- 588 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 05:14:31.72 ]
- 二封筒問題
１、二つの封筒があり、中にそれぞれ1:2の金額の比でお金が入っている。
２、ランダムに一方を選ぶ。（つまり高額を選ぶか低額を選ぶか、それぞれの確率は1/2であるとする。）
３、選んだ封筒の金額を確認すると10000円だった。
４、このとき他方の封筒の金額は5000円か20000円である。
５、それぞれの確率は1/2である。
６、よって他方の封筒の金額の期待値は12500円となり、確認した封筒の金額の1.25倍。
７、初めに確認した金額がいかなる場合においても、同様の議論により他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。
８、初めに確認した金額がいかなる場合にいおても、他方の期待値は1.25倍になる。
Ｐ、よって封筒の金額を確認しなくても、他方の封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当？
Ｑ、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは金額を確認せずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当？
Ｒ、金額を確認せずに、繰り返し交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当？
答え
Ａ、５の確率には根拠がない。５は条件付き確率であって２の確率とは別物であり、
「１の時点でどのような確率分布でお金を入れたのか？」に依存する。
それが与えられていないので「それぞれの確率は分からない」が正解。
Ｂ、問題の流れに従い根拠はないが５が正しいと仮定して話を進めよう。
つまり、１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう（実際そのような確率分布は存在する）。
その場合には６は正しい。
Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。
つまり、１の時点で７が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在しない。
（ただし、余白が足りないのでこのことの証明はここには書けない。）
よって８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。
Ｄ、ただし、１の時点で８が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在する。
ちなみに、この確率分布の（もちろん金額確認前の）期待値はどちらの封筒も無限大に発散している。
Ｅ、Ｄで述べた確率分布の場合には、Ｐ、Ｑ、Ｒに対する答えはどうなるのか？
無限大に発散しているものどうしを比較して1.25倍か？という問い自体が意味不明である。
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