AD=H(0,a)∈S
直線AH∩直線BC=I(1,1-a)∈S
直線EI∩直線CD=J(1+a,1)∈S
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S
この時□AEJCと□KACLのそれぞれの対角線の交点を結べば良い。
622 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 09:03:43.81 ID:zJUT57J7.net]: 最近面白い問題がないな
623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 09:20:09.03 ID:g3yGUOWL.net]: >>589はダメ？
624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 10:48:21.70 ID:YZSiuLon.net]: じゃあまた投稿者には未解決だけど一�
625 名前：ﾂ 任意の複素数係数多項式 F∈C[x] について、次を満たす f,g,h∈C[x] は存在するか： F(x) = f(x)^3 + xg(x)^3 + (x^2)h(x)^3 []: [ここ壊れてます]
626 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/01(日) 14:45:50 ID:Yhf86Vyf.net]: /∥__∥　□　∥ |ﾟ○。
|∩∩∥　　｡∥ ∩∩ ﾟ
( (`e)　 [￣]∥(`)　)ﾟ
(￣,`っ｢￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~　~~~ ~~~ ~ ~ ~　~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~　>>590正方形の対角線の交点は垂直二等分線が通る。前>>588あともう一点、垂直二等分線上の点が必要。定規にシャーペンを固定してコンパスみたいに回したらどうかな。
627 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 19:04:19 ID:+B38pBXy.net]: >>591
直線AH∩直線BC→ 直線FH∩直線BC

直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S → K(-a,0)
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S → L(1-a,1)

ということかな？
平行四辺形二つ作って刺す感じですか
なるほど正解です

想定していた解法はチェバを使うものでした
628 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 19:07:53 ID:+B38pBXy.net]: >>595
ここでいう「定規」とは以下の能力しか持たない抽象的な道具です

・与えられた二点を結ぶ線分を引く
・線分を延長する

また、点とは「線と線の交点」、「線分の端点」のことを指します
629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 20:05:10.17 ID:b16SM21O.net]: >>596
チェバの解放ﾌﾟﾘｰｽﾞ
630 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 20:18:55.24 ID:fSBfHqBl.net]: >>598
https://i.imgur.com/l0toryy.png
631 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 20:19:30.63 ID:fSBfHqBl.net]: >>599
この要領で対辺にも中点を作ってそれらを結べばよい
632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 20:21:51.07 ID:b16SM21O.net]: >>599
なる
thx
633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 21:38:30.26 ID:YZSiuLon.net]: ユークリッド平面上に三点(-1,0),(0,0),(1,0)だけが作図されている状態から、
任意の有理数rについて点(r,0)を作図できることを示せ。
634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 21:38:59.87 ID:YZSiuLon.net]: >>602
すまん、定規だけで。
635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 23:14:20.87 ID:i2VXPeIF.net]: >>602
補題1
A1,A2,A3が同一直線上にこの順に等間隔に並ぶとき、この直線上の点A4をA1,A2,A3,A4が等間隔に並ぶようにできる。
∵)Pを直線外にとり線分PA2上にQを任意にとる。
PA1とQA3の交点をB1、PA3とQA1の交点をB3とすればB1B3//A1A3となる。
同じ手順をQを取り替えて行えばさらに線分PB1上のC1と線分PB3上のC3をとってB1B3//C1C3とできる。
C1C3とPA2の交点をC2とすればC2B3とA1A3の交点が求めるA4である。□
補題2
A1A2と線分PA1上のB1とPB2上のB2においてB1B2が平行でA1ある時A1とA2の中点がとれる。
∵)A1B2とA2B1の交点をQとする時、PQとA1A2の交点が求める中点である。□
補題3
n≧1と補題1の設定の元にA1A2を1:2^(n+1)-2に内分する点Xと2:2^(n+1)-3に内分する点Yがとれる。
∵)Pを直線外心に任意にとる。
補題1によりA1A2を2^n:2^n-1に外分する点Qがとれる。
Rを線分PA1上に任意にとりQRとPA2の交点をSとする。
A1SとA2Rの交点をTとしPTとA1A2の交点をUとすればUはA1A2を2^n:2^n-1に内分する点である。
補題2により中点を取る操作を何度もくりかえせばXとYが得られる。□
定理
補題1の設定の元に任意の1未満の正の有理数tに対しA1:A2をt:1-tに内分する点がとれる。
∵)t=a/bとなる自然数をとる。
補題2によりbが奇数の時しめせば十分である。
自然数nを2^n-1がbの倍数であるようにとれる。
この時2^n-1=bcとおけばa/b=ac/(2^n-1)であるから補題1,補題3により可能である。□
636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 00:25:47.44 ID:OADBUKH6.net]: >>604
わあすごい、お見事

想定していた流れは
・y=0 以外でy軸に平行な直線Lが作図可能。
・全ての整数nについて点(n,0)は作図可能。
・ゆえに、直線L上に、任意に長い等差点列を作図可能。
・任意の整数n,a>0,b>0について、二点(n,0),(n+1,0)をa:bに内分する点を作図可能。

最後のは、例えば直線Lが y=√2 で表され、なおかつ全ての点 (e+πm,√2) (m∈Z) が作図できたとして、
二点(n,0),(e,√2)を結ぶ直線と二点(n+1,0),(e+π(a+b),√2)を結ぶ直線の交点をPとおけば、
二点P,(e+πa,√2)を結ぶ直線とy=0の交点が求める点になる。
637 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 01:12:21 ID:qc9vWQ77.net]: 簡単かもしれないけど
“円に内接する三角形で面積最大のものは正三角形である事”

を初等幾何で証明できますか
まあ解ける人はサクッと解けるのだろう
638 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/02(月) 04:25:07 ID:6RLywf+z.net]: 前>>595
>>590あ、わかった！
正方形を折り紙みたいにぴったり半分に折ればいいんだ。
で、その折り目に沿って定規で線を引く。
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 04:35:43 ID:0ORHzB3W.net]: >>606
△ABC = (1/2)AB･CH
ここで　CHは、頂点Cと直線ABの距離。
2頂点 A,B を固定し、中心Oから辺ABに垂線を下ろす。
垂線と円周の交点をX1,X2とする。
辺ABも、X1, X2 で引いた接線も、直径X1-X2 に垂直だから互いに平行。
円周は、この2本の接線の間にある。
Cがこの円周上を動くとき、 △ABCが最大になるのは CH が最大のとき。
すなわち Cが、2つの接点Xのうち ∠AXB が鋭角の方であるとき。
このとき AC=BC

A,B,Cを入れ替えても同様だから、正三角形。
640 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 04:41:31 ID:hCgOeWjY.net]: >>606
△abcは円周上の相異なる三点から作られる三角形で、それらのうちで面積最大であるとする
いま、△abcが正三角形ではないと仮定し、abとbcの長さが異なるとする
するとacの垂直二等分線かつ円上のbのある側に点dがあり、△adc>△abcで矛盾
641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 05:30:18.06 ID:0ORHzB3W.net]: >>590
正方形S内の作図でも可能でした。

>>591 のあと、対角線BDに平行な線分EHを作ります。←これがミソ
　線分EH ∩ 線分AC　=　M(a/2,a/2)
　線分EF ∩ 線分BM　=　N(3a/{2(1+a)}, a/{2(1+a)})
　直線AN ∩ 線分BC　=　P(1,1/3)
　直線AN:　y = x/3,
あとは簡単ですね。
ABCDが長方形のときも全く同じ。
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 05:43:17.17 ID:0ORHzB3W.net]: >>609
　ab≠bc から △adc > △abc を出すのはどうやるんでつか？
643 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 08:47:16 ID:r89pIk8E.net]: >>607
「定規」とは>>597にある能力しか有しません
しがたって「折り目に沿って線を引く」という能力はありません
644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 08:47:58 ID:0FXGIEti.net]: >>602　関連
二点が与えられたときに中点を定木だけで作図はできない
証明ってどうやるんですか？
645 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 09:20:20 ID:hWkBRJKb.net]: >>613
2点しかないんだったらできることはその2点を通る直線を引くことだけ
あと適当に引いた直線はその2点とは全く独立だから結論に何も役立たない
646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:13:43.44 ID:pl+0uhr1.net]: >>613
定規だけが使える状況では、与えられた二点の中点が作図できることは、
与えられた二点を通る直線と平行な直線が作図できることと同値になりそうだ

しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
別のある特定の点が作図できてしまうんだからな
647 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 10:19:13 ID:hWkBRJKb.net]: >>615
>しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
>別のある特定の点が作図できてしまうんだからな <
648 名前：br> コンパスもあれば2次方程式を解けるということが重要 定規だけでは何も出来ない []: [ここ壊れてます]
649 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 10:28:23 ID:hWkBRJKb.net]: n点与えられているときに定規で出来ることは
そのn点から2点取って直線を引き
その交点も含めて点の個数を
n(n-1)/2(n(n-1)/2-1)/2=(n+1)n(n-1)(n-2)/8
に増やすことだけ
これを繰り返して点をいくらでも増やせるが
それだけ
650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:30:20 ID:pl+0uhr1.net]: とは言え等間隔な三点が与えられたら、602の通りに実際『何かができた』わけだからなあ…
定規だけを使った作図に何ができて何ができないのか、という問いに正確に答えようとしたら、
それは中々自明でない問題な気がする
651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:38:11 ID:0FXGIEti.net]: ２点をm:nに内分(外分)する点を与えたらm:nに外分(内分)する点は定木だけで作図できる
けど中点は無限遠点になる。。
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:48:01 ID:0FXGIEti.net]: よく知らんけどもしかして平行線公理の独立性ってやつ？
653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:51:03 ID:pl+0uhr1.net]: というかまず、明示的に許されている訳ではない操作である、
『点を適当にとる』という操作を定式化する必要があるんだよな
しかしこれはおそらく、二人不完全情報ゲームの文脈を使えばできると思う

便宜的に二人の名前を『作図者』と『神』と名づけておく。
作図者は、>>597に記されている操作をしている間はずっと自分の手番。
しかし、作図者がある直線上に点を適当にとりたいと思った時は、まずその直線の開部分集合を一つ指定し、
その開部分集合のうちどこに点をとるかを神が決める、という操作を経なければならない。
更に、作図者は開部分集合のうち神がどこに点をとったのかは、知ることができない。
（ただし『これは作図を始めてから何番目にとった点である』等のように、
適当にとった点に番号付けをして、他と区別することは可能。）
平面上に適当に点をとりたい時も同様。
すなわち先に作図者が開集合を指定し、その中から神が作図される点を決める、という操作を経る。
作図者は、開集合の中で神がどこに点をとったかを知ることはできない。番号付けは可能。

最終的に作図したい点を作図できれば作図者の勝ち。さもなくば神の勝ち。
作図者に必勝法がある時、その点は『作図可能である』と言う。
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 11:07:29.38 ID:pl+0uhr1.net]: >>619
つまりn:mの間隔にある三点から、(n-m):mの間隔にある三点を作図することが可能という訳か
n:mが整数比なら、互除法使えば最終的に1:1にたどり着くから、
結果的にその直線上にある全ての有理（的な）点が作図できる
655 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 13:20:16.24 ID:hCgOeWjY.net]: >>611
acに垂直な玄のうちdを通るものは直径で最長なので底辺acに対する高さがbよりも高いから
656 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/02(月) 14:49:02 ID:6RLywf+z.net]: /∥;;∥∩∩］∥ |;;;;;
|∩∩|((-_-)｡∥ ∩∩;;
(　(`)(っ/c) ∥(`)　);
(￣￣)「￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~　~~~ ~~~ ~ ~ ~　~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~>>590正方形の対角線の交点は辺の垂直二等分線が通る。前>>607あともう一点。一辺をのばした延長上の一点から最遠方の頂点まで定規で直線を引く。
この直線を引いたとき辺と交点ができる。この交点から頂点に向かって新たな直線がもう一つ引ける。この直線を引いたとき対角線と交点ができる。この交点に先にとった一辺の延長上の一点から半直線を引くと、この半直線はふたたび正方形の辺と交わり
(>>599チェバの定理より正方形の辺を二分する)、この交点と対角線の交点を通る直線を引けば、垂直二等分線が定規だけで引ける。
657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 15:38:29.30 ID:pl+0uhr1.net]: >>613 より少しだけ弱い問として
『何も作図されていない状態の平面から、定規だけを使って平行線を作図することは可能か』
というものが挙げられる。
弱いというのは、もし613が可能ならばこちらが可能であることも導ける、という意味。
しかし解決の方法はさっぱり
658 名前：わからん… []: [ここ壊れてます]
659 名前：イナ mailto:sage [2020/03/02(月) 15:45:08.75 ID:6RLywf+z.net]: 前>>624
>>625
一般に定規は平行な直線が一定の幅を保つように作られている。
∴平行な2直線を引くことは可能。
660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 16:19:20 ID:0FXGIEti.net]: 平行線と中点の定木のみ作図可能性はチェバの定理より同値では？
垂線の作図はどうんだろ
661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 19:21:53.96 ID:pl+0uhr1.net]: 平面上に直線だけが与えられているとして、定規だけで垂線作図するのは無理だろうね
最初に与えられてるのがx軸だけであれば、>>621の意味で作図可能な図形は、
ある開集合に属する任意の実数aについて、変換 f(x,y)=(x+ay,y) で不変でなければならない
662 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 19:27:22.86 ID:qc9vWQ77.net]: >>608>>609
半分正解！
正当化の議論すれば間違ってはない
それで示せるのは「正三角形以外は最大値を与えない」という命題であって
「正三角形で最大値を取る」という事は直接言えない
これは「必ずある三角形が最大値を与える」という命題を認めなければならないということ
まあそれを確かめるのも大学数学の範疇では簡単なので、それ込みでそういう解き方もアリっちゃあり

でも一応初等幾何だけでも解けるんだよーって話

元ネタは京大入試の問題だかなんかで、「正三角形以外の三角形は不適を示すだけでは不正解になる」という話があって
模範解答は解析的に解いてたけど
ちょっと工夫すれば一応幾何だけで解けるな、と思ったので
663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 01:15:42.77 ID:c1vEOOkk.net]: >>629
一応できた。

二等辺三角形に限定していいのは既出の通り。
正三角形ABCの外接円をΓとする。
BCに関してAと対称である点をD、
CAに関してBと対称である点をE、
ABに関してCと対称である点をFとする。
B、Cから直線EFに下ろした垂線の足をG,Hとする。
ADに垂直な弦PQに対して△APQ≦△ABC、等号はPQとBCが一致するときを示せば良い。
直線PQとDB、DCの交点をRSとすれば△APQ≦△ARSで等号成立はBC=PQのときだから△ARS≦△ABCを示せば良い。
R,Sから直線EFに下ろした垂線の足をT,Uとする。
□BCGH=2△ABC、□RSTU=2△ARSだから□RSTU≦□BCGHを示せば良い。
以下EF方向に√3倍して議論する。(√3倍した点を定義していけばよいがめんどくさいだけなので手を抜く)
RSがBCよりDに近い側にある時は□RSTUが□BCGHの外側にはみ出してる部分は内に引っ込んでる部分と比較して同じ幅で長さの短い長方形になっているのでこの場合はよい。
反対側にRSがずれている時も同様である。
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 05:46:44.76 ID:KGTUQZbA.net]: >>606
本問では △ABC の面積を
　f(C, B-A)
とおくことが可能ですね。(何でもない事のようですが)

>>609 から
∠Cを固定して ∠A, ∠B を変えたとき、
面積は、二等辺三角形(B-A=0)のときに最大である。
　Max[x] f(C,x) = f(C,0)

次に ∠C を変えたとき、
面積は、B=C (=π/3) のときに最大である。(正三角形)
　Max[C] f(C,0) = f(π/3,0)

これらより、最大値は
　Max[C,x] f(C,x) = f(π/3,0)
つまり「正三角形で最大値をとる」という事が言えます。(キッパリ)

周囲の長さが一定とか、うまくパラメータ付けできない時には >>629 のようになりますが････

>>623 も同様かと････
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 08:42:45.54 ID:5XjpMst2.net]: >>630
□RSTU≦□BCGHを示せば良い。
ここ以降も少し簡単にできるな。
△DEFのうち□RSTUの外側の部分が内側の部分より大きいことを示せば良い。
RSがBCよりDに近い側にある時は△ERT、△FSUをそれぞれRT、SUで□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えない
666 名前：で残る部分はちょうど△DRSと合同な三角形だからよい。 RSがBCよりDに遠い側にある時は△DRSを□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えないで残る部分は△ERT、△FSUに合同な三角形二つを合わせたものだからよい。□ []: [ここ壊れてます]
667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 09:01:23.61 ID:KGTUQZbA.net]: >>631
補足します。
　C≠π/3　⇒　f(C,0) < f(π/3,0)
(略証)
　f(C,|A-B|) は |A-B| について単調減少なので
　f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|)
　< f((π-C)/2, (1/2)|C-π/3|)
　= f(π/3, |C-π/3|)
　< f(π/3, 0)
　= (正三角形の面積).
668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:16:04 ID:c1vEOOkk.net]: >>633
> 　f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|)
コレは何故？
669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:33:35.70 ID:KGTUQZbA.net]: 内角が (π-C)/2, (π-C)/2, C の二等辺三角形だから。
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:41:15.55 ID:c1vEOOkk.net]: >>635
fは外接円の半径固定されてるんですよね？
二つに割って貼り直すと思うんですが外接円の半径変わっちゃうのでは？
671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:47:02.38 ID:c1vEOOkk.net]: あ、失礼、貼りなおさなくてもいいのか。
頂角を取り直すだけね。
なるホロ。
672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 23:13:37.44 ID:c1vEOOkk.net]: >>633
さんの方法は中々いいな。
この方法で内接円の面積最大とか3辺の長さの和最大とかが正三角形のときとかも初等的に示せるね。
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 00:55:02 ID:3AxDkYqV.net]: >>631 >>633 は、内角で表わせば
　{A, B, C}
　{(π-C)/2, (π-C)/2, C}
　{(π-C)/2, π/6 + C/2, π/3}
　{π/3, π/3, π/3}
の順に面積が拡大するということですが、
この計算じたいは高校数学の範囲内でしょう。

その他にも、
　外接円の半径が一定の三角形の集合はどんな集合か？
　なぜうまくパラメータ表示できるのか？
といった問題もありますが、そちらは大学数学の問題でしょう。
674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 01:46:22.34 ID:ncIVK0Vr.net]: >>633
を使って初等的に示してみるまとめ。

半径1の円に内接する三角形ABCをとる、
A≦B≦Cとしてよい。
優弧BC上にDEFを∠BCD=π/3、∠CBE=π/3、∠BCF=∠CBFとなるようにとる。
EもしくはFのいずれかが弧CF上にある方をXとする。
この時
△ABC≦△XBC‥(✳︎)
であり∠XBCか∠XCBのいずれかはπ/3である。
前者のときY,ZをそれぞれC,B、後者のときはY,ZをそれぞれB,Cとすれば
△ABC≦△XYZ
であり∠Z=π/3
である。
Wを∠WXY=π/3
とすれば
△XYZ≦XYW‥(✳︎)
であり△XYWは正三角形である。□

証明の(✳︎)のところは面積のかわりに内接円の半径や三辺の和にしても初等的に示せるので内接円、三辺の和最大も処理できるし、面積をその系で示すこともできて中々気分がいい。
675 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/04(水) 03:30:36.65 ID:fel9VZKy.net]: 正の整数nの任意の約数d<nに対し、ある正の整数mがあってmd+1<nがnと互いに素になるという。
nの必要十分条件を求めよ。
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 05:12:28.40 ID:3AxDkYqV.net]: ・優弧BC上に
　∠BCF = ∠CBF = (π-∠A)/2　( >π/3),
となるように点F をとる。
　△ABC < △CBF,
　∠BFC = ∠A < π/3,

・劣弧CF上に ∠EBF = π/3 となるように点E をとる。
　∠BEF = ∠BCF = (π-∠A)/2 > π/3,
すなわち
　∠CBF > ∠EBF > (π-∠BEF)/2,
∴　△CBF < △EBF,

・優弧EF上に ∠DEF = ∠DFE = π/3　となるように点D をとる。
　△DEF は正三角形
　△EBF < △DEF,

以上により
　△ABC < △DEF,
677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 06:35:55 ID:lpGYoEdj.net]: >>641
n≡2(mod 4)とするときd=n/2に対してdm+1<nを満たすmは1しかないが、このときdm+1みnみ偶数だから条件は満たされない。
m≡1,3(mod4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子p>2がとれるが、このときnとn/p+1の共通素因子はpしかあり得ず、pが共通素因子なら2n/p+1とnは共通素因子を持ち得ず互いに素である、
m≡0 (mod 4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子pにた�
678 名前：｢しp>2であれば先と同じようにしてmを選べる。 p=2のときは(n,n/2+1)=1でよい。 以上により与えられた条件はn≡0,1,3(mod4)と同値である。 []: [ここ壊れてます]
679 名前：イナ mailto:sage [2020/03/04(水) 17:36:59.43 ID:OGTmh3Cc.net]: 前>>626
>>292名高い灘高。
OA・OB=1しか条件ない。
あとは直線PQで垂直二等分されるADをどう使うか。
△PBD∽△OBQを示すために、OについてQと点対称なQ'を取り、△PBA∽△OBQ'を示したらどうか。
OA・OB=1と△PBA∽△OBQ'
どうつなげるか。
相似比PD:OQ=PA:1
見るからに相似なんだけど、相似条件がわからない。
2辺の比とその間の角が等しい、かな？
OB=1/OA=OQ/OA=OQ/PD=1/PD
接弦定理かな？
考え中？　まだ出ない？
相似だけどだれにも証明されていない問題？
680 名前： mailto:sage [2020/03/05(木) 00:47:22.50 ID:0idrlik+.net]: 前>>644
平面図形に複素数なんかあるわけない。
相似条件は3つ。
3組の辺の比が等しい。
2組の辺の比とその間の角が等しい。
2角が等しい。
この3つの条件を探してみつけられなかったとしても探した奴、探そうとした奴を合格にすべきだと思う。
681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 08:34:31.13 ID:y1DklE5e.net]: >>292
半直線OABを実軸とする複素平面上で考える。
O(0)
A(a)　　0<a<1,
B(1/a)
P(e^(ip))
Q(e^(iq))
　0 < p < q < 2π,　0 < q-p < π,　
D(e^(ip) + e^(iq) - a･e^i(p+q))
とおくと
PD = e^(i(p+q)){e^(-ip) -a} = e^(i(p+q))AP~,
QD = e^(i(p+q)){e^(-iq) -a} = e^(i(p+q))AQ~,
|PD| = |AP|
|QD| = |AQ|
∴ Dは直線PQに関してAと線対称である。
OQ/OB = a･e^(iq) = PD/PB,
ゆえ相似だろうな。。。
682 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/05(Thu) 13:16:55 ID:0idrlik+.net]: 前>>645
検索したら似たような問題があって、複素数で解いてあった。
複素数を使わない解き方をみつけないといけない。
△BPA∽△BOQ'
かつ△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO
683 名前：イナ mailto:sage [2020/03/05(木) 13:31:58.08 ID:0idrlik+.net]: PはADの中点、OはQQ'の中点だから、
△BPA∽△BOQ'
または△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO
684 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/05(Thu) 15:50:14 ID:0idrlik+.net]: 前>>648違うか。
AP=DPは言える。
AD⊥PQ
OA=t(0＜t＜1)とおくと、
OB=1/t
ADとPQの交点をR、BRとODの交点をSとすると、メネラウスの定理より、
(OB/BA)(AR/RD)(DS/SO)=1
{(1/t)(1/t-t)}(1/1)(DS/SO)=1
DS/SO=(1/t-t)/(1/t)=1-t^2
わからん。
685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(Thu) 17:15:01 ID:eeoU5lKD.net]: >>292
ある人に初等幾何による解答を書いてもらったのでここに貼ります

仮定よりEACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円であることに注意すると
∠APC=∠CPB=:z
∴A,DはPQに関して線対称なので
DP:PB=PA:PB=AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
=OQ:OB·····?
(補足 OA=a,OB=1/aとすると)
∠OQB=x,∠OBQ=yとすると
∠BOQ=180-x-y
円周角の定理,タレスの定理などから
∠EPC=∠ECQ=90°-∠QEO=90°-(180°∠EOQ)/2
=(x+y)/2
∠APC=∠CPB=,線対称から∠DPQ=∠QPAより
∠DPB=2∠QPC=180°-2∠EPQ=180°-x-y=∠QOB·····?
??より
2辺比夾角相等から
△PBD∽△OBQ∎

https://i.imgur.com/NwrNyyo.jpg

https://i.imgur.com/cOvLchw.jpg
686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(Thu) 17:33:40 ID:o68Yrcxc.net]: >>650

> ∠BOQ=180-x-y
> 円周角の定理,タレスの定理などから

この辺りが問題文で明示されてない点の配置でめちゃ�
687 名前：ｭちゃ場合わけしないとダメで実質証明にならない。 []: [ここ壊れてます]
688 名前：イナ mailto:sage [2020/03/05(木) 18:19:44.43 ID:0idrlik+.net]: 前>>649
>>651
PQが半直線ABをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bと同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 18:37:42.78 ID:eeoU5lKD.net]: >>651
これを証明した人に教えたら「PQに関してOABは同じ側だから場合分けは
上図のような場合とPQがひっくり返ったもののみだと思います」とのこと
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 18:51:52.17 ID:pJ9pcxTu.net]: >>653
そんなわけないやん。
そもそもOA・OB=1てOAとOBどっちが長いとか直線ABとPQの位置の配置とかで角度の計算とか全部影響する。
円周角の配置になったり縁に内接する四角形の対角の位置にきたり。
それぞれに対して全部どっちとどっちを出すのか、引くのか、とか、完全に一致したり捕角の関係になったり。
OAが長いか、OBが長いかに始まって証明を分けざるを得ない配置の場合わけが3回くらい必要で、各々について2通りか3通りの場合わけが必要で10通りを超えた。
OB<OAの時は一応全部潰したけど、残りのケース全部潰したとしてもとても書く気にはならないだろうからやめた。
図が問題に与えられてて配置が決まってないと初等幾何の証明はそうなる事が避けられない。
もちろん図がなくてもきちんと言葉で確定してればいいけど>>292は無理。
長さ、角度の足し引きが出る証明はその点の並んでる順番の不定性がある時は必ずそうなる。
691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 18:57:52.75 ID:eeoU5lKD.net]: >>654
Aは円Oの内部だからOA<OBとのことです
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 19:22:41.12 ID:pJ9pcxTu.net]: >>655
そうなん？
でもそれだけじゃすまない。
>>292の文章だけでは確定しない点の配置がメチャメチャ出てくる。
そんな事ないというなら>>650 の証明で"などから"なんてごまかししないで全部書いてみてよ。
それがホントに>>653で言うように　な2通りで済むのかどうか示してみてよ。
693 名前：イナ mailto:sage [2020/03/05(木) 21:35:24.20 ID:0idrlik+.net]: 前>>652訂正。
>>650
PQが半直線BAをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bに対して同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。
694 名前：イナ mailto:sage [2020/03/06(金) 05:29:26.74 ID:PniBgS7R.net]: 前>>657
>>650
∠EPC=∠ECQじゃないなぁ。
∠EPC=90°だから、移し間違いか文字化けか式が重なったか。
OA=tとおいてOB=1/tは同じだった。
∠APC=∠CPBは、たしかに見るからにそうなんだけど、すぐ言えるの？
どういうことだろう。
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
たしかに∠ACP=∠CPBに見えるんだけど。ここがこの問題の肝か。
695 名前：哀れな素人 [2020/03/06(金) 08:11:22.28 ID:kKV2t8Di.net]: >>650の回答を読んだ感想。
アポロニウスの円や調和点列の知識がないと解けない。
仮に知識があっても、
>EACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円である
>AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
これを見抜くのは難しい。

後半の説明は煩雑だが、要するに∠DPB=2∠QPC=∠QOB
x、yその他の説明は不要。

問題自身には何の不備もない。
696 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/06(金) 15:14:44 ID:PniBgS7R.net]: 前>>658
>>659
AC:CB=1-t:1/t-1
=1-t:(1-t)/t
=1:1/t
=t:1
EO:OB=1:1/t
=t:1
たしかにAC:CB=EO:OBだけど、AC:CB=EO:OBが知りたいという必要性がどうなって出てきたか。
おそらく2組の辺の比が等しいことを言いたいからだと推察する。
もうちょっとでつながりそう。
697 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/06(金) 20:32:42 ID:PniBgS7R.net]: 前>>660
>>292問題。
>>650を理解した。
半直線OAと円周の交点をC,
半直線BAと円周の交点をEとする。
OA=tとおくと、
OB=1/t
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
∠QOB=∠QOCは弧QCに対する中心角だから、
円周角∠QPCの2倍。
∠QOB=2∠QPC──?
線分PQは線分DAの垂直二等分線だから、
∠DPQ=∠QPA
△OPA∽△OBP(相似比t:1,相似条件2組とその間の角が等しいから)だから、
同一中心角を頂角とした二等辺三角形△OPCをはさむと、
∠APBはPCにより二等分され、
∠APC=∠CPB
4つの角を足した∠DPBと、内側2つを足した∠QPAで、
∠DPB=2∠QPC──?
??より∠DPB=∠QOB
△OBQにおいて、
OQ:OB=OE:OB=1:1/t=t:1──?
△PBDにおいて、
PD:PB=PA:PB=t:1──?
??よりPD:OQ=PB:OB
2組の辺の比とその間の角が等しいから、
△PBD∽△OBQ
698 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/06(金) 21:50:30.67 ID:zFeFSDD3.net]: なんか画像横になってるけどこれでしょ
https://i.imgur.com/BbwP4To.jpg
699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/06(金) 22:08:09 ID:kJFoYYVj.net]: 二元体上の既約多項式であって自己相反であるものが無限に存在することを示せ。
ただし、n次多項式f∈F_2[x]が自己相反であるとは、f(x)=f(1/x)x^n を満たすことを言う。
700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/06(金) 23:02:31.70 ID:D66ej/ua.net]: >>663
q>4を二冪として写像f:Fq＼{0}→Fqをf(x)=x+1/xで定める。
S=im(f)＼{0}の各元yについてf(x)=yを満たすFq＼{0,1}の元xが2個ずつ存在するから
2#S=q-2
であり、#S=q/2-1<q-3であるからSにみF4「も属さないb∈Fqがとれる。
bのF2上の最小多項式をP(y)とする。
Q(x)=P(x+1/x)x^n (n=degP)とおく。
代数閉体Ωの元aをf(x)=bの解とすればaはQ(x)の根である。
ここで[Fq(a):F2]はqまたは2qであるからd=[F2(a):F2]は2q,q,2,1のいずれかである。
d=qとなるのは方程式F(x)=bがFqに解を持つ時であり、それはbの取り方に反する。
d=1,2となるときF2(b)⊂F2(a)最小⊂F4上となりやはりbの取り方に反する。
よってF2(a):F2]=2qとなりQ(x)はaの最小多項式であり既約である。
さらにQ(x)の根はP(x)の根βに対して方程式x+1/x=βの解をとるときの全体だから自己相反である。□
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/06(金) 23:17:34.90 ID:D66ej/ua.net]: >>664
訂正q=2^eとしてeは素数にとるでした。
[Fq:F3]=eで以外それに応じてエスパーおながいします。
702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/07(土) 00:01:03.44 ID:Ytx6ZrcL.net]: >>664
実際に構成したのか…お見事

想定してたのは、F2上n次既約多項式全体の集合をS_nとおいて、S_nの元の個数が
(1/n)Σ_(d|n)μ(n/d)2^d
になること、これが無限個のnについて奇数になること、
それを利用してS_n上の対合 φ(f)(x)=f(1/x)x^n が固定点を持つことを示す、という感じでした
703 名前：イナ mailto:sage [2020/03/07(土) 05:25:55.70 ID:zZMNS4lO.net]: 前>>661
>>662(1)(2)(3)の誘導付きだったか。
どんなけ難しいんじゃ、さすがｼ難高思たけど。
704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/07(土) 06:39:41.04 ID:sSvThzV4.net]: ゼロで割ったらアカンどあれほど
705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 02:32:13 ID:V6IMEB5h.net]: >>631 >>639
　三辺の長さa,b,cの連続関数は、
　2変数の連続関数の合成で表わせます。(アーノルド,1958)
　→　ヒルベルト「数学の将来の問題」13番
　しかし微分可能とは言えないので使えるかどうか････

>>652 >>653
　0 < p,q < 2π
かつ
　0 < |p-q| < π
です。
706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 12:27:18.99 ID:3u+TSzyD.net]: 縦n個、横n個のマス目のそれぞれに 1,2,3,...,n の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも、2つの対角線上にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。(2020京大文系　改)

この問題って普通に解けるのかな
707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 12:36:26.83 ID:kig3pL/N.net]: さすがにΣとか使いまくらないと無理じゃね？
708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 15:38:37 ID:bYkUA0JQ.net]: U+2026
709 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/09(月) 17:11:52 ID:otlyxJ1y.net]: 前>>667
>>670
ルービックキューブの白の面に油性の黒で１,２,３のいずれかの数字を書きこむとすると、
コーナーキューブの白の面に黒で１と書いたとき、
これととなりあうエッジキューブの白の面2つあるうちの1つに２と書いたらもう1つは３。
∵コーナーキューブの白の面に３が2つ来たらだめだから。
これで縦に１,２,３、横に１,３,２と並んだとして、
白の面のセンターキューブは必然的に１となり、
一方の対角線は３,１,２ないしは２,１,３と並べられるのに対し、
もう一方の対角線が１,１,１となり、題意を満たさない。
∴3が2でも4でもnでも不可能である。
710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 17:19:16 ID:N/3DceFI.net]: ばかだなぁ
711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 17:51:38.42 ID:E6UD7Wty.net]: >>670
n=1～5について1,0,0,48,480
一般式つくれる？
712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 18:30:15.06 ID:2IyRnfE2.net]: 元の京大の問題はn=4で可能でちゃんと値は求められる
713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 19:02:15.65 ID:0N1NTePA.net]: >>670
０通り、じゃないかな？
714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 19:07:42.46 ID:Wjh2UUFs.net]: 対角線の要素を考えなければ計算しやすくなったりするだろうか？
1,2,12,576,…
715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 19:55:12.97 ID:0N1NTePA.net]: >>676
プログラムのバグを修正したら、n=4で48通りとカウントされた。
716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 20:02:36.35 ID:0N1NTePA.net]: >>679
プログラムに列挙させると、
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 3 4 1 2
[3,] 4 3 2 1
[4,] 2 1 4 3
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 4 3 2 1
[3,] 2 1 4 3
[4,] 3 4 1 2
から始まって
> matrix(B[,counter[48]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 2 1 4 3
[3,] 1 2 3 4
[4,] 3 4 1 2
で終わり。
717 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/09(月) 20:17:16.73 ID:kaHbC0fO.net]: >>670
対角線めんどくせ
718 名前：イナ mailto:sage [2020/03/09(月) 20:28:15.42 ID:otlyxJ1y.net]: 前>>673反省。
n=2,3のときは0通りだけど、
n=1のときが１の1通りとしたら、
n=4のとき対角線はクロスして、なんかやな感じがした。
縦に１,２,３,４、
横に１,２,４,３とすれば可能。
対角線は斜め下から、
４,１,２,３もしくは、
４,２,１,３の2通り。
最初が4通り。
縦の並びが6通りで24通り。
横に2通りで48通り。
n=1,2,3,……に対する通りの数ａ_nは、
ａ_n=1,0,0,48,……
=n^2(ａ_n-1)
縦と横をn通りずつ増やしたら必然的に斜めも増えるかな？
ａ_5はそんなに増えないか。
719 名前：イナ mailto:sage [2020/03/09(月) 20:33:49.52 ID:otlyxJ1y.net]: 前>>682
ａ_5=480なら、
ａ_n=n^2(n-1)ａ_n-1
こうか？
480=5･5･4･48
720 名前：イナ mailto:sage [2020/03/09(月) 20:48:10.94 ID:otlyxJ1y.net]: 前>>683
うまく掛けるか割るかして辺々足すと先頭と尻尾、
ａ_nとａ_4=48ら辺が残るんじゃないか？
ａ_n=(n^3ａ_n-1)-(n^2ａ_n-1)
ａ_n-1={(n-1)^3ａ_n-2}-{{(n-1)^2ａ_n-2}
ａ_n-2={(n-2)^3ａ_n-3}-{{(n-2)^2ａ_n-3}
……
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 21:04:26.54 ID:Wjh2UUFs.net]: 対角線の条件を含まないものは、ラテン方格と呼ばれるらしい
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%86%E3%83%B3%E6%96%B9%E6%A0%BC
ラテン方格の総数についての明示的な公式は、おそらく見つかってなさそう
https://oeis.org/A002860
対角線の条件を含むものは diagonal latin square とか呼ばれてるみたいだけど、
722 名前：こちらの方もますます研究されていなさそうだ []: [ここ壊れてます]
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 22:29:30.36 ID:0N1NTePA.net]: >>680
対角線条件を外すと５７６通り

> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 1 2
[4,] 4 3 2 1
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 2 1
[4,] 4 3 1 2
で始まって

> matrix(B[,counter[m-1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 3 4
[4,] 1 2 4 3
> matrix(B[,counter[m]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 4 3
[4,] 1 2 3 4

で終わり
724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 13:55:01.52 ID:H1fx2jVB.net]: シラミ潰しだとメモリ不足になった。

１億回シミュレーションしてようやく、1個みつかった。

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 5 4 3 1
[2,] 4 3 1 2 5
[3,] 1 2 5 4 3
[4,] 5 4 3 1 2
[5,] 3 1 2 5 4
725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 16:03:21 ID:FoiTVu+g.net]: 深さ優先探索でやれ
726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 16:34:04 ID:BSnoL6Fw.net]: n=5 で対角線も考える場合
□□□□□
□■□■□
□□■□□
□■□■□
□□□□□
上の黒四角のどこにも同じ数字は入らない。
よって次のように固定して良い（重複度120）
□□□□□
□?■?□
□■?■□
□?■?□
□□□□□
四つの黒四角のうちどこか二つに同じ数字が入ると仮定すると、
中央の3x3の正方形に、ある特定の数字が３つ入ることになるが、
その数字が入ることが可能な残る場所は5x5正方形の四隅しかあり得ず、矛盾。
すなわち四つの黒四角に入る数字は全て異なるため、次のように固定して良い（重複度2）
□■□■■
□???□
■???■
□???□
■■□■□
黒四角のどこを決めても他の黒四角も全て決まることがわかる。白四角も同様。
ゆえに重複度は2*2=4.
以上から120*2*4=960通りになる…はずなんだけど>>675はどうやって計算した？
727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 18:57:05 ID:H1fx2jVB.net]: >>687
一つ見つかったから1 2 3 4 5 を各々例えば5 4 2 1 3　に置き換えるとかすれば、120個作れるな。

例
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 4 5 3 1 2
[2,] 3 1 2 4 5
[3,] 2 4 5 3 1
[4,] 5 3 1 2 4
[5,] 1 2 4 5 3

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 5 2 3 4 1
[2,] 3 4 1 5 2
[3,] 1 5 2 3 4
[4,] 2 3 4 1 5
[5,] 4 1 5 2 3

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 4 1 3 5
[2,] 1 3 5 2 4
[3,] 5 2 4 1 3
[4,] 4 1 3 5 2
[5,] 3 5 2 4 1
などなど
728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 19:28:10 ID:2VZd/7KV.net]: サイコロを1が出るまで振って、振った回数を当てるギャンブルがある。何回目にかけるのがベストか？
729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 20:03:41.17 ID:H1fx2jVB.net]: >>691
直感だと１回
730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 20:09:56.15 ID:H1fx2jVB.net]: >>691
１０万回シミュレーションして頻度をグラフ化

https://i.imgur.com/DYbNCto.jpg

sim <- function(){
dice=0
i=0
while(dice!=1){
i=i+1
dice=sample(6,1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 20:31:31.78 ID:vC568XMn.net]: 霊感で一回
732 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/10(火) 20:44:08.24 ID:xGpgpXvb.net]: >>691
n+1回目に始めて1が出る確率は1/6(5/6)^nで減少関数だから1回がベスト
733 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 20:45:37.39 ID:SgyDBxw5.net]: 前>>683
>>691
出るまで引くよりベストがあるなら、
1/6+(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.517746917……
5割超えんのは4回目。
∴4回目がベスト。
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 21:02:06.67 ID:2VZd/7KV.net]: 幾何分布の問題でした。
正解は1回目

解答
https://bellcurve.jp/statistics/course/6988.html
735 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 21:20:33.18 ID:SgyDBxw5.net]: 前>>696
単勝１番は0.166……
一方４番は125/1296=0.09645……
千円賭けて9,645円もらえ
736 名前：るのかと思った。 n回目は5^(n-1)/6^n 下がる一方か。 []: [ここ壊れてます]
737 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 21:40:50.28 ID:SgyDBxw5.net]: 前>>698
サイコロ振ってn回目までに1が出る確率は、
納n=1→n]5^(k-1)/6^k
ですか？

千人に1人が受賞する文学新人賞に応募するとき、何回目に受賞が期待(5割超え)できますか？
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 21:48:58.80 ID:YAq6/mFA.net]: >>699
プログラム組めば解答でるけど、入試とかで出たら解答する方法はあるのだろうか？
739 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 22:07:46.17 ID:SgyDBxw5.net]: 前>>699
>>700
100回目までに1回も受賞しない確率は、
(99/100)^100
100回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^100=0.633967659……
69回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50016297……
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50516134……
見とおしが立った！
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 22:17:33.64 ID:YAq6/mFA.net]: ^69とかどうやって計算するのさ
まぁ出来ない事はないが
741 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 22:22:10.66 ID:SgyDBxw5.net]: 前>>701
693回目までに受賞する確率は、
1-(999/1000)^693=0.500099765……
年間7作。
100年要らない。99年で受賞する。
742 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/10(火) 23:29:31.45 ID:IbQVYwum.net]: 対数表が与えられていれば分かるだろ
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 23:32:59.02 ID:9ehLsruf.net]: 自分で出題し自分で解くという新しい芸風
744 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/11(水) 02:21:24 ID:LbRSBTGq.net]: 前>>703
>>701訂正。
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^70=0.50516134……
745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 11:58:45 ID:t9boZF0q.net]: 類題

1が累計二回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
746 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 12:15:54 ID:avK6eeO9.net]: >>707
2回目
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 13:00:47 ID:t9boZF0q.net]: >>708
残念
748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 13:14:52 ID:1JNnQUXE.net]: 6または7？
749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 13:53:35.94 ID:t9boZF0q.net]: >>710
正解
n回目に賭けて当たる確率は (n-1)(5/6)^(n-2)*(1/6)^2 で、
これが最大になるのはn=6,7の時。
750 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 15:17:40 ID:YQLdoe7U.net]: EをR^N上のボレル集合、AをN×N行列、LをN次元ルベーグ測度とするこのとき
L(A(E))=|detA|L(E)
が成立することを証明せよ
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 15:19:30 ID:3HNckciv.net]: どちらかに賭けても勝率6.7%か
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 15:30:24 ID:hVKkfTiV.net]: >>711
10万回シミュレーションしてみた。

https://i.imgur.com/Mv1Rkfa.jpg

"1が累計m(=2)回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？"

sim <- function(m=2){
pip1=0 # １の目の出た回数
i=0 # サイコロを振った回数
while(pip1 < m){
i=i+1
pip1 = pip1 + (sample(6,1)==1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:15:06 ID:hVKkfTiV.net]: >>711
100回目までを計算してみた。

> sapply(1:100,bg)
[1] 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
[21] 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234
[41] 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354
[61] 360 366 372 378 384 390 396 402 408 414 420 426 432 438 444 450 456 462 468 474
[81] 480 486 492 498 504 510 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594

bg <- function(x,print=FALSE){ # big gambling
f <- function(n,m=x,p=1/6) choose(n-1,m-1)*p^(m-1)*(1-p)^(n-m)*p
nn=1:
754 名前：(10*x) y=optimize(function(n) f(n),nn,maximum=TRUE)$maximum if(print){ plot(nn,sapply(nn,f),bty='l',pch=19) yy=c(floor(y),ceiling(y)) cat(c(f(yy[1]),f(yy[2])),'\n') } return(floor(y)) } sapply(1:100,bg) []: [ここ壊れてます]
755 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/11(水) 16:31:01 ID:LbRSBTGq.net]: 前>>706
>>707
6回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、4回のはずれに対し5通りあるから、
5(5/6)^4(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
7回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、5回のはずれに対し6通りあるから、
6(5/6)^5(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
6回目と7回目は約6.69795953％の確率で2回目の当たりが出るが、これだけでベストかどうかはわからず、前後を調べる必要がある。
8回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、6回のはずれに対し7通りあるから、
7(5/6)^6(1/6)^2=7･5^6/6^8
=0.065119051……
5回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、3回のはずれに対し4通りあるから、
4(5/6)^3(1/6)^2=4･5^3/6^5
=125/1944
=0.0643004115……
9回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、7回のはずれに対し8通りあるから、
8(5/6)^7(1/6)^2=8･5^7/6^9
=5^7/6^6･3^3
=0.0620181438……
∴5回目、8回目、9回目辺りはいずれも6％を超えていて大差ないけど、6回目か7回目に賭けるのがベター。
756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:39:52 ID:hVKkfTiV.net]: >>715
最初の１を除けば等差数列にみえるな。
757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:46:21 ID:hVKkfTiV.net]: 1が累計1000回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？

6*1000-6 = 5994 と 5995回に賭けるのがベストぽいな。

多分、計算名人のイナ氏が検証してくれると思うｗ
758 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 19:32:14.87 ID:hXdWKFHv.net]: 確率pで成功する試行で、n回目の試行でm回成功する確率をP(n)と置くと
P(n)=C[n-1,m-1]p^m(1-p)^(n-m)だから、
P(n+1)=C[n,m-1]p^m(1-p)^(n+1-m)=n/(n+1-m)(1-p)P(n)
1≦P(n+1)/P(n)のとき、1≦n/(n+1-m)(1-p)、n+1-m≦n-np、n≦(m-1)/p=999/(1/6)=6000-6
なので5994または5995がベスト
759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 19:43:41.17 ID:6p8KFnbi.net]: >>707
青チャートに１が三回のバージョンがあった、最近解いた
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 20:02:08.69 ID:hVKkfTiV.net]: >>719
ありがとうございます。
761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 21:54:30.90 ID:UDcjpAEJ.net]: サイコロを全ての目が最低1回出るまで振り続ける。振る回数の期待値を求めよ。
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 22:02:49.23 ID:nurrYDlF.net]: 6(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6)
763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 06:18:47 ID:ggB+4VIO.net]: １万回のシミュレーション

> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=all(1:6 %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.7221
>
764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:47:25.15 ID:NnHS9/Ym.net]: >>723
残念
765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:47:38.94 ID:NnHS9/Ym.net]: >>724
正解
766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:53:40.63 ID:NnHS9/Ym.net]: =6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1
=14.7
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:56:14.15 ID:ggB+4VIO.net]: 100万回で>
k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.70651
768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:18:12 ID:NnHS9/Ym.net]: 最初の1つがでるまでの回数の期待値
=6/6

1つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/5

2つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/4

以下同様

回数の期待値なので、単純に上記の和を求めればよい
769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:42:22 ID:HLafz7hZ.net]: 成功確率pの試行を繰り返すとき、最初に成功するまでの試行回数の期待値は 1/p
これを使って計算する
770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:50:06 ID:+Rsy6sl8.net]: >>730
幾何分布とか名前がついていたような。
771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:52:30 ID:HLafz7hZ.net]: >>731
そうです。ファーストサクセス分布(Fs分布)とも言います。
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 09:07:14 ID:HLafz7hZ.net]: 訂正します。

成功するまでに失敗した回数の分布
=幾何分布
成功するまでの回数の分布
=ファーストサクセス分布

でした。
773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 09:32:1 ]: [ここ壊れてます]
774 名前：6 ID:JYe4Js2p.net mailto: クーポンコレクター問題 []: [ここ壊れてます]
775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 09:58:21.78 ID:z4kbZ3QY.net]: クーポンコレクター問題の一般化

サイコロふって1,2,3が出る事をA、4,5が出る事をB、6が出る事をCとする。
ABCが全て少なくとも一回起こるまでの平均は？
776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 10:36:06 ID:+Rsy6sl8.net]: >>735
1万回のシミュレーション結果

> A=1:3
> B=4:5
> C=6
>
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=any(A %in% pips) & any(B %in% pips) & any(C %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.2577
>
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 11:11:23 ID:+Rsy6sl8.net]: 10万回だと
> k=1e5
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.30537
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 11:35:46 ID:0d6KLd2P.net]: >>736
答えは？
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:02:45 ID:HLafz7hZ.net]: 難しい
これがABC予想というやつか
780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:08:38 ID:ab2iyO1k.net]: これ貼っとこか

0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d

カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。

M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)

同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)

カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
　　　　　 + 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。
781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:34:32 ID:+4qdqMNu.net]: >>740
ありゃ、出ちゃったか。
782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:39:16 ID:p+P9uShJ.net]: a=3/6, b=2/6, c=1/6 として
E=1/a+1/b+1/c-1/(b+c)-1/(c+a)-1/(a+b)+1/(a+b+c)
=2+3+6-1.5-2.0-1.2+1.0
=7.3

ほんとだ。シミュレーションと一致した。
783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 14:11:14 ID:ddMlrvcN.net]: P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=1399/180=7.772222...
784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 15:09:55 ID:U3HOlh4d.net]: >>737
100万回シミュレーション結果　7.3ぽいね。

> k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.300615
785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 17:50:49 ID:ddMlrvcN.net]: >>743　訂正
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=73/10
786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 18:20:32.98 ID:fHSLdc4D.net]: >>745
不正解
787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 21:11:11 ID:ddMlrvcN.net]: >>746
何故>>745だけなんですか
788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:18:49 ID:fHSLdc4D.net]: >>747
計算機に入れてみた
789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:23:54 ID:y8hLNrTr.net]: p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))

main = do
print $ sum [p n| n<-[3..10000]]

-------
0.9999999999999996
790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:28:30 ID:y8hLNrTr.net]: あ、失礼しました。
コード間違ってた。
正解でした。

p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))

main = do
print $ sum [(fromInteger n)*(p n)| n<-[3..10000]]

------------

7.300000000000009
791 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/12(木) 23:26:10.85 ID:V/f7Uy6p.net]: >>735
大学入試ではこの手の出題は御法度
なぜなら終わらないことを試行としてはいけないから
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 23:59:54 ID:y8hLNrTr.net]: >>751
ココ入試レベル縛りないでしょ？
むしろ入試レベルじゃ満足しない人の方が多
793 名前：いのでは？ []: [ここ壊れてます]
794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 00:11:24.13 ID:2BG+LT6A.net]: >>751
ん？終わるでしょ。
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 00:13:44.72 ID:IbYZYELm.net]: 入試レベル

袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数の期待値は？

期待値が範囲外になったので入試では使えないけど。
796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 07:34:24.77 ID:ZlFDi94b.net]: >>754
１０万回シミュレーション

balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
picked=NULL # 取り出された玉の配列
flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag

sim <- function(){
while(flag==FALSE){
i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
balls=balls[-i]　　　　　 # ballsの配列から除く
flag=sum(picked==1)==7　　# 赤玉が全部取り出されたか
}
sum(picked==2) # 取り出された白玉の数を返す
}

k=1e5
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 5.24854
797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 07:51:51.90 ID:ZlFDi94b.net]: >>755
白玉の個数の分布をグラフにしてみた。

https://i.imgur.com/sd8l1wQ.jpg

> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 5.00 6.00 5.25 6.00 6.00

５．２５が答みたいだなぁ。

解析解は賢者にお任せ。
798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 08:23:45.26 ID:l20VjRfO.net]: 〔補題〕
0<p≦1 とする。
確率pで事象Aが起こるような試行を繰返し行なう。
初めて事象Aが起こるまでに試行した回数nの期待値は 1/p.
(略解)
　E{n} = p {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
　= {1 - (1-p)} {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
　= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ････
　= 1/p.
799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 08:35:28 ID:9IyekctU.net]: XiをX≧iのとき1、そうでないとき0と定めてq=1-pとすれば
E(X)
=ΣE(Xi)
=Σq^(i-1)
=1/(1-q)
=1/p
800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 11:33:57.90 ID:l20VjRfO.net]: 最後の赤玉が出たのがn回目とする。(7≦n≦18)
・(n-1)回目までに取り出す白玉/黒玉はn-7個で、　Ｃ[11,n-7] とおり。　(*)
・取り出すn個が決まったとして、順番を入れ替える方法は
　1～(n-1)回目　　(n-1)! とおり
　n回目　　　　　　7 とおり
　(n+1)～18回目　　(18-n)! とおり　〔実際は取出さないが･･･〕
これらをを掛ければ
　Σ[n=7,18] 7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[11,n-7]
　= 11!Σ[n=7,18] 7(n-1)(n-2)････(n-6)
　= 11!Σ[n=7,18] {n(n-1)････(n-6) - (n-1)････(n-6)(n-7)}
　= 11!(18!/11!)
　= 18!　　　　　　(←当然)

次に、n回目までの白玉の数w の期待値を求める。
wを掛けてたすと (*)の所が 6Ｃ[10,n-8] となる。
　Σ[n=7,18] 6･7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[10,n-8]
　= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] 8(n-1)(n-2)････(n-7)
　= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] {n(n-1)････(n-7) - (n-1)････(n-7)(n-8)}
　= (6･7/8)10!(18!/10!)
　= (6･7/8)18!

∴　E{w} = 6･7/8 = 5.25

*)
　7≦n≦12　のとき　Σ[w=0,n-7] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
　13≦n≦18　のとき　Σ[w=n-12,6] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 11:56:03 ID:l20VjRfO.net]: (n-1)回目までの白玉の数wの分布は　　　　　>>756
　P_w = (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),

　Σ[w=0,6] P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] (w+1)(w+2)････(w+6)
　= (6!/13!)Σ[w=0,6] {(w+1)････(w+6)(w+7) - w(w+1)････(w+6)}
　= (6!/13!)(13!/6!)
　= 1.

E{w} = Σ[w=1,6] w･P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] w(w+1)(w+2)････(w+6)
　= (7!/13!)Σ[w=1,6] (1/8){w････(w+6)(w+7) - (w-1)w････(w+6)}
　= (7!/13!)(1/8)(13!/5!)
　= (7･6/8)
　= 5.25
802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 12:21:36 ID:eu0owVym.net]: >>760
正解！
想定解出してもいいけど実はある事に気づくと数行で終わります。
803 名前：どうしよう？ 夜まで待ってみますね。 []: [ここ壊れてます]
804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 12:49:17 ID:l20VjRfO.net]: 白玉の個数wの分布
　0個　　　1個　　　2個　　　 3個　　　 4個　　　　5個　　　　6個
1/1716,　7/1716,　28/1716,　84/1716,　210/1716,　462/1716,　924/1716
　0.06%　　0.41%　　1.63%　　 4.90%　　 12.24%　　 26.92%　　 53.84%
805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:11:02.52 ID:m1uM3VjH.net]: 黒玉は無視
赤玉7個を並べておき、その前後と間の8ヶ所に白玉6個をランダムに入れていく（重複あり）
赤玉の後ろに白玉がいくつあるかを考えるとき、白玉1個につき期待値1/8となるので6個なら6/8=3/4
従ってそれ以外のところにある白玉の個数の期待値は6-3/4=5.25
806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:12:33.86 ID:eu0owVym.net]: >>763
それです。
お見事。
807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:14:30.61 ID:m1uM3VjH.net]: 赤玉の後ろ以外にいくつあるかを考えるとき白玉1個につき期待値7/8なので6個なら6*7/8=5.25でよかったわ
808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 14:10:27.98 ID:qPbrkgFl.net]: >>754
P(k)=Σ[k=0,6]Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=kP(k)=21/4
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 15:04:09.49 ID:eu0owVym.net]: >>766
さすがにダメやろ。
いくら原理的にはコレ計算したらできるって立式を書いても、その計算が最低目で追えるものを見せないと正解とは認定されない。
810 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/13(金) 15:27:09.74 ID:Pzzsy05r.net]: 最小交点数がｎの結び目は何種類あるのか。
811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 16:45:01 ID:l20VjRfO.net]: 黒玉は無視する。(13個で考える)
(最後の赤玉が出る前の) 白玉の数をwとすると、
最後の(6-w)個が白玉、その直前が赤玉、他は不問だから
　P_w = (6/13)(5/12)････((w+1)/(w+8))・(7/(w+7))
　　= (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
あとは >>760 で
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:07:52 ID:qPbrkgFl.net]: >>767
これは、よく分からないがwolframで計算してみたら一致した
偶然一致するとは思えないが？
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:14:21 ID:qPbrkgFl.net]: >>767
P(k)の値(k=0～6)は>>762と一致する
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:20:08 ID:ieVI6aZ4.net]: なるほど
時系列で考えていくと発想が広がりにくいが、並べて考えるとわかりやすいな。
参考になる
815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:34:42 ID:qPbrkgFl.net]: >>767
C[7,6]C[6,k]C[5,j]/C[18,6+k+j]
ここの部分が、赤6、白k、黒jの計6+k+j回玉を取り出したときの確率
分子と分母は、玉に番号を付けた場合の場合の数になっている
最後に1/(12-k-j)で赤を取り出す確率を掛ける
816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:37:26 ID:eu0owVym.net]: >>770
いや、コレを計算できれば答えが出るなんて式たてるだけなら受験レベルの問題ならできて当たり前。
受験レベルで解くという意味ならその中で二十分程度で無理なく実際にできるというところまでやって見せてみて初めて正解。
計算機ならできるでは、受験レベルを超えてるようなやつならともかく受験レベルの問題と銘打って出題されてるんだから、通用しない。
817 名前： 【大凶】 mailto:sage [2020/03/13(金) 22:15:14 ID:OegQL28o.net]: 前>>716
>>754
6(7/8)=5.25
818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 22:39:53 ID:qPbrkgFl.net]: >>774
この問題は難しいから受験で出題されるとは思わない
819 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 01:23:48.44 ID:Qtllr5m8.net]: え？
820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 01:27:44.99 ID:j/jXCgRq.net]: このスレは受験で有効な解答のみ正解という訳では�
821 名前：ﾈかろう []: [ここ壊れてます]
822 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/14(土) 02:19:09 ID:V5zn1x6j.net]: _____∩ っﾞ___
＼　(-_-))　 /|
＼＼υ⌒υ､ /|
￣￣￣￣|υ/|
________｢￣|
九九を習った小学2年生なら解けるんだよな。
前>>775滑り台の角度も摩擦係数も知らない、ましてや静止距離など。
823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:30:01.48 ID:a/1EREm4.net]: こうしたらどうなる？

袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を４個取り出した時点で終了とする。取り出した白玉の個数の期待値は？
824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:32:20.86 ID:uXVhjaRg.net]: 7/8が4/8にかわるだけでは？
825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:40:16.33 ID:a/1EREm4.net]: >>781
6*4/8=3でいいのか。
826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:45:58.12 ID:5sXkLHY6.net]: >>780
P(k)=Σ[j=0,5]4C[7,3]C[6,k]C[5,j]/(C[18,3+k+j](15-k-j)
E=Σ[k=0,4]kP(k)=881/429
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:50:54.02 ID:rjLc6zup.net]: 整数の無限部分集合Aであって、どの互いに異なる a,b∈A をとっても
|a-b| が平方数にならないものは存在するか。
828 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 10:51:33.67 ID:Qtllr5m8.net]: >>754
7/8 * 6=21/4
>>780
4/8 * 6=3
829 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 11:02:50.20 ID:Qtllr5m8.net]: 袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値の期待値は？
830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:17:16 ID:xUS1bw+b.net]: >>784
レピュニット数を元とする無限集合とすればいい
831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:18:04 ID:5sXkLHY6.net]: >>766 訂正
P(k)=Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=Σ[k=0,6]kP(k)=21/4
832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:25:25 ID:5sXkLHY6.net]: >>786
E1=Σ[k=0,6](k-(5-j))P(k)=37/8
E2=Σ[k=0,6](k-(6-k))P(k)=9/2
E3=Σ[k=0,6](k(5-j))P(k)=35/12
E4=Σ[k=0,6](k(6-k))P(k)=35/12
833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:54:58 ID:XpWNijuu.net]: >>786
最初の２つは線形性でいける。
3番目は独立性。
暗算で苦しいのは最後だけだな。
黒玉ひとつに着目して取り出される確率がp=7/8。
よって取り出される個数Xの分布はp=7/8, n=6の二項分布。
X^2の期待値は
E(X^2) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k^2=93/32。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+binomial%286%2Cx%29+%281%2F8%29%5E%286-x%29%287%2F8%29%5Ex+x%5E2+from+0+to+6&lang=ja
834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:02:50 ID:rjLc6zup.net]: >>787
残念。|111-11|=100 は平方数になります
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:05:48 ID:43XV3aTx.net]: おっと脳内で問題変わってたw
E(x(6-x)) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k(6-k)=105/32。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+binomial%286%2Cx%29+%281%2F8%29%5E%286-x%29%287%2F8%29%5Ex+x%286-x%29+from+0+to+6&lang=ja
836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:11:55 ID:CncPdwb0.net]: >>784
2×4^nで桶
837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:16:30 ID:xUS1bw+b.net]: >>791
確かにそうだった
838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 14:53:15 ID:rjLc6zup.net]: >>793
お見事、それがあったか
839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 14:55:15 ID:iH59lf4s.net]: >>784
A = {1, c, c^2, c^3, ････| c>2}

　c^n - c^m = (c^m) {c^(n-m) - 1},
　c^(n-m) > 1, 　　　(n>m)
カタラン予想（ミハイレスクの定理) により
　c^(n-m) - d^2 = 1　となる d >1 は存在しない。
∴　c^(n-m) - 1 は平方数でない。
c^m と c^(n-m) -1 は互いに素だから | c^n - c^m | は平方数でない。

A = {2, 8, 32, 128, 512, ････} も同様？
840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 19:40:53.31 ID:joJxF0LZ.net]: >>789
シミュレーションで近似してみました。

> balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
> picked=NULL # 取り出された玉の配列
> flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
> sim <- function(){
+ while(flag==FALSE){
+ i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
+ picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
+ balls=balls[-i]　　　　　 # ballsの配列から除く
+ flag=sum(picked==1)==7　　# 赤玉が全部取り出されたか
+ }
+ # 取り出した白玉の個数
+ a0=sum(picked==2)
+ # 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値
+ a1=sum(picked==2)-sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値
+ a2=sum(picked==2)-sum(balls==2)
+ # 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値
+ a3=sum(picked==2)*sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値
+ a4=sum(picked==2)*sum(balls==2)
+ return(c(a0,a1,a2,a3,a4))
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> apply(re[2:5,]
841 名前：,1,mean) [1] 4.627792 4.500442 2.904962 2.916039 > c(37/8,9/2,35/12,35/12) [1] 4.625000 4.500000 2.916667 2.916667 []: [ここ壊れてます]
842 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 22:15:14 ID:Qtllr5m8.net]: >>790,792
サンクス
期待値の線形性独立性の問題としてちょうど良さげかと
2項分布の分散がnpqということを使えば最後もそれほど難しくはない
V(X)=E(X^2)-E(X)^2=6(7/8)(1/8)=21/32
E(X^2)=21/32+(21/4)^2=903/32
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-903/32=105/32
843 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 23:06:20 ID:Qtllr5m8.net]: >>784
a1=1
a2=min{x>a1 | x-a1≠n^2}=3
a3=min{x>a2 | x-a1, x-a2≠n^2}=6
…
a[n+1]=min{x>an | x-a1,,,x-an≠n^2}
844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 23:15:16 ID:Ior9sgvQ.net]: >>798
二項分布の分散‥‥そんなのあったあったw
忘却の彼方ww
845 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 23:26:01 ID:Qtllr5m8.net]: >>797
後2問シミュレーションと随分違うな
何故？
37/8, 9/2, 105/32, 105/32
を想定
846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 00:54:39.47 ID:ijdl7Zl+.net]: >>801
しまった。
黒玉iが取り出される事象は独立でない。
取り出される事象の特性関数をXiとして
E(Xi)=E(Xi^2)=7/8
i≠jのときE(XiXj)=7/8×8/9=7/9
なので独立ではない。
よってX=ΣXiとすれば
E(X)=6×7/8=21/4
E(X^2)=6×7/8+30×7/9=343/12
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-343/12=35/12
でした。
吊ってくるorz。
847 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 02:00:29 ID:v+yfiMnW.net]: >>802
あー
2項分布じゃないってことか
こりゃ不味いわめんどくさ
848 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 02:03:24.48 ID:v+yfiMnW.net]: 白黒も独立ではないなあ
こりゃ面倒くさすぎだった
849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 18:11:23 ID:G3nSul4k.net]: シミュレーションでなくて数え上げで計算してみたら>>789が正しそう
850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 19:35:56.64 ID:63iW3LdD.net]: 面倒な問題だな
851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 20:18:17.77 ID:OTl1KJku.net]: >>780
黒は無視して、赤白計13個で総当たりで計算してみた。

TEnr <- function(n,r,zero=0,one=1){ # n(=5),r(=3)を指定して 0 0 1 1 1から1 1 1 0 0までの順列行列を作る
f=function(x){
re=rep(zero,n) # 容れ子
re[x]=one # 指定のindexにoneを代入
re
}
t(combn(n,r,f)) # oneを入れる組み合わせに上記関数fを実行して転置
}
TE=TEnr(13,7,0,1) # 0:白 1:赤　13個の並びの行列 1111111000000 から 0000001111111まで13C7(=1716)個
(x=TE[1000,]) # 1000行目のエントリ

f <- function(x){ # 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 2 赤(1)が4個に達すまでの0の数を返す
i4=which(cumsum(x)==4)[1] # 累積和が最初に４になったindexをi4として
sum(x[1:i4]==0)　　　　　 # i4までの白(0)の個数を返す
}
re=apply(TE,1,f)
sum(re)
length(re)
mean(re)

> sum(re)
[1] 5148
> length(re)
[1] 1716
> mean(re)
[1] 3

答は３
852 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 22:08:54.75 ID:v+yfiMnW.net]: >>806
白単独なら2項分布と同じで
白黒などでも線形なら2項分布で計算しても正しい値になるから
単に答えだけ見るのだと
正しい考察の結果かどうか分からないので
これ>>786の第1，2問は悪問だな
第3，4問だけなら2項分布で計算すると正しい答えにならないからこれは良問
853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:43:58.90 ID:ijdl7Zl+.net]: >>808
いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
二項分布の公式は使えないけど例えば第一問なら黒玉iが取られる事象の特性関数をBi、白玉jが取られる事象の特性関数をWjとすれば一問
854 名前：目の求める期待値は E(ΣWj-(5-ΣBi))=ΣE(Wj)-5+ΣE(Xi)=6×7/8-5+5×7/8=37/8。 コレは独立性いらない。 []: [ここ壊れてます]
855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:48:53.64 ID:cWmNKZcu.net]: n個からr個を選んで得られる順列の総数をP(n, r)とする. 任意のr>1に対して, P(n, r)は平方数でないことを示せ.
856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:53:22.66 ID:ijdl7Zl+.net]: エルデシュktkr
857 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/16(月) 00:26:55 ID:xw7qN3/R.net]: >>809
>いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
それは分かってる
だからこそ2項分布で解いてしまっても間違いが分からないのが悪問ってコトだよ
858 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/16(月) 00:31:06 ID:xw7qN3/R.net]: >>812
>それは分かってる
もともと白－黒と白－白にしたのは独立性に関係しないことを認識しているかどうかを主眼としたかったから（白と黒が独立と思ってた）
独立線形
非独立線形
独立非線形
非独立非線形
で4題にできて上手く行ったと思ってた
悔しい
859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 06:19:30 ID:FQrBPIz6.net]: A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改）
860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 08:51:01.03 ID:CVVw1pKV.net]: >>814
総当たりで計算

# A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改）

library(gtools)
v=rep(1:7,c(3,2,rep(1,5)))
pm=try(permutations(10,10,v,set=F))
tail(pm)
f <- function(x){
n=length(x)
flg=FALSE
for(i in 1:(n-1)){
if(x[i]==x[i+1]){
flg=TRUE
break
}
}
return(flg)
}
(x=pm[10000,])
re=sum(apply(pm,1,f))
library(gmp)
N=nrow(pm)
as.bigq(re/N)
re/N

Big Rational ('bigq') :
[1] 1388609885105903/2251799813685248
> re/N
[1] 0.6166667
861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 09:32:03.26 ID:6K81jsqz.net]: 同じ文字が一度も隣合わないような場合の数を考える。
そのためにCDEFGを全てXで置き換え、『AとBは一度も隣合わない』ような場合の数を考える。
（つまりXだけは隣り合っても良い）

AとBだけに着目した時の並びが
(1)AAABBである時、最低でも AXAXABXB というスペースの空け方が必要。
このAとBで区切られた６つの区間に残りの二つのXが入るから、求める場合の数は 7C2=21.
(2)AABABである時、最低でも AXABAB というスペースの空け方が必要。
６つの区間に残りの四つのXが入るから、求める場合の数は 9C4=126.
…
以上のように計算を進めると、求める場合の数の合計は
2*7C2 + 3*8C3 + 4*9C4 + 10C5 = 966
A,B,Xの並べ方の総数は 10C5 * 5C2 = 2520 であるから、求める確率は
966/2520 = 23/60.
ゆえに元々の問の答えは 1-23/60=0.6166666…
862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 12:00:30.78 ID:ktTTjCEF.net]: 半径1の球面上の4点を一様独立に選ぶとき、その4点の凸包の体積の期待値を求めよ。
863 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/16(月) 18:51:48 ID:thhgKhx4.net]: ／∥__`∥￣￣∥ ｡◯゜
∥∩∩ ∥ □ ∥　　ﾟ｡
（(-_-)∥　　∥______
（っ⌒⌒ﾞ　｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~　∥∩∩╂
＼■υυ■___∥_ _))⌒つ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>817前>>779
凸包の期待値=(4π/3)1^3=4π/3=4.1887902……
864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 02:08:40.83 ID:Rdjv/Owr.net]: >>817
4π/105
865 名前：イナ mailto:sage [2020/03/17(火) 05:19:54.91 ID:jcKSZR9M.net]: てつはう。前>>818最初見た人鉄砲とよう読
866 名前：んだなぁ。 凸包は正四面体なのか、4点を包む最小の球なのか。 []: [ここ壊れてます]
867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 07:53:05.59 ID:Ze9EuNOD.net]: >>820
四面体で１００万回シミュレーションして平均値をだしてみた。

vertices <- function(r=1){
a=runif(2,-pi,pi) # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
theta=a[1]
phi=a[2]
x=r*sin(theta)*cos(phi)
y=r*sin(theta)*sin(phi)
z=r*cos(theta)
c(x,y,z) # 直交座標を返す
}

sim <- function(r=1){
vectors=replicate(4,vertices(r)) # ４点の直交座標
abs(det(vectors[,2:4]-vectors[,1]))/6 # 四面体の体積
}

k=1e6
re=replicate(k,sim())
mean(re)

> mean(re)
[1] 0.1069067
868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 09:10:52.71 ID:Ze9EuNOD.net]: 球の場合（最小球か否かは考慮せず）の１０万回シミュレーションの平均値

library(nleqslv)
Abs <- function(x) sqrt(sum(x^2))
sphere <- function(CR){ # CR:Center,Radius
C=CR[1:3]
R=CR[4]
v4=replicate(4,vertices())
c(
Abs(v4[,1]-C),Abs(v4[,2]-C),Abs(v4[,3]-C),Abs(v4[,4]-C)
)-R
}
sphere(1:4/10) # example

sim2 <- function(){
r=nleqslv(1:4/10,sphere)$fvec[4] # 初期値 1:4/10 c(0.1,0.2,0.3,0.4)
4/3*pi*r^3
}
sim2()
k=1e5
re=replicate(k,sim2())
mean(re)

> mean(re)
[1] 1.8112
869 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 10:56:05.58 ID:jkHV1VNx.net]: >>822
その数値の厳密値を
870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 11:25:44 ID:Xb0J7ujj.net]: >>821
＞# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで

経度緯度を一様分布にしたら極に分布が偏らないかい？
871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 12:05:03.60 ID:k85T9ON2.net]: >>824
グラフにしてみました。
ご指摘どおり、偏りがでました。

https://i.imgur.com/Ix5UvMR.png
872 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 12:52:38.52 ID:jkHV1VNx.net]: >>825
全然ダメだね
873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 13:24:44.75 ID:k85T9ON2.net]: >>824
正方形内で乱数x,yを発生させて　r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外して、北半球と南半球は1/2ずつ分配して乱数発生させてみた。

https://i.imgur.com/bC0gBW7.png

こっちの方が一様分布っぽいな。
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 13:29:03.21 ID:k85T9ON2.net]: >>827
これで10万回シミュレーションして、凸包は球（最小球の考慮なし）としてみると

k=1e5
re=replicate(k,sim3())
mean(re)

> mean(re)
[1] 1.800846

という値がでてきた。
875 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 13:59:08.56 ID:jkHV1VNx.net]: >>827
だめでしょ
xyzで外と原点は切ってそれ以外は正規化はどうかなあ
これでもダメかも知らんが
876 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:27:38.49 ID:jkHV1VNx.net]: θφで面素密度に合わせて乱数にしたら良いと思う
dS=cosθdθdφなのでθという値を取る確率をcosθにする
つまりzθの長方形で乱数発生させてz>cosθは除外してθを取る

dV=dxdydz=rdrdSだから
xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
877 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:30:18.93 ID:jkHV1VNx.net]: dV=drdS
rは余計だったが言わんとするところは分かろう
878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:38:54.16 ID:k85T9ON2.net]: >>830
それを実装してみました。

vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 曲座標から直交座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
vtx=replicate(5000,vertex())
x=vtx[1,]
y=vtx[2,]
z=vtx[3,]
rgl::plot3d(x,y,z, col="slateblue")

https://i.imgur.com/27K33kB.png
879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:54:56 ID:k85T9ON2.net]: >>832
これで4�
880 名前：_発生させて4点を通る球の半径を連立方程式を計算機に解かせて 体積の10万回の平均をとると > k=1e5 > hull=replicate(k,sim()) > mean(hull) [1] 1.160583 という結果になった。 あまり、自信がない。 解析解は賢者にお任せ。 []: [ここ壊れてます]
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 19:33:25.26 ID:Tm+KNX4Y.net]: 半径１の球に内接する正四面体の体積は 8/(9√3) = 0.5132..
>>817の解はこれより小さい（はず）
882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 20:40:37.39 ID:k85T9ON2.net]: >>834

vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 極座標から直座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
で、球の表面から４点を取り出して

# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
で１０万回シミュレーションしたら
k=1e5
tetra=replicate(k,sim())
mean(tetra)
summary(tetra)

こんな結果
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000006 0.0242839 0.0645573 0.0928661 0.1361202 0.5035962

最大値は8/(9√3) = 0.5132..以下になっている
883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 21:18:37 ID:k85T9ON2.net]: こっちの方がx,y,zともに一様分布になっている。

vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}

https://i.imgur.com/xX0mTim.png
https://i.imgur.com/H7hs9w8.png

これでやってみると、四面体の場合
> mean(tetra)
[1] 0.1201118

> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000003 0.0372266 0.0922805 0.1201118 0.1794858 0.5104545
884 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:43:27.26 ID:jkHV1VNx.net]: >>836
>x,y,zともに一様分布
ではダメだろ
球面上に一様に分布するのなら
x座標は√(1-x^2)の確率密度となる
885 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:51:51.42 ID:jkHV1VNx.net]: あーそうか
st正方形でsとtと一様ランダムに点を得て
原点中心の円の外にあれば棄て
内部にあればそのs座標を取ることで
確率密度√(1-s^2)の分布でランダムに取れる
これでxyzをそれぞれ取ってやればいい
あーダメか独立に取ったら球面上に来ないな
じゃあこれでxを取ってyzはcosθsinθでθを一様ランダムに取れば良いや
886 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:53:39.72 ID:jkHV1VNx.net]: y,zは√(1-x^2)cosθ,√(1-x^2)sinθで
887 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 23:09:55.33 ID:jkHV1VNx.net]: >>837
あー間違いか>>836で正しいやスマン
888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 04:39:06 ID:LbXnfiiv.net]: <V> = 1/6 = 0.16667 だったら　>>834 の要求を満足するんだが････
889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 09:41:40 ID:POVuSFx0.net]: 某イベントで紹介された問題の同値な改題

整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について
【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】
を満たすものを全て求めよ
890 名前：イナ mailto:sage [2020/03/18(水) 12:22:31.26 ID:/PMjHzs1.net]: ＼＼＼＼＼`∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`原点を頂点とした三角錘が4つ集まった四面体の体積は、
V=(4/3)Sh
h=1/3(∵球の半径=1)
S=(√3/4)a^2とすると、
底面の中心から底辺までの距離はピタゴラスの定理より、
√{1^2-(1/3)^2}=2√2/3
正三角形の高さは√2
a=√2(2/√3)
=2√2/√3
S=(√3/4)(2√2/√3)^2
=(√3/4)(8/3)
=2√3/3
前>>820
V=(4/3)(2√3/3)(1/3)
=8√3/27
=0.513200239……
ここまではわかった。
1点目が任意で、2点目をうまくとる確率は後回し、3点目をうまくとる確率も後回し、4点目をうまくとる確率は1/2
2点目と3点目は1と1/2のあいだじゃないとだめだと思うから、
3点目をうまくとる確率が2/3で2点目をうまくとる確率が3/4なら、
すべてうまくとる確率は1/4
V/4=2√3/27
=0.12830006……
891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 14:27:28 ID:Tu49ygg5.net]: >>836

数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
x1,x2,x3～Norm(0,1) で r=√(x1^2+x2^2+x3^2)として
(x1/r,x2/r,x3/r)が単位球面の一様分布になるという。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2
Marsaglia(1972)
https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177692644

実装してみた。
図示すると>836と同じく、x,y,zが一様分布して、球面の一様分布しているようにみえる。

vertex <- function(){ # xi ~ Norm(0,1) , xi/√(Σxi^2)
v=rnorm(3,0,1) # 正規分布N(0,1)する３個からなるベクトル v
v/sqrt(sum(v^2)) # v の長さで割る
}

vtx=replicate(5000,vertex())
par(mfrow=c(3,1))
x=vtx[1,] ; hist(x,col='pink')
y=vtx[2,] ; hist(y,col='orange')
z=vtx[3,] ; hist(z,col='darkgreen')
rgl::plot3d(x,y,z, col='slateblue')
par(mfrow=c(1,1))

# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e5
tetra=replicate(k,sim()) # k回のシミュレーション
mean(tetra)
summary(tetra)
BEST::plotPost(tetra)

期待値も分布もほぼ同じ。
> mean(tetra)
[1] 0.119512
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000001 0.0368084 0.0918738 0.1195120 0.1789221 0.5093198

四面体の体積の分布も同様でこんな分布。
https://i.imgur.com/yjsaR3Q.png
892 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 14:45:48 ID:kt0eelvd.net]: >>844
>数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
独立に取ったときの確率密度がe^-(x^2+y^2+z^2)みたいなrのみの関数に比例するからだな
でも>>836でいいと思うし
関数の近似による偏りみたいなのを気にするなら
>>829でも球の外を除外した後の考え方はそのWikipediaのと同じだし
893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 15:06:17 ID:Tu49ygg5.net]: ３次元化座標が球面の一様分布することは、図示してイメージするほかに、どうやったら検証できるのだろう？
球面上の任意の一定面積に含まれる数が一定であるのを確認する方法が思いつかない。

こういうデータが一様分布かどうかは確認できるだろうか
x y z
[1,] 0.4090696 -0.06240392 0.9103669
[2,] -0.1452435 -0.97420684 0.1727002
[3,] -0.1082045 0.53218504 0.8396850
.....
.....
x y z
[4998,] 0.6609463 -0.096259265 -0.7442340
[4999,] 0.5669702 0.758929767 -0.3202661
[5000,] 0.8944673 -0.008481795 -0.4470530
894 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 15:16:53 ID:kt0eelvd.net]: >>846
ｘθとかθφで分割して点の数を数えて面積で割ったら？
十分細かく分割を取っておいて
サンプル点を十分多く取っていけば
大数の法則で
期待した値にぐいぐい集まってくるはずだし
895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 16:16:35.57 ID:Tu49ygg5.net]: >>847
レスありがとうございます。
x,y,z を極形式にして⊿θ　⊿φの範囲にある数が一様かどうかみればいいんだな。
896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 21:31:14.71 ID:Tu49ygg5.net]: 直交座標から極座標のθφを出して、それをグラフにしてみました。

https://i.imgur.com/swLs0hO.png

両端が疎に見えます。
グリッドを作ってそこに含まれる点を数えてその分布をみればいいのかな？
どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
897 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:13:20 ID:HdgduOXs.net]: 辺の長さが
898 名前：全て有理数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ. []: [ここ壊れてます]
899 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:36:55 ID:KrhQLEng.net]: >>848
ΔθΔφの囲む面積はcosθ ΔθΔφだよ
θが南北でΔθの幅の中央の値ね
点の個数をこれで割らないと一定にならない
ΔθΔφが一定ならcosθで割れば良い
900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 01:48:15 ID:mXsnD9nM.net]: >>819
　0.1196797201367540････
901 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 02:03:39 ID:KrhQLEng.net]: >>849
>どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
Δθ=π/n
Δφ=2π/m
つまり球面をnm個の領域に分割した場合（m,n固定）
一様分布ならサンプルN点でその領域内にあるのはNπcosθ/2mn個だろうから
数え上げてM点ならΣ(M-Nπcosθ/2mn)^2/mnがN→∞で次第に0に近づく（大数の法則）ことを見るとか？
902 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 02:07:37.40 ID:KrhQLEng.net]: >>849
>両端が疎に見えます。
横軸がθとすると
縦方向にcosθを掛けて点をプロットすれば良い
それで0≦φ≦cosθの領域内に均一に見えたらOK
903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 08:37:27 ID:XGan5JrS.net]: >>849
これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。
一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。
904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 09:28:52 ID:XGan5JrS.net]: >>854
数理を理解できないままにグラフ化すると

plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）')

https://i.imgur.com/R8TFUG3.png

理解が足りないので断念。
905 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:32:03 ID:KrhQLEng.net]: >>856
θを北極点からのにするなら
sinθ掛けて
906 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:35:45 ID:KrhQLEng.net]: >>855
極に近い方がずっと狭くなるからね
球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという
2000年前から知られている原理からすると
xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる
これは>>836の
https://i.imgur.com/xX0mTim.png
907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:39:50.31 ID:BW7TgbOd.net]: >>850
リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う
908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:52:58.05 ID:XGan5JrS.net]: >>857
θとφの定義は下図に準拠
physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/figures/fig27.png

rm(list=ls())

vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}

# 直交座標を極座標に
c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar
x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3]
r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ
theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値
phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π
2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π
c(theta,phi)
}

n=1e5
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る

vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に
head(v,3) ; tail(v,3)
vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換
tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に

fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す
θ=x[1]
φ=x[2]
0<=φ & φ<=sin(θ)
}
tp1=tp[apply(tp,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して
θ=tp1[,1]
φ=tp1[,2]

plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)')
# グラフ化

https://i.imgur.com/dtO0oRW.png

正弦波が描出されただけのような
909 名前：？ []: [ここ壊れてます]
910 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 10:54:23.75 ID:/Ts8dWJZ.net]: >>859
素晴らしい
正解です
911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:58:32.26 ID:XGan5JrS.net]: >>852
>844のシミュレーション結果に相当する結果ですね。
計算法はさっぱり思いつかないけどｗ
912 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 13:39:41 ID:KrhQLEng.net]: >>860
>正弦波が描出されただけのような？
点の密度が正弦波の下でどこでも一定に見えるでしょ
だから球面上で一様分布だってことだよ
さらに厳密性のために
点の密度が一定かどうかを検定するには
十分細かく分割して
一様分布なら1つの区画内にあるはずの点の個数の平均を計算しておいて
それと実測値との差の2条の平均（分散）でできるんじゃないかなあ
913 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 13:43:34 ID:KrhQLEng.net]: >>860
>正弦波が描出されただけのような？
あれ？
正弦波の0～πの部分と違うな
上に凸なのに両端近くに変曲点がある
なんで？
914 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 14:42:09.63 ID:lL/ZGWr/.net]: 任意の実数に到達できるような関数電卓は存在するか？
関数電卓は、入力は整数で有限個の関数を持っており計算速度は無限大であるとする。
915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 16:40:30 ID:XGan5JrS.net]: 球面に一様分布らしき点を5000個発生させて、
各々の点でθが5°の球冠面にその点以外にどれだけの点が含まれるかを算出させてみた。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Spherical_cap_diagram.tiff/lossless-page1-597px-Spherical_cap_diagram.tiff.png
中央値9 平均9.56 標準偏差3.14という値になった。

> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 7.000 9.000 9.556 12.000 23.000
[1] 3.148086

ヒストグラムだと
https://i.imgur.com/4XaXArc.png

# 球面一様分布 c(x,y,z)
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}

n=5000
vtx=t(replicate(n,vertex())) # n個の点x,y,zをつくる
rgl::plot3d(vtx[,1],vtx[,2],vtx[,3], col="slateblue")

Theta=(pi/180)*5
onCap <-function(x,y,theta){
acos(x %*% y) < theta # ベクトルの内積の逆余弦がtheta未満なら球冠上にある
}

hmonCap<- function(j){
count=0
for(i in (1:n)[-j]){
count = count + onCap(vtx[j,],vtx[i,],Theta)
}
return(count)
}
dots=sapply(1:n,hmonCap)
summary(dots) ; sd(dots)
hist(dots) ; table(dots)
BEST::plotPost(dots)
916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 16:45:37 ID:XGan5JrS.net]: 極に分布が偏る　
# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
だと

> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0 6.0 10.0 18.7 17.0 139.0
[1] 26.50699

標準偏差が大きいので一様とは呼べない。

ヒストグラムを描くとhttps://i.imgur.com/Y8mFUop.png
917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 17:03:25 ID:XGan5JrS.net]: >>863
球面上の面積を一定にしてグリッドを描いてその中の点を数えるプログラムはできそうにないので断念して、
上記のように散布した点の周りに何個の点があるのかを数えるのに変えました。
色々と助言ありがとうございました。
918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 17:07:02 ID:XGan5JrS.net]: >827の
正方形内で乱数x,yを発生させて　r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外だと

Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 9.00 13.00 12.58 16.00 33.00
[1] 5.694825

標準偏差5.69と前二者の間になった。　まあ、直感と合致した感じ。
919 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 19:05:16 ID:KrhQLEng.net]: >>819
計算教えて
920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 19:13:01 ID:uD33tvXq.net]: >>869

単位球の表面積は4π。この球を平面で切り、（切断面を除く）表面積を3πとπに分けるためには、
平面と球の中心の距離はいくらか？　答えは
y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2

球と平面の距離が1/2なら、切断面の半径は(√3)/2

このことから、球面上を一様に分布した点があり、それを、赤道面上に投影すると、
半径(√3)/2の円内に半分の点があり、その外側のドーナツ型の部分に半分の点がなければならない。

>>827　の方法では、半径(√2)/2の円の内外で二分されるため、球面上を一様に分布した点とはならないと思われる。

ではどうすればよいかというと、[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
というのが、シンプルだと思われる。
921 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 19:41:52 ID:KrhQLEng.net]: >>830
>xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
これね
スマン意図伝わってなかったかも知らん
922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 19:49:41 ID:uD33tvXq.net]: >>871
一行の中に、二カ所もひどい間違いしてました。訂正します。
×：y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2
○：y=√(1-x^2)、π=∫[a,1]2πy√(1+(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2
923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 20:45:46.04 ID:XGan5JrS.net]: >>871

[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
でやってみました。

>866とほぼ同じ平均と標準偏差になりました。

　 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1.000 7.000 9.000 9.585 12.000 24.000
[1] 3.193939
924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 21:44:15 ID:uD33tvXq.net]: 球面を、二つの平面、x=aとx=a+hでカットしたときの帯状の曲面の面積は、
カットする位置によらず、幅hにのみ依存します。
>>866はこの性質を利用した方法なので、球面一様分布を生成する正しい方法だと思います。
一方、>>827の方法は、正しくないという指摘です。
925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:30:46.19 ID:nprfnGEx.net]: 数aの問題です。

【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。
　（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。
　（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】　という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。
926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:42:24.02 ID:8QNcFC1P.net]: ↑の問題書く板を間違えてしまいました。失礼しました。
927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:43:46.42 ID:8QNcFC1P.net]: ↑板ではなくてスレです。初心者のため用語がごちゃごちゃになってしまいました。何度も失礼しました。
928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 00:03:06.45 ID:p5Mf5Wxl.net]: >>876
(1)147+86-(300-131)=64
(2)147-64=83 86-64=22から83+22=105
答が理解できない理由が謎。
929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 00:11:49.72 ID:p5Mf5Wxl.net]: >>875
緯度でθ+Δθでやると帯の面積はΔθだけなくてθの値にも依存しますね。
930 名前：イナ mailto:sage [2020/03/20(金) 01:13:13.31 ID:8G8tjVXV.net]: 前>>843
>>817
面白い問題と言うからにはこのぐらいのことは起こらないとね。
半径1の球に内接する正四面体の一辺をaとして、
その体積はa^3√2/12
4つの頂点を無作為にとったとき、凸包の体積Vはちょうど一辺が1の正四面体の体積になるとか。
a=1のときV=√2/12
=0.11785113……
931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 03:34:41 ID:BTmsQo5f.net]: >>881
稀代の馬鹿
932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 05:33:36.40 ID:5OgbmOf4.net]: >>772
面白い問題おしえて～な 31問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/859
933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 05:34:37.30 ID:5OgbmOf4.net]: 誤爆orz
934 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/20(金) 06:59:12 ID:8G8tjVXV.net]: ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`前>>881＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>817 (1/2)^3=1/8=0.125 ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
935 名前：イナ mailto:sage [2020/03/20(金) 07:55:00.46 ID:8G8tjVXV.net]: 前>>885
∵半径1の球表面にA,BをとるときABは0～2の値を無作為にとるが、そのあいだを動かしたときもっともとり得る値はAB=√2
同様にAC=√2,BC=√2
もっともとり得る
936 名前：△ABCの面積は、 △ABC=(√3/4)(√2)^2 =√3/2 △ABCの重心をGとして、 四面体ABCDの△ABCを底面とした頂点Dの高さDGは0も含めいろいろな値を無作為にとるが、もっともとり得る値は、球の中心をOとしてOGと等しい。 つまり四面体ABCDの体積のもっともとり得る値は、3つの稜線のおのおのが直交し長さが1の三角錘の体積と等しい。 []: [ここ壊れてます]
937 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/20(金) 08:04:52 ID:8G8tjVXV.net]: 前>>886訂正。
>>817
四面体ABCD=(1/3)(1/2)･1
=1/6
=0.166……
∵>>886
938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 18:27:18 ID:lC3HBZ24.net]: 888げとー　　(パチスロか?)

>>887
　OA,OB,OCが直交すればOABCの体積は 1/6
　>>841 と一致･･･ (正しくはなかろうが)
939 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/21(土) 10:38:50 ID:gmytXLCF.net]: ∥∩∩ ∥ □ ∥○?∇
（(-_-)∥　　∥Δ>>888
（っ⌒⌒ﾞ　｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~　∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つﾞ
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`球表面にもっともとり得る2点目、3点目を順にとると任意の2点は球の中心に対して直角になる。
前>>887あとは4点目をどうとるか。3点で決まる平面と平行な、球体を切った任意の円盤の中で、もっともとり得る円盤は球の中心を通るやつ。この円盤と球表面の共有線である円周上に4点目があるときの四面体の体積は、稜線が直角な三角錘と同体積。
稜線の長さは球の半径=1だから三角錘の体積(1/3)Shは、
(1/3)(1/2)･1=1/6
=0.166……
あってると思うけど。
940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/21(土) 19:43:53 ID:4jcynL59.net]: >>817
数値積分による解
In[1]:= S[t1_,t2_,p_] := Simplify[Norm[Cross[{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[
t1]}-{0,0,-1},{Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]}-{0,0,-1}]]/2]
In[2]:= d[t1_,t2_,p_] := Simplify[Det[{{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[t1]},{
Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]},{0,0,-1}}]/(2 S[t1,t2,p])]
h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+Integrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/2}]]
In[3]:= h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+In
tegrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/
2}]]
In[4]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]h[d[t1,t2,p]]S[t1,t2,p]/3,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,
Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}]/Integrate[Cos[t1]Cos[t2],{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-
Pi/2,Pi/2}]
Out[4]= 0.11968
941 名前：イナ mailto:sage [2020/03/21(土) 21:28:05.69 ID:gmytXLCF.net]: 前>>889
>>881少数第三位を四捨五入すると、
V=0.12
942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/21(土) 22:05:25 ID:RyI2Q/uv.net]: >>891
少数第1位を四捨五入すると、V=0
943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/22(日) 10:38:19 ID:fXf64y18.net]: >>890 の式を整理して精度を上げてみる
In[1]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]
(2(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2)
/(24Pi Sqrt[(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2])
,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}, WorkingPrecision->12, PrecisionGoal -> 11]
Out[1]= 0.119679720136
944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 03:30:35 ID:uvHIelYA.net]: これってパソコンなしでは解けませんよね？

【富山県最強伝説】新型コロナウイルスPCR検査件数　54人　陽性0人
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1584811696/

ある集団から54人を無作為に選んでPCR検査したら陽性0であったとして
PCR検査の感度0.7　特異度0.9としてこの集団の有病率の期待値と95%信頼区間を求めよ。
945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 11:46:03 ID:MEkmhbu9.net]: >>893
数値的にしか解けないの？
946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 15:15:51 ID:9TP9mpqz.net]: Rの標準ライブラリは抽象代数計算ないから標準ライブラリだけなら数値積分しかできないだろな。
947 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 15:27:44 ID:mjeu1Sts.net]: >>895
前計算してた人�
948 名前：盾驍� 確率密度関数与えられるから あとは体積の計算して平均出すだけだけど 式は書けても計算ができそうもない []: [ここ壊れてます]
949 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 22:00:13.53 ID:GiYqQssY.net]: 半径1の半円の内部に閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ
950 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/23(月) 23:31:07 ID:dYUW2zOC.net]: 前>>891
>>898
閉曲線で囲まれた領域が楕円のとき、
短軸1,長軸1/√2
面積π(1/2)(1/√2)
=π/2√2
周長2π√(1/2)√(1/√2)
=π√√2
面積/周長=1/2√2･√√2
=0.297301779……
蛹で越冬する感じか。
951 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 23:36:36 ID:GiYqQssY.net]: >>899
不正解
それなら半円そのもの
π/(2(π+2))=0.3055...
の方が大きい
952 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/23(月) 23:44:31 ID:dYUW2zOC.net]: 前>>899
>>900半円は直線が入ってるら。不適だに。
953 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 23:53:47.84 ID:HQzFbrB9.net]: >>901
いくらでも半円に近づけるから比が0.3055...に近い閉曲線が描ける
よって>>899は最大値ではない

でも内部だと確かにsupはあってもmaxが無いことになってしまうので>>898は改題しますすみません

「半径1の半円の部分集合として閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ」

ただし、ここで言う半円は{(x,y)∈R^2 | x^2+y^2≦1 ,y≧0}のことです
954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 00:23:44 ID:bCLJqQcJ.net]: l = (sinθ/(1+sinθ))(θ+π/2) + (sinθ'/(1+sinθ'))(θ'+π/2) + cosθ/(1+sinθ) + cosθ'/(1+sinθ') + (π-θ-θ')
S = (θ/2)(sinθ/(1+sinθ))^2 + (θ'/2)(sinθ'/(1+sinθ'))^2 + (1/2)sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + (1/2)sinθ'cosθ'/(1+sinθ')^2 + (π-θ-θ')/2
maximize S/l where θ,θ'≧0, θ+θ'≦π
sssp://o.5ch.net/1mukb.png
955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 01:36:19.20 ID:TnHQvRcs.net]: >>896
レスありがとうございます。
こういうアルゴリズムになるのかと愚考しています。
事前分布を選択する（例. 有病率は高々10%として(0.0.1]の一様分布とする)、
陽性確率は真陽性確率と偽陽性確率の和、
陽性数はこの確率で二項分布、
956 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 02:07:58.87 ID:cfg1hqI2.net]: >>897
具体的には球面上の2変数の座標系stがあって
st平面上の領域Dと球面が(x,y,z)=f(s,t)で対応しているとき
球面上の一様分布を与えるst2変数の密度関数g(s,t)が存在し
dS/4π=g(s,t)dsdt
となる
頑張ればf,gは具体的な式で与えることは出来る
球面上の4点をp1=f(s1,t1)・・・p4=f(s4,t4)で表して
これら4点を頂点とする4面体の体積を表す関数V(p1,p2,p3,p4)を
何とか式で表せはするから
∬∬∬∬V(f(s1,t1),・・・,f(s4,t4))g(s1,t1)・・・g(s4,t4)ds1dt1・・・ds4dt4
を計算したら良いだけ
957 名前：イナ mailto:sage [2020/03/24(火) 02:44:18.74 ID:G+Ea7M2l.net]: 前>>901
>>902
y軸を挟んで(0,0)に中心をあわせた半径1,中心角45°の扇形を1対並べ、それを両サイドから挟むように半径1/2,中心角45°の扇形を並べ、その左右端に半径1/4,中心角45°の扇形を弧が滑らかにつづくようにくっつけて並べ、
(0,1),(±1/√2,1/√2),(±1/2±1/2√2,1/2√2),(±3/4√2±1/4,1/4√2),(0,0)の8点が滑らかにつづくように結ぶ。
点(0,0)を挟む円弧の中心を(0,t),中心角をθとおくと、
正弦定理より、
sinθ=(3/2√2+1/2)/2t
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積をsとおくと、
面積/周長=(π/4+π/16+π/64+s)/{π/2+π/4+π/8+2πt(θ/2π)}
=(21π/64+s)/(7π/8+tθ)
=(21π/64+s)/{7π/8+(1+√2)(3/4)θ}
=(21π/8+8s)/{7π+6(1+√2)θ}
=(21π+64s)/{56π+48(1+√2)θ}
sは扇形半分から三角形を3つ引いて2倍で出る。
θを度数のまま代入してよいかは気になる。
958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 06:11:35.52 ID:MOWxPvKi.net]: >>903

Sの式で (θ/2) の所は (θ+π/2)/2、　(θ'/2) の所は (θ'+π/2)/2　では？

Steinerに習って対称性を仮定しますた。
　l(θ) = 2(θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)} + 2cosθ/(1+sinθ) + π -2θ,
　S(θ) = (θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)}^2 + sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + π/2 -θ.
θで微分して
(d/dθ)(S/l) = {2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ)}{π･cos(2θ) -sin(2θ) -2θ}
　　／{4(1+sinθ)(π/2 -θ +π･sinθ +cosθ)^2},
ここで
　2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ) >0,　　(0<θ<π)
だから
　π･cos(2θ) - sin(2θ) -2θ = 0,
　θ = 0.4827200003884401212939116114621300267
このとき最大値
　(S/l)max. = 0.31702857011315030244270875179918713

これは、半円の値 π/(2(π+2)) = 0.3055077351758286 　　>>900
より大きい。
959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 06:37:12.28 ID:MOWxPvKi.net]: (補足)
　θ｡ = 27.65781870881107747733891798287807ﾟ

(S/l)max. = (小円の半径) = sinθ｡/(1+sinθ｡)
　= 0.31702857011315030244270875179918713

(原点～中心の距離) = 1/(1+sinθ｡)
　= 0.68297142988684969755729124820081287
960 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 07:06:20.74 ID:cfg1hqI2.net]: >>905
まあ1点は固定して考えて良いし
2点目も1点目を通る大円で考えて
その上で一様分布で取れば良い(1次元)
3点目は半球内で一様に取るかな(2次元)
4点目は球上で一様に(2次元)
積分は5変数でよいかな
961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 07:29:45.50 ID:MOWxPvKi.net]: (続き)
　l(θ｡) = 1.48625008894369638043092594627639431
　S(θ｡) = 4.68806356604781887658254751068492774
　S/l = 0.31702857011315030244270875179918713

また、θ=30° のとき
　(小円の半径)　1/3,
　(原点～中心の距離)　2/3,
　l(30°) = 2(3√3 +5π)/9 = 1.472358208
　S(30°) = (3√3 +11π)/27 = 4.645359042
　S/l = (3√3 +11π)/{6(3√3 +5π)} = 0.31695251

θ = 0 では
　l(0) = π+2 = 5.141593
　S(0) = π/2 = 1.570796
　S/l = 0.305507735
962 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 08:31:16.86 ID:JQHHwetB.net]: >>907
素晴らしい
数値としては0.317028570...で正解ですが、
なぜその形だと最大になるのか証明も欲しいところです

ヒントを言うと、あるパラメータ付き作用素の固有値をレイリー商により求めて、極限を飛ばすと(面積)/(周長)になることを利用します
963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 11:07:46.16 ID:v/fj8fVi.net]: >>911
閉曲線が囲む図形は
・凸集合として良い
・尖ってる部分が無いとして良い（つまり閉曲線は微分可能）
・半円の境界に接していない部分は、少なくとも局所的に曲率が等しいとして良い
ことから>>903の形を仮定していいはず
964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 11:31:02.15 ID:MOWxPvKi.net]: >>910
参考
-------------------------------------------------------------
θ　　r(θ)　　　　　l(θ)　　　　　　　S(θ)　　　　　　S/l
-------------------------------------------------------------
0°　0.000000000　　π+2　　　　　　　π/2　　　　　　　0.30550773518
15
965 名前：°　0.205604647　　4.906228243054　　1.544232748162　　0.31474947183 30°　0.333333333　　2(5π+3√3)/9 　　(11π+3√3)/27　　0.31695250990 45°　√2 -1 　　　　4.351158878394　　1.361230101991　　0.31284311606 60°　2√3 -3　　　　4.013126310452　　1.211844939375　　0.30197029588 75°　0.491333810　　3.616783365011　　1.021692472380　　0.28248649954 90°　0.500000000　　π　　　　　　　　π/4　　　　　　　0.25000000000 ------------------------------------------------------------- []: [ここ壊れてます]
966 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 15:59:26 ID:JQHHwetB.net]: >>912
凸なのと、曲率が局所一定はいいと思うのですが、微分可能なのはどうしてでしょうか
967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 18:16:19.81 ID:v/fj8fVi.net]: >>914
尖ってる部分の外角をθとして、こんな風にθ/2の傾きの直線で切った時のlとSの変化を考えると、
切る長さxに対してlの減少は 2x(1-cos(θ/2)) (as x→+0)で近似できるのに対し、
Sの減少は (x^2*sinθ)/2 (as x→+0) で近似できる。
よって、x>0を十分小さく定めれば、より大きい S/l を実現できる。

あと忘れてたけど
・最大の S/l を与える閉曲線が存在する
も言う必要あるな…大したことないかもだけど
o.5ch.net/1muut.png
968 名前：イナ mailto:sage [2020/03/24(火) 18:22:26.05 ID:G+Ea7M2l.net]: 前>>906
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
=3(1+√2)/4
=1.81066017……
t^2=9(3+2√2)/16
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積は等脚台形,鈍角三角形,うすい欠円からなる。
面積=π/4+π/16+π/64+πt^2θ/360°
+(1/4√2+1/4)(1/4√2)･2
+(1/2√2+1/4)(1/4√2)

-t(3/4√2+1/4)
周長=π/2+π/4+π/8+2πt(θ/360°)
=7π/8+{3(1+√2)π/2}(θ/360°)
969 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 18:42:09.43 ID:JQHHwetB.net]: >>915
あーなるほど...
たしかに角を小さく切る、つまり
xを(S/l)(4(1-cos(θ/2))/sinθより十分小さく取ればよりよい比が出るのか
ありがとうございました

Maxの存在ですが、そもそも閉曲線の集合を具体的に言ってなかったんですが、リプシッツ閉曲線の集合とすればおそらく存在は言えます
970 名前：イナ mailto:sage [2020/03/24(火) 19:09:08.84 ID:G+Ea7M2l.net]: 前>>916
面積=π/2
周長=2π/2+2=π+2
とすると、閉曲線はいくらでも半円に近づけられるんじゃないか？
面積/周長=π/(2π+4)
=3.05507735……
971 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/25(水) 17:58:40 ID:YcAWd6vy.net]: 前>>918直線も曲線のうち。
半径1の半円のコーナー2か所を半径rの円弧で円くカットするとき、
半円のカットされる円弧部分に対する中心角をθとすると、
(1-r)sinθ=r
sinθ=(1+sinθ)r
r=sinθ/(1+sinθ)
1-r=1/(1+sinθ)
r^2=sin^2θ/(1+sinθ)^2
面積=π/2-θ+(1-r)rcosθ+πr^2(π+2θ)/2π
=π/2-θ+(1-r)rcosθ+r^2(π/2+θ)
=π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2
周長=π-2θ+2(1-r)cosθ+2πr(π+2θ)/2π
=π-2θ+2(1-r)cosθ+r(π+2θ)
=π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)
面積/周長={π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2}/{π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)}
={(π/2-θ)(1+sinθ)^2+sinθcosθ+(π/2+θ)sin^2θ}/{(π-2θ)(1+sinθ)^2+2cosθ(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ(1+sinθ)}
θで微分し、分子=0とすると、
θ=27.6578187……°
972 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/25(水) 18:54:40 ID:mDuON5Tg.net]: >>919
正解だけどもう>>907で解答出てます
973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/25(水) 20:06:33.01 ID:8IQhbp71.net]: いつもの芸風
974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/25(水) 21:25:32.84 ID:jmNOx22O.net]: >>921
正確がでてからも延々と誤答を連発するのが芸風だったようなｗ
975 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/25(水) 23:17:09 ID:YcAWd6vy.net]: .､､,,
彡`e)⌒～っ
⌒～っ
ιγ)
`彡´
υ´前>>919別解を探ってんだよ。
976 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/28(土) 04:00:21.75 ID:H8zc980P.net]: 単位正方形を面積0.21未満の三角形5つで分割せよ
977 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/28(土) 04:01:22.29 ID:H8zc980P.net]: 正方形は面積の等しい奇数枚の三角形では分割出来ないことを証明せよ
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 05:11:12.48 ID:z8xV0i7R.net]: >>924
正方形を座標 [0,1]×[0,1] におく。
アドホックだけど
周上の3点 A(0,1), B(0.4,0), C(1,0.59) を考えると
線分ABが面積0.2の三角形を切り出す。
線分ACが面積0.205の三角形を切り出す。
線分BCが面積0.177の三角形を切り出す。
残った三角形ABCは面積が0.418だから、AからBCの中点へ線分を引くとこれを面積0.209ずつに等分する。
979 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/28(土) 05:28:13.83 ID:H8zc980P.net]: >>926
素晴らしい
正解です
980 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/28(土) 05:40:49.83 ID:H8zc980P.net]: ちなみに
「正方形を5つの三角形で分割したとき、一番大きな三角形の面積の下限」
については私は答えを知りません

おそらく>>926タイプが最小だと思うけど証明出来ません
981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 08:19:46 ID:BJlezchp.net]: n(=10)人の中から無作為にm(=2)人選んだらその中に少なくとも一人の感染者がいた。
全体で何人の感染者がいるかの期待値を求めよ。

5.345794人であってる？
982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 08:34:15 ID:BJlezchp.net]: >>929
4.324324人かな？
983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 08:40:28.80 ID:BJlezchp.net]: いや、6.5人じゃないかな？
984 名前：イナ mailto:sage [2020/03/28(土) 09:18:03.03 ID:zOKjl8OR.net]: 前>>923
>>929違うと思う。
少なくとも1人ということは、2人中1人か2人が感染している。
2人中1.5人が感染しているから、10人だと、
1.5(10/2)=7.5
∴7人か8人が感染している。
985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 10:07:11 ID:GB5uxKLH.net]: >>924
周上の3点 A(0, 1)　B(√2 -1, 0)　C(1, 2-√2)　を考えると
4つの?が合同になり　(√2 -1)/2 = 0.20710678 > 1/5
残った直角2等辺三角形は (√2-1)^2 = 0.171572875

一番小さい三角形の面積の範囲は 0.1682～0.18 ですかね
986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 10:34:16 ID:BJlezchp.net]: 6.5の計算式

x=0:n # 感染者数:x, 非感染数:n-x
pmf=1- choose(n-x,m)/choose(n,m) # 感染者がx人のときにm人中誰かが感染している確率　＝　1 - (ｍ人全員非感染の確率)
pdf=pmf/sum(pmf) # 確率密度関数化して
(E=sum(x*pdf)) # 期待値を計算
987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/28(土) 11:11:34 ID:BJlezchp.net]: >>932
2人の感染数の期待値1.5に固定ではなくて全体の感染率に依存するんじゃないの？

# p:感染確率
p1=2*p*(1-p) # 一人だけ感染確率
p2=p^2 # 二人とも感染確率
(1*p1+2*p2)/(p1+p2) # 感染人数の期待値

1.5になるのはp=2/3のとき。
988 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/29(日) 02:03:38.99 ID:mVS6e59j.net]: >>931
ツボの中に黒碁石がx個と白碁石が10-x個入っている確率をQ(x)とし、
黒石がx個の下で2個取って黒がn個である確率は、P(n)=C[x,n]C[10-x,2-n]/C[10,2]

P(1)=C[x,1]C[10-x,1]/C[10,2]=x(10-x)/45、P(2)=C[x,2]C[10-x,0]/C[10,2]=x(x-1)/90
だから、P(n=1,2│黒石=x)=P(1)+P(2)=x(19-x)/90
P(n=1,2かつ黒石=x)=Q(x)P(n=1,2│黒石=x)=Q(x)x(19-x)/90
P(黒石=x│n=1,2)=P(n=1,2かつ黒石=x)/納k=1,10]P(n=1,2かつ黒石=k)
=Q(x)x(19-x)/90/納k=1,10]{Q(k)k(19-k)/90}、ここで、Qが定数なら、
P(黒石=x│n=1,2)=x(19-x)/納k=1,10]{k(19-k)}=x(19-x)/660
xの期待値=納k=1,10]x*x(19-x)/660={19*10*11*21/6-(10*11/2)^2}/660=13/2
989 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/29(日) 04:48:03.83 ID:Uzyj10C6.net]: 面白い問題見つけてきました、けっこう簡単だけども。

n次元実数空間上にn個の点P_1,P_2,…,P_nを、それぞれの座標が
P_1:(1,0,0,…,0)
P_2:(0,2,0,…,0)
P_3:(0,0,3,…,0)
…
P_n:(0,0,0,…,n)
となるように取る。
P_1～
990 名前：P_nのn個の点で作られる(n-1)次元空間と原点Oの距離をd(n)としたとき lim[n→∞] d(n) を求めよ。 https://twitter.com/StandeeCock/status/1242443303880028161?s=19 (deleted an unsolicited ad) []: [ここ壊れてます]
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 06:28:49.10 ID:aOvcdyIH.net]: (n-1)次元空間 (超平面とよぶ) は
　x_1 + (1/2)x_2 + ････ + (1/n)x_n = 1,
で表わされる。
この超平面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
　|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
　　≧ {Σ[k=1,n] (1/k)x_k}^2 / {Σ[j=1,n] 1/jj}　　(← コーシー)
　　= 1 / {Σ[j=1,n] 1/jj}
　　= d(n)^2,

d(n) = {Σ[j=1,n] 1/jj}^(-1/2)
　　→ {Σ[j=1,∞] 1/jj}^(-1/2)　　(n→∞)
　　= {ζ(2)}^(-1/2)
　　= (√6)/π
　　= 0.7796968
面白い！
992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 06:44:13.28 ID:aOvcdyIH.net]: (n-1)次元空間 (超楕円面とよぶ) は
　(x_1)^2 + {(1/2)x_2}^2 + ････ + {(1/n)x_n}^2 = 1,
で表わされる。
この超楕円面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
　|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
　　≧ Σ[k=1,n] {(1/k)(x_k)}^2
　　= 1
　　= d(n),

lim[n→∞] d(n) = 1.
面白い！
993 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/29(日) 07:59:53.08 ID:mVS6e59j.net]: >>392
嘘をついてしまい申し訳ありませんでした

＞∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1

Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k<log((n-1)/m)より、(n-1)/m<eのとき、右辺<1よりp(m+1)<pmなので、
(n-1)/e<mのうち最小でないmは不適だから[n/e]+1より大きいmは不適
Σ[m≦k≦n-1] 1/k>log(n/m)より、n/m>eのとき、右辺>1よりp(m-1)<pmなので、
n/e>mのうち最大でないmは不適だから[n/e]より小さいmは不適
（また、p([n/e]+2)<p([n/e]+1)だからΣ[[n/e]+2≦k≦n-1] 1/k<1で、
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k<1+1/([n/e]+1)<2）

Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/kが1未満のときm=[n/e]で、1以上のときm=[n/e]+1で最大だから、
m=[n/e]+[Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k]のとき最大

このときm/nlog(n/m)<pm<m/nlog(n/m)+1/nだから、pm→1/e
994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 08:15:50.52 ID:LkZjh/9V.net]: >>936
レスありがとうございます。
多数決で決める事項ではないけど同じ結論の人がいてほっとしました。
995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 09:33:52.26 ID:WogCQeQk.net]: （謎）

昨日の東京のコロナ陽性者は87人検査して63人陽性であったという。
検査の感度0.6　特異度0.9と仮定して、87人中に感染者は何人と推定されるか？
996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 09:43:27.74 ID:WogCQeQk.net]: キャバクラ客100人から無作為に5人から検体を採取してこの検体を混合攪拌してコロナ検査したところ陽性であった。
100人のキャバクラ客の陽性数の期待値を求めよ
997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 09:45:46.89 ID:WogCQeQk.net]: >>943
401/7　になった
998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/29(日) 10:35:41 ID:WogCQeQk.net]: >>929
ベイズ的に考えると

n人からm人選んだら少なくとも一人の感染者がいたとする。

Ax: x人の感染者がいる(x=0~n)という事象
B:最低一人の感染陽性判定という事象
Pr[Ax|B]=Pr[B|Ax]Pr[Ax]/Pr[B]
Pr[Ax]:事前確率
Pr[B|Ax]:尤度
Pr[B]:周辺尤度(規格化定数)

求めたい期待値Eは
Σ(x*Pr[Ax|B])/ΣPr[Ax|B] = Σ(x*Pr[B|Ax]Pr[Ax])/Σ(Pr[B|Ax]Pr[Ax])
Pr[Ax]がxにかかわらず定数であれば
E=Σ(x*Pr[B|Ax])/Σ(Pr[B|Ax])

事前確率分布を一様分布と仮定しての計算ということだな。
999 名前：哀れな素人 [2020/03/30(月) 08:24:59 ID:7yoNMR67.net]: ↓この問題を初等幾何で解け
【幾何】日本数学オリンピック予選 23
【解説】日本数学オリンピック予選２００９年問４
https://www.youtube.com/playlist?list=PLvkSrMcoOqr14JV0W3n7rMKvKMoYsOTdl
1000 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/30(月) 14:05:17 ID:zICzxEKY.net]: >>946
哀れな素人さん、どうもガロアスレのスレ主です。
面白い問題やね（＾＾；
1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/30(月) 15:45:02.93 ID:7S3Fype3.net]: (1) s²+s=n^4-n² を満たす整数s, nは存在するか。有限組あるならすべて求めよ
(2) 5^c+s²+s=n^4-n² を満たす整数c, s, n は存在するか。有限組あるならすべて求めよ
1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/30(月) 16:33:36.40 ID:uxzDymBq.net]: (1)
　0 = s(s+1) - nn(nn-1) = (s+nn)(s+1-nn),
∴　s = -nn または s = nn-1.　　(無数にある)
1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/30(月) 17:23:18 ID:uxzDymBq.net]: (2)　s(s+1) も nn(nn-1) も偶数だから矛盾。
1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/30(月) 18:15:38 ID:oNI+nbzZ.net]: b(x) は奇関数で、aを実数として
b(x)= ∫[0, x] b(u) du + ∫[a, x+a] b(u) du
を満たす。
(1) b(a), b(2a) を求め、
(2) a_n=∫[0, na] b(u) du とする。a_1= ∫[0, a] b(u) du =1 としてa_nをnを用いて表せ。
1005 名前：イナ mailto:sage [2020/03/30(月) 23:34:16.95 ID:psAYFPlW.net]: 前>>932
>>948(1)
(s,n)=(3,2),(3,-2),
(0,1),(0,-1),
(-1,1),(-1,-1),
(8,3),(8,-3),
(-9,3),(-9,-3)
1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/31(火) 10:49:38 ID:NdCHFxJo.net]: >>951
b(x) = F(x) + F(x+a) - F(a),
ここに　F(x) = ∫[0,x] b(u)du　は偶関数。

b(x+a) = - b(-x-a)
　= - F(-x-a) - F(-x) + F(a)
　= - F(x) - F(x+a) + F(a)
　= - b(x),
よって b(x) は周期2aをもつ。
1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/31(火) 11:05:29 ID:NdCHFxJo.net]: ゆえに
b(x) = ∫[0,x] b(u)du + ∫[0,x] b(u+a)du
　= ∫[0,x] b(u)du - ∫[0,x] b(u)du
　= 0,
1008 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/31(火) 21:32:31 ID:YPumKBAH.net]: 半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか
1009 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/31(火) 22:52:11 ID:0eySXOLI.net]: >>955
x軸の上に、四角を横に三個並べ、その上に同様に三個乗せ、その上に二個を中央に並べる
右下の角は(3/2,0)、中段の右上の角は(3/2,2)、最上段の右上の角は(1,3)だが、
どれも(0,√7/2)からの距離が2を超えないのでここを中心に円を書けばいい
1010 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/31(火) 23:00:32 ID:DSOHFKJI.net]: 前>>952
>>955
円の中心を原点(0,0)として、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形の4つを描き、
あとの4つはそれぞれ4つの象限に正方形の中心を置き、y軸に対して2つが対称になるように置く。
x軸に正対させるんじゃなく斜め45°ぐらいで先に置いた4つの単位正方形にぎりぎり接するか接さないかぐらいで探るとよい。
1011 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 00:03:28 ID:jY1QTlKF.net]: >>955
https://imgur.com/3vsxb6D
完全に手探りで詰め込んでみました. ( Geogebra で作図 )
描画線幅のボヤケで接触してるように見える箇所も実際は離れています.
1012 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 00:49:33 ID:3A39oS9Q.net]: >>956
円の中心を(0,0)とすれば
　(±3/2, -(√7)/2) と (±3/2, 2 -(√7)/2) のなす長方形に６個
　(±1, √3) と (±1, √3 -1) のなす長方形に２個
ですね。
*　2 - (√7)/2 = 0.677124344
　√3 - 1 = 0.7320508
1013 名前： 【大吉】 mailto:sage [2020/04/01(水) 01:12:46 ID:hhUwhMFY.net]: 前>>957
残り4つのうち2つを第3象限と第4象限に斜め45°で入れようとすると、
点(1/2,√15/2-1)と直線y=x-1/2+1-√3+1/2√2の距離は、
|4√2-√30-2√6+1|/4=0.929837703……＜1
予想通り残りの2つを第1象限と第2
1014 名前：象限に入れることができない。 つまり第3象限と第4象限に入れようとした2つの単位正方形を最初に置いた2つの単位正方形の1つの頂点(-1,1-√3)および(1,1-√3)辺が接したままその点を支点に円弧側に傾けて、残り2つの単位正方形が入るようにする。 最大限傾けると点(1/2,√15/2-1)と第4象限で傾けた単位正方形の最も近い辺の距離は1を超えるはず。 点(1,1-√3)から√5/2の距離にある単位正方形の2つの頂点が決まり次第お伝えしたい。 []: [ここ壊れてます]
1015 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/01(水) 03:55:57.89 ID:MHhYU/kR.net]: 微分四次元
1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 08:37:36.27 ID:+rNOlT7Q.net]: 一辺の長さ3の正方形を、半径1の円5つで被覆することは可能か
1017 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 09:38:01.06 ID:3A39oS9Q.net]: 上から √3 =1.7320508 の部分を1×√3の長方形に三等分する。
下から (√7)/2 = 1.3322875 の部分を 3/2 × (√7)/2 の長方形に二等分する。
各長方形は、対角線の長さが2だから、半径1の円で被覆することが可能。
1018 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 09:48:47 ID:3A39oS9Q.net]: 〔問題〕半径Rの円板上に、直径1の円板何枚かを互い
に重なる部分が無いように置きたいのですが、最大何枚
まで置けるでしょうか。
・R=2 の場合。

数セミ増刊「数学の問題　第(3)集」日本評論社 (1988)
●104
(日本MOでも使われたらしい。)
1019 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 13:03:11 ID:YULTPcko.net]: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_circle
1020 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 14:00:24 ID:ZUQmzTxS.net]: 大小2つの円を用意したら結果はどうなるかな
1021 名前： 【末吉】 mailto:sage [2020/04/01(水) 17:55:30 ID:hhUwhMFY.net]: 前>>960方針変更。最初の4つは同じ。傾き45°は変えない。
>>955
5つ目～8つ目の単位正方形を第1象限～第4象限に振り分け、y軸に対して2つを対称に、かつ辺がy=xまたはy=-xと平行になるように置くと、5つ目の単位正方形の頂点の座標は、
(2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2-√2/2+√15/4-√3/2),
(2+√2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2+√2/2-√15/4-√3/2)
6つ目,7つ目は第2象限,第3象限に置くとして8つ目の単位正方形を5つ目の単位正方形とぴったりくっつけたままy軸方向に寄せると、
y=x-3/2-√2+√15/2とx=1/2の交点は、
(1/2,-1-√2+√15/2)
対角の頂点は、
(1/2+√2,-1-√2+√15/2)
x^2+y^2=(1/2+√2)^2+(-1-√2+√15/2)^2
=1/4+2+√2+15/4+3+2√2-√15(1+√2)
=9+3√2-√15-√30
=3.89243177……＜4
∴半径2の円に単位正方形が8つ入る。
1022 名前： mailto:sage [2020/04/01(水) 19:46:59.37 ID:hhUwhMFY.net]: 前>>967
最初に描いたy軸を挟んで円弧と接する2つの単位正方形の第3象限のを①,第4象限のを②,次に描いた原点を含むのを③,y軸の+方向で円弧と2か所で接するのを④とすると、③と⑧が接さない可能性がある。
つまり5つ目と8つ目を接したまますべらせつつ右回転、6つ目と7つ目を接したまま左回転し、円内に納める。
名づけて八星天道虫作戦。
1023 名前： 【ぴょん吉】 mailto:sage [2020/04/01(水) 22:58:17 ID:hhUwhMFY.net]: 前>>968
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形?、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形?を描き、
5つ目の単位正方形?を第1象限に、
6つ目の単位正方形?を第2象限に、
?と?がy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形?を第3象限に、
8つ目の単位正方形?を第4象限に、
?と?がy軸に対して線対称となるように置き、
?と?の1つの辺をぴったりくっつけ、
?の頂点の1つが円と接するようにし、
?と?の1つの辺をぴったりくっつけ、
?の頂点の1つが円と接するようにする。
∴方法は示された。
題意にはないが、?～?の頂点の座標を決めることもできる。
1024 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/02(Thu) 11:17:43 ID:4wgrunsr.net]: いま、ある人がコロナに感染しており、n個のコロナウイルスを持っている
コロナは一時間ごとに増減し、確率pでa個増え、1-pでb個減るとする(0<p<1、aとbは自然数)
また、コロナはS個以下になれば生存確定、T個以上になれば死亡確定とする
生存確率の範囲は？
Tを正の無限大に飛ばしたときの生存確率の範囲は？
1025 名前：イナ mailto:sage [2020/04/02(木) 22:45:30.34 ID:RYC4Exv5.net]: 前>>969別解。
>>955
①②③はそのまま、④を原点のほうに寄せ③にくっつけ、⑤と⑧および⑥と⑦をそれぞれ縦に並べ③④を挟みこむようぴったりつける。
⑥④⑤
⑦③⑧の6つはy軸に対して左右線対称なので、
⑤の右上の座標(3/2,3-√3)が円内にあれば単位正方形8つはすべて円内にある。
(3/2)^2+(3-√3)^2=9/4+9-6√3+3
=57/4-6√3
=14.25-6･1.7320508……
=14.25-10.3923048……
=3.85……＜4
∴狐につままれた。
1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 09:50:21 ID:mgebV0rK.net]: 半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つと
（2/3)×√3 の長方形を１つ詰め込むにはどうしたらよいか
1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 11:41:06.15 ID:iElvV83p.net]: >>954
定数関数って奇関数じゃなくね
1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 12:03:01 ID:y55gm0o6.net]: >>972
こんな感じの詰めかたで半径1.9991425…くらい
imgur.com/IiCbKrV.png
1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 12:21:32 ID:mgebV0rK.net]: 正解です！
(√3）+ (√15)/2 - 3 = 0.66854248
√(8√7 - 7）- 2 = 1.763776094
まではいけそうです。
1030 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 12:40:43 ID:mgebV0rK.net]: 充てん率で言えば　9.1547/4π = 0.72851
（単位正方形8つの 2/π = 0.63662 より向上)
1031 名前：イナ mailto:sage [2020/04/03(金) 13:38:00.93 ID:1jf5ZUTP.net]: 前>>971
>>972
①②③まで同じ。
④はy軸切片2の位置ら辺の周に頂点をひっかけて待つ感じ。
⑤⑥⑦⑧を第1,2,3,4象限に配置し片側に寄せると、⑤または⑥が円周につかえるためやや内側に押され、⑤と⑥が頂点で④のとなりあう2辺と接する形になる。
たとえば左寄せで⑤と⑧の縦の面をあわせて横幅2/3,縦に√3の辺が来るようにすると、
右上の頂点(11/3-√3,1/2)の座標から、
(11/3-√3)^2+(1/2)^2=3.99273852……＜4
なんとか円内に入る。
④の左上辺または右下辺を傾ける角度は、
30°～45°で円内収納の可能性がある。
たとえ数値的にむりでも右端の長方形にわずかに余裕があった。④は⑤と⑥のあいだに楔状に押しこめる可能性がある。
1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 14:40:16 ID:mgebV0rK.net]: 半径2の円内に交わりのない √(5/8)×√(3/2) の長方形を１0個詰め込むにはどうしたらよいか
1033 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 15:08:56 ID:y55gm0o6.net]: >>978
a^2+((3/2)b)^2＝(2a)^2+b^2＝2^2
を解いてa＝√(5/8),b＝√(3/2)って係数を得たということね
1034 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/04/03(金) 16:30:03 ID:1jf5ZUTP.net]: 前>>977
>978
横長に下から1つ2つ3つ重ねると上面は、
3√(5/8)-√[2^2-{(1/2)√(5/8)}^2]=0.411159852……
残り4つを半円より小さな上のエリアに、
￥マークのように2つの長方形をソの字に置き、その上に2つを□に置くか、
または羊の異体字のように横向きの長方形を上下に離して置き、そのあいだに左右からハの字に楔状につっこむ。
1035 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 17:58:04 ID:1+NoQgUm.net]: x軸の上に長方形を寝かせて三個並べる
その上に中央に寝かせて二個並べる
下段の右上の角は(長辺の長さ×3/2,短辺の長さ)
上段の右上の角は(長辺の長さ,短辺の長さ×2)
どちらも原点からの距離が4なので原点中心の半円に五個はまる
1036 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/03(金) 21:39:14.25 ID:mgebV0rK.net]: 正解です！
充てん率で言えば　9.68246 / 4π = 0.770505
半径2の円内に交わりのない (2/√13)×(8/√13) の長方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか
1037 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 22:04:19.35 ID:1+NoQgUm.net]: 長方形を寝かせて�
1038 名前：Z段重ねたものを作り、両サイドの中央に一個づつ立たせてくっ付ける 重ねた長方形の角までの距離=(長辺÷2)^2+(短辺×3)^2=2^2 横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2 []: [ここ壊れてます]
1039 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 22:07:16.00 ID:1+NoQgUm.net]: >>983訂正
×　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2
○　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(長辺÷2)^2=2^2
1040 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 22:10:18.16 ID:1+NoQgUm.net]: また間違えた距離じゃなくて距離^2だった
1041 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/04(土) 01:09:41 ID:hLQ36is2.net]: ほぼ正解です！
充てん率で言えば　9.846154 / 4π = 0.783532

□よりも細長い方が収まりがいい（?)
1042 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/04(土) 02:01:24 ID:pmTrKGmv.net]: 正直あまり数学って感じでもないけど

ある日の午前中に雪が降り始めた。
除雪車が正午ぴったりに動き出し、
1時間で2マイルの除雪を完了し、
さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。さて雪が降り始めた時刻は？
ただし、その日雪が降り始めるまでの積雪は0、雪は一定の速さで降り積もり、除雪車が単位時間あたりに処理する雪の体積は常に一定とする。

上記のようなSnow plow problemの派生として

それでは2時間後の加速度が1時間後の半分になる場合、雪が降り始めた時刻を数値的に求める場合にあると便利な数表はなにか？理由付きで。

電卓等は使わないものとする
1043 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/04(土) 10:39:27 ID:hLQ36is2.net]: >>986
　√(8/17) × 3√(8/17) の長方形を7つ詰め込むと充てん率が
　9.882353 / 4π = 0.7864
となり、正方形の内接円の充てん率 (π/4=0.7854) を超える。
とくに意味はないが････
1044 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/04(土) 11:47:35 ID:hLQ36is2.net]: 正午よりc時間前に雪が降り始めたとする。
積もった雪の高さは t+c に比例し、
除雪車の速さv(t)は t+c に反比例する。
　v(t）= k/(t+c),
正午からt時までに除雪車が進んだ距離は
　∫[0,t］v(t')dt' = ∫[0,t] k/(t'+c）dt'
　= k･log{(t+c)/c}

題意により、
　k･log{(c+1)/c｝= 2マイル
　k･log{(c+2)/c｝=（2+1)マイル
　　
∴ 3log{(c+1)/c｝= 2log{(c+2)/c},
∴（c+1)^3 = c(c+2)^2,
∴ c =（√5 -1)/2 = 0.618034（時間）= 37.082（分)

加速度は -k/(t+c)^2 だから
　1/(c+2)^2 = 1/{2(c+1)^2},
　0 = 2(c+1)^2 - (c+2)^2 = cc -2,
　c = √2,

雨は夜更け過ぎに　雪へと変わるだろう
Silent night,　Holy night
∴　平方根表。
1045 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/04(土) 11:55:52 ID:S2S4Ftgc.net]: 時間当たり除雪量をJ、時点tのときの雪の高さをH(t)=(t+a)/hとし、除雪車の位置をx(t)
除雪車は短い時間dtでdx進み、その間少しの雪dxH(t)を除雪するから、dtJ=dxH(t)
x(t)=∫dx=∫dtJ/H(t)=Jh∫dt/(t+a)、x(t)-x(0)=Jhln((t+a)/a)だから、
x(1)-x(0)=Jhln((1+a)/a)=2、x(2)-x(0)=Jhln((2+a)/a)=3、3ln((1+a)/a)=2ln((2+a)/a)
((1+a)/a)^3=((2+a)/a)^2、a^2+a-1=0より、aはフィボナッチ数(√5-1)/2
雪は正午から(√5-1)/2時間前に降り始めた

dx(t)/dt=Jh/(t+a)、ddx(t)/dtdt=-Jh/(t+a)^2だから、-Jh/(2+a)^2=(-Jh/(1+a)^2))*1/2と置くと、
(2+a)^2=2(1+a)^2、a^2-2=0、なので√2時間前

平方根表が必要
1046 名前： mailto:sage [2020/04/04(土) 19:39:42.47 ID:xmNOPA8p.net]: 前>>980
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形①、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形②、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形③、
(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)を頂点とする単位正方形④を描き、
5つ目の単位正方形⑤を第1象限に、
6つ目の単位正方形⑥を第2象限に、
⑤と⑥がy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形⑦の中心を第3象限に、
8つ目の単位正方形⑧の中心を第4象限に、
⑦と⑧がy軸に対して線対称となるように置き、
⑤⑥⑦⑧がそれぞれ1つの頂点で円と内接するように置けないでしょうか？　もし2つ3つ3つと積み重ねて
1047 名前：正対させる以外の置き方がないとしたらちっとも面白い問題じゃないです。 []: [ここ壊れてます]
1048 名前：イナ mailto:sage [2020/04/05(日) 14:29:03.18 ID:kyAykWoL.net]: 前>>991
>>955予想。
①②をy軸に対して線対称にハの字型に置き、①の右下辺の傾きを4/3、②の左下辺の傾きを-4/3としy軸上で接するようにする。
③は原点付近に中心を置き正対させ、④をy軸に対して45°回転させ頂点を(0,2)と(0,2-√2)に置く。
⑤～⑧の中心を第1～4象限に置き、
⑤⑧は②と同じ傾きにし、⑥⑦は①と同じ傾きにすると、
①,②,④～⑧をそれぞれ1つずつの頂点で円に内接するように置くことがぎりぎりできないかと思う。
1049 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/04/05(日) 22:22:31 ID:kyAykWoL.net]: 前>>992
>>955別解。
??をy軸に対して線対称に置き、?の左上辺の傾きを3/4,左下辺の傾きを-4/3にする。
?の中心を原点に配置しx軸,y軸に正対させ、?をy軸に対して45°回転、頂点を(0,2),(0,2-√2)に配置する。
?の左上辺と右下辺の切片の差は7/5。
???の左上辺の傾きを3/4,
???の右上辺の傾きを-3/4にあわせ、
?をめいいっぱい上げて?の左端のx座標が1/2より大きく、かつ右端の座標の2乗和が、
x^2+y^2≦4の範囲にあればいい。
?の左端の頂点を?の右下辺よりわずかに下にとるには、
y=x+2-√2に0.4を代入し、
y=0.4+2-√2=0.985786438……
(0.4,0.98)とすると確実に?と?は離れていて、
?の上端の座標は、
(0.4+0.8,0.98+0.6)=(1.2,1.58)
1.2^2+1.58^2=3.9364＜4
?の右端の座標は、
(1.2+0.6,1.58-0.8)=(1.8,0.78)
1.8^2+0.78^2=3.8484＜4
?の下端の座標は、
(0.4+0.6,0.98-0.8)=(1,0.18)
?の右下辺および?の左上辺の方程式は、
y=3(x-1)/4+0.18
?の左端の座標を(0.56,-0.15)とすると、
?の右端の座標は、
(0.56+0.8+0.6,-0.15-0.8+0.6)
=(1.96,-0.35)
1.96^2+(-0.35)^2=3.9641＜4
?の左下辺および?の右上辺の方程式は、
y=-4(x-0.56)/3-0.15
?の左端はy軸に接するといいから、?の上端のx座標0.8を代入し、
?の上端の座標は(0.8,-0.47)
?の左端の座標は(0,-1.07)
?の下端の座標は(0.6,-1.87)
0.6^2+(-1.87)^2=3.8569＜4
?の右端の座標は(1.4,-1.27)
1.4^2+(-1.27)^2=3.5729＜4
∴単位正方形8つを真ん中の1つ以外をすべて正対させることなく半径2の円内に納めることができる。
1050 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/06(月) 03:03:42.48 ID:39Ei0lMN.net]: [0,1]上の無理数xに対して、
xの連分数展開を[a_0;a_1,a_2,...]とする.

p_n(x):= [a_0;a_1,a_2,...,a_n]としたとき、

極限lim(n→∞) (x-p_n(x))^(1/n)を求めよ.
1051 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/04/07(火) 03:01:26 ID:St9xu4sq.net]: 前>>993訂正。?の左上辺と右下辺の切片の差は5/4。
>>955
単位正方形??の頂点を(0,-1.07),(±0.6,-1.87),(±1.4,-1.27),(±0.8,-0.47)
単位正方形?の頂点を(-0.5,0.5),(-0.5,-0.5),(0.5,-0.5),(0.5,0.5)
単位正方形?の頂点を(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)
単位正方形??の頂点を(±0.4,0.98),(±1,0.18),(±1.8,0.78),(±1.2,1.58)
単位正方形??の頂点を(±0.56,-0.15),(±1.16,0.95),(±1.96,-0.35),(±1.36,0.45)にする。
1052 名前：哀れな素人 [2020/04/07(火) 08:37:11.77 ID:D9Jvum39.net]: ↓この問題を初等幾何で解け

和算【数学検定1級過去問】
https://www.youtube.com/watch?v=QSoet6pQ3Nc
1053 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 12:33:36.96 .net]: 次スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/
1054 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/07(火) 20:30:26.14 ID:ZlV3F5Vq.net]: >>996
乾円の直径をD
坤円の直径をd
水平線の長さを 2L
とする。
⊿の相似により D：L=L：d
水平線の長さ L = √(Dd)　… (1)

Dをδだけ変えたとき、
・乾円の面積は（πD/2)δ 変わる。
・黄色部分の面積は（2L - πD/2)δ だけ変わる。
黄色部分の面積が最大となるとき
　2L - πD/2 = 0　…　(2)
(1)(2)からLを消すと
　d = D(π/4)^2,
1055 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/08(水) 00:20:58 ID:ZohoKp5e.net]: >>987のまねをしてみた
雪の降り方は一定ではなく次第に衰え、降り止んで以降は溶け出すものと変更する
降り始めてからt時間後の時点での雪の積もる速度はcos(πt/3)とする(0<t<4)
1056 名前：正午前に雪が降り始めて正午から除雪車を稼働させる 雪が降り始めて一時間半後の時点で一マイルの除雪ができた さらにその後30分で一マイルの除雪ができた 雪が降り始めた時間を知るにはどんな表が必要か []: [ここ壊れてます]
1057 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/08(水) 01:38:31 ID:8k14h8i+.net]: =1000+1000-1000*1000/1000
1058 名前：1001 [Over 1000 Thread .net]: このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
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1059 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]]: ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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