- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:24:54 ]
- >>593
今まで間違っているとかいいまくっていたけどよく読んでみたらこれほどの解答はなかった
あまりにも速く解いていたので嫉妬して適当な因縁つけてただけでした
お前の解答は完璧だと読んでみたらわかった
今まで間違ってるとかいって本当に申し訳ない…ごめんなさい…あってます…そろそろ寝ます
I={a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n | x_1,x_2,…,x_nは任意の整数}
Nを自然数全体の集合とする
I∩Nの最小元をd~とすると、任意のX∈I∩Nに対して
X=d~*q+r （q>0,0=<r<d~）…①
d~∈I∩Nだから
d~=a_1*x_1(0)+a_2*x_2(0)+…+a_n*x_n(0)…②
なるx_1(0),x_2(0),…,x_n(0)が存在する
X=a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_nとも表されるから①は
r=X-d~*q=a_1*(x_1-q*x_1(0))+…+a_n*(x_n-q*x_n(0))
ここでr>0とすれば、r∈I∩Nとなり、0<r<d~から、rがI∩Nの最小元より小さくなり矛盾
よってr=0,X=d~*q
つまり、d~∈I∩Nは任意のX∈I∩Nの最小の公約数である故に、
a_1,…,a_n∈I∩Nの最小の公約数である
そこでd~=dを示す
②において右辺はa_1,…a_nの任意の公約数ｃで割り切れるべきだから
d~はｃで割り切れる
故にc=<d~=<dで、cの最大値はdだから
d~=d∈I∩N
∴d=a_1*x_1(0)+…+a_n*x_n(0)
よってx_1=x_1(0),x_2=x_2(0),…,x_n=x_n(0)なる整数が存在する
a_1,…,a_n∈IだからI∩Nの最小元d~はa_1,…,a_nの公約数であるということを
普通にしてはならないのはそれを示すことがこの問題のキーポイントであるから
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