Y は有限個のアフィン開集合 U_i の合併となる。 f の 制限 f_i: f^(-1)(U_i) → U_i を考える。 Z_i = Z ∩ f^(-1)(U_i) は f^(-1)(U_i) の可構部分集合である。 f_i(Z_i) = f(Z) ∩ U_i であるから、f(Z) ∩ U_i が U_i の 可構部分集合であれば、f(Z) が Y の可構部分集合であることが いえる。即ち、Y をアフィンスキームと仮定してよい。
補題(>>839)より、アフィンスキーム X' と 有限型の射 g: X' → X が存在し、g(X') = Z となる。 h = fg とすれば、h(X') = f(Z) である。 h は有限型だから、X はアフィンスキームとし、X = Z と 仮定してよい。
補題(>>840)より、Y の任意の既約閉集合 F に対して、 f(X) ∩ F が F において稠密なら、 f(X) ∩ F は F の空でない開集合を含むことを示せばよい。 F を被約な閉部分スキームとみなす。 T = X x F とおく。ここで、X x F は Y 上のファイバー積である。 g: T → F を射影とする。 T は位相空間として f^(-1)(F) と見なせ、 g は f の制限と見なせる。 従がって、g(T) = f(X) ∩ F である。 以上から、Y は既約で、f は支配的と仮定してよい。
X を既約成分 X_i に分解する。ある X_i に対して f(X_i) は Y で稠密である。これより、X も既約と仮定してよい。 さらに、X, Y をそれぞれの被約化 X_red, Y_red に置き換える ことにより X と Y は被約と仮定してよい。 証明終
