- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/18(木) 00:15:13 ]
- 眼が悪く見た金額の精度が微妙に分散してたらどうだろう。
覗いた方の封筒Ａの中味は a 円 を中心とする a-ε<a<a+ε の一様分布だった…※
出題主は片方の封筒Ｓを 1/2 の確率で基準封筒と選び、
金額を一様分布から決定し、他方にはその 1/2 倍と決めたとする。
大きい方が基準封筒ってことね。
基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入る確率を P(X)、
基準金額が 2(a-ε)〜2(a+ε) に入る確率を P(Y) とする。
Ａが基準封筒になり、かつ、基準金額が (a-ε)〜(a+ε) に入って※を観測する同時確率は P(X)/2。
Ｂが基準封筒になり、かつ、基準金額が 2(a-ε)〜2(a+ε) に入って※を観測する同時確率は P(Y)/2。
よって覗いた方の封筒Ａの中味が上記 a 円のとき、
Ａが基準封筒であった事後確率は、(P(X)/2)/(P(X)/2+P(Y)/2) = P(X)/(P(X)+P(Y))。
Ｂが基準封筒であった事後確率は、(P(Y)/2)/(P(X)/2+P(Y)/2) = P(Y)/(P(X)+P(Y))。
よって、自分が見ていないＢの金額の期待値 E[b] は、
E[b]=(a/2)P(X)/(P(X)+P(Y)) + (2a)P(Y)/(P(X)+P(Y))
=(0.5aP(X)+2aP(Y))/(P(X)+P(Y))
P(Y) = 2P(X) より
E[b]=(0.5aP(X)+4aP(X))/(P(X)+2P(X)) = 4.5a/3 = 1.5a より
1.5(a-ε) < E[b] < 1.5(a+ε).
誤差εの極限を 0 に近づけるとそれは 1.5a に近づく。
b=1.25a と何が違うのかというと、
b=1.25a の計算のときには 1/2 だった金額観測後の基準封筒の事後確率を
A:B=1:1 でなく A:B=1:2 と計算することになるところ。
Ｂが基準封筒である確率の方が実は２倍大きいんだ。
「有限の金額を確認後には変えた方がいい」というのは変わらないけど、こっちの方が正確じゃない？
|
 |
