- 758 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 20:38]
- ⅡEx3.13
ｆ：X:→Speck がof finite type なので
Xは有限個のopen affine covering {U_i=SpecA_i}をもち、A_iは有限生成k-alg.
Zをclosed points全体からなる集合とする。ZのclosureがXであることを示したいので、
任意のopen set Uと共通部分をもつ事を示せばよい。
U∩U_iとZ∩U_iが共通部分をもつ事を示せばよく、さらに
U∩U_iよりもさらに小さくとって、U_iの中でD(f)がZ∩U_iと共通部分をもつことを示せばよい。
ややこしいのでU_i=SpecA Aは有限生成k-alg.とおくと
SpecA_f∩Z=Φ （in SpecA) を示せばよい。
これから A_f の極大イデアルでAでも極大イデアルになっているものがあることを示せばよい。
（A_fの極大イデアルという言い方は微妙かも。SpecA_f={p∈ApecA| pにfは含まれない}という意味で）
ところで、Aは有限生成k-algなので、A=k[x_1,・・・.x_n]/I という形で
極大イデアルを考えてるので、A=k[x_1,・・・,x_n]としてよい。
そうなると、示したいことは明らか。
（m-SpecA_f={(α_1,・・・,α_n) | f(α_1,・・・,α_n)≠0} だからこれが空だとf∈∩m = √(0) ）
後半の例としてはRをDVRとして、SpecRはclosed point 1つとopen point 1つからなるので
明らかにdenseでない。
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