- 768 名前：１３２人目の素数さん [03/11/18 02:57]
- ⅡEx.3.22
(b) (a)より codim(X_y,X)≦codim({y}~,Y)
左辺=dimX-dimX_y
右辺≦dimY なので示せた。
(c) (a)同様にYはaffineとしてよい。
さらにfがof finite typeだから有限個のopen affine covering ofX {U_i}がある。
fの制限 f_i : U_i→Y を考えると、これもdominatingになっていて、
各U_iで問題のopen subsetV_iがあることを示せば、U=∩V_i（有限個）は題意を満たす。
よって、Xもaffineとしてよい。
X=SpecB→Y=SpecA でA,Bはk上有限生成、その商体をK,K'とする。
このとき、e=dimX-dimY=dimB-dimA=tr.d.K'/k-tr.dK/k=tr.dK'/K=tr.d(A×K/B)
よって、K[x_1,・・・,x_e]⊂A×K/B で⊂の拡大は代数的。
ここで、x_1,・・・,x_e∈Aとしてよい。
よって、B[x_1,・・・,x_e]⊂A ここで⊂の拡大は代数的ではないかも知れない。
しかし、α∈AのK[x_1,・・・,x_e]上の多項式の共通分母gをとれば、αはB_g[x_1,・・・,x_e]上整。
今AはB上有限生成だったから、その生成元について考えれば、
B_g[x_1,・・・,x_e]⊂A_φ(g) は整拡大 （φはB→A）
よってU=D(g)とすると、f^(-1)(U)=D(φ(g)) であり、
f^(-1)(U)→SpecB_g[x_1,・・・,x_e]=U×A^e→U
と分解できる。第１の射をa、第２の射をbとする。
aはfinite,surjectiveでbはproject、これが条件を満たすことを示そう。
U_yのirreducible componentをZとする。
(b)よりdimZ≧e なので逆の不等式dimZ≦e を示せばよい。
a(Z)~⊂{y}~×A^e よりdim(a(Z))≦e
一方aはfinite surjectiveより、dimensionをtr.degreeによって調べれば
dimZ=dim(a(Z)) なのでこれで示された。
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