- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/29(土) 13:14:41.54 ]
- [問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
選んで中を見ると10000円だった。
他方の封筒の金額の期待値は？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。
このような問題を他スレで話題にしたりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くよう誘導お願いします。
派生元
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
過去スレ
２つの封筒問題スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049
２つの封筒問題スレ 2
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151
２封筒問題スレ その３
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/
- 520 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/31(土) 23:55:59.50 ]
- これ単に、AでもBでも「どっちでもいいから片方開けて考える」ってケースを
「どちらも選んでない」場合と混同させて、パラドクスが起こってるように
錯覚させたということ。
だから>>401-402でいい。
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/01(日) 01:45:02.34 ]
- >>519
>４、>>401は「封筒を選ぶ＝中の金額を知る」という言葉使いをしているようだが、
>してません。
てことはこれは開けて中の金額を調べていないんだな？
↓
>封筒Bを選んだ上で、封筒AにはA:B=1:2またはA:B=2:1になるように
>お金が入っています。封筒Aを選んだほうが得でしょうか？
- 522 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/01(日) 05:27:07.04 ]
- >>521
どっちでもいいんじゃね？
- 523 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/03(火) 21:46:39.64 ]
- 封筒を選ぶ前の期待値は少ない方の金額x(1+2)/2=1.5（少ない方の金額）
で２つともおなじだから、一方を開いて１万なら他方も１万だよ。
- 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/04(水) 08:28:28.40 ]
- >>516
自然に解釈すると、「n→∞」とか「nを無限大に持ってく」というのは>>508の一行目で定義された確率分布の極限を考える
という意味だと思われる。しかしながら>>515が書いているとおりその極限を自然に定義することは不可能。
よって「n→∞」は意味不明（不可能な操作）である。よって
>n→∞だとk=nが成立できなくなるからパラドックスに見えるだけ
この文章は意味不明。
この手の（極限を不適切に用いる）間違いは大学数学でちゃんと極限を学んでいない人がよくする間違いなので、
おそらくこの場合もそうなのだと思う。もしそうではなくて、君の文章中の「n→∞」という言葉に論理的に議論可能な
何らかの意味が存在するのなら詳しく説明してくれ。
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/04(水) 08:31:40.34 ]
- >>514
おそらく君も知っていると思うのだが。
良く知られている二封筒問題には「これより他方の金額が二倍か半分かは等確率となり、、、よって期待値は交換した方が大きくなる」
という誘導がある。（この部分はミスリードを引き起こす重要な部分）
よって>>513の最後の主張を述べることも意味があると思う。
>>519
１、２、はローカルルール。一般的にそのような決まりごとは数学にはない。１については>>3にも書かれている。
出来るだけ一般的な言葉使いを用いるべき。そうでない人とは議論しても混乱するだけだ。
３、５、について理解できない部分があるのなら調べるか質問すればよい。
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/04(水) 08:33:47.50 ]
- >>519
４、について、もしそうであるなら君（あるいは君ら>>520>>522）は「選ぶ」という言葉の意味を間違っているよ。
世の中の多くの人の意味では、「選ぶ」という行為によって封筒Ａや封筒Ｂの金額の確率分布は変化しない。
一方、「金額を確認する」「封筒を開ける」という行為によって金額の確率分布は変化し得る。
例えば「選び手は封筒Ａ、Ｂの金額を知らず確率分布のみ既知という設定の場合、
封筒を選んだ時点では、Ａ，Ｂの確率分布は変化しない。選んだ封筒の金額を確認した時点でその封筒の金額は既知の情報となり固定される。」
これが普通の人の「選ぶ」「金額を確認する」という言葉の用い方。
（普通の人の意味では）「選ぶ」ことによって確率分布は変化しないのだから>>401の三つの問いの議論はナンセンスだし、
問の解答において勝手に「封筒を開けて」いるのも間違いだ。
とりあえず君は他の人々の書き込みをよく読んで言葉の概念や用い方を良く理解してから書いた方が良いよ。
そうしないと、仮に君の考えが正しかったとしても間違った主張をすることになるよ。
- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 04:07:25.68 ]
- >>524
> しかしながら>>515が書いているとおりその極限を自然に定義することは不可能。
この場合の「自然に」とは何を指すのか？
- 528 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/05(木) 21:38:42.31 ]
- >>525>>526
違う。何か根本的に勘違いを君らはやっている。
そういうことじゃなくて、この２封筒の問題は、そのようなことがらは
そもそも問題とはならないと言ってるの。
指摘が正しいか間違っているかではない。的外れなの。
無いものを仮定して話しをしたから、パラドクスが起こっているような
錯覚をしていると言ってるんだよ。そしてそれですべて。
余計なことを言って必死でごまかそうと君らはやっている。
とにかくなにかくやしいらしいが、滑稽だ。
- 529 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/05(木) 21:43:35.10 ]
- >>401は一番最後だけでよい。それだけで意味が分かるんならね。
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 22:15:36.49 ]
- 数学的素質に特別恵まれてるわけではない一般の人でも一発で納得するような決定打を頼む
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 22:47:04.55 ]
- 「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を50袋 （合計75万円必要）
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を50袋 （合計150万必要）
あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え 50%の確率で5000円 50%の確率で20000円
「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を99袋 （合計148.5万円必要）
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を1袋 （合計3万必要）
あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え 99%の確率で5000円 1%の確率で20000円
「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 をn袋 (nは0以上100以下)
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を100-n袋
あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え n%の確率で5000円 (100-n)%の確率で20000円
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 22:47:36.24 ]
- 「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒
それぞれ、適当に用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え それぞれの封筒の割合が分からないから、分からない。必要な情報がないから、分かるわけがない。
二つの封筒がある。その封筒は
「10000円を入れた封筒」＆「5000円を入れた封筒」か、
「10000円を入れた封筒」＆「20000円を入れた封筒」かのどちらかである。
一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
もう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え 分からない。必要な情報がないから、分かるわけがない。
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/05(木) 23:15:52.34 ]
- >>531
やべえ、とうとう分かったかも・・・・・
＞「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を50袋 （合計75万円必要）
＞「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒 を50袋 （合計150万必要）
＞あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
＞大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
＞大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
この前提を与えられれば確かに期待値は12500円になる
(20000＋5000)÷2=12500 という計算は、50袋：50袋という前提に基づいているわけか
前提が与えられていないうちから計算を始めてしまう人が多いということか
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 00:06:08.54 ]
- 二つの封筒があり、一つを選んだ段階では、その選んだ封筒が「高額側」である確率も
「低額側」である確率も５０％づつ。至極当然のこと。
しかし、封筒を開けて、「10000円」と確認した瞬間に、選んだ封筒が「高額側」である
確率、あるいは、「低額側」である確率は、「不明」に変化する。
「10000円」が「高額側」であると言うことは、それは、用意されていた封筒のペアが
「10000円と5000円」であることを意味し、「10000円」が「低額側」であると言うことは、
それは、用意されていた封筒のペアが「10000円と20000円」であることを意味する。
用意されていた封筒のペアが、「10000円と5000円」だったのか、「10000円と20000円」
だったかについては、何も情報がない。だから確率など判るはずがない。
封筒の中身を確認する前は、選んだ封筒が高額側である確率は５０％だが、
封筒の中身を確認した瞬間に、選んだ封筒が高額側である確率は不明に変化する。
封筒の中身の確認により、確率が５０％→不明と変化することこそが、この問題の本質。
変化することをきちんと認識できるかどうかが、この問題を理解できたかどうかに直結する。
誰かが、「不可能な状況を議論している」等のような事を言っているが、別の問題にすり替えて、理解したと思いこんでいるだけ。
- 535 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/06(金) 04:23:15.20 ]
- これまでにいくつかの正しい解答が提示されている。
一つ目は、>>534や>>32>>60が述べている
「高額を選ぶか低額を選ぶかは確率1/2である。
しかし、一方の封筒の金額を確認したときに他方の金額が二倍か半分かの確率は、それとは別である。
封筒に入れられた金額の確率分布が与えられていないので後者の確率は計算不能である」という主旨のもの。
>>2にも
>上の[問題]は、そのままでは数学の問題として解けません。
と述べられている。
二つ目は、
「{一方の金額を確認した時点で、他方の金額が二倍か半分の確率は1/2}
が（確認した金額によらずに）常に成立するような封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在しない。」
という主旨のもの。（ただしこれは自明では無く、証明にはちょっとした計算が必要ある。）
この解答は、二封筒問題で通常述べられる誘導文のswitching argumentと呼ばれる議論
「一方を確認したときの他方の金額が二倍か半分かの確率は1/2だから、期待値は交換した方が大きくなる。
この議論は確認した金額によらずに成立するから、金額によらずにかならず交換した方が期待値は大きくなる。
よって金額を確認しなくても交換した方が期待値は大きくなり、繰り返し交換し続けると期待値は増加し続ける。」
の間違いを指摘するものである。
もちろん一つ目の解答を理由にswitching argumentの「確率1/2だから」の部分には根拠がない。と主張することも可能である。
これら以外にも、「金額確認後の条件付き確率と確認前は別であるからswitching argumentの最後の部分は成立しない」とか
「金額によらずにかならず交換した方が期待値は大きくなること自体は、期待値が無限大に発散しているような確率分布の場合にはあり得ることで、
パラドックスではない」などの解答もあった。
- 536 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/06(金) 04:41:21.34 ]
- >>528
>そういうことじゃなくて、この２封筒の問題は、そのようなことがらは
>そもそも問題とはならないと言ってるの。
>指摘が正しいか間違っているかではない。的外れなの。
私の指摘が二封筒問題の的を外れているかどうかはどうでもよい。
私の>>501>>525>>526の書き込みは>>401の間違いを指摘するのが主旨。
私の指摘が正しいのであれば>>401は間違いということだが、それでＯＫ？
>無いものを仮定して話しをしたから、パラドクスが起こっているような
>錯覚をしていると
これが>>535の二つ目の解答を意味しているなら、同意。
しかし、>>401はこれとは全く違う内容であり間違い。
>>529
>>401は最後だけでも間違い
例えば、Aに１０００円、Bに２０００円入ってる確率が５０％、
Aに２０００円、Bに１０００円入ってる確率が５０％という確率分布を考えれば
問題文の「封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるようにお金が入っています。」
を満たす。
- 537 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/06(金) 04:57:55.37 ]
- >>527
質問の主旨が良くわからないが
「自然に定義する」が指しているのは>>515が書いた通り「関数の極限を用いて確率分布の極限を定義する」ことを指している。
もちろん「自然な」はTPOによる。この状況でこれ以外に自然な定義方法があるなら教えてくれ。
そもそもは自然な定義である必要性も無い。
>>508の書き込みについて議論しているのであるから、>>508自身が「ここでの極限の定義は、、、です」
というのであればそれで良いのだ。しかし
>>516
>定義とかはわからんが言いたい事は伝わると思ってる
とのことだ。誰か伝わってる人がいたら教えてくれ。
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 09:14:41.58 ]
- >>534
> 用意されていた封筒のペアが、「10000円と5000円」だったのか、「10000円と20000円」
> だったかについては、何も情報がない。
なにも情報がないのなら、理由不十分の原理により1/2、とすればよいではないか。
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 09:21:18.87 ]
- >>537
TPOによって意味の異なる語はなるべく持ち出さないほうがよい。
他に意味があるのではないかと勘ぐってしまう。
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 19:24:53.23 ]
- >>538
商店街の福引が１等から７等まであったら、
１等の当たる確率は１／７なの？
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/06(金) 23:34:35.13 ]
- >>540
事前情報が全くないならそう。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/07(土) 00:24:07.28 ]
- >>538
理由不十分の原理は数学で認められていない原理なので
数学的に考える場合は用いてはいけない
でFA
しかも今回の場合、そのように理由不十分の原理を用いるのはあまり自然ではない。
- 543 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/08(日) 09:20:57.39 ]
- >>540とか見てると、とにかくまるで分かってないアサッテなことを言ってるのが
よく分かる。
何度でもいうけれど、>>401で終了してる。
無い状況を仮定してるからおかしくなった。
それだけのこと。
くやしいから反論になってないことをグジャグジャ言って反論してるように見せかけているだけ。
終わらない原因はオマエらなの。
>>401で終了している。特別な疑問点など何もない。
- 544 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/08(日) 09:38:36.89 ]
- よく考えてごらん。
Aを選んだとき、A:B=1:2または2:1で確率半々だと言うのが
正しいのなら、Bを選び直した時もはや、A:B=1:2または2:1で
確率半々という状態は不可能だ。
そしてそれは、封筒の中身を開けて中を見るかどうかは関係ない。
Aの金額は何か分からない。とにかくその金額を便宜的に1としよう、
でちゃんと議論は出来るんだから。
>>401で言ってるように
>封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
>1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるように
>お金が入っています。
この状況は存在しないんだよ。
巧妙に騙されてただけ。
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 09:43:08.68 ]
- >>535
＞封筒に入れられた金額の確率分布が
＞与えられていないので
＞後者の確率は計算不能である
いわゆる二封筒問題では
確率分布を設定しているので
上記の発言はただの事実誤認。
- 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 09:47:59.40 ]
- >>535
＞{一方の金額を確認した時点で、
＞ 他方の金額が二倍か半分の確率は1/2}
＞が（確認した金額によらずに）常に成立するような
＞封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在しない。」
もっとも、
1/2＞二倍の確率＞1/3
2/3＞半分の確率＞1/2
となる確率分布は存在し得るし、
その場合にも"逆理"となるので
上記の説明だけでは答えにならない。
- 547 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/08(日) 09:51:39.22 ]
- 太郎君が封筒を２つ用意する。花子さんに見せて、お金が入っているから
好きなほうを選んで、という。
花子さんが片方を選ぶ。中身は見ても見なくてもよい。
太郎君が「いや実は、その封筒の金額の２倍か半分のお金がもう片方に
入ってるんだよね。選び直してもいいよ。どうする？」
これなら、選び直したほうが得。
-----------------------------------------
太郎君が封筒を２つ用意する。花子さんに見せて、お金が入っているから
好きなほうを選んで、という。
花子さんが片方を選ぶ前に、太郎君は花子さんに向かって言う。
「実は、どっちを選んでもその封筒の金額の２倍か半分のお金がもう片方に
入ってる確率が半々になるんだよね。」
これは無い。太郎君はウソを言っている。
- 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 09:52:35.36 ]
- >>535
＞金額によらずにかならず交換した方が期待値は大きくなること自体は、
＞期待値が無限大に発散しているような確率分布の場合にはあり得ることで、
＞パラドックスではない
文章が不十分。正しくは
1行目の期待値は「封筒の金額確定時の期待値」
2行目の期待値は「封筒の金額不明時の期待値」
と書くべき。
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 09:53:41.09 ]
- >>544
>封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
>1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるように
>お金が入っています。
その書き方だと、お前の意図した意味にならない。
お前の言いたいことは分からんでもないが、お前のその書き方だと
＞例えば、Aに１０００円、Bに２０００円入ってる確率が５０％、
＞Aに２０００円、Bに１０００円入ってる確率が５０％という確率分布を考えれば
＞問題文の「封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
＞1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるようにお金が入っています。」
＞を満たす。
(>>536より)
こういうことになる。
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 09:56:54.39 ]
- >>547
ところで、もし太郎が
「いや実は、その封筒の金額は、君が選ばなかった封筒の
２倍か半分のお金なんだよね。選び直してもいいよ。どうする？」
といったらどうする？
選ばなかった封筒の金額をａ円とする。
交換すると、ａ／２円得するか、ａ円損するかのいずれか。
- 551 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/08(日) 13:11:54.16 ]
- この問題の引っ掛けは２つの封筒の期待値が同じという事実は金額を見る前に決まっている。
金額を見てもかわらない。
見る前 E（A）＝E（B）
見た後 E（B）＝（２００００＋５０００）/２＝１２５００
１００００を出して２００００か５０００をもらうことは
（（２００００ー１００００）＋（５０００ー１００００））/２＝２５００
の期待値になる。
１００００を取っておく方がお得です。
- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 16:48:33.51 ]
- 無限ループで永久機関ができそうだなこのスレｗ
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 16:58:11.27 ]
- >>542
> 理由不十分の原理は数学で認められていない原理なので
> 数学的に考える場合は用いてはいけない
要出典
> しかも今回の場合、そのように理由不十分の原理を用いるのはあまり自然ではない。
「あまり自然ではない」
理由にならない。用いてはならないとするなら
明確な理由が必要。
- 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 17:05:38.73 ]
- >>547
> これなら、選び直したほうが得。
もう一方の封筒の金額の方が高額である確率がわからないと、そうは言えない。
> これは無い。太郎君はウソを言っている。
そのような封筒に入れる金額の決め方はないという意味なら誤り。
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 17:09:04.30 ]
- >>551
何を言っているのかさっぱりわからん
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 21:57:29.19 ]
- 結論：
世の中には色盲だけではなく、数盲、あるいは論理盲とでも呼ぶべき者がいる。
彼らには、いくら説明を加えても無駄である。
「○○の原理」等という物を教えてしまうと、条件や範囲などを無視してところかまわず使いたがる。
餌やり厳禁。
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/09(月) 02:58:25.77 ]
- 上限金額が分からない場合は、
高額、低額、２種類の封筒の内、高額の封筒を1/2以上の確率で選べれば得、
他方の封筒が1/3以上の確率で高額であればよいと思うのは勝手だが
それは上限金額が分かっている場合だけにしか適用出来ないことを理解してほしい
そう、切に願うスレ
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/09(月) 03:43:21.23 ]
- １万の封筒を引いた時、上限２０万でも上限なしでも計算方法は変わらない気がするんだが
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2012/01/09(月) 07:20:13.49 ]
- お兄さんと弟がそれぞれ封筒に入った遺言をもっています。
- 560 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/09(月) 09:00:12.08 ]
- >>538
理由不十分の原理とやらは数学の決まりごとではない。
問題に書かれてもいないものを勝手に用いるべきではない。
しかし、（理由不十分の原理でも宗教的理由でもなんでも良いが）
君が1/2と考えたいならそう考えることは自由。
ただし、>>2に書かれているルール
>新たな仮定・別の仮定する場合は明記して、別の問題として考えて下さい。
を守ること。そして1/2と考えた場合についてはすでに
>>512の最後>>513や>>531冒頭に書かれている。
>>539
一行目には同意。ただし、ここではあえて用いた方が良いと思って用いた。
「自然に定義する」とか「自然な拡張」という大学数学では割と標準的な言葉使いがあるのだが、
それは知っている？知っていてレスしてるならそれで良いのだけど。
- 561 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/09(月) 09:01:04.06 ]
- >>543
私が>>401の間違いをいくつも指摘しているのにそれに対する反論無しにそのようなことを述べても説得力がない。
>終わらない原因はオマエらなの。
>>>401で終了している。特別な疑問点など何もない。
私もすでに終了していると思っているし何も疑問点は無い。ただし>>401は間違い。
「もし細かい間違いはあるけど本質的には正しいはずだ」などと考えているのであれば、
まずは>>401を正しい文章に書き直せ。その場合には「君のルール」ではなく「一般的な数学のルール」に従って書くこと。
例えば、
１、得という言葉を使うべきではない。使うなら「得とは期待値が大きくなることを意味する」などと併記せよ。
２、理由不十分の原理など数学の決まりではないものを勝手に使うな。
使うなら「、、、の確率と、、、の確率は等しいものと仮定する」と明記せよ。
３、封筒を開ける前の二つの封筒に関する条件は対称にせよ。
封筒を受け取った側にとっては、封筒を開ける前の時点ではどちらも同じ状態の封筒である。
そうでない場合は二封筒問題とは別の問題だ。
４、「封筒を選ぶ」と「封筒を開ける」の違いを正しく区別せよ。二封筒問題は封筒を受けとった側の立場で判断する問題であり、
受け取った側は選んだ時点では封筒の金額はしらない。封筒を開けて初めて封筒の金額がいくらであるか分かる。
これは大きな違いであり、「選ぶ」としか問題に書かれていないのに勝手に「開けた」ことにして期待値を考えるのは間違いだ。
- 562 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/09(月) 09:02:21.30 ]
- >>546
その件については>>535の最後の解答で述べている。付け足しで短めに書いたので文章が分かりにくく悪かった。
>>548のご指摘通りだ。
>>557
封筒を開けた時点での確率を述べているのか、開ける前の確率か明快にせよ。
同一人物かどうか知らんが「得」という言葉を使うやつの書き込みはアホばかりだな。
これだけ使うべきではないと言われているのに使うのは心の病か何かか？
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/09(月) 19:30:01.32 ]
- >>562
得って言うのはね、数学を使い論理的に考えて有利って事
得の意味や概念が分からない程に日本語が不自由ならＲＯＭってた方が良いと思いますよ
- 564 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/09(月) 23:29:02.41 ]
- >>563
アホか？
使うべきでないと言われている言葉の意味を、これまた>>3で使用を推奨されていない「有利」という言葉で説明して何が言いたいのだ？
>>563に数学用語が一つも見当たらないが、君は数学的に考える気はないのか？言葉遊びをしたいのか？
まぁ、私の>>561も良い文章とは言えないから少し訂正させてもらうよ。
１、得という言葉を使うべきではない。使うなら「得とは期待値が大きくなることを意味することとする」などと「数学的定義」を併記せよ。
「得」という言葉は数学用語では無い。
「期待値の増加」という意味で用いる人もいるが、金額の期待値が減少する場合を得だと考え行動する人（例えば保険の購入）もいる。
そもそも>>1は損得は問うものではなく、期待値を問うている。
ここまで言われても「得」とか使うやつがいたらやはり心の病としか思えない。
ちなみに日本語の問題としても君のレスはおかしい。
「得」という言葉の意味に「数学を使い論理的に考えて」などという意味は含まれていない。この部分を削除して
「得って言うのはね、有利って事」とすれば日本語としては正しい。もちろん数学的には何の意味もない文章だが。
- 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/09(月) 23:50:14.69 ]
- >>563
何の説明にもなっとらんし
「論理的に考えて」と書いただけでは論理的に考えたことにはならん。
数学の論理や用語の定義は、日常で用いられる論理や言葉の意味とは全く異なる。
そんなこともわからないような奴には数学を活用することなど不可能だろう。
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 01:46:40.41 ]
- >>561
理由不十分の原理を数学では用いてはならない、ということについて
ダメだからダメだなどというのではなく、論理的な説明がまたは
信頼のおける出典を示してもらえないか？
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 01:56:16.64 ]
- 失礼
× 論理的な説明がまたは
○ 論理的な説明か、 または
ちなみに、誤解のないように断っておくが
私の立場は「理由不十分」に関するところ以外では>>561にほぼ同意である。
さらに言えば、もちろんこ２封筒問題には「理由不十分の原理」は適応できない。
ただしそれは「数学的ではないから」というような理由ではなく
不十分でない（十分な）理由があるからだと考える。
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 06:26:10.67 ]
- 百個の箱に、それぞれ二つの封筒が入っている
五千円と一万円が入っているのが五十箱
一万円と二万円が入っているのが五十箱
さて、百個の箱から任意に一箱選び、片方の封筒を開封したら一万円が出てきた
もう片方に交換すべきだろうか？ 当然すべきだ
これなら期待値は12500円で間違いない
１〜３行が前提になっていれば４〜６行は正しい
１〜３行が前提になっていなければ４〜６行は正しくない
そこに問題を解く鍵がありそうな気がする
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 06:42:00.67 ]
- 片方にはもう片方の二倍、というルールを変えて、片方にはもう片方より2000円多く入っている、としてみよう
10000円のもう片方は、12000円＋8000円の二分の一、つまり期待値10000円となる
開封側の金額と、非開封側の期待値は同じである
2000円多く、というルールでは非開封側の期待値も10000円のままだが、
二倍、というルールでは期待値12500円になってしまうように思えるのは何故なんだろうか？
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 09:50:17.39 ]
- 普通の平均は、相加平均である。期待値も相加平均の一種である。
「片方にはもう片方より2000円多く入っている」
これは、一方を「基準+1000」、他方を「基準-1000」と入れることと等しく、
相加平均が、「基準」に一致する入れ方。
「片方にはもう片方の二倍入っている」
これは、一方を「基準/√2」、他方を「基準*√2」と入れることと等しく、
相乗平均が、「基準」に一致する入れ方。
一方が他方の２倍とか、１００倍とか、いろいろ変えることが出来るが、
これらは、適当な基準を取り、その基準の√n分の一、√n倍になるように入れていると言えるが、
相乗平均が基準に一致するように入れていると言える。
そのような入れ方に対し、相乗平均ではなく、相加平均を取ると、基準より大きくなるのは、
「相加平均と相乗平均の性質」として知られている事柄。つまり、
(相加平均)^2-(相乗平均)^2 = {(a+b)/2}^2 - {√(ab)}^2 = {(a-b)/2}^2 ≧ 0 が背景にある。
- 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 11:28:28.69 ]
- >>568
＞ １〜３行が前提になっていなければ４〜６行は正しくない
ダウト。
A⇒B だからといって ¬A⇒¬Bではない。
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 11:31:01.61 ]
- >>569
＞ 二倍、というルールでは期待値12500円になってしまうように思えるのは何故なんだろうか？
実際に期待値12500円だから。
- 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 11:35:14.50 ]
- >>563
「得」や「有利」の意味を数学的に定義できないほどに数学に不自由なら
ROMってたほうが良いと思いますよ。
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 17:50:19.16 ]
- >>571
１〜３行が前提になっていれば交換すべきと言える
１〜３行が前提になっていなければ交換すべきとは言えない
という意味だろｊｋ
- 575 名前：結論 mailto:sage [2012/01/10(火) 22:46:02.59 ]
- >>572
>実際に期待値12500円だから。
その通り。
このゲームを何度やろうが、その都度、交換の期待値は＋２５％。
しかし、このゲームを多数回繰り返して（必ず交換して）も、その期待値（得られた金額の総和÷元の金額の総和）は決して＋２５％には収束しない。
結果は不定となる。
それがこの２封筒問題がパラドックスと言われるゆえん。
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 23:08:11.57 ]
-
>>573
何度も言ってるけど、数学的に得って言うのは、期待値が大きくなることな
それ以外の意味で使ってる奴いないだろ
あと数学板で保険とか、宝くじを得と思って買ってる白痴いないだろ
あんなのは可処分所得で安心感や射幸心を満たしてるだけで得とは言わんよ
どっちも何回言ったか分からん
まさにここは無限地獄、しかも、もう４丁目
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 23:45:17.67 ]
- つまり期待値という概念には実用性がないということか
儲けたいと思ってる人はかかわらない方がいい、と
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 00:38:30.62 ]
- んーと、上限値とか確率分布？とかが存在して
その内容を選ぶ側も分かっていればパラドックスは起こり得ないって事でよろしいか
でも知らなかったとしても適当な仮定をして考えてやる他無いよな
ええい大きいか小さいかで1/2だァ！って訳にはいかないし
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 01:24:58.83 ]
- >>576
> それ以外の意味で使ってる奴いないだろ
いる。そのように使われた場合、
得の意味を「期待値が大きい(方)」とは別の意味・定義で用いているのか、それとも
期待値の定義を理解していない(期待値でないモノを期待値だと思い込んでいる)のか
他の人には判断できないので、一々どちらなのか確認しなければならない。
「得」などという語を用いなければ前者の可能性はありえないから、
そのような煩わしい確認作業が省けるので、「得」などという語は使わない方がよい。
> どっちも何回言ったか分からん
数学的に「期待値が大きい(方)」等と簡単に書けることを
わざわざ別の語によって定義しなおす必要など全くない。
「得」という語を用いなければ良いだけの話なのに、
何度使うなと言われても、「得」の使用にこだわり続ける事の方が異常。
数学以前の問題で、単なる誹謗ではなく冗談抜きで、
判断機能か何かが正常でない可能性があるので、
冷静になって、リラックス、リフレッシュして自分を見つめ直し、
それでもダメなら精神や人格あるいは脳の検査することを勧める。
- 580 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 01:51:49.89 ]
- >>576
>何度も言ってるけど、数学的に得って言うのは、期待値が大きくなること
君のなかでそのような決まり事があるのならば、君が「得」のかわりに「期待値が大きくなること」を用いれば何も問題ないはずだ。
君があえて「得」を用いるのは何か理由があるのか？
>あと数学板で保険とか、宝くじを得と思って買ってる白痴いないだろ
>あんなのは可処分所得で安心感や射幸心を満たしてるだけで得とは言わんよ
実際私は任意の自動車保険に入っているし多くの数学者もそうだ。
私は、わずかな金額を支払うだけで、万が一億単位の賠償金を支払う可能性を排除出来るのは、
例え資産の期待値が減少するとしても得であると考える。
わずかな金額で安心感が得られるのは少なくとも私にとっては得だ。
「得」は数学用語ではない。日本語の「得」という言葉の意味は数学用語のように厳密に定義されたものではないので、
「期待値が大きくなること」の意味以外にも上記のような意味にも用いられる。
私は「数学的に得」という言葉の意味を知らない。
もしそのような独特な言葉使いを君が常にしてくれるならば、今後の書き込みでは「期待値が大きい」という意味だと理解できる。
しかし、誰かがただ単に「得」という言葉を用いたとき、それが「期待値が大きい」を意味するのか？
それともより広い通常の日本語の意味での「得」を意味するのか？
どうやって判断する？もしかして君は数学板においては日本語の意味での「得」という言葉を用いてはいけないと考えているのか？
私は、「得」という言葉を用いたレスであっても、「得」＝「期待値が大きくなる」と補完して考えれば理解出来るものに対してはここまでうるさい指摘はしない。
しかし、例えば>>557の場合は、「得」＝「期待値が大きくなる」と補完しても理解不能な書き込みだからツッコミをいれている。
- 581 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 02:12:29.45 ]
- >>575
>このゲームを何度やろうが、その都度、交換の期待値は＋２５％。
>しかし、このゲームを多数回繰り返して（必ず交換して）も、その期待値（得られた金額の総和÷元の金額の総和）は決して＋２５％には収束しない。
>結果は不定となる。
証明してくれ。もし証明出来ないなら、ただ単に「君がそう思っている」ということで良いか？
>>577
面倒なので詳しいことは書かないし数学的な書き込みではないが、
期待値というのは指標の一つに過ぎない。特にその賭けを小数回しか行えない場合には、
期待値の大小のみによらず他の条件も考慮して損得を判断することをお勧めする。
何回でも（十分に大きい回数）繰り返し行える場合には、期待値の大小で損得を判断することをお勧めする。
- 582 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 02:20:21.39 ]
- >>577
（追加）他の数学的概念についても同様にいえる事だが、
「期待値」に実用性があるかどうかは、それを道具として用いる人の能力次第だ。
遅レスですまんが
>>545
>確率分布を設定しているので
封筒に入れられた金額についていかなる確率分布が設定されているか教えてくれ。
- 583 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 03:29:44.04 ]
- 私は>>542ではない。
私の意見は>>560>>561に書いた通り
「（理由不十分の原理より）ここでは、、、の確率と、、、の確率は等しいものと仮定する」と明記すれば用いてよい。
しかし、数学の議論のみをしたいならば（理由不十分の原理より）の部分は書かないことをお勧めする。
（私は理由不十分の原理を用いたわけではないが）>>512最後と>>513の書き込みを見てくれ。
数学では、数学的に明快な文章で述べられている限り、いかなる仮定を用いても議論として成立する。
しかし、その仮定（例えば理由不十分の原理）を用いることに対する主観的な評価は別の問題であり。
もし試験において出題者の意図しない仮定を用いて議論すれば減点されるだろうし、
もし研究集会において参加者が無意味だと考える仮定を用いて議論すれば無視されるだろう。
一般論として、もし「確率分布について何も情報がない」場合。
任意の確率分布を仮定として付け加えても、それによって数学的議論に矛盾が起こることはない。
なぜなら、もし矛盾が起きるならば、確率分布として「そのような確率分布を仮定すれば矛盾が起きる」という情報があることになり
前提に反するから。（トートロジーを述べているにすぎないが）
確率変数が有限個の場合には、「任意の確率分布」の特別な場合として「一様分布」を仮定しても矛盾は起こらない。
（ただし確率変数が加算無限個の場合には「一様分布」自体が存在しないが。）
理由不十分の原理を用いることは「一様分布」を仮定することに相当する。
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 03:31:37.08 ]
- >>581
＞何回でも（十分に大きい回数）繰り返し行える場合には、期待値の大小で損得を判断することをお勧めする。
これはおかしいんじゃね？
非開封側の期待値は常に開封側の1.25倍なのであれば、必ず交換することになっちゃう
封筒Ａと封筒Ｂで行うと、最初Ａを選んだ人はＢに、Ｂを選んだ人はＡになるだけ
交換派が何回やっても、非交換派と同じ獲得額になるのは明らか
- 585 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 04:10:18.82 ]
- >>584
>>568について話しているのか？いったいどんな問題を考えているのだ？
問題設定をちゃんと述べよ。
「選んだ封筒を開封したら一万円が出てきて、他方の封筒は二万円である確率と５千円である確率が等確率」という仮定なら、
他方の封筒の期待値は12500円である。
しかし、こんな仮定がＡを選んだ人にもＢを選んだ人にも当てはまる事はあり得ないだろ？
- 586 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 04:41:08.63 ]
- 二封筒問題に疑問があり理解したい人は英語版wikiのtwo envelopes problemを読むのが良い。
一応過去スレのもの（少し改変した）を貼っておく。
二封筒問題
１、２つの封筒があり、中にそれぞれお金が入っている。入っている金額の比は１：２とする。
２、ランダムに一方を選ぶ。（つまり、金額が高いほうを選ぶか、低いほうを選ぶか、それぞれの確率は1/2であるとする。）
３、選んだ封筒の中を見ると10000円だった。
４、このとき他方の袋に入っている金額は5000円か20000円である。
５、それぞれの確率は1/2である。
６、よって他方の袋の金額の期待値は12500円となり、選んだ封筒の金額の1.25倍。
７、初めに選んだ金額がいかなる場合においても、他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。
８、初めに選んだ封筒の金額がいかなる場合にいおても他方を選べば1.25倍になる。
Ｐ、よって封筒の金額を見なくても、交換した封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当？
Ｑ、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは中身も見ずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当？
Ｒ、中身を見ずに、やっぱりこっちにする。やっぱりこっちにする。と交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当？
答え
Ａ、５の確率には根拠がない。５は条件付き確率であって２の確率とは別物であり、
「初めにどのような確率分布でお金を入れたのか？」に依存する。
それが与えられていないので「それぞれの確率は分からない」が正解。
Ｂ、問題の流れに従い根拠はないが５が正しいと仮定して話を進めよう。
つまり、１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう（実際そのような確率分布は存在する）。
その場合には６は正しい。
Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。つまり、７が正しくなるような確率分布は存在しない。
（ただし、余白が足りないのでこのことの証明はここには書けない。）よって８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。
Ｄ、ただし、８が成立するような封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在する。
ちなみに、この確率分布の開封前の期待値はどちらの封筒も無限大に発散している。
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 04:55:42.32 ]
- >>585
俺は>>584だが、あくまで>>1の問題について話してるよ
まず>>572 >>575で、開封側が１万なら非開封側の期待値は12500とある
次に>>581で
＞何回でも（十分に大きい回数）繰り返し行える場合には、期待値の大小で損得を判断することをお勧めする。
とある
俺はそれに反論してる
最初の開封が１万の人は非開封側期待値12500だから交換、２万の人は25000だから交換、五千の人も6250だから交換
>>581の引用部分に従えば結局みんな交換する
こんなことしても得にならないのは明らか
- 588 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 05:14:31.72 ]
- 二封筒問題
１、二つの封筒があり、中にそれぞれ1:2の金額の比でお金が入っている。
２、ランダムに一方を選ぶ。（つまり高額を選ぶか低額を選ぶか、それぞれの確率は1/2であるとする。）
３、選んだ封筒の金額を確認すると10000円だった。
４、このとき他方の封筒の金額は5000円か20000円である。
５、それぞれの確率は1/2である。
６、よって他方の封筒の金額の期待値は12500円となり、確認した封筒の金額の1.25倍。
７、初めに確認した金額がいかなる場合においても、同様の議論により他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。
８、初めに確認した金額がいかなる場合にいおても、他方の期待値は1.25倍になる。
Ｐ、よって封筒の金額を確認しなくても、他方の封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当？
Ｑ、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは金額を確認せずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当？
Ｒ、金額を確認せずに、繰り返し交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当？
答え
Ａ、５の確率には根拠がない。５は条件付き確率であって２の確率とは別物であり、
「１の時点でどのような確率分布でお金を入れたのか？」に依存する。
それが与えられていないので「それぞれの確率は分からない」が正解。
Ｂ、問題の流れに従い根拠はないが５が正しいと仮定して話を進めよう。
つまり、１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう（実際そのような確率分布は存在する）。
その場合には６は正しい。
Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。
つまり、１の時点で７が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在しない。
（ただし、余白が足りないのでこのことの証明はここには書けない。）
よって８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。
Ｄ、ただし、１の時点で８が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在する。
ちなみに、この確率分布の（もちろん金額確認前の）期待値はどちらの封筒も無限大に発散している。
Ｅ、Ｄで述べた確率分布の場合には、Ｐ、Ｑ、Ｒに対する答えはどうなるのか？
無限大に発散しているものどうしを比較して1.25倍か？という問い自体が意味不明である。
- 589 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 05:22:08.49 ]
- 連投ごめん。少し書き直したものが>>588だ。まだ不備があるかもしれん。
>>587
どんな問題を考えているか条件をはっきりかけ。>>1には確率のことは何も書かれていないぞ。
>１万の人は非開封側期待値12500だから交換、２万の人は25000だから交換、五千の人も6250だから交換
これらは全て、他方の金額が二倍か1/2になる確率は1/2ずつとの仮定のもとでの期待値の計算だろ？
そんな仮定は>>1には無いぞ。
>>588のＣを読め。
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 05:44:07.59 ]
- >>589
つまりあなたは>>572 >>575には賛成してないわけか
だったら俺の勘違い すまんかった 忘れてくれ
- 591 名前：526,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 05:57:03.55 ]
- >>590
君は他人の文章をちゃんと読め。
私は>>572と同意見だよ。>>575とは違うが。
>>568では
>五千円と一万円が入っているのが五十箱
>一万円と二万円が入っているのが五十箱
と仮定されているだろ。この仮定の下で「片方の封筒を開封したら一万円が出てきた」ならば
「もう一方の封筒の期待値は12500円」で正しい。
人々がどんな仮定のもとで発言しているかちゃんと読め。
自分がどんな仮定の下で考えているかもはっきり述べよ。
仮定が変われば、結論は違うんだよ。
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 07:25:10.02 ]
- >>591 そもそも、
＞五千円と一万円が入っているのが五十箱
＞一万円と二万円が入っているのが五十箱
この限定ルールで話してるレス番号はどれ？
あなたがそうだと思うものを全部挙げてほしいわ
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 13:27:16.52 ]
- 上限額付近を引いたら、交換すると半分確定
下限額付近を引いたら、交換すると２倍確定
どちらでもない場合は、交換すると期待値は常に125%(片方の金額を確認した後の期待値/金額ペアが選ばれる確率が等しい場合)
三つ合わせるとトントンで、非交換派の論拠である、「期待値は常に交換しない＝常に交換する」が成り立つ(封筒に入れる金額を決めるところまで含めた期待値)
しかしながら非交換派は三行目だけを考えた際にも、期待値が変わらないと思ってるような節がある
一、二行目のような条件において「交換するかしないかで期待値が変わるのはおかしい」とは思わないだろう？これは三行目も同じ
+25%派は一、二行目は自明だから説明するまでもないが、三行目については非交換派の認識を改めさせる必要があると思って頑張ってるわけだ
ところで>>558のＣＤがわからん。1:2かつ８が成立したら７も成り立つんじゃないのか？
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 17:12:30.45 ]
- >>593
下限について考える必要はないんじゃね？
ゼロ以上でありさえすれば半分にすることが出来るから
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 18:12:25.01 ]
- 金額で考えるなら下限というより奇数か
- 596 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/11(水) 23:23:44.41 ]
- >>592
レスの時間や当然のごとく確率1/2で計算している点から
>>569は>>568の話とつながっていると思い込んでいたが、
>>569は>>568と関係なく>>1の話をしているのかもしれないね。
>君は他人の文章をちゃんと読め。
などとエラそうなことを言ってすまなかった。
もし>>569が>>568と関係ないならば、
>>569はなぜ確率1/2ずつとして期待値を計算しているか説明する必要がある。
「ここで確率1/2ずつという仮定の下で考えてみる」と書くとか、あるいは他の何らかの条件から確率1/2を導くとか。
>>572や>>575も同様。
>>593
Dはご指摘通り誤りだ。訂正と解説を以下に書くよ。
おそらくそれでほとんどの人の疑問は解消されると思う。
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 23:52:32.81 ]
- 「この中に一人以上○○が居る」と同じような論理パズルにできそう
上限値知ってる合理的なＡ、Ｂを用意する
二人に一つずつ渡し、中身を確認した後両方に「交換したいですか？」って聞く
両方「はい」なら「相手はこう言ってるけどまだ交換したいですか？」って聞く
繰り返していくと必ず二倍のを引いた方が先に「いいえ」と答える
ちなみに両方合意で交換成立ってルールだと下限額以外最初から「いいえ」って答えちゃってダメ
- 598 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/12(木) 00:51:54.83 ]
- >>588の訂正
１、二つの封筒があり、中にそれぞれ1:2の金額の比でお金が入っている。（ただし金額は常に正とする。）
Ｄ、ただし、金額の比1:2を変えて、さらに８の「1.25倍になる。」の部分を「1.25倍以上になる。」と変えれば、
１の時点で８が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在する。
よって８のような事が起こったとしても不思議（パラドックス）ではない。
ちなみに、上記のような確率分布の（もちろん金額確認前の）期待値はどちらの封筒も無限大に発散しているものしか存在しない。
Ｅ、仮に８が成立するとしてもそのことからＰＱＲのように期待値1.25倍とは言えない。なぜならＡで述べたとおり
金額確認後の期待値と確認前の期待値は別物だから。
ちなみに、二封筒問題における金額確認前の二つの封筒に対する仮定は対称だ。
よって選んだ方の封筒と他方の封筒の（金額確認前の）期待値は等しい。
金額確認前の期待値がともに正の有限値の場合ＰＱＲは成立しない。
ともに無限大に発散している場合には1.25倍か？という質問自体意味不明だ。
- 599 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/12(木) 00:54:39.87 ]
- >>588>>598の解説
Ａについて：>>32>>60>>534など。
Ｂについて：条件付き確率の計算より以下が示される。
「選んだ封筒の金額を確認すると10000円だった。」ときに５が成立するのは、
(*)「１において(10000円,20000円)という金額の組を入れる確率と(5000円,10000円)という金額の組を入れる確率が等しい」
場合そしてその場合のみである。
この確率をpとする。（pは正である。）ただし、これだけでは、確認した金額が他の場合についての確率は分からない。
Ｃについて：５が成立することより上記の(*)が成立する。そしてその場合、確認した金額が20000円と場合もあり得て、
同様に条件付き確率の計算と７より、１において(20000円,40000円)の組を入れる確率もpとなる。
同様に(40000円,80000円)、(80000円,160000円)、、、の組を入れる確率もpである。
確率の総和は1出なければならないが、p+p+p+、、、は無限大に発散する（矛盾）。よって７は正しくない。
Ｄについて：１において2^{-n}の確率で(r^{n}円,r^{n+1}円)の組を入れる（ただし、n=1,2,3,,,）とする。
このとき、全確率は2^{-1}+2^{-2}+,,,=1であり、金額比は1:rである。
確認した金額がr^{k}円であるとき、他方がr^{k-1}円である確率とr^{k+1}円である確率はそれぞれ、1/3と2/3である。
よって他方の金額の期待値r^{k-1}/3+2r^{k+1}/3がr^{k}の1.25倍となるのは1+2r^2=3r×1.25のとき。
rをこの正の解とすれば、Ｄを満たす確率分布となる。
二封筒問題について知りたい人は英語版wikipediaのtwo emvelops problemを読むことを勧める。
- 600 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/12(木) 01:13:58.74 ]
- >>597
交換したい・したくないは気持ちの問題だ、数学的に定義されたものでは無い。
数学的に議論したいならば彼らがどんな時に「交換したい・したくない」と答えるのか数学的に定義せよ。
他の問題設定も説明不足と思われる。君の文章を普通に読めば、
最初に中身を確認した後は、中身を確認せずに交換しているという意味になるが本当にそれで良いのか？
確認するのは「自分の」封筒の中身のみということで良いか？
>繰り返していくと必ず二倍のを引いた方
どのプロセスを繰り返すのか？何の二倍なのか？
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/12(木) 03:00:02.44 ]
- k回目(１回毎)の交換前の金額をA_k,交換後の金額をB_kとし、期待値をE[・]で表すとする。
任意のkに対して
k回目(１回毎)の交換前後の金額の期待値の増加率 (E[B_k] - E[A_k])/E[A_k] ＝ 0.25
すなわち、１回毎の交換前後の金額の期待値の比 E[B_k]/E[A_k] ＝ 1.25 である時
複数回(ｎ回)行った時の
"交換後の金額の総和の期待値"と"交換前の金額の総和の期待値"の比は
E[B_1 + … + B_n]/E[A_1 + … + A_n] ＝ 1.25 となる。(∵期待値の線形性)
"交換後の金額の総和の期待値"と"交換前の金額の総和の期待値"の比は(n→∞で) 1.25 に収束する。
一方
任意のkに対して
k回目(１回毎)の交換前後の金額の増加率の期待値 E[(B_k - A_k)/A_k] ＝ 0.25
すなわち、１回毎の交換前後の金額の比の期待値 E[(B_k/A_k)] ＝ 1.25 である時
複数回(ｎ回)行った時の
"交換後の金額の総和"と"交換前の金額の総和"の比の期待値は
E[(B_1 + … + B_n)/(A_1 + … + A_n)] ＝ 1.25 とはならない。
２封筒問題の場合、金額確認前の各A_k,B_kが同一の確率分布(かつ A_k,B_kが対称な分布)に従うならば
(金額確認後の期待値では必ず E[(B_k/A_k)] ＝ 1.25 が成立することはないだろうが)
"交換後の金額の総和"と"交換前の金額の総和"の比の期待値は(n→∞で) 1 に収束しそう(未証明)。
- 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/12(木) 10:33:41.16 ]
- >>600
交換した後の方が封筒内の金額の期待値が大きくなると判断したなら「はい」、それ以外なら「いいえ」と答える
交換は実際には行わない。確認するのは「自分の」封筒の中身のみ
繰り返すのは
両方「はい」なら「相手はこう言ってるけどまだ交換したいですか？」って聞く
の部分。二倍ってのは二つの封筒のうち金額の大きい方って意味
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/12(木) 13:23:00.87 ]
- >>599
>確認した金額がr^{k}円であるとき、他方がr^{k-1}円である確率とr^{k+1}円である確率はそれぞれ、1/3と2/3である。
どうでもいいが1/3と2/3は逆だと思う
あとk=1だった場合を無視してるよね
>rをこの正の解とすれば、Ｄを満たす確率分布となる
ここのrをただの正の解じゃなくてr>2にすれば、期待値は1.25倍「以上」にはなるけど
r<2なら金額確認前の期待値は有限で、この場合総和の期待値？はk=1の部分とk>1の部分で打ち消しあって交換前後で変わらないという結果になる
- 604 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/13(金) 05:41:22.32 ]
- >>599のＤの訂正
Ｄについて：p>1,r>1とし、１においてp^{-n}/(p^{-1}+p^{-2}+,,,,)の確率で(r^{n}円,r^{n+1}円)の組を入れる（ただし、n=1,2,3,,,）とする。
このとき、全確率は1であり、金額比は1:rである。
確認した金額がr^{k}円(ただしk>1)であるとき、他方がr^{k-1}円である確率とr^{k+1}円である確率はそれぞれ、p/(p+1)と1/(p+1)である。
よって他方の金額の期待値pr^{k-1}/(p+1)+r^{k+1}/(p+1)がr^{k}のM倍となるのはp+r^2=M(p+1)rのとき。
また確認した金額がr^1のとき他方の金額は必ずr^2であり金額（の期待値）がM倍以上となるのはr>=Mのとき。
M>1のときこれらの二つの条件を満たす解r,pが必ず存在する。
なぜなら、f(r)=r^2-M(p+1)r+pとおくと、十分大きなrに対してf(r)>0であり、f(M)=p(1-M^2)<0でありfはrに関して連続であるから。
（ちなみにf(p)=p(p+1)(1-M)<0より、ここで得た解r,pはr>pを満たすことも分かる。）
M=1.25として上記の二つの条件を満たす解r,pを用いて確率分布を定めればDを満たす。
これでいいかな。もう少し推敲すべきかもしれんが。計算ミスがあったら失礼。
>>603
>どうでもいいが1/3と2/3は逆だと思う
ご指摘どうも。
k=1は無視していたわけではなく、これを逆にして計算してたために正の解は一つだけでそれが1.25倍「以上」を満たしていた。
- 605 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/13(金) 05:54:35.19 ]
- >>602
だいたい意味は分かったし面白いと思う。
念のため聞くが、確率分布は一様分布を考えているということだよね？
>ちなみに両方合意で交換成立ってルールだと下限額以外最初から「いいえ」って答えちゃってダメ
この部分がわからない。
>交換した後の方が封筒内の金額の期待値が大きくなると判断したなら「はい」、それ以外なら「いいえ」と答える
ということだから、実際に交換するのかしないかは判断に影響しないんだよね？
- 606 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/13(金) 08:44:17.57 ]
- 2封筒問題は交換しないことによって実質的な期待値が大きくなる
上限があろうとなかろうと交換しないという選択が出来ない、もしくはしないのであれば
期待値は変わらんよ
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/13(金) 08:51:17.07 ]
- >>605
実際に交換するルールだと
相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろう
自分が確認した額が上限値/4より大きく上限値/2以下ならば、上記より相手の金額のほうが大きい場合は交換が成立しないので、上と同じ理由で「いいえ」
という事を相手も考えるだろうから自分の確認した額が上限値/8より大きければ同様に「いいえ」
以下帰納法的に相手が上限値/2^kなら不成立→自分が上限値/2^(k+1)なら「いいえ」と考えていくとそういう結論になる
この先読みを一瞬でやっちゃうからダメ
交換はしないけど「交換したいですか？」って聞く場合は、相手の次の発言は気にしなくてもいいって点が違う、と思う
- 608 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/13(金) 10:03:13.04 ]
- >>607
だいたいそんな感じの話だろうとは思ったけど、そういう話にしたいのならば
>交換した後の方が封筒内の金額の期待値が大きくなると判断したなら「はい」、それ以外なら「いいえ」と答える
この説明は不十分だと思うよ。
交換が成立するかしないか、実際に交換するかしないかに関係なく
交換したら手に入る封筒（つまり今相手が持ってる封筒の）期待値の方が大きいと判断したなら「はい」と答える
という意味にも読める。その場合
>交換が成立しないので、上と同じ理由で「いいえ」
という部分はおかしい。
交換が成立する・しないが判断基準に関係あるのならば、もう一度「はい」「いいえ」の判断基準を詳しく書いて。
あと、
>ちなみに両方合意で交換成立ってルールだと
というのももう少し説明がいると思う。両方合意の場合「のみ」交換するということ？
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/13(金) 16:05:40.02 ]
- あーその通りだな、その判断基準は返答と交換するかどうかが無関係な場合についてだけだった
よく考えたら「交換したいですか？」の意味自体が違うんだな
合意で交換の方は「この質問に二人とも「はい」と答えたら交換、一人でも「いいえ」ならそのままです。交換しますか？」って感じか
判断基準はそのまま書くと、「二人とも「はい」と答えたら交換、一人でも「いいえ」ならそのまま」という操作をした後で手元にある封筒の金額の期待値 が大きくなるような回答をする
ちょっと整理すると、相手が「はい」と答えるという条件下での相手の(今の)封筒の期待値が自分の封筒より大きければ「はい」小さければ「いいえ」と答える
(相手の戦略次第だから期待値っていうのは不適切かもしれないが、相手も最適な選択をするという前提では計算可能)
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/13(金) 22:02:56.57 ]
- [問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれ金のグラム数が書いてある。
入っているグラム数の比は１：１億とする。
選んで中を見ると１兆グラムだった。
この金を俺のいる場所に空から落としてくれるらしい。
他方の封筒に交換してもいいと言われたが、どうするのが得なんだろうか？
という問題です。
- 611 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/13(金) 23:54:13.75 ]
- >>609
ルールは理解した。
上限からも下限からも十分に離れた金額を受け取った場合、彼らは何と答えるのだろうか？
自分の金額を見た時点で、相手の金額も上限や下限から十分に離れていることが分かる。
両者ともが自分も相手も上限や下限から十分に離れた金額であることを理解する。
このとき
>相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろう
という先読みは成立しない。
- 612 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/14(土) 00:19:58.82 ]
- 両者ともが上限や下限から十分に離れた金額を受け取った場合には、
>>597の前5行の問題では、両者とも「はい」と言い続ける。
6行目の問題では、最初に両者とも「はい」と言い交換する。（交換後については、どのような手続きをとるのか書かれていないので分からない。）
ということになると思う。
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 00:44:55.79 ]
- 前者は上限額/(2^k)円より大きい額を引いた側がk回目に「いいえ」と言う
後者の問題だと理論上は先読み(の先読みの…の先読み)は成立するし両者「いいえ」と答えるはず
でも多分実際にやる分には「はい」と答えても問題ないんだよね
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 01:05:23.21 ]
- >>613
2＾（ｋ-1）円を引いたときに君は交換を申し出るのか？
相手が2＾ｋ円だったら交換してくれないから無駄だよね、
交換出来る場合は相手が2＾（ｋ-2）の時だけどそれでいいの？
なんで2＾（ｋ-1）を引いた相手は「いいえ」と答えるだろ
だったら君は2＾（ｋ-2）円を引いた場合に「はい」と答えても無駄だよね
なぜなら2＾（ｋ-1）を引いた相手は交換してくれないからね
だったら2＾（ｋ-2）円を引いた場合は「いいえ」と言わなきゃね
と言うことは、君が2＾（ｋ-3）円を引いた場合はどうだろう？
以下繰り返す
- 615 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/14(土) 01:21:19.05 ]
- >>613
私の書き方が悪かったかな？
>相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろ
この命題は正しい。しかし、
両者ともが自分も相手も上限や下限から十分に離れた金額であることを理解している場合には
命題の仮定「相手が確認した額が上限値/2より大きかったら」が偽だと知っているのだから。
命題の結論「必ず「いいえ」と答えるだろ」の真偽は不明。
命題の仮定が偽の場合には、結論が何であっても（真でも偽でも）その命題は真となる。例えば
両者ともが自分も相手も上限や下限から十分に離れた金額であることを理解している場合には
「相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手は必ず「はい」と答えるだろう」
という命題も真である。
つまり、仮定が偽の命題をもとに考えるのは意味がない。
実際、私は「相手が確認した額が上限値/2より大きくない」と知っている状況では
>相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろ
などということをもとに何か判断することは無い。
君の言うところの「合理的なＡ，Ｂ」というのは、正しくない仮定の下で色々考えて判断する人たちなのか？
もう一度、考え直してみてくれ。
- 616 名前：525,526 mailto:sage [2012/01/14(土) 02:02:31.57 ]
- 別の説明をする。
(*1)「上限額/2円より大きい額を引いた人が「いいえ」という」
(*2)「上限額/2^2より大きい額（ただし上限額/2より小さい）を引いた人は、
相手が上限額/2を引いた場合に(*1)の行動をとることをもとに先読みする」
(*3)「上限額/2^3より大きい額（ただし上限額/2^2より小さい）を引いた場合、自分（Ａ）は自分（Ａ）も相手（Ｂ）も(*1)に該当しない事を知っている。
しかしながら相手（Ｂ）は自分（Ａ）が(*1)を満たす可能性を排除出来ないので(*1)(*2)をもとに先読みする。」
「上限額/2^4より大きい額（ただし上限額/2^3より小さい））を引いた場合、
両者ともがどちらも(*1)に該当しないことを知っているので(*1)およびそれらを用いた先読み(*2)(*3)をすることはありえない。」
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 02:10:16.30 ]
- >>574
だからそれがダウトだと言っている。
１〜３行が前提になっていなくても（別の前提でも）交換すべきと言える時がある。
- 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 02:12:05.73 ]
- >>576
＞ 何度も言ってるけど、数学的に得って言うのは、期待値が大きくなることな
いつ言いました？ 何度もってことは少なくとも３解以上は言ってますよね？
どのレスですか？
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 02:31:35.52 ]
- 数学的に得とは期待値が高い方（を選ぶ）と言う意味だと言う人に訪ねたい。
このゲームは表裏等確率なコインを表が出るまで何度も投げ続ける。
表が出たらゲームは終了、それまでに裏が出た回数をnとする。
ゲームの賞金は２^n円とする。
このゲームの賞金の期待値を計算すると無限大に発散してしまう。
このゲームに参加費１００万円を払って参加するのは 得 だということでよろしいか？
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/14(土) 02:35:12.91 ]
- >>619
サンクトペテルブルグなんてこのスレの奴みんな知ってる
そういう例外は別として、
基本的に得＝期待値が高いとするのはさほど問題がないだろ
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