- 1 名前：１３２人目の素数さん [2010/02/13(土) 08:38:09 ]
- むやみに「〜の確率は？」という質問をすると、
白痴呼ばわりされて無用の反発を招いてしまいます。
よって新スレ立てたり、他の質問スレに書くよりも、
なるべくこちらにお願いします。
前スレ
こんな確率求めてみたい その1/7
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247130000/
１：science.2ch.net/test/read.cgi/math/984557114/
２：science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1029400897/
３：science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1109546954/
４：science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1154790000/
５：science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1214010000/
６：science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1234080000/
- 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/21(日) 20:21:08 ]
- ＞＞それとも基準封筒がAであるなら(a-ε)〜(a+ε)に基準金額が必ず含まれるの？
＞yes。
そうすると
「Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率」
はAが基準封筒になる確率と同じだよね？
Aが基準封筒になる確率をP(A)とすると
Aが基準封筒になる確率はP(A)
Ａが基準封筒であるときに基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率はP(X) = 1
Ａが基準封筒になり、かつ、Ａが基準封筒であるときに基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率はP(A)・P(X)
Ａが基準封筒になり、かつ、Ａが基準封筒であるときに基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない確率はP(A)・(1-P(X)) = 0
P(A)・P(X) = P(A) で
Aが基準封筒になる確率、と
Ａが基準封筒になり、かつ、Ａが基準封筒であるときに基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率、が
同じになる
- 446 名前：355 mailto:sage [2010/02/21(日) 22:37:53 ]
- >>445
ああごめん。確かにそうなるとおかしい。
>>444 で書いた >>443 への回答が間違ってた。
＞実際に見たのは(a-ε)〜(a+ε)でしょ？
yes。
＞んで基準封筒がAであっても(a-ε)〜(a+ε)に基準金額が含まれない可能性もあるんだよね？
no→見る前には可能性があった、見た後にはなくなった、と過去形で。
＞それとも基準封筒がAであるなら(a-ε)〜(a+ε)に基準金額が必ず含まれるの？
yes→どちらもあり得たが、見た後には確証される、と。
これでどこまで戻れるかな。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 00:09:15 ]
- >>446
＞no→見る前には可能性があった、見た後にはなくなった、と過去形で。
＞yes→どちらもあり得たが、見た後には確証される、と。
無くなった、確証される、として扱うなら
出るはずであった確率も同時に扱うとおかしな事になる
サイコロを振った。目が悪くてよくわからなかったけど偶数である事は確かだ
サイコロの目が6である確率は？
という問題に対して奇数の可能性はあるのか、問えば
振る前は可能性があったが、振った後にはなくなった
必ず偶数なのか、問えば
どちらも有り得たが、見た後には確証される
これは間違い無いと思う
ただこの場合は
偶数が出る確率は1/2、6が出る確率は1/6、だから
偶数が出る、かつ、偶数が出た時、出た目が6である確率は1/2×1/6
とやるわけにはいかない
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 00:12:30 ]
- >>447
割り算だな。
で、1/3
- 449 名前：355 mailto:sage [2010/02/22(月) 00:43:59 ]
- >>447
＞ただこの場合は
＞偶数が出る確率は1/2、6が出る確率は1/6、だから
＞偶数が出る、かつ、偶数が出た時、出た目が6である確率は1/2×1/6
＞とやるわけにはいかない
それがおかしいのは、「偶数が出た時、出た目が6である確率は 1/6」がおかしいからだよ。
それは条件付き確率だから 1/3 が正しいじゃん。正しい方で計算すると 1/2×1/3=1/6 でＯＫ。
「Ａが基準封筒になる」かつ「Ａが基準封筒であるときに基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る」確率
を考えると、後ろの
「Ａが基準封筒であるときにＡが (a-ε)〜(a+ε) に入る」
が条件付き確率だからおかしくはないよ。
でもって、「Ａが基準封筒になる」という事象が起きて、
「Ａが基準封筒であるときに基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る」という事象が起きたら
「Ａを見たら(a-ε)〜(a+ε) に入ってました」のストーリー説明になるよね。
「Ａが基準封筒になる」という事象が起きて、
「Ａが基準封筒であるときに基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない」という事象が起きたら
「Ａを見たら(a-ε)〜(a+ε) に入ってました」のストーリー説明にはならない。
- 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 01:44:30 ]
- >>449
『ここからは「Ａが (a-ε)〜(a+ε) に入った」時のストーリーです』
の後に、Ａが (a-ε)〜(a+ε) に入る確率を求めるのは無意味だし
前なら求める必要があるのは共通の認識だと思う
問題は
Aが基準封筒になる確率をP(A)
基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率をP(X)
として
『ここからは「Ａが (a-ε)〜(a+ε) に入った」時のストーリーです
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率は…』
なのか
『Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率は…
ここからは「Ａが (a-ε)〜(a+ε) に入った」時のストーリーです』
なのか
「Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率」
を求める時、どういう前提の下で求めるのかって部分
- 451 名前：355 mailto:sage [2010/02/22(月) 02:57:59 ]
- >>450
＞「Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率」
＞を求める時、どういう前提の下で求めるのかって部分
全く何も見てない前提で計算することになるね。
で、その確率が例えば P(X)=1% なら、
「1% の確率を勝ち抜いて俺は(a-ε)<A<(a+ε)を観測することができたんだ」となる。
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 03:00:46 ]
- 両方同時ってのはありえない
『ここからは「Ａが (a-ε)〜(a+ε) に入った」時のストーリーです
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率は…』
なのか
『Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率は…
ここからは「Ａが (a-ε)〜(a+ε) に入った」時のストーリーです』
なのか
どっち？
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 03:01:45 ]
- ご都合主義なεごっこはまだ続きますか
- 454 名前：355 mailto:sage [2010/02/22(月) 04:54:30 ]
- うーん。そこまで事後確率が分かってて何が納得できないのか分からないなぁ。
>>452
＞『ここからは「Ａが (a-ε)〜(a+ε) に入った」時のストーリーです
＞Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率は…』
これではないことは確か。
＞『Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率は…
＞ここからは「Ａが (a-ε)〜(a+ε) に入った」時のストーリーです』
これは良く分からんがこっちの気がする。
そこまで理解出来たのなら、
ストーリーを２つ S1, S2 と並べてみて、
・1% の確率を勝ち抜いて俺は S1 を歩んで(a-ε)<A<(a+ε)を観測することができたんだ
・2% の確率を勝ち抜いて俺は S2 を歩んで(a-ε)<A<(a+ε)を観測することができたんだ
↓
ということは S2 を通った確率の方が高いな。
もし 3000 人の俺が(a-ε)<A<(a+ε)を観測することができたなら、
1000人の俺がS1を、2000人の俺がS2を通ってくるだろう。
期待値もその割合で計算しなきゃ、となるというだけなんだけど。
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 05:18:47 ]
- 3000人の俺がいて、
1000人の俺×S1を勝ち抜く確率1%で
最終的に10の俺がS1を通る
というのに近い事を>>355でやってるように見える
＞そこまで事後確率が分かってて何が納得できないのか分からないなぁ。
じゃあ別方面から
＞Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入って※を観測する同時確率は P(X)/2。
に関して
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率をP(p)とする
P(p)は1ではないと思う
という事は他にも起こり得る事象があるという事になる
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない確率をP(q)とする
Ａが基準封筒にならず、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率Pを(r)とする
Ａが基準封筒にならず、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない確率Pを(s)とする
ここで3つ質問
P(p) + P(q) + P(r) + P(s) = 1 か？
P(p)、P(q)、P(r)、P(s)の中に0であるものはあるか？
あるとしたらそれはどれか？
- 456 名前：355 mailto:sage [2010/02/22(月) 09:18:59 ]
- >>455
＞という事は他にも起こり得る事象があるという事になる
そう。
＞P(p) + P(q) + P(r) + P(s) = 1 か？
イエス。
＞P(p)、P(q)、P(r)、P(s) の中に0であるものはあるか？
ないね。全部正の確率を持ってるし、重なる事象もない。
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 19:28:18 ]
- そうすると、
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない
とは具体的にどういう事？
- 458 名前：355 mailto:sage [2010/02/22(月) 21:35:06 ]
- 主催者はあらかじめ２つのことを決めるだろう？
「さて、ふたつのどっちを基準封筒にしようか」
「さて、基準金額はいくらにしようか」
で、決めたと。
そのとき、どちらも知らない誰かが横で全然違う賭けをしてたとするじゃん。
「Ａが基準封筒になる」
「基準金額が10099円〜10000円に入る」
ってね。それがふたつとも当たる事だよ。何の複雑さもない。
できたら一度、質疑じゃなくて
「こういうところが怪しいんじゃないかと思ってるんだけど」
という抽象論を言ってみてよ。
それを加味して適した返答をするためにね。
抽象論だけに話がそれていかないようには心がけるから。
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 21:54:34 ]
- >>458
＞「こういうところが怪しいんじゃないかと思ってるんだけど」
＞という抽象論を言ってみてよ。
いや、なんと言えばいいのかわからない
例えば、
>>418では「基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない」という事があり得るという話で
>>422では「基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない」は確率が0だと言ってる
数学的にわからないんじゃなくて、>>355の言わんとしている事がわからない状態
だからできるだけYesかNoで答えられる質問を続けて理解しようかと思ってたんだけど
あと>>457は
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に"入らない"
だけど、>>458は"入る"ことの説明になってる
「Ａが基準封筒になる」
「基準金額が10099円〜10000円に入らない」
それがふたつとも当たる事、でok？
- 460 名前：355 mailto:sage [2010/02/22(月) 22:34:18 ]
- >>422では「基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない」は確率が0だと言ってる
これは間違いだった。すまん。
＞それがふたつとも当たる事、でok？
ああ、そうだった。その通り。
自分で「私はなぜ10099〜10000円を観測したのか？」
を考えてみればいいと思うよ。
それに対して考えられるストーリーを漏れなく挙げてみて、
それら全部に対して確率を計算してみれば分かると思う。
- 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 23:20:23 ]
- >>460
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない確率
を計算に含めてないのはなぜ？
そういうストーリーだから、じゃなくて
なぜそういうストーリーを選択したのかって事
ストーリーの選択次第で答えが変わるのはわかると思う
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない確率
を含めるストーリーと
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない確率
を含めないストーリーで答えが違う
なぜ含めないストーリーにしたのか？
- 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/22(月) 23:22:23 ]
- そもそも基準封筒って意味あるのかってことだな
- 463 名前：355 mailto:sage [2010/02/23(火) 01:45:01 ]
- >>461
＞Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない確率
＞を計算に含めてないのはなぜ？
もう毎回だが訂正させもらう↓
＞Ａが基準封筒になり、かつ、Ａが基準封筒の場合に基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入らない確率
条件付き確率になってることは大事だからね。
これを (a1')としよう。
(a1') はあり得るし、確率の計算もできる。
でも、事後確率の計算というのは、
「観測事象を説明できる」ストーリー全体の中の、
ある特定のストーリーの割合を求める行為。
(a1') は「観測事象を説明でき」ない。だから分母から除外される。
(a1)Ａが基準封筒になり、かつ、Ａが基準封筒の場合に基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る
これは「観測事象を説明できる」。だから分母に入る。
(b1)Ｂが基準封筒になり、かつ、Ｂが基準封筒の場合に基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る
これも「観測事象を説明できる」。だから分母に入る。
(a1)と(b1)で全てのストーリーを網羅出来てるので、
(a1)の確率/((a1)の確率+(b1)の確率) で事後確率が求められる。
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/23(火) 01:59:58 ]
- 一週間たっても終わらない確率
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/23(火) 02:04:29 ]
- ＞ある特定のストーリーの割合を求める行為。
そのストーリーにしたのは何故かって話
そのストーリーにおいての計算方法を聞いてるわけじゃないよ
>>355以前は
封筒をセットした
↓
中身を見た
↓
交換の期待値は？
だった
>>355は
封筒をセットした
↓
中身を見た
↓
中身を正確に確認できたか？───┐
↓ ↓
できた できない
↓ ↓
交換の期待値は？ この場合は除外する
違う事やってるんだから答えが1.25にならないのは当然なわけ
だからそれが正しいかどうかを問う時、正しい計算をしているか以前に
なぜそのような計算方法にしたのかって部分が大事
そこを聞いてるんだ
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/23(火) 07:17:30 ]
- >>465
条件付き確率を考えて
２：１にすればうまくいくことは分かったが
なぜ２：１にすればいいか分からないから
（そこに至るストーリーを組み立てられなかったから）
正確に確認できなかったなどと不要な回りくどいことまでして
誤差で２：１を生みだすことをひねり出したんだろう
これもどこか別のところからから意味があって導き出された流れでなく
結論につながるように一歩さかのぼってとってつけただけだろうから
その前のストーリーなんてないのでは？
というか>>463と>>465でストーリーという言葉の捉え方がぜんぜん食い違ってる気がする
証明の必然性やアイデアという意味と、たんなる「事象」という意味と。
＞「観測事象を説明できる」ストーリー全体の中の、ある特定のストーリーの割合を求める行為。
- 467 名前：355 mailto:sage [2010/02/23(火) 23:53:59 ]
- >>465
あ、なぜ誤差なんてものを加味した問題に変更してそれを計算しようと思ったかだよね。
それはたしかに >>466 の言うように
大きい方、小さい方、どちらを取ったのかという
事後確率比＝１：１を前提としてる 1.25 倍説に疑問を感じたからだよ。
>>466
＞条件付き確率を考えて
＞２：１にすればうまくいくことは分かったが
＞なぜ２：１にすればいいか分からないから
いや？
なぜ２：１にしなきゃならないのかは俺は分かってるよ。
>>361 とかでは「天下り的に」とは書いたけど、
結局基準金額と観測結果の整合性を考えると
「見た方が大きい封筒だった」「小さい封筒だった」で２倍確率が違うんだよ。
っていうかそもそも「２：１にすればうまくいく」ってなんだ？
答えが１倍になるなら、そうこじつけたいというのは分かるが、
どっちかというと 1.5 倍っていう新説が出てきてむしろ俺は困ってるよｗ
- 468 名前：355 mailto:sage [2010/02/23(火) 23:55:58 ]
- 自分がとったのは、大きい封筒：小さい封筒＝２：１がでてくるのは下記が本質。
でっかいルーレットで基準金額が決められたとする。
一方どっちを大きい封筒か小さい封筒かはコインで決めたとする。
観測が「Ａには 10000〜10099 円に入ってました」だった時、
(1) Ａが基準封筒だったら、「見た方の封筒そのものがルーレットで決められた」ことになる。
(2) Ｂが基準封筒だったら、「見た方の倍額がルーレットで決められ、見た方はその半額と決められた」ことになる。
自分が見た観測を満たすためには、
(1) の仮定ではルーレットの針が「10000〜10099 円」の間に止まることが必要になる。
(2) の仮定ではルーレットの針が「20000〜20199 円」の間に止まることが必要になる。
どっちがあり得そうよ？ (2) の方が２倍あり得るよね。
幅が二倍あるんだから。
だったら 100000000 人の俺がこのゲームに挑んだ時、
もしそのうちの 3000人が 「10000〜10099 円に入ってました」と言うなら、
1000人は「実はＡが基準でした」の世界にいて
2000人は「実はＢが基準でした」の世界にいるっていうのが妥当だよね。
だから良く分からない理由によって１：２って言ってるんじゃなくて、
誤差を考えた時にはどうしてもそうなるんだと思うよ。
- 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 00:01:03 ]
- >>467
間違ってるものを新説と称されても…
じゃあまず金額比１：３、１：４、１：ｎなどで一般化でもしてみればいい
＞結局基準金額と観測結果の整合性を考えると
＞「見た方が大きい封筒だった」「小さい封筒だった」で２倍確率が違うんだよ。
２倍という説明がつかないんで
結果からさかのぼって必然性もなくとってつけただけじゃん。
整合性といっても、そこで使ってる観測結果って何だ？
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 00:06:08 ]
- >>468
＞誤差を考えた時にはどうしてもそうなるんだと思うよ。
誤差なんて必要ない
＞(1) の仮定ではルーレットの針が「10000〜10099 円」の間に止まることが必要になる。
＞(2) の仮定ではルーレットの針が「20000〜20199 円」の間に止まることが必要になる。
＞どっちがあり得そうよ？ (2) の方が２倍あり得るよね。
＞幅が二倍あるんだから。
直観的なイメージの助けならこれでもいいが、
そこで幅ができているのを無理矢理誤差に関連付けようとするのがおかしい。
幅があるものに関連付けようとして、思いついたのが誤差だったってところだろう。
誤差なんて考えなくても数の分布がそうなる（正確にはその逆関数になる）だけだから。
- 471 名前：355 mailto:sage [2010/02/24(水) 00:40:49 ]
- >>470 の本意には賛成だよ。
誤差以外に分かりやすい説明があればいいんだけど。
誤差なしでいくと難しくない？
幅０：０じゃ、不定形になってその先の１：２にいけないでしょ。
その中でこじつけだけど理解しやすいのが分布関数を仮定して極限を取る方法で、
その中でやはりこじつけだけど一番理解しやすいのが
一様分布と一様誤差を加味した説明になると思うんだけど。
とりあえず元の問題も 1.5 倍が正解ってことでいいかな？
どうなんだろ、そこんとこ。
別の極限の取り方をすれば違う答えがでちゃうなら、
それは 1.25 倍と変わらない気がするけど、いまのところないよね。
極限を取っちゃえば、上限付き一様分布だって指数分布だってガンマ分布だって
1.5 倍に行きつきそうだと >>360 日本語 (1) は言ってるんだけど。
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 01:05:48 ]
- >>467
＞事後確率比＝１：１を前提としてる 1.25 倍説に疑問を感じたからだよ。
これは>>355をここに書こうと思った理由でしょ
そうじゃなくて
封筒をセットした
↓
中身を見た
↓
交換の期待値は？
ではなく
封筒をセットした
↓
中身を見た
↓
中身を正確に確認できたか？───┐
↓ ↓
できた できない
↓ ↓
交換の期待値は？ この場合は除外する
で考えるべきだというその理由は？
確かに前者は何かがおかしい
けど、前者がおかしいからと言って後者が正しくなるわけじゃない
後者が正しいとする理由は？
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 01:11:06 ]
- >>468も>>472の後者で考えれば、確かにその通り
でも、
中身を正確に確認できなかった時でも交換は行われ
それによって損か得かをするんだから
前者を求めたいなら不十分な内容だと思う
- 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 01:25:15 ]
- >>471
まだ1.5にこだわってんの？
基準封筒なんて変な見方してるせいじゃないか？
正解は１倍。
- 475 名前：355 mailto:sage [2010/02/24(水) 08:02:52 ]
- >>472 >>473
「中身を正確に確認できたか？」で分岐するってどういう意味？
そんな説明したっけ。
毎回常に正確に確認できず、±ε以内で誤差が生じるモデルを考えてるんだけど。
でε→０の極限を取っていってもずっと答えは 1.5 倍になったままになるから
正確に分かるときでも 1.5 倍になるという話。
>>474
１倍なの？
今度は理由も書くといいと思うよ
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 10:42:35 ]
- 355の考えたかで1.5倍になるのは別に不思議ではない。
>>468でいうと
＞もしそのうちの 3000人が 「10000〜10099 円に入ってました」と言うなら、
＞1000人は「実はＡが基準でした」の世界にいて
＞2000人は「実はＢが基準でした」の世界にいるっていうのが妥当だよね。
その「実はＢが基準でした」の2000人のうち半数は確認した金額に端数の0.5円が付いてる。
その人たちの期待値は２倍になる。
3000人のうち、三分の一が2倍で残り三分の二が1.25倍の期待値なので、全体としては1.5倍になる。
また、ここまでで考慮されてない人たちも居る。
でっかいルーレットの最大値の半分の金額以上を確認した人は、交換しないほうが得であり
交換の期待値は0.5倍である。
＞だったら 100000000 人の俺がこのゲームに挑んだ時、
の四分の一の人はここに含まれる事を忘れてはならない。
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 14:34:02 ]
- >>475
「(a-ε)〜(a+ε)に入ったか」って事ね
正確にってのは良くなかった
＞観測が「Ａには 10000〜10099 円に入ってました」だった時、
と、そうでなかった時で分岐してるけど、その部分の事
>>355は分岐した先での期待値を求めていて
>>355より前は、分岐が無く(>>355では分岐するはずの2つの事象が)合わさった状態での期待値を考えてた
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 21:47:35 ]
- 今更なんですが、>>355の
> 金額を一様分布から決定し、
は離散分布で良いんですよね。
そうだとすると、基準金額が 2(a-ε)〜2(a+ε) に入る確率 P(Y)は、基準金額が奇数になるこはないから、P(Y) = 2P(X)にはならないのでは？
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 23:09:38 ]
- 一様分布がおかしいんだけど
誤差範囲の幅の広さで問題を片づけてるから
一様分布にせざるをえない苦しさ
- 480 名前：355 mailto:sage [2010/02/24(水) 23:23:03 ]
- >>476 >>478
ちょｗｗ離散分布は無しでしょ
1.25倍だって連続分布の話でしょうが。
1.5 倍に対してだけそれを持ち出すのはずるいなぁ。
じゃあ離散分布仮定で 1.25 倍をやってみろってんだ。
ちなみに「10000〜10099 円」と書いてるのはもちろん
「10000〜10099.999999…円」の意味だよ。
>>479
そこは唯一怪しいのはどうしようもないね。
それをいっちゃうと 1.25 倍だって同じ。
ほんというと事後確率が不定型なんだよ。
現実的なところでは指数分布か上限付き一様分布仮定でその極限とるしかない。
するとどうしようもなく 1.5 倍になるんだ。
結局 1.25 倍は「２ケースの事後確率はなぜか１：１でした、そういう問題なんです」
という場合にしか通用しないね。
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/24(水) 23:48:34 ]
- >>480
＞不定形
それは与えられてもない誤差を取った上に
極限取らなきゃいけないようにしてるからだろう
誤差で話をすませようとしているところに不定形になる原因があるだけで
確率は不定形にならない。
1.25は１：１と保証されてないところを１：１にしているせい。それは正しいし
条件付き確率を考えることで１：１にならない説明としてモンティホールのような説明を試みるところまでは
おかしくないが。
＞唯一怪しい
結局、数の分布がイメージできてないわけでしょ。
原因はそこにあるのに誤差だの基準封筒だのと関係ないところを迷走してるんだもの。
- 482 名前：355 mailto:sage [2010/02/25(木) 00:10:02 ]
- >>481
＞＞不定形
＞それは与えられてもない誤差を取った上に
＞極限取らなきゃいけないようにしてるからだろう
＞誤差で話をすませようとしているところに不定形になる原因があるだけで
＞確率は不定形にならない。
それは初耳だ。その理由をよろ。
＞結局、数の分布がイメージできてないわけでしょ。
イメージできてないのじゃなくてそもそも与えられてないよね。
だから 1.25 倍の人が考えてるのと同じように「基準は等確率」としてるだけだよ。
その計算をちゃんとすれば 1.5 倍になるというだけ。
与えられてなくて 1.5 倍が説明できるの？イメージ出来てるの？
それならその方法が聞きたいよなあ。みんな？
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 00:18:29 ]
- >>482
数の分布の仕方って存在しないのか？そんなわけはない
イメージする方法？
１：２という設定なら等差数列をイメージすればいい。
事後確率まで考えることができる頭の持ち主なら
無数に分布している数のシリーズの中から「１：２」という条件が与えられ、
そして一つの封筒に注目すれば
どんなシリーズが残るかくらいイメージできそうなもんだが。
それだけだと分布の仕方の違いが分からなければ
金額差が１０という設定でどうなるかを考えてみるといい。
てか、そんな基礎的なイメージもないのを「聞きたいよなあ。みんな？」ってどうなの？
過去にも明らかに間違ってる漸化式の間違いを気付かない人ばっかり集まってたようだが
そんなスレだから数の分布のイメージができない人ばっかり揃ってるとでも判断してるのか？
それと1.5倍は間違いなので、どう頑張っても説明はできない。
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 00:59:46 ]
- >>482
＞その計算をちゃんとすれば 1.5 倍になるというだけ
だからその計算が正しいのは認めるけど
最初に金額を誤差を含めた範囲内に確認できなかった場合、を除外した値でしょ？
それじゃあ別の計算なんだ
別の計算したら1.5倍になりましたってそれを引っ張る意味がわからない
別の計算じゃないよって話ならともかく
>>355を理由にしても1.25倍じゃなく1.5倍だって事にはならないよ
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 01:11:30 ]
- よく見れば>>355の最初の最初で逆をやってるのか。
相手が大きい確率の方を倍にしてることになる
結局やってることは 1/2倍と２倍を１：２の重みで平均とって1.5と言ってるわけだね。
大きい方の幅を２倍にとる、分布は一様という2重のミスで逆転が起きてしまったわけだな。
大きい方の金額が 2(a-ε)〜2(a+ε) に入る事象数と
小さい方の金額が (a-ε)〜(a+ε）に入る事象数は同じだよ。
なぜなら一様分布ではないから。
>>355がやってるように「基準封筒」に注目するなら、
Ｂが基準封筒になり、かつ、基準金額が 2(a-ε)〜2(a+ε) に入ったとき
そのときの範囲内におさまったBの金額をbi（i＝1，2，3…）、
Bが基準封筒になったときの、Bの半額ゆえに当然(a-ε)〜(a+ε）におさまるAの金額をai（i≒1,2,3…）とすると
biとaiは必ず１対１対応するよ。幅の広い2(a-ε)〜2(a+ε)の方が倍の事象数をもつこと
（言い換えれば対応するaiをもたないbiが存在すること）はない。二重のミスのその１がこれ。
１対１対応が成立しないというなら根拠を示してみてほしい。
また、1対１対応が成立するということに納得さえいけば、一様分布がおかしいということも理解できるはず。
ここを解消してやっと1.25倍と言ってる人たちの段階に戻れるわけだ。
二重のミスその２は、大きい方の幅を２倍にしてしまっているところ。
１対１対応から、同じ事象数なら大きい側の広がりが２倍になることに起因しているものなのに
間違えて逆に使ってしまっている。
数の分布の話だと抽象的でわかりにくい人もいるだろうから、密度にでもたとえると、
「同じ質量のものを、体積２倍にしました。密度は？」というときに、２で割るべきところを２をかけてしまってる二重のミス。
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 01:12:43 ]
- >>355のやり方でいくなら、金額比１：３のときには
1/3倍と３倍を１：３の重みで平均をとることになるから、他の封筒が7/3倍になってしまうだろうし、
金額比が１：ｎのときには相手の封筒が（n^2-n+1）/n倍ということになってしまう。
原因は数の分布がイメージできてないせい。
- 487 名前：355 mailto:sage [2010/02/25(木) 08:38:52 ]
- >>485
逆かどうかは何度も確かめたさ。もう一回考えてみるが
>>486
？それって揃ってないといけないの？
金額配分違えば違う問題だから答え違って当たり前じゃない？
見当違い多いなぁ
- 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 09:15:47 ]
- >>487
別の計算したら1.5倍になりました
ってそこからして見当違いだった気がしてならないんだが
無視してないで本来の問題よりさらに限定的な状況で考える>>355にどんな意味があるのか教えてくれ
- 489 名前：476 mailto:sage [2010/02/25(木) 09:19:38 ]
- >>480
＞ちょｗｗ離散分布は無しでしょ
＞1.25倍だって連続分布の話でしょうが。
俺は正解は1倍と思ってるから、1.25倍が離散分布でＮＧになっても困らない。
結局、離散分布にして困るのは1.25倍派の人と、1.5倍派の355だけ。
1.25倍だ、1.5倍だっていうならそれこそ、離散分布では拙いという合理的な理由がほしいね。
もう一度>>468を引用するけど
＞だったら 100000000 人の俺がこのゲームに挑んだ時、
＞もしそのうちの 3000人が 「10000〜10099 円に入ってました」と言うなら、
＞1000人は「実はＡが基準でした」の世界にいて
＞2000人は「実はＢが基準でした」の世界にいるっていうのが妥当だよね。
元々Ａ基準とＢ基準は半々だったのに事後確率でＡ基準のほうが少なくなってる、ということは
Ａ基準の残り半分の人はプレーンクッキーでなく、チョコチップクッキーだった、ということになる。
しかし一般化する時に、その例外が有ったことを無視して「常に1.5倍」とするのは
おかしくないか、と言ってるんだけど。
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 10:13:57 ]
- >>487
そもそも、互いに対等なはずなのに
他方に注目するとつねに1.25倍になりそうだからおかしいというパラドックスもどき。
直観の思い込みを排除してちゃんと１倍が導ければ解決。
1.25倍なり1.5倍なりになる方が正しいというなら、そこに矛盾がないことまで示してからにしよう。
見当違いが多い人間に見当違いと言われたくはないよ。
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 10:50:24 ]
- スレが終わるまでに>>355が1.5が間違いだと気づく確率は？
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 13:50:20 ]
- 元の問題は、賞金金額の確率分布がわかっていない(問題文にない)問題。
金額の確率分布によって、一方の金額を確認した後の他方の金額の期待値と
確認した方の金額の大小関係は変化し得る以上、勝手に何か特定の
賞金総額の確率分布を仮定したなら、元の問題とは別の問題になる。
賞金金額の確率分布がわかっていない問題の場合
[一方の金額が10000円だった]という情報からは
[他方も金額は5000円か20000円である]という情報を知ることができても
[他方が5000円である確率と20000円である確率の比]について
知ることができないため、他方の金額の期待値が確認した方の金額の
何倍かを知ることができない(１倍ともいえない)。
期待値がわからないのだから、交換するかしないかの判断は
期待値では決められない。
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 13:51:22 ]
- [一方を確認して10000円だったなら、他方の金額が5000円である確率1/2,
20000円である確率1/2]という別の問題を考えたら
[一方を確認して10000円だったなら、他方の金額の期待値は12500円である]
ということになるが、別に矛盾が起きているわけではない。
他の条件の別の問題として[確認してない方の金額の期待値は
確認した方の金額の1.25倍である]という時や[どちらの袋に対しても
一方の金額の期待値は他方の金額の1.25倍]という問題を考えても
おかしなことは起きない。(ただし、現実的に誰かが適当に金額を決める時とは
直感的に異なる仮定を前提としているので、得られた結論が
直感的には受け入れられるかどうかは保証しない)
勿論、[一方を確認して10000円だったなら、他方の金額が5000円である確率1/3,
20000円である確率2/3]となるような問題を考えることもできなくはないし
考えたからといって何かおかしなことが起こるわけではないが
「だからなんなの？」としか言いようがない。何がしたいのかわからない。
＞1.25倍は「２ケースの事後確率はなぜか１：１でした、そういう問題なんです」
という場合にしか通用しないのと同様、1.5倍も「なぜか１：２でした、
そういう問題なんです」という場合にしか通用しない。
元の問題でも、期待値が1.25倍となるような問題でも
賞金の取り得る値が自然数全体なのか、正の実数全体なのか
ある特定の正の実数or自然数なのかは、どーでもいいこと。
どれかじゃなきゃ困るということはない。
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 15:18:42 ]
- >>493
目の前に二つの袋があり、中身の金額比が1:2
一つの袋を選んだ時その金額はいくらか？
という問題ならば、分布次第で
中身が10000円である確率より20000円である確率の方が大きくなる場合もある
目の前に二つの袋があり、中身の金額比が1:2
一つの袋を選んだ
もう一つの袋の額は、元の袋の額より多いか少ないか？
という問題だと多い確率1/2、少ない確率1/2で
これは一番最初の分布の影響を受けない
[一方を確認して10000円だったなら、他方の金額が5000円である確率1/3,
20000円である確率2/3]となるような問題を考える事はできるが
その1/3と2/3の偏りが分布により生じるものだとするのは誤り
また常に交換する場合と常に交換しない場合を比較しても
どちらも得られる金額は同じため
どちらも他方に1.25倍の額を期待できるというのは矛盾している
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 15:55:35 ]
- >>492
金額比１：２という条件を忘れないように。
そこからおのずと分布は決まるよ。
整数値とでも限定して最小値の1/2は存在しないとか
上限があってその２倍は存在しないなどの
１：２以外の条件を付加すればさらに分布は変わってくるが。
そこを無視して1/2としてしまえば別問題になり
1.25倍が成立してしまうが
>>494も
＞という問題だと多い確率1/2、少ない確率1/2で
＞これは一番最初の分布の影響を受けない
ここが間違い。
＞他方の金額が5000円である確率1/3,
＞20000円である確率2/3]となるような問題を考える事はできるが
これは1.5倍の人のだな。逆をやってるとはいえ
1.5倍の人は金額比が分布に影響をもたらすという感覚をうすうす持ってるような点では
>>494より正しい
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 16:00:11 ]
- >>495
金額比が分布に影響をもたらさない、とは言ってないぞ？
分布が交換の際の増加か減少かの比率に影響する事は無いと言ってるんだ
よく読みもしないで脊髄レベルで否定するような態度はいただけないな
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 16:04:57 ]
- あれあれ
突然>>494と>>355の比較を始めちゃったよ
ひょっとしてご本人？
- 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 16:04:59 ]
- >>496
492か494か知らないけど
どっちにしても分布の段階で考え方を間違えているので。
そこを否定しているだけ。
理解もせず脊髄反射と決めつける態度の方がいただけないよ。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 16:06:13 ]
- >>497
間違いが明白になって急に355がいなくなるというストーリー？
ま、結論は急ぐな
そのうち>>355も来るだろう
- 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 16:14:27 ]
- >>498
>>494だ
そりゃ間違った理解をしたなら間違ってるように見えるだろうな
しかし間違った理解での反論には何の意味も無い
それとも>>498は
布が交換の際の増加か減少かの比率に影響すると考えているのか？
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 16:16:03 ]
- 分布が交換の際の増加か減少かの比率に影響すると考えているのか？だな
うっかり消したようだ
- 502 名前：492 mailto:sage [2010/02/25(木) 20:50:35 ]
- 金額の比が、金額の確率分布に影響するってのは信じがたいなあ。
問題文「二つの袋にそれぞれある数値(自然数or正の実数)が入っていて、
数値の比は1:2となっている。一方を選び、数値を確認すると
10000だった」とした時、この問題文の情報のみからは
他方が5000である確率、20000である確率は求められないよ。
例えば、袋に入れる前の数値の組みの決め方を
[1]ランダムに１つの正の実数ｘを選び、数値の組みを{x,2x}とする
[2]ランダムに１つの整数ｎを選び、数値の組みを{10000*2^n,10000*2^(n+1)}とする
[3]公正なコインを投げて、表がでたら{5000,10000},裏なら{10000,20000}とする
[4]サイコロを投げて、目が４以下なら{5000,10000},５か６なら{10000,20000}とする
[5]{5000,10000}にする。それ以外の値にはしない。
など、色々な決め方(数値の確率分布)がありえるわけだけど
少なくともこの[1]〜[5]のどれか１つを上の「問題文」に追加したとしても
それぞれ別の問題が出来上がるだけで、おかしなことが起きたりはしない。
例えば、[2]か[3]を追加した問題を考えた場合
確認した値が10000であった時の他方が20000である確率は1/2,
他方が5000であるは確率1/2であるので、他方の数値の期待値は12500
となるが、不思議なことはおきていない。
特に[2]の場合、はじめに確認した数値がなんであれ
確認してない方の数値の期待値は、確認した数値の1.25倍
となるが、これも別に不思議なことではないよ。
確認した方の数値の期待値は、確認してない方の数値の1.25倍とは
ならないし、矛盾も起きない。
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 22:26:58 ]
- >>502
＞他方が5000である確率、20000である確率は求められないよ。
>>9>>10>>27>>170
＞これも別に不思議なことではないよ。
>>183等
全部読むのは大変だとは思うが
過去の流れを無視し過ぎ
一方的に自分の主張を述べたいだけならチラシの裏でって話になるし
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/25(木) 23:46:49 ]
- >>502
特に断りのないサイコロの問題で各面の出る確率が指定してない場合に1/6を用いない
特に断りのないコインの問題で裏表の出る確率に1/2を用いない
金額の「差」が分かっている場合の期待値も求めることが出来ない
特に条件指定がない場合の暗黙の部分について慎重に扱うこのような態度をとるのなら
＞この問題文の情報のみからは他方が5000である確率、20000である確率は求められないよ。
この態度も正しい。
[２]の期待値は1.25倍にはならない。
ランダムさを保証しているのなら他方の金額の期待値は１倍。
大きい方、小さい方を選ぶ確率は1/2ずつではないからね。
そこが数の分布をイメージできているかどうかの違い。
>>355はそういう意味では、１：２にすべきところを２：１にするという
逆のことをしていることを除けば
分布が変わる点に注目していることは正しいし
厳密な理解のためには数式や概念の理解を強要しなければならない部分を
イメージしやすく範囲を用いて（>>355は誤差という表現をしているが）示そうとした点も優れているね。
- 505 名前：355 mailto:sage [2010/02/25(木) 23:48:07 ]
- >>485
事象同士の「１対１対応」は確かに成立するね。
でも連続分布のときって対応は関係あるかな？
例えば「0<x<1 を返す連続的な値を返すルーレットが
(1) 0<x<0.5 の範囲に止まるか、(2) 0<x<0.25 の範囲に止まるか、
どちらが確率が高いか？」の答えは、
((1)のx)⇔((2)の2x) で一対一対応つくけど
(1) の方が (2) より２倍多い、がやっぱり答えじゃないかな。
>>490
本意は >>360 の日本語 (2) ね。
その意味では「何倍にも成り得る」がまあ正当な正解でしょうね。
「１倍」という表現だけは間違いだね。
>>492
まあ >>492 が一番正しいと思うよ。
＞何倍かを知ることができない(１倍ともいえない)。
ここを「何倍とも言うことができる」にすると正解だな。
>>493
前半は全く同意だよ。
中段落は違う。等確率と置くと１：２が幅の比からどうしようもなく出てくると言ってるんだ。
「１：３としたら」「１：４としたら」と同列の意味で決めつけたわけじゃない。
それは「等確率から極限をとるとすれば」というもっと一般的な決め事だよ。
- 506 名前：492 mailto:sage [2010/02/26(金) 00:13:30 ]
- >>503
全てのレス読んでるわけではないが
挙げてくれてるやつは、既に読んでるよ。
というか、自分が書いたのもあるし。
で、他のレスの中に挙げてくれたレスの内容を踏まえてないものが
あると思ったので、繰り返しになるけどしつこく書いたまで。
どういう意図で>>183を挙げたのかはわからないけれど
>>183も別に不思議でないでしょ？
平たく言えば、期待値計算してたら勝負したほうが得となったからといって
実際に勝負したら、負けて損することもあるってだけ。
>>199や>>243に対する>>296>>316>>335など
>>504
よくわからん。[3]の期待値が1.25倍というのはいいの？
[6]数値の組みは{10000*2^n,10000*2^(n+1)}
ただしｎは-5以上5以下の整数で、どの数になるかは
等確率(1/11ずつ)とする
という場合を考えたら、1.25倍となる？
- 507 名前：355 mailto:sage [2010/02/26(金) 00:23:52 ]
- 以上の俺のアウトラインはこれ↓
(問題 P1) 他方の期待値は？
(問題 P2) 変えた方が得か？
(問題設定 C1) 基準封筒の選び方はとにかく等確率であると仮定する
(問題設定 C2a) 安いほうの袋なのか高いほうの袋なのかは等確率かどうかは示されていない
(問題設定 C2b) 安いほうの袋なのか高いほうの袋なのかはどちらも 1/2 であると問題改変する (>>34)
(問題設定 C3) 基準封筒の選び方を可積分な分布からの極限をとって考えるとする
(P1) → 「基準封筒の分布が示されてないので分からない」が正解
(P1)+(C1) → 「他方の期待値は何倍にでも成り得る」が正解
(P1)+(C1)+(C2b) → 1.25倍が正解
(P1)+(C1)+(C2a)+(C3) → 1.5倍が正解 (>>355 >>360 日本語 (1) の上限付き一様分布、指数分布、ガンマ分布)
(P2) → 「基準封筒の分布が示されてないので分からない」が正解
(P2)+(C1) → 有限の値が出た時は変えた方が得
(P2)+(C1)+(C3) → 必ず変えた方が得
(C2b) はちょっと強引だからもうちょっとマシな仮定をするのが (C3) という感じ。
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 00:28:30 ]
- >>506
＞他のレスの中に挙げてくれたレスの内容を踏まえてないものが
＞あると思ったので、繰り返しになるけどしつこく書いたまで。
それはすまん
＞>>183も別に不思議でないでしょ？
A君B君は共に、常に期待値的に有利な選択をする
C君D君は共に、常に期待値的に不利な選択をする
有利な方は期待値1.25、不利な方は期待値1
にもかかわらず
A君とB君の獲得金額合計＝C君D君の獲得金額合計
になる
勝つことも負けることもある、ではなく
毎回必ず一致する
- 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 00:43:19 ]
- >>505
連続分布だからこそ一層関係がある
離散値（たとえば整数）をもってくると
奇数の半分が定義域にはいらなくなって別問題になるが
そういう別問題にしたいわけではないのだろう？
（１）の 0<x<0.5 と（２）×２の 0<x<0.5が別物になる理由がない。
金額比１：２で規程される数のシリーズ（数列）は
１を基準にすれば大きい方向には１、２，４，８，１６，３２、小さい方向には１、1/２，1/４，1/８，1/１６，1/３２
数が大きくなるほど存在する事象数は疎になっていくもの。
離散値になるのがいやなら
基準を他に1.1、1.2、1.3などをとってみて、そこから生じるシリーズが他のシリーズと重ならず、
また全て数が大きくなるほど疎になることをイメージしてみるといい。
「同じ事象数を含もうとすれば、大きい数の方の幅が２倍になる」というのが事実であり
このことは１：２が成り立つような数の分布の仕方が一様分布でないところに起因している。これは１対１対応でわかること。
そこから生まれた「大きい方の幅は２倍広い」だけを残し、
事実に反する「一様分布である」を導入すれば、２倍の幅の中に２倍の事象数が入るが
確率を比較したいならば同じ基準で比べるという部分でまず間違い（一方の幅を２倍にしている）
一様分布でないものを一様分布として２つ目の間違いになる。
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 00:46:06 ]
- >>507
＞(問題設定 C1) 基準封筒の選び方はとにかく等確率であると仮定する
仮定の間違い
これはどちらが高く、どちらが安いか双方を俯瞰できる立場でなら成立する仮定。
個々のプレイヤーの立場では成立しない
- 511 名前：355 mailto:sage [2010/02/26(金) 01:04:16 ]
- >>509
ちょっとだけ確認。封筒問題は置いといて
＞「0<x<1 を返す連続的な値を返すルーレットが
＞(1) 0<x<0.5 の範囲に止まるか、(2) 0<x<0.25 の範囲に止まるか、
＞どちらが確率が高いか？」
この答えはどうなる？
- 512 名前：355 mailto:sage [2010/02/26(金) 01:06:11 ]
- >>510
まじで？
ちなみに「基準封筒の選び方」の話だよ？
見た方の金額じゃないよ？
見て情報を得て変わった後の事後確率の話でもないよ？
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 01:07:43 ]
- >>512
プレイヤーと関係ないよ
- 514 名前：355 mailto:sage [2010/02/26(金) 02:32:45 ]
- >>509
ああ、指数分布 p(θ)=λexp(-λθ) のときか。
そのときは幅は２倍でも確率の高さ、つまり事象数みたいなものは半分になると。
P(X) = ∫[θ=a-ε〜a+ε]λexp(-λθ) dθ = -exp(-λ(a+ε))+exp(-λ(a-ε))
= exp(-λa)(exp(-λε)-exp(+λε))
P(Y) = ∫[θ=2(a-ε)〜2(a+ε)]λexp(-λθ) dθ
= exp(-2λa)(exp(-2λε)-exp(+2λε))
P(Y)/P(X) = exp(-λa){(exp(-2λε)-exp(+2λε))/(exp(-λε)-exp(+λε))}
= exp(-λa){(exp(-2λε)-exp(+2λε))/(exp(-λε)-exp(+λε))}
lim[ε→+0] P(Y)/P(X) = exp(-λa)
lim[λ→+0] lim[ε→+0] P(Y)/P(X) = 1
E[B] = 1/2*a/2 + 1/2*2a = 1.25a.
これは正しい。
結局分布関数の取り方で変わるか
- 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 03:21:35 ]
- また使わなくてもいいオモチャ持ち出して変な使い方でこねくりまわしてるなぁ
確率の理解にはいろんなアプローチがあるが
ひとつずつ変な使い方を試してるのか
＞P(Y) = ∫[θ=2(a-ε)〜2(a+ε)]λexp(-λθ) dθ
確率を積分表示することを理解できているのならば
積分区間を２倍にすることのおかしさが理解できるはずで
それは同時に以前のミスのおかしさが改めて強調していることにもなるわけだから
これで根本的な間違いも自覚してくれそうな気がするのだが…
- 516 名前：355 mailto:sage [2010/02/26(金) 09:11:18 ]
- >>515
＞積分区間を２倍にすることのおかしさが理解できるはずで
そこはあってるよ
それはみんなも分かってる
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 14:53:29 ]
- >>516
「2/3 と 3/4はどっちがおおきいのかな？」
通常の比べ方…分母を通分（注目する範囲・区間の大きさをそろえて、該当事象数を比較する）
8/12 と 9/12 後者がおおきい
355のくらべ方…分子をそろえてみよう（該当事象数が同じになるようにして、そのときの区間を比較する）
6/9 と 6/8
あ、９の方がおおきいね。前者のほうがおおきいよ
確かにこの程度のことをやってるってことはみんな分かってるだろうね。
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 14:57:40 ]
- もっと正確には
355のくらべ方…分子をそろえてみよう（該当事象数が同じになるようにして、そのときの区間を比較する）
そしてそのあとで新たに設定を追加して比べよう（一様分布とする）
6/9 と 6/8 これで分母がわかった。
ところで比べるときには双方の値を１に揃えるのが普通なのでそろえてみると
9/9 と 8/8 になる。つまり前者が大きい
こういうことをやっている
まちがい１…分子をそろえていること
まちがい２「比べるときには双方の値を１に揃えるのが普通なので」という珍設定
- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 15:26:11 ]
- >>502
＞ [1]ランダムに１つの正の実数ｘを選び、数値の組みを{x,2x}とする
＞ [2]ランダムに１つの整数ｎを選び、数値の組みを{10000*2^n,10000*2^(n+1)}とする
[1]と [2] は 何か違うのか？
- 520 名前：492 mailto:sage [2010/02/26(金) 16:22:20 ]
- >>508
＞金額は両ペア共同じ額にする
という仮定なんだから、
A君とB君の獲得金額合計＝C君D君の獲得金額合計
になるのは当然で、不思議でないでしょ。
>>183では、ゲームを複数回行っているけど
ゲームを１回だけ行った時だって、
A君とB君の金額合計＝C君D君の金額合計
は当然成り立つ。
具体的にどう矛盾してるのか教えてくれないと
説明しようがない。
>>519
袋を開ける前は違う。[1]は確認した数値が9999ということも
ありうるけれど、[2]では絶対にない。
袋を開けて10000がでてきた後は同じ。
組として{5000,10000},{10000,20000}のどちらが選ばれたかの
確率は1/2ずつになると思うんだけど、そうでないと
思ってる人もいる(？)
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 16:29:44 ]
- >>519
>>502ではないけど
＞他のレスの中に挙げてくれたレスの内容を踏まえてないものが
＞あると思ったので、繰り返しになるけどしつこく書いたまで。
なんだろ
サイコロを振ったとき6の目の出る確率は？
に対して
理想的なサイコロではないので形状と重心によっては1
と答えてるような物も含まれてるし
馬鹿馬鹿しさの実演なんだろうからそこに真面目に突っ込んでも意味は無いかと
- 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 17:26:51 ]
- >>520
＞ 袋を開ける前は違う。[1]は確認した数値が9999ということも
問題では、 あけたときに10000円あった、という条件がついているのだが
問題の条件を変更しなければ違わないところについても、
両者は違うと考えるものなの？
- 523 名前：502 mailto:sage [2010/02/26(金) 17:29:32 ]
- ちょっとうまく伝わってないかな？
502ではそれぞれ別の問題が出来上がると、
つまり両者は違うといっているのに
実際には条件を変えないと異ならないようだ。
その真意がよくわからない。
- 524 名前：492 mailto:sage [2010/02/26(金) 18:02:52 ]
- >>523
>>502を書いたのは自分だが名前間違えてないか？
>>522
何が違うかと聞かれたから、違う所を答えただけ。
10000円あったという条件の下では、同じと考えてよいと思う。
例えて言うなら、違う形のサイコロでそれぞれ
遊んだら、それぞれ違うゲームになり得るだろうけれど
たまたま同じゲームとして考えても問題ない所もあるってこと。
うまい例えになってないけど、あまり深い意味はないよ。
組として{5000,10000},{10000,20000}のどちらが選ばれたかの
確率は1/2ずつになるかどうかが知りたいだけ。
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 18:19:32 ]
- >>524
ごめん、502ではなく522だ。 間違えた。
「それぞれ別の問題」ではなく、[1]と[2]は同じ問題だということでOK？
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 18:36:32 ]
- >>520
A君とB君の金額合計＝C君D君の金額合計
が成り立つのなら交換を行う事と行わない事に差は無い
差はないのに一方は期待値1.25、もう一方は期待値1はおかしいだろうという事
- 527 名前：492 mailto:sage [2010/02/26(金) 18:36:42 ]
- OK！
回りくどく言えば、
[1]と[2]は違う条件だけれど
問題文にくっつけたら、結局どちらも
[{5000,10000},{10000,20000}のどちらが選ばれたかの確率]
に関しては同じになる(と思う)ので
それぞれ別の問題ではなくて同じ問題として考えてもいいですよ
ってこと。
- 528 名前：355 mailto:sage [2010/02/26(金) 20:10:43 ]
- >>517
事後確率計算では分母が同じだって。
しかもその説明は
＞積分区間を２倍にすることのおかしさ
の話じゃないじゃん。
もうちょっとレベルあげろ
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/26(金) 20:48:10 ]
- 懐かしいアレを使うチャンスだ
>>528
∧＿∧
（ ´∀｀） ＜オマエモナー
（ ）
｜ ｜ |
（_＿）＿）
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 01:25:53 ]
- 事後確率だからって言えば全て解決
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 02:42:45 ]
- 「教科書読めばわかる」が「みんなもわかってる」に変化したな。
どちらにしても「とにかく俺が正しい！」というただの癇癪。
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 03:05:42 ]
- >>528
レベル上げたらあなたが理解できないようなので。
>>528でも理解できてないようだし。
＞しかもその説明は
＞＞積分区間を２倍にすることのおかしさ
＞の話じゃないじゃん。
この通り。
小学生の分数程度だと、自分のやってることが理解できていなさそうな>>355に
多少は自覚してもらえる可能性もあるだろうし
>>355が誤差だの積分だの持ち込んで不必要に見通しを悪くしている部分を越えて
傍で見てる人に>>355の間違いの本質がわかりやすいというメリットもある。
>>531
>>355は少し前も「みんな」を使ってたよ
最悪、自分と同じ間違いをする奴は多いから問題なし、とでもしたいのだろう
数学的事実は多数決で決まるもんじゃないわけだけどねえ。
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 07:14:19 ]
- ＞ 6/9 と 6/8
＞ あ、９の方がおおきいね。前者のほうがおおきいよ
何のたとえなのかよくわからんが、 後者のほうが大きいと思う。
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 07:54:08 ]
- 分数の基本だからな
分母が大きい方が分数の値が大きい、などと間違える奴は
分数の扱い方をまともに理解している人の中にはほとんどいないってことだな
ケアレスミスで間違えるくらいならあるかもしれないが、指摘されれば気付く
>>355のやり方で1.5倍を導くような間違いをする奴は
確率の扱い方をまともに理解している人の中にはほとんどいないのと同じ
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 08:06:47 ]
- >>533
間違いの例えだから、例えとしてはあってるんじゃね？
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 08:46:53 ]
- なにを間違えているのかの例えとしてはいい例とは思えんな。
まちがっているところが同じ って以外に 同じとこがあるか？
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 08:50:20 ]
- 適確な例え
対応も示してあって分かりやすい
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 08:55:04 ]
- 分母の大小と、本来の大小を逆に取り違える
というのは、どこに対応してるんだ？
- 539 名前：492 mailto:sage [2010/02/27(土) 10:31:57 ]
- >>526
＞一方は期待値1.25、もう一方は期待値1
AはじめにA君(C君)が受け取る袋をX,B君(D君)が受け取る袋をYとして
>>295の[3]を仮定する
A君がXの金額を確認して、かつA君はYの金額を知らない
という条件の下で
A君にとってYの金額の期待値がXの金額の1.25倍
B君がYの金額を確認して、かつB君はXの金額を知らない
という条件の下で
B君にとってXの金額の期待値がYの金額の1.25倍であるので
(A君にとってYの金額の期待値とB君にとってXの金額の期待値の和)
＝(XとYの合計金額)*1.25
とはなるけど、これは(XとYの合計金額の期待値)ではないよ。
Xの金額を確認して、かつYの金額を知らない、かつ
Yの金額を確認して、かつXの金額を知らないということは
ありえないのだから、(A君にとっての期待値とB君にとっての期待値の和)
を取ること自体に、あまり意味がないと思い。
期待値ってのは単なる平均のことなのだから
A君が期待値の大きい方を選択したからといって
１回or複数回の試行では、A君が必ず勝つ(交換しなかった時よりも多く得る)
わけではない。A君は勝ったり負けたりする。B君も勝ったり負けたりする。
でも、2人とも同時に勝つことはない。
無限回試行すれば、>>296のような考え方で
(Aの得た金額)＝(Cの得た金額)*1.25
(A君とB君の金額合計)＝(C君D君の金額合計)*1.25
と考えることもできるけど、だからと言って
替えるほうが得かどうかを考えてもあまり意味はないと思う(>>373)
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 12:31:57 ]
- ＞A君がXの金額を確認して、かつA君はYの金額を知らない
確認は必要無い
>>539がA君の具体的な金額を確認しないまま1.25倍と言えるのと同じように
A君も確認前に1.25倍と言う事ができる
＞これは(XとYの合計金額の期待値)ではないよ。
＞期待値ってのは単なる平均のことなのだから
〜
＞A君は勝ったり負けたりする。B君も勝ったり負けたりする。
A君の選択はC君の選択より期待値が高いんだから常にA君はC君より儲けるはずだ、とは言ってない
交換する事の期待値が1.25なら
単なる平均として A君の得た額＞C君の得た額 になるはずだ
ならないのならこの1.25の意味は何だ？
そして同様に B君の得た額＞D君の得た額 になり、
A君の得た額＋B君の得た額＞C君の得た額＋D君の得た額 となる
俺は期待値は1だと思ってるんだが、絶対の自信があるわけじゃない
あるわけじゃないが、それにしても期待値は1.25だが期待値1と比較しても得になるわけではないという説には納得しかねる
- 541 名前：492 mailto:sage [2010/02/27(土) 14:24:58 ]
- >>540
期待値が1倍なのか1.25倍なのかではなくて、
期待値が1.25倍になるような問題(確認してない方の金額が
確認した方の半分である確率1/2,２倍である確率1/2となる問題)
を考えているのだけど…。
このような問題を考えた場合、(他の条件をつけない限り)
>>373にあるように袋を開ける前の期待値は無限(存在しない)になるので
袋を開ける前のYの金額の期待値がXの金額の1.25倍であるって表現は
本当は適切でないと思う。
A君がXの金額を確認して、かつA君はYの金額を知らないという条件の下では
A君にとってYの金額の期待値はXの金額の1.25倍
A君にとってXの金額の期待値はXの金額の1倍
A君がX,Yの金額を確認したという条件の下では
A君にとってYの金額の期待値はYの金額の1倍
A君にとってXの金額の期待値はXの金額の1倍
(A君にとってYの金額の期待値はXの金額の1.25倍とはいえない)
となることからも、A君が金額を確認したかどうかはとても重要なこと
有限回の試行なら、(A君の得た額＞C君の得た額)かつ(B君の得た額＞D君の得た額)
とはならないので、(A君の得た額＋B君の得た額＞C君の得た額＋D君の得た額)とならない
のも不思議ではない。
無限回の試行なら、>>296の考え方で
(A君の得た額＞C君の得た額)かつ(B君の得た額＞D君の得た額)
で、(A君の得た額＋B君の得た額＞C君の得た額＋D君の得た額)
これを試行回数(無限回)で割れば、期待値(平均)で表せて
(Aの期待値+Bの期待値>Cの期待値+Dの期待値)
となると考えれば、(正しい推論でないが)納得しやすい？
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 18:06:35 ]
- >>538>>537
俺は基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入るというのが何を言いたいのか分からなくて
その式が出ている話に加わらなかったけど
どこか途中で対応の話が出てから何を言ってるのかうっすら想像できるようになった
俺が理解した内容は
安い方の封筒が100＜ｘ＜110の区間の中に
101円、102円、103円、…、109円の９通りの金額があったとすると
高い方の封筒は200＜2ｘ＜220の区間の中に
202円、204円、206円、…218円の９通りの金額が対応する
逆に高い方の封筒が200＜2x＜220の区間の中に
201円、202円、203円、…、219円の１９通りの金額があったとすると
安い方の封筒は100＜x＜110の区間の中に
100.5円、101円、101.5円、…、109.5円の19通りの金額が対応する
つまり安い方の区間と、高い方の区間では
対応する区間の広さは高い方が２倍広いけど
対応する金額の個数は同じになるのだとはっきり分かった
分数の例えは何か逆のことをしてるたとえだというのは分かるけど
密度の例えのほうが俺的にわかりやすかった
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 18:18:43 ]
- 分数の例えは、国語的にはそんなもんでもいいかもしれんけど
数学的には帰ってわかり難くなっているように感じるよ。
封筒ふたつの合計金額をaとして、aの分布の密度は
3/aの分布の密度の1/3、2/aの分布の密度の1/2。
こちらのほうがスッキリと説明できるし、封筒の金額比が1:2でなくても
そのまま応用が利く。
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 18:30:17 ]
- 分かっている人向けにはたとえは必要ないのでは？
分布の違いの指摘は初期からずっとあるわけだから
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/27(土) 22:31:46 ]
- >>541
＞期待値が1.25倍になるような問題を考えているのだけど…。
その1.25倍になるがおかしいんじゃないか？って事なんだが
何か食い違ってる？
＞>>373にあるように袋を開ける前の期待値は無限(存在しない)になるので
＞袋を開ける前のYの金額の期待値がXの金額の1.25倍であるって表現は
＞本当は適切でないと思う。
これに関しては適切だと思ってもらうしかないと思う
そうでないと、金額比が1：2、という設定なわけだが
XはYの2倍もしくは1/2倍、ではなくXは無限なのでその2倍も1/2倍も無限でX＝Yとなり
金額比の意味が無くなり問題が成立しなくなる
袋を開ける前に1：2であるとする問題なのだから、
それを認めるなら袋を開ける前の期待値についても認めるしかないはず
それと、A君が自分の袋の中身を知らないと期待値を求められない、と言うなら
俺や>>541もn円だったとか変数を当てて考える事はできず
10000円だったなどと具体的な金額を当てはめないと期待値を求められない事になる
具体的な金額を当てはめずに期待値を求める事ができるのなら
A君もn円だったらとして袋を開ける前に期待値を求める事ができる
A君は確認しないと期待値は求められないという話は
A君は小説の登場人物で、A君は我々(作者)の知る隠された真実は知らない
とでもいうような特別扱いをしてるかのように感じる
本来は俺もA君も差は無いはずだ
俺がある情報で期待値が1.25倍だと求める事ができたのなら
A君も同じだけの情報があれば期待値が1.25倍だと求める事ができるはず
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