- 672 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 14:42:54 ]
- >>651
x^2+y^2=3^2009をみたす有理数x,yが存在すると仮定する。
x=s/u，y=t/u（ただし,s,t,uは正の整数）とおける
s^2+t^2＝3^2009*u^2･･･※
uが奇数と仮定する
u=2v+1とおける。
※の右辺3^2009*u^2=(4-1)^2009(4v^2+4v+1)=(4の倍数)-1だから3^2009*u^2を4で割った余りは3
平方数を4で割った余りは0または1なので、※の左辺s^2+t^2を4で割ったあまりは0,1,2のいずれかとなり、
余りが3になることはありえない。
したがって、uは偶数
このとき※の右辺3^2009*u^2は4で割り切れる。
※の左辺s^2+t^2を4で割った余りが0になるのは、s,t共に偶数である場合に限られる。
したがって、s,t,u共に偶数であることがわかる。
s,t,uが2^k(kは任意の正整数)で割り切れることをいう。
s,t,uが2で割り切れることは上でいった。
s,t,uが2^kで割りきれると仮定する。
s/2^k，t/2^k，u/2^kが偶数であることが上と同様にしてわかるから、s,t,uは2^(k+1)で割り切れることがわかる。
したがって,s,t,uは2^(k+1)で割り切れることがわかる。
これは明らかに矛盾（0＜s,t,u＜2^kになってしまえば、s,t,uは2^kで割り切れることはありえない！）だから
※をみたす正整数s,t,uは存在しない。
以上より、題意は言えた。
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