代数的整数論 005

561 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 12:54:52 ] 補題 D ＜ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。 a と b を正の奇数で a ≡ b (mod D) とする。 a と b を正の奇数で a ≡ b (mod D) とする。 このとき (D/a) = (D/b) である。 ここで (D/a) と (D/b) は Jacobi の記号(過去スレ４の890)である。 証明 D = -(2^α)m と書ける。ここで α ≧ 2、m は正の奇数である。 (D/a) = (-1/a)(-D/a) (D/b) = (-1/b)(-D/b) である。 -D ≡ 0 (mod 4) だから >>559 と >>560 より (-D/a) = (-D/b) である。 よって (-1/a) = (-1/b) を示せばよい。 過去スレ４の896より、 (-1/a) = (-1)^((a-1)/2) (-1/b) = (-1)^((b-1)/2) a ≡ b (mod 4) だから (-1/a) = (-1/b) である。 証明終

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