en.wikipedia.org/wiki/Countable_set Countable set Theorem — (Assuming the axiom of countable choice) The union of countably many countable sets is countable.[f] We need the axiom of countable choice to index all the sets a,b,c,… simultaneously.
>>544 お愉しみを邪魔して悪いが ちょっと、『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に戻る 結論は １）ZF上で、コーシー列が収束することは言える ２）ZFC上でならば、コーシー列が収束することが、実数の定義として成り立ち 従来知られている 実数の位相的な性質 完備距離空間だとか なんだとか いろいろ 言える ３）下記 ZF＋可算選択公理では、”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” ”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる） が、 Equivalent が言える。が、そこまでで詰み（従属選択公理DCでどうなるかは 不明だが、ソロベイモデルがあるので もっと言えそう） ４）以上より、ZF上で なんらの選択公理を仮定しないならば、”コーシー列が収束すること”までで詰みかも ；ｐ）
(参考) >>84より 再録 archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545 Choice principles in elementary topology and analysis
588 名前：Horst Herrlich 1. In the realm of the reals We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles. Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are: 1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, 2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x, 3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous, 4. each subspace of R is separable, 5. R is a Lindel¨ of space, 6. Q is a Lindel¨ of space, 7. N is a Lindel¨ of space, 8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence, 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R. There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
(参考 追加) en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice Axiom of countable choice Equivalent forms There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9] ・Every countable collection of non-empty sets has a choice function.[8] ・Every infinite collection of non-empty sets has an infinite sub-collection with a choice function.[8] ・Every σ-compact space (the union of countably many compact spaces) is a Lindelöf space (every open cover has a countable subcover).[8] A metric space is σ-compact if and only if it is Lindelöf.[9] ・Every second-countable space (it has a countable base of open sets) is a separable space (it has a countable dense subset).[8] A metric space is separable if and only if it is σ-compact.[9] ・Every sequentially continuous real-valued function in a metric space is a continuous function.[8] ・Every accumulation point of a subset of a metric space is a limit of a sequence of points from the subset.[9] ・The Rasiowa–Sikorski lemma MA(ℵ0), a countable form of Martin's axiom: in a preorder with the countable chain condition, every countable family of dense subsets has a filter intersecting all the subsets. (In this context, a set is called dense if every element of the preorder has a lower bound in the set.)[8]
References 8^ Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Consequences of the axiom of choice. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8. See in particular Form 8, p. 17–18. 9^ Herrlich, Horst (1997). "Choice principles in elementary topology and analysis" (PDF). Comment. Math. Univ. Carolinae. 38 (3): 545. See, in particular, Theorem 2.4, pp. 547–548.
en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers Construction of the real numbers
en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)#Example_from_real_analysis Constructivism (philosophy of mathematics) Example from real analysis In classical real analysis, one way to define a real number is as an equivalence class of Cauchy sequences of rational numbers.
en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space Complete metric space
よって、結論 ・ZFで、コーシー列の収束は証明できる。そこで詰み ・ZF+可算選択公理で、先に進める。例えば、”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）>>547 （”5. R is a Lindel¨ of space,”では、まだ不十分） ・さらに先に進むには、さらなる強いパワーの従属選択公理DCかAC(フルパワー選択公理)が必要
(参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7 実数の連続性（continuity of real numbers）とは、実数の集合がもつ性質である。有理数はこの性質を持たない。 実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。 なお、ここで言う連続性は、関数の連続性とは別の概念である。 実数の連続性と同値な命題 実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体（位相は順序位相を入れる）において、実数の公理は 1.デデキントの公理 2.上限性質を持つ 3.有界単調数列の収束定理 4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす 5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 6.次の２条件を満たす ・アルキメデス性を持つ ・コーシー列は収束する 7.中間値の定理 8.最大値の定理 9.ロルの定理 10.ラグランジュの平均値の定理 11.コーシーの平均値の定理 12.ハイネ・ボレルの定理 と同値である。 赤摂也『実数論講義』 には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。
https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers Completeness is a property of the real numbers that, intuitively, implies that there are no "gaps" (in Dedekind's terminology) or "missing points" in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a "gap" at each irrational value. In the decimal number system, completeness is equivalent to the statement that any infinite string of decimal digits is actually a decimal representation for some real number. Depending on the construction of the real numbers used, completeness may take the form of an axiom (the completeness axiom), or may be a theorem proven from the construction. There are many equivalent forms of completeness, the most prominent being Dedekind completeness and Cauchy completeness (completeness as a metric space).
https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space Complete metric space In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M. Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary). For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g. √2 is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it (see further examples below
594 名前：). It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below. (引用終り) 以上 []
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem Schröder–Bernstein theorem Prerequisites The 1895 proof by Cantor relied, in effect, on the axiom of choice by inferring the result as a corollary of the well-ordering theorem.[8][9] However, König's proof given above shows that the result can also be proved without using the axiom of choice.
On the other hand, König's proof uses the principle of excluded middle to draw a conclusion through case analysis. As such, the above proof is not a constructive one. In fact, in a constructive set theory such as intuitionistic set theory IZF, which adopts the full axiom of separation but dispenses with the principle of excluded middle, assuming the Schröder–Bernstein theorem implies the latter.[19] In turn, there is no proof of König's conclusion in this or weaker constructive theories. Therefore, intuitionists do not accept the statement of the Schröder–Bernstein theorem.[20]
There is also a proof which uses Tarski's fixed point theorem.[21]
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。
math.stackexchange で Feferman has, I think, spent quite a bit of intellectual effort on just this question; see, for example, math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf. – LSpice CommentedAug 29, 2014 at 23:51 とあったので、下記貼ります
(参考) math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf From PSA 1992, vol. 2 (1993), pp. 442–455 (with with corrections)
Why a little bit goes a long way: Logical foundations of scientifically applicable mathematics*1 Solomon Feferman
(Notes *1. Invited lecture in the Symposium, "Is foundational work in mathematics relevant to the philosophy of science?" at the meeting of the Philosophy of Science Association, Chicago, Nov. 1, 1992.)
8. Final remarks. Like most scientists, philosophers of science could simply take mathematics for granted and not concern themselves with its foundations, as being irrelevant to their main concerns. But, as Hellman has emphasized in his introduction to his article in this volume, debates like those discussed here as to realism vs. (e.g.) instrumentalism, and as to the indispensability of highly theoretical concepts and principles, are equally central to the philosophy of science. Whether the kind of logical results described here will be more directly relevant to those debates remains to be seen. But as long as science takes the real number system for granted, its philosophers must eventually engage the basic foundational question of modern mathematics: "What are the real numbers, really?"
同意です その筋は、ツォルンの補題の証明に書いてあった 『この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。』 とか。（まだ、分ってないので、ツッコミなしね）
(参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題 証明の概略 選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。 関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。 この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。 aiは次の超限帰納法で定義する。 略す (引用終り)
・ZFで、有理数のコーシー列の収束が言えて それらの集合の存在が言える ・それらの集合をＲと名付ける では、集合Ｒの性質はどうか？ ・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” ”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる） ・ここから先、つまりリンデレーエフ空間より先 デデキントやカントールが成したような 実数の公理を満たすところまで進むには、 可算選択公理とのEquivalentを破る 可算選択公理の上位の選択公理（従属選択公理DC や フルパワー選択公理AC）が必要■
じゃあ、何が言えるか書いてみて！ｗ ；ｐ） ＜先制攻撃＞ 下記 ZF＋可算選択公理では、下記 Equivalent ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” ”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる） archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545 Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
さて ”in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” を平たくいえば、a subset A：x0,x1,x2・・・ ,x なる
(参考) sites.google.com/view/stakeda 武田 秀一郎 Associate Professor Department of Mathematics Osaka University Education Ph.D Mathematics,University of Pennsylvania,2006 M.A. Mathematics, San Francisco State University,2001 M.A. Philosophy, San Francisco State University,2000 B.E. Engineering, Science University of Tokyo,1997
researchmap.jp/read0078210/education 渕野昌 1979年4月-1984年3月Freie Universität Berlin, Fachbereich Mathemtatik(ベルリン自由大学) 1977年4月-1979年3月早稲田大学, 理工学部, 数学科
ふと思いついたが >>404より 海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします） Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 冒頭 ”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A . と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている） 最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている （enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）
これで、全752ページだが 目次を見ると 下記なので Theorem 5.1より前に ”2. Ordinal Numbers”と ”3. Cardinal Numbers”が終わっている が、よく読むと（実は ななめ読みｗ） 上記の２つの章は、ガチガチのZFではなく カントールなどの古典的な集合論の議論中心だった ；ｐ） ５章でまた、”Cardinal Arithmetic.”を取り上げている ともかく、T Jech の内心では、”of order type sup{α∣aα is defined}”の部分は、 テキストとして それなりに 納得できているのかもしれない ；ｐ）
記 Part I. Basic Set Theory 1. Axioms of Set Theory Axioms of Zermelo-Praenkel. Why Axiomatic Set Theory? Language of Set Theory, Formulas. Classes. Extensionality. Pairing. Separation Schema. Union. Power Set. Infinity. Replacement Schema. Ex
620 名前：ercises. Historical Notes.
2. Ordinal Numbers Linear and Partial Ordering. Well-Ordering. Ordinal Numbers. Induction and Recursion. Ordinal Arithmetic. Well-Founded Relations. Exercises. Historical Notes.
3. Cardinal Numbers Cardinality. Alephs. The Canonical Well-Ordering of a x o. Cofinality. Ex ercises. Historical Notes.
4. Real Numbers The Cardinality of the Continuum. The Ordering of R. Suslin’s Problem. The Topology of the Real Line. Borel Sets. Lebesgue Measure. The Baire Space. Polish Spaces. Exercises. Historical Notes.
5. The Axiom of Choice and Cardinal Arithmetic The Axiom of Choice. Using the Axiom of Choice in Mathematics. The Count able Axiom of Choice. Cardinal Arithmetic. Infinite Sums and Products. The Continuum Function. Cardinal Exponentiation. The Singular Cardinal Hy pothesis. Exercises. Historical Notes.
6. The Axiom of Regularity The Cumulative Hierarchy of Sets. G-Induction. Well-Founded Relations. The Bernays-Godel Axiomatic Set Theory. Exercises. Historical Notes.
7. Filters, Ultrafilters and Boolean Algebras Filters and Ultrafilters. Ultrafilters on cj. /^-Complete Filters and Ideals. Boolean Algebras. Ideals and Filters on Boolean Algebras. Complete Boolean Algebras. Complete and Regular Subalgebras. Saturation. Distributivity of Complete Boolean Algebras. Exercises. Historical Notes. (引用終り) 以上
fuchino.ddo.jp/misc/set-theory.pdf 集合論は矛盾する？！1渕野昌 1『数学セミナー』2002年2月号，52–56 掲載． ただし，本稿は『数学セミナー』掲載予定のテキストからは削除されたリマークや，その後の補筆を，幾つか含むものとなっている．[last updated on: March 21, 2024]
だった つまり、 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem >>404 (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
あるいは 海賊版のThomas Jechの 証明を 転記>>464 if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A.
ここで order type sup{α∣aα is defined} と Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. とが対応して、同じ意味だと思う
いまの議論で、選択公理→整列可能定理 の証明中で ”order type sup{α∣aα is defined}”を使って良いかどうか？
整理すると ZFCで、任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えて 一方で、順序数の理論体系が出来ていれば 集合Aの濃度は、冪集合P(A)の濃度を超えないから ”order type sup{α∣aα is defined}”が言える（なにか上限があるってこと） 但し、整列可能定理を陽に使っていないこと
それ以外にも、 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば ”order type sup{α∣aα is defined}”がなければ、それはクラスでしょ？ （背理法） も考えられる
>>404より 海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします） Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
いま手元の 海賊版 ”The Third Millennium Edition, revised and ... 2002.” で、初版が 1978年とある
随分 いろんな人の目に触れたと思うよ 問題点は、殆ど出尽くしじゃない？ （＾＾
そして、”Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)” この ”5.The Axiom of Choice and Cardinal Arithmetic ” より前に
>>598 補足 (再掲)>>504より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. 注）＊ For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. 注）＊ That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. (引用終り)
厳密な定義 （カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）集合 X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス [X] としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、X が空でないならば、一対一対応のつくすべての集合を集めたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、X を空でない集合としたとき、集合 S に {S} × X を対応させる写像を考えることによって、宇宙から [X] への単射が存在し、サイズの限界（英語版）より、[X] は真のクラスである。
フォン・ノイマンの割り当て 選択公理を仮定すると集合 X に対し濃度 | X | を | X | := min{α ∈ ON : |α| = | X | } と定義できる 。 これをフォン・ノイマンの割り当てという。
スコットのトリック 正則性公理の元、任意のクラスに対し画一的に（そのクラスの部分クラスとなる）集合を割り当てる方法であるスコットのトリックを使うと、 整列可能とは限らない集合 X に濃度 | X | を以下のように割り当てることができる（詳しくはスコットのトリックを参照）。 | X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B に対し「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)} 」 どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α|aα is defined}. すると「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」で定義されるA上の順序関係<は、望み通りAの整列順序であり、sup{α|aα is defined}順序型のものである。
>>616 >>よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。 >??? なんだそれ？ なんだそれじゃないよｗ sup{α|aα is defined}の特定によって
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α|aα is defined}. すると「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」で定義されるA上の順序関係<は、望み通りAの整列順序であり、sup{α|aα is defined}順序型のものである。
が言えるんだよ。 sup{α|aα is defined}が特定されなきゃ、「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」による(A,<)の定義がwell-definedと言えんだろ？
(参考) en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Statement A choice function (also called selector or selection) is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated: Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set. Formally, this may be expressed as follows: ∀X[Φ not∈X ⟹ ∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)].
