代数的整数論 005

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/16(金) 07:45:20 ] Kummer ◆g2BU0D6YN2氏が代数的整数論を語るスレです。 前スレ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/ 560 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 12:48:51 ] 補題 D ＞ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。 D = (2^α)m と書ける。ここで α ≧ 2、m は正の奇数である。 α は奇数とする。 a と b を正の奇数で a ≡ b (mod D) とする。 このとき (D/a) = (D/b) である。 ここで (D/a) と (D/b) は Jacobi の記号(過去スレ４の890)である。 証明 α は奇数だから (D/a) = (2/a)(m/a), (D/b) = (2/b)(m/b) 過去スレ４の895より、 (2/a) = (-1)^((a^2 - 1)/8) (2/b) = (-1)^((b^2 - 1)/8) a ≡ b (mod D) だから a ≡ b (mod 8) よって (2/a) = (2/b)、よって (m/a) = (m/b) を示せばよい。 過去スレ４の895より、 (m/a) = (-1)^((m-1)/2)((a-1)/2)(a/m) (m/b) = (-1)^((m-1)/2)((b-1)/2)(b/m) m ≡ 1 (mod 4) なら (m/a) = (a/m), (m/b) = (b/m) a ≡ b (mod D) だから a ≡ b (mod m) よって (a/m) = (b/m) 即ち (m/a) = (m/b) m ≡ 3 (mod 4) なら (m/a) = (-1)^((a-1)/2)(a/m) (m/b) = (-1)^((b-1)/2)(b/m) a ≡ b (mod 4) だから (-1)^((a-1)/2) = (-1)^((b-1)/2) a ≡ b (mod D) だから a ≡ b (mod m) よって (a/m) = (b/m) 即ち (m/a) = (m/b) 証明終 561 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 12:54:52 ] 補題 D ＜ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。 a と b を正の奇数で a ≡ b (mod D) とする。 a と b を正の奇数で a ≡ b (mod D) とする。 このとき (D/a) = (D/b) である。 ここで (D/a) と (D/b) は Jacobi の記号(過去スレ４の890)である。 証明 D = -(2^α)m と書ける。ここで α ≧ 2、m は正の奇数である。 (D/a) = (-1/a)(-D/a) (D/b) = (-1/b)(-D/b) である。 -D ≡ 0 (mod 4) だから >>559 と >>560 より (-D/a) = (-D/b) である。 よって (-1/a) = (-1/b) を示せばよい。 過去スレ４の896より、 (-1/a) = (-1)^((a-1)/2) (-1/b) = (-1)^((b-1)/2) a ≡ b (mod 4) だから (-1/a) = (-1/b) である。 証明終 562 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 12:57:55 ] >>556, >>558, >>559, >>560, >>561 をまとめると次の命題が得られる。 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 a と b を正の奇数で a ≡ b (mod D) とする。 このとき (D/a) = (D/b) である。 563 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 13:32:19 ] 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 (Z/DZ)^* の任意の類 C に対して正の奇数 m を適当にとれば C = [m] と書ける。 証明 D ≡ 0 (mod 4) ならこれは明らかである。 よって D ≡ 1 (mod 4) とする。 (Z/DZ)^* の任意の類 C は [a] と書ける。 ここで a ＞ 0 は D と素である。 a が奇数なら m = a とすればよい。 a が偶数なら m = a + nD とすればよい。 ここで n は奇数で a + nD ＞ 0 となる任意の有理整数である。 証明終 564 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 13:39:26 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 (Z/DZ)^* から {±1} へのアーベル群としての準同型 χ を 以下のように定義する。 >>563 より (Z/DZ)^* の任意の類 C の代表として正の奇数 m が取れる。 χ(C) = (D/m) とする。 >>562 より χ(C) は m の取り方によらない。 これが アーベル群の準同型であることは Jacobi 記号の性質 (過去スレ４の892)から明らかである。 565 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 13:48:37 ] >>556, >>558, >>559, >>560, >>561, >>562 において a, b はそれぞれ D と素であることを仮定している。 566 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 14:21:58 ] 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。 D ＞ 0 のとき χ([-1]) = 1 D ＜ 0 のとき χ([-1]) = -1 証明 1) D ＞ 0 で D ≡ 0 (mod 4) とする。 χ([-1]) = χ([D-1]) = (D/D - 1) = (D - 1 + 1/D - 1) = (1/D - 1) = 1 2) D ＞ 0 で D ≡ 1 (mod 4) とする。 χ([-1]) = χ([2D-1]) = (D/2D - 1) = (2D - 1/D) = (-1/D) = 1 3) D ＜ 0 で D ≡ 0 (mod 4) とする。 -D - 1 ≡ -1 (mod 4) だから χ([-1]) = χ([-D-1]) = (D/-D - 1) = (-(-D - 1) - 1/-D - 1) = (-1/-D - 1) = -1 4) D ＜ 0 で D ≡ 1 (mod 4) とする。 -2D - 1 ≡ -1 (mod 4) だから χ([-1]) = χ([-2D-1]) = (D/-2D - 1) = (-1/-2D - 1)(-D/-2D - 1) = (-2D - 1/-D) = (-1/-D) =-1 証明終 567 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 14:33:39 ] 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 1 (mod 4) とする。 χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。 D ≡ 1 (mod 8) のとき χ([2]) = 1 D ≡ 5 (mod 8) のとき χ([2]) = -1 証明 1) D ＞ 0 のとき。 χ([2]) = χ([D + 2]) = (D/D + 2) = (D + 2/D) = (2/D) = (-1)^(D^2 - 1)/8 よって D ≡ 1 (mod 8) のとき χ([2]) = 1 D ≡ 5 (mod 8) のとき χ([2]) = -1 2) D ＜ 0 のとき。 χ([2]) = χ([-D + 2]) = (D/-D + 2) = (-1/-D + 2)(-D/-D + 2) = (-D/-D + 2) = (-D + 2/-D) = (2/-D) = (-1)^(D^2 - 1)/8 よって D ≡ 1 (mod 8) のとき χ([2]) = 1 D ≡ 5 (mod 8) のとき χ([2]) = -1 証明終 568 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 15:24:14 ] 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 m を D と素な奇数とする。 m が判別式 D のある原始的２次形式により固有に表現される (過去スレ４の701)ためには D が m を法として平方剰余になることが 必要十分である。 証明 m が判別式 D のある原始的２次形式により固有に表現されるなら 過去スレ４の717より D は m を法として平方剰余である。 逆に D ≡ b^2 (mod m) となる b があるとする。 m は奇数だから b が偶数なら b + m は奇数であり、 b が奇数なら b + m は偶数である。 よって D と b は偶奇が一致すると仮定してよい。 このとき D ≡ b^2 (mod 4m) となる。 b^2 - D = 4mc とする。 f(x, y) = mx^2 + bxy + cy^2 は判別式 D の２次形式で、 gcd(m, D) = 1 だから f は原始的である。 m = f(1, 0) だから m は f による固有に表現される。 証明終 569 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 15:45:43 ] 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。 D を割らない奇素数 p に対して χ([p]) = 1 となるためには p が判別式 D のある原始的２次形式により固有に表現されることが 必要十分である。 証明 χ の定義から χ([p]) = (D/p) である。 よって >>568 より明らかである。 証明終 570 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 21:08:35 ] 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。 m を D と素な有理整数で、判別式 D の原始的２次形式 f により 表現されるとする。ここで表現は必ずしも固有とは限らない。 さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値とする。 ことき χ([m]) = 1 である。 証明 f = ax^2 + bxy + cy^2 とする。 m は f で表現されるから m = as^2 + bst + ct^2 となる有理整数 s, t がある。d = gcd(s, t) とおくと、m = (d^2)n となる n があり n は f により固有に表現される。 χ([m]) = χ([d])^2 χ([n]) = χ([n]) である。 よって m は初めから f により固有に表現されると仮定してよい。 よって過去スレ４の717より D ≡ b^2 (mod 4m) となる有理整数 b が 存在する。 1) D ≡ 0 (mod 4) で m ＞ 0 のとき。 m は D と素だから m は奇数である。 D ≡ b^2 (mod 4m) となる b があるから χ([m]) = (D/m) = (b^2/m) = (b/m)^2 = 1 (続く) 571 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 21:14:59 ] 2) D ≡ 0 (mod 4) で m ＜ 0 のとき。 D ＜ 0 なら、仮定より f は正定値だから m ＜ 0 とはならない。 よって D ＞ 0 である。 m は D と素だから m は奇数である。 D ≡ b^2 (mod 4m) より D ≡ b^2 (mod -m) でもある。 よって χ([-m]) = (D/-m) = (b^2/-m) = (b/-m)^2 = 1 D ＞ 0 だから >>566 より χ([-1]) = 1 である。 よって χ([m]) = χ([-1])χ([-m]) = χ([-1]) = 1 3) D ≡ 1 (mod 4) で m ＞ 0 のとき。 m が奇数なら D ≡ b^2 (mod 4m) より χ([m]) = (D/m) = (b^2/m) = (b/m)^2 = 1 m が偶数なら m = (2^α)n, α ≧ 1, n ≧ 1 は奇数と書ける。 D ≡ b^2 (mod 4m) より D ≡ b^2 (mod n) である。 よって χ(n) = (D/n) = (b^2/n) = (b/n)^2 = 1 よって αが偶数なら χ([m]) = χ(2^α) χ(n) = χ(n) = 1 αが奇数なら χ([m]) = χ(2) χ(n) = χ(2) D ≡ b^2 (mod 4(2^α)n) だから D ≡ b^2 (mod 8) よって D ≡ 1 (mod 8) である。 >>567 より χ(2) = 1 である。 よって χ([m]) = 1 である。 (続く) 572 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 21:17:23 ] 4) D ≡ 1 (mod 4) で m ＜ 0 のとき。 D ＜ 0 なら、仮定より f は正定値だから m ＜ 0 とはならない。 よって D ＞ 0 である。 m が奇数なら D ≡ b^2 (mod 4m) より χ([m]) = χ([-1])χ([-m]) = χ([-1]) = 1 m が偶数なら m = -(2^α)n, α ≧ 1, n ≧ 1 は奇数と書ける。 αが偶数なら χ([m]) = χ([-1])χ(2^α)χ([n]) = χ([-1]) = 1 αが奇数なら χ([m]) = χ([-1])χ(2)χ([n]) = χ(2) D ≡ b^2 (mod 4(2^α)n) だから D ≡ b^2 (mod 8) よって D ≡ 1 (mod 8) である。 >>567 より χ(2) = 1 である。 よって χ([m]) = 1 である。 証明終 573 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 00:09:23 ] 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。 f = x^2 - (D/4)y^2 を判別式 D の主形式(>>523)とする。 m と n が f により表現されるなら mn もf により表現される。 証明 m = u^2 - (D/4)v^2 となる有理整数 u, v がある。 >>500 より α= u + v(√D)/2 とおく N(α) = (u + v(√D)/2)(u - v(√D)/2) = u^2 - (D/4)v^2 = m 同様に n = z^2 - (D/4)w^2 となる有理整数 z, w がある。 β= z + w(√D)/2 とおく N(β) = (z + w(√D)/2)(z - w(√D)/2) = z^2 - (D/4)w^2 = n nm = N(α)N(β) = N(αβ) である。 αβ = (u + v(√D)/2)(z + w(√D)/2) = uz + vwD/4 + (uw + vz)(√D)/2 よって N(αβ) = (uz + vwD/4)^2 - (D/4)(uw + vz)^2 よって nm は f により表現される。 証明終 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/02(月) 04:10:01 ] 45 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/02(月) 04:11:00 ] 44 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/02(月) 04:12:00 ] 43 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/02(月) 04:13:00 ] 42 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/02(月) 04:14:01 ] 41 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/02(月) 04:15:00 ] 40 580 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 07:48:43 ] 命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 f を判別式 D の主形式(>>523)とする。 即ち D ≡ 0 (mod 4) のとき f = x^2 - (D/4)y^2 D ≡ 1 (mod 4) のとき f = x^2 + xy + ((1 - D)/4)D R を判別式 D 整環とする。 f で表現される有理整数の全体は { N(θ) ; θ ∈ R } と一致する。 証明 D ≡ 0 (mod 4) のとき b = 0 D ≡ 1 (mod 4) のとき b = 1 とおく。 >>242 より f には R = [1, (-b + √D)/2] が対応する。 α = 1 β = (-b + √D)/2 とおく。 >>248 より f(x, y) = N(xα - yβ) 証明終 581 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 07:53:20 ] >>580 より >>573 が直ちに得られる。 さらに D ≡ 1 (mod 4) の場合も証明される。 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 f を判別式 D の主形式(>>523)とする。 m と n が f により表現されるなら mn もf により表現される。 証明 >>580 より明らかである。 582 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 08:02:54 ] >>580 >>R を判別式 D 整環とする。 R を判別式 D の整環とする。 583 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 10:15:13 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。 H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で主形式により表現される } とおく。 >>581 より H は (Z/DZ)^* の部分群である。 さらに >>570 より H は Ker(χ) に含まれる。 584 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 10:21:10 ] 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。 f = (a, b, c) を判別式 D の原始的２次形式とする。 さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値と仮定する。 集合 { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で f により表現される } は Ker(χ)/H のある剰余類に含まれる。 証明 >>534 より f により固有に表現される数 n で D と素であるもの が存在する。 過去スレ４の716より f と同値な形式 g = (n, l, k) がある。 f と g がそれぞれ表現する数の全体は一致するから、 f の代わりに g を使ってもよい。 よって初めから、a は D と素であると仮定してよい。 m を D と素な有理整数で、f により表現されるとする。 よって m = f(u, v) となる有理整数 u, v がある。 α = au + (b + √D)v/2 とおく。 N(α) = (au + (b + √D)v/2)(au + (b - √D)v/2) = a^2u^2 + auv(b - √D)/2 + auv(b + √D)/2) + (4acv^2)/4 = a^2u^2 + abuv + acv^2 = am α は判別式 D の整環の元である。 従って >>580 より [a][m] ∈ H a は D と素であると仮定したから >>570 より [a] ∈ Ker(χ) [m] ∈ [a]^(-1)H 証明終 585 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 10:39:27 ] 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。 χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。 f = (a, b, c) を判別式 D の原始的２次形式とする。 さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値と仮定する。 H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で主形式により表現される } とおく。 集合 S = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で f により表現される } は Ker(χ)/H のある剰余類に一致する。 証明 >>584 より S ⊂ [a]^(-1)H よって逆の包含関係を証明すればよい。 >>584 の証明と同様の理由により a は D と素であると仮定してよい。 [m] ∈ [a]^(-1)H とする。 [a][m] ∈ H だから am ≡ u^2 - (D/4)v^2 (mod D) となる有理整数 u, v がある。 4af(x, y) = (2ax + by)^2 - Dy^2 D ≡ 0 (mod 4) だから D = b^2 - 4ac より b は偶数である。 よって af(x, y) = (ax + (b/2)y)^2 - (D/4)y^2 w = v u ≡ az + (b/2)w (mod D) を満たす有理整数 z, w を取る。 a は D と素だから、このような z, w は存在する。 af(z, w) ≡ u^2 - (D/4)v^2 (mod D) am ≡ af(z, w) (mod D) よって m ≡ f(z, w) (mod D) よって [a]^(-1)H ⊂ S である。 証明終 586 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 10:51:59 ] 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 1 (mod 4) とする。 χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。 f = (a, b, c) を判別式 D の原始的２次形式とする。 さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値と仮定する。 H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で主形式により表現される } とおく。 集合 S = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で f により表現される } は Ker(χ)/H のある剰余類に一致する。 証明 >>584 より S ⊂ [a]^(-1)H よって逆の包含関係を証明すればよい。 >>584 の証明と同様の理由により a は D と素であると仮定してよい。 [m] ∈ [a]^(-1)H とする。 [a][m] ∈ H だから am ≡ u^2 + uv + (1 - D)/4)v^2 (mod D) となる有理整数 u, v がある。 4(u^2 + uv + (1 - D)/4)v^2) ≡ (2u + v)^2 (mod D) よって 4am ≡ (2u + v)^2 (mod D) 一方 4af(x, y) = (2ax + by)^2 - Dy^2 2u + v ≡ 2az + bw (mod D) を満たす z, w を取る(例えば w = 1 として z を求めればよい)。 4af(z, w) ≡ 4am (mod D) f(z, w) ≡ m (mod D) 証明終 587 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/02(月) 11:23:04 ] 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 1 (mod 4) とする。 H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で主形式により表現される } とおく。 G = (Z/DZ)^* とおくと H = G^2 である。 証明 [m] ∈ H とする。 m = u^2 + uv + (1 - D)/4)v^2 となる有理整数 u, v がある。 4(u^2 + uv + (1 - D)/4)v^2) ≡ (2u + v)^2 (mod D) よって [4m] ∈ G^2 である。 4 は D と素だから [m] ∈ G^2 である。 よって H ⊂ G^2 である。 逆に z を D と素な有理整数とすると、 z^2 は主形式 x^2 + xy + (1 - D)/4)y^2 により表現される (x = z, y = 0 とおけばよい)。 よって G^2 ⊂ H である。 証明終

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