- 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 22:30:53.03 ID:VUrdGB1K.net]
- >>280
でけた。上限は1。
全域で調和的な配列aが、ある α<1 について a[X]=O(|X|^α) を満たしていると仮定。
((Δ^n)a)[0,0] における a[-n+p+q,p-q] の係数c_n[p,q]は
((1+x)(1+y)/4)^n における (x^p)(y^q) の係数と一致。つまり
c_n[p,q] = 4^(-n)･C(n,p)･C(n,q). （ただし大文字のCは二項係数）
よって、 (Δ^(2n+1)a)([1,0]+[-1,0]-[0,1]-[0,-1]) の係数の絶対値の総和は
Σ_(p,qは整数) 4^(-n)･|C(2n+1,p)-C(2n+1,p-1)|･|C(2n+1,q)-C(2n+1,q-1)|
=4C(2n+1,n)^2
=K/n･(1+o(1)). （ただしKはある定数）
であるから、
|a[1,0]+a[-1,0]-a[0,1]-a[0,-1]|
≦K(1+o(1))･2^α･n^(α-1)→0 (as n→∞)
より a[1,0]+a[-1,0]=a[0,1]+a[0,-1].
これと Δa=a より a[1,0]+a[-1,0]=2a[0,0].
同様にして、任意にjを固定した時に a[i,j] が等差列をなすことがわかるが、|a[X]|=o(|X|) より a[i,j] はiに依存しない。
同様にしてjに依存しないこともわかるため、aは定数。
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