m を D と素な有理整数で、判別式 D の原始的２次形式 f により 表現されるとする。ここで表現は必ずしも固有とは限らない。 さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値とする。
ことき χ([m]) = 1 である。
証明 f = ax^2 + bxy + cy^2 とする。 m は f で表現されるから m = as^2 + bst + ct^2 となる有理整数 s, t がある。d = gcd(s, t) とおくと、m = (d^2)n となる n があり n は f により固有に表現される。 χ([m]) = χ([d])^2 χ([n]) = χ([n]) である。 よって m は初めから f により固有に表現されると仮定してよい。
よって過去スレ４の717より D ≡ b^2 (mod 4m) となる有理整数 b が 存在する。
1) D ≡ 0 (mod 4) で m ＞ 0 のとき。
m は D と素だから m は奇数である。 D ≡ b^2 (mod 4m) となる b があるから χ([m]) = (D/m) = (b^2/m) = (b/m)^2 = 1
