- 560 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/07/01(日) 12:48:51 ]
- 補題
D ＞ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。
D = (2^α)m と書ける。ここで α ≧ 2、m は正の奇数である。
α は奇数とする。
a と b を正の奇数で a ≡ b (mod D) とする。
このとき (D/a) = (D/b) である。
ここで (D/a) と (D/b) は Jacobi の記号(過去スレ４の890)である。
証明
α は奇数だから (D/a) = (2/a)(m/a), (D/b) = (2/b)(m/b)
過去スレ４の895より、
(2/a) = (-1)^((a^2 - 1)/8)
(2/b) = (-1)^((b^2 - 1)/8)
a ≡ b (mod D) だから a ≡ b (mod 8)
よって (2/a) = (2/b)、よって (m/a) = (m/b) を示せばよい。
過去スレ４の895より、
(m/a) = (-1)^((m-1)/2)((a-1)/2)(a/m)
(m/b) = (-1)^((m-1)/2)((b-1)/2)(b/m)
m ≡ 1 (mod 4) なら (m/a) = (a/m), (m/b) = (b/m)
a ≡ b (mod D) だから a ≡ b (mod m)
よって (a/m) = (b/m) 即ち (m/a) = (m/b)
m ≡ 3 (mod 4) なら
(m/a) = (-1)^((a-1)/2)(a/m)
(m/b) = (-1)^((b-1)/2)(b/m)
a ≡ b (mod 4) だから (-1)^((a-1)/2) = (-1)^((b-1)/2)
a ≡ b (mod D) だから a ≡ b (mod m)
よって (a/m) = (b/m) 即ち (m/a) = (m/b)
証明終
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