- 762 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 23:25]
- >>760 ご苦労様。かぶらないように次は・・・
ⅡEx.3.20
(a) まずXのopen affine covering {U_i} について dimX=supdimU_i=maxdimU_i
（ⅠEx.1.10、sup→maxになったのはof finite typeより有限個にできるから）
一方U=SpecA をそのU_iのうちの一つとすると
Aは有限生成k-alg なので dimU=dimA=height(p)+dim(A/p)=dimA_p+dim(A/p) （ⅠTheorem1.8A）
ここでpがmaximalならdimU=dimA=dimA_p=dimO_p
２つの開集合は必ず交わるので(integral）この議論より実はiによらずpによらず題意が成り立つ。
(b)上のようにopen affineをとると、dimU=dimXになるということと、K(X)=K(U)=O_ξ（ξ：generic）なので
最初からaffineの場合に示せばよい。
X=SpecA とすると、dimX=dimA=tr.d.S(A)=tr.d.K(X)
（ⅠTheorem1,8A S(A)はAの商体を表す）
(c)codim(Y,X)=inf[Z⊂Y：irreducible] codim(Z,X) なので（定義）
codim(Z,X)を考えればよい。
dimX=dimU が(a)で示せていて、同様にdimZ=dim(U∩Z) も示せるので
codim(Z,X)=dimX-dimZ=dimU-dim(U∩Z)=codim(U,U∩Z)
これよりU=SpecA, U∩Z=V(p) （p：素イデアル）としてよく
codim(U,U∩Z)=height(p)=dimA_p=dimO_p
ここでZに対応する点PはYに含まれる点と対応する。
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