★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 16:13:55 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/16(水) 22:07:59 ] πの超越性の証明はそんなに難しくはないが、高校の範囲でできるのか？ 346 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 22:44:39 ] nombrejador.free.fr/article/lindemann-weierstrass_ttj.htm 347 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 23:06:29 ] an,bnが代数的数で線形独立なら、ane^bnも線形独立、Σane^bn=0にならない。 e^iπ+1=0(線形従属）ー＞iπは超越数,iは代数的数だからπは超越数 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:11:02 ] >>345 代数学やってなきゃできないぞってか高校生は超越数の定義を知らないんじゃないのか？ 解析的手法を使っても証明できるが高校の範囲では誘導やら定義やらを丁寧にしなきゃ無理だな 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:17:09 ] eが整数係数多項式の根にならないことは高校の内容で示せるな 出題するなら誘導が必要だが、入試に適してるとは思えないな 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:36:03 ] 定義 α∈CでαがQ上代数的であるときαを代数的数という 定義 上記定義のCの元で代数的数でないものを超越数という 定理 Fを体とすると、Fの代数的閉包が存在し、Fの代数的閉包は全てF上同型である これだけあれば今の学習意欲ある高校生には十分か >>346 Hermiteの不等式を使っていいというならこれ誘導つけてπが超越数であるという問題出すのもありだな 351 名前：159 mailto:sage [2008/07/19(土) 04:49:54 ] 前回ズタボロのおれだが、お前らの連休のためにとっておきの問題を用意してきた n≧3を満たす任意の整数nに対して、次の合同式を満たす自然数x,y,zが無限に存在することを示せ x^n+y^n≡z^n　(mod n) 5分で解けてしまうので、次が本題 n≧3を満たす任意の整数nに対して、 次の合同式と条件を満たす自然数x,y,zが無限に存在するか否か。 存在しなければ反例をあげよ x^n+y^n≡z^n　(mod n^n) 条件：x,y,zはnとは互いに素である。 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 06:59:38 ] >>351 合同式なんだから、一組の解があれば無限組の解があるのは自明でしょ gcd(x,3)=1 なら、x^3≡±1 (mod 9) だから、 n=3 のとき２問目の解は存在しない 353 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/19(土) 07:47:04 ] つまんねー 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 12:39:27 ] >>352 n=3のときってmod9じゃなくてmod27じゃね？ 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 13:49:19 ] mod 9 で等しくないならmod 27 でも等しくないような。 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 13:56:00 ] そういえば159も誰も解けなかったんだよね 難易度的にはどうなの？難しいの？ 「このスレでおれができない問題は難しい」という命題は成立するの？ 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 16:49:17 ] > 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で > 解ける問題を考えてうぷするスレ。 > これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 > 関連スレへどうぞ 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 16:52:22 ] >>351 こうしたほうが良くね？ 次を満たす非負整数 n, x, y, z の組が存在しないことを証明せよ n≧2, gcd(x,n) = gcd(y,n) = gcd(z,n) = 1, x^n + y^n = z^n　(mod n^n) 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 16:53:46 ] × 非負整数 ○ 正整数 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 17:08:00 ] >>358 n=2の場合って二つの奇数の2乗の和がある奇数の2乗になるかって問題だと思うが、 これって存在しないんだっけか？以前どっかでやったことあるような気もする 合同式だと4で割った余りが限られているんで簡単になる 361 名前：358 mailto:sage [2008/07/19(土) 18:30:19 ] 存在した 1^7 + 2^7 ≡ 62478^7 (mod 7^7) 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 19:05:18 ] >>361 これは…ゴールドバッハ予想を自作のアルゴリズムで反例見つけようと頑張った ハーバード大学のあの学生を彷彿とさせるな どうやって求めたの？答えあってるのか？電卓使ったら+e33とか出てわからん とりあえずGJ！ 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 19:31:05 ] >>362 1^7+2^7≡3^7 (mod 7^3) が見つかったから 7^4 | {(7a+3)^7-(1^7+2^7)} となる a を求めて… とかやると求まる 62478^7 ≡ (62478^3 mod 7^7) * (62478^4 mod 7^7) とすれば Windows の電卓でも計算できるよ 364 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/22(火) 23:47:54 ] x^n+y^n≡z^n　(mod n^n) x=n+an^n y=n+bn^n z=n+cn^n 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 00:32:15 ] >>364 それだとx、y、zがnと互いに素にならなくね？ 全てのnで問題にある式が成り立つかわからないけど 一つわかってるのはこういう整数系の問題は東大入試にはでないよな…うん、でない！ 366 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/23(水) 13:46:35 ] 2sinxsiny+3cosy+6cosxsiny=7 このとき(sinx)^2+2(cosy)^2の値を求めよ 367 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/23(水) 19:09:31 ] lim_(n=>∞)sin(π√(4n^2+11n)) 368 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/23(水) 19:28:32 ] 極限 lim[n→∞]{e^(-n)*�納k=0,n]1/k!} の収束、発散を調べよ。 もし収束するならばその極限値を求めよ。 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 20:32:14 ] それじゃあ収束するに決まってんだろ ちゃんとした問題だせ 370 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/23(水) 20:32:54 ] アポストロフのテキストからパクればいくらでも作れる 371 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/23(水) 20:38:42 ] x^n+y^n≡z^n　(mod n^n) x=an+dn^n y=bn+en^n z=cn+fn^n 372 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/23(水) 20:42:56 ] >>369 すまん、問題ミスってた 極限 lim[n→∞]{e^(-n)*�納k=0,n]n^k/k!} の収束、発散を調べよ。 もし収束するならばその極限値を求めよ。 373 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/23(水) 21:08:13 ] e^n(t-1) 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 21:25:19 ] 2009人の学生と, 相異なる2009個のグループを考える. どの学生も1000個の相異なるグループに属し, どのグループにも1000人の学生 が属するという状況はありえるか. 結論と理由を述べよ. 375 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/23(水) 21:25:46 ] 鏡になった円の円周上の1点から無理数の角度で内側にレーザーをはなつと、永久に自分に当たら ないことを証明して。　ゴルゴの定理 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 22:29:14 ] 無理数の角度って何だ？ 90度はπ/2ラジアンだから無理数の角度だと思うが。 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 22:30:01 ] >>370 アポストロフのテキストって何？ 書名教えてくださいな。 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/24(木) 20:33:49 ] 東大９６か９４年ぐらいの改題 x^2 + y^2 + z^2 <= n この不等式がみたすxyz空間の点P（ｘ、ｙ、ｚ）で、ｘ、ｙ、ｚ、がすべて整数であるものの個数を　ｆ（n）　とおく 極限 lim n→∞ f(n) / n^3 を求めよ 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/24(木) 20:34:31 ] 訂正 x^2 + y^2 + z^2 <= n^2 です 380 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/24(木) 20:54:03 ] 4/3*π 381 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/24(木) 21:34:39 ] ΣΣΣ∫δ（rsin(t)cos(s)-i)δ（rsin(t)sin(s)-j)δ（rcos(t)-k)dr 382 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/24(木) 21:38:05 ] ΣΣΣ∫∫∫δ（rsin(t)cos(s)-i)δ（rsin(t)sin(s)-j)δ（rcos(t)-k)drdtds 383 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 00:59:55 ] >>380 正解 ｎの三乗でわってるのがミソだよなぁ 384 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 02:39:55 ] 極限求めなければ球の体積になるってこと？ 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/25(金) 03:43:19 ] 極限を求めれば球の体積ってことだ。 386 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 05:29:51 ] F(nxnxn)=n^3 3/4pir^3/n^3 387 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 07:18:43 ] みんな余裕で補正してくれたみたいだけど 2乗じゃなくて3乗ですね すいません 388 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 07:22:04 ] x^3 + y^3 + z^3+w^3 <= n^3 389 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 12:25:18 ] ２乗でいい 390 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 12:38:19 ] 1以上である全ての整数nについて (n^n)/(e^(n-1))<=n!<=(n^(n+1))/(e^(n-1)) が成り立つことを証明せよ。 391 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 13:04:05 ] すべての実数に対して定義され、2回微分可能な関数f(x)に対して 2f(0)=f(-1)+f(1)が成立するとき f''(c)=0を満たす実数cが少なくとも一つ存在することを証明せよ 392 名前：391 mailto:sage [2008/07/25(金) 13:14:25 ] 見えにくいけど f''(c)=0はf’’(c)=0　←fの2階微分のcにおける値 393 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 13:17:48 ] 次の条件を満たす自然数、ｍ、ｎ、ｋを求めよ。 ５＾m+７^n＝Ｋ＾3 394 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 13:31:39 ] 次の式を満たす全ての解を求めよ。 �]＾4＋Ｙ＾4＋Ｚ＾4＝４�]ＹＺ−１ 395 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 13:36:03 ] �]＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾５ この式は、無限に多数の自然数の解を持つことを 証明せよ。 396 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 13:45:46 ] ａ，ｂ，ｃが次の条件を満たすとき、 （ａ−ｂ）＾３＋（ｂ−ｃ）＾３＋（ｃ−ａ）＾３＝６０ ｜ａ−ｂ｜＋｜ｂ−ｃ｜＋｜ｃ−ａ｜の最大値と最小値を求めよ。 397 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 13:53:14 ] 以下の式で、 どんな整数ｎに対しても、整数の解が存在する ことを証明せよ。 �]１＾3＋Ｘ２＾3＋Ｘ３＾3＋�]４＾3＋�]５＾3＝ｎ 398 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 13:58:52 ] 以下の式を満たす、ａ，ｂ，ｃの組を求めよ。 ａｂ＋ｃ＝（ａ＾2，ｂ＾2）＋（ａ，ｂｃ）＋（ｂ，ａｃ）＋（ｃ，ａｂ）＝（２３９）＾2 399 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/25(金) 14:05:08 ] 次の式を満たす自然数ｘ、ｙを求めよ。 ８�]＾2−２�]Ｙ＝６Ｙ＝３�]＾2＋３�]＾3Ｙ＾2 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/25(金) 17:18:45 ] >>391 近大の問題？ 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/25(金) 17:48:31 ] >>395 (2^(5n-3))^2+(2^(5n-3))^2=(2^(2n-1))^5 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/25(金) 19:47:13 ] >>390 各辺全部正だから対数とって y=logxのグラフの面積（ｒｙ 基本問題レベルじゃね？ 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/25(金) 23:15:22 ] Stirlingの公式知ってれば普通に解けそうだな。 まあStirlingの公式は基本かどうか分からんが。 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/25(金) 23:22:16 ] >>391 平均値の定理を二回使えば良い。 f '(c_1) = f '(c_2) (= {f(1) - f(0)/1 = {f(0) - f(-1)/1) となるような-1<c_1<0<c_2<1が取れる。 区間(c_1, c_2)での函数f '(x)に平均値の定理 （というかRolleの定理）を適用すれば良い。 # いつも思うんだけど、大学入試でこれくらい略した解答を # 書いたら何点くらい貰えるんだろう。 405 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 09:38:36 ] >>393から>>399 の問題に誰か解答して。 難問中の難問だから。 解けたら神。 406 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 09:52:54 ] >>405 >>398のかっこの定義は？ 407 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 09:55:20 ] >>405 >>395⇒>>401 あと、>>394は問題文に不備があるんじゃない？ 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 10:05:50 ] >>399も問題文に違和感。 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 10:32:48 ] >>399 8x＾2-2xy=6y=3x^2＋3x^3*y^2でいいのか？ 6y=3x^2＋3x^3*y^2について、 (3x^3)y^2-6y+3x^2=0のyについての判別式をDとすると D/4=9-9x^5 yが実数解を持つ条件はx=1（∵xは自然数） このとき代入して解くとy=1 この2解は8x＾2-2xy=6yも満たすから 求める自然数解は(x,y)=(1,1)のみ 解けたら神・・・？んなアホな 410 名前：ゴメス mailto:sage [2008/07/26(土) 11:55:34 ] どうして１３２人目の素数さんの問題を１３２人目の素数さんが答えているんでしょうか。 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 12:54:04 ] >>410 半年ROMってね ^ ^ 412 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 13:21:18 ] ａ，ｂ，ｃが次の条件を満たすとき、 （ａ−ｂ）＾３＋（ｂ−ｃ）＾３＋（ｃ−ａ）＾３＝６０ ｜ａ−ｂ｜＋｜ｂ−ｃ｜＋｜ｃ−ａ｜の最大値と最小値を求めよ。 413 名前：ゴメス mailto:sage [2008/07/26(土) 13:28:16 ] >>411 ROMって何のことでしょうか。 CD-ROMのROMのことですか？ 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 14:33:41 ] >>413 ググレカス 415 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 17:59:56 ] x,y,zが次の条件を満たすとき、 （x）＾３＋（y）＾３＋（z）＾３＝６０ ｜x｜＋｜y｜＋｜z｜の最大値と最小値を求めよ。 416 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 18:09:17 ] I Gx=1-r3x^2=0 x=(1/3r)^.5 Gr=x^3+y^3+z^3-60=0 3(1/3)^1.5r^-1.5=60 r=((20)^-1/1.5)/3 417 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 18:13:13 ] 2 Gx=-1-r3x^2=0 418 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 18:57:47 ] 高さ１０cm、底辺半径１０cmの円柱を斜め斬りしたとき、最大面積を計算しなさい。　１５点 419 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 18:58:33 ] ４１８を円錐でも計算しなさい。　１０点 420 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 19:13:10 ] Bihermitian Structures on Complex Surfaces V. Apostolov, P. Gauduchon and G. Grantcharov 421 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 19:26:34 ] 内接円の半径が1の三角形の面積の最大値を求めてください 422 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 19:58:13 ] >>412 この公式使ってみ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) 423 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 20:01:19 ] AT what point in time when language have originated is far from clear. この文の文型ふるとSはどれですか？？（×-×） 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 20:13:28 ] AT what point in time when language have originated が S 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 20:29:08 ] >>394 相加・相乗平均より 　X^4 + Y^4 + Z^4 + 1^4 ≧ 4|XYZ| ≧ 4XYZ, よって等号成立条件を調べる。 左側から 　|X| = |Y| = |Z| =1. 右側から 　(X,Y,Z) = (1,1,1)　(1,-1,-1)　(-1,1,-1)　(-1,-1,1) 解けたら神・・・？んなアホな 426 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 21:43:59 ] �]＾4＋Ｙ＾4＋Ｚ＾4＝４�]ＹＺ−１ x^3=yz 3xyz=4xyz-1 xyz=1 427 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 22:02:13 ] 1/(yz)^3=yz (yz)^4=1 x^4=(xyz)^4=1 x^4=1=y^4=z^4 428 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 22:10:04 ] 多様体問題はふつうに偏微分しろよ・・・塾で教えてるだろ 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 22:17:20 ] >>415 最小値 　|x| + |y| + |z| ≧ (|x|^3 + |y|^3 + |z|^3)^(1/3) ≧ (x^3 + y^3 + z^3)^(1/3) = 60^(1/3), 　等号は x=60^(1/3), y=z=0　及びその rotation のとき. 最大値：なし 　x=60^(1/3), y=-z→∞ のとき ∞ 解けたら神・・・？なんて誰も言ってねぇか･･･ 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 22:19:08 ] >>428 知識なけりゃ解けない奴が数学しない方が良いよ 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 22:24:40 ] >>404 # 解析の問題なら もちろん 零点(null)だな。 432 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 22:29:22 ] x^3+y^3+z^3=60 x=(rsc)^2/3 y=(rss)^2/3 z=(rc)^2/3 r^2=60 |x|=|rsc|^2/3 |y|=|rss|^2/3 |z|=|rc|^2/3 433 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 22:37:33 ] |x|+|y|+|z|=|r|^2/3(|s|^2/3(|c|^2/3+|s|^2/3)+|c|^2/3) 434 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 22:49:03 ] K=r^2/3(s^2/3((s^2-1)^1/3+s^2/3)+(s^2-1)^1/3) Kp=r^2/3((2/3)cs^-1/3((s^2-1)^1/3+s^2/3)+(2sc(1/3)(s^2-1)^-2/3))=0 Kt=r^2/3(s^2/3((1/3)(2sc)(s^2-1)^-2/3+(2/3)cs^-1/3))=0 cp=0,ct=0 K=r^2/3=60^1/3 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 23:43:44 ] >>420 ｔｈｘ． 436 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/27(日) 08:36:05 ] >>393->>399 って昔いた素数様か？ 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/27(日) 11:05:45 ] いいえ、kingです 438 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/07/27(日) 11:59:12 ] Reply:>>437 私を呼んでないか。 439 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/27(日) 21:37:25 ] 最大最小問題は定石があるだけ　小細工はいらない 440 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/29(火) 01:16:48 ] ◆ わからない問題はここに書いてね ２４７ ◆ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1216746508/405 を改変 数列 {a[n]} を a[0] = x, a[n+1] = sin(a[n])　　(n≧0) で定める 0＜x＜π のとき lim[n→∞]((√n)a[n]) = √3 であることを証明せよ 441 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/29(火) 07:03:07 ] y=sin(x) x=y x=sin(x) 442 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/29(火) 08:29:57 ] >>429 もとの問題は、 ａ，ｂ，ｃが次の条件を満たすとき、 （ａ−ｂ）＾３＋（ｂ−ｃ）＾３＋（ｃ−ａ）＾３＝６０ ｜ａ−ｂ｜＋｜ｂ−ｃ｜＋｜ｃ−ａ｜の最大値と最小値を求めよ。 これが解けたら神。 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/29(火) 11:29:47 ] >>442 まるち 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/29(火) 20:19:54 ] これが解けたら神とかマジでキモイんですけど 445 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/29(火) 22:09:20 ] yutori.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1217332035/l50 宇宙論について 助けてくれ 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 00:40:23 ] >>440 ヒントだけでも教えてくれ sinのぜんかしきで表させる数列は 下に有界で単調現象であることはわかった n^(1/2)をかけても上に有界なのがわからん… 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 00:54:26 ] >>446 a[n] = √(3/b[n]) とすると b[n]〜n になるはずだから、 b[n] についての漸化不等式 f(b[n]) ＜ b[n+1] ＜ g(b[n]) を作ったらできた 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 08:23:48 ] >>447 関数f、gって何を表してるの？ 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 08:39:37 ] >>448 b[n]+1-(小さい項) ＜ b[n+1] ＜ b[n]+1+(小さい項) 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 08:49:04 ] >>449 その不等式はどうやったら証明できるの？ 451 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 09:31:04 ] ｐ，ｑ，ｒを自然数とする。 直角三角形ＡＢＣの斜辺をｒとする。 このとき、Ｐ＾２＋ｑ＾２が奇数になるための 条件を求めよ。 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 09:32:54 ] 斜辺以外の二辺の長さが p と q であるとか そういう条件は無いのか。じゃあ p と q の偶奇が同じとしか言えないな。 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 14:25:18 ] なんだこの糞問は 454 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 14:29:39 ] 「ｐ、ｑ、ｒは自然数で、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす。 一次関数ｒ＝２ｑ＋１とｒ＝−ｑ＋３の交点をＡ 一次関数ｑ＝３ｐ＋３とｑ＝−２ｐ＋５の交点をＢ 一次関数ｐ＝５ｒ＋２とｐ＝−ｒ＋１の交点をＣ とする。三角形ＡＢＣが正三角形になるための必要十分条件を求めよ」 455 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 14:37:10 ] これはひどい 456 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 14:48:08 ] 「ｐ、ｑ、ｒは自然数であり、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす連続する三つの 　偶数であるとき、 　　５＾ｐ＋７＾ｑ＝９＾ｒを満たす、ｐ、ｑ、ｒを一つみつけよ」 457 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 14:52:10 ] >>455 どういうところが「ひどい」んだよ？ 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 14:53:36 ] そんな数の組はない。 459 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 15:13:55 ] >>458 「ない」としたら、それが数学的に正しい「答え」で、 答案用紙にそう書けばよい。 さて次の問題、 「ｐ、ｑ、ｒは自然数であリ、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす。 また、ｐ、ｑは偶数、ｒは奇数である。 √ｐ×√ｑ×√ｒが最小の正の整数となる数を求めよ」 460 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 15:18:04 ] 何この糞問のオンパレード 461 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 15:22:15 ] 海外の大学では、「答えのない問題」を出題し、 「答えが無いこと」を証明させる問題が少なくない。 例えば上のほうにあった、 ５＾ｍ＋７＾ｎ＝ｋ＾３を満たす自然数を見つけよ。 という問題は海外の大学の数学の問題だが、 解答はこちら ↓ www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/0601a.pdf 「そのような自然数はない」ことを証明するのが「答え」 462 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 15:36:58 ] 海外での数学の考え方 �@「答えがある問題」は答えを求める。 �A「答えがない問題」は「答えが無いこと」を証明する 日本の数学者は、「答えがある問題」ばかり解いて、「解けた喜び」に ばかりひたっているが、海外ではそうではない。 そもそも、数学には「答えがない問題」も多く存在し、その場合、 「答えが無いこと」を証明しなければならない。 463 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 15:38:44 ] 日本の数学者は、「答えがある問題（＝数学的に答えが分かる人には分かりきった問題）」ばかり解いて、「解けた喜び」に ばかりひたっているが、海外ではそうではない。 そもそも、数学には「答えがない問題」も多く存在し、その場合、 「答えが無いこと」を証明しなければならない。 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 15:40:22 ] オマエの書き込みの内容の是非はおいといて、 とりあえず、東大は日本の大学だ。 んで、ここは「★東大入試作問者になったつもりのスレ★」だ。 465 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 15:42:02 ] >>464 東大の数学科の教授も、今後は、海外の大学の入試問題を 研究して、「解のない問題」を出題するかもしれないよ。 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 15:47:22 ] >>465 外国の数学の大学入試って簡単じゃないのか？ むしろ外国語の試験が鬼のように難しいって聞いたことがあるんだが。 467 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 15:53:17 ] >>461 (0,1,2)が解って書いてんじゃん 468 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 17:40:51 ] >>467 いいや。それは結論ではない。あくまでも「附則」です。 解答は「ｔｈｕｓ　ｏｕｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｈａｓ　ｎｏ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　 ｉｎ　ｎａｔｕｒａｌ　ｎｕｍｂｅｒｓ」です。 469 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 17:41:29 ] >>467 「自然数には解がない」というのが解答です。 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 17:43:46 ] 何かキモイ流れだな 471 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 17:45:32 ] ５＾ｍ＋７＾ｎ＝ｋ＾３に（ｍ、ｎ、ｌ）＝（０、１、２）を代入して、 ５＾０＋７＾１＝２＾３ １＋７＝８ 472 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 17:49:18 ] 自然数には 0 を含めないとする流儀もあるのです。 おそらく、問題の前提としては、自然数に０を加えないという ことなのでしょう。 473 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 17:52:27 ] non-negative integer 474 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 17:59:57 ] >>473 「マイナスでない整数」 問題文では、（０を含めない前提での）自然数１、２，３，４，５、、、、、を 考えている。 475 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 18:07:27 ] 数学の事典をみたら、 「正の整数を自然数という」と定義されていた。 よって、この問題に、「解」はない。 476 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 18:28:40 ] 「６以上の任意の偶数は、二つの奇素数の和で表すことができることを 証明せよ。」 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 18:31:22 ] >>1 より > 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で解ける問題を > 考えてうぷするスレ。 「考えて」うぷするスレ。 自分で問題を考えること。 478 名前：ＺＥＵＳ [2008/07/30(水) 18:42:21 ] たとえば、 ８は、３＋５ １０は５＋５ １２は７＋５ 。。。。。。。 たしかに、二つの奇素数の和で表される。 が、これをどうやって証明するか？ �@６以上の任意の偶数を２ｎ＋２（ｎ≧２）とおく。 �A奇数でかつ素数を、どうやって文字式で表すか？ �B任意の奇数を２ｍ＋１（ｍ≧０）で表される。 �C素数は、「１とその数以外に約数を持たない数」だから、 　逆に考えて、上の式のｍに制約条件をかければよい。 たとえば、５は奇素数、しかし１５は奇数だが素数ではない。 １、３、５、７、９、１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、、、、 奇素数を●とすると、 ●、●、●、●、９、●、●、１５、●、●、２１、●、２５、２７、●、●、３２ この数列に「規則性」を見つけてください。 479 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 19:26:34 ] ＺＥＵＳってやつ友達いなさそう・・・ 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 20:26:07 ] >>479 人の話をまるで無視するからね。 自分のことで精一杯なんだろうけど。 481 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 20:58:32 ] (1)xy平面上の動点P,Qはそれぞれx軸、y軸上のx≧0,y≧0,の部分を OP+OQ=1という関係満たしながら動く。 このとき線分PQの通過しうる領域を図示し、その領域の面積を求めよ。 (2)xyz空間内の動点P,Q,Rはそれぞれx軸、y軸、z軸上のx≧0,y≧0,z≧0の部分を OP+OQ+OR=1という関係を満たしながら動く。 このとき平面PQRの通貨しうる領域の体積を求めよ。 ただしOは原点である。 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 22:43:23 ] >>481 アステロイドになった (2)はアステロイドの空間版 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 22:53:32 ] ＺＥＵＳ君もう少し勉強してからここに来てくれ 484 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 23:06:28 ] >>481 （２）どうやるの？ 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 23:13:30 ] >>396 , >>412 　ここら辺↓に解答･･･ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/408-409 不等式スレ３ 486 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/30(水) 23:21:59 ] 2m=(2m-t)+t=p+q 487 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/31(木) 00:55:58 ] 全部の素数をランダムにたして、２mがすべてできることをいえばいい。 488 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/31(木) 01:09:03 ] OP+OQ=1 PQ=(x^2+(1-x)^2)=(2x^2-2x+1)^.5 489 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/31(木) 01:20:09 ] エンベロープ 490 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/01(金) 08:41:54 ] ｘｙ平面上の２点をＡ（−１，０），Ｂ（１，０）とする。 線分ＡＢを直径とする円周上を動く点Ｐがある。 線分ＰＡを３：４に内分する点をＮとし、線分ＰＢを １：４に内分する点をＭとする。 ＡＭとＢＮの交点Ｑが描く図形の方程式を求めよ。 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/01(金) 13:32:31 ] (1)��(1/n)が発散することを示せ。 (2)(1)の和において、自然数nを10進数展開したときに 　9が付く数(9,19,94,900など)を除外した場合、 　和は収束し、80未満となることを示せ。 492 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/01(金) 16:19:34 ] 次の連立方程式を考える。 �]＾２＋Ｙ＾２＋３�]Ｙ＝１１ �]＋Ｙ−ＸＹ＝９ このとき、�]＋ＹとＸＹの値を求めよ。 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/01(金) 16:31:44 ] あれだろ、、 �]とＸは実は違う文字でしたーｗｗｗ なんてオチだろ？ 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/01(金) 16:52:21 ] >>491 (1)��1/n>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+…+1/8)+… から示せる (2)10^(n-1)と10^nに9^n個あることから示せる 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/01(金) 17:24:03 ] オリジナリティのある良問まだー？ 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/01(金) 19:53:11 ] a[1]=a,a[n+1]=cos(a[n])とするとき どんなaに対しても lim[n→∞]a[n]が存在することを示せ 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/01(金) 23:45:03 ] >>496 これのsinバージョンの完璧な証明を今も見たことないんだけど 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 00:13:54 ] sinだったら簡単じゃん。 a_0=a かつ a_{n+1} = sin(a_n) とする。 -1 ≦ a_1 ≦ 1 である。 0 ≦ a_1 ≦ 1 としてよい。（そうでないときは b_n = -a_n を考えれば良い） { a_n } は常に正なので下に有界であり、かつ単調減少である。 有界単調数列は必ず或る有限実数値に収束するので、その収束値を A とする。 A = sin(A)より A = 0。 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 00:17:52 ] >>498 すまん これのことだった 数列 {a[n]} を a[0] = x, a[n+1] = sin(a[n])　　(n≧0) で定める 0＜x＜π のとき lim[n→∞]((√n)a[n]) = √3 であることを証明せよ 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 01:53:11 ] >>496　-1≦a_2≦1より 0<a_3≦1 ∴n≧3のとき 0<a_n≦1 以上より 0<a≦1としても一般性に差し支えない。 さて、cos0>0,cos1-1<0であるから 　cosα=αなるαが(0,1]内に少なくとも一つ存在する。 　f(t)=cost-tは(0,1]内で単調であるからそのような数はだだ一つ 　よってそれをαとする。 　cosの単調性より a_n<α⇒a_(n+1)>α a_n>α⇒a_(n+1)<αが言える。 　ゆえにa_1<αとすればaの奇数項は単調増加、偶数項は単調減少である。 　よってそれらはβ,γにそれぞれ収束する。 　そしてβ=cosγ,γ=cosβを満たす。 　よってβ=cos(cosβ)　γ=cos(cosγ) ここでg(t)=cos(cost)-tとおくと 　g(α)=0 g'(t)=sin(cost)*sint-1<0 　よってβ=γ=α。すなわちa_nはαに収束する。　/// 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 02:57:49 ] >>496 東工大ぽいな 502 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 03:13:32 ] ＞a_n<α⇒a_(n+1)>α ＞a_n>α⇒a_(n+1)<αが言える。 ＞ゆえにa_1<αとすればaの奇数項は単調増加、偶数項は単調減少である。 意味不明 0点 503 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 06:33:39 ] cos(cos(a))/cos(a)=sin(cos(a))sin(a)/sin(a)=>|sin(cos(a))|<1 for all a 504 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 06:35:44 ] an+1=log(an)の収束半径をもとめな。 505 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 06:36:33 ] an+1=log(an)log(an)cos(an)の収束半径をもとめな。 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 07:33:34 ] >>502 a_[n+2]=cos[cosa_n]>(<)a_nが抜けてた。 g(t)はここで出しておくべきだったな。 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 18:12:38 ] xyz空間内の動点P,Q,Rはそれぞれx軸、y軸、z軸上のx≧0,y≧0,z≧0の部分を OP+OQ+OR=1という関係を満たしながら動く。 このとき平面PQRの通過しうる領域の体積を求めよ。 ただしOは原点である。 508 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 18:24:36 ] >>507 >>481 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 18:33:16 ] >>481 平面だと無限大になるから 三角形PQRの通過しうる領域の体積と解釈しておｋ？ 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 18:48:17 ] >>418,507 1/18 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 21:38:09 ] >>507 計算してPQRの通る曲面(包絡面？)が √x+√y+√z=1、x≧0,y≧0,z≧0 となって体積を計算したら1/90になった 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 21:38:40 ] 訂正 √x+√y+√z≦1、x≧0,y≧0,z≧0 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 22:22:13 ] 難易度高いです＞＜ 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 22:47:41 ] >>511 どうやってやったの？ 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 00:32:35 ] >>507 1/30？ 516 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 00:34:00 ] 俺も1/30になった 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 01:15:59 ] 511-512だけど>>515-516お二方はどうやったの？ なんかこう違うと、何が何やらわけがわからなくなっちまった。 ついでに>>481の(1)は√x+√y≦1、x≧0,y≧0になった。 一応texで打ってみるかな 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 01:21:57 ] >>517 ごめん やりなおしたら1/90になった 519 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 01:30:20 ] >>517ですが www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=toudais+sol1.PNG www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=toudais+sol2.PNG こんなかんじです ちょっと今、手直ししてますが、p≠0,r≠0で解答してました。p=0,r=0の場合は(1)に帰着して結局>>511になるんですけど 520 名前：518 mailto:sage [2008/08/03(日) 01:46:58 ] >>519 俺も同じくz=tでの切断から考えて ORの値を固定 でその断面積を求めたあとでORを動かした時の最大値がOR=√tのときで あとは積分で1/90 途中ノートのページが変わるときに文字を写し間違えて最大値がくるってしまった なんか>>517みるとすごく簡単に解けているように見えるな 521 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 01:48:23 ] >>519 ＧＪ 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:02:10 ] >>519 問題のとこ平面PQR→三角形PQRに訂正 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:03:06 ] >>519 なんじゃこりゃあああ！！！ てふかなんかでわざわざ作ったのか？ てっきり紙に適当な数式書いてアップしただけかと思った 524 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 02:18:25 ] >>522 了解 >>523 TeXでおこしてPDFをキャプチャして貼り付けたんです。 他の問題も同様にしてます。Wordって少し使い勝手が悪くて 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:31:41 ] >>524 やっぱてふ使ってわざわざ… 分からない問題はここに書けというスレとこことあともう一つくらいしかスレみてないけど 数学板でこういうの見たの初めてで感動したよ 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:47:06 ] >>525 このスレの方でPDFで神解答してる人は見たことありますよ(ベクトルがらみの益田さんの問題だったかな) これが原文 www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=todai+sakumon.pdf 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:47:47 ] 貼り付け専用なので尺一杯ですが。 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 04:12:32 ] 益田とかいたな 最近見ないけど逮捕されたんかな 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 05:28:16 ] 単に飽きたのでは。 サイトの問題全部アーカイブで公開してから消えてほしかった。 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 06:04:57 ] >>499 (略解) 　|x|≦1 とする。 　sin(x)^2 = {1 - cos(2x)}/2　なので, 　x^2 - (1/3)x^4 < sin(x)^2 < x^2 -(1/3)x^4 + (2/45)x^6 < (x^2)/{1+(1/3)x^2}, 　1/x^2 + 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 > 1/x^2 + 1/3, 　1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3, これに x=a[n] を代入する。 　a[n] → 0 (n→∞)　 は既知ゆえ、 　1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞), 　1/(a[n])^2 - (n/3) → c (n→∞), これをnで割る。 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 06:27:32 ] >>492 与式を辺々たすと 　(X+Y)^2 + (X+Y) = 11 + 9 = 20, 　X+Y = -5, 4. 下の式より 　X+Y = -5 のとき, XY=-14,　　{X,Y}={-7,2} 　X+Y = 4 のとき, XY=-5,　　　{X,Y}={-1,5} 532 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 07:46:40 ] >>531 これはひどい 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 12:19:16 ] >>530 > 1/(a[n])^2 - (n/3) → c (n→∞), ちゃんと計算すると、1/(a[n])^2 - (n/3) は n→∞ で発散するよ 534 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 13:27:04 ] sin(sin(a))/sin(a)=-cos(sin(a))cos(a)/cos(a)=>|cos(sin(a))|<1 for all a 535 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:03:07 ] a, b, c をabc=1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ． ( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１ 　 536 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:03:56 ] 次の条件を満たす正整数ｎは存在するか． 　 ｎを割り切る相異なる素数はちょうど2000 個ある． ２n + 1 はｎで割り切れる 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 14:09:15 ] 存在しない ２n + 1 はｎで割り切れるよりほぼ自明 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 14:09:18 ] >>534　うっわ恥ずかしいやつ＾＾； 539 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:10:22 ] ２^n + 1 はｎで割り切れる 540 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:19:54 ] a,b=1/a,c=1 (2a-1)(1/a)(1/a)=2/a-1/a^2 2=2at a=1/t (2/t-1)t^2=(2-t)t t=1->a=1 f=1 541 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 14:36:11 ] a,b,c=1/ab ( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１ (a-1+1/b)(b-1+1/ab)(1/ab-1+1/a) (ab-b+1)(1-(ab-b)^2)/ababb (z+1)(1-z^2)/ababb z=1,-1 z<-1 ab-b<-1 0<b<-1/(a-1)->a<1 542 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 15:06:31 ] a<(b-1)/b a->0->b->1 z->-1 f-> a->1->b->∞ z->-∞ z=(a-1)b -z^3/a^2b^3=-(a-1)^3/a^2->0 543 名前：518 mailto:sage [2008/08/03(日) 15:18:00 ] 式だけ書いてる奴ってなんなの？池沼？ 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 15:25:08 ] かなり昔からいるkitty 545 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 16:20:07 ] a->0->b->1 z->-1 c->1/a ( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + a) (2/a - 1 )->0 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 18:29:44 ] king 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 18:32:00 ] >>499って事実としては正しいの？ 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 18:46:48 ] >>547 >>440のスレにあるけど誰も解けてないみたいだし、正しいかは不明 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 19:01:41 ] 実際に第100項とか第1000項くらいまで確かめてみれば 正しいかどうかの予想は付くんだろうけど、 俺プログラミング出来ないからなあ、、 流石によほど暇じゃないと函数電卓で計算する気は起きないなｗ 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 19:12:15 ] >>547 第25項くらいまで電卓で計算してみたけど，実際に√3付近の数に収束していってる からあってるかと． 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 19:39:34 ] 25項で決めるとは 552 名前：>>440 >>533 mailto:sage [2008/08/03(日) 21:27:15 ] >>530 で大体あってる >>533 で指摘したとこは、正しくは (1/a[n]^2) - (n/3) = (1/5)log(n) + O(1) になるはず α[n+1]-α[n] → β (n→∞) のとき α[n]/n → β (n→∞) を示すのは良く見る問題だから、これを定理と認めれば > 1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞) からすぐに 1/(n*a[n]^2) → 1/3 (n→∞) 不等式で挟もうとすると結構面倒で、自分の用意していたのは↓みたいなの (途中まで >>530 のを借りる) > 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3 まで正しいとして、 |x|≦1 のとき 1/(3-x^2) ≦ (1/3)+(1/6)x^2 が成立するので (1/3) + (1/6)x^2 ＞ (1/sin^2(x)) - (1/x^2) ＞ 1/3 x = a[n], sin(x) = a[n+1] を代入して (1/3) + (1/6)a[n]^2 ＞ (1/a[n+1]^2) - (1/a[n]^2) ＞ 1/3 見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とすると 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*) 左の不等号から、n≧2 で b[n] ＞ n - 1 + b[1] ＞ n - 1 … (**) これを (*) の右の不等号式に入れると、n≧3 で b[n] ＜ n - 2 + (1/2){1 + (1/2) + (1/3) + … + (1/(n-2))} + b[2] ＜ n + (1/2)log(n) + b[2] これと (**) から、n≧3 で a[n] の評価は (√3)/√{1 + (1/2)(log(n)/n) + (b[2]/n)} ＜ (√n)a[n] ＜ (√3)/√(1-(1/n)) 挟み撃ちにより (√n)a[n] → √3 (n→∞) 553 名前：552 mailto:sage [2008/08/03(日) 22:38:42 ] × 不等号式 ○ 不等式 × 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*) ○ 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (3/(2b[n])) … (*) だった 以下も適当に修正しといて 554 名前：530 mailto:sage [2008/08/04(月) 06:24:20 ] >>499 (訂正) 　1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3, まで正しいとして、 見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とする。 >>552 k≧N のとき (N:自然数) 　b[N]/(b[N]-1) ≧ b[k]/(b[k]-1) > b[k+1] - b[k] > 1, k=N,N+1,･･･,n-1 について相加平均すると 　b[N]/(b[N]-1) > (b[n] - b[N])/(n-N) > 1, ここで n→∞ とすると 　b[N]/(b[N]-1) ≧ lim[n→∞) b[n]/n ≧ 1, Nはじゅうぶん大きく取ってよいから 　 lim[n→∞) b[n]/n = 1. 555 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/08/04(月) 08:26:32 ] Reply:>>546 私を呼んでないか。 556 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/04(月) 20:05:09 ] sin(x)>x sin(x) monotonic for 0<x<pi/2 sin(sin(...(x)))->1 sin(sin(x))/sin(x)->cos(sin(x))cos(x)/cos(x)->cos(sin(x))->1+0 as x->0,pi 557 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/04(月) 20:08:46 ] math.coe.uga.edu/EMT669/Student.Folders/Willis.Emily/Essay1/Essay1.html 558 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/05(火) 09:27:27 ] 「ｐ、ｑ、ｒ　are　natural　numbers　ａｎｄ　satisfing　ｐ≦ｑ≦ｒ． ａｎｄ、ｐ、ｑ are even　numbers and ｒ is odd number. find the most small positive integral number satisfing √ｐ×√ｑ×√ｒ」 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 10:37:13 ] 18 = (√2)(√6)(√27) ってこと？ 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 10:38:36 ] ＺＥＵＳって数学だけじゃなく英語も出来ないんだな。 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 11:14:20 ] √p×√q×√rを満たす最小の整数を求めよ…… ごくり…… 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 11:31:05 ] わざわざ英語で書いてるあたりどこかの問題をコピペしてるっぽい。 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 20:05:09 ] コピペだとすると、所々無意味に全角になっているのが気持ち悪い 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 20:13:42 ] あんな酷い英文がコピペであるはずがない。 565 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/05(火) 22:04:10 ] most smaller　(笑) 566 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/05(火) 22:36:44 ] If X chooses a prime number and simulataneously Y guesses whether it is odd or even (with gain or loss of ＄1), who has the advantage? 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:30:03 ] You is a big fool man. 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:41:18 ] おまえら、わざとやってるのか？ 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:51:47 ] 東大入試史上最も難しい問題より難しいっぽい問題が 中央大学の文系で出てるんだけど誰か解いてみたいっていう猛者はいるか？ このスレの住人なら知っていて当たり前だろうと思うが、n次元超平面上格子点存在問題 570 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 00:57:07 ] >>569 いつ出たの？うｐ 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:07:48 ] >>570 11年前に出てるけど出題者としてあるまじき行為というバッシングを受けてたっぽい 幾何学としても代数学としても有名な事実だが、文系の人にやらせるにはあまりにひどい問題 a_1、a_2、…、a_nを与えられた正の整数とする。 その最大公約数をdとするとき、 a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d を満たす整数x_1、x_2、…、x_nが存在することを示せ。 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:12:44 ] 東大受験生だと解ける奴はそれなりに居るよ。 何せ知識問題だから。 中央大文系だと全滅の懼れが大きいが。 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:16:19 ] ところでどこが幾何学なのか良く分からん。 少なくとも「n次元超平面上格子点存在問題」じゃないと思う。 574 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 01:18:08 ] さんくす 解いてみる 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:27:20 ] >>571　n=2のとき、a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、 　a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。 　n=kのとき、題意が成り立つと仮定すると、 　a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d'なるx_1....x_nが存在する。 この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd 　ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。/// 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:28:39 ] 安全に証明を行えるという点で幾何学の問題を代数学で というのは数学を学んでいくとよくある手法だな 逆に代数の問題を関数論でというようなパターンも大学２年でやる 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:29:12 ] Euclidの互除法と帰納法で証明しても良いし、 どっちかというとそっちのほうが計算的だけどもっと簡単に証明。 gcm(a_1, a_2, ........., a_n) = d である。 a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n}と表せる形の整数の集合 I を考える。 I = { x ∈ Z : 或る x_{1}, ........, x_{n} が存在して n = a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} } x ∈ I ならば x の倍数 nx も I の要素であり、またx, y ∈ I ならば x ± y ∈ I となる。 よって I の要素の絶対値のうち最小のものを e とすると I は e の倍数の集合となることがわかる。 （∵ e' = ne + e'' , 0 ＜ e'' ＜ e とすると e'' ∈ I となり矛盾する。） 或る x_1, ........, x_n が存在して e = a_1x_1 + ......... + a_nx_n だから e は d の倍数。 また a_i は I に含まれるので、逆に a_i は e の倍数。よって e は a_1, ........., a_n の公約数。 よって e = d。つまり d は a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} の形に表すことが出来る。 quod erat demonstrandum. と、ここまで解いてリロードしたら>>575が既に解いてた。 でも「a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、 a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。」 これ使って良いのかな。 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:31:52 ] これでバッシングって、マーチはすげえな。 地底くらいなら普通にだすだろ。サービス問題として。 579 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 01:32:09 ] n=2の場合は稀に出題されるよね 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:23:00 ] >>571の問題は解決するのに歴史的時間を要してるからなぁ >>575の解法でいくと5点もらえていいほうかな この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd 　ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。/// この証明はないだろ…さすがに…帰納法の意味わかってるのか？ 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:27:30 ] は？ちゃんと読めよマーチのカスｗ 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:32:14 ] 幾何学的な証明は？ 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:32:58 ] >>580 d'はn項までの数の最大公約数(nのときの仮定より。) 　A_n=d',x'1A_n+x'_2a_n+1=d(n=2のときによる) 　であるが、何か問題でも？ 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:33:16 ] >>579 出るわ aとｂは与えられた正の整数でaとbは互いに素である 直線ax+by=1は格子点を通ることを示せ 格子点とはx座標とy座標が共に整数の点のことであるって奴が出た 【　時　間　が　な　く　て】　わからんかったけど 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:38:46 ] >>583 d'とa_(n+1)の最大公約数がdってどっから出てきたの？ まさか仮定ってn=2のときa_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1ですよってところからきたの？ n=2のとき帰納法で与えられたa_1とお前が作りだしたd'って全く別物じゃない？ 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:42:56 ] >>585　アホ？すべてのa_nはd*a'_iに分解できる。 　よってd'=rdとなり、d'とa_n+1はdを共通因子に持つ。 仮にd'とdの最大公約数d''>d⇒a_1・・・a_n+1の最大公約数もd''→矛盾。 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:51:43 ] >>586 だからお前が帰納法使っているときに仮定よりn=k個の場合は a_1〜a_kの最大公約数はd'とおいてるんだろ？ で、n=2のときa_1とa_2の最大公約数はdとおいてるんだよな？ 当然のことだがこのa_1とa_2はn=2のときとn=kのときで全くの別物ってのはOK？ 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:53:18 ] >>587　何言ってんだ？お前帰納法の意味まるでわかってないな。 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:56:52 ] >>588 ということはまさかお前n=2のとき使ったa_1,a_2とｎ=kのときのa_1,a_2が同じ数だー とか思っちゃっているわけだな？ それに対しておれが帰納法まるでわかってないみたいに言ってるであってる？ そのへんがよくわからんないんだけど 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:58:30 ] 同じ数って何の話してんだ？ a_1....a_nは任意の整数の組だぞ？ dとd'は区別するために書いただけでただの最大公約数だぞ？ 大丈夫か？ 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:02:40 ] n=2のとき、"任意の"a_1,a_2に対して題意は成立 n＞3のとき、"任意の"a_1...a_nに対し題意が成立すると仮定 ⇒a_1x_1+・・・+a_nx_n=d' a_1=d',a_2=a_n+1とおいてn=2の場合より題意成立。(当然整数同士の積は整数である） どこに問題が？ 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:04:38 ] >>590 数学的帰納法において気をつけなければならない点 a_1....a_nは与えられた正の整数とあるとき、n=2,n=kの場合、 a_1,a_2の与えられた二つの正の整数、n=kの与えられたk個の正の整数を考える この問題は数学的帰納法だけではとてもじゃないが、たちうちできない ちょっとおれ今から整数論で完璧な証明書くので待ってくれ 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:06:36 ] 完璧な証明はどうでもいいからまず>>591に反論してみてよ。 俺の頭の中じゃ何回考えてもおかしな点が見つからん。 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:24:54 ] >>593 今まで間違っているとかいいまくっていたけどよく読んでみたらこれほどの解答はなかった あまりにも速く解いていたので嫉妬して適当な因縁つけてただけでした お前の解答は完璧だと読んでみたらわかった 今まで間違ってるとかいって本当に申し訳ない…ごめんなさい…あってます…そろそろ寝ます I={a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n　|　x_1,x_2,…,x_nは任意の整数} Nを自然数全体の集合とする I∩Nの最小元をd~とすると、任意のX∈I∩Nに対して X=d~*q+r　（q>0,0=<r<d~）…�@ d~∈I∩Nだから d~=a_1*x_1(0)+a_2*x_2(0)+…+a_n*x_n(0)…�A なるx_1(0),x_2(0),…,x_n(0)が存在する X=a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_nとも表されるから�@は r=X-d~*q=a_1*(x_1-q*x_1(0))+…+a_n*(x_n-q*x_n(0)) ここでr>0とすれば、r∈I∩Nとなり、0<r<d~から、rがI∩Nの最小元より小さくなり矛盾 よってr=0,X=d~*q つまり、d~∈I∩Nは任意のX∈I∩Nの最小の公約数である故に、 a_1,…,a_n∈I∩Nの最小の公約数である そこでd~=dを示す �Aにおいて右辺はa_1,…a_nの任意の公約数ｃで割り切れるべきだから d~はｃで割り切れる 故にc=<d~=<dで、cの最大値はdだから d~=d∈I∩N ∴d=a_1*x_1(0)+…+a_n*x_n(0) よってx_1=x_1(0),x_2=x_2(0),…,x_n=x_n(0)なる整数が存在する a_1,…,a_n∈IだからI∩Nの最小元d~はa_1,…,a_nの公約数であるということを 普通にしてはならないのはそれを示すことがこの問題のキーポイントであるから 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:41:24 ] 数学的帰納法を楽しげに語っているのでおれも間違い探しで参加するぞー(^o^)/ 今日はなかなか>>577といいレベル高い奴がいるんですぐにみつけられそうだが気にしない 相異なるn個の点の集合のどの2点を通る直線も この集合内の第3の点を通るという性質をもつならばこれらの点は全て一直線上にある。 数学的帰納法により示す。 n=3のとき、 2点を通る直線を任意に選ぶと仮定よりその直線はそれ以外の第3の点を通るので、 これらの点は全て一直線上にあることが示せた。 n=kのとき成り立つとしてn=k+1のときを示す。 n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば 他の点は全て一直線上にあるのでk+1個目の点も含めて k+1個の点は全て一直線上にあることが示せた。 これにより題意は示せた。 この帰納法の使い方のおかしさを指摘してみろークズどもー(^o^)/ 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:55:57 ] ＞n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば そのような直線が存在するという証明がされていない。 というかn=2の時点で直線はきまってしまう。(ユークリッド幾何より） よってそのような直線は一般に考えられない。 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 04:00:56 ] n>2の整数という条件を入れ忘れたぞー(^o^)/ >>575といい>>596といい新理論で頭よすぎだぞー(^o^)/ みんな寝ちゃったみたいでタイミング逃したんでまたくるぞー(^o^)/ 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 04:05:20 ] にゃー（＾＾） おやすみ　575でした＾＾ 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 05:20:21 ] >>65の ＞tanxの連分数展開からxが有理数ならtanxは無理数 っての誰かもう少し詳しく教えて下さいな。 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 07:41:59 ] >>596 2つの命題を p(n)：n個の点のうちのどの2点を通る直線もこの集合内の第3の点を通る q(n)：n個の点はすべて一直線上にある。 とおく。 p(k+1)が成り立っているとして、 k+1個のうちのあるk個について、p(k)が成り立つかを考えると、成り立つとは限らない。 なぜなら、k個のうち任意の2点を選んだとき、それはもとのk+1個のうちの2点と考えることができるので、 その2点を通る直線は必ず第3の点を通るが、その第3の点が選んだk個のうちにあるとは言えないから。 すなわち、k+1個のうちのどのk個についてもp(k)は保証されず、したがってq(k)も成り立たない。 >>595の誤りは、帰納法の仮定はp(k)⇒q(k)という矢印つきの命題なのに、 「n=kのとき成り立つ」ことを「q(k)が成り立つ」の意味で扱っているところ。 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 08:12:57 ] >>499を一般化してみた。 f ： [0,＋∞)→Rは連続であり、ある実数k＞1と、ある実数c＞0に対して f (x)＝x−cx^k＋o(x^k)　(x↓0) と表されるとする( o(x^k)は小文字のo)。このとき、次が成り立つようなδ＞0が存在する。 (1) 0＜x＜δならば 0＜f (x)＜x である。 さらに、このようなδに対して次が成り立つ。 (2) 任意の0＜x＜δに対して、xn：＝f ^n (x)は狭義単調減少しながら0に収束し、 　　しかも (xn)*n^(1/p) → 1/(cp)^(1/p)　(n→∞)である。 (1)：すぐに言える。 (2)：前半はすぐに言える。後半は>>530と同様に(1/x[n＋1])^p−(1/xn)^p→0 …＊を 　　 示したあと「an→ αならば(a1＋…＋an)/n→α」を使って終わる。＊の計算は 　　 (1＋x)^(−p)＝1−px＋O(|x|^2) (x→0) を使うと楽。 602 名前：571 mailto:sage [2008/08/06(水) 10:00:24 ] 採点基準みたいなのがあるようなんで >>575は与えられた正の整数の意味をわかってないようなので点を与えられない >>577すばらしい！最小性の証明もばっちりなんで多分満点 >>594完璧です！多分満点 >>582 どうなんだろうね 実際みたことないけど 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 10:06:20 ] 全然超平面上の格子点問題じゃないじゃん どうみても整数論じゃないか でもこれ知ってないとできないと思うぞ 受験生には酷だろう 604 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/06(水) 14:04:04 ] 関数ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋３ と 関数ｙ＝ｇ（ｘ）＝２ｘ＾２＋３ｘ＋４ がある。 両者の、合成関数（ｇоｆ）（ｘ）が最大値１５、最小値−１２をとるとき、 ａとｂの値を求めよ。 605 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/06(水) 14:17:01 ] 三角形ＡＢＣの辺ＢＣをｍ：ｎに内分する点をＦとし、 三角形ＡＢＣの辺ＡＣをｌ：ｋに内分する点をＨとする。 また、三角形ＡＢＣの辺ＡＢをｓ：ｒに内分する点をＧとする Ｆが辺ＢＣ上をＢからＣへ動き、Ｈが辺ＡＣ上をＡからＣへ動き、 Ｇが辺ＡＢ上をＡからＢへと動くとき、 三角形ＧＨＦが最大値をとるときの、条件を、ｍ、ｎ、ｋ、ｌ、ｓ、ｒの式で 表せ。 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 14:18:18 ] >>602　"与えられた正の整数の意味"　とは？ 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 14:28:45 ] >>604 g(x)の最小値は 　g(x)=2(x+(3/4))^2-9/8+4より23/8 ∴どのようなa,bを選んでも最小値が-12となるようなことはない。 608 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/06(水) 15:01:34 ] >>607 作問の間違いでした。 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 17:44:26 ] 実数全体で定義された微分可能な関数f(x)はf(x)＞0を満たし，かつ正の実数αに対して常に f'(x)＞(f(x))^α が成立するものとする．このときαの値を求めよ． 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 18:12:29 ] >>602　点を与えられないんじゃなくてお前が証明理解してないだけ。 　まぁこんな問題を東大最難より難しいとか言ってる時点でこいつの数学力は高々知れてるか・・・。 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 18:44:45 ] (1) すべての自然数に対しlognは無理数となることをしめせ。 (2)f_n(x)=log(log(log(・・・logx)))(log　n個の合成関数)とする。 　(i)この関数が定義される領域を示せ。 　ただしlog(x)は実数値関数として考え、x＞0で定義されるものとする。 　(�A)�@で求めた領域内に含まれる自然数に対し、 　f_n(m)は無理数であることを示せ。 612 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 19:27:38 ] >>605 >三角形ＧＨＦが最大値 何の最大値だよ 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 19:39:25 ] >>611 （1）log1=0 614 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 19:49:53 ] (1) すべての自然数に対しlognは超越数となることをしめせ。 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 21:54:17 ] 適当な有理数列を作ることにより 任意の実数rに収束する有理数列が存在することを証明せよ。 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 22:04:29 ] ちょっとクソ問題出すの止めてくんないかな 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 22:10:31 ] Zeus が登場して以来流れが変ったな。 クソ問題かどこかで聞いたことのある問題ばっかりだ。 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 22:35:50 ] >>603 R^2だとax+by=dという直線上に格子点が存在するかという問題に帰着できる （dはaとbの最大公約数） 逆に格子点が存在しないのはどういう場合かということかな あと>>575がなってないのは>>577の人も言ってるけどこれを証明なしに用いていること 本来これを証明すべきなのに示すべき内容が成り立つとして解答してしまっている 619 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 22:57:47 ] zeus=king 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 22:59:07 ] 益田って死んだの？ 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:09:48 ] 実数θと虚数単位iでe^(iθ)=cosθ+isinθとする また複素数z、wに対してe^z*e^w=e^(z+w)が成り立つ 複素変数の正弦関数と余弦関数を次のように定義する 複素数zに対して sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/2i cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2 このとき任意の複素数zに対して、下記の式が成立することを示せ (sinz)^2+(cosz)^2=1 東大では絶対でないであろう問題だな 簡単すぎる 622 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:12:12 ] 可計算解析の意味において多項式時間可計算かつリプシッツ連続なる函数が与える初期値問題の解が多項式空間完全である例を示す. 623 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:13:51 ] f(x)=1-x^2/1+x^2とf(x)=|sinx|がリプシッツ連続であることの証明 624 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:14:32 ] 問題５ f(x,t)=sin(tx)は0<t<1、0<x<6πでLipschitz連続であることを示せ。 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:16:51 ] >>622 そこまで書いてなぜ微分方程式の問題を出さない？ 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:36:48 ] なんかここ数日流れがきもくね？ 627 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:40:35 ] kono sure jitai KIMOI 628 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:42:24 ] an+1=cos(an) 0<a0<pi/2 by Banach fixed point theorem an->x=cos(x) 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:43:24 ] 昔からこのスレきもかったけど今は夏休みだしそういう流れなんだよ 大学向けの問題を高校生に出題するなら定義をきちんと書くだろ…常識的に考えて… 超越数とかリプシッツ連続とか試験に出ることはあっても単語が出ることはない 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:44:43 ] 正の整数x，yに対して，x^2+y^2 が xy+1で割り切れるならば， (x^2+y^2)/(xy+1) は平方数であることを証明せよ． 631 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:45:35 ] www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/transseq.html 632 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:49:15 ] 作図問題： * dx/dt = v * dv/dt = -x3 - bv + A sin wt * A = 2.5, b = 0.05, w = 0.7 633 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:50:17 ] 作図問題２： * dx/dt = y * dy/dt = z * dz/dt = -x + y2 - Az * A = 2.107 634 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:51:29 ] General Properties of Lyapunov Exponents * A measure of chaos (how sensitive to initial conditions?) * Lyapunov exponent is a generalization of an eigenvalue * Average the phase-space volume expansion along trajectory * 2-D example: o Circle of initial conditions evolves into an ellipse 635 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:52:56 ] Kaplan-Yorke (Lyapunov) Dimension * Attractor dimension is a geometrical measure of complexity * Random noise is infinite dimensional (infinitely complex) * How do we calculate the dimension of an attractor? (many ways) * Suppose system has dimension N (hence N Lyapunov exponents) * Suppose the first D of these sum to zero * Then the attractor would have dimension D 636 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 00:23:15 ] 1+1=2であることを証明せよ。 （ただし、1+1=2であることは知られていないとする） 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 00:25:59 ] ・・・ 638 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 02:21:54 ] x^2+y^2=m^2(xy+1) x^2=m^2 mod y x=ay+m y=bx+m x-ay=m -bx+y=m x=m(1+a)/(1-ab) y=m(1+b)/(1-ab) xy+1=(m^2(1+a)(1+b)+(1-ab)^2)/(1-ab)^2 x^2+y^2=m^2((1+a)^2+(1+b)^2)/(1-ab)^2 (x^2+y^2)/(xy+1)=m^2((1+a)^2+(1+b)^2)/(m^2(1+a)(1+b)+(1-ab)^2) a=b =2m^2(1+a)^2/(m^2(1+a)^2+(1-a^2)^2) =2/(1+(1-a^2)^2/m^2(1+a)^2) =2/(1+(1-a)^2/m^2) 639 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 02:26:18 ] m=1-a =1 2x^2=x^2+1 x=1 640 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 02:28:07 ] m=1-ab x=1+a y=1+b 641 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 07:11:56 ] 三角形ＡＢＣの辺ＢＣをｍ：ｎに内分する点をＦとし、 三角形ＡＢＣの辺ＡＣをｌ：ｋに内分する点をＨとする。 また、三角形ＡＢＣの辺ＡＢをｓ：ｒに内分する点をＧとする Ｆが辺ＢＣ上をＢからＣへ動き、Ｈが辺ＡＣ上をＡからＣへ動き、 Ｇが辺ＡＢ上をＡからＢへと動くとき、 三角形ＧＨＦが最大値をとるときの、条件を、ｍ、ｎ、ｋ、ｌ、ｓ、ｒの式で 表せ。 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 07:57:21 ] このスレはいつから糞問題のゴミ捨て場になったんだ…。 643 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 18:23:18 ] 一辺が1の正四面体OABCにおいてOA、OB、OC上に点P、Q、Rが 四面体OPQRの体積が正四面体OABCの1/3になるように動く。 このとき三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めよ。 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 18:25:57 ] 正の整数 n，m（≧2）に対して，lim[n→∞]( 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/mn ) を求めよ． 645 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 20:30:48 ] また糞問 646 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 20:34:41 ] はいはい区分求積 647 名前：518 mailto:sage [2008/08/07(木) 20:39:43 ] >>644 東工大の問題ですね、わかります 648 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 21:15:26 ] 宿題をこのスレで聞いてもいいですか？ 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 21:19:34 ] >>648 だめです 質問スレへどうぞ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 21:20:25 ] 糞問題だとスルーされるけど、それでも良ければ。 そして他のスレで同じことを聞くとマルチ扱いされるけど、それでも良ければ。 651 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 21:26:47 ] x^2+y^2=3^2009を満たす有理数x､yが存在しないことを示せ 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 22:11:37 ] >>651 都立大 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 22:33:31 ] (問) a,b,c,dは0以上の実数で　a^2+b^2+c^2+d^2=1　を満たして変化する。 このとき、点(a-b,c-d)の存在し得る領域を求めよ。 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 22:42:12 ] f_n(x)=1+(x/1!)+(x^2/2!)+・・・+(x^n/n!)　(nは2以上の整数) とおく． (1) f_n(x)を利用して，Σ[k=0,n]1/(k!) ＜ e ＜ Σ[k=0,n]1/(k!) + 1/(n!)を示せ． (2)(1)の不等式を利用して，eが有理数であることを示せ． 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 22:42:22 ] R で微分可能な関数で、以下の性質を満たす関数 f(x) の例を上げよ x が有理数のとき f(x) は有理数の値をとる x が無理数のとき f(x) は無理数の値をとる f’(x) は任意の区間で定数ではない 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 22:45:36 ] >>654 eの定義がない。 有理数？ 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 22:48:22 ] >>656　 >>654 ミスた． (2)訂正 eが有理数でないことを示せ．eは自然対数の底． 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 00:31:48 ] 大学でやったことをここで出してるやつが多くて困る しかも簡単なやつばっか 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 02:48:32 ] eの無理性は数学に興味のある高校生には良い題材だと思うがな 東大の入試にはそぐわないとも思う 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 05:05:40 ] eが無理数であることとか瞬殺だろ πなら難しいけどさ 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 06:34:37 ] ｎ階微分可能な関数Ｆ(n)（ｘ）＝�]＾5＋３�]＾4＋２�]＾3＋６�]＾2を考える。 この関数を、偶数回微分したときの、導関数の特徴と、 奇数回微分したときの導関数の特徴を記述せよ。 662 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 06:43:14 ] まーた糞問か 死ね 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 06:44:35 ] 任意の0でない自然数 n をとり、n が偶数の場合、n を 2 で割る n が奇数の場合、n に 3 をかけて 1 を足す という操作を繰り返すと、有限回で 1 に到達することを証明せよ。 664 名前：ＺＥＵＳ mailto:sage [2008/08/08(金) 06:54:27 ] 「３次方程式　５ｘ＾3＋４�]＾2ー６�]＋８＝０ の実数解が、�]＝−１と�]＝−２の間にあることが 分かっているとき、この解の近似値を小数点以下４位まで求めよ。」 「次の三つの式を同時に満たす整数、ａ、ｂ、ｃの値を全て求めよ。 ａ＋ｂ＋ｃ＝１２，ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２９ ａ≧ｂ≧ｃ」 「不等式ａｂ＋１≦ａｂｃ≦ｂｃ＋ｃａ＋ａｂ＋１ を満たす自然数ａ、ｂ、ｃの全ての組を求めよ。 ただし、ａ≧ｂ≧ｃとする」 665 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 07:00:07 ] >>663 どっかで見たことあるわ パクり乙 666 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 07:04:18 ] >>651 3^2009=(4-1)^2009=(4の倍数)-1 だから3^2009を4で割った余りは3 平方数を4で割った余りは0または1なので x^2+y^2を4で割ったあまりは0,1,2のいずれかとなり、余りが3になることはありえない。 よってx,yは存在しない。 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 07:50:09 ] >>665 その問題は「コラッツの予想」と呼ばれている　未　解　決　問　題　。 驚くべきことに、人類はこんな簡単そうな問題が解けていない。あの エルデシュでさえ、「人類はこの問題を解く準備が出来ていない」と 言ったそうだ。 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 09:24:12 ] >>663 の類題として以下のようなものを見たことがある．かなり原文を改変しているので間違っているかもしれない． ある正の整数n(≧2)を次の操作によって，別の正の整数へと変換する． 操作A:nが奇数ならば1を足す 操作B:nが偶数ならば2で割る 変換後の数が1となったら操作をストップする． (1)操作をN回繰り返し1へと変換される数は何種類あるか．(Nは1以上の整数) (2)ある正の整数mは操作を8回繰り返し1へと変換される．8回の操作のうち1回は操作A，残りは操作Bを用いた．また，操作Aに 　おいて，1を足すのではなく1を引く操作をCとすると，mは操作Bを6回，操作Cを1回用いて1へと変換される．mを求めよ． 669 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 10:07:37 ] >>666 問題文を100回見直せ 670 名前：Zeus [2008/08/08(金) 10:36:53 ] ｋが正の整数のとき、 （�]−１０）＾２＋（Ｙ−１０）＾２≦ｋ＾２ を満たす、整数の組（ｘ、ｙ）が少なくとも １５０個存在するように、ｋの最小の値を求めよ。 三角形ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとし、 ∠Ａ＝α、∠Ｂ＝β、∠Ｃ＝γとおくと、 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 （π／３）≦（ａα＋ｂβ＋ｃγ）／（ａ＋ｂ＋ｃ）≦（π／２） 671 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 14:12:39 ] >>666 >>651をよく見ようね。 「整数」x,yじゃなくて、「有理数」x,yが存在しないことを示すんだよ。 672 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 14:42:54 ] >>651 x^2+y^2=3^2009をみたす有理数x,yが存在すると仮定する。 x=s/u，y=t/u（ただし,s,t,uは正の整数）とおける s^2+t^2＝3^2009*u^2･･･※ uが奇数と仮定する u=2v+1とおける。　 ※の右辺3^2009*u^2=(4-1)^2009(4v^2+4v+1)=(4の倍数)-1だから3^2009*u^2を4で割った余りは3 平方数を4で割った余りは0または1なので、※の左辺s^2+t^2を4で割ったあまりは0,1,2のいずれかとなり、 余りが3になることはありえない。 したがって、uは偶数 このとき※の右辺3^2009*u^2は4で割り切れる。 ※の左辺s^2+t^2を4で割った余りが0になるのは、s,t共に偶数である場合に限られる。 したがって、s,t,u共に偶数であることがわかる。 s,t,uが2^k(kは任意の正整数)で割り切れることをいう。 s,t,uが2で割り切れることは上でいった。 s,t,uが2^kで割りきれると仮定する。 s/2^k，t/2^k，u/2^kが偶数であることが上と同様にしてわかるから、s,t,uは2^(k+1)で割り切れることがわかる。 したがって,s,t,uは2^(k+1)で割り切れることがわかる。 これは明らかに矛盾（0＜s,t,u＜2^kになってしまえば、s,t,uは2^kで割り切れることはありえない！）だから ※をみたす正整数s,t,uは存在しない。 以上より、題意は言えた。 673 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 16:35:30 ] 半径ｒの円Ｓ１に内接する直角二等辺 三角形をＴ１とし、Ｔ１に内接する円を Ｓ２とし、Ｓ２に内接する二等辺三角形を Ｔ２とし・・・・次々にＳ１、Ｔ１、 Ｓ２、Ｔ２・・・と作るとき、 円、Ｓ１・・・・Ｓｎの面積の総和を 求めよ。 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 17:32:59 ] πr^2*(12+8√2)/(11+8√2) 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 17:42:09 ] 数学のセンスに欠けた問題文ｎ >>670 676 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 18:10:25 ] >>675 「数学的センス」の定義を教えてください。 お願いいたします。 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 21:48:32 ] >>672 ※は、mod3を考えることから3|s,tだからs^2+t^2=3u^2に帰着されないか？ そうすると左辺の3は偶数冪、右辺の3は奇数冪で矛盾 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 23:15:10 ] >>653 実数 x,y が　x^2 + y^2 = r^2　を満たして変化するとき、 　|x-y| = √{2(x^2 + y^2) - (x+y)^2} ≦ √{2(x^2 + y^2)} = r√2, を使う。 実数 a,b が a^2 + b^2 = p^2 を満たして変化するとき、|a-b| ≦ p√2, 実数 c,d が c^2 + d^2 = q^2 を満たして変化するとき、|c-d| ≦ q√2, ∴　|a-b|^2 + |c-d|^2 ≦ 2(p^2 + q^2) = 2. 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 00:09:30 ] e^e に最も近い整数を求めよ．eは自然対数の底とする．必要ならば以下の近似値を用いよ． e=2.718，log2=0.693，log3=1.099，log5=1.609，log7=1.946，log11=2.398 ． 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 00:23:33 ] >>664 上 　X = (Y-4)/15　とおくと 　(左辺) = 5(Y^3 -318Y +2*3304)/(15^3), これを解いて 　X = -{4 + (3304-30√10806)^(1/3) + (3304+30√10806)^(1/3)}/15 　≒-1.8860468487 7734303446 7749889318 8･･･ 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 01:25:34 ] >>679 お、北大の過去問だな。 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 03:41:48 ] >>679 loge^e=e=2.718 log15=2.702 log16=2.772 log15.4>5.037-2.3>2.73>e ∴15 683 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/09(土) 04:06:16 ] >>682 対数関数の単調性に言及してないから原点 by　東北大 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 04:09:19 ] 対数関数は連続関数じゃないかもしれないしこれも減点対象だな と思ったけど高校生って連続の定義とかやるんだっけか… 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 04:11:13 ] 連続性の証明はいらんだろ・・・ そんなの言ってたら微分するたびに数行掛かる。 686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 06:04:57 ] 高校程度なら単調増加性言えば十分だと思う 687 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/09(土) 06:23:46 ] アンザんでやれよ 688 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/09(土) 06:23:47 ] >>675 「数学的センス」の定義を教えてください。 お願いいたします。 689 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/09(土) 06:29:51 ] 条件を逆手にとって解法を見抜いてしまう 難問はまたいで通る 690 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/09(土) 06:32:42 ] ｋが正の整数のとき、 （�]−１０）＾２＋（Ｙ−１０）＾２≦ｋ＾２ を満たす、整数の組（ｘ、ｙ）が少なくとも １５０個存在するように、ｋの最小の値を求めよ。 （１０、１０）を中心とする半径Kの円の中に１５０以上の格子点があるように Kを求めなさい。ー＞免責が１５０以上ね 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 12:28:59 ] なんかさーなんつうかマジで流れキモイんですけど・・・ 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 13:10:59 ] >>691とかキモイよな… なんか毎日書き込みしてるし…部屋から外出てるの？馬鹿なの？ 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 14:05:47 ] >>664 中 　a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) = 12^2 - 2*29 = 86, ∴　{|a|, |b|, |c|} = {9,2,1}　{7,6,1}　{6,5,5}　 ∴　(a,b,c) = (9,2,1)　(7,6,-1) >>670 上 　平行移動すれば　x^2 + y^2 ≦ k^2 　k=7 のとき 149 (不適) 　k=√50 のとき 161 (適) これ以上の最小の整数は k=8. 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 17:04:13 ] 点Oを中心とする半径1の円Cの周上に点P，A[1]を線分PA[1]が円Cの直径となるようにとる． A[1]を1つの頂点とする円Cに内接する正n角形の各頂点を，A[1]，A[2]，…，A[n]とする．(nは3以上の整数) 極限値 lim[n→∞](PA[1] + PA[2] + … + PA[n])/n を求めよ． 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/10(日) 07:23:27 ] >>694 ∠A[1]PA[k] = (1/2)∠A[1]OA[k] = (k-1)π/n, PA[k] = r*|2cos((k-1)π/n)| = r*|sin((k-0.5)π/n) - sin((k-1.5)π/n)| / sin(π/2n), K=[(n+1)/2] とおくと PA[1] + PA[2] + ･･･ + PA[n] = 2r + 4rΣ[k=2,K] cos((k-1)π/n) = 2r*sin((K-0.5)π/n) / sin(π/2n), nが偶数のとき　2r/tan(π/2n), nが奇数のとき　2r/sin(π/2n), 　 極限値は (4/π)r 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 01:53:02 ] >>664 下 (a,b,c) = 　(a,2,2)　a≧2, 　(a,3,2)　3≦a≦7, 　(3,3,3) 　(4,4,2) 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 20:16:47 ] 東京大学　理系　2003年　第６問　改 円周率が3.466よりも小さいことを証明せよ 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 20:20:07 ] >>697 3.2より小さいことを云々の方が良いのでは？ そんなに難しくもないし 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 20:44:20 ] 3√(5+2√5)-√(25+10√5)を√(A+B√5)の形にせよ。ただし、AとBは整数とする。 700 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/11(月) 21:14:02 ] >>699 さすがにそれはない 701 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/11(月) 21:18:34 ] >>699 これはひどい 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 21:20:25 ] >>697 まづ、単位円に外接する正6角形を考える。周長は 12/√3 = 2*(6/√3), 次に、頂点を追加して、正12角形、正24角形･･･と続けてゆくと、円周に限りなく接近する。 このとき、周長も円周長に限りなく接近すると考えよう。（高木：「解析概論」岩波,1961) 周長は単調減少するから、π < 6/√3 = 3.4641016151377545870548926830117･･･ 703 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/11(月) 21:30:54 ] Gregory-Leibniz series 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 21:40:14 ] >>700-701 あれ？わかると思ったけどなぁ・・・ 別のスレに書いたほうが良かった？ 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 21:43:04 ] >>664 上 ニュートン法（１） 左辺を F(X) とおき、 　X~ = X - F(X)/F '(X), で近似する。実数解をAとすると、 　F(X) = (X-A){5X^2 + (4+5A)X - (8/A)}, 　F '(X) = 15X^2 +8X -6, よって 　X~-A = (X-A)^2 {10X+(4+5A)}/F '(X) ≒ (X-A)^2 (15A+4)/F '(A), しかしこれでは2次の収束である。 >>699 　(3-√5)√(5+2√5) = (1/2)(√5 -1)^2 √(5+2√5) = √(10-2√5), 　A=10, B=-2, 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 22:02:38 ] 正解だ・・・すごいな数学板 類似問題 √(25+10√5)-√(5+2√5)を√(A+B√5)の形にせよ。ただし、AとBは整数とする。 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 22:03:17 ] >>664 上 ニュートン法（2） (左辺)/(X^b) を F(X) とおく。　　　← bを調節して3次の収束をねらう。 　X~ = X - F(X)/F '(X), で近似する。実数解をAとすると、 　F(X) = (X-A){5X^2 + (4+5A)X - (8/A)}/(X^b), 　F '(X) = {5(3-b)X^2 +4(2-b)X -6(1-b) +8(0-b)/X}/(X^b), よって 　X~-A = (X-A)^2 G(X) /{F '(X) X^b} ≒ (X-A)^2 G(X)/{F '(A) A^b}, 　G(X) = 5(2-b)X + (1-b)(4+5A) + 8b/(AX) = G(A) + (X-A){5(2-b) - 8b/(A^2･X)}, 　G(A) = 5(2-b)A + (1-b)(4+5A) + 8b/(A^2) = (15A+4) -{15A+8-(6/A)}b, 3次の収束にするために G(A)=0 とおく。 　b = (15A+4) / {15A+8-(6/A)} = 1.4197247127898603091442006171466･･･ 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 22:04:56 ] >>706　ここセンター入試作問スレじゃないんだが。 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 22:16:39 ] >>708 そんな簡単？俺ぜんぜんわかんねぇけどｗ 710 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/11(月) 22:21:14 ] アメリカの医学都市伝説 - なぜか数学者にはワイン好きが多い 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 22:30:50 ] >>708 >>708 >>708 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 22:32:46 ] 3√(5+2√5)-√(25+10√5) = (3/√5)*√(25+10√5) - √(25+10√5) = (3/√5 - 1 )*(√(25+10√5) 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 22:36:55 ] = √((5+2√5)(3-√5)^2) = √(10-2√5) 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 00:19:41 ] nを6以上の整数とする．数字1，2，…，nが書かれたカードが1枚ずつ，合計n枚ある．このn枚の カードから同時に2枚のカードを引き，そのカードに書かれている数字をa，bとする．この2枚の カードを戻し，また同様に2枚のカードを同時に引き，そのカードに書かれている数字をc，dとす る．座標平面上の4本の直線 x=a，x=b，y=c，y=d で囲まれた四角形の面積をSとする．このとき， (1)S=pq となる確率を求めよ．(p，qは相異なる素数，１≦p，q≦n-1) (2)Sの期待値を求めよ． 715 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 01:51:32 ] y=2x^2に接する直線bがある。 接点のx座標が2のとき直線bの式を求めよ。 簡単だったらｽﾏｿ 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 02:48:23 ] >>704 > あれ？わかると思ったけどなぁ・・・ > 別のスレに書いたほうが良かった？ 夏虫が湧いているのか？ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>704 717 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 05:55:19 ] >>715 いや、だからセンター入試作問スレじゃないってば 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 06:49:11 ] >>715 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208196395/ へどうぞ 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 09:40:17 ] (1) x+y+z > 0 , y < 0 , のとき Ｓ（x ,y ,z ) > Ｓ（x+y ,-y , z+y) が常に成り立つような 関数Ｓ（x ,y ,z)　の例をひとつ作れ。 (2) x+y+z+w > 0 , y < 0 , のとき Ｓ（x ,y ,z ,w) > Ｓ（x+y ,-y , z+y , w) が常に成り立つような 関数Ｓ（x ,y ,z ,w)　の例をひとつ作れ。 720 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 09:49:15 ] >>719 (1)S(x,y,z)=x-y+z (2)S(x,y,z,w)=x-y+z+w 721 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 09:58:27 ] 定義域が実数全体で実数値を取る関数f(x)があって ad=bcを満たす任意の実数a,b,c,dについて f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f(a-d)+f(b+c)が成立している。 f(1)=1のときf(x)としてあり得るものをすべて求めよ。 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 10:13:09 ] >>719 >>720 すいません Ｓ（x ,y ,z ) > Ｓ（x+y ,-y , z+y) > 0 Ｓ（x ,y ,z ,w) > Ｓ（x+y ,-y , z+y , w) > 0 に訂正します。 723 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 10:25:26 ] a_n=Σ[1,n]k^2とおく。自然数mに対してm^3≦a_n≦(m+1)^3が成り立つようなa_nの個数をc_mとする。このとき、次のことを証明せよ。 (1)すべての自然数mに対して、c_m≧1である。 (2)すべての自然数mに対して、c_m≦2である。 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 10:27:03 ] >>723 大数の雲の記事に載ってた 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 10:34:46 ] >>724 そうなの？いつぐらい？ これ実はサロンができる前の受験板で、今のサロンにある頂決スレみたいな作問スレで拾った問題で誰も解けてない問題だったんだよ。 知ってる人は少ないかもしれないけど、受験板では一時有名だった長助とかいう人もいたスレ。 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 10:46:43 ] 大数に載るほど有名問題なのかとググッたら青空にあった。ｔｈｘ 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 12:09:00 ] 整数a，bに関して，二次方程式 x^2-(a+4)x+2a+3b-30=0 は2解α，β(α＜β) を持つ。α，βを小数点以下四捨五入するとそれぞれ4，7になる。このとき， a，b，α，βを求めよ． 728 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 12:47:42 ] 双曲線　�]＾２／ａ＾２−Ｙ＾２／ｂ＾２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上の 任意の点Ｐから漸近線に平行にひいた２直線と漸近線とで作られる 平行四辺形の面積は一定であることを証明せよ。 729 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 12:51:41 ] 甲は３個の碁石を、乙は２個の碁石を持っている。 ジャンケンで勝ったものは、負けたものから１個の 碁石をもらうことにする。甲または乙の手元に碁石 がなくなるまで続けるとして、甲が５個の碁石を 獲得する確率を求めよ。 ただし、じゃんけんの力は互角とする。 730 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 12:53:39 ] >>728 >>729 まーた糞問連発ですか 731 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 12:56:17 ] ２ｎ個の整数がある。それらをｎ個ずつの二組に 分けるとき、どうわけても各組の数の和の間の差は ｎよりも小さいものとする。 これら、２ｎ個の数の中に相等しいものが少なくとも （ｎ＋１）個存在することを証明せよ。 732 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 12:59:10 ] 任意の自然数は、数列１、３、３＾２、・・・・・、３＾ｎ、・・・ のいくつかの項に正または負の符号をつけたものの和として表されることを 証明せよ。 733 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 13:00:06 ] >>730 糞問の定義を教えてください。 また、「エレガントな問題」の定義を 教えてください。 734 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 13:02:29 ] なんだまたZEUSか 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 13:10:03 ] >>733 730じゃないけど俺は728や729みたいにどこかの問題集にあるようなやつはツマラン てか728と729は読んだ瞬間に解き方が思いつく 736 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 13:15:06 ] >>732もn進数表示の一意性の有名問題すぎてつまらん >>731はどこかの問題集に乗ってそう 東大っぽさが無い 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 13:19:13 ] >>721 >>723 >>727 あたりは見るからに自分であれこれ工夫する必要があるから面白そう 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 13:26:04 ] >>727は見た途端に解き方が分かる問題だと思うけど。 739 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 13:32:23 ] とりあえず解いてみよ 740 名前：Zeus [2008/08/12(火) 14:18:52 ] 右回りにＡ１，Ａ２，．．．．Ａ６という頂点を持つ六角形がある。 また、どの辺も１より大きくない。このとき、最大の長さの対角線は 少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。（新作問題） 741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 14:25:30 ] >>740 問題文にセンスが感じられない 君はまず国語を勉強すればいいと思う 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 14:33:19 ] ZEUSは 日本語もできない英語もできない数学もできない。 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 14:58:13 ] 厚さの薄い６角形の対角線は２超えるだろ 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 16:14:51 ] ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 18:05:23 ] Ａ1とか決める必要ねぇー 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 19:40:15 ] 1112345678999 の和了牌を求めよ 747 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 21:09:54 ] なぜ必死なの？ 748 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 21:14:04 ] ゼウスとバッカス・・・酒が強いのはどっち？ 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 23:08:09 ] >>715 宿題は質問スレに行け、糞があ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>715 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 23:09:26 ] >>733 巣に帰れ！ ビチクソが！ 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 23:11:22 ] > ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 > ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 > ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 > ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 > ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。 いつから、日本語に不自由なカスが出題するようになったんだ？ 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 23:15:16 ] >>732 (1)　その数に 3^0 + 3^1 + … + 3^N をたす。（Nはじゅうぶん大きい。） (2)　それを３進数表示する。各桁は0〜2. (3)　それから (1,1,･･･,1) を引く。各桁は -1 〜 +1. 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 23:21:18 ] ('A`) 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 00:07:00 ] 自然数Nは次の二つの条件を満たす。 　・Nはちょうど2つの素因数p, q ( p < q )をもつ。すなわち、N = (p^m)×(q^n) と表される。 　・Nの正の約数の総和は 2N である。 このとき、p=2 であることを示せ。 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 03:12:23 ] >>754 p≧3とするとq≧5で、 (Nの約数の総和)/N＝{p^(m+1)-1}{q^(n+1)-1}/(p-1)(q-1)p^m･q^n ＜pq/(p-1)(q-1)=1/(1-1/p)(1-1/q) ≦1/(1-1/3)(1-1/5)=15/8 ＜2 よりNの約数の総和は2Nにならない、で背理法。 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 14:32:01 ] あざやか 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 15:04:16 ] 自由形ってなんでもいいの？ だったら、クロールより速い泳法の開発の余地はないのかな。 背面飛びみたいに画期的なのは出てこないのか．．． 一番魚に近いのはバタフライだと思うが、記録的にはクロール。 なんかしっくりこない。 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 15:15:14 ] どこの誤爆だ 759 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 17:24:18 ] 北大の過去問ですがこんなのはどうでしょうか sinx=e^(x/n)-1を満たす0以上の実数xの個数をP(n)とする（nは自然数） lim[n→+∞]P(n)/nを求めよ 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 17:26:06 ] 括弧忘れた　少し訂正 sinx={e^(x/n)}-1を満たす0以上の実数xの個数をP(n)とする（nは自然数） lim[n→+∞]P(n)/nを求めよ 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 18:05:26 ] ハサミウチで終了のツマラン問題です 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 18:08:29 ] ln(2)/π 763 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 18:18:18 ] つまらなすぎワロタ 764 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 18:42:38 ] 未解決問題 714 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/08/12(火) 00:19:41 nを6以上の整数とする．数字1，2，…，nが書かれたカードが1枚ずつ，合計n枚ある．このn枚の カードから同時に2枚のカードを引き，そのカードに書かれている数字をa，bとする．この2枚の カードを戻し，また同様に2枚のカードを同時に引き，そのカードに書かれている数字をc，dとす る．座標平面上の4本の直線 x=a，x=b，y=c，y=d で囲まれた四角形の面積をSとする．このとき， (1)S=pq となる確率を求めよ．(p，qは相異なる素数，１≦p，q≦n-1) (2)Sの期待値を求めよ． 721 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/08/12(火) 09:58:27 定義域が実数全体で実数値を取る関数f(x)があって ad=bcを満たす任意の実数a,b,c,dについて f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f(a-d)+f(b+c)が成立している。 f(1)=1のときf(x)としてあり得るものをすべて求めよ。 727 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/08/12(火) 12:09:00 整数a，bに関して，二次方程式 x^2-(a+4)x+2a+3b-30=0 は2解α，β(α＜β) を持つ。α，βを小数点以下四捨五入するとそれぞれ4，7になる。このとき， a，b，α，βを求めよ． 765 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 19:22:27 ] 1x2x1のレゴが１０００個あります。 これをぜんぶつかって作れる異なる形は全部でいくつ？ 766 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 19:29:32 ] ペンロースタイルを４次元に拡張しなさい　15点 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 21:53:41 ] >>764 面白みのかけらもないから解いてもらえないんだろ >714 (1)pq≧nか否かで場合わけ (2)中学受験レベルの問題をnとかx,yとかで表現しただけ。{(n+1)/3}^2 >721 2002年のIMOの5番とほぼ同じ >727 左辺をf(x)とすればf(7/2)≧0,f(9/2)＜0,f(13/2)≦0,f(15/2)＞0になってあとは計算 で、a=7,b=15 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 22:12:09 ] >>767 そんな親切にしてやらなくても放置でいい(ry 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 22:58:21 ] 正の実数aおよび自然数nに関して、f(x)=a(nx-x^n+1)とおく (1) a*n<1のとき、0≦x≦1ならば0≦f(x)≦1を示せ (2) 0≦x,y≦1の任意の実数x,yに対して常に |f(x)-f(y)|≦c|x-y| が成り立つような１より小さい正の実数ｃが存在することを示せ (3) a=1/4、n=3のとき、方程式f(x)=x(0<x<1)の解の値を小数第4位まで求めよ 平均値の定理は高校生でもやると信じて出題 この問題に興味をもった人がいたらぜひ常微分方程式の解の一意存在定理を勉強してみてくれ 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 03:16:50 ] >>769 　f(x) = a*{n*x - (x^n) +1}　? 　f(x) = a*{n*x - x^(n+1)}　? 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 03:25:19 ] >>769 > この問題に興味をもった人がいたらぜひ常微分方程式の解の一意存在定理を勉強してみてくれ 勉強してみても >>769 のおっさんが期待してるものは 中々で出てこない悪寒。 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 03:29:56 ] >>770 f(x) = a*{n*x - (x^n) +1} （１）と（２）はお前らなら瞬殺のレベル 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 03:51:14 ] 問1 x>0,αは実数である。このとき、 x^αの定義を述べよ 問2　0<α,x≦1, x^α＞α^xなる領域を,x-α平面の(0.1]×(0.1]上に記せ。 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 04:29:11 ] また勘違い君 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 15:29:11 ] pを2より大きい素数、a、b、c、d、rをそれぞれpで割り切れない整数とし、次式を満たしている。 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2 このときa+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+dの少なくとも2つがpで割り切れることを示せ。 ただし{x}は実数xの小数部分をあらわすものとする。 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 17:04:51 ] >>775 p=7,a=b=c=2,d=1,r=2 が反例になる気が 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 17:45:40 ] >>776 ですよね 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 00:27:43 ] >>769 (3) 　x^3 +x -1 =0 を解いて 　x = {[1+√(31/27)]/2}^(1/3) - {[-1+√(31/27)]/2}^(1/3) 　　≒ 0.6823278038 2801932736 9483739711 0･･･ 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 01:04:51 ] >>769 (3) ニュートン法を使うなら 　(x^3 +x-1)/(x^b) =f(x), 　b = 3/{3+(a + 1/a)} ≒ 0.5827620120 7378122237 8524483589 7･･･ が速いな。 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 01:22:24 ] >>779 n次多項式ならニュートン法使えるし問題ないだろうな 元ネタは不動点定理かな Ｓをバナッハ空間Ｘの中の空でない閉部分集合であるとする このとき写像 Ｆ：Ｓ→Ｓ が縮小写像であれば，Ｓの中にＦ(x)=xとなる点xがただ一つ存在する 東大入試問題も何かしら元ネタあるんだろうがわからん ９８年の難問とやらはグラフ理論だったっけか 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 18:30:52 ] zeusってやつ「東大・京大理学部生は有名中学の算数を解けるか？」ここにも問題出しててスルーされてるな 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 19:37:08 ] グラフ理論っぽいのは見りゃわかるが、 具体的にグラフ理論の何という定理が元ネタなの？ これまでそういうこと書いたもの全く見たことないから、 単にグラフ理論の素養が無いもの同士が 「何となくグラフ理論っぽいよね」と言い合っているだけに思える。 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 20:41:41 ] 大数にグラフ理論・オートマンって書いてた気がする。実家にあるから今わからんが、明日帰省するので確認してみる。 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 21:16:46 ] >>740は おそらく意図していた問題文は 「六角形ABCDEFはどの辺の長さも1以下である。 このとき線分AD,BE,CFの少なくとも一つは長さが2以下であることを証明せよ」 だったと思われ。 で解答は背理法でAD,BE,CFが全て2より大とする。 まず「三角形PQRが∠P≧60ﾟのとき2QR≧PQ+PRとなる」ことを示す。 これは4QR^2≧4PQ^2-4PQ*PR+4PR^2=(PQ+PR)^2+3(PQ-PR)^2≧(PQ+PR)^2 から証明できる。 本問では直線AD,BE,CFからうまく二つ選べば、なす角(鋭角)が60ﾟ以上になるので これをADとBEとすれば先ほど示したことから 2AB+2DE≧AD+BEとなる。 背理法の条件からAD+BE＞4となりAB+DE＞2となるが これは辺の長さが1以下であることに矛盾。 以上から少なくとも一つは2以下になる。 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 21:32:23 ] >>783 オートマトンだろ常識的に考えて。 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 21:39:02 ] 定理っていうか研究テーマが元ネタなんじゃない ちょっと見た感じライフゲームに近いと感じた↓ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%87%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9C%92%E9%85%8D%E7%BD%AE >>783 楽しみにしてる 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 03:00:42 ] >>655を誰かおながいします 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 05:30:32 ] >>655 一階微分可能でいいなら f(x) = x/(1+x)　　(x≧0) 　　 = x/(1-x)　　(x＜0) 789 名前：Zeus [2008/08/16(土) 13:23:15 ] a,nを正の整数とするとき、次の式を満たす正の整数ｂが 存在することを示せ。 （√a−√a-1)＾ｎ＝√ｂ−√ｂ−１ 790 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 13:35:08 ] １ 791 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 14:06:19 ] Rank Name Assoc. 1 (<<) 12930.00 ZHANG Yining CHN 2 (<<) 12790.25 GUO Yue CHN 3 (<<) 12787.25 LI Xiaoxia CHN 4 (<<) 12677.00 GUO Yan CHN 5 (<<) 12655.25 WANG Nan CHN 6 (<<) 12526.00 LI Jia Wei SIN 7 (<<) 12416.25 WANG Yue Gu SIN 8 (<<) 12339.75 JIANG Huajun HKG 9 (<<) 12277.00 FENG Tianwei SIN 10 (<<) 12234.25 TIE Yana HKG 11 (<<) 12223.25 KIM Kyung Ah KOR 12 (<<) 12140.00 FUKUHARA Ai JPN 792 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 14:21:32 ] 正式に、新しいメルセンヌ素数候補の真偽を検証中であることを表明。 　　検証は今週末に完了予定。10万ドルの賞金のかかった1000万桁は超えられず。 793 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 14:24:37 ] 2^p-1（pは素数）の値が素数のものを、先程も述べましたようにメルセンヌ素数と言います。 　Lucas-Lehmerテストは、最初必ず4から始まって、その次からは、4^2-2=14 → 14^2-2=194 → 194^2-2==37634．．．．と、この計算をp-1回やるそうです。 ****(2) 　そして、その(2)の値をメルセンヌ素数で割ってみて割り切れたなら、それは素数と判明するのだそうです。 794 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 14:31:48 ] 電子フロンティア財団(EFF)が、素数の発見に賞金をかけています。 　　　1000万桁の素数で10万ドル 　　　1億桁の素数で15万ドル 　　　10億桁の素数で25万ドル 　　参考記事：分散コンピューティングで素数探しコンテスト (WIRED 1999-03-31) 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 15:44:49 ] 大数見てみたら D # グラフ、オートマトン、不変量 って書いてある。 問題文だけで１ページ使い、解答も１ページ。 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 15:51:37 ] いや大数の編集者のカテゴリ分けとかどうでも良いから。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 15:55:19 ] >>780の元ネタがなんなのかについて答えたつもりであるが、結局何が知りたいのよ。 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 15:58:35 ] >>782だった 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 16:08:51 ] 普通に考えてグラフ理論を全く知らない>>782が みりゃわかるとか意味不明にもほどがあるだろ…常識的に考えて… このスレに常駐してんのはほとんど高校生だろ 元ネタ云々はどうでもいいんじゃね？ 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 16:10:44 ] ↑付け忘れ グラフ理論の何という定理だったのか、についての詳細はない。 派生してできた問題だろうというのは有名な雲先生から教わったことがある。 ネタは忘れた。因みに98年の大数6,7,8月号ぐらいの特集には雲先生の長編の解答があったと思う。 それに何か書いてたかは忘れた。国会図書館で閲覧はできると思う。 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 16:11:24 ] 800は>>797ね 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 17:13:07 ] >>799 いや俺もそんなに知らないが>>795も>>799もグラフ理論知らないだろ。 見りゃ分かるってのは「っぽい」ことだけだよ。 98年後期三番とその解答見りゃ離散数学「っぽい」話だな、というのは分かる。 >>782は、「っぽい」だけで、元ネタとなった特定の具体的な理論とか定理とか 或いは「その筋の専門家には良く使われる類の議論として認識されているようなもの」でも良いが いずれにせよそういう詳細ははっきりしないよね、って意味で書いたつもりなんだが。 >>800は理解してくれてるみたいだけど。 元ネタは誰々の不動点定理だなってレベルの話と元ネタは解析だなってレベルの話とでは全然違うでしょ。 （どっちが良い悪いという意味でレベルという言葉を使っているのではないので念のため。） 元ネタはユークリッドの互助法だな、ってのと元ネタは整数論だな、ってのじゃ全然違う。 >>577の元ネタは「QはPIDである」って定理だな、ってのと>>571は整数論の問題だな、くらい違う。 元ネタはグラフ、オートマトン、不変量だなってのは 「元ネタは解析だな」レベルの話だと思うんだが。 オートマトンの専門家とグラフ理論の専門家って 多少理論に被る部分はあるだろうけど違うしね。 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 17:35:33 ] 不動点定理もかぶっているんですけど… そんなにどころか全く数学を知らないの間違いではないのかな 数学は残念ながら君の言う「っぽい」で判断はできないもんだよ 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 18:06:35 ] ＞不動点定理もかぶっているんですけど… 被っているってのは98年後期3番に？だから何？ >>777の問題（というか>>780のレス）が念頭にあっただけなんだが。 不動点定理なんて数学のあらゆる分野で出てくるけど 基礎論とかで出てくる不動点定理と解析で出てくる不動点定理じゃ あまり共通点無いと思うんだけど。対角線論法くらいは共通する場合もあるが。 ＞数学は残念ながら君の言う「っぽい」で判断はできないもんだよ だれも「っぽい」って印象だけで実際にグラフ理論が元ネタだと判断出来る、 とか言いたいわけじゃない。寧ろ真逆で、「っぽい」だけじゃ 分野外の人が個人的な印象の話をしてるだけだから意味がない、 だから具体的にどの定理が元ネタなのか分からないと意味がないって意図で書いたんだがな。 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 18:11:59 ] >>782の下の段ちゃんと読んでね。 「グラフ理論っぽい」という個人的印象による判断に 肯定的な評価はしていないと分かると思うから。 806 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 19:07:46 ] どうでもいいことで論争してんじゃねぇよ暇人ども 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 21:13:26 ] 面白いからこの論争続けようぜ >>782はなんでグラフ理論っぽいって見てわかったんだぜ？ おれは全然わからなかったよ 808 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 22:49:35 ] ｎ畳間に畳を敷き詰める方法は何通りあるか（ｎ×２ｍの長方形の部屋にｎ×ｍ枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか） 日本語がおかしい問題 809 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 22:59:41 ] 1. Which m x n boards can be tiled by the straight tetromino? For example, can a 10 x 10 board be tiled with 25 of those tetrominoes? 810 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 23:00:35 ] en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling 811 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 23:04:45 ] en.wikipedia.org/wiki/Pfaffian 812 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 23:21:05 ] access.ncsa.uiuc.edu/Stories/nuggets/pfaffian.html 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 23:22:00 ] >>807=>>782 814 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 23:30:34 ] >>630はどうやるの? 815 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:06:46 ] x^2+y^2=0 mod xy+1 (x^2+y^2)=a(xy+1) (x^2+y^2)=a mod x y^2=a mod x y=nx+c y^2=c^2=a mod x (x^2+y^2)/(xy+1)=a=c^2 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 00:12:57 ] >>814 xy+1|x^2+y^2を満たす正整数x,yは存在しないから、命題は真 817 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:15:45 ] xy+1|x^2+y^2 2|2 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 00:20:38 ] >>816 x=2, y=8 819 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:27:51 ] y=nx+c xy+1=nx^2+cx+c x^2+y^2=(n^2+1)x^2+2cx+c^2=anx^2+acx+ac a=c 2c=c^2 cn=n^2+1 820 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:35:49 ] y=nx+c xy+1=nx^2+cx+1 x^2+y^2=(n^2+1)x^2+2cx+c^2=anx^2+acx+a a=c^2 2c=c^3 c^2n=n^2+1 821 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:39:50 ] c^2=2=a n^2-2n+1=0 n=1 y=x+2^.5 x^2+y^2=2x^2+2*2^.5x+2=2(x^2+2^.5x+1) xy+1=x^2+2^.5x+1 822 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 03:55:26 ] a,nを正の整数とするとき、次の式を満たす正の整数ｂが 存在することを示せ。 （√a−√a-1)＾ｎ＝√ｂ−√ｂ−１ 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 09:45:48 ] >>630 補題1) xy+1 | x^2+y^2 ⇔ xy+1 | x^4+1 ∵) gcd(x, xy+1) = 1 だから xy+1 | x^2+y^2 ⇔ xy+1 | x^2(x^2+y^2) x^2(x^2+y^2) = x^4+1+(xy+1)(xy-1) だから、上は xy+1 | x^4+1 と同値 以下 x≦y とする 補題2) xy+1 | x^2+y^2 なら y=x^3 ∵) 背理法による 上の前提を満たして、y≠x^3 となる組 (x,y) のうち x が最小のものを考える xy+1 | x^2+y^2 なので、補題1より xy+1 | x^4+1 従って、ある非負整数 z が存在して x^4+1 = (xy+1)(xz+1) z=0 のときは y=x^3 なので、z＞0 上から x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^4z+1 なので x＞z xz+1 | x^4+1 から、補題1により xz+1 | x^2+z^2 これは x の最小性に反するので、y≠x^3 となる (x,y) は存在しない 補題2より、xy+1 | x^2+y^2 なら　y=x^3 で、 (x^2+y^2)/(xy+1) = (x^2+x^6)/(x^4+1) = x^2■ 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 09:49:06 ] ×　x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^4z+1 なので ○　x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^3z+1 なので 825 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 10:01:36 ] a−√(a-1)=A A＾ｎ＝√x−√(x-1)と置く。 A^(2n)=2x-1-2√x√(x-1) 2√x√(x-1)=2x-1-A^(2n) 4x(x-1)=4x^2-4x+1-4xA^(2n)+2A^(2n)+A^(4n) 4xA^(2n)=A^(4n)+2A^(2n)+1 x={A^(2n)+A^(-2n)+2}/4={A^(n)+A^(-n)}^2/4 ｛A^(n)+A^(-n)}^2=[{√a−√(a-1)}＾ｎ+{√a+√(a-1)}＾ｎ]^2 が４の倍数である事を示せばよい。 まず、A^(n)+A^(-n)の形を考える。 ２項定理から、(a-1)の奇数乗の項は相殺される。 よって、(a-1)は必ず整数として現れる。 また、全体は係数が２でくくられる。 よって、 A^(n)+A^(-n)は2*√a*整数と言う形になる。 ２乗すれば４の倍数となる。 よって題意は示された。 826 名前：訂正 mailto:sage [2008/08/17(日) 10:04:54 ] A^(n)+A^(-n)は nが奇数の時2*√a*整数と言う形に nが偶数の時2*整数と言う形に なる。 827 名前：訂正2 mailto:sage [2008/08/17(日) 11:53:17 ] >>825、一行目 √a-√(a-1)=A 828 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/17(日) 12:44:21 ] >>825 すごいね。 ノーベル物理学賞受賞者を２人も 輩出した、アメリカの名門大学の 定期試験の問題だよ。 よく解けたものだ。 829 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/17(日) 13:01:38 ] 0≦ｔ≦Ｔの範囲で、加速度が減速しないまま、 直線上を微小な動きをする物体がある。 その物体の速度が、ｔ＝（１／２）Ｔの時点で、 平均速度を超えることができないことを示せ。 （ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した 　アメリカの名門大学の数学科の定期試験） 830 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/17(日) 13:12:19 ] cos36＝１／４＋（１／４）√５であることが分かっている。 （ｔａｎ＾２・１８）（ｔａｎ＾２・５４）が有理数であることを 示せ。 （注）こういう問題をたくさん解いていると、ノーベル賞に近づくかも。 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 14:58:19 ] >>830 やたら 「ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した大学」 って強調してるけどそれぐらいの大学は沢山あるよね？ 京大数学科だってフィールズ賞２人出してるわけだが。 それに大学の定期試験で日本の高校段階の問題を 出してるってことは、その大学の教育は日本より遅れてるということだ。 おそらくノーベル賞レベルの学生は定期試験なんて 全く相手にせず進んだ勉強をしているか 飛び級で他の学生よりずっと若いかのどちらかだと思うけど。 とりあえず、その定期試験のような問題を解いてれば ノーベル賞に近づけるかもという発想が全くもって理解できない。 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 15:07:50 ] >>831 キチガイを相手にしなくていいぞ 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 15:15:18 ] >>832 すまん、このスレ久しぶりに見たんだが、こいつ本当にキチガイなんだな。。 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 15:40:06 ] >>830 ラジアンって知ってる？ 835 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 16:14:06 ] ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した 　アメリカの名門大学の数学科の定期試験 MATH101ですか？ 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 16:19:06 ] 830 ：ＺＥＵＳ：2008/08/17(日) 13:12:19 cos36＝１／４＋（１／４）√５であることが分かっている。 （ｔａｎ＾２・１８）（ｔａｎ＾２・５４）が有理数であることを 示せ。 （注）こういう問題をたくさん解いていると、×ノーベル賞(○ フィールズ賞)に近づくかも。 数オリスレに間違って来たのか、と思うような発言 837 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 17:27:27 ] make a math problem 1 ：Zeus：2008/07/15(火) 15:56:24 make a math problem in english 2 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:02:28 >>1 What's one plus one? 3 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:03:28 >>1 Zeusとか名乗ってどんだけ中二病なの？ｗｗｗ 4 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:04:47 i assume about high school or college level math probrem 5 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:05:59 in english!!!! 6 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:06:44 >>4 What's the integral of x squared with respect to x over the interval [0,100]? 7 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:08:46 >>3 write in english only!!!(i angry!!! 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 17:32:51 ] あｗｗｗいｗｗｗｗｗｗｗｗｗあんｗｗｗｗｗぐｗｗｗりー 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 17:42:16 ] english板まで出張してるのか 自己顕示欲の塊だな 840 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 17:52:50 ] 9 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:18:36 it up the intelligence quotient that make a math problem in english and solve it. why? it is different that solve a japanese math problem from make a math problem. 10 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:19:57 i am american college student. i study math in college. 11 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:20:56 >>10 You're not American. 12 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:22:00 >>9 Write correct English! What did you learn about grammar at school? 13 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:23:07 >>12 Hey, someone else is watching this shitty thread! Talk to me. he is so damned sad lonely person. if you have a time, play with him a moment. 841 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 17:55:33 ] Wildeshaus, Jörg wildesh@zeus.math.univ-paris13.fr 842 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 17:57:30 ] 問題を作らせる問題を出題すべき 1 ：ゼウス[]：2008/03/22(土) 11:16:08 ID:vwopytyu0: www.tsukue-no-mae. net/exam/highschool/kagoshima/public/2003/math/2003-m.htm#2 4． 連立方程式の1 つの方程式がx＋y＝12となるような文章題を1題つくれ。また，その文章題を解いて ... www.heiwaboke.net/2ch/unkar02.php/school7.2ch.net/ojyuken/1206152168 - 18k - キャッシュ - 関連ページ 843 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:01:03 ] 23 ：ゼウス[]：2008/03/25(火) 10:10:21 ID:2Co3pBl60 diep.u-gakugei.ac.jp/output/001006012/main.htm はじめに 　生徒の多くは、問題を解くことそのものが数学であると考えていることが 多い。たしかに、授業を構成する際には、その授業の目標に迫るための問題が 教師によって用意され、その問題の解決を通して数学の学習が進められる。 したがって、数学＝問題の解決という図式は適切であるともいえる。 しかし、生徒の学習は問題のパターンによって分類したものの、 解き方を覚えるというものになりがちであるという弊害もある。 数学を暗記にすることで、目先の得点としては一時的に向上するかも しれないが、数 学を作るという立場からは十分な学力が身に着くとは考えられない。 he may be a preschool teacher or student of math education course, trying to find the answers for the math quiz he found on the net. 844 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:05:44 ] The lost labor of Hercules The amphora of Zeus had an unusual shape: its cross section at each position x larger than 1 was a circle of radius 1/x (see the figure). The task of Hercules was to paint a liquid glaze on the inner surface of the amphora in preparation for firing it in a kiln. Exercise That an object can have an infinite surface area but a finite volume seems a paradox. A common explanation of the paradox is that comparing area to volume is like comparing apples to oranges: area is measured in square meters, but volume is measured in cubic meters, so why should there be any correlation between the two? Students generally find this explanation unsatisfying. Can you find a better one? Write an explanation, suitable for a calculus student, of what is wrong with the solution of Hercules. The Math 696 course pages were last modified April 5, 2005. These pages are copyright © 1995-2005 by Harold P. Boas. All rights reserved. 845 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:09:45 ] 別に面積発散でも薄さ０でぬればいいじゃないか・・・ 846 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:22:12 ] zeusはもっと格調高いＭＡＴＨ４００番台の問題を吊るせ・・・ 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 18:29:07 ] 　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿ 　　　　　　　　／　　　　　　　　＼ 　　　　　　／　／・＼　　／・＼　＼ 　　　　　 |　　　￣￣　　　￣￣　　 | 　　　　　 |　　　　（＿人＿）　　　　 | 　　　　　 |　　　　　＼　　　|　　　　 | 　　　　　　＼　　　　　＼＿|　　　 ／ 　　─┐||┌─┐　l　─　 ‐┼‐ 　 ‐┼‐ヽ　l　 ノ　│　.|　 |　　　‐┼‐　‐┼‐ 　　　　　　　 日　 フ　口　　メ　　　__|__　　フ　|┬　　　|　 |　　　‐┼‐　　d 　 （＿_　　　.六　 ↑ .田　 （___　　（丿　）　↑.ﾉ│　　ノ　 ヽ__ノ （丿＼　ノ 848 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:41:20 ] だいたいアメリカの大学の学生が日本語読めるか？それでなんで２chで英語の数学問題をきくの？ この背景を分析してくれ・・・クロエ！ 849 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:43:33 ] ワカッタワ、ジャック かれは、きっとフランス語ができないのよ それで、英語もあやしいいので、AMSのサイトにカキコできないのよ。 でも、きっと大統領をねらっているのだわ！ アリガトウ、クロエ そのまま分析を続けてくれ・・・ 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 20:03:03 ] >>836 　cos(36ﾟ) =c とおくと、 　tan(18ﾟ)^2 = sin(18ﾟ)^2 / cos(18ﾟ)^2 = (1-c)/(1+c), 　tan(54ﾟ)^2 = 1/tan(36ﾟ)^2 = cos(36ﾟ)^2 / sin(36ﾟ) = (c^2)/(1-c^2), 辺々掛けて 　(与式) = {c/(1+c)}^2 ところで、題意により 　c/(1+c) = 1/√5, 　(与式) = 1/5. 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 05:52:58 ] >>850の途中の式なんだが、 cos(36ﾟ)^2 / sin(36ﾟ)　じゃなくて　cos(36ﾟ)^2 / sin(36ﾟ)^2　じゃないか？ 852 名前：→ mailto:sage [2008/08/18(月) 06:46:15 ] f[1](x)=x f[n+1](x)=f[n](x){f[n](x)+1/n}　(n≧1) とするとき、ある実数yが存在して任意の自然数nについて 1-1/n<f[n](y)<1 となることを示せ 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 06:57:01 ] yはnに依存しないのか？ 854 名前：→ mailto:sage [2008/08/18(月) 07:57:18 ] 依存しません 855 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/18(月) 09:01:27 ] 0≦ｔ≦Ｔの範囲で、加速度が減速しないまま、 直線上を微小な動きをする物体がある。 その物体の速度が、ｔ＝（１／２）Ｔの時点で、 平均速度を超えることができないことを示せ。 （ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した 　アメリカの名門大学の数学科の定期試験） 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 11:54:55 ] >>855 その問題が簡単なことにも気づけないの？ 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 14:29:44 ] 東大でe^π>21を示せって問題あったけどこれの評価を厳しくしてe^π>23を示すことはできるかな？ 使っていいのはe>2.71,π>3.14ね 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 14:34:37 ] 23>2.71^3.14だから無理ぽっい 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 15:14:48 ] 857ではないが関数電卓あるいはgogleでe^(pi) とうつとe^(pi) = 23.1406926 区分でうまく面積評価すればできるのかこれ？ 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 15:29:53 ] e>2.718を使えばe^π>23が示せるな 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 16:43:37 ] こういう単純な数値評価って 「計算は面倒だがこの方法で原理的にはいくらでも近似できる」 というような方法が生徒に理解されていたら、 必ずしも面倒な計算させなくても良いと思う。 式と式同士の評価だとそうはいかんし、計算量的な事を考えさせるような 良問ならそうでもないんだけど。（ただ受験生には荷が重いだろう） 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 17:51:46 ] 東大のは単なる1次近似で評価できる。 過去にも類題があった。 863 名前：→ mailto:sage [2008/08/19(火) 01:14:32 ] すべての自然数nで a[n]>0 �納k=1,n]a[k]≧√n となるとき �納k=1,n](a[k])^2≧{log(n+1)}/4 であること示せ 864 名前：→ mailto:sage [2008/08/19(火) 06:32:28 ] pを5以上の素数とするとき (2pCp-2)/2p^3 は自然数であることを示せ 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 06:48:33 ] >>852 ,854 　IMO-1985 @ Helsinki, Problem 6 866 名前：→ mailto:sage [2008/08/19(火) 13:43:39 ] A,Bを2次正方行列とするとき |A+B|+|A-B|=2|A|+2|B| が成り立つことを示せ ただしX=(x　y) 　　　　(z　w) のとき|X|=xw-yzとする 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 15:13:47 ] また勘違いゴミがカス問題貼り付けてますね。（苦笑） 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 19:11:30 ] ＺＥＵＳしねよマジで 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 21:12:31 ] >>866 　A = { a_i,j }, 　B = { b_i,j }, とおくと 　|A+B| = (a_11+b_11)(a_22+b_22) - (a_12+b_12)(a_21+b_21), 　|A-B| = (a_11-b_11)(a_22-b_22) - (a_12-b_12)(a_21-b_21), ∴ |A+B| + |A-B| = 2a_11*a_22 + 2b_11*b_22 - 2a_12*a_21 - 2b_12*b_21 　　　= 2(a_11*a_22 - a_12*a_21) + 2(b_11*b_22 - b_12*b_21) 　　　= 2|A| + 2|B|. 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 23:40:00 ] >>823 x=8. y=30. >>864 (2pCp-2)/2p^3=0. 871 名前：→ mailto:sage [2008/08/20(水) 02:47:03 ] (1)f(x)=x^2とする。 0.f(1)f(2)f(3)…=0.1491625… が無理数であることを示せ 　 (2)f(x)=x^n　(nは自然数)とする。 0.f(1)f(2)f(3)… が無理数であることを示せ 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 03:09:50 ] >>870 これは盲点だった >>823 の補題2 以下を訂正 xy+1 | x^2+y^2 であって、(x^2+y^2)/(xy+1) が平方数とならない (x,y) が存在したとして、そのうち x が最小のものを考える xy+1 | x^2+y^2 なので、補題1より xy+1 | x^4+1 従って、ある非負整数 z が存在して x^4+1 = (xy+1)(xz+1)　　…(*) z=0 のときは y=x^3、(x^2+y^2)/(xy+1) = x^2 で、これは平方数なので、z＞0 (*) から x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^3z+1 なので x＞z (x^2+z^2)/(xz+1) - (x^2+y^2)/(xy+1) = (y-z){x^4+1 - (xy+1)(xz+1)}/{x(xy+1)(xz+1)} なので、(*) より (x^2+z^2)/(xz+1) = (x^2+y^2)/(xy+1) (x^2+y^2)/(xy+1) は平方数ではないので、(x^2+z^2)/(xz+1) も平方数ではない これは x の最小性に反する つまり、xy+1 | x^2+y^2 であって、(x^+y^2)/(xy+1) が平方数とならない (x,y) は存在しない■ 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 03:23:59 ] >>870 (10C5-2)/(2*5^3)=1 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 07:41:32 ] ******** N = (x^2 + y^2)/(1+xy) is a Square www.mathpages.com/home/kmath334.htm 875 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 21:25:15 ] 今年の東大の問題で x=cos2t y=tsint 0≦t≦2π で囲まれる図形の面積求めるやつって うまく処理できますか？ 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 21:29:31 ] グラフの左をつなげるとクレープみたいだ 877 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 22:08:49 ] x=cos2t y=tsint 0≦t≦2π x=rcos2t y=rtsint dx=cos2tdr-rsin2tdt dy=tsintdr+(rsint+rtcost)dt dxdy=(cos2t(rsint+rtcost)+rtsintsin2t)drdt 878 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 22:12:45 ] SSdxdy=SSAdrdt=.5S(cos2t(sint+tcost)+tsintsin2t)dt あとはオイラー 879 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 22:57:02 ] O(0,0)A(2,0)B(0,1)とし、辺ABを1:nに内分する点をPnとする。 ∠AOPn＝θn,APn＝ln とする。 lim[n→∞]ln/θnを求めよ。 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:07:21 ] >>879 P_n=(2/(n+1),n/(n+1))より tanθn=(ln/√5)/(n/n+1)=(n+1)ln/n√5 ln/tanθn=√5n/(n+1) tanθ/θ→1より、 lim[n→∞]ln/θn=√5 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:16:55 ] >>871 f(10^m)を考えれば明らか。 　10・・・0(mn桁) なる小数部分が無限遠方にいくらでも出現するから。 　小数部分は循環しない。つまり無理数。//// 882 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 23:20:50 ] 第 6 問 3 人で ‘ジャンケン’ をして勝者をきめることにする.たとえば,1 人が ‘紙’ を出し,他の 2 人が ‘石’ を 出せば,ただ 1 回でちょうど 1 人の勝者がきまることになる.3 人で ‘ジャンケン’ をして,負けた人は次 の回に参加しないことにして,ちょうど 1 人の勝者がきまるまで,‘ジャンケン’ をくり返すことにする. このとき,k 回目にはじめてちょうど 1 人の勝者がきまる確率を求めよ. 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:27:45 ] >>882 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:29:02 ] 三人のときに三人とも相子になる確率は (3!+3)/3^3=1/3 三人のときに二人で相子になる確率は 3*3/3^3=1/3 三人のときに一人の価値が決まるのは 1/3 二人のときは1/3で相子、2/3で勝ちが決まる。 今、0<j<n番目で三人から二人に落ちたとするとその時の確率は 　(1/3)^n*2 　一方最後まで三人だった場合は 　(1/3)^n ∴求める確率は(2n-1)(1/3)^n 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:05:08 ] >>882 第 6 問って何の問題？>>883の反応からして、ひょっとすると今年の東大実戦の問題か？ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:13:27 ] >>878 　S = (1/2)��(x･dy - y･dx) = (1/2)�怒x･(dy/dt) - y･(dx/dt)}dt でつね。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:18:46 ] >>885 超有名問題だが。 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:23:27 ] >>887 超有名な何の第６問？ 889 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 00:33:15 ] >>880不正解 答えは2/π 890 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 00:36:11 ] >>880 2/πは別の問題の答えだったm(_ _)m どちらにせよ答えは2√5で不正解 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:41:01 ] 円上に適当な三点をとり三角形をつくる。 その三角形の三角の二等分線と円の交点で新たな三角形をつくる。 この作業を繰り返すと三角形が正三角形に近づくことを示せ。 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:52:15 ] >>890　tanの所ミスったな。 　どちらにしろ駅弁レベルの問題だが。 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:54:18 ] >>891 正三角形に近づくことの定義は？ 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 01:02:44 ] >>888 71年の東大 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 01:03:06 ] 当たり前の定義でいいんじゃないの。 ３辺の極限が同じ値になる、とか、三つの内角の極限がみなπ/3になる、とかね。 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 04:11:18 ] 円周上に五点を順に取って五角形ABCDEを作る。 円周上に V, W, X, Y, Z を等間隔に取ったとき 　（五角形ABCDEの面積）＜（正五角形VWXYZの面積） となる（つまり五角形の面積は正五角形のときに最大になること） を以下のように示した。 　AB ≠ BC のとき、弧 AC の中点を B' に動かすと 　（五角形ABCDEの面積）＜（五角形AB'CDEの面積）だから 　五角形ABCDEの面積が最大となるとき、 AB = BC = CD = DE = EA となる。 　したがってこのとき五角形は正五角形となる。(q.e.d.) この証明のどこが間違っているか？ 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 04:12:28 ] 弧 AC の中点を B' に動かすと ↓ 弧 AC の中点を B' とすると 898 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 07:02:22 ] 第 5 問 〔新〕 z 軸を軸とする半径 1 の円柱の側面で,xy 平面より上(z 軸の正の方向)にあり,平面 x-√（3）y＋z＝ 1 より下(z 軸の負の方向)にある部分を D とする.D の面積を求めよ. 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 09:17:57 ] √(3y)なのか(√3)yなのかy^(1/3)なのかはっきりしてくれ 900 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 12:31:27 ] >>899 いや、平面っていってるしわかるだろ 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 12:51:53 ] >>900 いまのゆとりは平面の方程式習わないし、わからないのがいても仕方がないんじゃね？ 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 12:59:14 ] すまない普通に見落としてた 弁解の余地がないです 903 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 15:26:52 ] C:y=x^2とする。C上の点PとC上にない点Aを考える。 点PにおけるCの接線と2点A,Pを通る直線が垂直であるとき、線分APをAからCに下ろした垂線という。 点Aがy=x^2に異なる三本の垂線を下ろすことができる範囲に存在するとき、少なくとも2本の垂線の長さが等しくなるAの範囲を求めよ。 904 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 20:23:02 ] 第 5 問 〔新〕 z 軸を軸とする半径 1 の円柱の側面で,xy 平面より上(z 軸の正の方向)にあり,平面 x-(3^0.5)y＋z＝ 1 より下(z 軸の負の方向)にある部分を D とする.D の面積を求めよ. 905 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 20:44:21 ] 日本ードイツ　１ー２ 906 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 20:47:18 ] 日本ードイツ　０ー２ 907 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/22(金) 02:36:25 ] ここの人たちって大体何完レベルですか

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