- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ]
- 面白い問題、教えてください
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/21(日) 20:38:30 ]
- 自然数列{an}(n∈N)は狭義単調増加であって、さらに、あるC＞0とあるt≧1に対して
an＜Cn^t (n＝1,2,3,…)を満たしているとする。自然数mに対して、mの素因数の
最大値をp(m)とおくとき、limsup[n→∞]p(an)＝∞ となることを示せ。
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/23(火) 05:31:39 ]
- >>227
limsup[n→∞]p(an)<∞と仮定する。
いずれかのanの素因数であるような素数を小さい順にp1, …,pkとする。
g∈N, g≧pkとするとき、g以下であるような(p1)^(i1)*…*(pk)^(ik) (i1,…ikは０以上の整数)の形の数の個数は
[log(g)/log(p1)]*…*[log(g)/log(pk)]≦[log(g)/log(p1)]^k以下。右辺をrとおく。
以上よりg≦ar＜Cr^t≦C[(log(g)/log(p1))^(kt)であるが、この不等式は十分gが大きいとき成立しない。
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/23(火) 18:49:05 ]
- >>207
>(2)
>ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
>このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
平均 E(a,b) 個の商品を買えば良いとする。
a=b のときは、E(a,b)=1.
以下では、a＞b≧1 のときを考える
このおまけを k(≧1) 個買ったとき、a種類のおまけが全部そろっている確率を p(k)
とすると、包除原理より、
p(k)=((C(a,b))^(-k))*Σ[m=0,a-b]C(a,m)*((-1)^m)*(C(a-m,b))^k.
( C(n,m)=n!/(n!*(n-m)!) )
よって、
E(a,b)=Σ[k=2,∞] k*(p(k)-p(k-1))
=Σ[m=1,a-b]((-1)^(m+1)*(a!*(2*a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!-a!*(a-b)!^2*(a-b-m)!*(a-m)!^2)/(m!*(a-m)!*(a!^3*(a-b-m)!^3-a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!))))
計算例：
E(5,4)=9/4,
E(50,40)=(185670706054169305015849546598666174081288628096161)/(55278965274533097503396347784510411985680743479276)
=3.35879…,
E(500,400)=4.72880….
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/25(木) 16:13:32 ]
- P_1 = {1,1}
P_2 = {1,2,1}
P_3 = {1,3,2,3,1}
P_4 = {1,4,3,5,2,5,3,4,1}
....
P_nはP_(n-1)に隣り合う２数の和の値をその間に付け加えるようにして生成していきます。
(1) P_n の要素の数、最大値、要素の和を求めてください。
(2) 互いに素な自然数の順列(a,b)はあるP_kで隣り合う二数に一回だけなることを示してください。
(3) P_(n) にはk (1≦k≦.n)はいくつあるか？
- 231 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/28(日) 06:12:35 ]
- age
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 21:20:30 ]
- Zagier's problems
www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Problems.html
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/29(月) 20:55:45 ]
- >>230
(1)
[解] 要素数をA(n)とすれば、A(n+1)=A(n)+A(n)-1よりA(n)=(2^n)+1。
[解] 総和をS(n)とすれば、S(n+1)=S(n)+2(S(n)-2)+2よりS(n)=(3^n)+1。
[予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
(2)
[略証] aとbが互いに素のとき、写像 (a,b)├→ if a>b then (a-b,b) else (a,b-a)
を考えると、互除法の原理から、これを繰り返し適用すれば必ず有限ステップNで
(1,1)に到達し、その経路は一通りである。すなわち、これを(1,1)から逆に
辿ることにより、唯一の(a,b)が問題文の手続きに従って生成されることがわかる。
よってP_Nは順序対(a,b)を含み、それが唯一である。
(3)
[予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/30(火) 01:06:02 ]
- >>233
> (1)
> [予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
最大数をM(n)とするとき、P_n (n≧2)に順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))が含まれていることを示せばいい。
n=2のときは明らかだから、2以上のnについてそうだと仮定する。
まず、生成規則より、P_nの偶数番要素の最大値はM(n)、奇数番要素の最大値はM(n-1)なので、
M(n+1)≦M(n)+M(n-1)であることに注意する。
P_n内の順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))からP_(n+1)内の順列
(M(n-1),M(n)+M(n-1),M(n))および(M(n),M(n)+M(n-1),M(n-1))が生成される。
先の注意より、M(n)+M(n-1)がP_nの最大値M(n+1)に等しいことがわかるから、
P_(n+1)には順列(M(n+1),M(n))および(M(n),M(n+1))が含まれていることになり、n+1のときも成立する。
以上によって、数学的帰納法から2以上のすべてのnについて成立する。
M(n+1)=M(n)+M(n-1), M(1)=1, M(2)=2から一般項を求めると
M(n)=((α^(n+1))-(β^(n+1)))/√(5), ただしα=(1+√(5))/2, β=(1-√(5))/2。
> (3)
> [予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
> 1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
n≧2として、P_(n-1)からP_nを生成するときに(a,b)からk=a+bが生成されているとすると
(2)における議論で(a,k)あるいは(k,b)から(1,1)に至るステップ数Nはn-1以下。
よって、2≦k≦nであれば、k=a+bとなるような互いに素な2自然数の順列(a,b)はすべて
P_1,...P_(n-1)のいずれかに含まれていることになる。
このような順列(a,b)は、k以下であってkと互いに素な自然数aと一対一に対応する。
よって、2≦k≦nならば、P_nに含まれるkの個数は、
φ(n)=nΠ(1-(1/p)) (積はnのすべての素因数にわたる)。
ただし、1はP_nに2個(≠φ(1))含まれる。
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/06(火) 12:09:07 ]
- H ：= { (x,y)∈R^2 ； |xy|≦1 } とする。
H に含まれる三角形の面積の最大値はいくつか。
- 236 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 09:49:15 ]
- スレ違い承知で。
15秒程度で答えて下さい。
７の８乗はだいたいいくつですか？
紙やペン、電卓などの道具は使わず暗算で答えて下さい。
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 10:00:49 ]
- >>236
7*7=49≒50
50*50=2500
25*25=625より
2500*2500=6250000
7*7=49
49*49=2401≒2400
24*24=576より
2400*2400=5760000
二桁の数の二乗がある程度サッと出てくるという前提で。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 10:03:58 ]
- 15秒でレスできねえよ
- 239 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 11:08:53 ]
- >>236は面接で頭の回転の速さを見るための問題と予想。主に外資系。
この手の問題は15秒じゃなくて10秒で答えろって言われるな。
- 240 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/08(木) 21:47:09 ]
- このような数学の問題がたくさんのっている書籍ではなにがおすすめでしょうか？自分はまだ高校生で頭もよいほうではないのでなるべく簡単な問題がのっているものがよいです。よろしくお願いします。
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 23:15:09 ]
- 56764801が10秒以内に出てきた俺は・・・
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/08(木) 23:16:03 ]
- 打ち損じた
5764801だ
- 243 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 00:13:11 ]
- >>242
どうやって考えたのよ
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:20:40 ]
- >>243
49^2=2401だから7^8=2401^2=5764801
下2桁が01だから計算が楽々
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:21:23 ]
- 「暗算の鬼」参上
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:46:26 ]
- 面接官( ｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。
>>244 ( ´∀｀)：7^8＝5764801 下2桁が01だから計算が楽々。
面接官( ・д・)：
面接官( ・д・ )：
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:51:37 ]
- 面接官( ｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。
>>244 ( ´∀｀)：56764801。言い間違えた。5764801だ。下2桁が01だから計算が楽々。
面接官：
＿__ ━┓
／ ―＼ ┏┛
／ノ (●)＼ ・
. ｜ (●) ⌒）＼
. ｜ （__ノ￣ |
＼ /
＼ _ノ
/´ ｀＼
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＿＿＿ ━┓
／ ― ＼ ┏┛
／ (●) ＼ヽ ・
/ （⌒ (●) /
/ ￣ヽ__） ／
. ／´ _＿_／
| ＼
| |
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 00:57:51 ]
- むしろ
7*7=49≒50
50^4=6250kくらい
と思ったらかなり数字ちがっててびびった
ある程度は小さくなるだろうけど6000k下回ることはあるまいと思ってたら…
俺数学的センスないなｗ
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 01:14:46 ]
- >>248
お前は俺か！
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 01:34:49 ]
- 1桁の自然数の常用対数くらい頭に入っているけどな。
log_10(7)≒0.85 の8倍は 6.8 なので
7^8＝10^0.8×100万≒600万 (3秒で終了)
もちろん log_10(7)≒0.85 自体は 7^2 ≒ 50 から出せるが、
log_10(7)＝0.84509804… (梯子を配れよ)が頭に入ってるしなあ。
- 251 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 08:08:37 ]
- インド人なら簡単なのかな？
- 252 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 08:12:21 ]
- 49≒50の誤差は何乗かすれば一気に膨らむわけか
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 10:14:18 ]
- 4乗すれば相対誤差は約4倍。
(εが微小なら (1+ε)^n ≒ 1+nε .
ただしnが大きくなり過ぎるとε^2なども効いてくるが)
本来の49は50の2パーセント減だから4乗すると約8パーセント減となる。
625万から8パーセント(=50万)引くと575万。
- 254 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:34:10 ]
- この手の面接は正解に辿り着く為のプロセスを相手にきちんと説明できるかも問われる気がする。
- 255 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:39:16 ]
- 判定予想
×わからない
×数百万くらい
△6250k弱
△6000kくらい
○5800kくらい
ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
- 256 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 10:42:21 ]
- 判定予想 訂正
×わからない
×数百万くらい
△625k弱
△600kくらい
○580kくらい
ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 11:18:40 ]
- k=1000 でっせ
- 258 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 13:09:35 ]
- 2^(1/3) の近似値を暗算で計算せよ。
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/09(金) 15:21:41 ]
- まず１よりデカくてルート２より小さいのはすぐわかる。
1.1^3 を考えると
1.1^2=1.21 でこれをさらに 1.1 倍しても
2 には全然足りないのも何となく分かる。
同様に 1.2^3 も全然足りない。
1.3^3 は 1.3^2=1.69 なのでこれをさらに
1.3 倍すると明らかにオーバー。
なので 1.2 よりデカくて 1.3 より小さい。
これ以上は暗算は大変なので適当に真ん中とって 1.25 。
- 260 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 18:36:44 ]
- 暗算シリーズ
- 261 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/09(金) 20:12:53 ]
- 20までの三乗の値は覚えておくべきなのかな
- 262 名前：258 mailto:sage [2007/11/09(金) 23:45:44 ]
- 数学板なんだから数学的な工夫をしてくれー
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:07:44 ]
- 125^3=5^9=1953125だから1.25よりちょっと大きい
126^3=2744×9×9×9=24696×9×9=222264×9=2000376だから
1.26より微妙に小さい
誤差が0.019%ほどだから1.26×0.99994=1.2599244よりちょっと大きいくらい
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:08:31 ]
- >258
29^3 - 2*23^3 = 24389 - 2*12167 = 55,
より
2^(1/3) ≒ 29/23 =1.260･･･
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 00:24:15 ]
- >263
63^3 - 2*50^3 = 250047 -2*125000 = 47,
より
2^(1/3) ≒ 63/50 = 1.26
- 266 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 00:53:11 ]
- 出題者ですが、皆様の暗算力に付いて行けませんw
もっとショボい暗算力でも計算できるのですが…
- 267 名前：Sir I.Newton mailto:sage [2007/11/10(土) 01:05:04 ]
- >258
a_1 = 5/4,
a_(n+1) = a_n - {(a_n)^3 -2}/{3(a_n)^2} = (2/3){a_n +1/(a_n)^2},
により定義された有理数列 {a_n} は 2^(1/3) に収束するぽ。
a_2 = 63/50,
a_3 = 375047/297675,
･･････
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 01:15:38 ]
- >>267
ニュートン法を暗算でやれというわけだな
- 269 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 02:05:20 ]
- Taylor展開による解答を御用意しております。
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 02:24:15 ]
- ………
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 04:56:22 ]
- >269
それじゃぁ仕方ねぇなぁ･･･
ln(2^(1/3)) = (1/3)ln(2) = 0.6931･･･/3 = 0.2310･･･
2^(1/3) = exp(0.2310･･･) ≒ 1 + 0.231 + (0.231^2)/2 + (0.231^3)/6 + (0.231^4)/24 = 1.25985･･･
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 08:22:59 ]
- 【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする
- 273 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:46:33 ]
- 時間が10秒とか15秒程度なら次のようになる。
2^10/10^3 ＝ 1024/1000 ＝ 1.024 の両辺の1/3乗を計算すると、
左辺 ＝ (2*2^9/10^3)^(1/3) ＝ (8/10)*2^(1/3)
右辺 ≒ 1+(1/3)*0.024 (1次近似) であるから
(8/10)*2^(1/3) ≒ 1+0.008
である。両辺に 10/8 ＝ 1.25 を掛けると
2^(1/3) ≒ 1.25 + 0.01 ＝ 1.26
- 274 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:49:38 ]
- 時間が1分あれば、2次近似も暗算で何とかなる。
(1+ε)^(1/3)
≒ 1 + (1/3)ε + (1/2)(1/3)(-2/3)ε^2
≒ 1 + ε/3 - (ε/3)^2
だから これに ε ＝ 0.024 を代入すると
1.024^(1/3) ≒ 1 + 0.008 - 0.000064
である。これに 10/8 ＝ 1.25 を掛ければ 2^(1/3) の近似値になり
2^(1/3)
≒ 1.25 + 0.01 - 0.00008
≒ 1.25992
- 275 名前：Sir I.Newton mailto:sage [2007/11/11(日) 08:12:06 ]
- >>258
a_1 = 5/4,
a_(n+1) = a_n -{(a_n)^2 - 2/a_n}/{2a_n +2/(a_n)^2} = (1/2){a_n + 3/[(a_n)^2 +1/a_n]},
の方が収束が早いらしいお。 >>267
a_2 = 1 + 131/504 ≒ 1.2599206･･･
参考書
一松 信, ｢数値計算｣ 至文堂 近代数学新書 (1963)
第2章, 第3節, §38, (2)立方根, 例1., p.151
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 11:53:01 ]
- >>269
Taylor展開と聞いてやってみますた
(1+x)^(1/3)=1+(1/3)x-(1/9)x^2+…
にx=1を代入すると 2^(1/3) でつ。
1000次まで計算すると 2^(1/3) ＞ 1.259908747…
1001次まで計算すると 2^(1/3) ＜ 1.259933336…
よって 2^(1/3) ≒ 1.2599
暗算にはかなり苦労しますた。
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 20:09:49 ]
- >>267 や >>275 は純粋な有理数近似の話で、十進表示するか否かに無関係な議論だな。
おかげで最後の十進表示の所で暗算が苦しくなるが…
>>273-274 は十進表示で計算することを考慮した曲芸だな。1024-1000 が3でも8でも
割り切れるのは幸運という他ない。ファインマンさんとソロバン男の話を思い出したぜ。
- 278 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:11:10 ]
- ひろし君のクラスの中から、４人の委員を選ぶことになりました。
クラスの全員がそれぞれ、自分を含めたクラス全員の中から４人の名前を選んで１枚の投票用紙に書きました。
ひろし君がすべての投票用紙を集めて調べたところ、面白いことに気づきました。
２枚の投票用紙をどのように取り出してみても、どちらの投票用紙にも共通して書かれている名前が必ず１人だけ見つかるのです。
このクラスの人数は何人ですか？
ただし、１枚の投票用紙に同じ名前を２人以上書いた人はいませんでした。
- 279 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:11:26 ]
- こんな簡単な質問で悪いんだけど・・・
１，２，３，４，５，６，７の番号がついたカード7枚がある。
7枚から4枚を取り出す場合、何通りあるか？
これってどういう風に考えればいいんだっけ、忘れちゃった・・・＿|￣|○
誰か答えを教えてください。。。
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 22:12:05 ]
- >>279
マルチ
終了
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 22:18:02 ]
- >>278
８人いたら、二つの投票用紙に全く別の４人の名が書かれている可能性があるから７人てこと？
それじゃ、簡単すぎるか…
投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
- 282 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:21:36 ]
- >>281
７人ではないです。
> 投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
そうです。
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 01:34:05 ]
- >>278
1+3+9=13
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 08:46:45 ]
- >>283
むずい。解説きぼん。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 09:51:49 ]
- 有限射影平面になるから。
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:04:41 ]
- 【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:17:02 ]
- >>272 >>286 氏ね
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:27:24 ]
- >>285
F_3 上の射影平面が題意を全部満たすのはわかった。
他に無いってのは、やっぱ射影平面の公理を覚えていないとダメ?
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:40:06 ]
- てっきり中学入試の問題かと思って一生懸命
順列とか組み合わせでがんばっていたのに
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:46:27 ]
- そういう解法があっても構わない。>>289
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 12:43:02 ]
- 生徒は全部で n 人いるとする。
1) どの人を選んでも、その人に投票しなかった人がいる。
ひろし君に m 人が投票したとすると、その m 枚の用紙には
異なる 3m+1 人の名前が書いてある。
2) どの人を選んでも、その人に投票した人は高々 4 人。
ひろし君に 5 人以上投票したとすると、ひろし君に投票しなかった人の票と
その 5 票とに共通する名前が 5 人以上必要。
3) どの人を選んでも、その人に投票した人はちょうど 4 人。
投票用紙に記された名前ののべ総数は 2) より 4n 人以下。
一方、一枚の用紙に 4 人づつ書かれているので総数は ちょうど 4n 人。
4) ひろし君が投票した人の名前を全部の投票用紙から消す。
ひろし君以外の人の投票用紙からはちょうど 1 人の名前が消されるので、
残った名前の総数は 3(n-1) 人。これに n-4 人の名前が 4 回づつ書かれて
いるので、3(n-1)=4(n-4). したがって、n=13.
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 13:06:05 ]
- ヒルベルトが「机と椅子とビアマグでも幾何学は構築できる」と言った意味が
よくわかったよ >>285 と >>291
- 293 名前：278 [2007/11/12(月) 23:18:05 ]
- >>285
難しくてよくわかりません・・・
１人が４つの名前を書きますから、平均すると１つの名前が４回。
まず、全員の名前が４回ずつ出なければならないことを示します。
全員が４票ずつの得票ではないと仮定すると５票以上得票した人
がいることになります。
ここではＡという人が５票獲得したとします。
すると、Ａの名前が書いてある５枚は
ＡＢＣＤ
ＡＥＦＧ
ＡＨＩＪ
ＡＫＬＭ
ＡＮＯＰ
のようになります。
上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと、その紙にはＢＣＤのだれかの名前が
記されています。また同様に、この紙にはＥＦＧのどれか、ＨＩＪのどれか、
ＫＬＭのどれか、ＮＯＰのどれかが記されていることになり、最低５人の名前
が記されることになり、１枚の紙には４人の名前が記されることに矛盾します。
一般にＡがｎ票獲得したとき、そのｎ枚以外の紙には、最低ｎ人の名前が記さ
れることになります。
各票には４人の名前が記されているはずだから、５票以上獲得する人はいない
ことになります。
以上で、全員の名前が４回ずつ出なければならないことが示されました。
- 294 名前：278 [2007/11/12(月) 23:18:40 ]
- つづき
全員の名前が４回ずつ出てくる場合、
１枚の紙にＡＢＣＤと書いてあったとすると、
この紙のほかにＡの名前が書いてある紙が３枚、Ｂ，Ｃ，Ｄの名前が書いてあ
る紙もそれぞれ３枚ずつあります。
しかも、これらは全てＡＢＣＤのうちのどれか１つしか書かれていないはずなの
で重複しません。
また、ＡＢＣＤのどれも含まない紙は存在しません。
よって、全員の名前が４回ずつ出てくるとすると、そのときの紙の枚数は１３枚
でなければならない、すなわちクラスの人数は１３人でなければなりません。
以上のことから、解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/13(火) 01:07:10 ]
- >>293 の真ん中あたりの「上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと」
とありますが、そのような紙が少なくとも1枚は存在することも
一応述べておかねばなりません。もちろん、他の紙が無ければ、紙の
枚数とクラスの人数が合いませんのでスグに他の紙の存在がわかります。
- 296 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:10:01 ]
- >>292 で書いた事のココロを描いてみる。
[言葉の言い換え]
◎「紙」と呼ぶ代りに「直線」と呼ぶ。これは単なる名称であって、
通常のユークリッド幾何の直線をイメージしてはいけない。以下の
記述もこれと同様である。
◎「人名」と呼ぶ代りに「点」と呼ぶ。
◎「紙Lに人名Aが記されている」と言う代りに「直線Lが点Aを通る」
あるいは「直線L上に点Aがある」と言う。
[言葉の更なる定義]
◎直線Lと直線Mが共に点Aを通るとき、「直線Lと直線Mは点Aで交わる」
あるいは「点Aは直線Lと直線Mの共有点である」と言う。
[問題文の言い換え]
次の条件をみたす「点の集合」と「直線の集合」があるとき、
点の総数を求めよ。
(a) 少なくとも1点が存在する。(←ひろしくん)
(b) 点の総数と直線の総数は等しい。
(c) どの直線上にも、点がちょうど4つある。
(d) どの2直線も、ちょうど1点で交わる。
- 297 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:11:00 ]
- [291氏の解答の翻訳]
1) どの点を選んでも、その点を通らない直線が存在する。
(証) 仮に「すべての直線が通過する点A」が存在したら、(d)より
(点の総数)=3*(直線の総数)+1 となって(b)に反する。
2) どの点を選んでも、その点を通過する直線は4本以下である。
(証) 点Aを5本以上の直線が通過したら、これらの直線と 1)で示した
「点Aを通らない直線」との交点が5点以上あることになり、(c)に反する。
3) どの点を選んでも、その点を通過する直線はちょうど4本。
(証) 直線が通過する点ののべ総数は、2)より 4*(点の総数)以下である。
一方(c)(d)よりそれは 4*(点の総数)に等しい。よって各点を通過する直線は
ちょうど4本でなければならない。
4) 点の個数は13個以外にはありえない。
(証) これは291氏のものよりも 278氏の >>294 の方がわかりやすい。
(a)(b)より少なくとも1本直線がある。それをLとすると、L上の各点と
交わる直線が3本ずつあるので、Lと交わる直線の総数は 3*4=12本である。
(d)より、この12本以外の直線はL以外には存在しないので、直線の本数は
13本でなければならない。(b)より点の個数は13以外にはありえない。
- 298 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:12:37 ]
- >>294 が最後で触れた、十分性の確認をします。(モデルの構成)
[点゛]
空間の点 (x,y,z) のうち x,y,z の値が 0,1,-1 のいずれかであるものは
3^3 = 27 個ある。このうち原点を除くと26個である。この26個を
(x,y,z)≡(-x,-y,-z) で2つずつ同一視したものを「点゛」と呼ぶと、点゛は
全部で 26/2 = 13 個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(a)は満たされる。
[直゛線゛]
a,b,c は 0,1,-1 のいずれかとし、(a,b,c)≠(0,0,0) とする。すると方程式
ax+by+cz=0 上には普通の点(x,y,z)が8個、「点゛」は4個ある。この点゛集合を
「直゛線゛」と呼ぶと、(a,b,c)と(-a,-b,-c)は同じ直゛線゛を定めるので
やはり13個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(b)(c)は満たされる。
あとは条件(d)だが、2つの「直゛線゛」の「共有点゛」とは、通常の3次元空間の
言葉では 2平面 ax+by+cz=0 と a'x+b'y+c'z=0 の交線上にある点のうち、最初に
述べた同一視で「点゛」に落ちるものである。絵を描けばわかるが、どの2つの
「直゛線゛」も、ちょうど1つの「共有点゛」を持つことが確かめられる。
(もっとキチンと言えんものか)
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/13(火) 03:13:39 ]
- >>294
> 解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。
>>288 のF_3 上の射影平面というのがこれの例。
>>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)
一般の場合、この例を作れるかどうかが難問で、問題文の 4 人を 7 人や
11 人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。
- 300 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 10:36:51 ]
- >>299
> >>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
> ((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)
じま゛っ゛だ。
x+y+z=0 上に (x,y,z) は6個、点゛は3個しかないね。
このスレの住人なら合同式は大丈夫だろうから、直゛線゛の定義を
ax+by+cz≡0 (mod3) に変更しておくよ。
> 問題文の 4人を 7人や11人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。
13人が未解決問題とか聞いたことあるな。
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 22:25:32 ]
- 昔の話で悪いですが
>>266
しょぼい暗算で出来る2^(1/3)のだしかたはどうやるのですか？
- 302 名前：258 mailto:sage [2007/11/14(水) 23:05:24 ]
- >>273
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/18(日) 16:59:39 ]
- 2^(1/3)
これを音階で考える。
2^(1/3) = 2^(4/12) であるから、これは ド−ミ の長3度である。
俺の経験上、これは1.25より僅かに大きい。
なんて感覚的な答じゃだめかな…
- 304 名前：258 mailto:sage [2007/11/18(日) 23:11:49 ]
- 素敵な答をありがとう！ もっと理屈をこねると次のようになるね。
ミは平均律のミよりも僅かに下げないとハモらない。
ハモるのが 5/4 = 1.25 (純正律)だから 2^(1/3) は 1.25 よりちょっと大きい。
音階も研究したピタゴラスなら次のように言うだろう。
私の音階理論によれば、それは (9/8)^2 = 1.265625 が正しい。
無理数? そんなものは存在しない。（そんな事を言う奴は海に沈めてやる）
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 05:29:18 ]
- 豆知識；
ちなみに実際の音楽で用いられる平均律は
２の１２乗根を基にした半音というわけではないので
平均律のミはドの2^(1/3)倍の周波数ではない
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 05:50:49 ]
- >>305
ちょっと誤解を招く表現だな。
平均律で調律されるとされる楽器は実際にはそれとは異なる音程に調律されると言うべきだろう。
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 06:17:19 ]
- 【米国】フランスの「人間計算機」、200桁の数字の13乗根の暗算で72.438秒の世界記録[071116]
news21.2ch.net/test/read.cgi/news5plus/1195394463/
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/21(水) 15:39:19 ]
- 何を言ってるかわかりませんが、平均律はちゃんと周波数比で等分しますよ。
一般に西洋音楽で使われる十二平均律は12等分します。
ただ、実際にどんな音律を採用するかの段階で
必ずしも普段耳にするものが(十二)平均律でない、という事であって。
平均律は平均律です。
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/21(水) 20:11:22 ]
- 平均律で調律されている楽器を探すほうが難しいくらいだったのだが
電子楽器の台頭でそうでもなくなったな
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 01:08:48 ]
- さて問題は「2^(1/3)を如何に計算するか」なのだ。今話題の手段を用いて 2^(1/3) ≒ 1.26 と
結論するには、
2^(1/3) ≒ 1.26 が純正律の 5/4 ＝ 1.25 よりも 0.01 だけ大きい
という事を、この精度で感覚的にワカル事が必要だ。比率としては
1.26/1.25 ＝ 1.008 だが、これは近似的には半音程 2^(1/12) ≒ 1.059463 の
8/59.463 ≒ 0.1345 倍の音程だ。厳密には対数を用いて
log_{2^(1/12)}( 2^(1/3)/1.25 ) ≒ 0.136862861351651825556166846127317889622… 倍
だがもちろんこれは冗談として、結局
「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の1/10強である
と言える感覚の持ち主なら、2^(1/3) ≒ 1.26 を感覚的に計算したと言える。
カラオケで半音は平気でズレる私には、とても無理なことである。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 01:21:13 ]
- 1/8 = 0.125 < 0.135 < 1.42857… = 1/7 だから
「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の 1/8 以上 1/7 以下である
と言える人なら完璧。
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:08:25 ]
- >258
√2 > 1.4142 より
(3 -√2)^3 = 45 - 29√2 < 45 -29*1.4142 = 45 - 41.0118 < 2^2,
3乗根をとると
3 -√2 < 2^(2/3),
したがって
√(3-√2) < 2^(1/3) < 2/(3-√2) = (2/7)(3+√2) < (2/7)*4.4143,
1.2592 < 2^(1/3) < 1.2613
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:15:06 ]
- >258
29*29*2 - 41*41 = 1682 - 1681 = 1,
29√2 > 41,
- 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:31:06 ]
- >>313
途中送信みたいだが、2^(1/3) ではなく 2^(1/2) を計算しているように見える。
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:34:13 ]
- もしも、x^3-2y^3=±1 の整数解で大きい値のがあれば 2^(1/3)≒ x/y となるけど
どうなのでしょうか？ ペル方程式の３次元バージョンですけど。
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:36:56 ]
- ペル方程式みたいに、解の系列を生成する漸化式があればよいわけだ。
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:42:58 ]
- 単に有理数近似で収束が速いものなら >>275 (2次収束)があるし、
暗算可能なシンプリシティーを追求したものなら >>274 がある。
新たな解法には何らかの美が要求されるぜ。(音階の話は美しいな)
ギャクでもいいけど。
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:45:01 ]
- ×ギャクでもいいけど。
○ギャグでもいいけど。
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 20:15:27 ]
- >317
ギャクも真なり…
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 07:23:46 ]
- 音楽家を含め絶対音感の持ち主とは何度も話をした事があるが
1/7を持ち出したひとは初めてだ。（1/8や1/4はよく聞く。)
おそれく半音の半分の半分とか、さらにその半分というのが
感覚的にわかりやすいのだろう。
1/8と1/7の違いくらいデリケートな話になると、セント（半音の1/100）単位か
A音の周波数（なぜか2hz単位の偶数のことが多い）で話をしていた。
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 10:30:31 ]
- 1/7を持ち出したひとは絶対音感の持ち主ではなく、ただの数学野郎だ。
1/7と言えばガムランのスレンドロ音階はオクターブを7等分するな。
セントみたいに細かいと、「音楽に必要な音程」というよりも「調律用語」か
「民族音楽学の記録用の単位」になってしまうが、「全音の1/9」くらいなら
中東の古典音楽では必須の微分音程だ。
で、2^(1/3) を暗算で計算したいのだ。
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 12:50:50 ]
- >>315
x^3-2*y^3＝±1 の大きな整数解は見つからないねえ。
仕方が無いので (x,y)=(5,4) が乗ってる曲線 x^3-2*y^3 ＝ -3 で解を生成する
漸化式を立ててみたが、整数解ではなく有理数解を生成する漸化式だったので、
絶対値が大きくなってくれず、2^(1/3)の近似計算には失敗したorz
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 16:21:32 ]
- >>320
1ヘルツの違いはA音あたりだと聞き分けるの難しいんだよホント
2ヘルツ違うとよくわかる
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 18:39:31 ]
- 保守
- 325 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/07(金) 21:27:28 ]
- あげ
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 21:50:22 ]
- よく小学生に出す問題
３、３、７、７
この４つの数字を使って24を作りなさい
ただし使っていいのは四則演算のみ、数字をくっつけるのは無しです(33など)
- 327 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/07(金) 22:41:58 ]
- 消費税率１００％のとき
税込み１００円のものをかいました
さて消費税はいくら？
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