- 825 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 10:01:36 ]
- a−√(a-1)=A
A＾ｎ＝√x−√(x-1)と置く。
A^(2n)=2x-1-2√x√(x-1)
2√x√(x-1)=2x-1-A^(2n)
4x(x-1)=4x^2-4x+1-4xA^(2n)+2A^(2n)+A^(4n)
4xA^(2n)=A^(4n)+2A^(2n)+1
x={A^(2n)+A^(-2n)+2}/4={A^(n)+A^(-n)}^2/4
｛A^(n)+A^(-n)}^2=[{√a−√(a-1)}＾ｎ+{√a+√(a-1)}＾ｎ]^2
が４の倍数である事を示せばよい。
まず、A^(n)+A^(-n)の形を考える。
２項定理から、(a-1)の奇数乗の項は相殺される。
よって、(a-1)は必ず整数として現れる。
また、全体は係数が２でくくられる。
よって、
A^(n)+A^(-n)は2*√a*整数と言う形になる。
２乗すれば４の倍数となる。
よって題意は示された。
