- 757 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 20:12]
- II Ex. 3.14 の解答
X はアフィンと仮定してよい。
X = Spec(A) とする。
f をベキ零でない A の元とする。
A_f ≠ 0 だから、A_f の極大イデアル P が存在する。
φ: A → A_f を標準射とする。φ^(-1)(P) = P' とおく。
A/P' → A_f/P をφから誘導される単射とする。
A_f は体 k 上有限型だから、ヒルベルトの零点定理より、
A_f/P は k 上有限次代数拡大である。
従がって、A/P' も k 上有限次代数拡大である
故に、P' は A の極大イデアルである。
P' ∈ D(f) だから、X の閉点全体は X で稠密である。
これで、問題の前半が証明された。
(B, m) を体でない局所整域とする。
f ≠ 0 を B の元で、m に含まれる元とする。
D(f) は 0 イデアルを含むから空でなく、m を含まない。
これより、 Spec(B) の閉点全体 {m} は Spec(B) で稠密でない。
