- 552 名前：>>440 >>533 mailto:sage [2008/08/03(日) 21:27:15 ]
- >>530 で大体あってる
>>533 で指摘したとこは、正しくは
(1/a[n]^2) - (n/3) = (1/5)log(n) + O(1)
になるはず
α[n+1]-α[n] → β (n→∞) のとき
α[n]/n → β (n→∞)
を示すのは良く見る問題だから、これを定理と認めれば
> 1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞)
からすぐに
1/(n*a[n]^2) → 1/3 (n→∞)
不等式で挟もうとすると結構面倒で、自分の用意していたのは↓みたいなの
(途中まで >>530 のを借りる)
> 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3
まで正しいとして、
|x|≦1 のとき 1/(3-x^2) ≦ (1/3)+(1/6)x^2 が成立するので
(1/3) + (1/6)x^2 ＞ (1/sin^2(x)) - (1/x^2) ＞ 1/3
x = a[n], sin(x) = a[n+1] を代入して
(1/3) + (1/6)a[n]^2 ＞ (1/a[n+1]^2) - (1/a[n]^2) ＞ 1/3
見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とすると
1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*)
左の不等号から、n≧2 で
b[n] ＞ n - 1 + b[1] ＞ n - 1 … (**)
これを (*) の右の不等号式に入れると、n≧3 で
b[n] ＜ n - 2 + (1/2){1 + (1/2) + (1/3) + … + (1/(n-2))} + b[2]
＜ n + (1/2)log(n) + b[2]
これと (**) から、n≧3 で a[n] の評価は
(√3)/√{1 + (1/2)(log(n)/n) + (b[2]/n)} ＜ (√n)a[n] ＜ (√3)/√(1-(1/n))
挟み撃ちにより (√n)a[n] → √3 (n→∞)
|
 |
