- 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 09:45:48 ]
- >>630
補題1) xy+1 | x^2+y^2 ⇔ xy+1 | x^4+1
∵) gcd(x, xy+1) = 1 だから xy+1 | x^2+y^2 ⇔ xy+1 | x^2(x^2+y^2)
x^2(x^2+y^2) = x^4+1+(xy+1)(xy-1) だから、上は
xy+1 | x^4+1
と同値
以下 x≦y とする
補題2) xy+1 | x^2+y^2 なら y=x^3
∵) 背理法による
上の前提を満たして、y≠x^3 となる組 (x,y) のうち x が最小のものを考える
xy+1 | x^2+y^2 なので、補題1より xy+1 | x^4+1
従って、ある非負整数 z が存在して
x^4+1 = (xy+1)(xz+1)
z=0 のときは y=x^3 なので、z＞0
上から x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^4z+1 なので x＞z
xz+1 | x^4+1 から、補題1により xz+1 | x^2+z^2
これは x の最小性に反するので、y≠x^3 となる (x,y) は存在しない
補題2より、xy+1 | x^2+y^2 なら y=x^3 で、
(x^2+y^2)/(xy+1) = (x^2+x^6)/(x^4+1) = x^2■
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