- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/29(土) 13:14:41.54 ]
- [問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
選んで中を見ると10000円だった。
他方の封筒の金額の期待値は？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。
このような問題を他スレで話題にしたりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くよう誘導お願いします。
派生元
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
過去スレ
２つの封筒問題スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049
２つの封筒問題スレ 2
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151
２封筒問題スレ その３
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/
- 583 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 03:29:44.04 ]
- 私は>>542ではない。
私の意見は>>560>>561に書いた通り
「（理由不十分の原理より）ここでは、、、の確率と、、、の確率は等しいものと仮定する」と明記すれば用いてよい。
しかし、数学の議論のみをしたいならば（理由不十分の原理より）の部分は書かないことをお勧めする。
（私は理由不十分の原理を用いたわけではないが）>>512最後と>>513の書き込みを見てくれ。
数学では、数学的に明快な文章で述べられている限り、いかなる仮定を用いても議論として成立する。
しかし、その仮定（例えば理由不十分の原理）を用いることに対する主観的な評価は別の問題であり。
もし試験において出題者の意図しない仮定を用いて議論すれば減点されるだろうし、
もし研究集会において参加者が無意味だと考える仮定を用いて議論すれば無視されるだろう。
一般論として、もし「確率分布について何も情報がない」場合。
任意の確率分布を仮定として付け加えても、それによって数学的議論に矛盾が起こることはない。
なぜなら、もし矛盾が起きるならば、確率分布として「そのような確率分布を仮定すれば矛盾が起きる」という情報があることになり
前提に反するから。（トートロジーを述べているにすぎないが）
確率変数が有限個の場合には、「任意の確率分布」の特別な場合として「一様分布」を仮定しても矛盾は起こらない。
（ただし確率変数が加算無限個の場合には「一様分布」自体が存在しないが。）
理由不十分の原理を用いることは「一様分布」を仮定することに相当する。
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 03:31:37.08 ]
- >>581
＞何回でも（十分に大きい回数）繰り返し行える場合には、期待値の大小で損得を判断することをお勧めする。
これはおかしいんじゃね？
非開封側の期待値は常に開封側の1.25倍なのであれば、必ず交換することになっちゃう
封筒Ａと封筒Ｂで行うと、最初Ａを選んだ人はＢに、Ｂを選んだ人はＡになるだけ
交換派が何回やっても、非交換派と同じ獲得額になるのは明らか
- 585 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 04:10:18.82 ]
- >>584
>>568について話しているのか？いったいどんな問題を考えているのだ？
問題設定をちゃんと述べよ。
「選んだ封筒を開封したら一万円が出てきて、他方の封筒は二万円である確率と５千円である確率が等確率」という仮定なら、
他方の封筒の期待値は12500円である。
しかし、こんな仮定がＡを選んだ人にもＢを選んだ人にも当てはまる事はあり得ないだろ？
- 586 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 04:41:08.63 ]
- 二封筒問題に疑問があり理解したい人は英語版wikiのtwo envelopes problemを読むのが良い。
一応過去スレのもの（少し改変した）を貼っておく。
二封筒問題
１、２つの封筒があり、中にそれぞれお金が入っている。入っている金額の比は１：２とする。
２、ランダムに一方を選ぶ。（つまり、金額が高いほうを選ぶか、低いほうを選ぶか、それぞれの確率は1/2であるとする。）
３、選んだ封筒の中を見ると10000円だった。
４、このとき他方の袋に入っている金額は5000円か20000円である。
５、それぞれの確率は1/2である。
６、よって他方の袋の金額の期待値は12500円となり、選んだ封筒の金額の1.25倍。
７、初めに選んだ金額がいかなる場合においても、他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。
８、初めに選んだ封筒の金額がいかなる場合にいおても他方を選べば1.25倍になる。
Ｐ、よって封筒の金額を見なくても、交換した封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当？
Ｑ、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは中身も見ずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当？
Ｒ、中身を見ずに、やっぱりこっちにする。やっぱりこっちにする。と交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当？
答え
Ａ、５の確率には根拠がない。５は条件付き確率であって２の確率とは別物であり、
「初めにどのような確率分布でお金を入れたのか？」に依存する。
それが与えられていないので「それぞれの確率は分からない」が正解。
Ｂ、問題の流れに従い根拠はないが５が正しいと仮定して話を進めよう。
つまり、１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう（実際そのような確率分布は存在する）。
その場合には６は正しい。
Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。つまり、７が正しくなるような確率分布は存在しない。
（ただし、余白が足りないのでこのことの証明はここには書けない。）よって８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。
Ｄ、ただし、８が成立するような封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在する。
ちなみに、この確率分布の開封前の期待値はどちらの封筒も無限大に発散している。
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 04:55:42.32 ]
- >>585
俺は>>584だが、あくまで>>1の問題について話してるよ
まず>>572 >>575で、開封側が１万なら非開封側の期待値は12500とある
次に>>581で
＞何回でも（十分に大きい回数）繰り返し行える場合には、期待値の大小で損得を判断することをお勧めする。
とある
俺はそれに反論してる
最初の開封が１万の人は非開封側期待値12500だから交換、２万の人は25000だから交換、五千の人も6250だから交換
>>581の引用部分に従えば結局みんな交換する
こんなことしても得にならないのは明らか
- 588 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 05:14:31.72 ]
- 二封筒問題
１、二つの封筒があり、中にそれぞれ1:2の金額の比でお金が入っている。
２、ランダムに一方を選ぶ。（つまり高額を選ぶか低額を選ぶか、それぞれの確率は1/2であるとする。）
３、選んだ封筒の金額を確認すると10000円だった。
４、このとき他方の封筒の金額は5000円か20000円である。
５、それぞれの確率は1/2である。
６、よって他方の封筒の金額の期待値は12500円となり、確認した封筒の金額の1.25倍。
７、初めに確認した金額がいかなる場合においても、同様の議論により他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。
８、初めに確認した金額がいかなる場合にいおても、他方の期待値は1.25倍になる。
Ｐ、よって封筒の金額を確認しなくても、他方の封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当？
Ｑ、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは金額を確認せずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当？
Ｒ、金額を確認せずに、繰り返し交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当？
答え
Ａ、５の確率には根拠がない。５は条件付き確率であって２の確率とは別物であり、
「１の時点でどのような確率分布でお金を入れたのか？」に依存する。
それが与えられていないので「それぞれの確率は分からない」が正解。
Ｂ、問題の流れに従い根拠はないが５が正しいと仮定して話を進めよう。
つまり、１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう（実際そのような確率分布は存在する）。
その場合には６は正しい。
Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。
つまり、１の時点で７が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在しない。
（ただし、余白が足りないのでこのことの証明はここには書けない。）
よって８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。
Ｄ、ただし、１の時点で８が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在する。
ちなみに、この確率分布の（もちろん金額確認前の）期待値はどちらの封筒も無限大に発散している。
Ｅ、Ｄで述べた確率分布の場合には、Ｐ、Ｑ、Ｒに対する答えはどうなるのか？
無限大に発散しているものどうしを比較して1.25倍か？という問い自体が意味不明である。
- 589 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 05:22:08.49 ]
- 連投ごめん。少し書き直したものが>>588だ。まだ不備があるかもしれん。
>>587
どんな問題を考えているか条件をはっきりかけ。>>1には確率のことは何も書かれていないぞ。
>１万の人は非開封側期待値12500だから交換、２万の人は25000だから交換、五千の人も6250だから交換
これらは全て、他方の金額が二倍か1/2になる確率は1/2ずつとの仮定のもとでの期待値の計算だろ？
そんな仮定は>>1には無いぞ。
>>588のＣを読め。
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 05:44:07.59 ]
- >>589
つまりあなたは>>572 >>575には賛成してないわけか
だったら俺の勘違い すまんかった 忘れてくれ
- 591 名前：526,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 05:57:03.55 ]
- >>590
君は他人の文章をちゃんと読め。
私は>>572と同意見だよ。>>575とは違うが。
>>568では
>五千円と一万円が入っているのが五十箱
>一万円と二万円が入っているのが五十箱
と仮定されているだろ。この仮定の下で「片方の封筒を開封したら一万円が出てきた」ならば
「もう一方の封筒の期待値は12500円」で正しい。
人々がどんな仮定のもとで発言しているかちゃんと読め。
自分がどんな仮定の下で考えているかもはっきり述べよ。
仮定が変われば、結論は違うんだよ。
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 07:25:10.02 ]
- >>591 そもそも、
＞五千円と一万円が入っているのが五十箱
＞一万円と二万円が入っているのが五十箱
この限定ルールで話してるレス番号はどれ？
あなたがそうだと思うものを全部挙げてほしいわ
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 13:27:16.52 ]
- 上限額付近を引いたら、交換すると半分確定
下限額付近を引いたら、交換すると２倍確定
どちらでもない場合は、交換すると期待値は常に125%(片方の金額を確認した後の期待値/金額ペアが選ばれる確率が等しい場合)
三つ合わせるとトントンで、非交換派の論拠である、「期待値は常に交換しない＝常に交換する」が成り立つ(封筒に入れる金額を決めるところまで含めた期待値)
しかしながら非交換派は三行目だけを考えた際にも、期待値が変わらないと思ってるような節がある
一、二行目のような条件において「交換するかしないかで期待値が変わるのはおかしい」とは思わないだろう？これは三行目も同じ
+25%派は一、二行目は自明だから説明するまでもないが、三行目については非交換派の認識を改めさせる必要があると思って頑張ってるわけだ
ところで>>558のＣＤがわからん。1:2かつ８が成立したら７も成り立つんじゃないのか？
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 17:12:30.45 ]
- >>593
下限について考える必要はないんじゃね？
ゼロ以上でありさえすれば半分にすることが出来るから
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 18:12:25.01 ]
- 金額で考えるなら下限というより奇数か
- 596 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 23:23:44.41 ]
- >>592
レスの時間や当然のごとく確率1/2で計算している点から
>>569は>>568の話とつながっていると思い込んでいたが、
>>569は>>568と関係なく>>1の話をしているのかもしれないね。
>君は他人の文章をちゃんと読め。
などとエラそうなことを言ってすまなかった。
もし>>569が>>568と関係ないならば、
>>569はなぜ確率1/2ずつとして期待値を計算しているか説明する必要がある。
「ここで確率1/2ずつという仮定の下で考えてみる」と書くとか、あるいは他の何らかの条件から確率1/2を導くとか。
>>572や>>575も同様。
>>593
Dはご指摘通り誤りだ。訂正と解説を以下に書くよ。
おそらくそれでほとんどの人の疑問は解消されると思う。
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 23:52:32.81 ]
- 「この中に一人以上○○が居る」と同じような論理パズルにできそう
上限値知ってる合理的なＡ、Ｂを用意する
二人に一つずつ渡し、中身を確認した後両方に「交換したいですか？」って聞く
両方「はい」なら「相手はこう言ってるけどまだ交換したいですか？」って聞く
繰り返していくと必ず二倍のを引いた方が先に「いいえ」と答える
ちなみに両方合意で交換成立ってルールだと下限額以外最初から「いいえ」って答えちゃってダメ
- 598 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/12(木) 00:51:54.83 ]
- >>588の訂正
１、二つの封筒があり、中にそれぞれ1:2の金額の比でお金が入っている。（ただし金額は常に正とする。）
Ｄ、ただし、金額の比1:2を変えて、さらに８の「1.25倍になる。」の部分を「1.25倍以上になる。」と変えれば、
１の時点で８が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在する。
よって８のような事が起こったとしても不思議（パラドックス）ではない。
ちなみに、上記のような確率分布の（もちろん金額確認前の）期待値はどちらの封筒も無限大に発散しているものしか存在しない。
Ｅ、仮に８が成立するとしてもそのことからＰＱＲのように期待値1.25倍とは言えない。なぜならＡで述べたとおり
金額確認後の期待値と確認前の期待値は別物だから。
ちなみに、二封筒問題における金額確認前の二つの封筒に対する仮定は対称だ。
よって選んだ方の封筒と他方の封筒の（金額確認前の）期待値は等しい。
金額確認前の期待値がともに正の有限値の場合ＰＱＲは成立しない。
ともに無限大に発散している場合には1.25倍か？という質問自体意味不明だ。
- 599 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/12(木) 00:54:39.87 ]
- >>588>>598の解説
Ａについて：>>32>>60>>534など。
Ｂについて：条件付き確率の計算より以下が示される。
「選んだ封筒の金額を確認すると10000円だった。」ときに５が成立するのは、
(*)「１において(10000円,20000円)という金額の組を入れる確率と(5000円,10000円)という金額の組を入れる確率が等しい」
場合そしてその場合のみである。
この確率をpとする。（pは正である。）ただし、これだけでは、確認した金額が他の場合についての確率は分からない。
Ｃについて：５が成立することより上記の(*)が成立する。そしてその場合、確認した金額が20000円と場合もあり得て、
同様に条件付き確率の計算と７より、１において(20000円,40000円)の組を入れる確率もpとなる。
同様に(40000円,80000円)、(80000円,160000円)、、、の組を入れる確率もpである。
確率の総和は1出なければならないが、p+p+p+、、、は無限大に発散する（矛盾）。よって７は正しくない。
Ｄについて：１において2^{-n}の確率で(r^{n}円,r^{n+1}円)の組を入れる（ただし、n=1,2,3,,,）とする。
このとき、全確率は2^{-1}+2^{-2}+,,,=1であり、金額比は1:rである。
確認した金額がr^{k}円であるとき、他方がr^{k-1}円である確率とr^{k+1}円である確率はそれぞれ、1/3と2/3である。
よって他方の金額の期待値r^{k-1}/3+2r^{k+1}/3がr^{k}の1.25倍となるのは1+2r^2=3r×1.25のとき。
rをこの正の解とすれば、Ｄを満たす確率分布となる。
二封筒問題について知りたい人は英語版wikipediaのtwo emvelops problemを読むことを勧める。
- 600 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/12(木) 01:13:58.74 ]
- >>597
交換したい・したくないは気持ちの問題だ、数学的に定義されたものでは無い。
数学的に議論したいならば彼らがどんな時に「交換したい・したくない」と答えるのか数学的に定義せよ。
他の問題設定も説明不足と思われる。君の文章を普通に読めば、
最初に中身を確認した後は、中身を確認せずに交換しているという意味になるが本当にそれで良いのか？
確認するのは「自分の」封筒の中身のみということで良いか？
>繰り返していくと必ず二倍のを引いた方
どのプロセスを繰り返すのか？何の二倍なのか？
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/12(木) 03:00:02.44 ]
- k回目(１回毎)の交換前の金額をA_k,交換後の金額をB_kとし、期待値をE[・]で表すとする。
任意のkに対して
k回目(１回毎)の交換前後の金額の期待値の増加率 (E[B_k] - E[A_k])/E[A_k] ＝ 0.25
すなわち、１回毎の交換前後の金額の期待値の比 E[B_k]/E[A_k] ＝ 1.25 である時
複数回(ｎ回)行った時の
"交換後の金額の総和の期待値"と"交換前の金額の総和の期待値"の比は
E[B_1 + … + B_n]/E[A_1 + … + A_n] ＝ 1.25 となる。(∵期待値の線形性)
"交換後の金額の総和の期待値"と"交換前の金額の総和の期待値"の比は(n→∞で) 1.25 に収束する。
一方
任意のkに対して
k回目(１回毎)の交換前後の金額の増加率の期待値 E[(B_k - A_k)/A_k] ＝ 0.25
すなわち、１回毎の交換前後の金額の比の期待値 E[(B_k/A_k)] ＝ 1.25 である時
複数回(ｎ回)行った時の
"交換後の金額の総和"と"交換前の金額の総和"の比の期待値は
E[(B_1 + … + B_n)/(A_1 + … + A_n)] ＝ 1.25 とはならない。
２封筒問題の場合、金額確認前の各A_k,B_kが同一の確率分布(かつ A_k,B_kが対称な分布)に従うならば
(金額確認後の期待値では必ず E[(B_k/A_k)] ＝ 1.25 が成立することはないだろうが)
"交換後の金額の総和"と"交換前の金額の総和"の比の期待値は(n→∞で) 1 に収束しそう(未証明)。
- 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/12(木) 10:33:41.16 ]
- >>600
交換した後の方が封筒内の金額の期待値が大きくなると判断したなら「はい」、それ以外なら「いいえ」と答える
交換は実際には行わない。確認するのは「自分の」封筒の中身のみ
繰り返すのは
両方「はい」なら「相手はこう言ってるけどまだ交換したいですか？」って聞く
の部分。二倍ってのは二つの封筒のうち金額の大きい方って意味
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/12(木) 13:23:00.87 ]
- >>599
>確認した金額がr^{k}円であるとき、他方がr^{k-1}円である確率とr^{k+1}円である確率はそれぞれ、1/3と2/3である。
どうでもいいが1/3と2/3は逆だと思う
あとk=1だった場合を無視してるよね
>rをこの正の解とすれば、Ｄを満たす確率分布となる
ここのrをただの正の解じゃなくてr>2にすれば、期待値は1.25倍「以上」にはなるけど
r<2なら金額確認前の期待値は有限で、この場合総和の期待値？はk=1の部分とk>1の部分で打ち消しあって交換前後で変わらないという結果になる
- 604 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/13(金) 05:41:22.32 ]
- >>599のＤの訂正
Ｄについて：p>1,r>1とし、１においてp^{-n}/(p^{-1}+p^{-2}+,,,,)の確率で(r^{n}円,r^{n+1}円)の組を入れる（ただし、n=1,2,3,,,）とする。
このとき、全確率は1であり、金額比は1:rである。
確認した金額がr^{k}円(ただしk>1)であるとき、他方がr^{k-1}円である確率とr^{k+1}円である確率はそれぞれ、p/(p+1)と1/(p+1)である。
よって他方の金額の期待値pr^{k-1}/(p+1)+r^{k+1}/(p+1)がr^{k}のM倍となるのはp+r^2=M(p+1)rのとき。
また確認した金額がr^1のとき他方の金額は必ずr^2であり金額（の期待値）がM倍以上となるのはr>=Mのとき。
M>1のときこれらの二つの条件を満たす解r,pが必ず存在する。
なぜなら、f(r)=r^2-M(p+1)r+pとおくと、十分大きなrに対してf(r)>0であり、f(M)=p(1-M^2)<0でありfはrに関して連続であるから。
（ちなみにf(p)=p(p+1)(1-M)<0より、ここで得た解r,pはr>pを満たすことも分かる。）
M=1.25として上記の二つの条件を満たす解r,pを用いて確率分布を定めればDを満たす。
これでいいかな。もう少し推敲すべきかもしれんが。計算ミスがあったら失礼。
>>603
>どうでもいいが1/3と2/3は逆だと思う
ご指摘どうも。
k=1は無視していたわけではなく、これを逆にして計算してたために正の解は一つだけでそれが1.25倍「以上」を満たしていた。
- 605 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/13(金) 05:54:35.19 ]
- >>602
だいたい意味は分かったし面白いと思う。
念のため聞くが、確率分布は一様分布を考えているということだよね？
>ちなみに両方合意で交換成立ってルールだと下限額以外最初から「いいえ」って答えちゃってダメ
この部分がわからない。
>交換した後の方が封筒内の金額の期待値が大きくなると判断したなら「はい」、それ以外なら「いいえ」と答える
ということだから、実際に交換するのかしないかは判断に影響しないんだよね？
- 606 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/13(金) 08:44:17.57 ]
- 2封筒問題は交換しないことによって実質的な期待値が大きくなる
上限があろうとなかろうと交換しないという選択が出来ない、もしくはしないのであれば
期待値は変わらんよ
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/13(金) 08:51:17.07 ]
- >>605
実際に交換するルールだと
相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろう
自分が確認した額が上限値/4より大きく上限値/2以下ならば、上記より相手の金額のほうが大きい場合は交換が成立しないので、上と同じ理由で「いいえ」
という事を相手も考えるだろうから自分の確認した額が上限値/8より大きければ同様に「いいえ」
以下帰納法的に相手が上限値/2^kなら不成立→自分が上限値/2^(k+1)なら「いいえ」と考えていくとそういう結論になる
この先読みを一瞬でやっちゃうからダメ
交換はしないけど「交換したいですか？」って聞く場合は、相手の次の発言は気にしなくてもいいって点が違う、と思う
- 608 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/13(金) 10:03:13.04 ]
- >>607
だいたいそんな感じの話だろうとは思ったけど、そういう話にしたいのならば
>交換した後の方が封筒内の金額の期待値が大きくなると判断したなら「はい」、それ以外なら「いいえ」と答える
この説明は不十分だと思うよ。
交換が成立するかしないか、実際に交換するかしないかに関係なく
交換したら手に入る封筒（つまり今相手が持ってる封筒の）期待値の方が大きいと判断したなら「はい」と答える
という意味にも読める。その場合
>交換が成立しないので、上と同じ理由で「いいえ」
という部分はおかしい。
交換が成立する・しないが判断基準に関係あるのならば、もう一度「はい」「いいえ」の判断基準を詳しく書いて。
あと、
>ちなみに両方合意で交換成立ってルールだと
というのももう少し説明がいると思う。両方合意の場合「のみ」交換するということ？
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/13(金) 16:05:40.02 ]
- あーその通りだな、その判断基準は返答と交換するかどうかが無関係な場合についてだけだった
よく考えたら「交換したいですか？」の意味自体が違うんだな
合意で交換の方は「この質問に二人とも「はい」と答えたら交換、一人でも「いいえ」ならそのままです。交換しますか？」って感じか
判断基準はそのまま書くと、「二人とも「はい」と答えたら交換、一人でも「いいえ」ならそのまま」という操作をした後で手元にある封筒の金額の期待値 が大きくなるような回答をする
ちょっと整理すると、相手が「はい」と答えるという条件下での相手の(今の)封筒の期待値が自分の封筒より大きければ「はい」小さければ「いいえ」と答える
(相手の戦略次第だから期待値っていうのは不適切かもしれないが、相手も最適な選択をするという前提では計算可能)
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/13(金) 22:02:56.57 ]
- [問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれ金のグラム数が書いてある。
入っているグラム数の比は１：１億とする。
選んで中を見ると１兆グラムだった。
この金を俺のいる場所に空から落としてくれるらしい。
他方の封筒に交換してもいいと言われたが、どうするのが得なんだろうか？
という問題です。
- 611 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/13(金) 23:54:13.75 ]
- >>609
ルールは理解した。
上限からも下限からも十分に離れた金額を受け取った場合、彼らは何と答えるのだろうか？
自分の金額を見た時点で、相手の金額も上限や下限から十分に離れていることが分かる。
両者ともが自分も相手も上限や下限から十分に離れた金額であることを理解する。
このとき
>相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろう
という先読みは成立しない。
- 612 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/14(土) 00:19:58.82 ]
- 両者ともが上限や下限から十分に離れた金額を受け取った場合には、
>>597の前5行の問題では、両者とも「はい」と言い続ける。
6行目の問題では、最初に両者とも「はい」と言い交換する。（交換後については、どのような手続きをとるのか書かれていないので分からない。）
ということになると思う。
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 00:44:55.79 ]
- 前者は上限額/(2^k)円より大きい額を引いた側がk回目に「いいえ」と言う
後者の問題だと理論上は先読み(の先読みの…の先読み)は成立するし両者「いいえ」と答えるはず
でも多分実際にやる分には「はい」と答えても問題ないんだよね
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 01:05:23.21 ]
- >>613
2＾（ｋ-1）円を引いたときに君は交換を申し出るのか？
相手が2＾ｋ円だったら交換してくれないから無駄だよね、
交換出来る場合は相手が2＾（ｋ-2）の時だけどそれでいいの？
なんで2＾（ｋ-1）を引いた相手は「いいえ」と答えるだろ
だったら君は2＾（ｋ-2）円を引いた場合に「はい」と答えても無駄だよね
なぜなら2＾（ｋ-1）を引いた相手は交換してくれないからね
だったら2＾（ｋ-2）円を引いた場合は「いいえ」と言わなきゃね
と言うことは、君が2＾（ｋ-3）円を引いた場合はどうだろう？
以下繰り返す
- 615 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/14(土) 01:21:19.05 ]
- >>613
私の書き方が悪かったかな？
>相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろ
この命題は正しい。しかし、
両者ともが自分も相手も上限や下限から十分に離れた金額であることを理解している場合には
命題の仮定「相手が確認した額が上限値/2より大きかったら」が偽だと知っているのだから。
命題の結論「必ず「いいえ」と答えるだろ」の真偽は不明。
命題の仮定が偽の場合には、結論が何であっても（真でも偽でも）その命題は真となる。例えば
両者ともが自分も相手も上限や下限から十分に離れた金額であることを理解している場合には
「相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手は必ず「はい」と答えるだろう」
という命題も真である。
つまり、仮定が偽の命題をもとに考えるのは意味がない。
実際、私は「相手が確認した額が上限値/2より大きくない」と知っている状況では
>相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろ
などということをもとに何か判断することは無い。
君の言うところの「合理的なＡ，Ｂ」というのは、正しくない仮定の下で色々考えて判断する人たちなのか？
もう一度、考え直してみてくれ。
- 616 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/14(土) 02:02:31.57 ]
- 別の説明をする。
(*1)「上限額/2円より大きい額を引いた人が「いいえ」という」
(*2)「上限額/2^2より大きい額（ただし上限額/2より小さい）を引いた人は、
相手が上限額/2を引いた場合に(*1)の行動をとることをもとに先読みする」
(*3)「上限額/2^3より大きい額（ただし上限額/2^2より小さい）を引いた場合、自分（Ａ）は自分（Ａ）も相手（Ｂ）も(*1)に該当しない事を知っている。
しかしながら相手（Ｂ）は自分（Ａ）が(*1)を満たす可能性を排除出来ないので(*1)(*2)をもとに先読みする。」
「上限額/2^4より大きい額（ただし上限額/2^3より小さい））を引いた場合、
両者ともがどちらも(*1)に該当しないことを知っているので(*1)およびそれらを用いた先読み(*2)(*3)をすることはありえない。」
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 02:10:16.30 ]
- >>574
だからそれがダウトだと言っている。
１〜３行が前提になっていなくても（別の前提でも）交換すべきと言える時がある。
- 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 02:12:05.73 ]
- >>576
＞ 何度も言ってるけど、数学的に得って言うのは、期待値が大きくなることな
いつ言いました？ 何度もってことは少なくとも３解以上は言ってますよね？
どのレスですか？
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 02:31:35.52 ]
- 数学的に得とは期待値が高い方（を選ぶ）と言う意味だと言う人に訪ねたい。
このゲームは表裏等確率なコインを表が出るまで何度も投げ続ける。
表が出たらゲームは終了、それまでに裏が出た回数をnとする。
ゲームの賞金は２^n円とする。
このゲームの賞金の期待値を計算すると無限大に発散してしまう。
このゲームに参加費１００万円を払って参加するのは 得 だということでよろしいか？
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 02:35:12.91 ]
- >>619
サンクトペテルブルグなんてこのスレの奴みんな知ってる
そういう例外は別として、
基本的に得＝期待値が高いとするのはさほど問題がないだろ
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 09:19:53.94 ]
- >>619
相手に2＾1000001円以上の支払い能力があり
かつそれが実行されるのであれば得=期待値が大きいと言えるだろ
2＾1000001円以上の支払い能力がありかつそれが実行される
こんな前提が満たされる様な経済はきっとハイパーインフレ状態だから
貨幣に価値なんてないだろうけどね
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 09:34:05.84 ]
- >>619
ゲームは、お互いどのような結果になろうとも、きちんと支払えることが証明されている上で、成立する。
そのゲームは真に成立するのか？
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 09:47:35.89 ]
- >>616
上限が1024の場合にさ、俺が128を引くじゃん
相手は256かもしれないよね、相手が256だった場合交換してくれるの？
256の相手は、俺の事を512か128だと思って、もし俺が512引いた時は交換してくれないから
交換出来る場合は128だけと思うよね、そんな256の相手は交換してくれるの？
しないよね、相手が256を引いた場合交換を、じゃあさ、おれ128引いた時に交換するべきなのかな？
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 17:41:15.54 ]
- >>610
1兆グラムの金を球状にすると、半径約23mになる。落ちてくると判って10秒あれば、逃げることが出来る。
適当な場所を用意しておけば、他人に被害を与えることもなく、また、かくして保管
することも不可能ではないだろう。
また、これまでに人類が採掘精製加工した金の量は0.16兆グラム程度。
価値の大半が希少性に由来する金の総量が、一気に７倍にもなれば、
価値は数分の１になってしまうが、その6/7を有する者が、とてつもなく、大きな
資産を持っていることには変わりない。
その一億倍となると半径は約10kmとなる。それが、頭の上から落ちてくるとなると、とても逃げ切れない。
というか、この質量のものが、一般的な隕石なんかと同程度の相対速度で、地球に衝突すると、6500万年前の再現。
たとえ、静かに渡してくれたとしても、そのような大量の金を隠し続けることが出来ない。
情報が漏れれば、一気に金は暴落し、材料としての価値しかなくなるだろう。
この選択は、避けなければならない。従って、交換すべきではない。
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 18:31:29.64 ]
- >>624
正解です。
交換すると本人の助かる確率があがるかもだが、
あまりにも迷惑だからどうかということ。
- 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 22:37:50.57 ]
- 数学でないものは数学スレ以外で
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 22:40:34.80 ]
- >>620
＞ そういう例外は別として、
＞ 基本的に得＝期待値が高いとするのはさほど問題がないだろ
２封筒問題はそういう例外のひとつなので
別にしてくれよ
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 22:45:52.00 ]
- >>621
貨幣に価値があろうがなかろうが期待値が大きいから得なのでは？
もらえるものが円ではなく点でも、期待値が大きければ得
そう定義されている。
点なら支払い能力は問題にならない。
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 23:10:57.33 ]
- >>628
文盲の人ですか？
「貨幣に価値なんてないだろうけどね」＝得では無いと誤解したのかな？
変な思い込みって恥ずかしいよね
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 01:24:45.37 ]
- それはそうとペテルブルグ問題って既に解答見つかったんだっけ？
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 16:34:41.75 ]
- もらえるのが小切手だとして、「得」の概念が通用するのは少額のときだけだ。
金額の制限を撤廃した世界では、ほとんどの小切手は紙屑だ。
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 20:03:27.74 ]
- >>629
その仮定にたつと
本来定義となにも関係ないことのはずなのに
貨幣価値が下がると「得」の概念にゆるぎが出てきてしまうという余談だな
という指摘だと読み取れないのもかなり恥ずかしいことになる。
人をばかにするときには、自分の心配もしたほうがいい。
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 20:06:40.80 ]
- >>631
「得」の新定義の提案なのか？
それとも、数学ではない「得」についての余談なのか？
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 22:34:49.83 ]
- 525、526のアホは何処に行ったの？
>>623で128を引いた時には交換するべきなのかな？
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 23:08:34.53 ]
- いくら都合よくアホ扱いできる相手がみつかったからといって
100レスも前の投稿者の再来を待ち続けるのもまた愚かな行為かもしれない。
他人をアホ扱いするときには、自分の心配も(ry
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/16(月) 00:23:04.01 ]
- 俺がレス返さないから何処か行っちゃったのかな
とりあえず>>623が代わりに指摘してくれたとおりだな
コレ引っかかりやすい問題だと思うし、何度説明しても理解しないのならともかく
一度間違ったからってアホ扱いするのは止めようぜ
>>635
後半には同意しとく
- 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/16(月) 02:16:56.87 ]
- >>635
いや、525、526は名前で>>616で上から目線で間違ったレスつけてるんだよね
だから100レス前の話じゃないんだ
他人を愚か者扱いするときには、自分の心配も(ry
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/16(月) 04:28:39.84 ]
- ２０レスだと愚かさも１００レスの1/5くらいかもしれませんね。
ところで仮定が偽の命題の真偽は真なんですよ。
＞ 100レスも前の投稿者の再来を待ち続けるのもまた愚かな行為かもしれない。
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/16(月) 04:32:50.24 ]
- >>2に書いてあるぞ
> 偽の命題を前提として推論することはtrivialです。止めましょう。
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/16(月) 07:32:01.03 ]
- >>639
>>2は偏った思想、論理の持ち主だから気にしなくていいよ
守る必要もないし
>>638
仮定の真偽が分からないのに偽と決め付けてるアホがいるって事
君ももしかして理解出来ないのか？
アスペだよね君たち
- 641 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/16(月) 09:50:40.44 ]
- >>640
仮に「>>2は偏った思想、論理の持ち主」だとしてもこのスレでは従うべきではないか？
それが嫌なら君が別のスレを立てればよいのではないか？
>>634>>636>>637
学生さんたちが「わからない」と言うのは「テキストは正しいが自分の知識や能力が足りなくて理解できない」
ということを意味することが多い。専門家が「わからない」と言うのは「君の言うことはナンセンスだ」という意味が多い。
>>605はそういう意味だ。
この手の先読みの議論は私には目新しいものではない。>>607>>623と説明してくれなくても分かっている。
君たちの理論は理解している。しかし、君たちが答えてるのは>>597が設定した問題に対してではない。
君たちは、その理論を知っているために問題を冷静に読めていない。そのような答えを期待するならば>>597は
改めて問題設定を書きなおす必要がある。もう一度冷静に問題を読み直してくれ。あるいは書き直してくれ。
「得」という言葉でさえ問題視されているのにもかかわらず、>>597で「合理的なＡ、Ｂ」や「交換したい」などという
言葉使いをし、案の定その定義に問題があったのだから、ある程度上から目線でアドバイスされてもしかた無かろう。
また、週末の二日レスを返さなかっただけでそのようなレスをするのはいかがなものか。
以下、あまり推敲している時間が無くて数学的表現が曖昧になるかもしれんが許してくれ。
君たちなら補完して読めると思う。
- 642 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/16(月) 09:51:53.67 ]
- 「戦略」とは、全ての可能性のある金額について「、、、円ならば「はい」（または「いいえ」）と答える」
と書かれたリストとする。
例１、「下限額ならば「はい」と答え、それ以外は「いいえ」と答える」
例２、「全ての金額の場合に「いいえ」と答える」
(2^1,2^2),(2^2,2^3),....,(2^10,2^11)という金額の組から一つの組が等確率(1/10)で選ばれ、
その金額がそれぞれ二つの封筒に入れられる。それらはランダムに一つずつＡ，Ｂに渡される。
（つまりＡが高額か低額かは1/2の確率、Ｂも同様。）
Ａ，Ｂはこの手順（確率分布）を知っている。
Ａ，Ｂは初めに戦略を決め上記の手続きを行い、自分が渡された封筒の金額を見る。
戦略に従い「はい」か「いいえ」を答える。両者が「はい」の場合には交換して相手が持っていた封筒の金額を手にする。
それ以外の場合には交換せず自分が見た金額を手にする。
<問題>さて、Ａ，Ｂそれぞれにとっての最強の戦略はなんだろうか？
ただし、Ａにとっての最強の戦略とは、Ａがその戦略に従えば、たとえＢがいかなる戦略をとったとしても、
Ａがこのゲームで得られる金額の期待値がＢが得られる金額の期待値よりも大きくなるか同じ場合であることを意味する。
注１、戦略はゲームの初めに決める。金額を見てから戦略を変えることは出来ない。
注２、両者の得る金額の合計の期待値は(2^1+2^2+2^2+2^3+,,,2^10+2^11)/10である。
ＡＢともに同じ戦略をとれば、（対称性より）それぞれの得る期待値は上記の値の半分である。これを「引き分け値」と呼ぶ。
注３、もし戦略１と戦略２が対戦した場合に、戦略１の期待値が「引き分け値」より大きいならば、
戦略２の期待値は「引き分け値」より小さい。なぜならそれらの合計は注２にある通り戦略によらず一定であるから。
<答え>簡単な計算により上記の例１と例２のみが最強の戦略であることが分かる。例２の場合、相手がいかなる戦略をとっても交換が行われないの
であるから「引き分け値」となる。例１の場合には相手が「2^2の金額のときに「いいえ」という戦略」であれば引き分け値。
相手が「2^2の金額のときに「はい」という戦略」であれば、自分の期待値の方が相手の期待値よりい大きい。
そういう意味では例１は例２より「合理的」な戦略と呼ぶにふさわしいかもしれない。
- 643 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/16(月) 09:54:33.95 ]
- 一方、>>609によって定義された、金額を確認した時点においての判断。
(*)>相手が「はい」と答えるという条件下での相手の(今の)封筒の期待値が自分の封筒より大きければ「はい」小さければ「いいえ」と答える
この期待値は上記の問題の期待値とは全く違う性質のものである。
自分の金額が上限からも下限額からも離れた値（例えば2^5）であるとき、相手の封筒の金額は2^6の確率が1/2で2^4の確率が1/2
よって相手の封筒の金額の期待値(2^4+2^6)/2の方が大きい。同じことが相手側にとっても成り立つ。
注４、つまり両者にとって相手側の期待値の方が大きいという状況が成立する。この点が上記の注３と大きく違っている。
実際自分の金額が2^5である場合にどちらを答えるべきか(*)に従って判断してみよう。
相手が「いいえ」と答えると想定すれば、自分が「はい」と答えても「いいえ」と答えても交換は行はれないので2^5を手に入れる。
相手が「はい」と答えると想定すれば、自分が「はい」と答えることによって期待値は(2^4+2^6)/2となる。自分が「いいえ」なら2^5のまま。
相手は2^4かもしれないし2^6かもしれない。しかし、どちらの場合であっても（相手の立場に立てば）上記と同様の期待値計算が成立する。
両者ともが「はい」と答えれば、自分の封筒より大きい期待値を手に入れることが出来る。
よって(*)に従うならば両者とも「はい」と答えると思われる。
（もちろん実際に交換して金額を確認すれば、一方が二倍の金額を手にし、他方は1/2の金額を手にするわけだが。）
上限からも下限からも十分に離れた状況において、>>607のように先読みをして「いいえ」と答えることが(*)に従っている
と言えるというのならば、その理由を説明してくれ。
念のため繰り返しておくが(*)は上の問題のように「ゲーム全体の期待値」を考えているのではなく、
金額を確認した人にとっての他方の封筒の期待値を判断基準にしている。
そしてこれは両者ともに交換した方が大きいという状況が存在する。（注３、注４）
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/16(月) 13:48:39.60 ]
- >専門家が「わからない」と言うのは「君の言うことはナンセンスだ」という意味が多い。
ですよねー、堪忍してつかーさい
でも先読みが成り立たないってのは納得できない
>>609のは「相手が必ず(もしくは一定の確率で)「はい」と答えると仮定した上で期待値の比較をする」んじゃなくて条件付き確率みたいなことをいいたかった
例に従うなら
相手が2^4だった場合に相手が「はい」と答える確率をp、「いいえ」と答える確率を1-p
相手が2^6だった場合に相手が「はい」と答える確率をq、「いいえ」と答える確率を1-q
相手が「いいえ」と答える場合なら、自分が「はい」と答えても「いいえ」と答えても交換は行はれないので2^5を手に入れる。
相手が「はい」と答える場合なら、自分が「はい」と答えることによって期待値は(2^4*p+2^6*q)/(p+q)となる。自分が「いいえ」なら2^5のまま。
(2^4*p+2^6*q)/(p+q)＞2^5となるのはp＜3qのときのみ
q=0ならpの値にかかわらず(2^4*p+2^6*q)/(p+q)≦2^5であり、このとき自分が「はい」と答えると期待値は下がってしまう
この時点でp=0なら「いいえ」と答えるべきという結論になる
「相手が2^6引いても必ず「はい」なら自分も「はい」、相手が2^6引いたら必ず「いいえ」なら自分も「いいえ」」ってのはそっちも意識してるみたいだからここは大した問題では無い
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/16(月) 14:47:24.24 ]
- 何が大した問題では無いだよどうでもいいレベルだよ多分
今問題にされてるのは別の所だな、レスちゃんと読んでなかった
>>642は全体の期待値、>>643は個別の期待値で全く別の期待値っていうけど
>>643の個別の対応を全種類集めてくると一つの戦略になるだろ？最大、最小以外を引いた場合には二倍の重みを付けて個別の期待値を平均すると全体の期待値になるわけだ
個別の期待値は0以上のはずだから、全体の期待値も0以上。しかし、そのような戦略は>>642で示されてる通りなので、個々の対応も必然的にその戦略に従ってるものになる
と、こういうアプローチもできるのでは
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/16(月) 15:54:20.42 ]
- 横から失礼。
「交換するか？」の問いに、どちらが先に答えるかという視点が抜けている。
同時に答えるという設定と、一方が先に答えるという設定両方があっても良い。従って
・同時に答える場合の戦略
・先に答える場合の戦略。
・後から答える場合の戦略
が存在し得る。後から答える場合と、先に答える場合は非対称であって良い。
また、この問題では、封筒の組が、(2^1,2^2),(2^2,2^3),....,(2^10,2^11) と10組（偶数）だが、
これに(2^11,2^12)を加えて11組(奇数)の場合、つまり、封筒の組の数が偶数の場合と、奇数の場合では
ちょっとだけ変わる可能性があることを指摘しておく。
- 647 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/17(火) 06:15:43.20 ]
- >>645
>>643の個別の対応を全種類集めてくると一つの戦略になるだろ？
>>597の問題文においては
私が上限からも下限からも十分に遠い値（例えば2^5）を見た場合、
自分や相手が上限額（例えば2^11）の場合を想定したりしない。
全ての金額について個別の対応（戦略リスト）を考えたりしない。
戦略リストを考えさせたい問題であれば、そのように問題文を書いてくれ。
そして、「合理的」な戦略リストを選ぶための基準を明確にしてくれ。
どんな設定でも良いので>>597をちゃんと書きなおして欲しい。
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/17(火) 06:49:48.49 ]
- >>647
>戦略リストを考えさせたい問題であれば、そのように問題文を書いてくれ。
>そして、「合理的」な戦略リストを選ぶための基準を明確にしてくれ。
それはちょっとゆとり的な発想すぎるのでは・・・
誰かが書いてたけど、上限が決まった問題では上限額/2以上の値で交換しないだろ（厳密にいえば分布しだいだけど）
このときだけだよ、期待値が大きくなるのって、あとはみかけの期待値はあがってるけど
実際の期待値は上がってないから無駄に交換してるだけ
２人の合意で交換の問題は交換しない方がよいよ
- 649 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/17(火) 07:05:24.63 ]
- 他人が嫌がる仕事を自らかってでる人はとても立派だと思います。
クラスの皆さん目を閉じてください。そしてトイレ掃除をしてくれるお友達は手を挙げてください。
ただし、トイレは小さいので最初に手を挙げた１人にのみお願いします。
一時間がたちました。さて皆さん、目を開けて利己主義者たちの顔をよく見てみましょう。
- 650 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/17(火) 07:22:19.39 ]
- >>648
君が数学的な主張をしたいのであれば「みかけの期待値」「実際の期待値」「交換しない方がよい」の定義を明確にしてくれ。
そして、出題者が判断の基準としている期待値はそのどちらの期待値だと君は考えているのかも書いてくれ。
>>597以降のこれまでの書き込みは読んでいるのか？
これだけはっきりといろいろ説明しても、どちらの主張に理があるか判断できない人がいるもんなんだな。
出題者本人はおそらく問題文が適切でなかったことを今では理解していると思うが。
ちなみに、もちろん>>649は数学的に定義された問題ではない。
上限額から先読みして全員が「いいえ」と答えるという議論をアレンジしてみただけだ。
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/17(火) 08:00:56.08 ]
- >>650
>>649は先生（出題者？)がアフォって事でいいんだよね？
生徒に非は無いと思うんだけど
- 652 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/17(火) 09:31:03.96 ]
- こんなものに解答なんてないが。
誰もが最初を嫌がって最後まで手を上げないかもしれない。
さすがに３０分たてば誰か挙げてるだろうと思って挙げて、実際、掃除を免れつつ汚名もかぶらなくてすむかもしれない。
５０分に挙げたのにもかかわらず、自分が最初で掃除させられ、
しかも他の全員がその後に挙げて誰も汚名をかぶらない（自分だけが馬鹿を見る）かもしれない。
結果は他の人の出方によるので最良の戦略なんて無い。
実際、やってみてほしいな。中学校あたりで。
もちろん自らトイレ掃除をするつもりで素早く手を挙げるのもいるかもしれんがそれでは面白くないなぁ。
誰もが本当にやりたくないことだけど、かといって最後まで手を上げないと、とんでもなく恥ずかしいという設定だと面白い。
っていうか、今気づいたけどドルオークションと同類だな。
- 653 名前：597 mailto:sage [2012/01/17(火) 13:55:16.11 ]
- 一応名前欄入れといた
問題文が適切でないであろうという事は最初から分かってはいる
後付けの条件とかあるから書きなおすけどそもそも俺には適切な問題文を書ける気がしない…
前提、準備
プレーヤーとして、合理的な判断をするＡ、Ｂを用意する
Ａ、Ｂはどちらも「封筒に入れる金額の決め方や、相手も合理的な判断をする事、また後述する操作の手順などは理解している」「以上は相手も理解しているという事を理解している」
外見からは中身が判断できない封筒を二つ用意し、それぞれに異なる金額を入れる
封筒に入れる金額の組み合わせは{2^(k-1),2^k}、ここでkはn以下の自然数、各kが選ばれる確率はそれぞれ1/nとする
操作の手順
Ａ、Ｂに封筒を一つずつ配る。このときどの封筒がどちらに行くのかはランダム
Ａ、Ｂはそれぞれ自分の手元の封筒の中身を相手に知られないようにしながら確認する
「交換しますか？」と問い、返答は「はい」か「いいえ」で両者同時に答えさせる。Ａ、Ｂは合理的な判断に基づき返答をする
両者「はい」と答えたら封筒を交換し、一人でも「いいえ」ならそのまま
Ａ、Ｂは最終的に自分の手元にある封筒の中身を得る
どうせ後で訂正が必要そうなので分離させたが
合理的な判断に基づく返答とは、「各返答をした場合の最終的に自分の手元にある封筒の中身の期待値」を比較した場合に、それがより大きくなるような返答である
ここでの期待値は「ゲーム全体の期待値」ではない方
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/17(火) 13:56:37.31 ]
- >>642
横から失礼。
>>597のいうゲームとルールが異なるようだが、別のゲームについて論じているのかな？
597:
＞ 両方「はい」なら「相手はこう言ってるけどまだ交換したいですか？」って聞く
642:
＞ 両者が「はい」の場合には交換して相手が持っていた封筒の金額を手にする。
＞ 戦略はゲームの初めに決める。金額を見てから戦略を変えることは出来ない。
- 655 名前：597 mailto:sage [2012/01/17(火) 14:07:36.06 ]
- 「相手が合理的だと知ってる」「と知ってる」って条件追加したけど
そこの指摘をしてたんなら完全に俺が悪かった
>>649
「皆が合理的」「誰もやりたくない」という事を皆が知ってるなら手を上げない
そうでなければいかに終了ギリギリで手を挙げるかのチキンレースになる(遅すぎると手を挙げなかった事になる)
この問題だと自分だけが挙げない場合のデメリットがでかいな
- 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/17(火) 14:09:08.14 ]
- >>652
そういう問題は仮想的には面白いんだけど、
現実にはやりたくない度合いと恥ずかしい度合いが
人によって異なるからあまりおもしろことにならないんだな。
しかも現実にそれをやると、
「１時間も無駄に時間を過ごすよりも１５分でトイレ掃除を済まして
残りの時間を有意義に過ごしたほうがいい」
などと、恥と手間以外の別の損得が絡んでくる。
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/17(火) 14:13:32.01 ]
- >>653
nの具体的な値はABに知らされるのか？
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/17(火) 14:17:04.45 ]
- nが知らされないとすると、ちょっと面倒な事になる。
いくらでも大きなnが考えられるが、もちろん小さなnも考えられる。
一様分布していると考えて良いのか？
- 659 名前：597 mailto:sage [2012/01/17(火) 14:21:27.59 ]
- ちょっと汎用性もたせようと思ってnにしたの忘れてた
>>657
そう
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/17(火) 20:00:37.79 ]
- >>653
「合理的な判断をするＡ，Ｂ」って
>>616みたいに自分（Ａ）が交換しなくなる額の半額でも交換しちゃうアレな人じゃないよね？
その人ってさ、自分（Ａ）が交換しなくなる額の半額で交換すると必ずさらに半額になることが理解出来ないアレな人じゃないよね
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/18(水) 01:29:00.18 ]
- なにをもって合理とするかは
なにを得とするかの論議とたいして変わらない。
他の基準を示すべき
- 662 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/18(水) 07:32:24.79 ]
- >>661
自分が間違ったのを理解できない、もしくは受け入れられない人って哀れだよね
君はもう論破されてんだよ、去勢を張っても無駄だよ
上げちゃうよ
- 663 名前：>>525,526 mailto:sage [2012/01/18(水) 09:37:42.26 ]
- >>661
同意。>>653に
>合理的な判断に基づく返答とは、「各返答をした場合の最終的に自分の手元にある封筒の中身の期待値」
>を比較した場合に、それがより大きくなるような返答である
と書いてあり、「期待値」とか「大きくなる」と書いてあるので数学的に適切に定義されていると錯覚しているのかもしれないが。
少し考えれば適切に定義されていないことが分かる。
例えば(n=11)、上限(2^11)より十分離れた金額(2^5)を確認したとき、私は「はい」と答える。
この判断が上記の基準に照らし合わせて合理的か否か出題者の>>597に説明してほしい。
１、「はい」と答えた場合の「最終的に自分の手元にある封筒の中身の期待値」を求める。(>>597よ、求めてくれ。)
２、「いいえ」と答えた場合の「最終的に自分の手元にある封筒の中身の期待値」を求める。（これは明らか2^5だ。）
３、それらを比較して大きい方を選ぶ。
これが君(>>597)の定義した合理的な判断方法だ。実際にこの計算をしてみてくれ。
ちなみに、仮に「下限値以外は全て「いいえ」と答える」が合理的な判断だと仮定してみよう。
Ｂは（問題設定に合理的な判断をすると書かれているので）この判断をするものと仮定しよう。
その場合、2^5を見たAが「はい」と答えても「いいえ」と答えても合理的な判断であることになるが、君はそれに同意するのか？
もし、君が「2^5で「はい」と答えることは判断基準に照らし合わせて合理的でない」と主張するならば、
それは、「はい」と答えた場合の期待値が2^5より小さいことを意味する。
即ち、相手は(*)「2^6なら「いいえ」2^4ならば「はい」」と答えることを意味する。
君の仮定では相手も合理的な判断をするとのことだから、(*)は合理的な判断の一つであることになるが、君はそれに同意するのか？
このような混乱を生む理由の一つは、君の定義した合理的な判断の定義自体が、合理的な判断とは何かに依存している点にある。
- 664 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/18(水) 10:00:47.49 ]
- >>660のアホはどうでもいいが、出題者の>>597は定義に不備があるであろうとは感じているんだよね？
>>655の「と知ってる」の部分は私もそう理解していたので問題ない。
私が、>>642>>643で説明した通り、先読みを解答として要求する際には、
１「戦略リスト（の一部分、下の方の金額は必ずしも必要ない）を作らせること」と
２「どの戦略リストが合理的か定義すること」が重要だ。
>>653は1を必ずしも要求していないし、しかも１と>>653だけでも不十分、２も必要だ。
なぜなら、2^5を確認した場合において、例えば「すべて「はい」」という戦略と「すべて「いいえ」」という戦略のどちらが合理的なのか？
を定義する必要がある。
先読みをさせる問題にしたいならば、2^5を確認したとき、その時の期待値のみで戦略を判断するのではなく、
他のケース(自分が上限を引いた場合)も考えさえ、それらの個々の期待値をもとにどのように判断するのが合理的なのかを定義する必要がある。
（私は「ゲーム全体の期待値」というものを定義した。）
ちなみに、先読みはしなくても良いけど、先読みと同じ答えを要求する。という目的なら、
「金額を確認したときに、最悪の場合を想定して、期待値が大きくなるように、、、」
などという問題設定でもよい。下限値以外は「いいえ」が正当になる。
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/18(水) 11:49:03.84 ]
- >>662
?論も出さずに虚勢をはって
論破をしたと言われても
- 666 名前：597,653 mailto:sage [2012/01/18(水) 13:34:06.23 ]
- 「すべて「はい」という戦略が合理的だ、だから相手も「はい」と答えるし俺も「はい」と答える」→期待値1.25倍って荒業が可能なのか
ちょっと考えてくる
- 667 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/19(木) 05:36:28.27 ]
- うん。考えてみて。
もちろん、上限から離れた（例えば2^5の）場合に君の定義の意味でそれが合理的かどうか？ということだよ。
上限額（例えば2^11）の場合にその戦略を考えたら、それはもちろん合理的ではないからね。
そもそも、2^5を確認した場合のみを考えているのだから、
>「すべて「はい」という戦略が
などと、すべての場合について述べる必要も本当はないんだよね。
あと、「合理的」という言葉を用いるのが誤解のもとだと思うんだ。
この言葉はこの問題では数学的には単なるラベルとしての意味しか持たないので、
>>653の「合理的な判断をするＡ、Ｂ」や「合理的な判断に基づく返答とは」
の部分は「以下の判断をするＡ、Ｂ」や「上記の判断に基づく返答とは」と書き直した方が良いと思う。
あるいは、「合理的」のかわりに「楽観的」とした方がニュアンスが伝わると思う。
（私は君が定義した「合理的な判断」を（通常の日本語の意味で）合理的だと思っていない。）
>楽観的な判断に基づく返答とは、「各返答をした場合の最終的に自分の手元にある封筒の中身の期待値」を比較した場合に、
>それがより大きくなるような返答である
>>653に対する私の解答は
(n=11として)自分の金額が2^5のとき、自分も相手も交換すると期待値1.25倍、そのことをお互いに理解している。
お互いが「はい」と答えれば期待値1.25倍の封筒が手に入る。「いいえ」と答えればそのままの額。
よって楽観的な判断に従うと私は「はい」と答える。
数学的には何も変わってないけど、ラベルを変えただけでイメージはだいぶ変わるでしょ？
ラベルの話は「得」についても同じことが言える。
「得」＝「期待値が大きい」と定義して、皆がその定義通り用いれば、数学的には何の問題もない。
（ただし、日本語の意味での「得」を表現したいときに何と言えばよいかという問題が残るが。）
しかし、「得」という言葉から「期待値が大きい」ということ以外のイメージを持って考えてしまう人がいる。
そのイメージが冷静に「期待値の大きさ」を考えることの妨げになる場合がある。
- 668 名前：597,653 mailto:sage [2012/01/19(木) 10:22:17.67 ]
- 「合理的」ってのは論理パズルによくある定型句だけど
>>653を書く時にはラベルだってわかるように書いたつもり
しかし定義(?)に合ったラベルよりもラベルに合った定義を考えてくれた方が俺は嬉しい
先読みが成立するような問題設定がちゃんとできれば俺はそれで満足
「楽観的」ってのは相手が無条件で「はい」と答えるって前提でしょ
n=11で2^10を確認した場合でも「はい」って言っとけって事だろ
「相手が「いいえ」なら〜」ってのは先読みだからな
そうじゃないんだよ、そうじゃない。俺が期待値でないものを期待値と書いたせいだろうけど
それとも一応理解はされてるけどナンセンスだって無視されてるパターンか？
- 669 名前：597,653 mailto:sage [2012/01/19(木) 10:26:59.52 ]
- これならどうだ
「『「はい」と答えれば今手元にある金額より大きい額が手に入る可能性がある』と判断したなら「はい」、
逆に『「はい」と答えても今手元にある金額より大きい額が手に入る可能性はない』と判断したなら「いいえ」」
先読みが成り立たないってのが今一わっかんないんだよなー
「相手が「いいえ」なら自分がどう答えようと結果は同じ」ってのは関係してる？
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/20(金) 14:20:25.75 ]
- ここに３億円が当たるかもしれない宝くじが連番で３枚ある。
これを２億９９９９万９９９９円で買わないか？
↓
今手元にある金額より大きい額が手に入る可能性があるので「はい」
でいいんですね？
- 671 名前：597,653 mailto:sage [2012/01/20(金) 19:16:55.70 ]
- >>670
>>669ならそういうこと
合理的ではないな
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/22(日) 02:10:17.99 ]
- いや、そう定義してあれば、なにも問題ない。
言葉の意味を考えるから、おかしくなる。
- 673 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/24(火) 05:13:13.72 ]
- >「楽観的」ってのは相手が無条件で「はい」と答えるって前提でしょ
>n=11で2^10を確認した場合でも「はい」って言っとけって事だろ
違う。私の主張でも2^10の場合には「いいえ」だ。
そして、2^9の場合であっても「いいえ」だ、
なぜなら相手は2^10かもしれなくて、相手は私が2^11かもしれないと考えて「いいえ」というから。
私の主張において両者が「はい」というのは、上限から十分に離れていて、
「「両者が上限ではないことを」相手が理解していると」両者が理解しているとき。
>「相手が「いいえ」なら自分がどう答えようと結果は同じ」ってのは関係してる？
君の望む先読みを答えにしたいなら、(*)「相手が「いいえ」の場合はかならず「いいえ」と言う」ということにしておくべきだ。
「どう答えても良い」ということにすると、相手が先読みで必ず「いいえ」というはずだから、自分は「はい」と言っても良い。
ということで、「はい」が合理的な判断ということになり、先読みで得られた「下限以外ではいいえ」という答えと矛盾する。
もちろん合理的な答えは複数あり得るということでも良いが、それでもおかしなことになるので、(*)にしておいた方が良い。
いずれにせよ、君の「先読みで「いいえ」」と、私の「両者ともはい」の意見の食い違いの理由はそこではない。
以下、面倒なので下限の部分は無視して話を進める。
ポイントは「「判断基準が適用される範囲」」だ。存在しないと分かっている人にも適用されなければならないか？ということだ。
ちなみに、もし先読みを答えにしたいならば、「金額を確認する前に戦略を決めよ」という問題文にすると良い。
そうすれば、「もし自分が上限（2^11）だったら、、、もし相手が上限だったら、、、」と考えさせる問題を自然に設定できるからだ。
金額確認後に決める場合には、そのような自然な問題文を作るのは難しい。
- 674 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/24(火) 06:23:15.47 ]
- 始めに、判断基準の文章を明確にしておこう。
判断基準とは以下を満たすものである。
a1、確認した金額が上限額ならば「いいえ」と答える
a2、相手が高額の場合の可能性があり、そして高額のとき相手が「いいえ」というならば、自分も「いいえ」と言わなければならない。
a3、これらに違反しない限りにおいては「はい」と言う。
(**)ただし、「両者ともがこの判断基準に従うことを、両者ともが理解している」ということを両者とも知っている。
これで良いだろうか？重要なことだが、「両者とも「はい」と言う」は判断基準で直接禁止されていない。
あくまでも、君は先読みの結果、不可能と主張しているのだよね？
両者ともが上限では無い場合には、「はい」と言い交換した方が「期待値が上がる」（>>669の表現では「大きい額が手に入る可能性がある」）。
よってa3に従い「はい」と言いたい。しかしながら、(a1,a2と(**)を組み合わせた)先読みの結果それは不可能という主張だよね？
- 675 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/24(火) 06:23:38.18 ]
- 君の先読みの議論は以下のような考えだよね？
(***)自分が上限額2^11なら、a1より「いいえ」。
自分が2^10なら、相手は1/2の確率で2^11であり、その場合に必ず「いいえ」というからa2より自分も「いいえ」。
自分が2^9なら、相手は1/2の確率で2^10であり、その場合に相手は上記の理論で「いいえ」と言うから、自分も「いいえ」。
これを繰り返し、、、すべての場合に「いいえ」という。
これは帰納法であり最初の(***)が成り立たなければそれ以降も成立しない。
「「両者が上限ではないことを」相手が理解していると」両者が理解しているときにおいて、なぜ君は(***)を考えるのだろうか？
君の判断基準は「「「存在しないとお互いに理解している」と相手も理解している」と理解している」人間にも適用されるものなのだろうか？
（もちろん>>673冒頭に書いた通り、自分が2^9なら上限2^11の人間は存在しないのだが、
情報の不足により（実際には存在しない）2^11を想定しなければならない状況は存在する。
しかし、これを何回も繰り返すことは不可能だというのが私の主張。）
重要なのはa1a2a3(**)が適用される範囲。この基準がいったい誰に適用されるのか？
>相手も合理的な判断をする事,,,を理解している
という君の文章は、自分Aや相手Bのみならず、相手Bが自分Aの判断を想像する際に（相手Bの想像上の自分A）に対しても
適用されるという意味だよね？
両者とも存在する可能性すらないということを理解している人に対しても基準を適用するのはおかしいのではないかと私は思う。
- 676 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/24(火) 06:47:23.70 ]
- 我々の相違点を明確にするために、より簡略化した問題を考えたい。
b1、出席番号１番は「いいえ」という。
b2、出席番号k番（kは2以上）は、k-1番が「いいえ」という可能性がある場合には必ず「いいえ」と言わなければならない。
b3、b1b2に違反しない限り「はい」という。
(****)「全員がこのルールに従うこと」を全員が知っている。
普通は、帰納法より、b1b2b3(****)から全員が「いいえ」と言うということが導ける。
しかし、例えば、出席番号１番が休みで、そのことを全員が知っている場合は、全員が「はい」という。
出席番号１番が休みでも、そのことを知らない人がいれば、その人以降は「いいえ」という。
出席番号１番が休みで、そのことを全員が知っていても、全員が知っているということを知らない人が存在すれば、
その人は、「他の人が（休みだと知らなくて）「いいえ」というかもしれない」と（情報の不足のために事実に反する）想像をして「いいえ」と答える。
ここまで良いだろうか？我々の問題はもう少し複雑だ。さらに条件を付け加える。
ある日、出席者がたった二人しかいなかった。それは、君と、君の前か後ろの出席番号の人（確率1/2）だとわかっている。
相手もそのことを分かっている。
君の先読みの議論に従うと、
もし君が出席番号１番なら二人とも「いいえ」。
２番なら、相手が１番かもしれないので「いいえ」。
３番なら、相手が２番かもしれなくて、相手は上記の通り「いいえ」というので、自分も「いいえ」。
以下、これの繰り返しで、自分が何番でも「いいえ」と言う。
ということで良いだろうか？
私の考えでは、例えば自分が５０番なら、相手は４９番か５１番。どちらにしても、今日は１番が休みであるとお互いに理解している。
よって、両者とも「はい」という。
どちらも正しく見えるがどちらが正しいのか？以降、この簡略化した問題について議論したいのだが良いだろうか？
「いやいや自分の主張とは全然関係ない話だ」などの意見がある場合には早めに教えてくれ。
- 677 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/24(火) 08:39:23.11 ]
- >>676
君は論理的ゾンビだね。
なにが同じでなにが違うか始めに定義してもらわないと分からないんだ
なにが正しくてなにが間違っているかも定義してもらわないと分からない様だし
因みに君の問題、前提条件からして元の問題と違ってるよ
- 678 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/24(火) 08:59:25.65 ]
- 定義に基づかずに議論するのは、それは数学ではないよ。
十分な数学能力があるもの同志が同じ定義をもとに議論すれば同じ結果が得られる。
意見が食い違う場合には、まずお互いに定義が違っていないか確認するのが当然。
必要に応じて自ら何かを定義して（それを明確に述べて）それをもとに議論するのも数学だけど。
今回は、597,653の問題について議論しているのであって、それと全く違う問題を私が定義して議論し始めても意味が無い。
597,653に定義を確認しつつ話を進めるのは自然なことではないか？
>因みに君の問題、前提条件からして元の問題と違ってるよ
もとの問題と簡略化した問題に違いがあるのは知っているよ。
前提条件が全く同じなら簡略化問題の意味がないしね。
その違う部分について議論が必要なら、その部分について議論する用意もある。
しかし、私と彼の意見の違いの本質的な部分は、元の問題と同様に簡略化問題に含まれていると私は考えている。
つまり、彼は簡略化問題についても先読みが成立すると考えるだろうと予想する。
（もしそうではなくて、597,653（>>677でもよいが）が簡略化問題では先読みが成立せず、
もとの問題では成立すると考えるのなら、その理由を説明してくれ。）
だからこの簡略化問題でなぜ意見に違いが出るのかを説明して、必要ならその後、元の問題について話そうと思う。
- 679 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/24(火) 09:16:17.32 ]
- >>678
君の問題で自分の番号が2番の場合ってどう答えるの？
まずそれを教えて
- 680 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/24(火) 09:35:26.28 ]
- 私の方の考えについての質問だよね？
>>673にも同様のことを書いたが、
自分が２番なら、相手が１番の可能性があり、そのとき相手はb1より「いいえ」という。よってb2より自分も「いいえ」と言う。
- 681 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/24(火) 09:40:23.73 ]
- >>680
3、4番は？
- 682 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/24(火) 09:45:32.97 ]
- ３、４番も「いいえ」だよ。
- 683 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/24(火) 09:56:30.37 ]
- 例えば１０番のとき、相手は９番か１１番。相手が９番のばあいについて考えてみても、
この想像上の９番（実際に存在するかもしれない）は、
「「１番が休みであることをお互いが知っている」ということをお互いが理解している」ということを知っている。
よって両者とも「はい」ということが可能となる。
おそらく５番か６番くらいでこういう状態になるんじゃないかな？
細かい計算は苦手なので多少の計算違いはあるかもしれないが、
いずれにせよ、十分に番号が大きければ必ず上記の状態になるる。
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